Formule de Taylor et développements limités

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• écrire le polynôme de Taylor d'une fonction en un point et énoncer les formules de Taylor–Lagrange et de Taylor–Young en distinguant leurs hypothèses;
• majorer l'erreur d'une approximation polynomiale grâce au reste de Lagrange et choisir l'ordre nécessaire pour une précision donnée;
• manipuler la notation $\mathrm{o}(x^n)$ de Landau et connaître par cœur les développements limités des fonctions usuelles en 0;
• calculer un développement limité par somme, produit, quotient, composition, primitivation;
• utiliser les développements limités pour lever des formes indéterminées, trouver des équivalents, situer une courbe par rapport à sa tangente et déterminer ses asymptotes;
• estimer l'erreur commise par une approximation d'ingénieur (petites oscillations, dérivée numérique, méthode de Newton) et montrer, grâce au reste de Lagrange, qu'une fonction usuelle est la somme de sa série de Taylor.

Approcher une fonction par un polynôme

Comment votre calculatrice évalue-t-elle $\sin (0,3)$ ou ${\mathrm{e}}^{1,7}$? Elle ne dispose que des quatre opérations: elle ne peut donc calculer que des polynômes. Toute la question est de savoir par quel polynôme remplacer la fonction, et quelle erreur on commet ce faisant.

Vous avez déjà rencontré la première réponse au chapitre 7: près de $x_0$, une fonction dérivable se confond avec sa tangente,

C'est la linéarisation, que la mécanique utilise sans cesse: pour un pendule de faible amplitude on remplace $\sin \theta$ par $\theta$, ce qui transforme une équation non linéaire en un oscillateur harmonique. Mais la tangente s'écarte vite de la courbe; si l'on veut une meilleure approximation, ou une approximation valable plus loin de $x_0$, il faut «pousser» la linéarisation à l'ordre 2, 3, …, $n$: c'est l'objet de la formule de Taylor.

L'idée est due à Brook Taylor (1715), mais c'est Colin Maclaurin (1742) qui en popularisa le cas $x_0=0$, et Joseph-Louis Lagrange qui donna en 1797 l'expression du reste qui porte son nom, transformant une identité formelle en un véritable outil de majoration d'erreur. Taylor n'était d'ailleurs pas le premier: James Gregory connaissait de tels développements dès 1671, Newton les utilisait, et le mathématicien bâlois Jean Bernoulli avait publié en 1694 une série équivalente, dite série de Bernoulli (Acta Eruditorum).

Formules de Taylor

Polynôme de Taylor

Le choix des coefficients n'a rien d'arbitraire: $T_n$ est l'unique polynôme de degré au plus $n$ qui a les mêmes dérivées que $f$ en $x_0$ jusqu'à l'ordre $n$. En effet, en dérivant $k$ fois $(x-x_0{)}^j$ puis en évaluant en , on obtient si et si , d'où pour . Pour , on retrouve la tangente; pour , la «parabole osculatrice».

Formule de Taylor–Lagrange

Le polynôme de Taylor approche $f$, mais de combien? La réponse généralise le théorème des accroissements finis du chapitre 8.

Démonstration. Fixons $x\ne x_0$ et définissons le nombre $A$ par l'égalité $f(x)=T_n(x)+A\frac{(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}$; il s'agit de montrer que pour un certain . Considérons la fonction auxiliaire de la variable , définie entre et :

Elle est continue sur le segment fermé et dérivable à l'intérieur (par hypothèse sur $f^{(n)}$). On a $g(x)=f(x)-f(x)-0=0$ et $g(x_0)=f(x)-T_n(x)-A\frac{(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}=0$ par définition de . Le théorème de Rolle fournit donc strictement entre et tel que . Or, en dérivant la somme, les termes se «télescopent»:

de sorte qu'il ne subsiste, après sommation de $k=0$ à $n$, que le terme $\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^n$. Ainsi

et $g^{\prime }(c)=0$ donne, puisque $(x-c{)}^n\ne 0$, $A=f^{(n+1)}(c)$.

Pour $n=0$, la formule (9.2) est exactement le théorème des accroissements finis: $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(c)(x-x_0)$. Son intérêt pratique est immédiat: si l'on sait majorer par une constante sur l'intervalle, on contrôle l'erreur:

C'est ce qui explique l'erreur observée dans l'exemple 7.2, où $\sqrt{25,4}$ était approché par la tangente en $25$: avec $n=1$, l'erreur vaut $\frac{h^2}{2}|f^{\prime \prime }(c)|$ avec et , donc au plus ; l'erreur réelle est .

Formule de Taylor–Young

La formule de Taylor–Lagrange exige que $f$ soit $n+1$ fois dérivable sur tout un intervalle. Pour étudier le comportement local de $f$ en $x_0$ (limites, tangente, extrema), une hypothèse bien plus faible suffit, au prix d'une information moins précise sur le reste.

Démonstration. On raisonne par récurrence sur $n$. Pour $n=1$, (9.4) n'est autre que la définition de la dérivée: $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+(x-x_0)\epsilon (x)$. Supposons le résultat vrai à l'ordre pour toute fonction, et appliquons-le à , qui vérifie les hypothèses à l'ordre : . Posons ; alors et . Soit ; pour assez proche de , on a pour tout entre et , et le théorème des accroissements finis donne , ce qui est exactement . (On peut aussi conclure en appliquant fois la règle de l'Hospital au quotient , puis la définition de comme limite d'un taux d'accroissement: la règle ne peut pas être appliquée une -ième fois, car n'existe qu'au point .)

Retenez la différence entre les deux formules: Taylor–Lagrange est une formule globale (valable sur tout un intervalle, avec un reste explicite, donc majorable), Taylor–Young une formule locale (valable au voisinage de $x_0$, avec un reste qualitatif). La seconde est celle qui sert au calcul des développements limités.

La notation o de Landau

Par exemple, quand $x\to 0$: $x^3=\mathrm{o}(x^2)$, $x^2=\mathrm{o}(x)$, $x\ln x=\mathrm{o}(1)$ (quand ); quand : , . Écrire signifie donc «un terme qui tend vers 0 plus vite que », et «un terme au plus de la taille de »: par exemple et en . Tout est un . Les règles de calcul suivantes, toutes immédiates à partir de la définition, sont utilisées sans cesse (au voisinage de , avec ):

Développements limités

Définition et premières propriétés

La formule de Taylor–Young affirme précisément qu'une fonction $n$ fois dérivable en $0$ admet un ${\mathrm{DL}}_n(0)$, dont la partie régulière est le polynôme de Taylor. La réciproque est fausse dès l'ordre 2: la fonction $f(x)=x^3\sin (1/x)$, prolongée par $f(0)=0$, vérifie , donc admet un , mais elle n'est pas deux fois dérivable en . La notion de développement limité est donc plus souple que celle de polynôme de Taylor: elle ne fait intervenir que le comportement de au voisinage du point, et se calcule le plus souvent .

Démonstration. Supposons $f(x)=P(x)+\mathrm{o}(x^n)=Q(x)+\mathrm{o}(x^n)$ avec $P$ et $Q$ de degré au plus . Alors est un polynôme de degré au plus qui vérifie . Si n'est pas nul, notons l'indice de son premier coefficient non nul: avec . Alors quand , alors que . Contradiction; donc et .

Trois conséquences pratiques découlent de l'unicité.

• Troncature. Si $f$ admet un ${\mathrm{DL}}_n(0)$ de partie régulière $P$, elle admet pour tout $m\le n$ un ${\mathrm{DL}}_m(0)$, dont la partie régulière s'obtient en supprimant dans $P$ les termes de degré supérieur à (ils sont tous ).

Développements limités des fonctions usuelles

Les développements ci-dessous, obtenus par la formule de Taylor–Young, sont à connaître par cœur; ils forment la «table de multiplication» du chapitre. Tous sont pris en $0$; on note $\alpha \in \mathbb{R}$.

Justifications. Pour ${\mathrm{e}}^x$, toutes les dérivées valent $1$ en $0$. Pour $\sin$ et $\cos$, on a vu à l'exemple 9.1 que les dérivées en $0$ valent cycliquement $0,1,0,-1$ (resp. $1,0,-1,0$); les fonctions hyperboliques s'obtiennent de même sans alternance de signe. Pour , la dérivée -ième est , qui vaut en ; divisée par , elle donne . Pour , la dérivée -ième est ; le cas donne et redonne . Le développement de est même exact à un reste explicite près: (somme géométrique), et . Celui de s'obtient en primitivant celui de (théorème 9.4 ci-dessous); de même, celui de s'obtient en primitivant (table avec et ). Celui de vient de la division de par (exemple 9.5), et celui de du même calcul, mené avec les développements de et : , puis pour et pour .

Remarquez que l'ordre du reste tient compte de la parité: comme le coefficient de $x^{2p+2}$ dans $\sin x$ est nul, écrire $\mathrm{o}(x^{2p+2})$ plutôt que $\mathrm{o}(x^{2p+1})$ est gratuit et parfois décisif.

Développement en un point quelconque

Pour développer $f$ au voisinage de $x_0\ne 0$, on pose $x=x_0+h$ et l'on développe la fonction $h\mapsto f(x_0+h)$ en ; le résultat s'écrit en puissances de . Par exemple, pour en :

De même $\sin x$ en $x_0=\pi /4$: $\sin (\pi /4+h)=\sin \frac{\pi }{4}\cos h+\cos \frac{\pi }{4}\sin h=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+h-\frac{h^2}{2}-\frac{h^3}{6}\right)+\mathrm{o}(h^3)$. On ne développe un en selon les puissances de : la variable naturelle est .

Opérations sur les développements limités

La force des développements limités est qu'ils se calculent algébriquement, à partir de la table, presque sans dériver. Dans tout ce qui suit, $f$ et $g$ admettent des ${\mathrm{DL}}_n(0)$ de parties régulières $P$ et $Q$.

Démonstration (des points 1, 2 et 4). La somme est immédiate par (9.5). Pour le produit, $fg=(P+\mathrm{o}(x^n))(Q+\mathrm{o}(x^n))=PQ+P\mathrm{o}(x^n)+Q\mathrm{o}(x^n)+\mathrm{o}(x^{2n})$; comme et sont bornées près de , les trois derniers termes sont , et les monômes de de degré supérieur à le sont aussi. Pour la composition, , donc ; or donne , si bien que ; enfin se développe par le point 2 et se tronque au degré . Le quotient se ramène au produit par , lui-même une composition avec . La primitivation se démontre avec le théorème des accroissements finis appliqué à moins un polynôme, exactement comme la formule de Taylor–Young, et la dérivation s'en déduit par unicité: ces deux preuves font l'objet de l'exercice 9.5.

Applications

Calcul de limites

Un développement limité remplace, au voisinage d'un point, une expression compliquée par un polynôme: c'est l'outil le plus efficace pour lever les formes indéterminées, souvent plus rapide et plus sûr que la règle de l'Hospital, qui exige de dériver un quotient autant de fois que nécessaire.

Équivalents

Un développement limité fournit immédiatement un équivalent: le premier terme non nul de la partie régulière. Ainsi, en $0$:

Les équivalents se multiplient, se divisent et s'élèvent à une puissance fixe: si $f\sim g$ et $u\sim v$, alors $fu\sim gv$ et $f/u\sim g/v$. Ils se substituent dans une limite (si $f\sim g$ et , alors ). En revanche:

Position d'une courbe par rapport à sa tangente

Supposons que $f$ admette en $x_0$ un développement limité

où $a_p{h}^p$ est le premier terme non nul après le terme linéaire. La droite $y=a_0+a_{1}h$ est la tangente en , et la différence a, pour petit, le signe de . Deux cas se présentent (figure 9.3).

• Si $p$ est pair, $h^p>0$ des deux côtés: la courbe est localement au-dessus de sa tangente si $a_p>0$, en dessous si $a_p<0$. Lorsque de plus (tangente horizontale), est un strict: minimum si , maximum si .

Le cas $a_1=0$ mérite un énoncé en termes de dérivées. Il prolonge le critère de la dérivée seconde (théorème 8.11), qui est le cas $p=2$ et reste muet lorsque $f^{\prime \prime }(x_0)=0$.

Démonstration. Par Taylor–Young (théorème 9.2), $f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}{h}^p+h^p\epsilon (h)=h^p\left(\frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}+\epsilon (h)\right)$ avec . Il existe donc tel que, pour , la parenthèse a le signe de . Si est pair, et a le signe strict de de part et d'autre de . Si est impair, change de signe avec , et prend les deux signes aussi près de que l'on veut.

Asymptotes et développements asymptotiques

Les développements limités en $0$ renseignent aussi sur le comportement en $\pm \infty$, grâce au changement de variable $u=1/x$, qui tend vers $0$. Si l'on obtient

alors la droite $y=ax+b$ est asymptote à la courbe en $+\infty$ (car $f(x)-ax-b\to 0$), et le signe de $c/x$ donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote. Un tel développement, en puissances de $1/x$, s'appelle un .

Approximations en ingénierie

Un ingénieur remplace constamment une fonction par les premiers termes de son développement; la formule de Taylor lui dit jusqu'où cette simplification est légitime.

Séries de Taylor et séries entières

Un développement limité est une information locale, à ordre fixé. On peut poser la question inverse: à $x$ fixé, que se passe-t-il quand l'ordre $n$ tend vers l'infini? Les polynômes de Taylor deviennent alors les sommes partielles d'une série, et le reste de Lagrange est l'outil qui dit si cette série converge vers la fonction. Cette section en donne les premiers résultats; le chapitre 12 reprend l'étude des séries entières de façon systématique, une fois l'intégrale de Riemann disponible.

Séries entières et rayon de convergence

Démonstration. 1. Si $|x|<R$, choisissons $r$ avec $|x|<r<R$ et $(|a_k|r^k)$ bornée par un réel (un tel existe par définition de la borne supérieure). Alors avec : la série converge absolument par comparaison avec une série géométrique (chapitre 4). Si , la suite n'est pas bornée, donc ne tend pas vers : divergence grossière. 2. Pour , . Si , le critère de d'Alembert (chapitre 4) donne la convergence absolue, donc des termes bornés, donc . Si , les termes finissent par croître et ne tendent pas vers , donc d'après le point 1. Ainsi . L'argument est identique avec le critère de Cauchy.

Par exemple, $\sum x^k/k!$ a un rayon infini ($|a_{k+1}/a_k|=1/(k+1)\to 0$), tandis que et ont un rayon . En , le théorème ne dit rien: chaque cas s'étudie à part.

Séries de Taylor des fonctions usuelles

Une fonction $C^{\infty }$ n'est pas toujours la somme de sa série de Taylor: la question est de savoir si le reste $R_n(x)=f(x)-T_n(x)$ tend vers $0$ quand . Le reste de Lagrange permet de le décider pour les fonctions usuelles.

Démonstration. Pour $\sin$ et $\cos$, toutes les dérivées sont bornées par $M=1$; pour $\exp$ sur l'intervalle entre $0$ et $x$, par $M={\mathrm{e}}^{|x|}$. La majoration (9.3) donne dans les trois cas $|R_n(x)|\le M\frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}$. Or est le terme général de la série convergente , donc tend vers . Ainsi .

Pour l'exponentielle, ce résultat confirme la cohérence de la définition du chapitre 6, où $\exp$ était définie par cette série: la fonction ainsi définie est bien la somme de sa propre série de Taylor. On en tire par exemple ${\mathrm{e}}^2={\sum }_{n\ge 0}{2}^n/n!\approx 7,389056$, la somme annoncée au chapitre 4 (la somme partielle d'indice $10$ vaut déjà ). En remplaçant formellement par dans la série de et en séparant les termes pairs et impairs, on retrouve les séries de et de : c'est l'origine de la formule d'Euler du chapitre 2.

Démonstration. Soit $n$ un entier avec $n+1>\beta$. Pour $x>0$, tous les termes de la série de ${\mathrm{e}}^x$ sont positifs, donc ${\mathrm{e}}^x\ge \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$, et . Pour la deuxième limite, posons : par la première avec . Pour la troisième, posons : .

Ce sont les limites (5.3) admises au chapitre 5.

Démonstration. La dérivée $(n+1)$-ième de $f(t)=\ln (1+t)$ est $f^{(n+1)}(t)=\frac{(-1{)}^{n}n!}{(1+t{)}^{n+1}}$. Pour , la formule de Taylor–Lagrange fournit tel que

puisque $x\le 1$ et $1+c>1$. Donc $R_n(x)\to 0$. $\square$

Ceci démontre la valeur $\ln 2$ admise au chapitre 4 pour la série harmonique alternée. La convergence est lente: la borne $1/(n+1)$ est réaliste, puisque la somme partielle d'indice $1000$ diffère de $\ln 2$ de $5,0\cdot 10^{-4}$. Pour $-1<x<0$, la même égalité est vraie, mais le reste de Lagrange ne suffit plus à la démontrer ( peut être proche de ); le reste intégral du chapitre 11 (théorème 11.3) ou l'intégration terme à terme de permettent de conclure (chapitre 12, théorème 12.10). Pour , le terme général ne tend pas vers : le rayon de convergence vaut , ce que montrait la figure 9.2.

Une application numérique: la méthode de Newton

Synthèse

• Le polynôme de Taylor $T_n(x)={\sum }_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k$ est l'unique polynôme de degré ayant les mêmes dérivées que en jusqu'à l'ordre .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
• Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston, chap. 20 («Approximation by polynomial functions»).
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
• Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Topologie et éléments d'analyse, Masson, Paris.
• Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2ᵉ éd., Wiley, New York, chap. 7 («Polynomial approximations to functions»).