Séries entières

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer le rayon de convergence d'une série entière par la règle de d'Alembert, par la règle de Cauchy ou par la formule de Hadamard, et étudier la série aux bornes de son intervalle de convergence;
expliquer pourquoi une série entière converge uniformément sur tout segment $[- r, r]$ avec $r < R$ , et en déduire la continuité de sa somme;
dériver et intégrer une série entière terme à terme, en justifiant chaque étape, et utiliser l'unicité des coefficients pour identifier une série entière à une série de Taylor;
établir les développements en série entière de $e^{x}$ , $sin$ , $cos$ , $ln (1 + x)$ , $arctan x$ , $arcsin x$ et $(1 + x)^{α}$ , avec leur domaine de validité, et utiliser le théorème d'Abel au bord;
calculer la somme d'une série entière ou d'une série numérique en la reconnaissant comme dérivée, primitive ou combinaison de séries connues;
chercher la solution d'une équation différentielle linéaire sous forme de série entière (méthode des coefficients indéterminés) et en déterminer le rayon.

Des polynômes de degré infini

Le chapitre 9 s'est terminé sur une question: à $x$ fixé, que se passe-t-il quand l'ordre $n$ d'un polynôme de Taylor tend vers l'infini? Nous y avons rencontré les séries entières (définition 9.5), leur rayon de convergence (théorème 9.6) et quelques développements obtenus par le reste de Lagrange: $e^{x}$ , $sin x$ et $cos x$ sur $R$ (théorème 9.7), $ln (1 + x)$ sur $[0, 1]$ (théorème 9.9). Un résultat essentiel y était : la somme d'une série entière se dérive et s'intègre terme à terme. Ce chapitre le démontre, maintenant que l'intégrale de Riemann (chapitre 10) est à notre disposition, et en tire les conséquences.

Pourquoi tant d'efforts pour des «polynômes de degré infini»? Parce qu'ils sont partout où l'on calcule.

Une calculatrice ou une bibliothèque mathématique évalue $arctan$ , $ln$ ou $exp$ à partir de sommes partielles de séries entières (après une réduction de l'argument qui le rend petit): il faut savoir combien de termes garantissent la précision affichée, et uniformément sur l'intervalle de travail.
Les équations différentielles de la physique dont les solutions ne s'expriment pas avec les fonctions élémentaires (vibrations d'une membrane circulaire, conduction de la chaleur dans un cylindre, optique au voisinage d'une caustique) se résolvent en cherchant la solution sous forme de série entière: on obtient ainsi les fonctions de Bessel et d'Airy.
Une série numérique dont on ne connaît pas la somme, comme $\sum n^{2} / 3^{n}$ ou $\sum (- 1)^{k} / (3 k + 1)$ , se calcule souvent en y reconnaissant la valeur en un point d'une série entière que l'on sait sommer.

Nous travaillons avec une variable réelle $x$ . Tout ce qui concerne la convergence (rayon, lemme d'Abel, formule de Hadamard, convergence uniforme, continuité) vaut mot pour mot pour une variable complexe $z$ , en remplaçant l'intervalle $] - R, R [$ par le disque $∣ z ∣ < R$ : c'est ce qui justifie le nom de disque de convergence. Nous le signalerons au passage.

Rayon de convergence

Séries entières et lemme d'Abel

Le changement de variable $h = x - x_{0}$ ramène toute série entière à une série centrée en $0$ ; c'est le cas que nous traitons, sans perte de généralité. Le point de départ est une observation très simple, qui explique la forme de l'ensemble de convergence.

Démonstration. $∣ a_{k} x^{k} ∣ = ∣ a_{k} ∣ r_{0}^{k} (\frac{∣ x ∣}{r _{0}})^{k} \leq M (\frac{r}{r _{0}})^{k}$ , et est une série géométrique de raison strictement inférieure à (théorème 4.2). Le critère de comparaison (théorème 4.5) donne la convergence absolue.

En particulier, si la série converge en un point $x_{1} \neq = 0$ , son terme général tend vers $0$ (théorème 4.1), donc il est borné, et la série converge absolument sur tout l'intervalle ouvert $] - ∣ x_{1} ∣, ∣ x_{1} ∣ [$ . L'ensemble des points de convergence est donc un intervalle centré en , ce qui justifie la définition suivante, déjà rencontrée au théorème 9.6.

Le théorème 9.6 dit alors tout ce que l'on sait en général: la série converge absolument pour $∣ x ∣ < R$ et diverge grossièrement pour $∣ x ∣ > R$ . En $x = \pm R$ , rien n'est garanti: nous y reviendrons à la section «Au bord de l'intervalle».

La formule de Hadamard

Les règles de d'Alembert et de Cauchy du théorème 9.6 exigent qu'une limite existe. La limite supérieure du chapitre 3 (définition 3.10), qui existe toujours, donne une formule valable pour toute série entière.

Démonstration. Soit $x \neq = 0$ et $u_{k} = ∣ a_{k} x^{k} ∣$ . Alors $k u_{k} = ∣ x ∣ k ∣ a_{k} ∣$ , et multiplier une suite par la constante multiplie sa limite supérieure par (les bornes supérieures de la définition 3.10 sont toutes multipliées par ): . Par la règle de Cauchy avec lim sup (théorème 4.10, point 1): si , la série converge absolument, donc son terme général est borné et ; si , elle diverge grossièrement, donc n'est pas bornée et . Ainsi tout vérifie , et tout vérifie : c'est . Les cas (tout vérifie ) et (tout vérifie ) sont contenus dans cet argument.

La formule porte le nom de Jacques Hadamard, qui la redécouvrit en 1888 et en fit le point de départ de sa thèse (1892); Cauchy l'avait déjà énoncée en 1821 dans son Cours d'analyse, sous une forme moins nette. Quand $∣ a_{k + 1} / a_{k} ∣$ ou $k ∣ a_{k} ∣$ a une limite , on retrouve (théorème 9.6); en pratique, on essaie d'abord la règle de d'Alembert, qui donne les calculs les plus courts, et l'on garde Hadamard pour les cas où aucune limite n'existe.

Question 12.1

Quel est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels la série $k \geq 1 \sum \frac{x ^{k}}{k 2 ^{k}}$ converge?

Question 12.2

Calculez le rayon de convergence de la série entière $k \geq 0 \sum (3 + (- 1)^{k})^{k} x^{k}$ .

Opérations sur les séries entières

Démonstration. 1. Pour $∣ x ∣ < min (R_{a}, R_{b})$ , les deux séries convergent absolument, donc leur somme aussi. Si par exemple $R_{a} < R_{b}$ et , alors diverge et converge: la somme diverge, d'où . 2. Pour , les séries et convergent absolument, et leur produit de Cauchy (définition 4.5) a pour terme général : le théorème 4.17 donne la convergence absolue et la somme . 3. est bornée si et seulement si l'est; pour la seconde série, poser .

Par exemple, $\frac{1}{1 - x}$ et $\frac{1}{1 + x}$ ont des séries de rayon $1$ , et leur demi-somme, $\frac{1}{1 - x ^{2}} = \sum x^{2 k}$ , aussi; et leur demi-différence montre que des coefficients peuvent s'annuler. L'inégalité peut être stricte: et ont un rayon , et leur somme, la série nulle, un rayon infini.

Au bord de l'intervalle de convergence

En $x = R$ et $x = - R$ , une série entière peut converger absolument, converger sans converger absolument, ou diverger: les trois cas se produisent, et indépendamment aux deux bornes. Il n'y a pas d'autre méthode que d'étudier chaque fois la série numérique obtenue, avec les outils du chapitre 4.

Question 12.3

On sait seulement que la série entière $\sum a_{k} x^{k}$ converge en $x = 3$ et diverge en $x = - 4$ . Que peut-on affirmer sur son rayon $R$ ?

Convergence uniforme sur les segments et continuité de la somme

Convergence uniforme et convergence normale

La somme $S$ d'une série entière est la limite, point par point, des polynômes $S_{N}$ . Une limite de fonctions continues n'a aucune raison d'être continue en général: les fonctions $x \mapsto x^{n}$ sont continues sur $[0, 1]$ , mais leur limite vaut $0$ sur $[0, 1 [$ et en . Ce qui manque est un contrôle de l'erreur . La théorie générale des suites et séries de fonctions relève d'Analyse III; nous n'en retenons que les deux notions dont les séries entières ont besoin.

La convergence uniforme dit que le même rang $N$ garantit une précision donnée en tout point de $A$ . La convergence normale en est la forme la plus commode à vérifier, car elle l'entraîne: en tout point $x \in A$ , la série $\sum u_{k} (x)$ converge absolument par comparaison, et

∣ S (x) - S_{N} (x)∣ = k > N \sum u_{k} (x) \leq k > N \sum M_{k},

majoration indépendante de $x$ qui tend vers $0$ , reste d'une série convergente.

Démonstration. Pour $∣ x ∣ \leq r$ , $∣ a_{k} x^{k} ∣ \leq ∣ a_{k} ∣ r^{k} = M_{k}$ , et converge: c'est la série entière elle-même au point , où elle converge absolument (théorème 9.6). La définition 12.3 et la majoration qui la suit donnent (12.2).

Continuité de la somme

Démonstration. Soit $x_{0} \in] - R, R [$ et $r$ tel que $∣ x_{0} ∣ < r < R$ . Soit . Par (12.2), il existe tel que pour . Le polynôme est continu en : il existe , que l'on choisit aussi tel que , avec pour . Pour de tels ,

∣ S (x) - S (x_{0})∣ \leq ∣ S (x) - S_{N} (x)∣ + ∣ S_{N} (x) - S_{N} (x_{0})∣ + ∣ S_{N} (x_{0}) - S (x_{0})∣ \leq \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} + \frac{ε}{3} = ε .

C'est la continuité de $S$ en $x_{0}$ . $□$

L'argument «en $ε /3$ » est le cœur de la démonstration: c'est l'uniformité qui permet d'utiliser le même $N$ en $x$ et en $x_{0}$ . Une application immédiate: pour $x \neq = 0$ , $\frac{e ^{x} - 1}{x} = \sum_{k \geq 1} \frac{x ^{k - 1}}{k !} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x ^{2}}{6} + \dots$ , série entière de rayon infini, dont la somme est continue en et y vaut . On retrouve sans dériver.

Explorateur 12.1 · Convergence uniforme d'une série entière sur

[- r, r]

Choisissez une série de rayon $1$ , le degré $N$ de la somme partielle $S_{N}$ et le demi-côté $r$ du segment grisé. Sur $[- r, r]$ , l'écart maximal entre la somme et $S_{N}$ reste sous la majoration $\sum_{k > N} ∣ a_{k} ∣ r^{k}$ et tend vers $0$ quand $N$ augmente; rapprochez $r$ de $1$ pour voir le nombre de termes nécessaire exploser. Au bord $x = 1$ , la série géométrique diverge, tandis que celles de $ln (1 + x)$ et de $arctan x$ convergent, lentement, vers $ln 2$ et $π /4$ (théorème d'Abel).

Série1/(1 − x)

Degré N6

Demi-côté r0,50

Écart maximal sur

[- r, r]

0,0156

Majoration

\sum_{k > N} ∣ a_{k} ∣ r^{k}

0,0156

Écart en

x = 1

série divergente

Dérivation et intégration terme à terme

Les séries dérivée et primitive ont le même rayon

Démonstration. Notons $R^{'}$ le rayon de la série dérivée $\sum k a_{k} x^{k - 1}$ . Si $∣ x ∣ < R^{'}$ , alors pour : la série converge absolument par comparaison, donc . Réciproquement, soit ; la suite est bornée par un réel , et avec ,

∣ k a_{k} x^{k - 1} ∣ = \frac{k}{r} ∣ a_{k} ∣ r^{k} (\frac{∣ x ∣}{r})^{k - 1} \leq \frac{M}{r} k q^{k - 1},

terme général d'une série convergente (dérivée de la série géométrique, théorème 4.13). Donc $R^{'} \geq R$ , et $R^{'} = R$ . Enfin, la série dérivée de la série primitive $\sum a_{k} x^{k + 1} / (k + 1)$ est : la première partie, appliquée à la série primitive, montre qu'elle a le même rayon que .

Intégration terme à terme

Démonstration. La fonction $S$ est continue sur $] - R, R [$ (théorème 12.5), donc intégrable sur le segment d'extrémités $0$ et $x$ (théorème 10.4). Posons $r = ∣ x ∣$ . Par linéarité de l'intégrale, $\int_{0}^{x} S_{N} (t) d t = \sum_{k = 0}^{N} a_{k} \frac{x ^{k + 1}}{k + 1}$ , et par les points 3 et 4 du théorème 10.6,

\int_{0}^{x} S (t) d t - k = 0 \sum N a_{k} \frac{x ^{k + 1}}{k + 1} = \int_{0}^{x} (S (t) - S_{N} (t)) d t \leq r ∣ t ∣ \leq r sup ∣ S (t) - S_{N} (t)∣ .

Le membre de droite tend vers $0$ quand $N \to \infty$ , par (12.2): les sommes partielles de la série primitive convergent vers $\int_{0}^{x} S$ . Le rayon est donné par le lemme 12.6. $□$

Remarquez où sert l'uniformité: l'intégrale porte sur tous les $t$ entre $0$ et $x$ à la fois, et c'est le supremum de l'erreur sur ce segment qui doit tendre vers $0$ .

Dérivation terme à terme

Démonstration. Notons $T (x) = \sum_{k \geq 1} k a_{k} x^{k - 1}$ la somme de la série dérivée, qui a le rayon $R$ (lemme 12.6). Appliquons le théorème 12.7 à cette série: pour $∣ x ∣ < R$ ,

\int_{0}^{x} T (t) d t = k \geq 1 \sum k a_{k} \frac{x ^{k}}{k} = k \geq 1 \sum a_{k} x^{k} = S (x) - a_{0} .

La fonction $T$ est continue sur $] - R, R [$ (théorème 12.5), donc, par le théorème fondamental de l'analyse (théorème 10.11), $x \mapsto \int_{0}^{x} T$ est dérivable, de dérivée $T$ . Ainsi $S = a_{0} + \int_{0}^{x} T$ est dérivable et . On recommence avec , qui est elle-même la somme d'une série entière de rayon .

C'est le résultat admis au chapitre 9 (callout «Dérivation et intégration terme à terme») et utilisé en probabilités pour les fonctions génératrices. Il redonne en une ligne la formule (4.5) du chapitre 4: en dérivant $\sum_{k \geq 0} x^{k} = \frac{1}{1 - x}$ sur $] - 1, 1 [$ , on obtient .

Unicité des coefficients et séries de Taylor

Démonstration. En dérivant $j$ fois terme à terme (théorème 12.8), $S^{(j)} (x) = \sum_{k \geq j} k (k - 1) \dots (k - j + 1) a_{k} x^{k - j}$ ; en , seul le terme subsiste: . Pour la seconde affirmation, la série a une somme nulle sur ; ses dérivées en sont donc toutes nulles, et ses coefficients aussi.

L'unicité justifie la méthode d'identification: si l'on obtient une même fonction comme somme de deux séries entières, par deux chemins différents, on peut égaler les coefficients un à un. Elle donne aussi la parité: si $S$ est paire, la série $\sum a_{k} (- x)^{k}$ a la même somme, donc $a_{k} = (- 1)^{k} a_{k}$ , et les coefficients d'indice impair sont nuls.

D'après le théorème 12.9, si $f$ est développable en série entière, elle est de classe $C^{\infty}$ et la série est nécessairement sa série de Taylor: il n'y a qu'un seul candidat. Toute la question est donc de savoir si la série de Taylor d'une fonction $C^{\infty}$ converge, et si elle converge vers $f$ . L'exemple suivant montre que la seconde condition n'est pas automatique.

Pour prouver qu'une fonction $C^{\infty}$ est développable, on dispose donc de deux voies: montrer que le reste de Taylor tend vers $0$ (reste de Lagrange comme au chapitre 9, ou reste intégral du théorème 11.3), ou, plus souvent, construire une série entière dont on sait qu'elle a $f$ pour somme, par les opérations, la dérivation et l'intégration terme à terme. C'est l'objet de la section suivante.

Développements en série entière des fonctions usuelles

Exponentielle, sinus, cosinus

Le théorème 9.7 a établi, par le reste de Lagrange, que

e^{x} = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{k}}{k !}, cosh x = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!}, sinh x = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}, cos x = k = 0 \sum \infty (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!}, sin x = k = 0 \sum \infty (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}

pour tout réel $x$ (rayon infini; $cosh$ et $sinh$ sont les parties paire et impaire de l'exponentielle). La dérivation terme à terme en donne une seconde lecture: la série $E (x) = \sum x^{k} / k!$ vérifie $E^{'} = E$ (dériver donne ) et . Si est une autre fonction dérivable avec et , la dérivée de est nulle, donc (théorème 8.5). L'exponentielle est solution du problème , , et la série entière la fournit. Cette idée — trouver une équation différentielle satisfaite par la série, puis conclure par unicité — est le fil des deux théorèmes suivants.

Logarithme et arc tangente, par intégration

Démonstration. Pour $∣ t ∣ < 1$ , la série géométrique donne $\frac{1}{1 + t} = \sum_{k \geq 0} (- 1)^{k} t^{k}$ et (avec ), séries de rayon . Comme et (théorème fondamental, les deux fonctions s'annulant en ), l'intégration terme à terme (théorème 12.7) donne les deux développements, avec le même rayon . La série de s'obtient en remplaçant par , et celle de est la demi-somme des séries de et de , dans laquelle les termes d'indice pair s'annulent.

Ce théorème comble la lacune signalée après le théorème 9.9: le reste de Lagrange ne permettait pas de traiter $- 1 < x < 0$ , l'intégration terme à terme le fait sans effort. Il fournit aussi des moyens de calcul. La série de $ln 2 = \sum (- 1)^{k + 1} / k$ converge très lentement (mille termes laissent une erreur de $5, 0 \cdot 1 0^{- 4}$ ), mais , puisque :

ln 2 = 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3 ^{3}} + \frac{1}{5 \cdot 3 ^{5}} + \frac{1}{7 \cdot 3 ^{7}} + \dots),

dont six termes donnent déjà $0, 69314707$ , à $1, 1 \cdot 1 0^{- 7}$ près ( $ln 2 = 0, 69314718$ ).

La série du binôme

Démonstration. Si $α \in N$ , les coefficients $(k α)$ sont nuls pour $k > α$ , et l'on reconnaît la formule du binôme. Sinon, aucun coefficient n'est nul et

(k + 1 α) / (k α) = \frac{∣ α - k ∣}{k + 1} k \to \infty 1,

donc $R = 1$ . Notons $S$ la somme sur $] - 1, 1 [$ , et $c_{k} = (k α)$ , de sorte que . Par dérivation terme à terme, le coefficient de dans vaut

(k + 1) c_{k + 1} + k c_{k} = (α - k) c_{k} + k c_{k} = α c_{k} .

Ainsi $(1 + x) S^{'} (x) = α S (x)$ sur $] - 1, 1 [$ . Posons $g (x) = S (x) (1 + x)^{- α}$ ; alors

g^{'} (x) = (1 + x)^{- α - 1} [(1 + x) S^{'} (x) - α S (x)] = 0,

donc $g$ est constante (théorème 8.5), égale à $g (0) = S (0) = 1$ , et $S (x) = (1 + x)^{α}$ . $□$

Les développements limités de $(1 + x)^{α}$ du chapitre 9 sont donc les sommes partielles d'une série qui converge vers la fonction sur tout $] - 1, 1 [$ . Par exemple $1, 1 \approx 1 + \frac{0 , 1}{2} - \frac{0 , 01}{8} = 1, 04875$ , avec une erreur de , très proche du premier terme négligé .

Fonction	Série entière en $0$	Validité
$e^{x}$	$\sum_{k \geq 0} \frac{x ^{k}}{k !}$

Les bornes fermées de la colonne «Validité» pour $ln (1 + x)$ et $arctan x$ viennent du théorème d'Abel, objet de la section suivante; pour $(1 + x)^{α}$ et $arcsin x$ , le comportement aux bornes dépend de $α$ et s'étudie au cas par cas (exercice 12.5 pour $α = - \frac{1}{2}$ ).

Le théorème d'Abel

Quand une série entière de rayon $R$ converge encore en $x = R$ , sa somme en ce point est-elle la limite de $S (x)$ quand $x \to R^{-}$ ? La réponse est oui, et elle n'a rien d'évident: le théorème 12.5 ne donne la continuité que sur l'intervalle ouvert, et la convergence n'est en général pas uniforme sur $[0, R [$ .

Démonstration. En remplaçant $a_{k}$ par $a_{k} R^{k}$ (et $x$ par $x / R$ ), on se ramène à $R = 1$ . Soit et le reste d'indice , qui tend vers ; posons , de sorte que pour tout . Pour et , une (sommation par parties) donne

k = 0 \sum N a_{k} x^{k} = k = 0 \sum N r_{k - 1} x^{k} - k = 0 \sum N r_{k} x^{k} = s + (x - 1) k = 0 \sum N - 1 r_{k} x^{k} - r_{N} x^{N} .

Quand $N \to \infty$ , $r_{N} x^{N} \to 0$ , et la série $\sum r_{k} x^{k}$ converge (ses coefficients sont bornés, donc son rayon est au moins ). D'où l'identité

S (x) - s = (x - 1) k = 0 \sum \infty r_{k} x^{k} (0 \leq x < 1) . (12.5)

Soit $ε > 0$ et $K$ tel que $∣ r_{k} ∣ \leq ε$ pour $k \geq K$ . En coupant la somme en $K$ et en majorant $\sum_{k \geq K} x^{k}$ par ,

∣ S (x) - s ∣ \leq (1 - x) k = 0 \sum K - 1 ∣ r_{k} ∣ + (1 - x) ε \frac{1}{1 - x} = (1 - x) C_{K} + ε,

où $C_{K} = \sum_{k < K} ∣ r_{k} ∣$ ne dépend pas de $x$ . Pour $x$ assez proche de $1$ , , et .

Niels Henrik Abel (1802–1829) démontra ce théorème en 1826, dans un mémoire sur la série du binôme où il reprochait à ses prédécesseurs d'avoir manipulé des séries divergentes sans précaution. Ses conséquences sont immédiates.

$ln 2$ sans le reste de Lagrange. La série $\sum (- 1)^{k + 1} / k$ converge (Leibniz); par le théorème d'Abel et la continuité de $ln$ en $2$ , sa somme est $lim_{x \to 1^{-}} ln (1 + x) = ln 2$ . Le théorème 9.9 est retrouvé, et la série de est valable sur .

\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots

Cette formule, que l'on attribue à Leibniz (1674) et à Gregory, figurait déjà dans les travaux de l'école du Kerala, au XIVᵉ siècle (Madhava). Elle est inutilisable en pratique: d'après (4.4), mille termes laissent une erreur d'environ $1 0^{- 3}$ sur $π$ . Le problème guidé de ce chapitre montre comment Machin a contourné l'obstacle.

Sommer une série entière

Question 12.4

Calculez la somme $n \geq 1 \sum \frac{n ^{2}}{3 ^{n}}$ .

Séries entières et équations différentielles

L'étude des équations différentielles (existence, unicité, méthodes de résolution) est l'objet d'Analyse II, chapitre 1. Mais les théorèmes 12.8 et 12.9 suffisent déjà à construire des solutions, y compris lorsqu'aucune formule élémentaire n'existe: c'est la méthode des coefficients indéterminés, due pour l'essentiel à Newton et à Euler.

L'étape 4 n'est pas une formalité: la méthode peut produire une série de rayon nul, qui ne définit aucune fonction. L'équation $x^{2} y^{'} = y - x$ , par exemple, n'admet pour solution formelle que $\sum_{k \geq 1} (k - 1)! x^{k}$ , de rayon nul.

Question 12.5

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution de $y^{''} + y = 0$ , $y (0) = 1$ , $y^{'} (0) = 0$ , par une série entière.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Résoudre la récurrence:

a_{2 m} = \frac{( - 1 ) ^{m}}{( 2 m )!}

Utiliser les conditions initiales:

a_{0} = 1

a_{1} = 0

, donc tous les

a_{2 m + 1}

sont nuls

Reconnaître la somme:

y (x) = cos x

Égaler à zéro le coefficient de

x^{k}

(k + 2) (k + 1) a_{k + 2} + a_{k} = 0

Vérifier que le rayon est infini (d'Alembert sur les termes non nuls)

Poser

y = \sum a_{k} x^{k}

et écrire

y^{''} = \sum_{k \geq 0} (k + 2) (k + 1) a_{k + 2} x^{k}

Synthèse

Une série entière $\sum a_{k} x^{k}$ converge absolument pour $∣ x ∣ < R$ et diverge grossièrement pour $∣ x ∣ > R$ , où le rayon $R$ se calcule par d'Alembert ( $∣ a_{k + 1} / a_{k} ∣ \to 1/ R$ ), par Cauchy, ou dans tous les cas par la formule de Hadamard ; aux bornes , tout peut arriver et chaque cas s'étudie comme une série numérique.

Série d'exercices du chapitre 12Exercice 1 sur 5

Question 12.6

Quel est le rayon de convergence de la série $k \geq 0 \sum \frac{x ^{k}}{3 ^{k} ( k + 1 )}$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 12.1 · Rayons de convergence et comportement au bord

Déterminer le rayon de convergence et l'ensemble exact des réels $x$ où chacune des séries suivantes converge.

$k \geq 1 \sum (- 1)^{k} \frac{x ^{k}}{k}$ .

Exercice 12.2 · Calcul de sommes

Montrer que, pour $0 < ∣ x ∣ < 1$ , $n \geq 0 \sum \frac{x ^{2 n}}{2 n + 1} = \frac{1}{2 x} ln \frac{1 + x}{1 - x}$ . En déduire .

Exercice 12.3 · Une intégrale calculée par une série

Montrer que, pour $0 \leq x < 1$ , $\int_{0}^{x} \frac{d t}{1 + t ^{3}} = k \geq 0 \sum (- 1)^{k} \frac{x ^{3 k + 1}}{3 k + 1}$ .

Exercice 12.4 · Une équation différentielle et la gaussienne

On considère l'équation $y^{''} + x y^{'} + y = 0$ .

Chercher les solutions développables en série entière $y = \sum a_{k} x^{k}$ : établir la relation de récurrence entre et , puis déterminer le rayon des séries obtenues.

Exercice 12.5 · Une réciproque du théorème d'Abel pour des coefficients positifs (démonstration)

Soit $\sum a_{k} x^{k}$ une série entière de rayon $1$ , à coefficients positifs $a_{k} \geq 0$ , de somme sur .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne: chapitre consacré aux séries entières et aux séries de Taylor.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill, New York, chap. 3 (formule de Hadamard, sommation par parties) et chap. 8 («Some special functions»: séries entières, théorème d'Abel).
Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston, chap. 23 et 24 («Infinite series», «Uniform convergence and power series»).
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2ᵉ éd., Wiley, New York, chap. 11 («Sequences of functions»: séries entières, dérivation terme à terme, équations différentielles).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles: séries entières, séries de Taylor et applications (fonctions de Bessel).

Objectifs du chapitre

Des polynômes de degré infini

Rayon de convergence

Séries entières et lemme d'Abel

La formule de Hadamard

Opérations sur les séries entières

Au bord de l'intervalle de convergence

Convergence uniforme sur les segments et continuité de la somme

Convergence uniforme et convergence normale

Continuité de la somme

Dérivation et intégration terme à terme

Les séries dérivée et primitive ont le même rayon

Intégration terme à terme

Dérivation terme à terme

Unicité des coefficients et séries de Taylor

Développements en série entière des fonctions usuelles

Exponentielle, sinus, cosinus

Logarithme et arc tangente, par intégration

La série du binôme

Le théorème d'Abel

Sommer une série entière

Séries entières et équations différentielles

Synthèse

Exercices

Références

Une tangente de quatre fois arc tangente

L'identité de Machin

Combien de termes pour arctan(1/5)?

Combien de termes pour arctan(1/239), et le résultat