Nombres réels

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• situer un nombre dans la hiérarchie $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ et expliquer pourquoi les rationnels ne suffisent pas à décrire une longueur aussi simple que la diagonale d'un carré;
• énoncer l'axiome de la borne supérieure, déterminer la borne supérieure et la borne inférieure d'un ensemble et prouver votre réponse par la caractérisation en $\epsilon$;
• manipuler la valeur absolue comme une distance, démontrer l'inégalité triangulaire et résoudre des inéquations avec valeurs absolues;
• reconnaître un ensemble ouvert ou fermé, déterminer ses points d'accumulation et savoir quand une borne supérieure est atteinte;
• utiliser les inégalités de Bernoulli, arithmético-géométrique et de Cauchy–Schwarz;
• rédiger une démonstration par récurrence et calculer avec les sommes, les produits et la formule du binôme;
• encadrer un réel par dichotomie et quantifier une erreur absolue ou relative, en lien avec la précision des calculs numériques.

Les ensembles de nombres

L'analyse est l'étude des limites, des dérivées et des intégrales; toutes ces notions reposent sur une idée simple mais profonde: on peut s'approcher aussi près que l'on veut d'un nombre. Pour donner un sens à cette phrase, il faut d'abord savoir de quels nombres on parle. Ce premier chapitre fixe le cadre: l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels, ses propriétés fondamentales et les outils élémentaires (inégalités, valeur absolue, récurrence) que nous utiliserons dans tous les chapitres suivants.

De ℕ à ℚ

On note $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots \}$ l'ensemble des entiers naturels et ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{1,2,3,\dots \}$ l'ensemble des entiers strictement positifs. Dans $\mathbb{N}$ on peut additionner et multiplier, mais l'équation $x+3=1$ n'a pas de solution: on l'agrandit en l'ensemble des . Dans , l'équation n'a toujours pas de solution: on construit alors l'ensemble des , quotients avec et . Un rationnel admet une infinité d'écritures () mais une seule , dans laquelle et n'ont aucun diviseur commun autre que 1.

L'ensemble $\mathbb{Q}$ est déjà remarquablement riche: entre deux rationnels distincts, aussi proches soient-ils, il en existe toujours un troisième (par exemple leur moyenne). Il semble donc suffire à tous les besoins de la mesure: un ingénieur qui lit «$12,375$ m» sur un instrument lit un rationnel. Et pourtant, dès l'Antiquité, les pythagoriciens ont découvert que $\mathbb{Q}$ est troué.

Pourquoi ℚ ne suffit pas

Considérez un carré de côté 1 m. Par le théorème de Pythagore, sa diagonale mesure $d$ avec $d^2=2$. Ce nombre, que l'on note $\sqrt{2}$, ne peut pas s'écrire comme une fraction.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $r\in \mathbb{Q}$ tel que $r^2=2$. Quitte à changer le signe, on peut supposer $r>0$ et l'écrire sous forme irréductible $r=p/q$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ sans diviseur commun. L'égalité donne

Le nombre $p^2$ est donc pair. Or le carré d'un entier impair est impair (si $p=2k+1$, alors $p^2=4k^2+4k+1$); par conséquent lui-même est pair, et l'on peut écrire avec . En reportant, , soit : le même argument montre que est pair. Ainsi et sont tous deux divisibles par 2, ce qui contredit l'hypothèse que la fraction est irréductible. L'hypothèse de départ est donc fausse.

Il existe donc des «longueurs» qui ne sont pas rationnelles: $\sqrt{2}$, mais aussi $\pi$ (rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, irrationnel comme l'a montré Lambert en 1761), le nombre $\mathrm{e}$ d'Euler, $\sqrt[3]{2}$, etc. L'ensemble des est construit pour boucher tous ces trous: on peut se le représenter comme la , où chaque point correspond à exactement un nombre. Les réels qui ne sont pas rationnels sont dits ; ils forment l'ensemble .

La structure de ℝ

Nous ne construirons pas $\mathbb{R}$ à partir de $\mathbb{Q}$ (cela peut se faire, par les «coupures» de Dedekind ou les suites de Cauchy, mais c'est long). Nous adoptons le point de vue axiomatique: $\mathbb{R}$ est un ensemble muni de deux opérations et d'un ordre qui satisfont une liste de propriétés, et tout ce que nous démontrerons découlera de ces propriétés.

Un corps ordonné

Les opérations $+$ et $\times$ sur $\mathbb{R}$ vérifient les règles de calcul habituelles: associativité, commutativité, existence de $0$ et de $1$, existence d'un opposé $-x$ pour tout $x$ et d'un inverse $1/x$ pour tout $x\ne 0$, distributivité. On résume ces propriétés en disant que est un ; en est un aussi, mais pas (l'inverse de 2 n'y existe pas).

De plus, $\mathbb{R}$ est muni d'une relation d'ordre $\le$ totale (deux réels sont toujours comparables) et compatible avec les opérations:

Toutes les règles de manipulation des inégalités s'en déduisent. Retenons les plus utiles:

• on peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens: $a\le b$ et $c\le d$ donnent $a+c\le b+d$;
• multiplier par un nombre négatif renverse le sens: $a\le b$ et $c\le 0$ donnent ;

Majorants, minorants, bornes

La différence essentielle entre $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ ne se voit pas sur les opérations mais sur l'ordre. Pour l'exprimer, nous avons besoin d'un vocabulaire précis.

Prenez le temps de distinguer maximum et borne supérieure. L'intervalle $I=]0,1]$ a pour majorants tous les réels $M\ge 1$; le plus petit est $1$, qui appartient à $I$: ici $\sup I=\max I=1$. En revanche $J=]0,1[$ a exactement les mêmes majorants, donc également, mais : n'a pas de maximum. En effet, si était le plus grand élément, le nombre serait encore dans et strictement plus grand. La figure 1.2 montre le même phénomène avec l'ensemble de l'exemple 1.1. Lorsqu'un maximum existe, il coïncide avec la borne supérieure; la borne supérieure est donc une généralisation du maximum, qui a l'avantage d'exister beaucoup plus souvent.

Beaucoup plus souvent, mais toujours? C'est exactement le contenu de l'axiome qui distingue $\mathbb{R}$.

Il s'agit d'un axiome: nous l'admettons comme propriété définissant $\mathbb{R}$ (la seconde phrase se déduit de la première en considérant l'ensemble $-A=\{-a:a\in A\}$, voir l'exercice 1.6). Pour mesurer sa force, observez qu'il est faux dans $\mathbb{Q}$: l'ensemble $\{r\in \mathbb{Q}:r^2<2\}$ est non vide et majoré (par 2), mais il n'a pas de plus petit majorant rationnel: nous montrerons au théorème 1.6 que sa borne supérieure dans est un réel tel que , et un tel nombre n'est pas rationnel (théorème 1.1). L'axiome de la borne supérieure est la façon rigoureuse de dire que la droite réelle est «sans trou»: on l'appelle aussi de . Tous les grands théorèmes de ce cours (convergence des suites monotones au chapitre 3, théorème des valeurs intermédiaires et existence des extrema, théorème 5.10, au chapitre 5) en descendent directement.

Pour utiliser la borne supérieure dans les démonstrations, on se sert presque toujours de la caractérisation suivante.

Démonstration. Supposons $s=\sup A$. La condition 1 est vraie par définition. Pour la condition 2, soit $\epsilon >0$: le nombre $s-\epsilon$ est strictement plus petit que $s$, donc ce n'est pas un majorant de $A$ (puisque $s$ est le plus petit); il existe donc $a\in A$ avec . Réciproquement, supposons les deux conditions vérifiées. Par 1, est un majorant. Soit un majorant quelconque de et supposons ; posons . Par 2, il existe avec , ce qui contredit le fait que majore . Donc pour tout majorant , et est le plus petit des majorants.

La condition 2 dit que l'on peut trouver des éléments de $A$ aussi près que l'on veut de $s$ (par en dessous): c'est la première apparition du «$\epsilon$» qui sera notre compagnon tout au long du cours. La caractérisation de la borne inférieure est symétrique: $m=\inf A$ si et seulement si $m$ minore $A$ et, pour tout $\epsilon >0$, il existe $a\in A$ avec .

La propriété d'Archimède et la partie entière

Dans l'exemple 1.1, nous avons utilisé le fait qu'il existe un entier $n$ tel que $1/n$ soit plus petit qu'un $\epsilon$ donné. Cela paraît évident, mais c'est une conséquence de l'axiome de la borne supérieure, et il est instructif de le démontrer.

Démonstration. Supposons par l'absurde que $\mathbb{N}$ soit majoré. Comme $\mathbb{N}$ est non vide, il possède une borne supérieure $s=\sup \mathbb{N}$ par l'axiome 1.2. Appliquons la caractérisation 1.3 avec $\epsilon =1$: il existe un entier $n$ tel que $n>s-1$, c'est-à-dire $n+1>s$. Mais est un entier naturel, donc : contradiction. Ainsi n'est pas majoré. Pour la seconde affirmation, on applique la première à : il existe , d'où .

L'existence de $\lfloor x\rfloor$ découle de la propriété d'Archimède: l'ensemble des entiers $n$ tels que $n\le x$ est non vide (il contient $-m$ pour un entier $m>-x$) et majoré par $x$; il a donc un plus grand élément, qui est $\lfloor x\rfloor$. La partie entière apparaît partout en informatique et en traitement du signal: le nombre d'échantillons prélevés aux instants $0,1/f_e,2/f_e,\dots$ dans l'intervalle est (l'échantillon pris à l'instant compris), et la conversion analogique-numérique d'une tension revient à calculer une partie entière.

Densité de ℚ et de ℝ ∖ ℚ

Nous pouvons maintenant énoncer précisément le fait que les rationnels, bien que «troués», sont partout sur la droite réelle.

Démonstration. Par la propriété d'Archimède, il existe $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que $1/q<b-a$, c'est-à-dire $qb-qa>1$. L'intervalle $]qa,qb[$ est de longueur strictement supérieure à 1: il contient donc un entier, par exemple (on a par définition de la partie entière, et ). Le rationnel vérifie alors . Pour l'irrationnel, on applique ce qui précède aux réels et : il existe un rationnel entre eux (si le premier rationnel trouvé est nul, on recommence dans l'intervalle ), et est irrationnel (sinon serait rationnel) et compris entre et .

Ce théorème a une conséquence pratique fondamentale: tout réel peut être approché par des rationnels, en particulier par des nombres décimaux, avec une précision arbitraire. C'est ce qui justifie que les calculs d'ingénieur, menés en pratique sur des décimaux, décrivent correctement des grandeurs réelles. Nous y reviendrons à la fin du chapitre.

Existence des racines carrées

Nous avons parlé de $\sqrt{2}$ comme d'un nombre réel sans avoir démontré qu'il existe. C'est l'axiome de la borne supérieure qui le garantit, et la démonstration est le prototype de tous les raisonnements «par la borne supérieure» de ce cours.

Démonstration. Le cas $a=0$ est clair ($s=0$); supposons $a>0$ et considérons $S=\{x\ge 0:x^2<a\}$.

$S$ est non vide et majoré. Le réel $t=\frac{1}{2}\min (1,a)$ vérifie $t\le \frac{1}{2}$ et , donc : . Si , alors , donc : le nombre majore . L'axiome 1.2 fournit , et .

$s^2<a$ est impossible. Posons $h=\min (1,\frac{a-s^2}{2(2s+1)})>0$. Comme , on a et

donc $s+h\in S$, alors que $s+h>s$: cela contredit le fait que $s$ majore $S$.

$s^2>a$ est impossible. Posons $h=\frac{s^2-a}{2s}$; on a $0<h<\frac{s}{2}$ et . Pour tout , avec et , donc . Ainsi est un majorant de strictement plus petit que : contradiction avec la définition de la borne supérieure.

Il reste $s^2=a$. Enfin, si $s,s^{\prime }\ge 0$ vérifient $s^2=s^{\prime 2}$, alors ; si , les deux sont nuls, sinon : la racine est unique.

Le même raisonnement, avec $x^n$ au lieu de $x^2$, établit l'existence de la racine $n$-ième $\sqrt[n]{a}$ de tout réel ; le théorème des valeurs intermédiaires en donnera au chapitre 5 une démonstration beaucoup plus courte. Revenons à l'ensemble évoqué après l'axiome 1.2: il est majoré par et, par densité de (théorème 1.5), il contient des rationnels positifs dans pour tout . Sa borne supérieure dans est donc , qui n'est pas rationnel: dans , cet ensemble n'a pas de borne supérieure.

Valeur absolue et distance

Définition et propriétés

Les propriétés suivantes découlent immédiatement de la définition (vérifiez-les en distinguant les signes): pour tous réels $x,y$ et tout $r>0$,

La propriété la plus importante est l'inégalité triangulaire, dont le nom vient de sa version dans le plan (un côté d'un triangle est plus court que la somme des deux autres).

Démonstration. On part de $-|a|\le a\le |a|$ et $-|b|\le b\le |b|$. En additionnant membre à membre, $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$, ce qui, par (1.2), équivaut à . Pour la seconde inégalité, on écrit et l'on applique la première: , soit . En échangeant les rôles de et , on obtient . Les deux nombres et son opposé sont donc majorés par , ce qui est exactement .

Intervalles et voisinages

Les parties de $\mathbb{R}$ que l'on rencontre le plus souvent sont les intervalles. Pour $a<b$, on note $[a,b]=\{x:a\le x\le b\}$ l'intervalle fermé, $]a,b[=\{x:a<x<b\}$ l'intervalle , et les intervalles semi-ouverts, et , , etc., les intervalles non bornés; . Les symboles et ne sont des nombres réels: ils indiquent seulement que l'intervalle n'est pas borné de ce côté, et l'on écrit toujours un crochet ouvert à côté d'eux. Par convention, l'ensemble vide et les singletons sont aussi des intervalles (dits dégénérés).

Ce qui distingue un intervalle d'une partie quelconque de $\mathbb{R}$, c'est qu'il n'a «pas de trou»: dès qu'il contient deux points, il contient tout ce qui est entre eux. Cette propriété caractérise les intervalles, et c'est sous cette forme que le chapitre 5 l'utilisera (image d'un intervalle par une fonction continue).

Démonstration. Un intervalle possède clairement cette propriété. Réciproquement, soit $I$ non vide ayant la propriété (le cas vide est trivial). Notons $a=\inf I$ si $I$ est minorée et $a=-\infty$ sinon, $b=\sup I$ si $I$ est majorée et $b=+\infty$ sinon. Montrons que . Soit avec . Comme , le réel ne minore pas (par définition de la borne inférieure, ou parce que n'est pas minorée): il existe avec . De même il existe avec . Alors . Par ailleurs (avec des crochets ouverts du côté d'un symbole infini) par définition de et . Donc est égal à auquel on ajoute éventuellement et/ou : c'est l'un des intervalles de la liste ci-dessus.

Ainsi $[0,1]\cup [2,3]$ n'est pas un intervalle ($0$ et $3$ y sont, mais pas $1,5$), ni $\mathbb{Q}$ ($1$ et $2$ y sont, mais pas $\sqrt{2}$).

Résolution d'inéquations avec valeurs absolues

Deux méthodes s'offrent à vous. La première utilise directement (1.2) lorsque l'inéquation est de la forme $|\text{expression}|<r$ ou $>r$. La seconde, générale, consiste à découper $\mathbb{R}$ en intervalles sur lesquels chaque valeur absolue a un signe constant.

Ouverts, fermés et points d'accumulation

Les deux extrémités d'un intervalle ne jouent pas le même rôle selon que le crochet est ouvert ou fermé. Dans $]0,1[$, chaque point possède un voisinage entièrement contenu dans l'intervalle: si $x=0,001$, le voisinage de rayon $0,0005$ convient. Dans $[0,1]$, le point $0$ n'a pas cette propriété, car tout voisinage de $0$ contient des nombres négatifs. Cette distinction paraît technique; elle décide pourtant si une borne supérieure est atteinte (théorème 1.11 ci-dessous), si la limite d'une suite de points d'un ensemble reste dans cet ensemble (chapitre 3) et si une fonction continue atteint son maximum (théorème de Weierstrass, chapitre 5).

Vérifions ces définitions sur les intervalles. L'intervalle $]a,b[$ est ouvert: pour $x\in ]a,b[$, le rayon $r=\min (x-a,b-x)>0$ convient. L'intervalle $[a,b]$ est fermé: son complémentaire est , et un point y possède le voisinage de rayon (de même à droite). L'intervalle n'est : n'est pas intérieur, puisque tout voisinage de contient ; et le complémentaire n'est pas ouvert, puisque y appartient sans en être un point intérieur. Enfin et sont ouverts et fermés, et un singleton est fermé, son complémentaire étant ouvert.

Les ouverts se comportent bien vis-à-vis des réunions, les fermés vis-à-vis des intersections, mais avec une restriction qui mérite d'être retenue.

Démonstration. 1. Soit $x$ dans la réunion d'une famille d'ouverts $(U_i)$: il appartient à l'un d'eux, $U_{i_0}$, qui contient un voisinage $]x-r,x+r[$; ce voisinage est contenu dans la réunion. Soit maintenant : pour chaque , il existe tel que . Le rayon est strictement positif, car c'est le minimum d'un nombre de réels strictement positifs, et est contenu dans chaque .

2. On passe aux complémentaires: le complémentaire d'une intersection est la réunion des complémentaires, et celui d'une réunion est l'intersection des complémentaires (lois de De Morgan, annexe A). Le point 2 découle donc du point 1. $\square$

La finitude est indispensable. Les intervalles ouverts $]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[$ ont pour intersection ${\bigcap }_{n\ge 1}]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[=\{0\}$, qui n'est pas ouvert: les rayons n'ont pas de minimum strictement positif, leur borne inférieure vaut . Symétriquement, est une réunion infinie de fermés qui n'est pas fermée.

Pour décrire ce qui se passe «au bord» d'un ensemble, on introduit les points dont on peut s'approcher en restant dans l'ensemble.

Tout point de $A$ est adhérent à $A$ (il est dans chacun de ses voisinages), et un point adhérent à $A$ qui n'appartient pas à $A$ est forcément un point d'accumulation. Un voisinage d'un point d'accumulation contient même une infinité de points de $A$: s'il n'en contenait qu'un nombre fini $a_1,\dots ,a_k$ distincts de , le voisinage de rayon n'en contiendrait plus aucun. Quelques exemples:

• pour $A=\{\frac{1}{n}:n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$, le point $0$ est un point d'accumulation qui n'appartient pas à $A$, et chaque $\frac{1}{n}$ est isolé, car ses voisins les plus proches dans sont à distance au moins ; donc ;

La notion de point adhérent est exactement celle dont le chapitre 5 aura besoin: on ne peut parler de la limite d'une fonction en $x_0$ que si l'on peut s'approcher de $x_0$ en restant dans son ensemble de définition. Elle donne aussi une caractérisation des fermés qui est souvent plus maniable que la définition.

Démonstration. Supposons $A$ fermé et soit $x$ un point d'accumulation de $A$. Si l'on avait $x\notin A$, le point $x$ appartiendrait à l'ouvert $\mathbb{R}\setminus A$, qui contiendrait un voisinage $]x-r,x+r[$ de ; ce voisinage ne rencontrerait pas , ce qui contredit le fait que est un point d'accumulation. Donc .

Réciproquement, supposons que $A$ contienne tous ses points d'accumulation et soit $x\in \mathbb{R}\setminus A$. Le point $x$ n'est pas un point d'accumulation de $A$: il existe $r>0$ tel que $]x-r,x+r[$ ne contienne aucun point de autre que , et comme , il n'en contient aucun. Ainsi , qui est donc ouvert, et est fermé. L'égalité exprime la même chose, puisque les points adhérents à sont les points de et ses points d'accumulation.

La conséquence suivante relie ces notions à la borne supérieure et explique la différence entre l'intervalle $]0,1]$ et l'ensemble $\{1-\frac{1}{n}\}$ de la figure 1.2.

Démonstration. Posons $s=\sup A$ et supposons $s\notin A$. Soit $\epsilon >0$. Par la caractérisation 1.3, il existe $a\in A$ tel que $s-\epsilon <a\le s$, et puisque : le voisinage contient un point de distinct de . Comme est arbitraire, est un point d'accumulation de , donc par le théorème 1.10, ce qui contredit l'hypothèse. Le cas du minimum se traite de même avec la borne inférieure.

Quelques inégalités classiques

Une grande partie du travail de l'analyste consiste à majorer et minorer. Voici trois inégalités que vous utiliserez sans cesse, en analyse comme en physique.

L'inégalité de Bernoulli

Démonstration. Nous démontrons (1.3) par récurrence sur $n$ (le principe est détaillé dans la section suivante). Pour $n=0$, les deux membres valent $1$. Supposons l'inégalité vraie au rang $n$, c'est-à-dire $(1+x{)}^n\ge 1+nx$. Comme $1+x\ge 0$, on peut multiplier les deux membres par sans changer le sens:

la dernière inégalité provenant de $n{x}^2\ge 0$. L'inégalité est donc vraie au rang $n+1$, et par récurrence pour tout $n$. $\square$

L'inégalité de Bernoulli (Jacques Bernoulli, mathématicien bâlois, 1655–1705) est l'outil de base pour comparer les croissances géométrique et arithmétique. Un capital placé à 1 % par an vaut $(1,01{)}^n$ fois sa valeur initiale après $n$ ans; Bernoulli garantit qu'après 100 ans il a au moins doublé ($1+100\times 0,01=2$; la valeur exacte est $1,01^{100}\approx 2,705$). Au chapitre 3, elle servira à montrer que dès que .

L'inégalité arithmético-géométrique

Démonstration. Comme un carré est positif, $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$, soit , d'où (1.4). L'égalité a lieu si et seulement si , c'est-à-dire .

Le membre de gauche est la moyenne géométrique de $a$ et $b$, le membre de droite leur moyenne arithmétique. Pour $a=2$ et $b=8$, on obtient $4\le 5$. Application: parmi tous les rectangles de périmètre $2(a+b)$ donné, celui d'aire $ab$ maximale est le carré. Sous une autre forme, : c'est l'inégalité que l'on utilise pour majorer un «terme croisé» dans un calcul d'énergie.

L'inégalité de Cauchy–Schwarz dans ℝⁿ

Démonstration. Notons $A=\sum a_k^2$, $B=\sum b_k^2$ et $C=\sum a_k{b}_k$. Si , tous les sont nuls et les deux membres de (1.5) valent . Sinon, pour tout réel , une somme de carrés étant positive,

Le trinôme $B{t}^2+2Ct+A$, avec $B>0$, ne prend donc jamais de valeur strictement négative: il a au plus une racine réelle, et son discriminant réduit est négatif ou nul, $C^2-AB\le 0$. C'est exactement (1.5).

Pour $n=2$, on peut aussi développer la différence des deux membres, qui est un carré (identité de Lagrange):

Si l'on note $\vec{u}=(a_1,\dots ,a_n)$ et $\vec{v}=(b_1,\dots ,b_n)$, (1.5) s'écrit : la valeur absolue du produit scalaire est majorée par le produit des normes. C'est précisément ce qui permet de l'angle entre deux vecteurs non nuls de par , nombre qui est bien compris entre et . Cette inégalité est l'un des piliers de l'algèbre linéaire et du traitement du signal (elle borne la corrélation entre deux signaux).

Le raisonnement par récurrence

Le principe

Nous avons déjà utilisé la récurrence pour démontrer l'inégalité de Bernoulli. Formalisons-la. Soit $P(n)$ une propriété dépendant d'un entier $n$; par exemple «$1+2+\cdots +n=n(n+1)/2$».

Ce principe est une propriété fondamentale de $\mathbb{N}$, que nous admettons (il est équivalent au fait que toute partie non vide de $\mathbb{N}$ possède un plus petit élément). L'image classique est celle des dominos: si le premier tombe et si chaque domino qui tombe entraîne le suivant, alors tous tombent. Dans la rédaction, l'hypothèse «$P(n)$ vraie» est appelée hypothèse de récurrence; il est indispensable de l'énoncer explicitement et de repérer l'endroit précis où on l'utilise.

La récurrence forte

Il arrive que, pour démontrer $P(n+1)$, on ait besoin non seulement de $P(n)$ mais aussi de $P(n-1)$, voire de tous les rangs précédents. On utilise alors la récurrence forte: si $P(n_0)$ est vraie et si, pour tout $n\ge n_0$, « toutes vraies» implique , alors est vraie pour tout . Elle se ramène au principe ordinaire en l'appliquant à la propriété : « est vraie pour tout compris entre et ». Exemple type: tout entier est produit de nombres premiers. Si est premier, c'est fini; sinon avec , et l'hypothèse de récurrence forte appliquée à et (et non à !) donne le résultat.

Sommes, produits et formule du binôme

Nous avons utilisé la notation $\sum$. Rappelons-en les règles: pour des réels $u_m,\dots ,u_n$,

L'indice $k$ est muet: ${\sum }_{k=1}^n{u}_k={\sum }_{j=1}^n{u}_j$. Une somme est linéaire, , et l'on peut décaler l'indice, . La est le produit , avec la convention . Deux sommes reviennent sans cesse: la somme arithmétique de l'exemple 1.5 et la somme

que l'on démontre en développant $(1-q)(1+q+\cdots +q^n)$: tous les termes se télescopent sauf $1$ et $-q^{n+1}$.

La relation (1.7) se vérifie par calcul direct: en réduisant au même dénominateur $(k+1)!(n-k)!$, le membre de gauche vaut $\frac{n![(k+1)+(n-k)]}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}$. Les premières lignes du triangle de Pascal, où chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui, sont:

Par exemple $(1+x{)}^6=1+6x+15x^2+20x^3+15x^4+6x^5+x^6$. En ne gardant que les deux premiers termes pour , on retrouve l'inégalité de Bernoulli, et en en gardant trois on obtient une meilleure minoration: . Ce sont les premiers exemples de d'une fonction en puissances de , idée que le chapitre 9 généralisera à toutes les fonctions régulières.

Représentation décimale et approximation

Développement décimal

Tout réel positif $x$ s'écrit sous la forme $x=\lfloor x\rfloor +0,d_1{d}_2{d}_3\dots$ où les $d_i\in \{0,1,\dots ,9\}$ sont ses : c'est le de . Les chiffres se déterminent de proche en proche, , et ainsi de suite; la troncature à décimales est le nombre rationnel , qui vérifie . Un réel est un si son développement s'arrête (comme ); il est si et seulement si son développement est périodique à partir d'un certain rang. Dans un sens, c'est l'algorithme de la division: pour écrire en décimal, on divise et, à chaque étape, le reste est l'un des entiers ; parmi restes successifs, deux au moins sont égaux, et dès qu'un reste réapparaît, les chiffres se répètent (si le reste apparaît, le développement s'arrête; sinon il n'y a que restes possibles et la période vaut au plus ). L'autre sens repose sur la somme d'une série géométrique (chapitre 4). Ainsi (période 6) et ; à l'inverse, le développement de ou de ne présente aucune période. Notez que l'écriture décimale n'est pas tout à fait unique: , comme le montre la formule (1.6) de la somme géométrique passée à la limite (chapitre 4).

Encadrer √2 par dichotomie

Le développement décimal est une façon d'approcher un réel; la dichotomie en est une autre, plus fondamentale, qui n'utilise que la comparaison. Pour encadrer $\sqrt{2}$, on part de $1^2<2<2^2$, donc . On teste le milieu : comme , on garde . Le milieu suivant est , dont le carré : on garde . Puis , donc ; puis , donc ; puis , donc . Après étapes, on dispose d'un intervalle contenant et de largeur : après 10 étapes, , et après 20 étapes environ . Chaque étape apporte un de précision, soit un chiffre décimal toutes les 3,3 étapes environ.

Cette méthode est lente comparée à celles que nous verrons plus tard (la méthode de Newton–Raphson, chapitre 8, double le nombre de chiffres exacts à chaque étape), mais elle est d'une robustesse totale: elle ne demande que de savoir si $m^2$ est plus grand ou plus petit que $c$. C'est aussi une première rencontre avec les intervalles emboîtés, dont l'intersection est réduite au point $\sqrt{c}$ grâce à l'axiome de la borne supérieure: $\sqrt{c}=\sup \{a_n:n\in \mathbb{N}\}$. Nous formaliserons cette idée avec les suites adjacentes au chapitre 3.

Erreur absolue et erreur relative

L'erreur relative est celle qui compte en ingénierie: une erreur absolue de 5 mm est négligeable sur la portée d'un pont de 120 m (erreur relative $4\times 10^{-5}$) et rédhibitoire sur un axe de 20 mm. Deux exemples historiques: l'approximation $22/7$ de $\pi$ a une erreur absolue de $1,26\times 10^{-3}$, soit une erreur relative de $4,0\times 10^{-4}$ (trois chiffres exacts), tandis que a une erreur relative de (sept chiffres exacts). Pour l'approximation de , l'erreur absolue vaut et l'erreur relative .

Synthèse

• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$; $\sqrt{2}$ est irrationnel (démonstration par l'absurde sur la parité), et pourtant $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ sont tous deux denses dans .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
• Spivak, M., Calculus, Cambridge University Press (chapitres 1, 2 et 8 pour les nombres réels et la borne supérieure).
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill (chapitre 1, construction de $\mathbb{R}$ par les coupures de Dedekind).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, De Boeck, Bruxelles.
• Goldberg, D., «What every computer scientist should know about floating-point arithmetic», ACM Computing Surveys, 1991 (pour la représentation flottante).