Fonctions élémentaires

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir la fonction exponentielle par sa série, démontrer ses propriétés fondamentales (équation fonctionnelle, positivité, monotonie, limites, $(1 + x / n)^{n} \to e^{x}$ ) et les utiliser dans des modèles de croissance et de décroissance;
manipuler le logarithme népérien, le logarithme en base $a$ et les échelles logarithmiques (décibels, pH, magnitudes);
définir les fonctions puissances $x^{α}$ et comparer les croissances de $ln x$ , $x^{α}$ et $e^{x}$ à l'infini;
utiliser les formules d'addition, de duplication et de linéarisation des fonctions trigonométriques et résoudre les équations $sin x = a$ , $cos x = a$ , $tan x = a$ ;
interpréter un signal $A sin (ω t + φ)$ en termes d'amplitude, de pulsation, de fréquence et de phase;
définir les fonctions réciproques $arcsin$ , $arccos$ , $arctan$ et les fonctions hyperboliques $sinh$ , $cosh$ , $tanh$ ainsi que leurs réciproques, et démontrer leurs identités principales.

Pourquoi des fonctions «élémentaires»?

Les chapitres précédents ont construit les outils généraux de l'analyse: nombres réels, suites, séries, limites et continuité. Il est temps de les appliquer à un petit catalogue de fonctions qui reviennent sans cesse en ingénierie: l'exponentielle décrit la charge d'un condensateur, la décroissance d'un isotope ou le refroidissement d'une pièce; le logarithme comprime les échelles (décibels, pH, magnitude des séismes); les fonctions trigonométriques modélisent tout ce qui vibre ou tourne; les fonctions hyperboliques dessinent la forme d'un câble suspendu. Ces fonctions sont dites élémentaires parce que toutes les autres fonctions usuelles s'obtiennent à partir d'elles par les opérations algébriques et la composition.

Un point de méthode: les dérivées n'apparaissent qu'au chapitre 7. Nous définissons donc ici les fonctions élémentaires et démontrons leurs propriétés avec les seuls outils disponibles, à savoir les séries (chapitre 4), les limites et le théorème de la bijection (chapitre 5), et des équations fonctionnelles. Lorsqu'une propriété se démontre plus naturellement avec la dérivée, nous l'annonçons par «on verra au chapitre 7 que …».

La fonction exponentielle

Définition par une série

Au chapitre 4 (théorème 4.16), nous avons montré que la série $\sum_{n \geq 0} \frac{x ^{n}}{n !}$ converge pour tout réel $x$ . Rappelons l'argument, car il est le point de départ de tout le chapitre.

Démonstration. Pour $x = 0$ il n'y a rien à montrer. Pour $x \neq = 0$ , posons $u_{n} = \frac{∣ x ∣ ^{n}}{n !} > 0$ . Alors

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} \cdot \frac{n !}{∣ x ∣ ^{n}} = \frac{∣ x ∣}{n + 1} n \to \infty 0 < 1.

Le critère de d'Alembert (chapitre 4) garantit la convergence de $\sum u_{n}$ , c'est-à-dire la convergence absolue de la série (6.1). $□$

Le nombre $e = \sum_{n \geq 0} 1/ n!$ se calcule très vite: les sommes partielles valent $1$ ; $2$ ; $2, 5$ ; $2, 6667$ ; $2, 7083$ ; $2, 7167$ ; ; , et l'on a montré au chapitre 4 que l'erreur commise en s'arrêtant au rang est inférieure à , soit moins de pour . On retient

e \approx 2, 718281 828.

L'équation fonctionnelle

La propriété qui fait de l'exponentielle un objet unique est qu'elle transforme les sommes en produits.

Démonstration. Les deux séries $\sum x^{n} / n!$ et $\sum y^{n} / n!$ sont absolument convergentes (théorème 6.1); par le théorème 4.17 du chapitre 4 sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes, la série de terme général

c_{n} = k = 0 \sum n \frac{x ^{k}}{k !} \cdot \frac{y ^{n - k}}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) x^{k} y^{n - k} = \frac{( x + y ) ^{n}}{n !}

converge vers le produit des sommes; la dernière égalité est la formule du binôme. Ainsi $exp (x) exp (y) = \sum_{n \geq 0} c_{n} = exp (x + y)$ . $□$

De (6.2) découlent immédiatement plusieurs conséquences.

Démonstration. 1. $exp (0) = 1$ se lit sur la série. Avec $y = - x$ dans (6.2), $exp (x) exp (- x) = exp (0) = 1$ .

Si $x \geq 0$ , tous les termes de la série sont positifs et $exp (x) \geq 1 > 0$ . Si $x < 0$ , $exp (x) = 1/ exp (- x) > 0$ d'après le point 1.
Soient . Alors , donc (tous les termes de la série sont positifs), et puisque .

∣ exp (h) - 1 ∣ = n \geq 1 \sum \frac{h ^{n}}{n !} \leq ∣ h ∣ n \geq 1 \sum \frac{∣ h ∣ ^{n - 1}}{n !} \leq ∣ h ∣ n \geq 1 \sum \frac{1}{n !} = (e - 1) ∣ h ∣,

donc $exp (h) \to 1$ quand $h \to 0$ . Pour $x$ quelconque, $exp (x + h) - exp (x) = exp (x) (exp (h) - 1) \to 0$ : est continue en .

Croissance comparée

L'exponentielle finit par dépasser n'importe quelle puissance de $x$ , et de très loin.

Démonstration. Pour $x > 0$ , ne gardons dans la série (6.1) que le terme de rang $n + 1$ , tous les autres étant positifs: $e^{x} \geq \frac{x ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ . Donc . Pour la seconde limite, posons avec : d'après la première.

Question 6.1

Parmi les affirmations suivantes concernant la fonction exponentielle, laquelle est vraie?

Question 6.2

Le technétium 99m, utilisé en imagerie médicale, a une demi-vie de 6,01 h. Quel pourcentage de l'activité initiale subsiste 24 h après l'injection?

Le logarithme népérien

Définition et propriétés

La fonction $exp$ est continue et strictement croissante sur $R$ , de limites $0$ en $- \infty$ et $+ \infty$ en $+ \infty$ . Le théorème de la bijection (chapitre 5) affirme alors que $exp$ réalise une bijection de $R$ sur $] 0, + \infty [$ et que sa réciproque est continue et strictement croissante.

Démonstration. Posons $u = ln a$ et $v = ln b$ , de sorte que $a = e^{u}$ et $b = e^{v}$ . D'après (6.2), $ab = e^{u} e^{v} = e^{u + v}$ , donc . La deuxième formule s'obtient en appliquant la première à , et la troisième par récurrence sur , puis avec . La continuité et la stricte croissance viennent du théorème de la bijection; les limites traduisent le fait que prend des valeurs arbitrairement proches de 0 (pour ) et arbitrairement grandes.

Croissance comparée du logarithme

Démonstration. Posons $x = e^{y}$ ; quand $x \to + \infty$ , $y = ln x \to + \infty$ et $\frac{ln x}{x} = \frac{y}{e ^{y}} \to 0$ d'après (6.3) avec . Pour la seconde limite, posons avec : .

Logarithme décimal, logarithme en base a

Le logarithme décimal compte les ordres de grandeur: $lo g 1000 = 3$ , $lo g 1 0^{- 7} = - 7$ . C'est pourquoi les grandeurs physiques qui s'étendent sur de nombreuses décades sont exprimées sur une échelle logarithmique:

Décibels: un rapport de puissances $P / P_{0}$ s'exprime par $L = 10 lo g (P / P_{0})$ dB; pour un rapport d'amplitudes (tension, pression acoustique) on écrit $L = 20 lo g (A / A_{0})$ dB, puisque la puissance est proportionnelle au carré de l'amplitude. Doubler l'amplitude ajoute dB; multiplier la puissance par 1000 ajoute 30 dB.

Question 6.3

Un amplificateur multiplie la tension d'un signal par 40. Quel est son gain en décibels (gain en amplitude)?

Fonctions puissances et racines

Définition générale

Pour un exposant entier, $x^{n}$ est un produit; pour un exposant rationnel $p / q$ , on peut définir $x^{p / q} = q x^{p}$ . Mais que signifie ou ? L'exponentielle et le logarithme donnent une définition unifiée.

Cette définition coïncide avec la définition algébrique quand $α$ est rationnel (grâce à (6.4)) et donne, par exemple, $2^{2} = e^{2 l n 2} \approx 2, 665$ .

Démonstration. Chaque règle se ramène à (6.2) ou (6.4). Par exemple $(x^{α})^{β} = e^{β l n (x^{α})} = e^{β l n (e^{α l n x})} = e^{α β l n x} = x^{α β}$ . La continuité résulte de celle de , de et de , composées entre elles (chapitre 5); la monotonie de celles de et , en tenant compte du signe de .

Pour $α = 1/ n$ , on retrouve la racine $n$ -ième $n x = x^{1/ n}$ , réciproque de sur . Pour impair, on peut prolonger aux négatifs par , car est alors une bijection de sur . Mais attention: pour et non entier n'est défini en général, puisque n'existe pas.

Hiérarchie des croissances

Démonstration. Pour la première, posons $t = x^{α}$ , de sorte que $ln x = \frac{1}{α} ln t$ et $\frac{ln x}{x ^{α}} = \frac{1}{α} \cdot \frac{ln t}{t} \to 0$ par (6.5). Pour la seconde, choisissons un entier : pour , par (6.3). Pour la troisième, posons avec : par la première.

Question 6.4

Classez les fonctions suivantes de la plus lente à la plus rapide lorsque $x \to + \infty$ (c'est-à-dire de sorte que chaque fonction soit négligeable devant la suivante).

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

1, 5^{x}

x^{2}

x!

(pour

x

entier)

x

e^{x}

ln x

Limites fondamentales et formes $1^{\infty}$

L'exponentielle étant définie par une série, ses limites en $0$ se lisent sur la série elle-même, sans dérivée. On en tire un encadrement du logarithme, puis la célèbre limite des intérêts composés.

Démonstration. 1. Majoration. Pour $0 \leq x < 1$ , comme $n! \geq 1$ , $e^{x} = \sum_{n \geq 0} x^{n} / n! \leq \sum_{n \geq 0} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ (série géométrique, chapitre 4). Pour , par la croissance de . Si , . Si , la majoration appliquée à donne , et en inversant ces nombres positifs, .

Pour $x > - 1$ , appliquons la fonction croissante $ln$ à $1 + x \leq e^{x}$ : $ln (1 + x) \leq x$ . Appliquons ensuite cette inégalité à $u = - \frac{x}{1 + x}$ , qui vérifie : , c'est-à-dire .

Le point 1 dit que la courbe de $exp$ est au-dessus de sa tangente $y = 1 + x$ en $0$ ; le point 2, que la courbe de $ln$ est sous sa tangente $y = x - 1$ en $1$ (poser $y = 1 + x$ ). Le chapitre 8 interprétera ces faits comme la convexité de et la concavité de ; la limite dit que est dérivable en de dérivée , point de départ du calcul au chapitre 7.

Démonstration. Démontrons le point 2, dont le point 1 est le cas $u = 1 + x / n$ , $v = n$ , $v (u - 1) = x$ . On écrit $u^{v} = e^{v l n u}$ (définition 6.4). Là où ,

v ln u = v (u - 1) \cdot \frac{ln ( 1 + ( u - 1 ) )}{u - 1},

et le second facteur tend vers $1$ par le théorème 6.9, puisque $u - 1 \to 0$ ; là où $u (t) = 1$ , on a $v ln u = 0 = v (u - 1)$ . Dans tous les cas $v ln u \to L$ , et la continuité de (théorème 6.3) donne .

Ce théorème lève la forme indéterminée « $1^{\infty}$ » annoncée au chapitre 5, et justifie l'interprétation de $e$ comme limite des intérêts composés: la suite $(1 + 1/ n)^{n}$ vaut $2$ , $2, 5937$ , $2, 7048$ et $2, 7169$ pour , , et ; la convergence est lente, l'écart à étant voisin de , alors que la série (6.1) donne sept décimales en dix termes. Deux autres exemples: quand (, ), et quand , puisque (théorème 5.5).

Fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Le chapitre 2 a utilisé le point $M = (cos θ, sin θ)$ du cercle unité et l'exponentielle complexe $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ en s'appuyant sur les formules d'addition du gymnase; nous les démontrons ici (théorème 6.11). Rappelons la définition géométrique, avec les faits admis que le Callout «Ce que nous admettons de la géométrie» du chapitre 5 a énumérés: la mesure d'un angle par une longueur d'arc, et l'aire d'un secteur.

Cette définition entraîne aussitôt les propriétés suivantes, que la figure 6.2 rend évidentes: le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $O$ , $(cos θ, 0)$ , $M$ donne

cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1; (6.8)

la périodicité $cos (θ + 2 π) = cos θ$ et $sin (θ + 2 π) = sin θ$ (un tour de plus ramène au même point), tandis que $tan$ est $π$ -périodique; la parité: $cos$ est paire et $sin$ , sont impaires (la symétrie par rapport à l'axe des abscisses change en ); enfin et . Les symétries du cercle donnent aussi , , et .

Les valeurs remarquables se lisent dans les triangles rectangles isocèle (angle $π /4$ ) et demi-équilatéral (angles $π /6$ et $π /3$ ):

$θ$	$0$	$π /6$	$π /4$	$π /3$	$π /2$	$π$
$sin θ$	$0$	$1/2$

La continuité de $sin$ et $cos$ , intuitive (le point $M$ se déplace continûment sur le cercle), sera démontrée au théorème 6.12 à l'aide des formules d'addition; la limite $lim_{h \to 0} \frac{sin h}{h} = 1$ , clé de la dérivation au chapitre 7, a été établie au théorème 5.5.

Formules d'addition et leurs conséquences

Démonstration (géométrique). Nous démontrons d'abord $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ en calculant de deux façons la distance entre les points $M_{a} = (cos a, sin a)$ et du cercle unité. Par la formule de la distance et (6.8),

M_{a} M_{b}^{2} = (cos a - cos b)^{2} + (sin a - sin b)^{2} = 2 - 2 (cos a cos b + sin a sin b) .

Faisons maintenant tourner la figure d'un angle $- b$ autour de $O$ . Une rotation conserve les distances et les longueurs d'arc (fait géométrique admis): elle envoie $M_{b}$ sur $(1, 0)$ et $M_{a}$ sur le point $M_{a - b} = (cos (a - b), sin (a - b))$ , puisque l'arc parcouru depuis est diminué de . La même distance vaut donc aussi

M_{a - b} A^{2} = (cos (a - b) - 1)^{2} + sin^{2} (a - b) = 2 - 2 cos (a - b), A = (1, 0) .

En égalant, $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ . En remplaçant $b$ par $- b$ (parité de $cos$ et imparité de $sin$ ), on obtient la première formule. Pour la deuxième, on utilise $sin θ = cos (π /2 - θ)$ et :

sin (a + b) = cos ((π /2 - a) - b) = cos (π /2 - a) cos b + sin (π /2 - a) sin b = sin a cos b + cos a sin b .

La troisième s'en déduit en divisant $sin (a + b)$ par $cos (a + b)$ , puis numérateur et dénominateur par $cos a cos b$ . $□$

La propriété $e^{i (a + b)} = e^{i a} e^{i b}$ du chapitre 2 n'est rien d'autre que ces deux formules réunies: en développant $(cos a + i sin a) (cos b + i sin b)$ , on retrouve leurs membres de droite comme parties réelle et imaginaire. C'est un excellent moyen mnémotechnique, mais ce n'est pas une démonstration, puisque le chapitre 2 s'appuyait sur elles.

Avec $b = - a$ on retrouve (6.8); avec $b = a$ on obtient les formules de duplication

cos 2 a = cos^{2} a - sin^{2} a = 2 cos^{2} a - 1 = 1 - 2 sin^{2} a, sin 2 a = 2 sin a cos a, (6.10)

d'où les formules de linéarisation, indispensables au chapitre 11 (section «Puissances de sinus et de cosinus») pour intégrer des puissances de sinus et cosinus:

cos^{2} a = \frac{1 + cos 2 a}{2}, sin^{2} a = \frac{1 - cos 2 a}{2}, sin a cos a = \frac{sin 2 a}{2} . (6.11)

En additionnant ou soustrayant les formules (6.9) écrites pour $a + b$ et $a - b$ , on obtient enfin les formules de transformation de produit en somme, par exemple $cos a cos b = \frac{1}{2} [cos (a - b) + cos (a + b)]$ et . Lues dans l'autre sens, avec et , elles transforment une différence en produit:

sin x - sin y = 2 cos \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2}, cos x - cos y = - 2 sin \frac{x + y}{2} sin \frac{x - y}{2} .

Démonstration. Dans la démonstration du théorème 5.5, l'inégalité des aires a donné $sin u \leq u$ pour $0 < u < π /2$ ; par imparité, et parce que $∣ sin u ∣ \leq 1 < π /2 \leq ∣ u ∣$ dans les autres cas, on a $∣ sin u ∣ \leq ∣ u ∣$ pour tout réel . Les formules ci-dessus et donnent alors

∣ sin x - sin y ∣ \leq 2 sin \frac{x - y}{2} \leq 2 \cdot \frac{∣ x - y ∣}{2} = ∣ x - y ∣,

et de même pour $cos$ . Une fonction lipschitzienne est uniformément continue (théorème 5.16); $tan = sin / cos$ est continue là où $cos$ ne s'annule pas (théorème 5.7). $□$

Équations trigonométriques

Parce que les fonctions trigonométriques sont périodiques, une équation comme $sin x = a$ possède soit aucune solution, soit une infinité. On les décrit toutes à partir d'une solution particulière.

Démonstration. Sur le cercle unité, l'ordonnée $a$ est atteinte en exactement deux points (un seul si $a = \pm 1$ ), symétriques par rapport à l'axe vertical: si l'un correspond à l'angle $α$ , l'autre correspond à $π - α$ . Tous les angles menant à ces points diffèrent de multiples de $2 π$ . Le cas du cosinus est identique avec la symétrie par rapport à l'axe horizontal ( $α$ et $- α$ ). Pour la tangente, la droite $O M$ de pente coupe le cercle en deux points diamétralement opposés, d'angles et .

Question 6.5

Quelles sont toutes les solutions de $sin x = - \frac{2}{2}$ dans l'intervalle $[0, 2 π [$ ?

Signaux sinusoïdaux

Un signal électrique, une vibration mécanique ou une onde acoustique se décrivent par une fonction du temps de la forme

s (t) = A sin (ω t + φ), (6.12)

où $A > 0$ est l'amplitude, $ω > 0$ la pulsation (en rad/s) et $φ \in] - π, π]$ la phase à l'origine (en rad). Le signal est périodique de période $T = 2 π / ω$ et de fréquence $f = 1/ T = ω /2 π$ (en Hz). La phase se traduit par un décalage temporel: avec ; une phase positive le signal, une phase négative le . Le réseau électrique suisse fournit une tension V: pulsation rad/s, fréquence Hz, amplitude V (la valeur efficace V est ).

Explorateur 6.1 · Amplitude, fréquence et phase d'une sinusoïde

Faites varier l'amplitude, la fréquence et la phase du signal $A sin (2 π f t + φ)$ (trait plein) et comparez-le au signal de référence $sin (2 π t)$ (pointillé). Le crochet au-dessus des crêtes mesure le décalage $Δ t = - φ / ω$ entre le signal et le même signal non déphasé $A sin (2 π f t)$ : pour $φ > 0$ le signal est en avance, il passe par zéro en montant $∣ Δ t ∣$ secondes plus tôt.

Amplitude A1,00

Fréquence f1,00Hz

Phase φ45°

Période T = 1/f

1,000s

Pulsation ω = 2πf

6,28rad/s

Phase φ

0,785rad

Décalage Δt = −φ/ω

−125,0ms

Fonctions trigonométriques réciproques

Les fonctions $sin$ , $cos$ et $tan$ ne sont pas injectives sur $R$ (elles sont périodiques), donc pas inversibles. On les restreint à un intervalle sur lequel elles sont strictement monotones et prennent toutes leurs valeurs, puis on applique le théorème de la bijection.

Les trois fonctions sont continues et strictement monotones (théorème de la bijection). Quelques valeurs: $arcsin (1/2) = π /6$ , $arccos (1/2) = π /3$ , $arccos (- 1/2) = 2 π /3$ , $arctan 1 = π /4$ , $arctan 3 = π /3$ ; de plus , et , sont impaires alors que .

Démonstration. 1. Posons $θ = arcsin x \in [- π /2, π /2]$ . Alors $π /2 - θ \in [0, π]$ et $cos (π /2 - θ) = sin θ = x$ . Par définition de l'arccosinus (l'unique angle de dont le cosinus vaut ), , d'où l'identité.

Soit $x > 0$ et $θ = arctan x$ . Comme $x > 0$ , $θ \in] 0, π /2 [$ , donc $π /2 - θ \in] 0, π /2 [$ et . Donc . Pour on applique le résultat à et l'imparité de .

Question 6.6

Un pont en arc a une inclinaison de 3,5 % à la culée. Calculez l'angle correspondant, en degrés, en utilisant l'arctangente.

Fonctions hyperboliques

Définitions et identités

Les fonctions hyperboliques sont les «cousines réelles» des fonctions trigonométriques: là où $cos θ = (e^{i θ} + e^{- i θ}) /2$ (chapitre 2), on remplace $i θ$ par $x$ .

Ces fonctions sont continues (combinaisons d'exponentielles); $cosh$ est paire et $cosh x \geq 1$ (car $cosh 0 = 1$ et $e^{x} + e^{- x} \geq 2$ par l'inégalité $u + 1/ u \geq 2$ pour ); et sont impaires et strictement croissantes ( comme demi-somme des fonctions croissantes et , et ), et . Pour , et tendent vers : les deux courbes se rapprochent de celle de (figure 6.4).

Démonstration. Pour (6.13), développons: $cosh^{2} x - sinh^{2} x = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2} - ( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4} = \frac{4 e ^{x} e ^{- x}}{4} = 1$ , en utilisant et . Pour (6.14), calculons le membre de droite de la première formule:

\frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ( e ^{y} + e ^{- y} ) + ( e ^{x} - e ^{- x} ) ( e ^{y} - e ^{- y} )}{4} = \frac{2 e ^{x + y} + 2 e ^{- x - y}}{4} = cosh (x + y),

les termes croisés $e^{x - y}$ et $e^{- x + y}$ s'éliminant. La formule pour $sinh (x + y)$ se vérifie de même, et les formules de duplication sont le cas $y = x$ . $□$

L'identité (6.13) explique le nom: le point $(cosh t, sinh t)$ parcourt la branche droite de l'hyperbole $X^{2} - Y^{2} = 1$ , comme $(cos t, sin t)$ parcourt le cercle $X^{2} + Y^{2} = 1$ . Notez le changement de signe par rapport à (6.8) et (6.9): c'est la seule différence entre les formulaires trigonométrique et hyperbolique, résumée par la «règle d'Osborn»: un produit de deux sinus change de signe.

Question 6.7

On sait que $sinh x = \frac{3}{4}$ . Que vaut $cosh x$ ?

Fonctions hyperboliques réciproques

$sinh$ est continue, strictement croissante, de limites $\mp \infty$ en $\mp \infty$ : c'est une bijection de $R$ sur $R$ . $cosh$ restreinte à $[0, + \infty [$ est une bijection sur $[1, + \infty [$ , et $tanh$ une bijection de $R$ sur $] - 1, 1 [$ . Leurs réciproques, notées , et («argument sinus hyperbolique», etc.), ont l'avantage inattendu de s'exprimer avec le logarithme.

Démonstration. Démontrons la première formule. Soit $x \in R$ et $y = argsinh x$ , c'est-à-dire $sinh y = x$ . Posons $u = e^{y} > 0$ : l'équation s'écrit , équation du second degré en de discriminant , dont les racines sont . Comme , la racine est strictement négative: elle ne convient pas puisque . Donc et .

Pour $argcosh$ , la même méthode donne $u^{2} - 2 xu + 1 = 0$ , de racines $x \pm x^{2} - 1$ (réelles pour ), toutes deux positives et inverses l'une de l'autre; la condition , c'est-à-dire , sélectionne . Pour , l'équation s'écrit , soit , d'où .

Par exemple $argsinh 1 = ln (1 + 2) \approx 0, 8814$ et $argcosh 2 = ln (2 + 3) \approx 1, 317$ .

La chaînette

Synthèse

L'exponentielle $exp (x) = \sum_{n \geq 0} x^{n} / n!$ vérifie $exp (x + y) = exp (x) exp (y)$ , est strictement positive, strictement croissante, continue, et domine toute puissance: . Elle est encadrée par , d'où , et (formes ).

Série d'exercices du chapitre 6Exercice 1 sur 5

Question 6.8

Que vaut $ln (e^{3} e)$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Équations exponentielles et logarithmiques

Résoudre dans $R$ les équations suivantes, en précisant à chaque fois le domaine de validité.

$e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ ;
$ln x + ln (x - 3) = ln 4$ ;

Exercice 6.2 · Décibels

Le niveau sonore d'une source d'intensité acoustique $I$ (en W/m²) est $L = 10 lo g_{10} (I / I_{0})$ dB, avec $I_{0} = 1 0^{- 12}$ W/m². Lorsque plusieurs sources indépendantes agissent, leurs intensités s'additionnent.

Exercice 6.3 · Trigonométrie

Résoudre dans $[0, 2 π [$ l'équation $2 sin^{2} x - sin x - 1 = 0$ .
Écrire $s (t) = 3 sin t - cos t$ sous la forme avec et .

Exercice 6.4 · Chaînette d'une ligne électrique

Une ligne à haute tension est suspendue entre deux pylônes de même hauteur, distants de $2 L = 200$ m. Le câble suit la chaînette $y = a cosh (x / a)$ avec $a = 500$ m, l'origine étant placée à la verticale du point le plus bas.

Calculer la flèche $f = a (cosh (L / a) - 1)$ du câble.

Exercice 6.5 · L'exponentielle caractérisée par son équation fonctionnelle

Soit $f : R \to R$ une fonction continue, non identiquement nulle, telle que $f (x + y) = f (x) f (y)$ pour tous $x, y \in R$ .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles.
Spivak, M., Calculus, 4e éd., Publish or Perish, Houston, 2008 (chapitres 15 et 18 pour une construction rigoureuse de exp, ln et des fonctions trigonométriques).
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, 3e éd., McGraw-Hill, New York, 1976 (chapitre 8, «Some special functions»).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Euler, L., Introductio in analysin infinitorum, Lausanne, 1748 (édité par Marc-Michel Bousquet; le livre où $e$ , $π$ et la série exponentielle reçoivent leur forme moderne).

Objectifs du chapitre

Pourquoi des fonctions «élémentaires»?

La fonction exponentielle

Définition par une série

L'équation fonctionnelle

Croissance comparée

Le logarithme népérien

Définition et propriétés

Croissance comparée du logarithme

Logarithme décimal, logarithme en base a

Fonctions puissances et racines

Définition générale

Hiérarchie des croissances

Limites fondamentales et formes $1^{\infty}$

Fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Formules d'addition et leurs conséquences

Équations trigonométriques

Signaux sinusoïdaux

Fonctions trigonométriques réciproques

Fonctions hyperboliques

Définitions et identités

Fonctions hyperboliques réciproques

La chaînette

Synthèse

Exercices

Références

Écart réduit

Constante de temps

Prévision

Fin du régime transitoire

Objectifs du chapitre

Pourquoi des fonctions «élémentaires»?

La fonction exponentielle

Définition par une série

L'équation fonctionnelle

Croissance comparée

Le logarithme népérien

Définition et propriétés

Croissance comparée du logarithme

Logarithme décimal, logarithme en base a

Fonctions puissances et racines

Définition générale

Hiérarchie des croissances

Limites fondamentales et formes 1∞

Fonctions trigonométriques

Le cercle trigonométrique

Formules d'addition et leurs conséquences

Équations trigonométriques

Signaux sinusoïdaux

Fonctions trigonométriques réciproques

Fonctions hyperboliques

Définitions et identités

Fonctions hyperboliques réciproques

La chaînette

Synthèse

Exercices

Références

Écart réduit

Constante de temps

Prévision

Fin du régime transitoire

Limites fondamentales et formes $1^{\infty}$