Équation de la chaleur

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

établir l'équation de la chaleur à partir de la conservation de l'énergie et de la loi de Fourier, en utilisant le théorème de la divergence du chapitre 5, et interpréter la diffusivité $α = k / (ρ c)$ et ses unités;
poser un problème de diffusion bien posé sur une barre: équation, conditions aux limites de Dirichlet ou de Neumann, condition initiale, et expliquer pourquoi il faut les deux sortes de conditions;
appliquer la séparation des variables pas à pas, résoudre le problème aux valeurs propres $X^{''} = - λ X$ avec ses conditions aux limites, et écrire la solution comme une série de Fourier en sinus;
résoudre complètement le problème témoin et expliquer, chiffres à l'appui, pourquoi les modes élevés s'éteignent les premiers et pourquoi l'équation lisse ses données;
démontrer l'unicité par la méthode de l'énergie et utiliser le principe du maximum pour borner et comparer des solutions;
traiter des conditions aux limites non homogènes en retranchant l'état stationnaire, et résoudre le problème sur la droite réelle par la transformée de Fourier et le noyau de la chaleur.

De la conservation de l'énergie à une équation aux dérivées partielles

Les chapitres 1 à 5 ont construit un outillage: la divergence d'un champ de vecteurs, le flux à travers une surface orientée, et le théorème de la divergence qui les relie. Les chapitres 6 à 8 en ont construit un autre: les séries et la transformée de Fourier. Ce chapitre est celui où les deux se rejoignent. Le premier outillage sert à écrire l'équation de la chaleur; le second sert à la résoudre. C'est aussi, historiquement, l'ordre inverse: Joseph Fourier a inventé ses séries, au début du XIXe siècle, précisément pour résoudre le problème que nous allons poser.

Le bilan d'énergie dans un volume de contrôle

Considérons un solide immobile, homogène, dont la température au point $x = (x, y, z)$ et à l'instant $t$ est $u (x, t)$ , en kelvins ou en degrés Celsius. Trois grandeurs matérielles interviennent:

la masse volumique $ρ$ , en $kg/ m^{3}$ ;
la capacité thermique massique $c$ , en $J/ (kg \cdot K)$ : l'énergie qu'il faut fournir à un kilogramme pour élever sa température d'un kelvin;
la conductivité thermique $k$ , en $W/ (m \cdot K)$ , qui interviendra dans la loi de Fourier.

À ces grandeurs s'ajoutent deux champs. Le vecteur densité de flux de chaleur $q (x, t)$ , en $W/ m^{2}$ , est défini par la propriété suivante: à travers un petit élément de surface d'aire $d S$ et de normale unitaire $n$ , il passe, par unité de temps et dans le sens de $n$ , l'énergie $q \cdot n d S$ . C'est exactement la situation du chapitre 4: la puissance thermique qui traverse une surface orientée $Σ$ est le flux . Enfin, une , en , décrit la chaleur produite sur place (effet Joule dans un conducteur, réaction chimique, absorption d'un rayonnement).

Fixons maintenant une région $V$ du solide, bornée, dont le bord $\partial V$ est une surface fermée régulière par morceaux — un «volume de contrôle» au sens des chapitres 4 et 5 — et orientons $\partial V$ par la normale sortante $n$ . À une constante additive près, l'énergie thermique contenue dans $V$ est

E_{V} (t) = ∭_{V} ρ c u (x, t) d V .

La conservation de l'énergie dit que cette quantité ne varie que de deux façons: par ce qui traverse le bord, et par ce qui est produit à l'intérieur. Avec la normale sortante, $q \cdot n > 0$ signifie que la chaleur quitte $V$ , d'où le signe moins:

\frac{d}{d t} ∭_{V} ρ c u d V = - \iint_{\partial V} q \cdot n d S + ∭_{V} f d V . (9.1)

C'est une loi de bilan: elle relie une intégrale de volume et une intégrale de surface, et elle vaut pour chaque volume de contrôle. Ce n'est pas encore une équation aux dérivées partielles.

Le théorème de la divergence transforme le bilan en équation locale

Le passage du bilan intégral à une équation ponctuelle est exactement ce que permet le théorème de la divergence (Gauss–Ostrogradski, théorème 5.1 du chapitre 5): pour un champ $q$ de classe $C^{1}$ et un solide $V$ dont le bord est orienté par la normale sortante,

\iint_{\partial V} q \cdot n d S = ∭_{V} \nabla \cdot q d V .

Le membre de gauche de (9.1) se traite en dérivant sous le signe intégrale — légitime ici parce que $V$ est borné, fixe dans le temps, et que $u_{t}$ est continue; nous l'admettons, c'est un théorème d'intégrales dépendant d'un paramètre. Tout s'écrit alors comme une seule intégrale de volume:

∭_{V} (ρ c u_{t} + \nabla \cdot q - f) d V = 0 pour tout volume de contr \overset{o}{ˆ} le V . (9.2)

Une intégrale nulle ne force pas l'intégrande à être nul. Mais une intégrale nulle sur tous les volumes, si:

Démonstration. Supposons $h (x_{0}) > 0$ en un point $x_{0} \in Ω$ (le cas $h (x_{0}) < 0$ se traite en remplaçant par ). Par continuité, il existe tel que la boule fermée de centre et de rayon soit contenue dans et que sur . Par croissance de l'intégrale triple (Analyse II, chapitre 10),

∭_{B} h d V \geq \frac{h ( x _{0} )}{2} \cdot \frac{4}{3} π r^{3} > 0,

ce qui contredit l'hypothèse. $□$

Appliqué à (9.2) avec $h = ρ c u_{t} + \nabla \cdot q - f$ (continue si $u$ et $q$ sont assez régulières), le lemme donne l'équation locale de conservation

ρ c u_{t} + \nabla \cdot q = f . (9.3)

Le chapitre 5 avait donné à la divergence son sens physique: $\nabla \cdot q (x)$ est le débit sortant par unité de volume au voisinage de $x$ . L'équation (9.3) le dit en toutes lettres: la température monte là où il entre plus de chaleur qu'il n'en sort, et là où l'on en produit.

La loi de Fourier ferme le système

L'équation (9.3) contient deux inconnues, $u$ et $q$ . Il manque une loi de comportement qui dise comment le matériau répond à une différence de température. C'est la loi de Fourier:

q = - k \nabla u . (9.4)

Le gradient pointe vers les températures croissantes (chapitre 1), le signe moins envoie donc la chaleur vers les températures décroissantes, du chaud vers le froid, et d'autant plus vite que la température varie rapidement. Ce n'est pas un théorème mais une loi empirique, excellente pour les solides homogènes et isotropes soumis à des gradients modérés; dans un matériau anisotrope (un bois, un composite fibré), $k$ devient une matrice et $q$ n'est plus parallèle à $\nabla u$ .

En reportant (9.4) dans (9.3) avec $k$ constant, $\nabla \cdot (k \nabla u) = k \nabla \cdot \nabla u = k Δ u$ , et l'on obtient l'équation de la chaleur:

u_{t} = α Δ u + \frac{f}{ρ c}, α = \frac{k}{ρ c} . (9.5)

Le laplacien du chapitre 1 y apparaît dans son rôle naturel: $Δ u (x)$ mesure de combien $u$ en $x$ est en dessous de sa moyenne sur une petite sphère centrée en $x$ (il est positif en un minimum, négatif en un maximum). L'équation dit donc qu'un point plus froid que son voisinage se réchauffe, et qu'un point plus chaud se refroidit.

L'unité est la leçon. Dans $u_{t} = α u_{xx}$ , le membre de gauche a la dimension d'une température divisée par un temps, $u_{xx}$ celle d'une température divisée par une longueur au carré; il faut donc $[α] = m^{2} /s$ . Il s'ensuit que les temps de diffusion croissent comme le des longueurs: une barre deux fois plus longue met quatre fois plus de temps à s'équilibrer. C'est la signature de la diffusion, et elle distingue radicalement la chaleur des ondes, qui parcourent une distance proportionnelle au temps.

La barre: le cas unidimensionnel

Dans une barre mince de section $A$ , d'axe $O x$ , dont la surface latérale est isolée, la température ne dépend que de $x$ et de $t$ . Le bilan (9.1) sur la tranche $a \leq x \leq b$ s'écrit

\frac{d}{d t} \int_{a}^{b} ρ c A u (x, t) d x = A q (a, t) - A q (b, t) = - A \int_{a}^{b} q_{x} (x, t) d x,

où $q$ est la composante du flux selon $O x$ : il entre $A q (a)$ par la face gauche et sort $A q (b)$ par la face droite. La dernière égalité est le théorème fondamental de l'analyse — qui est, en dimension un, le théorème de la divergence: le «bord» de $[a, b]$ est formé des deux points $a$ et $b$ , avec les «normales sortantes» $- 1$ et $+ 1$ . Le même raisonnement de localisation, avec et sans source, donne

u_{t} = α u_{xx}, 0 < x < L, t > 0. (9.6)

Adimensionnement. Posons $\tilde{x} = π x / L$ , qui parcourt $] 0, π [$ , et $\tilde{t} = π^{2} α t / L^{2}$ . Par la règle de la chaîne, et , de sorte que (9.6) devient sur . , et le temps réel se retrouve en multipliant le temps adimensionnel par

τ_{1} = \frac{L ^{2}}{π ^{2} α} . (9.7)

C'est pourquoi nous travaillerons presque toujours sur $] 0, π [$ avec $α = 1$ : aucune généralité n'est perdue, et les séries de Fourier du chapitre 6, écrites sur des intervalles de longueur $π$ ou $2 π$ , s'appliquent sans changement d'échelle. Nous verrons au paragraphe sur le lissage que $τ_{1}$ est exactement le temps caractéristique du mode le plus lent.

Un problème bien posé: conditions aux limites et condition initiale

L'équation (9.6) seule a une infinité de solutions: $u = 0$ , $u = x$ , $u = e^{- t} sin x$ , $u = e^{- 4 t} cos 2 x$ , et toutes leurs combinaisons linéaires. Pour décrire une barre particulière, il faut dire ce qui se passe au départ et ce qui se passe aux extrémités.

Condition initiale

La condition initiale fixe le profil de température à l'instant $0$ :

u (x, 0) = g (x), 0 \leq x \leq π .

L'équation est du premier ordre en temps. Comme pour le problème de Cauchy d'une équation différentielle du premier ordre (Analyse II, chapitre 1), une seule donnée initiale est attendue: la valeur, pas la vitesse. Imposer en plus $u_{t} (x, 0)$ serait surabondant, puisque l'équation donne $u_{t} (x, 0) = g^{''} (x)$ .

Conditions aux limites

L'équation est du second ordre en espace, et une équation différentielle du second ordre en $x$ demande deux conditions: une à chaque extrémité de la barre. Les deux plus courantes sont les suivantes.

Dirichlet: la température est imposée aux extrémités, $u (0, t) = a (t)$ et $u (π, t) = b (t)$ . C'est le cas d'une extrémité plongée dans un grand bain thermostaté, dont la température ne bouge pas quoi que la barre lui cède. La condition est homogène si $a = b = 0$ .
Neumann: le flux est imposé, $- k u_{x} (0, t) = φ_{0} (t)$ , et de même en . Le cas homogène est celui d'une extrémité : par la loi de Fourier, signifie qu'aucune chaleur ne traverse la face.

Il existe d'autres conditions — la condition de Robin $- k u_{x} = h (u - u_{ext})$ au bord droit, qui modélise un échange par convection avec l'air ambiant selon la loi de Newton du refroidissement (Analyse II, chapitre 1, exemple 1.5) — et l'on peut mélanger les types, Dirichlet à gauche et Neumann à droite. Les méthodes de ce chapitre s'y étendent; nous nous limitons aux deux premières.

Pourquoi il faut les deux

Un problème est bien posé au sens de Hadamard s'il a une solution, une seule, et si celle-ci dépend continûment des données. Retirez les conditions aux limites et l'unicité tombe; retirez la condition initiale et elle tombe aussi. La deuxième affirmation est évidente: $u = 0$ et $u = e^{- t} sin x$ satisfont toutes deux l'équation et les conditions de Dirichlet homogènes. La première l'est moins, et elle a un contenu physique: partons du même profil $g (x) = x (π - x)$ .

Avec des extrémités à $0$ (Dirichlet), la chaleur s'échappe par les bouts, et nous verrons que $u (x, t) \to 0$ pour tout $x$ .
Avec des extrémités isolées (Neumann), elle ne peut pas s'échapper. L'énergie $\int_{0}^{π} u d x$ est conservée — sa dérivée vaut $\int_{0}^{π} u_{xx} d x = u_{x} (π, t) - u_{x} (0, t) = 0$ — et la température s'uniformise vers la moyenne initiale (exercice 9.2).

Même équation, même état initial, deux destins différents: sans condition aux limites, l'équation ne sait pas si la barre est ouverte sur un thermostat ou enfermée dans un isolant. Inversement, sans condition initiale, elle ne sait pas d'où l'on part. Les deux informations sont indépendantes et toutes deux nécessaires. Que, ensemble, elles suffisent à déterminer la solution est un théorème, que nous démontrerons deux fois: par l'énergie, puis par le principe du maximum.

Question 9.1

L'extrémité $x = 0$ d'une barre est collée à une plaque de liège qui ne laisse passer aucune chaleur. Quelle condition aux limites la décrit?

La séparation des variables

La méthode de Fourier cherche d'abord des solutions très particulières, puis les superpose. Elle repose entièrement sur la linéarité de l'équation et des conditions aux limites homogènes: si $u_{1}$ et $u_{2}$ satisfont $u_{t} = u_{xx}$ et , toute combinaison les satisfait aussi. Suivons-la pas à pas sur (9.8).

Étape 1: chercher des solutions à variables séparées

On cherche des solutions non identiquement nulles de la forme

u (x, t) = X (x) T (t) .

En reportant dans l'équation, $X (x) T^{'} (t) = X^{''} (x) T (t)$ . Là où $X (x) T (t) \neq = 0$ , on divise:

\frac{T ^{'} ( t )}{T ( t )} = \frac{X ^{''} ( x )}{X ( x )} .

Le membre de gauche ne dépend que de $t$ , le membre de droite que de $x$ . Fixez $t$ et faites varier $x$ : le membre de droite ne change pas. Fixez $x$ et faites varier $t$ : le membre de gauche ne change pas. Les deux sont donc égaux à une même constante, que l'on note $- λ$ (le signe moins est une convention, qui se révélera commode):

T^{'} (t) = - λ T (t), X^{''} (x) = - λ X (x) . (9.9)

Une équation aux dérivées partielles s'est scindée en deux équations différentielles ordinaires, du type étudié en Analyse II, chapitre 1.

Étape 2: transporter les conditions aux limites sur $X$

La condition $u (0, t) = X (0) T (t) = 0$ pour tout $t$ impose $X (0) = 0$ , car $T$ n'est pas la fonction nulle (sinon $u$ le serait). De même $X (π) = 0$ . Les conditions aux limites homogènes portent donc entièrement sur , et la constante n'est pas libre: elle doit être telle que le problème

X^{''} = - λ X sur [0, π], X (0) = X (π) = 0 (9.10)

ait une solution non nulle. C'est un problème aux valeurs propres: on cherche les $λ$ pour lesquels l'opérateur $X \mapsto - X^{''}$ , restreint aux fonctions qui s'annulent aux deux bords, a un vecteur propre. L'analogie avec l'algèbre linéaire est exacte, à ceci près que l'espace est de dimension infinie.

Démonstration. L'équation $X^{''} + λ X = 0$ est linéaire du second ordre à coefficients constants, de polynôme caractéristique $r^{2} + λ$ . Le théorème 1.7 d'Analyse II (chapitre 1) en donne la solution générale dans les trois cas.

Cas $λ < 0$ . Posons $λ = - μ^{2}$ avec $μ > 0$ : les racines sont $\pm μ$ et $X = C_{1} e^{μx} + C_{2} e^{- μx}$ . La condition donne , puis . Comme , cela force : seule la solution nulle.

Cas $λ = 0$ . Racine double $0$ , $X = C_{1} + C_{2} x$ . Alors $X (0) = C_{1} = 0$ et : seule la solution nulle.

Cas $λ > 0$ . Posons $λ = μ^{2}$ avec $μ > 0$ : racines $\pm i μ$ et $X = C_{1} cos μx + C_{2} sin μx$ . La condition donne , puis . Il existe une solution non nulle () si et seulement si , c'est-à-dire , et alors .

Il existe une démonstration plus courte du fait que $λ > 0$ , qui annonce la méthode de l'énergie. Multipliez $- X^{''} = λ X$ par $X$ et intégrez par parties sur $[0, π]$ : le terme de bord $[- X X^{'}]_{0}^{π}$ s'annule grâce aux conditions de Dirichlet, et il reste . Si , le rapport des deux intégrales est positif, et il est nul seulement si , c'est-à-dire constante, donc nulle par les conditions aux limites. Les conditions aux limites sont ce qui rend l'opérateur positif.

Pour des extrémités isolées ( $X^{'} (0) = X^{'} (π) = 0$ ), le même calcul donne les valeurs propres $λ = n^{2}$ avec cette fois $n \in {0, 1, 2, \dots}$ et les fonctions propres : la valeur propre , de fonction propre constante, est celle de la température uniforme vers laquelle tend une barre isolée.

Étape 3: résoudre l'équation en temps

Pour $λ = n^{2}$ , l'équation $T^{'} = - n^{2} T$ est l'équation $y^{'} = k y$ de l'exemple 1.2 d'Analyse II, avec ; par le théorème 1.4 du même chapitre, ses solutions sont exactement . Les solutions à variables séparées de (9.8), sans la condition initiale, sont donc les

u_{n} (x, t) = e^{- n^{2} t} sin (n x), n = 1, 2, 3, \dots (9.11)

Chaque mode est une sinusoïde qui garde sa forme et dont l'amplitude décroît exponentiellement, d'autant plus vite que $n$ est grand. On vérifie directement: $\partial_{t} u_{n} = - n^{2} u_{n}$ et $\partial_{xx} u_{n} = - n^{2} u_{n}$ .

Étape 4: superposer et ajuster la condition initiale

Par linéarité, toute somme finie $\sum_{n = 1}^{N} b_{n} e^{- n^{2} t} sin (n x)$ est encore solution de l'équation et des conditions aux limites. Elle vaut $\sum b_{n} sin (n x)$ à l'instant . Si est une somme finie de sinus, c'est fini: on lit les . Pour un quelconque, l'idée de Fourier est de passer à une et de choisir les pour que

g (x) = n = 1 \sum \infty b_{n} sin (n x), 0 < x < π .

C'est exactement le développement en série de sinus d'une fonction définie sur $] 0, π [$ , construit au chapitre 6: on prolonge $g$ en une fonction impaire sur $] - π, π [$ , puis $2 π$ -périodiquement; ce prolongement a des coefficients $a_{n}$ nuls et

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} g (x) sin (n x) d x . (9.12)

Le prolongement impair n'est pas un artifice. Il est dicté par les conditions aux limites: une fonction impaire et $2 π$ -périodique est nulle en $0$ et en $π$ , exactement comme la température de nos extrémités. Pour des extrémités isolées, c'est le prolongement pair et la série en cosinus qui conviennent, pour la même raison.

Démonstration (esquisse). Convergence et condition initiale. Pour une telle $g$ , le prolongement impair est continu et $C^{1}$ par morceaux sur $R$ ; le théorème 7.6 montre qu'alors $\sum ∣ b_{n} ∣ < \infty$ (les coefficients de la dérivée sont $n b_{n}$ , théorème 7.4, de carré sommable par l'inégalité de Bessel, et l'inégalité de Cauchy–Schwarz conclut) et que la série de Fourier converge uniformément vers . Comme pour , la série (9.13) est dominée par une série numérique convergente: elle converge uniformément (critère de Weierstrass), et une limite uniforme de fonctions continues est continue. En , elle se réduit à la série de sinus de , qui vaut ; en et , chaque terme est nul.

Régularité et équation. Fixons $t_{0} > 0$ . Pour $t \geq t_{0}$ , la dérivée $\partial_{t}^{j} \partial_{x}^{k}$ du terme d'indice est majorée en valeur absolue par , et converge (le terme général décroît plus vite que toute puissance de ). Toutes les séries dérivées convergent donc uniformément sur , et le théorème de dérivation terme à terme des séries de fonctions — que nous admettons: la théorie de la convergence uniforme des séries de fonctions n'a pas été faite dans les cours d'Analyse I et II de cette plateforme — permet de dériver sous le signe somme. Chaque terme vérifiant , la somme aussi.

Question 9.2

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution de $u_{t} = u_{xx}$ , $u (0, t) = u (π, t) = 0$ , $u (x, 0) = g (x)$ par séparation des variables.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Chercher des solutions de la forme

u = X (x) T (t)

et séparer:

T^{'} / T = X^{''} / X = - λ

Calculer les

b_{n}

comme coefficients de la série de sinus de

g

Superposer les modes:

u = \sum b_{n} e^{- n^{2} t} sin (n x)

Résoudre l'équation en temps:

T_{n} = e^{- n^{2} t}

Résoudre le problème aux valeurs propres:

λ = n^{2}

X_{n} = sin (n x)

Transporter les conditions aux limites sur

X

X (0) = X (π) = 0

Le problème témoin résolu

Nous appliquons maintenant la méthode au problème qui servira de fil conducteur jusqu'au chapitre 10:

u_{t} = u_{xx} sur] 0, π [, u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, 0) = x (π - x) . (9.14)

Le profil initial est une parabole, nulle aux extrémités, maximale au milieu où elle vaut $π^{2} /4$ : une barre chauffée au centre dont on refroidit brusquement les bouts. Elle satisfait la condition de compatibilité et est de classe $C^{\infty}$ sur $[0, π]$ : le théorème 9.3 s'applique.

Combien de modes? Cette question a une réponse chiffrée, et elle dépend du temps. Comme $∣ b_{n} e^{- n^{2} t} sin (n x) ∣ \leq b_{n}$ , l'erreur commise en gardant les $K$ premiers modes non nuls est au plus la queue , : pour , pour , pour . Cette borne est pessimiste dès que . Mesurée au maximum sur , l'erreur de la somme à modes vaut, à , pour (atteinte près de , en ) et pour ; à , elle vaut déjà pour ; à , pour . Il faut beaucoup de termes pour représenter l'état initial, et de moins en moins ensuite.

Question 9.3

Pour le problème témoin (9.14), calculez la température au milieu de la barre à l'instant $t = 0, 5$ , à quatre chiffres significatifs. Combien de modes vous a-t-il fallu?

Lissage: les hautes fréquences meurent les premières

Des vitesses d'extinction en $n^{2}$

Le mode $n$ décroît comme $e^{- n^{2} t}$ . Le rapport du mode 3 au mode 1 dans la solution témoin est

\frac{b _{3} e ^{- 9 t}}{b _{1} e ^{- t}} = \frac{1}{27} e^{- 8 t},

qui vaut $3, 7 \cdot 1 0^{- 2}$ à $t = 0$ , $1, 7 \cdot 1 0^{- 2}$ à $t = 0, 1$ , à et à — pratiquement l'erreur relative du tableau de l'exemple 9.2, et ce n'est pas un hasard: dès que n'est pas trop petit, tout ce que le premier mode néglige est dominé par le mode 3. Le temps nécessaire pour qu'un mode perde 99 % de son amplitude est : pour , pour , pour , pour . Le mode 7 disparaît cinquante fois plus vite que le mode 1.

En unités physiques, par (9.7), le mode $n$ décroît comme $exp (- n^{2} t / τ_{1})$ : le temps caractéristique du mode $n$ est $τ_{1} / n^{2}$ . Le mode le plus lent, , fixe l'échelle de temps de l'équilibrage de toute la barre; c'est pourquoi est la bonne unité de temps de l'exemple 9.1.

Pourquoi l'équation de la chaleur lisse

Un mode de grand $n$ est une oscillation rapide en espace: sa longueur d'onde est $2 π / n$ . Les petits détails d'un profil — un coin, une marche, un bruit de mesure — se trouvent dans les coefficients de grand $n$ . Le chapitre 7 a relié la régularité d'une fonction à la décroissance de ses coefficients: $b_{n}$ en $1/ n$ pour une fonction qui saute, en $1/ n^{2}$ pour une fonction continue avec un coin, en $1/ n^{3}$ pour notre parabole. Or, pour tout , le facteur écrase n'importe quelle puissance de . Même si a des sauts, le profil a des coefficients qui décroissent plus vite que toute puissance de , et il est de classe . Le théorème 9.3, tel qu'il est énoncé, suppose continue et nulle aux bords; mais la démonstration de sa seconde partie n'utilise que la (elle majore les séries dérivées par ). Sous cette seule hypothèse — satisfaite par toute intégrable, en particulier par une fonction qui saute, puisque — la série (9.13) définit donc, pour , une solution de l'équation qui s'annule aux bords; ce que la continuité de ajoute, c'est le raccord continu avec la donnée en . , et elle le fait en éteignant d'abord les hautes fréquences.

Physiquement, c'est l'intuition du laplacien: un pic étroit est très en dessous ou très au-dessus de la moyenne de son voisinage, et il est effacé très vite; une bosse large ne diffère de sa moyenne locale que par sa courbure, faible, et elle s'efface lentement.

Explorateur 9.1 · Explorateur: le profil témoin, mode par mode

Faites avancer le temps $t$ et choisissez le nombre $K$ de modes non nuls conservés dans la série. La courbe grise épaisse est la solution de référence (60 modes), la courbe en couleur la somme partielle à $K$ modes, la courbe bleue pointillée le premier mode seul. À $t = 0$ il faut plusieurs modes pour épouser la parabole; dès $t = 0, 5$ , un seul suffit à l'œil, et l'erreur relative du mode seul au milieu de la barre fond comme $\frac{1}{27} e^{- 8 t}$ .

Temps t0,10

Modes non nuls K1 (n ≤ 1)

u(π/2, t), référence

2,267422

Premier mode seul (8/π) e^−t

2,304150

Erreur relative du mode seul en π/2

1,6 · 10⁻²

Erreur max. de la somme à 1 mode (n ≤ 1)

3,9 · 10⁻²

Rapport mode 3 / mode 1: e^−8t/27

1,7 · 10⁻²

Question 9.4

Une barre ( $u_{t} = u_{xx}$ sur $] 0, π [$ , extrémités à 0) part d'un profil $g$ qui présente un coin anguleux en $x = 1$ . Que peut-on dire du profil $u (\cdot, t)$ à l'instant $t = 0, 01$ ?

Unicité par la méthode de l'énergie

Nous avons trouvé une solution. Montrons qu'il n'y en a pas d'autre. La méthode tient en une intégration par parties, et elle est l'une des idées les plus fécondes de la théorie des équations aux dérivées partielles.

Démonstration. Soient $u_{1}$ et $u_{2}$ deux solutions, et $w = u_{1} - u_{2}$ . Par linéarité, satisfait le problème :

w_{t} = w_{xx}, w (0, t) = w (π, t) = 0, w (x, 0) = 0.

Définissons l'énergie

E (t) = \int_{0}^{π} w (x, t)^{2} d x, 0 \leq t \leq T .

$E$ est continue sur $[0, T]$ , car $w$ est continue sur le compact $[0, π] \times [0, T]$ , donc uniformément continue. $E$ est dérivable sur $] 0, T]$ , et l'on peut dériver sous le signe intégrale puisque $w_{t}$ est continue (admis, comme au début du chapitre):

E^{'} (t) = 2 \int_{0}^{π} w w_{t} d x = 2 \int_{0}^{π} w w_{xx} d x .

Intégrons par parties:

E^{'} (t) = 2 [w w_{x}]_{x = 0}^{x = π} - 2 \int_{0}^{π} w_{x}^{2} d x = - 2 \int_{0}^{π} w_{x}^{2} d x \leq 0,

le terme de bord étant nul parce que $w (0, t) = w (π, t) = 0$ . Ainsi $E$ est continue sur $[0, T]$ , décroissante sur $] 0, T]$ (théorème des accroissements finis), donc décroissante sur $[0, T]$ par continuité en . Comme et , on a : est identiquement nulle. Pour chaque , est une fonction continue, positive, d'intégrale nulle; elle est donc nulle (le même argument que le lemme 9.1, en dimension un). Ainsi , soit .

Trois remarques prolongent ce résultat.

La même preuve vaut pour Neumann: si $u_{x} (0, t)$ et $u_{x} (π, t)$ sont imposés, $w_{x}$ s'annule aux bords et le terme $[w w_{x}]$ aussi. Elle vaut aussi pour Robin, avec : le terme de bord vaut alors et n'a que le bon signe. Elle s'étend en dimension 3 en remplaçant l'intégration par parties par la formule de Green , qui est encore le théorème de la divergence du chapitre 5, appliqué au champ avec la règle de produit du chapitre 1.

Avec le théorème 9.4, la série (9.15) n'est plus seulement une solution du problème témoin: c'est la solution, et toute autre méthode — un schéma numérique, une transformée de Laplace, une expérience idéale — doit la retrouver.

Le principe du maximum

La méthode de l'énergie contrôle la solution en moyenne quadratique. Le principe du maximum la contrôle point par point, et il traduit une évidence physique: sans source de chaleur, une barre ne peut pas créer en son intérieur un point plus chaud que ce qu'elle contenait au départ ou que ce que lui imposent ses extrémités.

Pour $T > 0$ , notons $Q_{T} = [0, π] \times [0, T]$ le rectangle du plan $(x, t)$ et $Γ_{T}$ son : la réunion du côté du bas () et des deux côtés verticaux ( et ). Le côté du haut, , n'en fait partie: c'est l'instant où l'on regarde, pas une donnée.

Démonstration. Premier temps: le cas strict. Soit $v$ continue sur $Q_{T}$ , régulière comme $u$ , avec $v_{t} - v_{xx} < 0$ sur . Comme est compact, y atteint son maximum en un point . Supposons que ce point ne soit pas sur : alors et . La fonction a un maximum intérieur en , donc (condition du second ordre, Analyse I). La fonction sur est maximale en : si , sa dérivée y est nulle; si , c'est une extrémité de l'intervalle, et comme pour , la dérivée (à gauche) vérifie . Dans les deux cas , d'où en : contradiction. Le maximum de est donc atteint sur .

Second temps: le cas général. Pour $ε > 0$ , posons $v = u + ε x^{2}$ . Alors $v_{t} - v_{xx} = u_{t} - u_{xx} - 2 ε \leq - 2 ε < 0$ , et le premier temps s'applique:

Q_{T} max u \leq Q_{T} max v = Γ_{T} max v \leq Γ_{T} max u + ε π^{2} .

En faisant tendre $ε$ vers $0$ , $max_{Q_{T}} u \leq max_{Γ_{T}} u$ ; l'inégalité inverse est évidente puisque . Pour le minimum, on applique ce qui précède à .

Le passage par le cas strict n'est pas une coquetterie: si $u_{t} = u_{xx}$ exactement, un maximum intérieur donne seulement $u_{t} \geq 0 \geq u_{xx}$ , ce qui n'est pas contradictoire lorsque les deux sont nuls. La perturbation rend l'inégalité stricte au prix d'une erreur que l'on fait ensuite disparaître.

Le principe du maximum se lit mieux sous forme de conséquences.

Démonstration. La différence $w = u_{1} - u_{2}$ résout l'équation. Pour 1, $w \leq 0$ sur $Γ_{T}$ et le théorème 9.5 donne . Pour 2, on applique le théorème 9.5 à et à . Si et ont les mêmes données, sur , donc partout.

C'est la deuxième démonstration de l'unicité, indépendante de la première, et elle donne une stabilité différente: la méthode de l'énergie contrôlait $\int (u_{1} - u_{2})^{2}$ , le principe du maximum contrôle $max ∣ u_{1} - u_{2} ∣$ .

États stationnaires et conditions aux limites non homogènes

La séparation des variables exige des conditions aux limites homogènes: sans elles, l'étape 2 échoue, car $X (0) T (t) = a (t)$ ne se traduit plus en une condition sur $X$ seul. Le remède consiste à retrancher une solution particulière qui porte les conditions aux limites, exactement comme en Analyse II on écrit «solution générale = solution de l'homogène + solution particulière» (chapitre 1, théorème 1.3).

L'équation $Δ w = 0$ est l'équation de Laplace, dont les solutions sont les fonctions harmoniques du chapitre 10: un état stationnaire de la chaleur est un problème de Laplace, et c'est pourquoi ces deux équations voisinent dans la suite du cours.

La méthode. Soit à résoudre $u_{t} = u_{xx}$ sur $] 0, π [$ avec $u (0, t) = A$ , $u (π, t) = B$ constants et .

L'état stationnaire qui satisfait les conditions aux limites est $w (x) = A + (B - A) x / π$ .
La différence $v = u - w$ satisfait $v_{t} = v_{xx}$ (car ), , et : un problème de Dirichlet , que l'on résout par (9.13).

La même idée traite une source indépendante du temps (exercice 9.3). Si les données aux limites dépendent du temps, on retranche une fonction qui les porte (par exemple l'interpolation affine $a (t) + (b (t) - a (t)) x / π$ ), et la différence satisfait une équation avec source; la séparation des variables s'étend alors en développant la source en série de sinus, chaque coefficient satisfaisant une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre, résolue par variation de la constante (Analyse II, chapitre 1, théorème 1.5).

Question 9.5

Dans l'exemple 9.4, quelle est la température au milieu de la barre après 20 minutes (1200 s)? Utilisez au moins deux modes non nuls.

La barre infinie et le noyau de la chaleur

Que se passe-t-il si la barre est si longue que ses extrémités ne jouent aucun rôle pendant la durée qui nous intéresse? On pose alors le problème sur toute la droite:

u_{t} = u_{xx}, x \in R, t > 0, u (x, 0) = g (x), (9.17)

avec $g$ intégrable et bornée. Il n'y a plus de conditions aux limites, donc plus de modes discrets $sin (n x)$ : la série de Fourier cède la place à la transformée de Fourier du chapitre 8, avec la convention du cours,

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i ξ x} d x, f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{i ξ x} d ξ .

Transformer en $x$ . Notons $\overset{u}{^} (ξ, t)$ la transformée de $u (\cdot, t)$ . La transformée d'une dérivée (théorème 8.4) donne $u_{xx} (ξ, t) = (i ξ)^{2} \overset{u}{^} = - ξ^{2} \overset{u}{^}$ , et, en admettant que l'on puisse dériver en sous l'intégrale, . L'équation aux dérivées partielles devient, , une équation différentielle ordinaire en :

\partial_{t} \overset{u}{^} (ξ, t) = - ξ^{2} \overset{u}{^} (ξ, t), \overset{u}{^} (ξ, 0) = \overset{g}{^} (ξ),

dont la solution (Analyse II, chapitre 1, exemple 1.2) est $\overset{u}{^} (ξ, t) = \overset{g}{^} (ξ) e^{- ξ^{2} t}$ . C'est l'exact analogue continu de $b_{n} e^{- n^{2} t}$ : la fréquence remplace l'entier , et les hautes fréquences meurent encore les premières.

Revenir en $x$ . Le produit $\overset{g}{^} (ξ) e^{- ξ^{2} t}$ est la transformée d'une convolution (théorème 8.5), pourvu que l'on trouve la fonction dont $e^{- ξ^{2} t}$ est la transformée. La gaussienne témoin du cours (théorème 8.2) la fournit: . Par la règle de changement d'échelle du théorème 8.3, , soit pour ; avec , on obtient . Donc

G_{t} (x) = \frac{1}{4 π t} e^{- x^{2} / (4 t)} v \overset{e}{ˊ} rifie G_{t} (ξ) = e^{- ξ^{2} t} . (9.18)

Nous l'avons vérifié par quadrature pour $t = 1$ : $\int G_{1} (x) e^{- i ξ x} d x$ vaut $1$ , $0, 36787944$ et $0, 01831564$ en , soit , et .

Démonstration (esquisse). Le calcul par transformée ci-dessus découvre la formule, mais il est formel: il suppose que $u (\cdot, t)$ a une transformée, et que l'on peut dériver sous l'intégrale. Une fois la formule trouvée, on la vérifie directement. D'abord $G$ elle-même résout l'équation: avec $G = (4 π t)^{- 1/2} e^{- x^{2} / (4 t)}$ ,

\partial_{t} G = (- \frac{1}{2 t} + \frac{x ^{2}}{4 t ^{2}}) G, \partial_{x} G = - \frac{x}{2 t} G, \partial_{x}^{2} G = (- \frac{1}{2 t} + \frac{x ^{2}}{4 t ^{2}}) G,

et les deux coïncident. Pour $t \geq t_{0} > 0$ , $G$ et ses dérivées sont dominées par des fonctions intégrables en $y$ uniformément en $x$ , ce qui permet de dériver (9.19) sous l'intégrale; $u$ résout donc l'équation. Enfin $G_{t} > 0$ , (par l'intégrale de Gauss, Analyse II, chapitre 9), et la masse de se concentre en quand , ce qui donne par continuité de . Ces deux passages à la limite sont admis: ils relèvent de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Trois propriétés se lisent sur (9.19).

Moyenne pondérée. Comme $G_{t} > 0$ et $\int G_{t} = 1$ , $u (x, t)$ est une moyenne de $g$ pondérée par une cloche centrée en $x$ . En particulier : c'est le principe du maximum sur la droite.

La gaussienne qui s'étale. Prenons $g (x) = e^{- x^{2} /2}$ . Alors $\overset{u}{^} (ξ, t) = 2 π e^{- ξ^{2} /2} e^{- ξ^{2} t} = 2 π e^{- (1 + 2 t) ξ^{2} /2}$ , et la règle de changement d'échelle, lue à l'envers avec , donne

u (x, t) = \frac{1}{1 + 2 t} exp (- \frac{x ^{2}}{2 ( 1 + 2 t )}) .

La cloche reste une gaussienne, sa variance passe de $1$ à $1 + 2 t$ , son maximum décroît comme $1/ 1 + 2 t$ — il est divisé par deux à $t = 1, 5$ — et son intégrale reste : sans extrémités par où s'échapper, la chaleur se conserve et ne fait que s'étaler. La convolution (9.19) calculée par quadrature en , donne , la formule aussi. Comparez avec la barre finie: là, le maximum décroissait comme , exponentiellement, parce que les extrémités froides aspirent la chaleur; ici il décroît comme seulement.

Synthèse

Modélisation. Le bilan d'énergie sur un volume de contrôle, transformé par le théorème de la divergence (normale sortante) et localisé par le lemme 9.1, donne $ρ c u_{t} + \nabla \cdot q = f$ ; la loi de Fourier $q = - k \nabla u$ le ferme en $u_{t} = α Δ u + f / (ρ c)$ . La diffusivité est en m²/s: les temps de diffusion croissent comme le carré des longueurs, .

Série d'exercices du chapitre 9Exercice 1 sur 5

Question 9.6

Un acier a une conductivité $k = 50$ W/(m·K), une masse volumique $ρ = 7850$ kg/m³ et une capacité thermique massique $c = 490$ J/(kg·K). Calculez sa diffusivité thermique $α$ , en unités de $1 0^{- 5}$ m²/s.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 9.1 · Une donnée initiale trigonométrique

Résoudre $u_{t} = u_{xx}$ sur $] 0, π [$ , $u (0, t) = u (π, t) = 0$ , . Calculer , puis vérifier que pour tout sans calculer la solution, sachant que .

Exercice 9.2 · Barre isolée: conservation et retour à la moyenne

On considère $u_{t} = u_{xx}$ sur $] 0, π [$ , avec des extrémités isolées $u_{x} (0, t) = u_{x} (π, t) = 0$ et .

Exercice 9.3 · Une source de chaleur constante

Une barre produit de la chaleur uniformément (effet Joule), ce qui donne, après adimensionnement, $u_{t} = u_{xx} + 2$ sur $] 0, π [$ , avec $u (0, t) = u (π, t) = 0$ et .

Exercice 9.4 · L'équation rétrograde est mal posée

Pour $n \geq 1$ , on considère $u_{n} (x, t) = \frac{1}{n} e^{n^{2} t} sin (n x)$ .

Exercice 9.5 · Décroissance exponentielle de l'énergie

Soit $u$ une solution régulière de $u_{t} = u_{xx}$ sur $] 0, π [$ avec $u (0, t) = u (π, t) = 0$ , et .

Références

Fourier, J., Théorie analytique de la chaleur, Firmin Didot, Paris, 1822 — l'ouvrage où les séries trigonométriques naissent pour résoudre exactement les problèmes de ce chapitre.
Strauss, W. A., Partial Differential Equations: An Introduction, 2e éd., Wiley, chap. 2 (équation de diffusion, principe du maximum, méthode de l'énergie, noyau de la chaleur) et chap. 4 (séparation des variables).
Stein, E. M. et Shakarchi, R., Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, chap. 1 (origine physique de l'équation de la chaleur) et chap. 5 (transformée de Fourier sur $R$ et noyau de la chaleur).
Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics, Wiley, chapitre sur les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, conditions aux limites, états stationnaires).
Marsden, J. E. et Tromba, A. J., Vector Calculus, Freeman, pour le théorème de la divergence et ses applications aux lois de conservation.
Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.

Matériau	$k$ [W/(m·K)]	$ρ$ [kg/m³]	$c$ [J/(kg·K)]	$α$ [m²/s]	$τ_{1}$ pour $L = 1$ m
cuivre	401	8960	385	$1, 16 \cdot 1 0^{- 4}$	872 s ≈ 14,5 min
aluminium	237	2700	897	$9, 79 \cdot 1 0^{- 5}$	1035 s ≈ 17,3 min
acier	50	7850	490	$1, 30 \cdot 1 0^{- 5}$	7795 s ≈ 2,17 h
verre	1,0	2500	840	$4, 76 \cdot 1 0^{- 7}$	≈ 2,46 jours
eau (immobile)	0,6	1000	4186	$1, 43 \cdot 1 0^{- 7}$	≈ 8,18 jours

$t$	$u (π /2, t)$	premier mode $b_{1} e^{- t}$	erreur relative du mode seul
0	2,467401	2,546479	$3, 2 \cdot 1 0^{- 2}$
0,1	2,267422	2,304150	$1, 6 \cdot 1 0^{- 2}$
0,5	1,543470	1,544518	$6, 8 \cdot 1 0^{- 4}$
1	0,936786	0,936797	$1, 2 \cdot 1 0^{- 5}$
2	0,344628	0,344628	$4 \cdot 1 0^{- 9}$

Objectifs du chapitre

De la conservation de l'énergie à une équation aux dérivées partielles

Le bilan d'énergie dans un volume de contrôle

Le théorème de la divergence transforme le bilan en équation locale

La loi de Fourier ferme le système

La barre: le cas unidimensionnel

Un problème bien posé: conditions aux limites et condition initiale

Condition initiale

Conditions aux limites

Pourquoi il faut les deux

La séparation des variables

Étape 1: chercher des solutions à variables séparées

Étape 2: transporter les conditions aux limites sur $X$

Étape 3: résoudre l'équation en temps

Étape 4: superposer et ajuster la condition initiale

Le problème témoin résolu

Lissage: les hautes fréquences meurent les premières

Des vitesses d'extinction en $n^{2}$

Pourquoi l'équation de la chaleur lisse

Unicité par la méthode de l'énergie

Le principe du maximum

États stationnaires et conditions aux limites non homogènes

La barre infinie et le noyau de la chaleur

Synthèse

Exercices

Références

Diffusivité et temps caractéristique

Se ramener au problème témoin

Température après un temps caractéristique

Passage sous 1 °C

Objectifs du chapitre

De la conservation de l'énergie à une équation aux dérivées partielles

Le bilan d'énergie dans un volume de contrôle

Le théorème de la divergence transforme le bilan en équation locale

La loi de Fourier ferme le système

La barre: le cas unidimensionnel

Un problème bien posé: conditions aux limites et condition initiale

Condition initiale

Conditions aux limites

Pourquoi il faut les deux

La séparation des variables

Étape 1: chercher des solutions à variables séparées

Étape 2: transporter les conditions aux limites sur X

Étape 3: résoudre l'équation en temps

Étape 4: superposer et ajuster la condition initiale

Le problème témoin résolu

Lissage: les hautes fréquences meurent les premières

Des vitesses d'extinction en n2

Pourquoi l'équation de la chaleur lisse

Unicité par la méthode de l'énergie

Le principe du maximum

États stationnaires et conditions aux limites non homogènes

La barre infinie et le noyau de la chaleur

Synthèse

Exercices

Références

Diffusivité et temps caractéristique

Se ramener au problème témoin

Température après un temps caractéristique

Passage sous 1 °C

Étape 2: transporter les conditions aux limites sur $X$

Des vitesses d'extinction en $n^{2}$