Théorèmes du calcul différentiel

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• déterminer les extrema locaux et globaux d'une fonction dérivable sur un intervalle, en préciser la nature par le critère de la dérivée seconde, et résoudre un problème d'optimisation issu de l'ingénierie;
• énoncer et démontrer les théorèmes de Rolle et des accroissements finis, et en expliquer le sens géométrique et cinématique;
• utiliser le signe de la dérivée pour établir la monotonie d'une fonction et démontrer des inégalités;
• calculer des limites de formes indéterminées avec la règle de l'Hospital, en connaissant ses hypothèses et ses pièges;
• caractériser la convexité par la dérivée seconde, situer les points d'inflexion et appliquer la méthode de Newton;
• mener l'étude complète d'une fonction: domaine, limites, asymptotes, tableau de variation, convexité et graphe.

Extrema d'une fonction

Le chapitre 7 a introduit la dérivée comme pente de la tangente. Ce chapitre en tire les conséquences globales: si l'on connaît la dérivée en chaque point, que peut-on dire de la fonction sur tout un intervalle? Les réponses (Rolle, accroissements finis, monotonie, convexité) forment l'ossature du calcul différentiel et alimentent des outils quotidiens de l'ingénieur: optimiser une forme, borner une erreur, résoudre une équation par la méthode de Newton, tracer une courbe.

Extrema locaux et globaux

Les extrema locaux ont été définis au chapitre 7 (définition 7.5); il faut leur adjoindre une notion globale.

Un extremum global est en particulier local, mais la réciproque est fausse: la fonction $x\mapsto x^3-3x$ possède un maximum local en $-1$ et un minimum local en $1$, mais n'est bornée ni supérieurement ni inférieurement sur $\mathbb{R}$. Rappelons le résultat clé du chapitre 7, qui relie extremum et dérivée; sa démonstration, qui n'utilise que la définition du nombre dérivé, y est donnée.

Recherche des extrema sur un segment

Le théorème de Weierstrass (chapitre 5) affirme qu'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ y atteint un maximum et un minimum. Combiné au théorème de Fermat, il fournit une méthode systématique.

Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Le théorème de Rolle

Démonstration. Par le théorème de Weierstrass, $f$ atteint sur $[a,b]$ un minimum $m$ et un maximum $M$. Si $m=M$, la fonction est constante et $f^{\prime }$ est nulle partout sur $]a,b[$: n'importe quel $c$ convient. Sinon , et l'une au moins des deux valeurs diffère de la valeur commune ; elle est donc atteinte en un point qui n'est ni ni , c'est-à-dire en un point intérieur. En ce point, est dérivable et possède un extremum local: le théorème de Fermat donne .

Michel Rolle (1652–1719) a énoncé ce résultat pour les polynômes; la forme générale que nous utilisons date du XIXᵉ siècle. Chacune des trois hypothèses est indispensable: la fonction $x\mapsto |x|$ sur $[-1,1]$ vérifie $f(-1)=f(1)$ et est continue, mais sa dérivée ne s'annule nulle part, faute de dérivabilité en $0$; la fonction valant $x$ sur $[0,1[$ et $0$ en vérifie et est dérivable sur , mais elle n'est pas continue en et partout.

Le théorème des accroissements finis

Le théorème de Rolle traite d'une corde horizontale. En «redressant» le graphe, on obtient l'énoncé général: entre $a$ et $b$, il existe un point où la tangente est parallèle à la corde.

Démonstration. Considérons la fonction auxiliaire $g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$, différence entre et la fonction affine dont le graphe est la corde. Elle est continue sur , dérivable sur , et par construction. Le théorème de Rolle fournit tel que , c'est-à-dire .

Le théorème se lit en cinématique. Si $x(t)$ est la position d'un train entre Lausanne et Genève, le quotient $\frac{x(b)-x(a)}{b-a}$ est sa vitesse moyenne sur le trajet, et $x^{\prime }(c)$ sa vitesse instantanée à l'instant $c$: à un instant au moins, la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne. Un radar tronçon exploite exactement cet argument: si la vitesse moyenne mesurée entre deux portiques dépasse la limite, le conducteur l'a nécessairement dépassée à un instant donné.

Inégalité des accroissements finis

En pratique, on connaît rarement le point $c$; ce qui importe, c'est qu'il existe et que $f^{\prime }(c)$ soit contrôlée par une borne de $f^{\prime }$.

Démonstration. D'après (8.1), $f(b)-f(a)=f^{\prime }(c)(b-a)$ avec $c\in ]a,b[$, et $|f^{\prime }(c)|\le M$; on multiplie par . L'encadrement s'obtient de même à partir de .

Cette inégalité est l'outil de base pour majorer une erreur: si une mesure $x$ est connue à $\epsilon$ près, la grandeur $f(x)$ est connue à $M\epsilon$ près, où $M$ borne $|f^{\prime }|$ sur l'intervalle d'incertitude. Elle intervient aussi dans l'étude des suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$ du chapitre 3: si , alors et la suite converge géométriquement vers le point fixe .

Applications: fonctions constantes, monotonie, inégalités

Démonstration. Soient $x_1<x_2$ dans $I$. Le théorème des accroissements finis appliqué sur $[x_1,x_2]$ donne (donc intérieur à ) avec . Si , la différence est nulle: pour tout couple, et est constante (point 1). Si , la différence est positive ou nulle: est croissante; si , elle est strictement positive: est strictement croissante (points 2 et 3, sens direct). Réciproquement, si est croissante et intérieur, les taux d'accroissement sont tous positifs ou nuls, donc leur limite aussi.

Le point 1 a une conséquence fondamentale: deux fonctions de même dérivée sur un intervalle diffèrent d'une constante. C'est ce qui rend les primitives du chapitre 10 uniques à une constante près. Le point 2 justifie le tableau de variation de la section «Étude de fonctions». Enfin, la monotonie est la méthode la plus courante pour établir des inégalités.

Limite de la dérivée et théorème de Darboux

Pour savoir si une fonction définie par morceaux est dérivable au point de raccord, il est tentant de calculer la limite de $f^{\prime }$ en ce point au lieu du taux d'accroissement. Les accroissements finis justifient ce raccourci, dans un sens seulement.

Démonstration. Pour $x\in ]x_0,x_0+\delta [$, le théorème des accroissements finis sur $[x_0,x]$ fournit $c_x\in ]x_0,x[$ tel que . Lorsque , on a (gendarmes), donc par composition des limites.

Ainsi, pour $f(x)=x^2$ si $x\le 1$ et $f(x)=2x-1$ si $x>1$ (question 7.2), $f$ est continue et vaut à gauche, à droite: les deux limites valent , donc sans calcul de taux d'accroissement. De même, prolongée par en a pour dérivée : demi-tangente verticale à l'origine (exemple 8.8).

L'exemple $x^2\sin (1/x)$ montre qu'une dérivée n'est pas toujours continue. Elle garde pourtant la propriété des valeurs intermédiaires, ce qui interdit en particulier les discontinuités de saut.

Démonstration. Supposons $f^{\prime }(a)<k<f^{\prime }(b)$ (sinon on remplace $f$ par $-f$ et $k$ par $-k$) et posons , continue sur . Comme , le taux est strictement négatif pour assez petit, donc : le minimum de n'est pas atteint en . De même donne pour petit: il n'est pas atteint en . Par le théorème de Weierstrass, atteint son minimum sur en un point intérieur, et le théorème de Fermat donne , soit .

Conséquence: la fonction signe, qui prend les valeurs $-1$, $0$ et $1$ sur $[-1,1]$ mais jamais $\frac{1}{2}$, n'est la dérivée d'aucune fonction sur cet intervalle.

Le théorème des accroissements finis généralisé

Démonstration. Si l'on avait $g(a)=g(b)$, le théorème de Rolle donnerait un zéro de $g^{\prime }$, exclu par hypothèse. Posons $\phi (x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]$. Cette fonction est continue sur , dérivable sur , et un calcul direct montre . Rolle fournit avec , soit ; on divise par .

Pour $g(x)=x$ on retrouve (8.1). Géométriquement, si $t\mapsto (g(t),f(t))$ décrit une courbe paramétrée du plan, la formule affirme qu'en un point de la courbe la tangente est parallèle à la corde joignant les extrémités. Ce théorème est l'ingrédient de la règle de l'Hospital.

La règle de l'Hospital

Énoncé

Démonstration (cas $0/0$, $a$ fini, limite à droite). Prolongeons $f$ et $g$ en $a$ par $f(a)=g(a)=0$: elles deviennent continues sur $[a,x]$ pour tout $x>a$ dans . Le théorème de Cauchy (théorème 8.8, relation (8.3)) sur fournit tel que

Lorsque $x\to a^{+}$, on a $a<c_x<x$, donc $c_x\to a^{+}$ par le théorème des gendarmes, et le quotient tend vers par hypothèse. Le cas est symétrique, le cas se ramène au cas fini par le changement de variable , et le cas demande un argument plus technique que nous admettons.

Exemples

Convexité

Définition et caractérisations

Lorsque $t$ parcourt $[0,1]$, le point $(1-t)a+tb$ parcourt $[a,b]$ et le membre de droite de (8.5) est l'ordonnée de la corde: la définition dit exactement que l'arc de courbe est sous le segment. Les fonctions $x^2$, ${\mathrm{e}}^x$, sont convexes sur ; et sont concaves sur . Pour les fonctions dérivables, la convexité se lit sur la dérivée.

Démonstration de (2) $⟹$ (1). Supposons $f^{\prime }$ croissante (ce qui est le cas si $f^{\prime \prime }\ge 0$, par le théorème 8.5). Soient $a<b$ dans $I$, $t\in ]0,1[$ et . Le théorème des accroissements finis sur et sur fournit et tels que

Comme $c_1<c_2$ et $f^{\prime }$ croît, $f^{\prime }(c_1)\le f^{\prime }(c_2)$. Or et , donc

En multipliant par $t(1-t)>0$ et en réordonnant: $(1-t)f(x)+tf(x)\le (1-t)f(a)+tf(b)$, c'est-à-dire (8.5).

Comme pour le théorème de Fermat, la condition $f^{\prime \prime }(x_0)=0$ n'est pas suffisante: $x\mapsto x^4$ vérifie $f^{\prime \prime }(0)=0$ mais reste convexe, sans inflexion. On vérifie toujours le changement de signe.

Nature d'un point critique: le critère de la dérivée seconde

Le théorème de Fermat dresse la liste des candidats; la dérivée seconde permet souvent de trancher sans tableau de signes.

Démonstration. 1. Comme $f^{\prime }(x_0)=0$,

Il existe donc $\delta >0$ tel que ce quotient soit strictement positif pour $0<|x-x_0|<\delta$: $f^{\prime }$ est strictement négative sur $]x_0-\delta ,x_0[$ et strictement positive sur . Par le théorème 8.5, est strictement décroissante sur et strictement croissante sur pour tout , d'où pour . Le cas s'obtient en remplaçant par .

2. $f^{\prime }(x_0)=0$ par le théorème de Fermat. Si l'on avait $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, le point 1 ferait de $x_0$ un maximum local strict: pour proche de , ce qui contredit le minimum local. Donc .

3. Par le théorème 8.10 (point 3), le graphe est au-dessus de sa tangente en $x_0$, qui est horizontale: $f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)=f(x_0)$ pour tout .

Lorsque $f^{\prime }(x_0)=0$ et $f^{\prime \prime }(x_0)=0$, le critère ne conclut pas: $x^4$ (minimum), (maximum) et (ni l'un ni l'autre) vérifient tous trois . Le chapitre 9 traitera ces cas par la formule de Taylor, en examinant la première dérivée non nulle. Dans la question 8.1, confirme que est un maximum local de — mais seulement local: le critère ne dit rien du maximum global sur un segment, qui peut être atteint au bord. Dans l'exemple 8.2, sur : est concave, et le point 3 appliqué à montre à nouveau que le point critique est le maximum global.

Inégalité de Jensen et inégalités de moyennes

Démonstration. Le cas à deux points est la définition (8.5) avec $t=1/2$. Le cas général se démontre par récurrence sur $n$ en regroupant les $n-1$ premiers termes: nous l'admettons, le principe étant identique. $\square$

Démonstration. La fonction $\ln$ est strictement concave sur $]0,+\infty [$ puisque $(\ln {)}^{\prime \prime }(x)=-1/x^2<0$. Jensen (renversée) donne $\ln \frac{a+b}{2}\ge \frac{\ln a+\ln b}{2}=\ln \sqrt{ab}$, et l'on conclut par croissance de l'exponentielle. L'égalité dans une inégalité de Jensen stricte n'a lieu que si . Le cas à points s'obtient avec les poids .

L'inégalité arithmético-géométrique donne une seconde solution de l'exemple 8.3: $S=2\pi r^2+\frac{V}{r}+\frac{V}{r}\ge 3\sqrt[3]{2\pi r^2\cdot \frac{V}{r}\cdot \frac{V}{r}}=3\sqrt[3]{2\pi V^2}$, avec égalité lorsque les trois termes sont égaux, soit : on retrouve sans dériver. Signalons aussi l': pour avec et , on a ; elle résulte de la concavité de appliquée à et avec les poids et , et elle est à la base des inégalités de Hölder utilisées en traitement du signal.

La méthode de Newton

Résoudre $f(x)=0$ exactement est rarement possible; la méthode de Newton (ou de Newton–Raphson) remplace la courbe par sa tangente. Partant d'une approximation $x_n$, on calcule l'abscisse $x_{n+1}$ où la tangente en $(x_n,f(x_n))$ coupe l'axe des : de on tire

Nous admettons ce théorème; l'unicité du zéro vient de la stricte monotonie, la monotonie de la suite de la position de la tangente par rapport à une courbe convexe (figure 8.3), et l'estimation quadratique de la formule de Taylor avec reste de Lagrange (chapitre 9, section «Séries de Taylor et séries entières»), avec $K=\max |f^{\prime \prime }|/(2\min |f^{\prime }|)$. Concrètement, le nombre de décimales exactes double à chaque itération.

Étude de fonctions

Tous les outils de ce chapitre convergent vers un même savoir-faire: décrire complètement le comportement d'une fonction et en tracer le graphe.

La famille de fonctions polynomiales de degré 3 rassemble en un seul objet la plupart des phénomènes rencontrés: selon les coefficients, la dérivée a deux racines (un maximum et un minimum), une racine double (point critique sans extremum) ou aucune (fonction strictement croissante), et il y a toujours un unique point d'inflexion, centre de symétrie du graphe. Pour $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$, ce point est $x_i=-a/3$ (racine de ), et un calcul direct donne pour tout : les points du graphe d'abscisses sont symétriques par rapport à . Le discriminant de vaut : le signe de la pente à l'inflexion décide des trois cas.

Synthèse

• Sur un segment, une fonction continue atteint ses extrema aux bords, aux points critiques ($f^{\prime }=0$) ou aux points de non-dérivabilité; on compare les valeurs de $f$ en ces candidats. En un point critique, $f^{\prime \prime }>0$ donne un minimum local strict, $f^{\prime \prime }<0$ un maximum local strict; pour une fonction convexe, tout point critique est un minimum global.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
• Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston.
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill, New York.
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
• L'Hospital, G. de, Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, Paris, 1696 (réédition ACL, 1988).