Limites et continuité

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• énoncer la définition ε–δ de la limite d'une fonction en un point et l'utiliser pour prouver ou réfuter l'existence d'une limite;
• calculer des limites à l'aide des opérations, du théorème des gendarmes, des limites usuelles et des techniques de levée d'indétermination;
• définir la continuité en un point et sur un intervalle, reconnaître les types de discontinuité et prolonger une fonction par continuité;
• appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de Weierstrass, et localiser une racine par dichotomie avec une précision garantie;
• démontrer et utiliser le théorème de la bijection et le théorème de la limite monotone pour définir des fonctions réciproques continues;
• distinguer continuité, continuité uniforme et caractère lipschitzien, et énoncer le théorème de Heine.

Fonctions réelles: rappels et vocabulaire

Les chapitres 3 et 4 étudiaient des suites, c'est-à-dire des fonctions définies sur $\mathbb{N}$. L'ingénieur rencontre bien plus souvent des grandeurs qui dépendent d'une variable continue: la tension $u(t)$ aux bornes d'un condensateur, la flèche $w(x)$ d'une poutre le long de son axe, la tension de sortie $s(p)$ d'un capteur de pression. Ce chapitre installe les outils qui permettent de parler rigoureusement du comportement de telles fonctions «au voisinage» d'un point ou de l'infini.

Lorsqu'une fonction est donnée par une formule, son domaine est, sauf mention contraire, le plus grand sous-ensemble de $\mathbb{R}$ sur lequel la formule a un sens: $x\mapsto \sqrt{x-1}$ est définie sur $[1,+\infty [$ et $x\mapsto \ln (1-x^2)$ sur .

Quelques propriétés géométriques simplifient l'étude d'une fonction.

Le signal sinusoïdal $t\mapsto A\sin (\omega t)$, d'amplitude $A>0$, est impair, borné par $A$ et périodique de période $T=2\pi /\omega$; la réponse d'un circuit RC à un échelon, $t\mapsto E(1-{\mathrm{e}}^{-t/\tau })$, est croissante et bornée par sur . Ces deux exemples reviendront tout au long du chapitre.

Une fonction strictement monotone est injective, donc bijective sur son image: c'est ainsi que l'on définit $\sqrt{\cdot }$ comme réciproque de $x\mapsto x^2$ sur $[0,+\infty [$, et que le chapitre 6 construira $\ln$ comme réciproque de . Le théorème de la bijection, plus loin dans ce chapitre, garantit que ces réciproques sont continues.

Limite d'une fonction

La définition ε–δ

Au chapitre 3, «$u_n\to \ell$» signifiait: pour toute tolérance $\epsilon$, les termes $u_n$ sont à distance inférieure à $\epsilon$ de $\ell$ dès que $n$ est assez grand. Pour une fonction, «$n$ assez grand» devient « assez proche de », et le rang devient un rayon .

Géométriquement: quelle que soit la bande horizontale $]\ell -\epsilon ,\ell +\epsilon [$ choisie, on peut trouver une bande verticale $]x_0-\delta ,x_0+\delta [$ dont la portion de graphe correspondante est entièrement contenue dans la bande horizontale. L'explorateur ci-dessous vous permet de jouer ce jeu avec la fonction : pour chaque imposé, il s'agit de trouver un qui convient, et l'ordre des quantificateurs est essentiel: dépend de (et de ), jamais l'inverse.

Limites à gauche, à droite, en l'infini, limites infinies

Ainsi ${\lim }_{x\to 0^{+}}1/x=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}1/x=-\infty$, (le condensateur est chargé «au bout d'un temps infini»), et la fonction signe a pour limites latérales et en , donc pas de limite en .

Caractérisation séquentielle

Le lien avec le chapitre 3 est fourni par le théorème suivant, qui permet de recycler tout ce que l'on sait sur les suites.

Démonstration. ($\Rightarrow$) Supposons ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\ell$ et soit $(x_n)$ une suite de $D$ telle que . Fixons . Par (5.1), il existe tel que . Comme , il existe tel que pour ; pour ces , . Donc .

($\Leftarrow$) Raisonnons par contraposée: supposons que $f$ ne tend pas vers $\ell$ en $x_0$. En niant (5.1), il existe ${\epsilon }_0>0$ tel que, pour tout $\delta >0$, on puisse trouver avec et . Prenons successivement , : on obtient une suite de telle que , donc , et pour tout , donc ne converge pas vers . La condition séquentielle est donc violée.

La même démonstration, mot pour mot, vaut pour une limite infinie (remplacer $|f(x)-\ell |<\epsilon$ par $f(x)>M$) et pour $x_0=\pm \infty$ (remplacer $|x-x_0|<\delta$ par et prendre dans la contraposée): le théorème 5.1 s'étend à tous les cas de la définition 5.6, et nous l'utiliserons sous cette forme.

Le sens ($\Leftarrow$) est l'outil idéal pour montrer qu'une limite n'existe pas: il suffit d'exhiber deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ tendant vers $x_0$ telles que $(f(x_n))$ et aient des limites différentes.

Unicité et opérations

Démonstration. Si $\ell$ et ${\ell }^{\prime }$ sont deux limites de $f$ en $x_0$, choisissons une suite $(x_n)$ de $D$ tendant vers (elle existe car est adhérent à ). Par le théorème 5.1, et ; l'unicité de la limite d'une suite (chapitre 3), finie ou infinie, donne .

Démonstration. Chaque affirmation se ramène, par le théorème 5.1, à la propriété correspondante des suites démontrée au chapitre 3. Par exemple, pour le produit: si $(x_n)$ est une suite de $D$ tendant vers $x_0$, alors $f(x_n)\to \ell$ et , donc par le théorème sur le produit de suites convergentes; comme cela vaut pour toute suite, . Pour la composée: donne , puis .

Théorème des gendarmes et limites usuelles

Démonstration. Pour toute suite $(x_n)$ de $D$ tendant vers $x_0$, on a $g(x_n)\le f(x_n)\le h(x_n)$ à partir d'un certain rang et ; le théorème des gendarmes pour les suites (chapitre 3) donne , et l'on conclut par le théorème 5.1.

Démonstration (des deux premières limites). Pour $0<x<\pi /2$, considérons sur le cercle trigonométrique les points $O=(0,0)$, $A=(1,0)$, $B=(\cos x,\sin x)$ et (figure 5.2). Le triangle est contenu dans le secteur circulaire , lui-même contenu dans le triangle rectangle . En comparant les aires,

En divisant par $\sin x>0$: $1\le \frac{x}{\sin x}\le \frac{1}{\cos x}$, puis en inversant, .

Il reste à voir que $\cos x\to 1$, sans supposer la continuité de $\cos$. L'inégalité $\sin u\le u$, obtenue ci-dessus pour $0<u<\pi /2$, donne $|\sin u|\le |u|$ pour tout réel (par imparité, et parce que sinon). Donc

et le théorème des gendarmes donne $\cos x\to 1$ quand $x\to 0$. Un second passage par les gendarmes, dans $\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1$, donne $\frac{\sin x}{x}\to 1$ à droite; la fonction étant paire, la limite à gauche est la même.

Pour la deuxième limite, $\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2{\sin }^2(x/2)}{x^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin (x/2)}{x/2}\right)}^2\to \frac{1}{2}$, par la première limite et la limite d'une composée.

Les limites faisant intervenir ${\mathrm{e}}^x$ et $\ln$ ainsi que les croissances comparées (5.3) sont admises dans ce chapitre: elles reposent sur la définition de l'exponentielle par sa série et sont démontrées au chapitre 6 (théorème 6.9 pour $\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}$ et $\frac{\ln (1+x)}{x}$, théorèmes 6.4 et 6.8 pour les croissances comparées), sans aucun recours à la dérivée. Retenez le principe: à l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance, qui l'emporte sur tout logarithme.

Continuité

Définition et caractérisations

Intuitivement, une fonction continue sur un intervalle a un graphe «que l'on peut tracer sans lever le crayon». Cette image est utile mais trompeuse: la fonction $x\mapsto x\sin (1/x)$, prolongée par $0$ en $0$, est continue sur $\mathbb{R}$ et oscille pourtant une infinité de fois près de l'origine: son graphe sur $[0,1]$ est même de longueur infinie, si bien qu'aucun crayon ne pourrait le tracer.

Démonstration. C'est le théorème 5.1 avec $\ell =f(x_0)$. $\square$

Cette caractérisation a déjà servi au chapitre 3 pour les suites récurrentes $u_{n+1}=g(u_n)$: si $u_n\to \ell$ et $g$ est continue, alors , ce qui identifie les limites possibles parmi les points fixes de .

Opérations et fonctions usuelles

Démonstration. Les opérations algébriques découlent du théorème 5.3 avec $\ell =f(x_0)$ et ${\ell }^{\prime }=g(x_0)$; pour $|f|$, l'inégalité triangulaire renversée (chapitre 1) suffit. Démontrons la composée directement avec les –. Soit . Par continuité de en , il existe tel que . Par continuité de en appliquée avec la tolérance , il existe tel que . En enchaînant, , ce qui est la continuité de en .

Les fonctions constantes et l'identité $x\mapsto x$ sont évidemment continues; par le théorème 5.7, tous les polynômes et toutes les fractions rationnelles sont continus sur leur domaine. Le chapitre 6 démontrera que $\exp$, $\ln$, $x\mapsto x^{\alpha }$, $\sin$, $\cos$, $\tan$ et leurs réciproques sont continues sur leur domaine; nous l'utilisons dès maintenant dans les exemples. Pour $\sin$, l'argument tient en une ligne: la formule et l'inégalité vue dans la démonstration du théorème 5.5 donnent (théorème 6.12). Par composition, une expression «raisonnable» comme est continue sur sans qu'il soit besoin de le vérifier point par point.

Prolongement par continuité et discontinuités

Ainsi $x\mapsto \frac{\sin x}{x}$ se prolonge en $0$ par la valeur $1$ (c'est le sinus cardinal, omniprésent en traitement du signal), et $x\mapsto \frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ se prolonge en par la valeur .

Lorsque $f$ n'est pas continue en $x_0$, on distingue trois situations (figure 5.3):

• discontinuité éliminable: la limite épointée $\ell ={\lim }_{x\to x_0,x\ne x_0}f(x)$ existe et est finie, mais $x_0\notin D$ ou ; on la répare en (re)définissant ;

Les grands théorèmes sur un intervalle

Les résultats de cette section n'ont pas d'équivalent pour les fonctions définies sur un ensemble quelconque: c'est la structure d'intervalle, alliée à la complétude de $\mathbb{R}$ (chapitre 1), qui les rend possibles.

Théorème des valeurs intermédiaires

Démonstration (par dichotomie). Quitte à remplacer $f$ par $-f$ et $k$ par $-k$, on suppose $f(a)\le k\le f(b)$. Si $k=f(a)$ ou $k=f(b)$, c'est terminé; sinon posons , continue, avec . Construisons deux suites et par récurrence: , , et si , on pose

Par construction, $g(a_n)<0\le g(b_n)$ pour tout $n$, $(a_n)$ est croissante, décroissante, et . Les suites sont donc (chapitre 3) et convergent vers une limite commune . Par continuité de (théorème 5.6), et . Le passage à la limite dans les inégalités et donne et , donc , soit .

La démonstration ci-dessus est constructive: elle fournit un algorithme, la méthode de dichotomie, qui est la première méthode numérique de résolution d'équations que vous rencontrez. Son corollaire le plus utilisé est le suivant.

Démonstration. $0$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, qui sont de signes opposés: le TVI donne $c$ avec $f(c)=0$, et $c\ne a,b$ puisque $f(a),f(b)\ne 0$. Si est strictement monotone, elle est injective, donc ne peut s'annuler qu'une fois.

Théorème de Weierstrass

Démonstration. Montrons d'abord que $f$ est majorée. Sinon, pour tout $n\in \mathbb{N}$ il existe $x_n\in [a,b]$ avec $f(x_n)>n$. La suite est bornée; par le théorème de Bolzano–Weierstrass (chapitre 3), elle possède une sous-suite convergeant vers un , qui appartient à car l'intervalle est fermé. Par continuité, , ce qui contredit . Donc est majorée; de même (avec ), elle est minorée.

Soit $M={\sup }_{[a,b]}f$, qui existe par l'axiome de la borne supérieure (chapitre 1). Par caractérisation de la borne supérieure, il existe pour tout $n$ un $y_n\in [a,b]$ tel que $M-\frac{1}{n+1}<f(y_n)\le M$, donc . À nouveau par Bolzano–Weierstrass, une sous-suite converge vers un , et par continuité . Par unicité de la limite, : la borne supérieure est atteinte. Le minimum s'obtient en appliquant ce résultat à .

Image d'un intervalle et théorème de la bijection

Démonstration. Un sous-ensemble $J$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $y_1<y_2$ de $J$, tout $k\in [y_1,y_2]$ appartient à (théorème 1.8). Soient et dans et entre les deux; le TVI appliqué sur le segment d'extrémités fournit avec , donc . Pour , Weierstrass donne que et sont atteints, et le TVI que toute valeur intermédiaire l'est aussi.

Attention: l'image d'un intervalle ouvert n'est pas nécessairement ouverte ($x\mapsto x^2$ envoie $]-1,1[$ sur $[0,1[$), et l'image d'un intervalle non borné peut être bornée ($\arctan (\mathbb{R})=]-\pi /2,\pi /2[$).

Démonstration. Quitte à remplacer $f$ par $-f$, supposons $f$ strictement croissante. Elle est alors injective ($x\ne x^{\prime }$ entraîne $f(x)\ne f(x^{\prime })$), donc bijective de sur , qui est un intervalle par le théorème 5.11. La réciproque est strictement croissante: si dans et si l'on avait , en appliquant la fonction croissante on obtiendrait .

Reste la continuité de $f^{-1}$ en un point $y_0\in J$; posons $x_0=f^{-1}(y_0)$ et soit . Si n'est pas l'extrémité gauche de , choisissons avec (c'est possible car est un intervalle); si n'est pas l'extrémité droite, choisissons de même avec . Par stricte croissance, . Soit le plus petit des nombres et qui sont définis. Pour avec , on a du côté où ces bornes existent; du côté où elles n'existent pas, est une extrémité de , donc est une extrémité de , et est automatiquement du bon côté de . La croissance de place alors entre et (ou entre et l'un d'eux), donc dans : . C'est la continuité de en . Remarquez que la monotonie remplace ici tout calcul.

C'est ce théorème qui, au chapitre 6, justifie l'existence et la continuité de $\ln ={\exp }^{-1}$, de $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ et des racines $n$-ièmes: $x\mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $[0,+\infty [$, d'image , donc est continue. L'existence de , obtenue laborieusement au chapitre 1 par la borne supérieure, devient ici une conséquence immédiate du TVI.

Fonctions monotones

Une fonction monotone ne peut pas se comporter aussi mal que $\sin (1/x)$: ses limites latérales existent toujours. C'est l'analogue, pour les fonctions, du théorème de la limite monotone du chapitre 3, et la démonstration est la même: c'est l'axiome de la borne supérieure qui fournit la limite.

Démonstration. 1. L'ensemble $\{f(x):a<x<x_0\}$ est non vide et majoré par $f(x_0)$; il a donc une borne supérieure $\ell \le f(x_0)$ (chapitre 1). Soit . Par caractérisation de la borne supérieure, il existe avec . Pour , la croissance donne , donc : avec , c'est la définition de . La limite à droite se traite de même avec la borne inférieure de , minorée par .

2. Même argument avec $M={\sup }_{]a,b[}f$ si $f$ est majorée. Sinon, pour tout $A$ il existe $x_1$ avec $f(x_1)>A$, et pour tout : .

Ainsi la partie entière $\lfloor x\rfloor$, croissante, n'a que des sauts; et une fonction monotone dont l'image est un intervalle est nécessairement continue, puisqu'un saut laisserait un «trou» dans l'image. Réciproquement, le TVI montre que la monotonie stricte est la seule façon, pour une fonction continue, d'être injective.

Démonstration. Soient $x<y$ et $x^{\prime }<y^{\prime }$ quatre points de $I$. Pour $t\in [0,1]$, posons $u(t)=(1-t)x+t{x}^{\prime }$, et . Les points et appartiennent à l'intervalle , et , donc et, par injectivité, . La fonction est continue sur (théorème 5.7) et ne s'annule pas: par le TVI, elle garde un signe constant. Donc et ont le même signe. Tous les accroissements avec ont ainsi le même signe: est strictement croissante ou strictement décroissante.

L'hypothèse d'intervalle est indispensable: $x\mapsto 1/x$ est continue et injective sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ sans être monotone.

Continuité uniforme

Définition et comparaison avec la continuité

Relisons la définition (5.4): le rayon $\delta$ y dépend de $\epsilon$ et du point $x_0$. Pour $f(x)=x^2$, l'explorateur ε–δ le montre bien: à $\epsilon$ fixé, le ${\delta }_{\max }$ admissible diminue lorsque augmente, car la courbe est de plus en plus raide. La continuité uniforme exige un qui fonctionne partout à la fois.

La différence avec (5.4) tient à l'ordre des quantificateurs: dans la continuité, «$\forall x_0,\forall \epsilon ,\exists \delta$»; dans la continuité uniforme, «$\forall \epsilon ,\exists \delta ,\forall x,y$». Une fonction uniformément continue est évidemment continue; la réciproque est fausse.

Théorème de Heine et fonctions lipschitziennes

Démonstration (par l'absurde). Supposons $f$ continue mais non uniformément continue sur $[a,b]$. La négation de (5.6) fournit ${\epsilon }_0>0$ tel que, pour tout $\delta >0$, il existe $x,y\in [a,b]$ avec et . En prenant , on construit deux suites , de telles que

La suite $(x_n)$ est bornée: par Bolzano–Weierstrass, une sous-suite $(x_{\phi (n)})$ converge vers $c\in [a,b]$. Comme $|x_{\phi (n)}-y_{\phi (n)}|\to 0$, on a aussi . Par continuité de en , et , donc , ce qui contredit .

Le théorème de Heine est le résultat clé qui, au chapitre 10, permettra de démontrer que toute fonction continue sur $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann: l'uniformité du $\delta$ garantit que les sommes de Riemann associées à une subdivision de pas inférieur à $\delta$ encadrent l'intégrale à $\epsilon (b-a)$ près, quel que soit le choix des points dans chaque sous-intervalle.

Démonstration. Si $L=0$, $f$ est constante. Sinon, pour $\epsilon >0$, posons $\delta =\epsilon /L$: si $|x-y|<\delta$, alors $|f(x)-f(y)|\le L|x-y|<L\delta =\epsilon$. Le ne dépend pas de .

Les fonctions $\sin$, $\cos$ ($L=1$), $|\cdot |$ ($L=1$) et toute fonction affine sont lipschitziennes sur $\mathbb{R}$; le chapitre 8 montrera qu'une fonction dérivable à dérivée bornée par $L$ est $L$-lipschitzienne (inégalité des accroissements finis). La réciproque du théorème 5.16 est fausse: $x\mapsto \sqrt{x}$ est uniformément continue sur (Heine), mais non lipschitzienne, puisque n'est pas borné près de (exercice 5.4). On a donc la chaîne d'implications strictes

et sur un intervalle fermé borné, les deux dernières notions coïncident.

Synthèse

• ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\ell$ signifie: pour tout $\epsilon >0$, il existe $\delta >0$ tel que $|x-x_0|<\delta$ entraîne ; dépend de et de .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
• Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston, 2008 (chapitres 5 à 8: limites, continuité, trois théorèmes fondamentaux).
• Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill, New York, 1976 (chapitre 4).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
• Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3, Masson, Paris.