Séries numériques

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir une série numérique, ses sommes partielles, sa somme et son reste, et distinguer la nature d'une série de sa somme;
reconnaître et sommer une série géométrique ou télescopique, et appliquer la condition nécessaire $u_{n} \to 0$ ;
étudier une série à termes positifs à l'aide des critères de comparaison, des séries de Riemann, de d'Alembert et de Cauchy;
démontrer qu'une série absolument convergente converge et appliquer le critère de Leibniz aux séries alternées, avec une majoration du reste;
déterminer, pour une série dépendant d'un paramètre, les valeurs de convergence absolue, de semi-convergence et de divergence, en traitant séparément les cas frontières;
calculer des sommes explicites (géométriques dérivées, télescopiques, développements décimaux périodiques);
majorer l'erreur commise en tronquant une série, et en déduire par exemple l'irrationalité de $e$ .

Sommes infinies: définitions

Peut-on additionner une infinité de nombres? Zénon d'Élée s'en inquiétait déjà: pour traverser un stade, Achille doit d'abord en parcourir la moitié, puis la moitié du reste, puis encore la moitié, et ainsi de suite; il effectue donc une infinité d'étapes. Pourtant il arrive. La résolution moderne de ce paradoxe tient en une phrase: la somme $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ vaut exactement , au sens précis que nous allons donner. Le sujet a une longue histoire suisse: Jacques Bernoulli (1655–1705), à Bâle, a consacré aux séries cinq dissertations (1689–1704), où il publie la divergence de la série harmonique, démontrée par son frère Jean Bernoulli (Nicole Oresme, vers 1350, et Pietro Mengoli, en 1650, la connaissaient déjà), et pose la question de la somme . L'élève de Jean, Leonhard Euler, a calculé en 1735 cette somme, , résolvant le «problème de Bâle» que Jacques Bernoulli avait laissé ouvert.

Pour un ingénieur, les séries sont partout: le comportement d'un filtre numérique est une somme infinie de réponses retardées, la valeur d'une rente perpétuelle est une somme infinie d'annuités actualisées, et les fonctions usuelles ( $exp$ , $sin$ , $ln$ ) se calculent en machine par des approximations polynomiales (séries tronquées ou polynômes optimisés, après réduction de l'argument) dont il faut contrôler l'erreur (chapitre 9).

Deux remarques d'usage. D'abord, la nature d'une série (convergente ou divergente) est une question qualitative, souvent facile; le calcul de sa somme est une question quantitative, souvent difficile, voire impossible en termes de fonctions usuelles. Ce chapitre est d'abord consacré à la première question. Ensuite, la nature d'une série ne dépend pas de ses premiers termes: modifier ou supprimer un nombre fini de termes peut changer la somme, pas la nature. On écrira donc souvent $\sum u_{n}$ sans préciser l'indice de départ lorsque seule la nature est en jeu.

La condition nécessaire

Si la série converge, ses termes doivent devenir négligeables: c'est intuitif, et la démonstration tient en une ligne.

Démonstration. Pour $n \geq 1$ , on a $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ . Si la série converge vers $S$ , alors et (chapitre 3), donc .

La série géométrique

Démonstration. Si $x = 1$ , $S_{N} = N + 1 \to + \infty$ . Si $x \neq = 1$ , l'identité $(1 - x) (1 + x + \dots + x^{N}) = 1 - x^{N + 1}$ (qui se vérifie en développant: tous les termes se télescopent) donne

S_{N} = \frac{1 - x ^{N + 1}}{1 - x} .

Si $∣ x ∣ < 1$ , $x^{N + 1} \to 0$ (chapitre 3) et $S_{N} \to \frac{1}{1 - x}$ ; le reste vaut . Si et , ne tend pas vers , donc n'a pas de limite finie; d'ailleurs et la série diverge grossièrement.

Le cas $x = \frac{1}{2}$ est celui d'Achille: $\sum_{n \geq 1} 2^{- n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ . La figure 4.1 en donne la preuve «sans mots»: on découpe le carré unité en deux, puis l'une des moitiés en deux, et ainsi de suite; après étapes, il manque un rectangle d'aire , qui tend vers .

Séries télescopiques

Démonstration. La somme partielle se simplifie en cascade: $S_{N} = (a_{1} - a_{0}) + (a_{2} - a_{1}) + \dots + (a_{N + 1} - a_{N}) = a_{N + 1} - a_{0}$ . Elle converge si et seulement si converge.

L'exemple type est $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ( n + 1 )}$ : la décomposition $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ donne . Remarquez que la même proposition montre que diverge bien que son terme général, égal à , tende vers : encore un contre-exemple à la réciproque du théorème 4.1.

Enfin, les séries se combinent linéairement: si $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ convergent, alors $\sum (λ u_{n} + μ v_{n})$ converge et sa somme vaut (c'est la linéarité des limites appliquée aux sommes partielles). En revanche, la somme d'une série convergente et d'une série divergente diverge, et la somme de deux séries divergentes peut converger ( et ).

Question 4.1

Parmi les séries suivantes, laquelle diverge grossièrement (son terme général ne tend pas vers $0$ )?

Séries à termes positifs

Lorsque tous les termes sont positifs ou nuls, la suite des sommes partielles est croissante, et tout devient plus simple: il n'y a que deux comportements possibles.

Démonstration. $S_{N + 1} - S_{N} = u_{N + 1} \geq 0$ , donc $(S_{N})$ est croissante. Une suite croissante converge si et seulement si elle est majorée (théorème de la limite monotone, chapitre 3, conséquence de l'axiome de la borne supérieure du chapitre 1); sinon elle tend vers .

Comparaison

Démonstration. Quitte à supprimer un nombre fini de termes, on suppose $0 \leq u_{n} \leq v_{n}$ pour tout $n$ . Notons $S_{N}$ et $T_{N}$ les sommes partielles. Alors pour tout . Si converge, est majorée par sa somme , donc est majorée par et converge d'après le théorème 4.4; on a de plus . L'assertion 2 est la contraposée de l'assertion 1.

Pour les équivalents: si $u_{n} / v_{n} \to 1$ , il existe un rang à partir duquel $\frac{1}{2} \leq u_{n} / v_{n} \leq 2$ , soit . La convergence de entraîne celle de donc de ; celle de entraîne celle de donc de . Enfin, si , il existe tel que à partir d'un certain rang, et l'on applique l'assertion 1 à .

Pour appliquer ce critère, il faut disposer d'une réserve de séries de référence. La série géométrique en est une; les séries de Riemann en sont la seconde, et la plus importante.

Séries de Riemann

Démonstration. Si $p \leq 0$ , le terme général ne tend pas vers $0$ : divergence grossière. Supposons $0 < p \leq 1$ ; alors $1/ n^{p} \geq 1/ n$ , et par comparaison il suffit de prouver la divergence de la série harmonique. Suivons l'idée de Nicole Oresme (vers 1350): on regroupe les termes par paquets de longueur $1, 1, 2, 4, 8, \dots$

H_{2^{k}} = 1 + \frac{1}{2} + \geq 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + \geq 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}) + \dots + \geq 2^{k - 1} \cdot \frac{1}{2 ^{k}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 ^{k - 1} + 1} + \dots + \frac{1}{2 ^{k}}) .

Chaque paquet contient $2^{j - 1}$ termes tous supérieurs ou égaux au dernier, $1/ 2^{j}$ ; il vaut donc au moins $\frac{1}{2}$ . Ainsi $H_{2^{k}} \geq 1 + \frac{k}{2}$ , et la suite croissante n'est pas majorée: elle tend vers .

Supposons maintenant $p > 1$ et regroupons de la même façon, mais en majorant chaque paquet par son premier terme:

S_{2^{k} - 1} = 1 + \leq 2 \cdot 2^{- p} (\frac{1}{2 ^{p}} + \frac{1}{3 ^{p}}) + \leq 4 \cdot 4^{- p} (\frac{1}{4 ^{p}} + \dots + \frac{1}{7 ^{p}}) + \dots \leq j = 0 \sum k - 1 2^{j} \cdot 2^{- j p} = j = 0 \sum k - 1 (2^{1 - p})^{j} .

Comme $p > 1$ , la raison $q = 2^{1 - p}$ vérifie $0 < q < 1$ , et la somme géométrique est majorée par $\frac{1}{1 - q}$ . Les sommes partielles sont donc majorées, et comme est croissante, toutes les sommes partielles le sont ( dès que ). La série converge par le théorème 4.4.

Pour $p > 1$ , on note $ζ (p) = \sum_{n \geq 1} 1/ n^{p}$ la somme de la série de Riemann (fonction zêta de Riemann): ainsi $ζ (2) = π^{2} /6$ , résultat d'Euler admis ici.

La figure 4.2 illustre le contraste: $\sum 1/ n$ s'échappe vers l'infini, mais si lentement que $H_{50} \approx 4, 50$ seulement, tandis que $\sum 1/ n^{2}$ s'accumule sous $π^{2} /6 \approx 1, 645$ . Le même contraste s'observe géométriquement en comparant la série avec une intégrale (figure 4.3): les rectangles de hauteur dominent l'aire sous , qui est infinie; ceux de hauteur sont dominés par l'aire sous , qui est finie.

Ce théorème sera démontré au chapitre 11 (théorème 11.11), une fois définies l'intégrale et les intégrales impropres; la figure 4.3 en contient toute l'idée: comme $f$ est décroissante, $f (n + 1) \leq \int_{n}^{n + 1} f (x) d x \leq f (n)$ . Pour $f (x) = 1/ x^{p}$ avec , l'encadrement (4.2) donne une estimation très pratique du reste des séries de Riemann:

\frac{1}{( p - 1 ) ( N + 1 ) ^{p - 1}} \leq R_{N} \leq \frac{1}{( p - 1 ) N ^{p - 1}} . (4.3)

Par exemple, pour $p = 2$ et $N = 10$ , on obtient $0, 0909 \leq R_{10} \leq 0, 1$ , alors que la valeur exacte est $π^{2} /6 - S_{10} \approx 0, 0952$ . L'explorateur ci-dessous permet de visualiser ces sommes partielles et de constater à quel point la convergence est lente lorsque est proche de .

Explorateur 4.1 · Sommes partielles de Σ 1/nᵖ

Faites varier l'exposant p et le nombre de termes N: pour p > 1 les sommes partielles s'accumulent sous la limite ζ(p); pour p ≤ 1 elles grimpent sans borne, de plus en plus lentement.

Exposant p2,0

Nombre de termes N50

S_N

1,6251

Somme ζ(p)

1,6449

Reste R_N = ζ(p) − S_N

0,0198

Encadrement intégral de R_N

0,0196 … 0,0200

Question 4.2

On approche $ζ (3) = \sum_{n \geq 1} 1/ n^{3}$ par sa somme partielle $S_{10}$ . Donnez la majoration du reste $R_{10}$ fournie par l'encadrement (4.3).

Critères de d'Alembert et de Cauchy

Lorsque le terme général contient des factorielles ou des puissances $n$ -ièmes, la comparaison avec une série géométrique se fait automatiquement grâce à deux critères.

Démonstration. 1. Choisissons $q$ tel que $ℓ < q < 1$ . Par définition de la limite, il existe un rang $n_{0}$ à partir duquel $u_{n + 1} / u_{n} \leq q$ . Alors, pour , avec . La série géométrique converge, donc converge par comparaison.

Si $ℓ > 1$ , il existe un rang à partir duquel $u_{n + 1} / u_{n} \geq 1$ , donc $(u_{n})$ est croissante et strictement positive: elle ne tend pas vers , et la série diverge grossièrement.

Démonstration. Même schéma: si $ℓ < 1$ , on choisit $ℓ < q < 1$ ; à partir d'un certain rang $n u_{n} \leq q$ , c'est-à-dire , et l'on conclut par comparaison avec la série géométrique. Si , à partir d'un certain rang, d'où la divergence grossière. Les mêmes exemples et montrent que ne permet pas de conclure.

Les deux critères supposent que le quotient ou la racine a une limite. Ce n'est pas toujours le cas, et les limites supérieure et inférieure du chapitre 3 (définition 3.10), qui existent toujours, permettent de s'en passer.

Démonstration. 1. Soit $L = lim sup n u_{n} < 1$ et $q$ tel que . Par le théorème 3.10 (point 1, avec ), , soit , à partir d'un certain rang: on conclut par comparaison avec la série géométrique. Si , le point 2 du même théorème donne une infinité d'indices avec , c'est-à-dire : le terme général ne tend pas vers . 2. Si , on a à partir d'un certain rang, et la démonstration du théorème 4.8 s'applique mot pour mot. Si , on a à partir d'un certain rang, et .

La règle de la racine est la plus puissante des deux. Pour $u_{n} = 2^{- n + (- 1)^{n}}$ , le quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ vaut alternativement et : il n'a pas de limite, sa limite supérieure vaut 2 et sa limite inférieure , et la règle du quotient ne conclut pas. Mais : la série converge (elle est d'ailleurs majorée par ).

Question 4.3

Remettez dans l'ordre les étapes de l'étude de la série $\sum_{n \geq 1} \frac{n !}{n ^{n}}$ par le critère de d'Alembert.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Simplifier:

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = (\frac{n}{n + 1})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{- n}

Conclure:

ℓ = 1/ e < 1

, la série converge

Former le quotient

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \cdot \frac{n ^{n}}{n !}

Calculer la limite:

(1 + \frac{1}{n})^{- n} \to e^{- 1} \approx 0, 368

Vérifier que

u_{n} = n! / n^{n}

est strictement positif pour tout

n \geq 1

Séries à termes quelconques

Lorsque les termes changent de signe, la suite des sommes partielles n'est plus monotone et le théorème 4.4 ne s'applique plus. Deux idées permettent néanmoins de conclure: se ramener à une série à termes positifs (convergence absolue), ou exploiter l'alternance des signes (critère de Leibniz).

Convergence absolue

Le critère de Cauchy dit qu'une série converge si et seulement si ses «tranches» $u_{N + 1} + \dots + u_{M}$ deviennent arbitrairement petites loin dans la série, sans qu'il soit besoin de connaître la somme. Il contient la condition nécessaire du théorème 4.1 (prendre $M = N + 1$ ), mais exige beaucoup plus: pour la série harmonique, la tranche vaut au moins , quel que soit , ce qui redémontre la divergence.

Démonstration. 1. Les sommes $\sum_{n = N + 1}^{M} u_{n}$ sont les différences $S_{M} - S_{N}$ des sommes partielles: la condition écrite est exactement « est de Cauchy», et le critère de Cauchy pour les suites (théorème 3.12) dit que cela équivaut à la convergence de .

Notons $S_{N}$ et $T_{N}$ les sommes partielles de $\sum u_{n}$ et $\sum ∣ u_{n} ∣$ . Pour , l'inégalité triangulaire donne

∣ S_{M} - S_{N} ∣ = n = N + 1 \sum M u_{n} \leq n = N + 1 \sum M ∣ u_{n} ∣ = T_{M} - T_{N} .

Comme $(T_{N})$ converge, elle est de Cauchy: pour tout $ε > 0$ il existe $N_{0}$ tel que $T_{M} - T_{N} < ε$ pour . L'inégalité ci-dessus montre que est alors de Cauchy, donc convergente par le point 1. L'inégalité sur les sommes s'obtient en passant à la limite dans .

Ce théorème transforme toute la théorie des séries à termes positifs en un outil pour les séries quelconques: si $∣ u_{n} ∣ \leq v_{n}$ avec $\sum v_{n}$ convergente, alors $\sum u_{n}$ converge. Par exemple converge, puisque . De même, les critères de d'Alembert et de Cauchy s'appliquent à : converge absolument.

Séries alternées

Démonstration. Considérons les sommes partielles de rang pair et de rang impair. On a

S_{2 k + 2} - S_{2 k} = a_{2 k + 2} - a_{2 k + 1} \leq 0, S_{2 k + 3} - S_{2 k + 1} = - a_{2 k + 3} + a_{2 k + 2} \geq 0,

car $(a_{n})$ est décroissante: la suite $(S_{2 k})$ est décroissante et la suite $(S_{2 k + 1})$ est croissante. De plus $S_{2 k} - S_{2 k + 1} = a_{2 k + 1} \to 0$ . Les suites et sont donc (chapitre 3): elles convergent vers une même limite , et par conséquent converge vers . Comme croît vers et décroît vers , on a pour tout : . La somme est donc toujours comprise entre et , d'où . De plus, se trouve du même côté de que : le reste a donc le signe de .

Question 4.4

Que peut-on dire de la série $n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ ?

Séries dépendant d'un paramètre

Dans les applications, le terme général contient presque toujours un paramètre: une variable $x$ , un exposant $α$ , un facteur d'amortissement. La question n'est plus «cette série converge-t-elle?», mais «pour quelles valeurs du paramètre converge-t-elle, et de quelle façon?». La réponse est un découpage de l'ensemble des paramètres en zones, et elle s'obtient en combinant les outils de ce chapitre dans un ordre à peu près fixe.

Question 4.5

Pour quelles valeurs de $x \in R$ la série $n \geq 1 \sum \frac{( 2 x - 1 ) ^{n}}{n}$ converge-t-elle?

Une fois la zone de convergence connue, la somme elle-même dépend du paramètre, et on la calcule souvent en reconnaissant une série géométrique.

Question 4.6

La série $n \geq 0 \sum (\frac{1}{1 + x ^{2}})^{n}$ converge pour tout $x \neq = 0$ . Calculez sa somme pour $x = \frac{1}{2}$ .

Calculs de sommes

Savoir qu'une série converge est une chose, calculer sa somme en est une autre. Voici les trois techniques élémentaires qui s'ajoutent à la formule géométrique (4.1).

Séries géométriques dérivées

Démonstration. La convergence absolue résulte du critère de d'Alembert: $\frac{( n + 1 ) ∣ x ∣ ^{n + 1}}{n ∣ x ∣ ^{n}} \to ∣ x ∣ < 1$ . Pour la somme, reprenons l'astuce de la somme géométrique: si $T_{N} = \sum_{n = 1}^{N} n x^{n}$ , alors

(1 - x) T_{N} = n = 1 \sum N n x^{n} - n = 2 \sum N + 1 (n - 1) x^{n} = n = 1 \sum N x^{n} - N x^{N + 1} = \frac{x - x ^{N + 1}}{1 - x} - N x^{N + 1} .

Comme $∣ x ∣ < 1$ , on a $x^{N + 1} \to 0$ et $N x^{N + 1} \to 0$ (croissances comparées, théorème 3.6, ou règle de d'Alembert pour les suites, théorème 3.15). Donc $(1 - x) T_{N} \to \frac{x}{1 - x}$ , c'est-à-dire .

On retrouvera (4.5) au chapitre 9 (section «Séries de Taylor et séries entières», encadré «Dérivation et intégration terme à terme») en dérivant terme à terme la série $\sum x^{n} = 1/ (1 - x)$ . $□$

Pour $x = \frac{1}{2}$ : $\sum_{n \geq 1} \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{1/2}{1/4} = 2$ . En itérant l'argument, on obtient , d'où la somme annoncée à l'exemple 4.2 b).

Séries télescopiques et décomposition en éléments simples

Lorsque le terme général est une fraction rationnelle, on le décompose en éléments simples (chapitre 11) et l'on cherche un télescopage. Ainsi

\frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}), n = 1 \sum N \frac{1}{4 n ^{2} - 1} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 N + 1}) \to \frac{1}{2} .

Le télescopage peut aussi se faire «à deux pas»: $\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})$ , et dans la somme partielle seuls les deux premiers termes positifs survivent: .

Développements décimaux périodiques

Un nombre décimal illimité périodique n'est rien d'autre qu'une série géométrique déguisée. Par exemple

0, 272727 \dots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10 0 ^{2}} + \frac{27}{10 0 ^{3}} + \dots = \frac{27}{100} \cdot \frac{1}{1 - 1/100} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} .

Cette remarque démontre qu'un développement décimal périodique représente toujours un nombre rationnel (la réciproque, énoncée au chapitre 1, résulte de l'algorithme de division: il n'y a qu'un nombre fini de restes possibles, donc ils se répètent). Elle règle aussi une question qui trouble beaucoup d'étudiants:

0, 999 \dots = n = 1 \sum \infty \frac{9}{1 0 ^{n}} = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{1 - 1/10} = 1.

Il ne s'agit pas d'une approximation: $0, 999 \dots$ est le nombre $1$ , écrit autrement, exactement comme $\frac{1}{2}$ et $0, 5$ sont le même nombre. Les sommes partielles $0, 9$ ; $0, 99$ ; $0, 999$ … en sont des valeurs approchées, mais la somme de la série, c'est-à-dire leur limite, vaut .

Question 4.7

Écrivez le nombre $0, 363636 \dots$ sous forme de fraction irréductible $a / b$ et donnez la valeur de $a + b$ .

Application: séries et représentation des nombres

Le nombre e comme somme d'une série

Au chapitre 3 (exemple 3.4), le nombre $e$ a été défini comme limite de la suite croissante et majorée $\sum_{k = 0}^{n} 1/ k!$ , c'est-à-dire, dans le langage de ce chapitre, comme la somme de la série $\sum_{n \geq 0} 1/ n!$ . Son égalité avec $lim (1 + 1/ n)^{n}$ est démontrée au chapitre 6 (théorème 6.10). La série a sur cette suite un avantage décisif pour le calcul: on sait majorer précisément son reste.

Démonstration. La convergence a été établie à l'exemple 3.4 (on la retrouve par d'Alembert: $u_{n + 1} / u_{n} = 1/ (n + 1) \to 0$ ). Pour $k \geq 1$ , on a $(N + k)! = N! (N + 1) (N + 2) \dots (N + k) \geq N! (N + 1)^{k}$ , donc

R_{N} = k = 1 \sum \infty \frac{1}{( N + k )!} \leq \frac{1}{N !} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( N + 1 ) ^{k}} = \frac{1}{N !} \cdot \frac{1/ ( N + 1 )}{1 - 1/ ( N + 1 )} = \frac{1}{N ! N} .

L'inégalité est stricte puisque $(N + k)! > N! (N + 1)^{k}$ dès que $k \geq 2$ , et $R_{N} > 0$ car tous les termes sont strictement positifs.

Cette majoration est remarquablement fine: pour $N = 5$ , $S_{5} = 2, 716667$ , l'erreur réelle est $0, 001615$ et la borne (4.6) vaut $1/600 = 0, 001667$ . Pour $N = 10$ , l'erreur est inférieure à : onze termes suffisent pour sept décimales, là où la suite en demanderait des dizaines de millions. C'est pourquoi les bibliothèques numériques évaluent les fonctions usuelles par des approximations polynomiales à reste contrôlé (séries tronquées ou polynômes optimisés, après réduction de l'argument), et jamais par leur définition comme limite.

L'irrationalité de e

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons $e = \frac{a}{b}$ avec $a, b \in N^{*}$ . Comme $2 < e < 3$ , on a . Appliquons (4.6) avec et multiplions par :

0 < b! e - b! n = 0 \sum b \frac{1}{n !} < \frac{b !}{b ! b} = \frac{1}{b} \leq \frac{1}{2} .

Or $b! e = b! a / b = a (b - 1)!$ est un entier, et $b! / n!$ est un entier pour tout $n \leq b$ : la quantité du milieu est donc un entier strictement compris entre $0$ et $\frac{1}{2}$ . C'est absurde. Donc .

Cette démonstration est due à Fourier et fut publiée par Stainville en 1815; Euler avait établi l'irrationalité de $e$ dès 1737, par un tout autre chemin: le développement de $e$ en fraction continue, qui ne s'arrête jamais.

L'argument est typique de la façon dont une bonne majoration du reste renseigne sur la nature arithmétique d'un nombre: la série de $e$ converge «trop vite» pour que $e$ soit rationnel. La même idée, considérablement raffinée, conduit aux preuves d'irrationalité de $π$ et de $ζ (3)$ .

Erreur d'un développement tronqué

Question 4.8

Pour calculer $e$ avec une erreur inférieure à $1 0^{- 6}$ au moyen de la série $\sum 1/ n!$ , quel est le plus petit nombre $N$ pour lequel la borne (4.6) garantit cette précision?

Produit de deux séries et série exponentielle

La série de $e$ est le cas $x = 1$ d'une famille qui fondera tout le chapitre 6: la série exponentielle.

Démonstration. Pour $x = 0$ , tous les termes sont nuls à partir du rang 1. Pour $x \neq = 0$ , posons $u_{n} = \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !} > 0$ ; alors , et le critère de d'Alembert (théorème 4.8) donne la convergence de , c'est-à-dire la convergence absolue.

La somme de cette série définira au chapitre 6 la fonction exponentielle, $exp (x) = \sum_{n \geq 0} x^{n} / n!$ , avec $exp (1) = e$ . Sa propriété fondamentale, $exp (x + y) = exp (x) exp (y)$ , demande de savoir .

Pour multiplier deux sommes finies $a_{0} + a_{1} + \dots$ et $b_{0} + b_{1} + \dots$ , on forme tous les produits . Pour des séries, on les regroupe par valeur de , exactement comme on regroupe les termes de même degré en multipliant deux polynômes: le coefficient de dans est .

Démonstration. Notons $A_{N}$ , $B_{N}$ , $C_{N}$ les sommes partielles, et $A^{*} = \sum ∣ a_{n} ∣$ , . On a (somme sur les couples d'entiers positifs), alors que . La différence ne contient que les couples avec ; pour chacun d'eux, ou . Donc

∣ A_{N} B_{N} - C_{N} ∣ \leq (i > N /2 \sum ∣ a_{i} ∣) B^{*} + A^{*} (j > N /2 \sum ∣ b_{j} ∣) .

Les deux parenthèses sont des restes de séries convergentes: elles tendent vers 0 quand $N \to \infty$ . Comme $A_{N} B_{N} \to A B$ (théorème 3.3), on obtient $C_{N} \to A B$ . Enfin : les sommes partielles de sont majorées, et le produit de Cauchy converge absolument (théorème 4.4).

Appliqué aux séries exponentielles de $x$ et de $y$ , qui convergent absolument (théorème 4.16), le théorème donne un produit de Cauchy de terme général

c_{n} = k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} \cdot \frac{y ^{n - k}}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) x^{k} y^{n - k} = \frac{( x + y ) ^{n}}{n !}

par la formule du binôme, d'où $exp (x) exp (y) = exp (x + y)$ : c'est l'équation fonctionnelle que le chapitre 6 exploitera. (Mertens a montré que la conclusion $\sum c_{n} = A B$ subsiste lorsqu'une seule des deux séries converge absolument; nous l'admettons.)

Question 4.9

On forme le produit de Cauchy de la série géométrique $\sum_{n \geq 0} (1/2)^{n}$ par elle-même. Son terme général est $c_{n} = \frac{n + 1}{2 ^{n}}$ . Que vaut $n = 0 \sum \infty \frac{n + 1}{2 ^{n}}$ ?

Synthèse

Une série $\sum u_{n}$ est la suite de ses sommes partielles $S_{N}$ ; elle converge si $(S_{N})$ converge, et sa somme est la limite. Si elle converge, $u_{n} \to 0$ ; la réciproque est fausse (série harmonique).

Série d'exercices du chapitre 4Exercice 1 sur 5

Question 4.10

La série $n \geq 1 \sum \frac{n}{n ^{2} + 1}$ …

Exercices

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Exercice 4.1 · Nature de séries

Déterminer la nature de chacune des séries suivantes, en précisant le critère utilisé.

a) n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{2} + 1} b) n \geq 1 \sum \frac{n}{n ^{2} - n + 1} c) n \geq 1 \sum \frac{n ^{3}}{3 ^{n}} d) n \geq 1 \sum (\frac{2 n + 1}{3 n + 2})^{n} e) n \geq 1 \sum \frac{n !}{2 ^{n}} f) n \geq 1 \sum \frac{1}{n ( n + 1 )}

Exercice 4.2 · Calculs de sommes

Calculer les sommes suivantes après avoir justifié leur convergence.

a) n = 1 \sum \infty \frac{1}{4 n ^{2} - 1} b) n = 0 \sum \infty \frac{n + 2}{2 ^{n}} c) n = 2 \sum \infty ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) d) 0, 1 \overline{6} = 0, 1666 \dots (sous forme de fraction)

Exercice 4.3 · Séries alternées

a) Montrer que la série $n \geq 1 \sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ converge. Est-elle absolument convergente? Combien de termes faut-il sommer pour que la majoration (4.4) garantisse une erreur au plus égale à ?

Exercice 4.4 · Balle rebondissante et emprunt

a) Une balle est lâchée d'une hauteur $h_{0} = 2$ m; à chaque rebond, elle remonte à une hauteur égale à $k = 0, 8$ fois la hauteur précédente. On rappelle que la durée d'une chute libre de hauteur $h$ vaut $2 h / g$ avec m/s². Calculer la distance totale parcourue et la durée totale du mouvement jusqu'à l'immobilisation. Commenter: la balle rebondit une infinité de fois en un temps fini.

Exercice 4.5 · Séries à paramètre

Déterminer, selon la valeur du paramètre réel, la nature des séries suivantes (convergence absolue, semi-convergence ou divergence).

a) $n \geq 1 \sum \frac{x ^{n}}{n 2 ^{n}}$ , . , . , .

Exercice 4.6 · Deux résultats à démontrer

a) Soit $(u_{n})$ une suite à termes positifs telle que $\sum u_{n}$ converge. Montrer que $\sum u_{n}^{2}$ converge, puis que converge (indication: ). Ces résultats subsistent-ils si l'on supprime l'hypothèse ? (Considérer .)

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitres sur les séries numériques).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles (chapitre «Suites et séries»).
Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish (chapitre 23, Infinite Series).
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill (chapitre 3).
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3, Masson, Paris.

Objectifs du chapitre

Sommes infinies: définitions

La condition nécessaire

La série géométrique

Séries télescopiques

Séries à termes positifs

Comparaison

Séries de Riemann

Critères de d'Alembert et de Cauchy

Séries à termes quelconques

Convergence absolue

Séries alternées

Séries dépendant d'un paramètre

Calculs de sommes

Séries géométriques dérivées

Séries télescopiques et décomposition en éléments simples

Développements décimaux périodiques

Application: séries et représentation des nombres

Le nombre e comme somme d'une série

L'irrationalité de e

Erreur d'un développement tronqué

Produit de deux séries et série exponentielle

Synthèse

Exercices

Références

Hypothèses du critère de Leibniz

Nombre de termes

Signe de l'erreur

Nature de la série

	$∣ x ∣ < 1$	$x = - 1$	$x = 1$	$∣ x ∣ > 1$
$0 < p \leq 1$	conv. absolue	semi-convergente	diverge	diverge grossièrement
$p > 1$	conv. absolue	conv. absolue	conv. absolue	diverge grossièrement