Formulaire · Analyse I

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les définitions, formules et théorèmes essentiels du cours, avec la notation des chapitres. Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de ses conditions de validité; les démonstrations, les exemples et les pièges classiques se trouvent dans les chapitres.

Renvois. Un numéro entre parenthèses, comme (3.4), désigne toujours une équation numérotée du chapitre; un bloc est cité avec son label abrégé: «th. 3.5» (théorème, proposition, lemme ou corollaire), «déf. 3.13» (définition), «ex. 3.4» (exemple), «exercice 2.5».

Conventions. $N = {0, 1, 2, \dots}$ , $N^{*} = N ∖ {0}$ ; $e$ et $i$ en romain, $ln$ pour le logarithme népérien; intervalles ouverts $] a, b [$ ; virgule décimale ( $e \approx 2, 718$ ). « $f$ de classe $C^{n}$ » signifie que $f^{(n)}$ existe et est continue (déf. 7.4); $sgn x$ vaut $1$ , $- 1$ ou $0$ selon que $x > 0$ , $x < 0$ ou $x = 0$ .

Chapitre 1 – Nombres réels

s = sup A ⟺ (\forall a \in A, a \leq s) et (\forall ε > 0, \exists a \in A, a > s - ε)

Caractérisation de la borne supérieure d'une partie $A \subset R$ non vide et majorée (th. 1.3). Toute partie non vide et majorée de $R$ possède une borne supérieure: c'est l'axiome de la borne supérieure (th. 1.2). De façon symétrique, $m = in f A$ si $m$ minore $A$ et si, pour tout $ε > 0$ , il existe $a \in A$ avec .

\forall x \in R, \exists n \in N : n > x, ⌊ x ⌋ \leq x < ⌊ x ⌋ + 1

Propriété d'Archimède (th. 1.4) et partie entière (déf. 1.2). Entre deux réels distincts il existe toujours un rationnel et un irrationnel (densité, th. 1.5). Pour tout $a \geq 0$ , il existe un unique $s \geq 0$ tel que $s^{2} = a$ , noté $a$ (th. 1.6).

∣ x ∣ = x^{2}, ∣ x y ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣, ∣ x ∣ < r ⟺ - r < x < r, ∣ x ∣ - ∣ y ∣ \leq ∣ x - y ∣, ∣ x + y ∣ \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣

Valeur absolue (déf. 1.3, (1.2)) et inégalité triangulaire (th. 1.7); $∣ x - a ∣ < r$ signifie $x \in] a - r, a + r [$ , voisinage de $a$ (déf. 1.4). Une partie $I \subset R$ est un intervalle si et seulement si pour tous de (th. 1.8).

Topologie de $R$ . $A$ est ouvert si chacun de ses points est le centre d'un intervalle ouvert inclus dans $A$ , fermé si son complémentaire est ouvert (déf. 1.5); les réunions quelconques et les intersections finies d'ouverts sont ouvertes (th. 1.9). $A$ est fermé si et seulement s'il contient tous ses points adhérents (déf. 1.6, th. 1.10); une partie fermée, non vide et majorée contient sa borne supérieure (th. 1.11).

(1 + x)^{n} \geq 1 + n x (x \geq - 1, n \in N), ab \leq \frac{a + b}{2} (a, b \geq 0)

(k = 1 \sum n a_{k} b_{k})^{2} \leq (k = 1 \sum n a_{k}^{2}) (k = 1 \sum n b_{k}^{2})

Inégalités de Bernoulli (th. 1.12, (1.3)), arithmético-géométrique (th. 1.13, (1.4), égalité si et seulement si $a = b$ ) et de Cauchy–Schwarz (th. 1.14, (1.5)).

k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1)

Sommes usuelles, démontrées par récurrence (principe de récurrence, th. 1.15); la dernière est la somme géométrique (1.6).

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, (k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1), (a + b)^{n} = k = 0 \sum n (k n) a^{k} b^{n - k}

Coefficients binomiaux (déf. 1.7), relation de Pascal (1.7) et formule du binôme de Newton (th. 1.16, (1.8)), valable pour tous réels ou complexes $a, b$ et tout $n \in N$ , avec $0! = 1$ .

erreur absolue ∣ \tilde{x} - x ∣, erreur relative \frac{∣ x ~ - x ∣}{∣ x ∣} (x \neq = 0)

Erreur commise en remplaçant $x$ par une approximation $\tilde{x}$ (déf. 1.8).

Chapitre 2 – Nombres complexes

z = a + i b, i^{2} = - 1, \overset{z}{ˉ} = a - i b, ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = z \overset{z}{ˉ}, \frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{∣ z ∣ ^{2}}

Forme algébrique (déf. 2.1, (2.1)), conjugué (déf. 2.2), module (déf. 2.3, (2.4)) et inverse (2.3). On a $Re z = (z + \overset{z}{ˉ}) /2$ , $Im z = (z - \overset{z}{ˉ}) / (2 i)$ , (th. 2.1), et , avec égalité pour si et seulement si , (th. 2.2).

z = r (cos θ + i sin θ) = r e^{i θ}, e^{i θ} = cos θ + i sin θ, z w = r s e^{i (θ + φ)}, \frac{z}{w} = \frac{r}{s} e^{i (θ - φ)}

Forme trigonométrique (déf. 2.4, (2.5)), formule d'Euler (déf. 2.5, (2.6)) et produit en forme polaire (th. 2.3, (2.8)): $r = ∣ z ∣$ , $θ = ar g z$ défini modulo $2 π$ , $w = s e^{i φ} \neq = 0$ . Les modules se multiplient, les arguments s'additionnent. Plus généralement, (déf. 2.5).

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}, sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i}, (cos θ + i sin θ)^{n} = cos (n θ) + i sin (n θ)

Formules d'Euler (2.7) et formule de Moivre (th. 2.4, (2.9)), $n \in Z$ : elles servent à linéariser $cos^{n} θ$ , $sin^{n} θ$ et à exprimer $cos (n θ)$ en fonction de $cos θ$ . Somme de cosinus (exercice 2.5), pour $θ \in / 2 π Z$ :

k = 0 \sum n cos (k θ) = \frac{sin ( \frac{( n + 1 ) θ}{2} ) cos ( \frac{n θ}{2} )}{sin ( \frac{θ}{2} )}

Géométrie dans $C$ . $∣ z - w ∣$ est la distance des points $z$ et $w$ ; cercle $∣ z - a ∣ = r$ , médiatrice $∣ z - a ∣ = ∣ z - b ∣$ ; translation , homothétie , rotation de centre et d'angle : .

z^{n} = w = ρ e^{i α} ⟺ z = z_{k} = n ρ e^{i (α + 2 k π) / n}, k = 0, \dots, n - 1; ω_{k} = e^{2 i k π / n}

Racines $n$ -ièmes d'un complexe non nul (th. 2.6, (2.11)) et racines $n$ -ièmes de l'unité (th. 2.5, (2.10)): $n$ points régulièrement espacés sur le cercle de rayon $n ρ$ ; on a $\sum_{k = 0}^{n - 1} ω_{k} = 0$ pour .

a z^{2} + b z + c = 0 ⟺ z_{1, 2} = \frac{- b \pm δ}{2 a}, δ^{2} = Δ = b^{2} - 4 a c, z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a}, z_{1} z_{2} = \frac{c}{a}

Équation du second degré dans $C$ (th. 2.7, (2.13)), $a \neq = 0$ , $δ$ l'une des deux racines carrées complexes de $Δ$ . La racine carrée $x + i y$ de $a + i b$ se trouve par $x^{2} - y^{2} = a$ , , (2.12). Tout polynôme de degré s'écrit (th. 2.8, (2.14), d'Alembert–Gauss); les racines non réelles d'un polynôme réel vont par paires conjuguées (th. 2.9), et pour (2.15): tout polynôme réel est un produit de facteurs réels de degré et de degré à discriminant négatif.

\underline{Z} = R + i (L ω - \frac{1}{C ω}), \underline{I} = \frac{U _{0}}{Z}, I_{0} = \frac{U _{0}}{R ^{2} + X ^{2}}, φ = - arctan \frac{X}{R}

Phaseurs et circuit RLC série alimenté par $U_{0} cos (ω t)$ ((2.16), (2.17)): impédance $\underline{Z}$ de réactance $X = L ω - 1/ (C ω)$ ; le courant vaut $I_{0} cos (ω t + φ)$ .

Chapitre 3 – Suites numériques

u_{n} \to ℓ ⟺ \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n \geq N : ∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε

Définition $ε$ – $N$ de la convergence (déf. 3.5, (3.3)); la limite est unique (th. 3.1) et toute suite convergente est bornée (th. 3.2). $u_{n} \to + \infty$ si, pour tout $A$ , on a $u_{n} > A$ à partir d'un certain rang (déf. 3.6). Les limites passent aux sommes, produits et quotients (dénominateur de limite non nulle, th. 3.3), sauf dans les formes indéterminées , , , .

u_{n} = u_{0} + n r, k = 0 \sum n u_{k} = (n + 1) \frac{u _{0} + u _{n}}{2}; u_{n} = u_{0} q^{n}, k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} (q \neq = 1)

Suites arithmétiques de raison $r$ et géométriques de raison $q$ (déf. 3.2, (3.1), (3.2)); $q^{n} \to 0$ si $∣ q ∣ < 1$ , $q^{n} \to + \infty$ si , pas de limite si (th. 3.6).

n n \to 1, n a \to 1 (a > 0), (1 + \frac{1}{n})^{n} \to e, \frac{ln n}{n ^{a}} \to 0, \frac{n ^{a}}{q ^{n}} \to 0, \frac{q ^{n}}{n !} \to 0, \frac{n !}{n ^{n}} \to 0

Limites de référence (th. 3.6) et croissances comparées (3.4), pour $a > 0$ et $q > 1$ : le logarithme est dominé par les puissances, les puissances par les exponentielles, celles-ci par la factorielle, elle-même par $n^{n}$ . Le nombre $e$ est défini comme $\sum_{k \geq 0} 1/ k!$ (ex. 3.4); la limite est démontrée au chapitre 6 (th. 6.10).

v_{n} \leq u_{n} \leq w_{n} et v_{n} \to ℓ, w_{n} \to ℓ ⟹ u_{n} \to ℓ

Théorème des gendarmes (th. 3.5); en particulier $∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq w_{n} \to 0$ entraîne $u_{n} \to ℓ$ . Le passage à la limite conserve les inégalités larges (), jamais les strictes (th. 3.4).

(u_{n}) croissante et major \overset{e}{ˊ} e ⟹ u_{n} \to n sup u_{n}; (u_{n}) ↗, (v_{n}) ↘, v_{n} - u_{n} \to 0 ⟹ lim u_{n} = lim v_{n}

Théorème de la limite monotone (th. 3.7) et suites adjacentes (déf. 3.7, th. 3.8): une suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$ ; la limite commune $ℓ$ de deux suites adjacentes vérifie $u_{n} \leq ℓ \leq v_{n}$ pour tout $n$ .

Bolzano-Weierstrass: toute suite born \overset{e}{ˊ} e poss \overset{e}{ˋ} de une sous-suite convergente.

Théorème 3.9. Une sous-suite est $(u_{φ (n)})$ avec $φ$ strictement croissante (déf. 3.8), une valeur d'adhérence est la limite d'une sous-suite (déf. 3.9). Une suite converge vers $ℓ$ si et seulement si toutes ses sous-suites convergent vers $ℓ$ : deux sous-suites de limites différentes prouvent la divergence.

n \to \infty lim sup u_{n} = n \to \infty lim k \geq n sup u_{k}, n \to \infty lim inf u_{n} = n \to \infty lim k \geq n in f u_{k}

Limites supérieure et inférieure d'une suite bornée (déf. 3.10). Pour tout $ε > 0$ , $u_{n} < lim sup u_{n} + ε$ à partir d'un certain rang et $u_{n} > lim sup u_{n} - ε$ pour une infinité d'indices (th. 3.10); et sont la plus grande et la plus petite valeur d'adhérence, et converge si et seulement si elles sont égales (th. 3.11).

(u_{n}) de Cauchy ⟺ \forall ε > 0, \exists N, \forall m, n \geq N : ∣ u_{m} - u_{n} ∣ < ε

Suite de Cauchy (déf. 3.11, (3.5)). Critère de Cauchy (th. 3.12): dans $R$ , une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy (complétude), ce qui est faux dans $Q$ .

u_{n + 1} = f (u_{n}), f (I) \subset I, u_{0} \in I, u_{n} \to ℓ \in I, f continue en ℓ ⟹ f (ℓ) = ℓ; u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) \to a

Suites récurrentes (déf. 3.12, th. 3.13): la limite éventuelle est un point fixe; la monotonie se lit sur le signe de $f (x) - x$ et la convergence vient de la limite monotone. Méthode de Héron (3.6): pour $u_{0} > 0$ , $u_{n} \geq a$ dès et la suite décroît vers de façon quadratique.

u_{n} = o (v_{n}) ⟺ \frac{u _{n}}{v _{n}} \to 0, u_{n} = O (v_{n}) ⟺ \frac{u _{n}}{v _{n}} born \overset{e}{ˊ} e, u_{n} \sim v_{n} ⟺ \frac{u _{n}}{v _{n}} \to 1

Suites négligeables, dominées, équivalentes (déf. 3.13, $v_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang). Deux suites équivalentes ont la même limite éventuelle et le même signe à partir d'un certain rang; les équivalents se multiplient et se divisent, mais ne s'additionnent pas (th. 3.14). Règle de d'Alembert pour les suites (th. 3.15): si $∣ u_{n + 1} / u_{n} ∣ \to ℓ$ , alors pour et pour .

Chapitre 4 – Séries numériques

S_{N} = n = 0 \sum N u_{n}, n \geq 0 \sum u_{n} converge ⟺ (S_{N}) converge, \sum u_{n} converge ⟹ u_{n} \to 0

Sommes partielles (déf. 4.1) et condition nécessaire (th. 4.1): si $u_{n} \neq \to 0$ , la série diverge grossièrement; la réciproque est fausse (série harmonique). Critère de Cauchy pour les séries (th. 4.11): $\sum u_{n}$ converge si et seulement si $\sum_{n = N + 1}^{M} u_{n} < ε$ pour assez grands.

n = 0 \sum \infty x^{n} = \frac{1}{1 - x}, R_{N} = \frac{x ^{N + 1}}{1 - x} (∣ x ∣ < 1), n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}, n = 0 \sum N (a_{n + 1} - a_{n}) = a_{N + 1} - a_{0}

Série géométrique et son reste (th. 4.2, (4.1)), divergente si $∣ x ∣ \geq 1$ ; série géométrique dérivée (th. 4.13, (4.5)); série télescopique (th. 4.3), convergente si et seulement si $(a_{n})$ converge.

n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{p}} converge ⟺ p > 1, \frac{1}{( p - 1 ) ( N + 1 ) ^{p - 1}} \leq R_{N} \leq \frac{1}{( p - 1 ) N ^{p - 1}}

Séries de Riemann (th. 4.6) et encadrement du reste (4.3), conséquence de la comparaison série–intégrale (th. 4.7, démontrée au th. 11.11): pour $f$ continue, positive et décroissante, $\sum f (n)$ et $\int_{1}^{+ \infty} f$ sont de même nature et $\int_{N + 1}^{+ \infty} f \leq R_{N} \leq \int_{N}^{+ \infty} f$ (4.2). Valeur remarquable (Euler, admise): .

0 \leq u_{n} \leq v_{n} : \sum v_{n} converge ⟹ \sum u_{n} converge; u_{n} \sim v_{n}, v_{n} > 0 ⟹ \sum u_{n} et \sum v_{n} de m \overset{e}{ˆ} me nature

Critères de comparaison et des équivalents (th. 4.5) pour les séries à termes positifs; une série à termes positifs converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées (th. 4.4).

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ ou n u_{n} \to ℓ : ℓ < 1 ⟹ convergence, ℓ > 1 ⟹ divergence grossi \overset{e}{ˋ} re, ℓ = 1 : on ne peut pas conclure

Critères de d'Alembert (th. 4.8) et de Cauchy (th. 4.9), $u_{n} > 0$ ; adaptés aux termes contenant $n!$ , $a^{n}$ ou $n^{n}$ . Avec $lim sup$ (th. 4.10): convergence si $lim sup n u_{n} < 1$ ou , divergence grossière si ou .

(a_{n}) ↘ 0 ⟹ n \geq 0 \sum (- 1)^{n} a_{n} converge, ∣ R_{N} ∣ = ∣ S - S_{N} ∣ \leq a_{N + 1}

Critère de Leibniz (déf. 4.3, th. 4.12) et majoration du reste (4.4): la somme est comprise entre deux sommes partielles consécutives.

\sum ∣ u_{n} ∣ converge ⟹ \sum u_{n} converge, \sum u_{n} \leq \sum ∣ u_{n} ∣

Convergence absolue (déf. 4.2, th. 4.11); une série convergente mais non absolument convergente est semi-convergente (déf. 4.4), par exemple $\sum (- 1)^{n + 1} / n = ln 2$ (th. 9.9).

c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}, n = 0 \sum \infty c_{n} = (n = 0 \sum \infty a_{n}) (n = 0 \sum \infty b_{n})

Produit de Cauchy (déf. 4.5), valable lorsque $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont absolument convergentes (th. 4.17). La série $\sum x^{n} / n!$ converge absolument pour tout réel $x$ (th. 4.16).

e = n = 0 \sum \infty \frac{1}{n !}, 0 < e - n = 0 \sum N \frac{1}{n !} < \frac{1}{N ! N}

Série de $e$ et majoration du reste (th. 4.14, (4.6), $N \geq 1$ ); cet encadrement démontre l'irrationalité de $e$ (th. 4.15).

Chapitre 5 – Limites et continuité

x \to x_{0} lim f (x) = ℓ ⟺ \forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x \in D, ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - ℓ ∣ < ε

Définition $ε$ – $δ$ (déf. 5.4, (5.1)), $x_{0}$ adhérent à $D$ . Caractérisation séquentielle (th. 5.1): $f (x_{n}) \to ℓ$ pour toute suite $x_{n} \to x_{0}$ . Les limites latérales , (déf. 5.5) et les limites en (déf. 5.6) se définissent de même. Unicité (th. 5.2), opérations (th. 5.3) et théorème des gendarmes (th. 5.4) sont ceux des suites.

x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}, x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1, x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1

Limites usuelles (th. 5.5, (5.2)); la troisième s'en déduit par $tan x / x = (sin x / x) / cos x$ . Les limites trigonométriques reposent sur les propriétés géométriques du cercle admises au chapitre 5 et démontrées au chapitre 6; celles de $exp$ et $ln$ sont démontrées au th. 6.9.

x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{α}} = 0, x \to + \infty lim \frac{x ^{β}}{e ^{x}} = 0, x \to 0^{+} lim x^{α} ln x = 0, x \to - \infty lim x^{n} e^{x} = 0

Croissances comparées ((5.3), (6.3), (6.7), th. 9.8), $α, β > 0$ , $n \in N$ . Formes indéterminées à lever par ces limites, par un équivalent ou par un développement limité: $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , , , , et (les trois dernières en passant au logarithme, th. 6.10).

f continue en x_{0} ⟺ x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}) ⟺ (x_{n} \to x_{0} ⟹ f (x_{n}) \to f (x_{0}))

Continuité (déf. 5.7, (5.4)) et sa caractérisation séquentielle (th. 5.6); sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues (th. 5.7). $f$ se prolonge par continuité en $x_{0} \in / D$ adhérent à $D$ si $lim_{x \to x_{0}} f$ existe et est finie (déf. 5.8).

f continue sur [a, b], y entre f (a) et f (b) ⟹ \exists c \in [a, b] : f (c) = y; f (a) f (b) < 0 ⟹ \exists c \in] a, b [: f (c) = 0

Théorème des valeurs intermédiaires (th. 5.8) et corollaire de Bolzano (th. 5.9). Après $n$ étapes de dichotomie, le zéro est encadré dans un intervalle de longueur $(b - a) / 2^{n}$ , et le milieu de cet intervalle approche le zéro à $(b - a) / 2^{n + 1}$ près; l'encadrement est de longueur au plus $ε$ dès que $n \geq lo g_{2} ((b - a) / ε)$ (5.5). L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle (th. 5.11).

f continue sur [a, b] ⟹ \exists x_{m}, x_{M} \in [a, b] : f (x_{m}) = [a, b] min f, f (x_{M}) = [a, b] max f

Théorème de Weierstrass (th. 5.10): sur un segment (intervalle fermé borné), une fonction continue est bornée et atteint ses bornes.

f : I \to R continue et strictement monotone ⟹ f : I \to f (I) bijective, f^{- 1} continue et de m \overset{e}{ˆ} me monotonie

Théorème de la bijection (th. 5.12); $f (I)$ est un intervalle dont les bornes sont les limites de $f$ aux bornes de $I$ . Réciproquement, une fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone (th. 5.14). Théorème de la limite monotone (th. 5.13): une fonction monotone sur $] a, b [$ a des limites latérales finies en tout point intérieur, et ses seules discontinuités possibles sont des sauts.

\forall ε > 0, \exists δ > 0, \forall x, y \in D : ∣ x - y ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - f (y)∣ < ε; ∣ f (x) - f (y)∣ \leq L ∣ x - y ∣

Continuité uniforme (déf. 5.9, (5.6)) et fonction $L$ -lipschitzienne (déf. 5.10, (5.7)). Théorème de Heine (th. 5.15): une fonction continue sur un segment y est uniformément continue. Lipschitzienne $⟹$ uniformément continue (th. 5.16) $⟹$ continue; les réciproques sont fausses en général ( $x$ sur $[0, 1]$ , sur ).

Chapitre 6 – Fonctions élémentaires

exp (x) = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}, e^{x + y} = e^{x} e^{y}, e^{- x} = \frac{1}{e ^{x}}, (e^{x})^{n} = e^{n x}

Exponentielle (déf. 6.1, (6.1), th. 6.1) et équation fonctionnelle (th. 6.2, (6.2)): $exp$ est continue, strictement croissante, bijective de $R$ sur $] 0, + \infty [$ , avec $e^{0} = 1$ , $e = exp (1)$ , $lim_{- \infty} exp = 0$ et (th. 6.3).

ln (ab) = ln a + ln b, ln \frac{a}{b} = ln a - ln b, ln (a^{α}) = α ln a, lo g_{b} x = \frac{ln x}{ln b}

Logarithme népérien (déf. 6.2, th. 6.5, (6.4)), réciproque de $exp$ , pour $a, b > 0$ : strictement croissant, $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , $lim_{0^{+}} ln = - \infty$ , . Logarithme en base , (déf. 6.3; décimal: ). Échelles logarithmiques: décibels, pH, magnitude de moment ( en N·m).

x^{α} = e^{α l n x} (x > 0), x^{α} x^{β} = x^{α + β}, (x^{α})^{β} = x^{α β}, (x y)^{α} = x^{α} y^{α}, a^{x} = e^{x l n a}

Puissances d'exposant réel (déf. 6.4, (6.6), th. 6.7) et exponentielle de base $a > 0$ . Hiérarchie des croissances en $+ \infty$ (th. 6.8, (6.7)): $ln x ≪ x^{α} ≪ e^{x}$ pour tout $α > 0$ , et en .

1 + x \leq e^{x} (x \in R), e^{x} \leq \frac{1}{1 - x} (x < 1), \frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x (x > - 1)

Encadrements fondamentaux (th. 6.9), d'où $\frac{e ^{x} - 1}{x} \to 1$ et $\frac{ln ( 1 + x )}{x} \to 1$ en .

n \to \infty lim (1 + \frac{x}{n})^{n} = e^{x}, u \to 1, v (u - 1) \to L ⟹ u^{v} \to e^{L}

Limite exponentielle et formes $1^{\infty}$ (th. 6.10), $x \in R$ , $u > 0$ ; en particulier $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ (intérêts composés).

cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1, 1 + tan^{2} θ = \frac{1}{cos ^{2} θ}, cos (- θ) = cos θ, sin (- θ) = - sin θ, cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ

Sinus, cosinus, tangente (déf. 6.5), relation fondamentale (6.8), parité et symétries du cercle; $cos$ et $sin$ sont $2 π$ -périodiques, $tan$ est $π$ -périodique et définie pour $θ \neq = π /2 + k π$ .

$θ$	$0$	$π /6$	$π /4$	$π /3$	$π /2$
$sin θ$	$0$	$1/2$	$2 /2$

Valeurs remarquables; réciproquement $arctan 1 = π /4$ , $arctan 3 = π /3$ , $arcsin \frac{1}{2} = π /6$ .

cos (a \pm b) sin (a \pm b) tan (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b, = sin a cos b \pm cos a sin b, = \frac{tan a \pm tan b}{1 \mp tan a tan b}

Formules d'addition (th. 6.11, (6.9)), démontrées géométriquement.

cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a, sin 2 a = 2 sin a cos a, cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}, sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}

Formules de duplication (6.10) et de linéarisation (6.11). Produits en sommes: $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ , $sin a sin b = \frac{1}{2} [cos (a - b) - cos (a + b)]$ , . Différences en produits:

sin x - sin y = 2 cos \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2}, cos x - cos y = - 2 sin \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2}

d'où $∣ sin x - sin y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ et $∣ cos x - cos y ∣ \leq ∣ x - y ∣$ : $sin$ et $cos$ sont -lipschitziennes, donc continues (th. 6.12).

cos x = cos a ⟺ x = \pm a + 2 k π, sin x = sin a ⟺ x = a + 2 k π ou x = π - a + 2 k π, tan x = tan a ⟺ x = a + k π

Résolution des équations trigonométriques élémentaires (th. 6.13), $k \in Z$ .

s (t) = A sin (ω t + φ), ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}, a cos ω t + b sin ω t = A sin (ω t + φ), A = a^{2} + b^{2}, cos φ = \frac{b}{A}, sin φ = \frac{a}{A}

Signal sinusoïdal (6.12) d'amplitude $A > 0$ , de pulsation $ω$ , de fréquence $f$ , de période $T$ et de phase à l'origine $φ \in] - π, π]$ ; les deux conditions sur $cos φ$ et $sin φ$ fixent le quadrant de , ce que seule ne fait pas.

arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], arccos : [- 1, 1] \to [0, π], arctan : R \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [

Fonctions trigonométriques réciproques (déf. 6.6): $y = arcsin x$ signifie $sin y = x$ et $y \in [- π /2, π /2]$ . Attention: $arcsin (sin x) = x$ seulement pour $x \in [- π /2, π /2]$ .

arcsin x + arccos x = \frac{π}{2}, arctan x + arctan \frac{1}{x} = \pm \frac{π}{2} (x ≷ 0), cos (arcsin x) = sin (arccos x) = 1 - x^{2}

Identités entre réciproques (th. 6.14), $x \in [- 1, 1]$ pour la première et la troisième; $arcsin$ et $arctan$ sont impaires, $arccos (- x) = π - arccos x$ , $lim_{x \to \pm \infty} arctan x = \pm π /2$ .

sinh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, cosh x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, tanh x = \frac{sinh x}{cosh x}, cosh^{2} x - sinh^{2} x = 1, 1 - tanh^{2} x = \frac{1}{cosh ^{2} x}

Fonctions hyperboliques (déf. 6.7) et identité fondamentale (th. 6.15, (6.13)); $cosh$ est paire et $\geq 1$ , $sinh$ et $tanh$ sont impaires et strictement croissantes, $∣ tanh x ∣ < 1$ , $cosh x + sinh x = e^{x}$ .

cosh (x \pm y) = cosh x cosh y \pm sinh x sinh y, sinh (x \pm y) = sinh x cosh y \pm cosh x sinh y, cosh 2 x = 2 cosh^{2} x - 1, sinh 2 x = 2 sinh x cosh x

Formules d'addition et de duplication hyperboliques (6.14): celles de la trigonométrie, avec un signe $+$ devant le produit des sinus dans $cosh (x + y)$ .

argsinh x = ln (x + x^{2} + 1), argcosh x = ln (x + x^{2} - 1) (x \geq 1), argtanh x = \frac{1}{2} ln \frac{1 + x}{1 - x} (∣ x ∣ < 1)

Expressions logarithmiques des réciproques hyperboliques (th. 6.16, (6.15)); $argcosh$ est la réciproque de $cosh$ restreint à $[0, + \infty [$ .

y = a cosh \frac{x}{a}, a = \frac{H}{ρ g}, f = a (cosh \frac{L}{a} - 1), ℓ = 2 a sinh \frac{L}{a}

Chaînette: câble pesant de tension horizontale $H$ et de poids linéique $ρ g$ , portée $2 L$ , flèche $f$ , longueur $ℓ$ (calculée à l'ex. 11.9). Pour $a = 200$ m et $2 L = 100$ m: $f \approx 6, 28$ m et m.

Chapitre 7 – Dérivation

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = x \to x_{0} lim \frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}, y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

Nombre dérivé (déf. 7.1, (7.1)) et équation de la tangente (déf. 7.2, (7.2)). $f$ est dérivable en $x_{0}$ si et seulement si $f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + h ε (h)$ avec (th. 7.1, (7.3)). Dérivable continue (th. 7.2); la réciproque est fausse ( en , point anguleux). Linéarisation (7.4): , d'où la propagation des incertitudes (7.13).

(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, (g \circ u)^{'} = (g^{'} \circ u) u^{'}, (f^{- 1})^{'} (y) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y ) )}

Linéarité, produit, quotient ( $v \neq = 0$ ) (th. 7.4, (7.5), (7.6)), règle de la chaîne (th. 7.5, (7.7); en notation de Leibniz $\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}$ ) et dérivée de la réciproque (th. 7.6, (7.8)), valable là où .

(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}, (x^{α})^{'} = α x^{α - 1}, (u^{v})^{'} = u^{v} (v^{'} ln u + v \frac{u ^{'}}{u})

Dérivée logarithmique (7.9), puissance d'exposant réel (7.10), exposant variable (7.11), $u > 0$ .

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
$x^{α}$ ( $α \in R$ )	$α x^{α - 1}$	$tan x$	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$

Dérivées usuelles (th. 7.3 et th. 7.7); $arcsin$ et $arccos$ ne sont dérivables que sur $] - 1, 1 [$ , $ln$ et $\cdot$ sur $] 0, + \infty [$ ; . Forme composée: remplacer par et multiplier par , par exemple , .

(uv)^{(n)} = k = 0 \sum n (k n) u^{(k)} v^{(n - k)}, (x^{n})^{(k)} = \frac{n !}{( n - k )!} x^{n - k} (k \leq n), (sin x)^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2}), (e^{a x})^{(n)} = a^{n} e^{a x}

Formule de Leibniz (th. 7.8, (7.12)) et dérivées $n$ -ièmes usuelles; classes $C^{n}$ (déf. 7.4). Théorème de Fermat (déf. 7.5, th. 7.9): un extremum local en un point intérieur où $f$ est dérivable impose $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; la condition est nécessaire, non suffisante ( $x^{3}$ en ).

Applications. Cinématique: si $x (t)$ est la position, la vitesse est $v = \overset{x}{˙} = d x / d t$ et l'accélération $a = \overset{x}{¨} = \overset{v}{˙}$ . Dérivation implicite: pour une courbe , on dérive les deux membres par rapport à en traitant comme une fonction de (cercle : ). Taux liés: pour des grandeurs liées par une relation, on dérive la relation par rapport au temps avec la règle de la chaîne.

Chapitre 8 – Théorèmes du calcul différentiel

f continue sur [a, b], d \overset{e}{ˊ} rivable sur] a, b [, f (a) = f (b) ⟹ \exists c \in] a, b [: f^{'} (c) = 0

Théorème de Rolle (th. 8.2). Les extrema globaux (déf. 8.1) d'une fonction continue sur $[a, b]$ sont à chercher parmi les points critiques ( $f^{'} = 0$ , déf. 8.2), les points de non-dérivabilité et les bornes $a$ , $b$ (th. 8.1).

f (b) - f (a) = f^{'} (c) (b - a) (c \in] a, b [), ∣ f^{'} ∣ \leq M sur] a, b [⟹ ∣ f (b) - f (a)∣ \leq M (b - a)

Théorème des accroissements finis de Lagrange (th. 8.3, (8.1)) et inégalité des accroissements finis (th. 8.4, (8.2)), $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ ; si $m \leq f^{'} \leq M$ , alors $m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)$ . Conséquences (th. 8.5), sur un intervalle : constante; croissante; sur l'intérieur de strictement croissante; est -lipschitzienne.

Limite de la dérivée (th. 8.6): si $f$ est continue en $x_{0}$ , dérivable autour, et si $f^{'} (x) \to L \in R$ quand $x \to x_{0}$ , alors et est continue en . (th. 8.7): une dérivée, même discontinue, prend toutes les valeurs comprises entre et .

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( c )}{g ^{'} ( c )}, x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = L ⟹ x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

Accroissements finis généralisés de Cauchy (th. 8.8, (8.3), $g^{'} \neq = 0$ ) et règle de l'Hospital (th. 8.9, (8.4)) pour les formes $0/0$ et $\infty/\infty$ , $a$ fini ou infini, $L$ réel ou infini; on peut l'itérer, mais l'existence de la limite de $f^{'} / g^{'}$ est une hypothèse, non une conclusion.

f ((1 - t) a + t b) \leq (1 - t) f (a) + t f (b) (t \in [0, 1]) ⟺ f^{'} croissante ⟺ f (x) \geq f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) ⟺ f^{''} \geq 0

Convexité (déf. 8.3, (8.5)) et ses caractérisations (th. 8.10), pour $f$ dérivable (respectivement deux fois dérivable) sur un intervalle: cordes au-dessus du graphe, graphe au-dessus des tangentes. Concave: inégalités inversées, $f^{''} \leq 0$ . Point d'inflexion (déf. 8.4): $f^{''}$ change de signe. Inégalité de Jensen (th. 8.12) et inégalité arithmético-géométrique à $n$ termes (th. 8.13): $n a_{1} \dots a_{n} \leq \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n}$ pour .

f^{'} (x_{0}) = 0, f^{''} (x_{0}) > 0 ⟹ minimum local strict en x_{0}; minimum local en x_{0} int \overset{e}{ˊ} rieur ⟹ f^{'} (x_{0}) = 0 et f^{''} (x_{0}) \geq 0

Critère de la dérivée seconde (th. 8.11): conditions suffisante et nécessaire du second ordre (inégalités inversées pour un maximum); si $f$ est convexe et $f^{'} (x_{0}) = 0$ , le minimum en $x_{0}$ est global. Le critère d'ordre $p$ est au th. 9.5.

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}, ∣ x_{n + 1} - ℓ ∣ \leq K ∣ x_{n} - ℓ ∣^{2}

Méthode de Newton (8.6): sous les hypothèses du th. 8.14 ( $f (a) f (b) < 0$ , $f^{'} \neq = 0$ , $f^{''}$ de signe constant, départ avec $f (x_{0}) f^{''} (x_{0}) > 0$ ), la suite est monotone et converge quadratiquement vers l'unique zéro ; avec et , on peut prendre (ex. 9.11). Le nombre de décimales exactes double environ à chaque pas.

a = x \to \pm \infty lim \frac{f ( x )}{x} \in R^{*}, b = x \to \pm \infty lim (f (x) - a x) \in R ⟹ y = a x + b asymptote oblique

Asymptotes: verticale $x = x_{0}$ si $f \to \pm \infty$ en $x_{0}$ , horizontale $y = ℓ$ si $f \to ℓ$ ; le signe de indique la position de la courbe. Plan d'étude d'une fonction: domaine et symétries, limites et asymptotes, dérivée et tableau de variation, convexité, graphe.

Chapitre 9 – Formule de Taylor et développements limités

T_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k}, f (x) = T_{n} (x) + \frac{f ^{(n + 1)} ( c )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}, ∣ f (x) - T_{n} (x)∣ \leq \frac{M}{( n + 1 )!} ∣ x - x_{0} ∣^{n + 1}

Polynôme de Taylor (déf. 9.1, (9.1)) et formule de Taylor–Lagrange (th. 9.1, (9.2), (9.3)): $f$ de classe $C^{n}$ sur $[a, b]$ , $f^{(n)}$ dérivable sur $] a, b [$ , $c$ strictement compris entre $x_{0}$ et , majorant de . Pour , on retrouve les accroissements finis.

f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k} + o ((x - x_{0})^{n}), f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + \int_{a}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t

Formule de Taylor–Young (th. 9.2, (9.4)), $f$ $n$ fois dérivable en $x_{0}$ , et formule de Taylor avec reste intégral (th. 11.3, (11.3)), $f$ de classe $C^{n + 1}$ . Notation de Landau (déf. 9.2): $g = o (x^{n})$ si , si reste borné au voisinage considéré. Règles (9.5): , , . Un développement limité (déf. 9.3), s'il existe, est unique (th. 9.3).

Fonction	Développement limité en $0$
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + o (x^{n})$

Développements limités usuels en $0$ (chapitre 9), $α \in R$ ; l'ordre du reste tient compte de la parité. En un point $x_{0} \neq = 0$ , on pose $x = x_{0} + h$ et l'on développe en puissances de .

sin x \sim x, 1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2}, e^{x} - 1 \sim x, ln (1 + x) \sim x, (1 + x)^{α} - 1 \sim α x (α \neq = 0), tan x - x \sim \frac{x ^{3}}{3}, x - sin x \sim \frac{x ^{3}}{6}

Équivalents usuels en $0$ ( $f \sim g$ si $f / g \to 1$ , déf. 9.4): le premier terme non nul du développement limité. Les équivalents se multiplient, se divisent et passent à la limite, mais ne s'additionnent pas; on ne compose jamais un équivalent par $exp$ , et par $ln$ seulement si la limite commune n'est pas $1$ .

DL (f + g) = P + Q, DL (f g) = tronc_{n} (P Q), DL (f \circ g) = tronc_{n} (P (Q)) (g (0) = 0), DL_{n + 1} (F) = F (0) + \int_{0}^{x} P

Règles de calcul (th. 9.4): somme, produit (tronquer au degré $n$ ), quotient par $1/ (1 + u)$ ou division suivant les puissances croissantes, composition, primitivation terme à terme. Réciproque $g = f^{- 1}$ avec $f (0) = 0$ , $f^{'} (0) \neq = 0$ : on cherche et l'on identifie les coefficients dans . Position de la courbe par rapport à sa tangente: signe du premier terme non nul après l'ordre . Développement asymptotique en avec : donne l'asymptote et la position par le signe de .

Critère d'extremum d'ordre $p$ (th. 9.5): si $f^{'} (x_{0}) = \dots = f^{(p - 1)} (x_{0}) = 0$ et , il y a un extremum local strict en si est pair (minimum si ), aucun extremum si est impair.

k \geq 0 \sum a_{k} x^{k} : R = \frac{1}{ℓ} si \frac{a _{k + 1}}{a _{k}} \to ℓ ou k ∣ a_{k} ∣ \to ℓ

Série entière et série de Taylor (déf. 9.5), rayon de convergence $R$ (th. 9.6, avec $1/0 = + \infty$ et $1/ (+ \infty) = 0$ ): convergence absolue pour $∣ x ∣ < R$ , divergence grossière pour $∣ x ∣ > R$ .

e^{x} = k = 0 \sum \infty \frac{x ^{k}}{k !}, sin x = k = 0 \sum \infty (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k + 1}}{( 2 k + 1 )!}, cos x = k = 0 \sum \infty (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k}}{( 2 k )!}, ln (1 + x) = k = 1 \sum \infty (- 1)^{k + 1} \frac{x ^{k}}{k} (0 \leq x \leq 1)

Séries de Taylor de $exp$ , $sin$ , $cos$ pour tout réel $x$ (th. 9.7) et de $ln (1 + x)$ sur $[0, 1]$ (th. 9.9), d'où $ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots$ ; croissances comparées déduites de pour (th. 9.8).

Chapitre 10 – Intégrale de Riemann

s (f, σ) = k = 1 \sum n m_{k} (x_{k} - x_{k - 1}), S (f, σ) = k = 1 \sum n M_{k} (x_{k} - x_{k - 1}), f int \overset{e}{ˊ} grable ⟺ \forall ε > 0, \exists σ : S (f, σ) - s (f, σ) < ε

Subdivision $σ = (x_{0} < \dots < x_{n})$ de $[a, b]$ (déf. 10.1), sommes de Darboux (déf. 10.3, (10.2)) avec $m_{k}$ et les bornes inférieure et supérieure de bornée sur ; intégrabilité (déf. 10.4) et critère de Darboux (th. 10.2, (10.3)). Les fonctions continues (th. 10.4), monotones (th. 10.5) et continues par morceaux sont intégrables; la fonction de Dirichlet ne l'est pas.

R (f, σ, ξ) = k = 1 \sum n f (ξ_{k}) (x_{k} - x_{k - 1}) ⟶ \int_{a}^{b} f (x) d x, \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) \to \int_{0}^{1} f (x) d x

Sommes de Riemann (déf. 10.5, (10.4)), $ξ_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ ; elles convergent vers l'intégrale quand le pas tend vers $0$ (th. 10.3, (10.5)). Limites de suites par sommes de Riemann (10.12).

\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f, f \leq g ⟹ \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∣ f ∣

Linéarité, relation de Chasles (avec $\int_{b}^{a} = - \int_{a}^{b}$ ), croissance et valeur absolue (th. 10.6); le produit $f g$ de deux fonctions intégrables est intégrable, mais $\int f g \neq = \int f \cdot \int g$ en général. L'intégrale est une aire : les parties du graphe situées sous l'axe comptent négativement; l'aire géométrique est , calculée en découpant aux zéros de . L'aire entre deux courbes sur vaut .

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) d x \leq M (b - a), \overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (c), \int_{a}^{b} f g = f (c) \int_{a}^{b} g (g \geq 0)

Inégalité de la moyenne (th. 10.7, (10.6)) pour $m \leq f \leq M$ , valeur moyenne (déf. 10.6, (10.7)) et théorème de la moyenne (th. 10.8) pour $f$ continue, avec un $c \in [a, b]$ ; la dernière forme (moyenne généralisée) suppose $g$ intégrable et positive. Une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle (th. 10.9).

F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t ⟹ F^{'} = f, \int_{a}^{b} f (x) d x = [G (x)]_{a}^{b} = G (b) - G (a), \frac{d}{d x} \int_{u (x)}^{v (x)} f (t) d t = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x)

Théorème fondamental de l'analyse (th. 10.11), $f$ continue: $F$ est la primitive de $f$ nulle en $a$ ; pour $f$ seulement intégrable et $∣ f ∣ \leq K$ , $F$ est $K$ -lipschitzienne. Formule de Newton–Leibniz (th. 10.12, (10.8)) avec $G$ une primitive quelconque: deux primitives diffèrent d'une constante (déf. 10.7, th. 10.10), et l'on note . Dérivée d'une intégrale à bornes variables (10.9). Toute fonction continue a une primitive, mais celle-ci n'est pas toujours élémentaire (, , : résultat de Liouville, admis).

Fonction $f (x)$	Primitive $F (x)$	Fonction $f (x)$	Primitive $F (x)$
$x^{α}$ ( $α \neq = - 1$ )

Primitives usuelles (chapitre 10), chacune à une constante près sur tout intervalle où $f$ est continue; les réciproques hyperboliques s'écrivent avec des logarithmes (6.15). Formes composées (10.10): $\int u^{'} u^{n} = \frac{u ^{n + 1}}{n + 1}$ (), , , ; le facteur doit être présent.

V_{eff} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v (t)^{2} d t, v (t) = V_{m a x} sin (ω t) ⟹ V_{eff} = \frac{V _{m a x}}{2}

Valeur efficace (RMS) d'un signal $T$ -périodique (10.11): pour le réseau suisse à $230$ V, $V_{m a x} = 2302 \approx 325$ V.

T_{n} = h (\frac{y _{0}}{2} + y_{1} + \dots + y_{n - 1} + \frac{y _{n}}{2}), S_{n} = \frac{h}{3} (y_{0} + 4 y_{1} + 2 y_{2} + 4 y_{3} + \dots + 2 y_{n - 2} + 4 y_{n - 1} + y_{n})

Méthodes des trapèzes (10.13) et de Simpson (10.14, $n$ pair) sur la subdivision régulière de pas $h = (b - a) / n$ , avec $y_{k} = f (a + k h)$ . Erreurs majorées par $\frac{( b - a ) M _{2}}{12} h^{2}$ (th. 10.13) et par , où majore . Rectangles: et (erreur en ), point milieu (erreur en ).

Chapitre 11 – Techniques d'intégration et intégrales impropres

\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x

Intégration par parties (th. 11.1, (11.1)), $u, v$ de classe $C^{1}$ : on dérive le facteur qui se simplifie (polynôme, $ln$ , $arctan$ ) et l'on intègre l'autre ( $e^{x}$ , $sin$ , $cos$ ). Exemples:

\int ln x d x = x ln x - x, \int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x}, \int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}}

W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = \frac{n - 1}{n} W_{n - 2}, W_{2 p} = \frac{( 2 p )!}{2 ^{2 p} ( p ! ) ^{2}} \cdot \frac{π}{2}, W_{2 p + 1} = \frac{2 ^{2 p} ( p ! ) ^{2}}{( 2 p + 1 )!}

Intégrales de Wallis (th. 11.2, (11.2)), $W_{0} = π /2$ , $W_{1} = 1$ ; la même valeur s'obtient avec $cos^{n}$ .

\int_{φ (α)}^{φ (β)} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t

Changement de variable (th. 11.4, (11.4)), $φ$ de classe $C^{1}$ , $f$ continue: on remplace $x = φ (t)$ , $d x = φ^{'} (t) d t$ et les bornes. Fonction paire: $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ ; impaire: ; -périodique: ne dépend pas de (th. 11.5).

Expression	Substitution	Simplification
$a^{2} - x^{2}$	$x = a sin t$ ,

Substitutions classiques du chapitre 11. La substitution universelle $t = tan (x /2)$ donne $sin x = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}$ , $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , (11.5); pour une fraction rationnelle en , , essayer d'abord , ou selon la parité de l'intégrande. : si un exposant est impair, on en isole un facteur et l'on pose ou (par exemple ); si les deux sont pairs, on linéarise (6.11).

\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = \frac{1}{a} arctan \frac{x}{a}, \int \frac{d x}{a ^{2} - x ^{2}} = arcsin \frac{x}{a}, \int \frac{d x}{x ^{2} + c} = ln x + x^{2} + c, \int \frac{d x}{x ^{2} - a ^{2}} = \frac{1}{2 a} ln \frac{x - a}{x + a}

Primitives de référence, $a > 0$ et $c \neq = 0$ réel (la troisième là où la racine est définie); constantes omises.

\frac{P ( x )}{Q ( x )} = E (x) + i \sum k = 1 \sum m_{i} \frac{A _{i, k}}{( x - a _{i} ) ^{k}} + j \sum k = 1 \sum n_{j} \frac{B _{j, k} x + C _{j, k}}{( x ^{2} + p _{j} x + q _{j} ) ^{k}}

Décomposition en éléments simples sur $R$ (th. 11.6): $E$ partie entière (division euclidienne si $de g P \geq de g Q$ ), $a_{i}$ pôles réels de multiplicité $m_{i}$ , trinômes $x^{2} + p_{j} x + q_{j}$ sans racine réelle. Coefficients par la méthode du cache, la limite en l'infini ou l'identification.

\int \frac{d x}{( x - a ) ^{n}} = \frac{- 1}{( n - 1 ) ( x - a ) ^{n - 1}} (n \geq 2), \int \frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} d x = \frac{B}{2} ln (x^{2} + p x + q) + \frac{C - B p /2}{ω} arctan \frac{x + p /2}{ω}

Primitives des éléments simples (11.6), avec $ω = q - p^{2} /4 > 0$ (forme canonique du trinôme); pour $n = 1$ , . Pour les puissances du trinôme, vérifie

I_{n + 1} = \frac{s}{2 n ( 1 + s ^{2} ) ^{n}} + \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n}, I_{1} = arctan s .

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = A \to + \infty lim \int_{a}^{A} f (x) d x, \int_{a}^{b} f (x) d x = c \to b^{-} lim \int_{a}^{c} f (x) d x (f non born \overset{e}{ˊ} e en b)

Intégrales impropres (déf. 11.1): convergentes si la limite existe et est finie; on coupe en deux une intégrale doublement impropre. Pour $f \geq 0$ : critères de comparaison ( $0 \leq f \leq g$ , th. 11.8) et des équivalents ( $f \sim g$ en la borne, th. 11.9). Règle $x^{α} f (x)$ (th. 11.9), pour $f$ positive en : convergence si a une limite finie pour un , divergence si elle a une limite strictement positive pour un . La convergence absolue (déf. 11.2) entraîne la convergence (th. 11.10).

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{p}} converge ⟺ p > 1 (valeur \frac{1}{p - 1}), \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{p}} converge ⟺ p < 1 (valeur \frac{1}{1 - p}), \int_{0}^{+ \infty} e^{- λ x} d x = \frac{1}{λ} (λ > 0)

Intégrales de Riemann impropres (th. 11.7) et intégrale exponentielle de référence. Intégrales de Bertrand: $\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α} ( ln x ) ^{β}}$ converge si et seulement si $α > 1$ , ou et . De plus , et (admis).

\int_{N + 1}^{+ \infty} f (x) d x \leq n = N + 1 \sum \infty f (n) \leq \int_{N}^{+ \infty} f (x) d x

Comparaison série–intégrale (th. 11.11), $f$ continue, positive et décroissante sur $[1, + \infty [$ : la série $\sum f (n)$ et l'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} f$ sont de même nature.

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t (x > 0), Γ (x + 1) = x Γ (x), Γ (n + 1) = n!, Γ (\frac{1}{2}) = π

Fonction Gamma d'Euler (déf. 11.3, (11.7)) et son équation fonctionnelle (th. 11.12), $n \in N$ .

A = \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x, V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x, L = \int_{a}^{b} 1 + f^{'} (x)^{2} d x, S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) 1 + f^{'} (x)^{2} d x

Aire entre deux courbes ( $g \leq f$ ), volume du solide de révolution autour de l'axe des $x$ (formule des disques, th. 11.13, (11.8), $f \geq 0$ ), longueur de l'arc $y = f (x)$ (déf. 11.4, (11.9), $f$ de classe $C^{1}$ ) et aire de la surface de révolution (déf. 11.5, de classe ). Pour la chaînette du chapitre 6 ( m, portée m), la longueur de l'arc vaut m (ex. 11.9).

x_{G} = \frac{1}{A} \int_{a}^{b} x (f (x) - g (x)) d x, y_{G} = \frac{1}{2 A} \int_{a}^{b} (f (x)^{2} - g (x)^{2}) d x, V = 2 π y_{G} A, S = 2 π y_{G} L

Centre de gravité d'une plaque homogène $g \leq y \leq f$ (11.10) et théorèmes de Pappus–Guldin (th. 11.14): le volume (ou l'aire) engendré par la rotation autour de l'axe des $x$ d'une plaque située dans $y \geq 0$ (ou d'un arc) est le produit de son aire $A$ (ou de sa longueur $L$ ) par la longueur $2 π y_{G}$ du cercle que décrit son centre de gravité.

Physique. Travail d'une force $F$ le long de $[a, b]$ : $W = \int_{a}^{b} F (x) d x$ . Transformée de Laplace $L {f} (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t$ , par exemple pour et pour .

Chapitre 12 – Séries entières

\frac{1}{R} = k \to \infty lim sup k ∣ a_{k} ∣, ∣ x ∣ \leq r sup S (x) - k = 0 \sum N a_{k} x^{k} \leq k > N \sum ∣ a_{k} ∣ r^{k} (0 \leq r < R)

Rayon de convergence de $\sum a_{k} x^{k}$ (déf. 12.2): formule de Hadamard (th. 12.2, (12.1)), avec $1/0 = + \infty$ et $1/ (+ \infty) = 0$ ; d'Alembert ou Cauchy quand la limite existe (th. 9.6). Lemme d'Abel (th. 12.1): si $(a_{k} r_{0}^{k})$ est bornée, la série converge absolument pour . Convergence normale, donc uniforme, sur tout segment avec (déf. 12.3, th. 12.4, (12.2)), mais pas en général sur . Somme, produit de Cauchy: rayon au moins (th. 12.3).

S^{'} (x) = k \geq 1 \sum k a_{k} x^{k - 1}, \int_{0}^{x} S (t) d t = k \geq 0 \sum a_{k} \frac{x ^{k + 1}}{k + 1}, a_{k} = \frac{S ^{(k)} ( 0 )}{k !} (∣ x ∣ < R)

La somme $S$ est continue sur $] - R, R [$ (th. 12.5), se dérive (th. 12.8, (12.3)) et s'intègre (th. 12.7) terme à terme, les séries dérivée et primitive ayant le même rayon (th. 12.6); elle est de classe $C^{\infty}$ et ses coefficients sont uniques (th. 12.9): une série entière est la série de Taylor de sa somme. Une fonction $C^{\infty}$ peut ne pas être développable en série entière (déf. 12.4): $e^{- 1/ x^{2}}$ prolongée par (ex. 12.4).

ln (1 + x) = k \geq 1 \sum (- 1)^{k + 1} \frac{x ^{k}}{k}, arctan x = k \geq 0 \sum (- 1)^{k} \frac{x ^{2 k + 1}}{2 k + 1}, argtanh x = k \geq 0 \sum \frac{x ^{2 k + 1}}{2 k + 1}, (1 + x)^{α} = k \geq 0 \sum (k α) x^{k}, arcsin x = k \geq 0 \sum \frac{( k 2 k )}{4 ^{k} ( 2 k + 1 )} x^{2 k + 1}

Développements valables pour $∣ x ∣ < 1$ (th. 12.10, série du binôme th. 12.11, (12.4), avec $(k α) = α (α - 1) \dots (α - k + 1) / k!$ ; arc sinus, ex. 12.5); celui de vaut aussi en et celui de en , par le théorème d'Abel. , , , , : rayon infini (th. 9.7).

\sum a_{k} R^{k} converge ⟹ x \to R^{-} lim k \geq 0 \sum a_{k} x^{k} = k \geq 0 \sum a_{k} R^{k}, \frac{π}{4} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{2 k + 1}

Théorème d'Abel (th. 12.12, identité (12.5)); la réciproque est fausse ( $\sum (- 1)^{k} x^{k} \to \frac{1}{2}$ , mais $\sum (- 1)^{k}$ diverge), sauf pour des coefficients positifs (exercice 12.5). Formule de Machin: (problème guidé 12.1). Sommes classiques sur : , (ex. 12.6).

Équations différentielles. On cherche $y = \sum a_{k} x^{k}$ , on identifie les coefficients (unicité, th. 12.9) pour obtenir une récurrence, puis on calcule le rayon de la série obtenue; s'il est non nul, la somme est une solution sur $] - R, R [$ . Fonction de Bessel: $x y^{''} + y^{'} + x y = 0$ , donne , de rayon infini, de premier zéro (ex. 12.8).

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne: formulaires et tableaux en fin de volume.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, Fonctions d'une variable, De Boeck, Bruxelles: tables de dérivées, de primitives et de développements en série sur les pages de garde.
Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A., Musiol, G. et Mühlig, H., Taschenbuch der Mathematik, Europa-Lehrmittel (anciennement Harri Deutsch): référence exhaustive pour les primitives et les développements en série.
Spiegel, M. R. et Liu, J., Formules et tables de mathématiques, série Schaum, McGraw-Hill: recueil compact de primitives, d'intégrales définies et de séries.
Olver, F. W. J. et al. (éd.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, et sa version en ligne, la Digital Library of Mathematical Functions (DLMF): valeurs et propriétés des fonctions spéciales (Gamma, fonction d'erreur, intégrales elliptiques).