Intégrale de Riemann

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir l'intégrale de Riemann d'une fonction bornée sur un segment à l'aide des sommes de Darboux et énoncer le critère d'intégrabilité;
calculer une intégrale simple comme limite de sommes de Riemann et reconnaître une somme de Riemann dans une limite de suite;
démontrer que les fonctions continues et les fonctions monotones sont intégrables;
utiliser les propriétés de l'intégrale: linéarité, relation de Chasles, croissance, inégalité et théorème de la moyenne;
énoncer et démontrer le théorème fondamental de l'analyse et calculer des intégrales grâce aux primitives;
estimer numériquement une intégrale par les méthodes des rectangles, des trapèzes et de Simpson.

Pourquoi intégrer?

Le calcul différentiel des chapitres 7 à 9 répond à la question «à quelle vitesse une grandeur varie-t-elle?». Le calcul intégral répond à la question inverse: connaissant la vitesse de variation, comment retrouver la grandeur elle-même? Un ingénieur rencontre cette situation en permanence.

Distance et vitesse. Un tram qui roule à la vitesse constante $v$ pendant une durée $T$ parcourt $v T$ . Si la vitesse varie, on découpe le trajet en courts intervalles de durée $Δ t$ , pendant lesquels $v$ est presque constante: la distance vaut environ $\sum v (t_{k}) Δ t$ , et exactement $\int_{0}^{T} v (t) d t$ .

L'idée de calculer une aire en l'encadrant par des figures simples remonte à Archimède, qui obtient ainsi l'aire d'un segment de parabole. La définition rigoureuse, applicable à des fonctions générales, est due à Bernhard Riemann (1854); Gaston Darboux (1875) en donne la présentation par sommes inférieure et supérieure que nous suivons ici. Le lien avec la dérivation, le théorème fondamental, a été dégagé par Newton et Leibniz près de deux siècles plus tôt: c'est lui qui transforme le calcul d'aires en un calcul de primitives.

Construction de l'intégrale

Subdivisions et fonctions en escalier

Dans tout le chapitre, $a < b$ sont deux réels et $f : [a, b] \to R$ est une fonction bornée.

On vérifie sans peine que cette valeur ne dépend pas de la subdivision choisie (raffiner $σ$ découpe chaque rectangle en rectangles plus étroits de même hauteur) ni des valeurs de $φ$ aux points $x_{k}$ . L'intégrale des fonctions en escalier est linéaire et croissante: si $φ \leq ψ$ , alors $\int_{a}^{b} φ \leq \int_{a}^{b} ψ$ .

Sommes de Darboux

L'idée est d'encadrer $f$ par deux fonctions en escalier, l'une en dessous, l'autre au-dessus, construites sur une même subdivision.

Ces sommes sont bien définies parce que $f$ est bornée. Trois propriétés élémentaires gouvernent toute la construction.

Démonstration. Le point 1 vient de $m_{k} \leq M_{k}$ . Pour le point 2, il suffit de traiter l'ajout d'un seul point $c \in] x_{k - 1}, x_{k} [$ . Le terme est remplacé par , où et sont les bornes inférieures de sur et ; comme ces deux intervalles sont contenus dans , on a et , donc le nouveau terme est supérieur ou égal à l'ancien. Le raisonnement est symétrique pour . Pour le point 3, la subdivision est plus fine que chacune, d'où .

Le point 3 dit que toute somme inférieure est plus petite que toute somme supérieure. L'ensemble des sommes inférieures est donc majoré et l'ensemble des sommes supérieures minoré: par l'axiome de la borne supérieure (chapitre 1), on peut définir

I_{-} (f) = σ sup s (f, σ) et I_{+} (f) = σ in f S (f, σ),

les intégrales inférieure et supérieure de $f$ , et l'on a toujours $I_{-} (f) \leq I_{+} (f)$ .

La variable $x$ est muette: $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t$ . Le symbole $\int$ est un S allongé, initiale de «somme», et rappelle la largeur des rectangles: la notation, due à Leibniz, est une somme de rectangles infiniment fins.

Le critère d'intégrabilité

Décider si $I_{-} (f) = I_{+} (f)$ directement est peu commode. Le critère suivant remplace le calcul de deux bornes par une seule estimation.

Démonstration. Supposons (10.3) satisfaite. Pour la subdivision $σ$ correspondante, $s (f, σ) \leq I_{-} (f) \leq I_{+} (f) \leq S (f, σ)$ , donc . Ceci pour tout force .

Réciproquement, supposons $f$ intégrable, d'intégrale $I$ , et fixons $ε > 0$ . Par définition de la borne supérieure, il existe $σ_{1}$ avec $s (f, σ_{1}) > I - ε /2$ ; par définition de la borne inférieure, il existe avec . Pour , le lemme 10.1 donne , d'où .

Une fonction non intégrable

Sommes de Riemann

Les sommes de Darboux exigent de connaître les bornes de $f$ sur chaque sous-intervalle, ce qui est pénible en pratique. Riemann utilise des sommes plus souples: on évalue $f$ en un point quelconque de chaque sous-intervalle.

Comme $m_{k} \leq f (ξ_{k}) \leq M_{k}$ , toute somme de Riemann est coincée entre les sommes de Darboux: $s (f, σ) \leq R (f, σ, ξ) \leq S (f, σ)$ . Si est intégrable, l'intégrale est elle aussi dans cet intervalle, et lorsque tend vers les sommes de Riemann tendent vers l'intégrale. Le théorème suivant précise que cela se produit dès que le pas de la subdivision tend vers , sans qu'on ait à choisir astucieusement les points .

Nous admettons ce théorème sous cette forme générale: la démonstration, technique, consiste à montrer que $S (f, σ) - s (f, σ)$ devient petit dès que le pas est petit (et pas seulement pour une subdivision particulière). Pour une fonction continue, il découle directement de la preuve du théorème 10.4 ci-dessous, qui établit que $S (f, σ) - s (f, σ) \leq (b - a) ε$ pour subdivision de pas inférieur à .

Explorateur 10.1 · Sommes de Riemann de x² sur [0, 2]

Somme de Riemann de $f (x) = x^{2}$ sur $[0, 2]$ : choisissez le nombre $n$ de sous-intervalles et la règle (point à l'extrémité gauche, au milieu, à l'extrémité droite, ou trapèzes). L'intégrale exacte vaut $8/3$ . Regardez les deux dernières lectures: pour les règles aux extrémités, c'est $n \cdot$ erreur qui se stabilise (erreur en $1/ n$ ); pour le milieu et les trapèzes, c'est $n^{2} \cdot$ erreur (erreur en $1/ n^{2}$ ), et le milieu fait deux fois mieux que les trapèzes, avec le signe opposé.

Nombre de sous-intervalles n8

Règleextrémité gauche

Somme approchée

2,18750

Intégrale exacte 8/3

2,66667

Erreur

−0,47917

Pas h = 2/n

0,2500

n · erreur

−3,8333

n² · erreur

−30,6667

Question 10.1

Calculez la somme de Riemann à gauche de $f (x) = x^{2}$ sur $[0, 1]$ pour la subdivision régulière à $n = 4$ pas.

Question 10.2

Soit $f$ bornée sur $[a, b]$ et $σ^{'}$ une subdivision plus fine que $σ$ . Laquelle de ces affirmations est toujours vraie?

Fonctions intégrables et propriétés de l'intégrale

Les fonctions continues et les fonctions monotones sont intégrables

Démonstration. Une fonction continue sur un segment est bornée (théorème de Weierstrass, chapitre 5), donc les sommes de Darboux ont un sens. Fixons $ε > 0$ . Par le théorème de Heine (chapitre 5), $f$ est uniformément continue sur $[a, b]$ : il existe $δ > 0$ tel que $∣ x - y ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - f (y)∣ < ε$ . Prenons une subdivision de pas . Sur chaque sous-intervalle , la fonction continue atteint son minimum en un point et son maximum en un point (Weierstrass encore); comme , on a . Par conséquent

S (f, σ) - s (f, σ) = k = 1 \sum n (M_{k} - m_{k}) (x_{k} - x_{k - 1}) < ε k = 1 \sum n (x_{k} - x_{k - 1}) = ε (b - a) .

Comme $ε (b - a)$ est arbitrairement petit, le critère 10.2 est satisfait. $□$

Question 10.3

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration «toute fonction continue sur $[a, b]$ est intégrable».

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Sur chaque sous-intervalle,

f

atteint son minimum

m_{k}

et son maximum

M_{k}

en deux points distants de moins de

δ

, donc

M_{k} - m_{k} < ε

Conclure par le critère d'intégrabilité de Darboux

Choisir une subdivision

σ

de pas strictement inférieur à

δ

Sommer:

S (f, σ) - s (f, σ) < ε (b - a)

Fixer

ε > 0

et invoquer le théorème de Heine:

f

est uniformément continue, ce qui fournit un

δ

Démonstration. Supposons $f$ croissante (le cas décroissant est analogue). Alors $f$ est bornée par $f (a)$ et $f (b)$ . Pour la subdivision régulière à $n$ pas, de pas $h = (b - a) / n$ , la croissance donne $m_{k} = f (x_{k - 1})$ et , de sorte que la somme est télescopique:

S (f, σ) - s (f, σ) = h k = 1 \sum n (f (x_{k}) - f (x_{k - 1})) = h (f (b) - f (a)) = \frac{( b - a ) ( f ( b ) - f ( a ) )}{n} .

Cette quantité tend vers $0$ : pour $ε > 0$ donné, il suffit de prendre $n$ assez grand pour satisfaire (10.3). $□$

Ce résultat est remarquable, car une fonction monotone peut avoir une infinité de discontinuités (une à chaque point d'une suite, par exemple). Plus généralement, on démontre qu'une fonction continue par morceaux — continue sur $[a, b]$ sauf en un nombre fini de points, où elle admet des limites à gauche et à droite finies — est intégrable: on découpe $[a, b]$ aux points de discontinuité et l'on applique le théorème 10.4 sur chaque morceau, les valeurs prises en un nombre fini de points n'influençant pas les sommes de Darboux lorsque le pas tend vers $0$ . Les signaux rectangulaires ou en dents de scie de l'électronique entrent dans cette catégorie.

Propriétés de l'intégrale

Démonstration. Tout se lit sur les sommes de Darboux, sans passer par le théorème 10.3 (admis).

Linéarité. Sur chaque sous-intervalle, $in f f + in f g \leq in f (f + g)$ et $sup (f + g) \leq sup f + sup g$ ; en multipliant par les longueurs et en sommant,

s (f, σ) + s (g, σ) \leq s (f + g, σ) \leq S (f + g, σ) \leq S (f, σ) + S (g, σ) .

Donnons-nous $ε > 0$ et, par le critère 10.2 et le lemme 10.1, une subdivision commune $σ$ (réunion de deux subdivisions) telle que $S (f, σ) - s (f, σ) < ε$ et $S (g, σ) - s (g, σ) < ε$ . L'encadrement donne : est intégrable, et son intégrale, comme , est comprise entre et , deux nombres distants de moins de ; d'où l'égalité. Pour , et ; pour , les rôles de et s'échangent: . Dans les deux cas, .

Positivité. Si $f \geq 0$ , toute somme inférieure est positive ou nulle, donc $\int_{a}^{b} f = I_{-} (f) \geq 0$ ; la croissance s'en déduit en appliquant ce résultat à $g - f$ .

Valeur absolue et produit. Notons $ω_{k} (f) = M_{k} - m_{k}$ l'oscillation de $f$ sur le $k$ -ième sous-intervalle: c'est le plus grand écart pour dans ce sous-intervalle. Comme , on a , et le critère (10.3) passe de à ; l'inégalité découle de la croissance appliquée à . Pour le produit, si et , l'identité donne , donc , que l'on rend aussi petit que l'on veut.

Chasles. Ajouter le point $c$ à une subdivision ne peut qu'améliorer (10.3) (lemme 10.1); une subdivision de $[a, b]$ contenant $c$ se coupe en une subdivision de $[a, c]$ et une de $[c, b]$ , et ses sommes de Darboux se séparent en deux paquets. Les écarts $S - s$ des deux morceaux sont majorés par celui de $[a, b]$ , ce qui donne l'intégrabilité sur chaque morceau et l'additivité; la réciproque se lit de la même façon, en réunissant une subdivision de chaque morceau.

Inégalité et théorème de la moyenne

Démonstration. C'est la croissance appliquée à $m \leq f \leq M$ , sachant que l'intégrale de la constante $c$ vaut $c (b - a)$ (fonction en escalier à un seul palier). $□$

Cette définition prolonge la moyenne arithmétique: la valeur moyenne est la limite des moyennes $\frac{1}{n} \sum f (ξ_{k})$ des valeurs prises par $f$ en $n$ points régulièrement espacés, comme le montre (10.5) avec $h = (b - a) / n$ .

Démonstration. Par le théorème de Weierstrass, $f$ atteint son minimum $m$ et son maximum $M$ sur $[a, b]$ . D'après (10.6), la valeur moyenne $\overset{ˉ}{f}$ est comprise entre $m$ et $M$ . Le théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 5) fournit alors un $c \in [a, b]$ tel que .

Pour la forme généralisée, $f g$ est intégrable (théorème 10.6, point 5) et, comme $g \geq 0$ , $m g \leq f g \leq M g$ ; par croissance, $m \int_{a}^{b} g \leq \int_{a}^{b} f g \leq M \int_{a}^{b} g$ . Si , les deux membres de la formule sont nuls et tout convient. Sinon, le quotient est compris entre et , et le théorème des valeurs intermédiaires le fait atteindre par . Le cas redonne la première forme.

La forme généralisée dit qu'une moyenne pondérée par un poids positif $g$ est encore une valeur de $f$ : c'est elle qui fournira, au chapitre 11, le reste de Lagrange à partir du reste intégral de Taylor.

Démonstration. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $x_{0} \in [a, b]$ avec $f (x_{0}) > 0$ . Par continuité, il existe $δ > 0$ tel que $f (x) > f (x_{0}) /2$ pour tout avec ; cet ensemble contient un segment de longueur . Par la relation de Chasles et la positivité de sur les deux autres morceaux,

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{u} f + \int_{u}^{v} f + \int_{v}^{b} f \geq 0 + \frac{f ( x _{0} )}{2} ℓ + 0 > 0,

ce qui contredit l'hypothèse. $□$

Question 10.4

Soit $f$ continue sur $[0, 4]$ avec $1 \leq f (x) \leq 3$ pour tout $x$ , et $\int_{0}^{4} f (x) d x = 6$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie?

Le théorème fondamental de l'analyse

Primitives

Démonstration. Toute fonction $F + C$ est dérivable de dérivée $f$ . Réciproquement, si $G$ est une autre primitive, $(G - F)^{'} = f - f = 0$ sur l'intervalle ; une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante (corollaire du théorème des accroissements finis, chapitre 8), d'où .

L'hypothèse «intervalle» est essentielle: sur $R^{*}$ , qui n'est pas un intervalle, la fonction valant $ln x$ pour $x > 0$ et $ln (- x) + 7$ pour $x < 0$ est une primitive de $1/ x$ qui ne diffère pas de $ln ∣ x ∣$ d'une constante globale.

Notation. On note $\int f (x) d x$ (sans bornes) une primitive quelconque de $f$ sur l'intervalle considéré; elle n'est définie qu'à une constante près, ce que rappelle l'écriture $\int f (x) d x = F (x) + C$ . Cette intégrale indéfinie est une fonction, alors que $\int_{a}^{b} f$ est un nombre.

On sait dériver beaucoup de fonctions; on sait donc «à l'envers» beaucoup de primitives. Mais rien, jusqu'ici, ne garantit qu'une fonction continue quelconque possède une primitive: c'est le théorème fondamental qui l'établit, en la construisant comme une intégrale.

Le théorème fondamental

Démonstration. Fixons $x \in [a, b]$ et soit $h \neq = 0$ tel que $x + h \in [a, b]$ . Par la relation de Chasles,

F (x + h) - F (x) = \int_{a}^{x + h} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t = \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

Point 1. Une fonction intégrable est bornée par définition: $∣ f ∣ \leq K$ . L'inégalité de la moyenne (10.6), appliquée sur le segment d'extrémités $x$ et $x + h$ , donne $∣ F (x + h) - F (x)∣ \leq K ∣ h ∣$ , ce qui est la propriété de Lipschitz; elle entraîne la continuité (prendre si ).

Point 2. Supposons maintenant $f$ continue au point $x$ . Comme $\int_{x}^{x + h} f (x) d t = f (x) h$ (intégrale d'une constante), on peut écrire

\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .

Soit $ε > 0$ . Par continuité de $f$ en $x$ , il existe $δ > 0$ tel que $∣ f (t) - f (x)∣ < ε$ dès que $∣ t - x ∣ < δ$ . Pour , tout entre et vérifie cette condition, et l'inégalité de la moyenne (10.6), appliquée sur le segment d'extrémités et (de longueur ), donne

\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} - f (x) \leq \frac{1}{∣ h ∣} \cdot ε ∣ h ∣ = ε .

Ceci prouve que $h \to 0 lim \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = f (x)$ , c'est-à-dire $F^{'} (x) = f (x)$ (dérivée à droite en , à gauche en ).

Le théorème 10.11 est l'un des sommets de l'analyse: il affirme que l'intégration est l'opération inverse de la dérivation, et il garantit que toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives. Le point 1 dit en outre que l'intégration régularise: même si $f$ saute (un signal rectangulaire, une force appliquée brusquement), $F$ est continue; en un saut de $f$ , $F$ présente seulement un point anguleux, où elle n'est pas dérivable. Par exemple, pour $f = - 1$ sur $[- 1, 0 [$ et $f = 1$ sur , . La conséquence pratique du théorème est immédiate.

Démonstration. La fonction $F (x) = \int_{a}^{x} f$ est une primitive de $f$ (théorème 10.11); par la proposition 10.10, $G = F + C$ pour une constante $C$ . Alors .

Primitives non élémentaires

Le théorème fondamental garantit que toute fonction continue possède une primitive, à savoir $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ . Il ne garantit pas que cette primitive s'écrive avec les fonctions élémentaires (polynômes, exponentielle, logarithme, fonctions trigonométriques et leurs réciproques, combinées par opérations et compositions). Pour $e^{- x^{2}}$ , ou , c'est impossible: cela découle des travaux de Joseph Liouville sur l'intégration en termes finis (années 1830), que nous admettons. Ces primitives existent pourtant et sont des fonctions parfaitement utiles, qui ont reçu un nom: la des probabilités, le de l'optique, le de la théorie des nombres. On les calcule par les méthodes numériques de la dernière section, par des séries (chapitre 9), ou, pour certaines intégrales sur un intervalle entier, par des astuces qui contournent la primitive: l'intégrale de Gauss (exemple 11.6) en est l'exemple le plus célèbre.

Primitives usuelles

Le tableau suivant, obtenu en lisant «à l'envers» celui des dérivées (chapitre 7), est à connaître. Chaque primitive est donnée à une constante près, sur tout intervalle où la fonction est continue.

Fonction $f (x)$	Primitive $F (x)$	Intervalle
$x^{n}$ ( $n \in N$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$

Dérivée d'une intégrale à bornes variables

Combinons le théorème fondamental et la règle de dérivation des fonctions composées (chapitre 7). Soient $f$ continue sur un intervalle $I$ , et $u, v$ dérivables à valeurs dans $I$ . Si $F$ désigne une primitive de $f$ , la relation de Chasles donne

Φ (x) = \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = F (v (x)) - F (u (x)),

d'où, en dérivant,

Φ^{'} (x) = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) . (10.9)

Question 10.5

Soit $Φ (x) = \int_{1}^{x^{3}} \frac{d t}{t}$ pour $x > 0$ . Calculez $Φ^{'} (2)$ .

Premières techniques de calcul

Le chapitre 11 est consacré aux méthodes systématiques d'intégration (intégration par parties, changement de variable, fractions rationnelles). Voici dès maintenant les réflexes qui suffisent pour une grande partie des calculs.

Linéarité et primitives «à vue»

Par linéarité, une somme de fonctions du tableau s'intègre terme à terme. Ensuite, la règle de dérivation des fonctions composées, lue à l'envers, fournit trois formes qu'il faut savoir reconnaître au premier coup d'œil:

\int u^{'} (x) u (x)^{n} d x = \frac{u ( x ) ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1), \int \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )} d x = ln ∣ u (x)∣ + C, \int u^{'} (x) e^{u (x)} d x = e^{u (x)} + C . (10.10)

Ces formules valent sur tout intervalle où $u$ est de classe $C^{1}$ et, pour la deuxième, ne s'annule pas; pour la première avec un exposant $n$ non entier, il faut de plus $u > 0$ . Dans chaque cas, le facteur $u^{'}$ doit être présent (à une constante multiplicative près, que l'on ajuste): $\int x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} \int 2 x e^{x^{2}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$ , mais n'est pas de cette forme et n'a pas de primitive élémentaire.

Valeur efficace d'un signal sinusoïdal

Aire entre deux courbes

Si $f \leq g$ sur $[a, b]$ , l'aire de la région comprise entre les deux graphes vaut $\int_{a}^{b} (g (x) - f (x)) d x$ : c'est la différence des aires sous chaque courbe (ou, si les fonctions changent de signe, le résultat de la translation verticale qui les rend positives, laquelle ne change pas l'aire entre elles). Lorsque les courbes se croisent, on découpe l'intervalle aux points d'intersection.

Sommes de Riemann et limites de suites

La formule (10.5), lue de droite à gauche, transforme certaines limites de suites en intégrales. La forme à repérer est

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x, (10.12)

valable pour $f$ continue sur $[0, 1]$ (somme à droite de la subdivision régulière). Le facteur $1/ n$ joue le rôle de $d x$ et $k / n$ celui de $x$ .

Question 10.6

Que vaut $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$ ?

Approximation numérique d'une intégrale

Lorsqu'aucune primitive explicite n'est disponible — situation courante en ingénierie, où $f$ est parfois seulement connue par des mesures — on revient à l'idée des sommes de Riemann. Sur la subdivision régulière de pas $h = (b - a) / n$ , notons $x_{k} = a + k h$ et $y_{k} = f (x_{k})$ .

Méthode des rectangles. C'est la somme de Riemann à gauche, à droite ou au point milieu:

R_{g} = h k = 0 \sum n - 1 y_{k}, R_{d} = h k = 1 \sum n y_{k}, R_{m} = h k = 0 \sum n - 1 f (x_{k} + \frac{h}{2}) .

Pour $f$ monotone, $R_{g}$ et $R_{d}$ encadrent l'intégrale et leur erreur est de l'ordre de $h$ ; la méthode du point milieu est nettement meilleure (erreur en $h^{2}$ ), car les erreurs de part et d'autre du milieu se compensent partiellement.

Méthode des trapèzes. On remplace $f$ sur chaque sous-intervalle par la corde joignant $(x_{k - 1}, y_{k - 1})$ à $(x_{k}, y_{k})$ ; l'aire du trapèze vaut , d'où

T_{n} = h (\frac{y _{0}}{2} + y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n - 1} + \frac{y _{n}}{2}) = \frac{R _{g} + R _{d}}{2} . (10.13)

Nous admettons ce résultat, dont la preuve repose sur la formule de Taylor avec reste (chapitre 9) appliquée sur chaque sous-intervalle. Sa leçon pratique: diviser le pas par $2$ divise l'erreur par $4$ . Pour une fonction convexe, la corde est au-dessus du graphe et $T_{n}$ surestime l'intégrale; pour une fonction concave, $T_{n}$ la sous-estime.

Méthode de Simpson. On remplace $f$ sur chaque paire de sous-intervalles $[x_{2 j}, x_{2 j + 2}]$ par la parabole passant par les trois points correspondants ( $n$ doit être pair). On obtient

S_{n} = \frac{h}{3} (y_{0} + 4 y_{1} + 2 y_{2} + 4 y_{3} + \dots + 2 y_{n - 2} + 4 y_{n - 1} + y_{n}), (10.14)

avec une erreur majorée par $\frac{( b - a ) M _{4}}{180} h^{4}$ ( $M_{4}$ majorant de ): diviser le pas par divise l'erreur par . C'est la brique de base de nombreuses méthodes adaptatives, qui raffinent le pas là où varie vite.

Question 10.7

On approche $\int_{0}^{2} x^{2} d x = 8/3$ par la méthode des trapèzes avec $n = 2$ ( $h = 1$ ). Quelle valeur obtient-on, et pourquoi est-elle du côté attendu?

Synthèse

L'intégrale de Riemann d'une fonction bornée est la valeur commune de $sup_{σ} s (f, σ)$ et $in f_{σ} S (f, σ)$ ; $f$ est intégrable si et seulement si $S (f, σ) - s (f, σ)$ peut être rendu plus petit que tout .

Série d'exercices du chapitre 10Exercice 1 sur 5

Question 10.8

Laquelle de ces fonctions n'est pas intégrable au sens de Riemann sur $[0, 1]$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 10.1 · Intégrale de x³ par sommes de Riemann

On admet $k = 1 \sum n k^{3} = (\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2}$ .

Exercice 10.2 · Calculs de primitives et d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes.

$\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 4) d x$
$\int_{1}^{2} \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x} d x$

Exercice 10.3 · Étude d'une fonction définie par une intégrale

Soit $H (x) = \int_{x}^{2 x} e^{- t^{2}} d t$ pour .

Exercice 10.4 · Limites de suites et approximation de π

Calculer $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}}$ .

Exercice 10.5 · Inégalité de Cauchy–Schwarz pour les intégrales

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ .

Pour $λ \in R$ , justifier que $P (λ) = \int_{a}^{b} (f (x) + λ g (x))^{2} d x \geq 0$ et développer comme un polynôme du second degré en .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston, chap. 13–14.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3ᵉ éd., McGraw-Hill, New York, chap. 6.
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2ᵉ éd., Wiley, New York.

Méthode	Valeur	Erreur
Rectangles à gauche	$0, 25 (1 + 0, 939413 + 0, 778801 + 0, 569783) = 0, 821999$	$+ 0, 075175$
Rectangles à droite	$0, 25 (0, 939413 + 0, 778801 + 0, 569783 + 0, 367879) = 0, 663969$	$- 0, 082855$
Point milieu	$0, 25 (0, 984496 + 0, 868815 + 0, 676634 + 0, 465043) = 0, 748747$	$+ 0, 001923$
Trapèzes	$0, 25 (0, 5 + 0, 939413 + 0, 778801 + 0, 569783 + 0, 183940) = 0, 742984$	$- 0, 003840$
Simpson	$\frac{0 , 25}{3} (1 + 4 \cdot 0, 939413 + 2 \cdot 0, 778801 + 4 \cdot 0, 569783 + 0, 367879) = 0, 746855$