Techniques d'intégration et intégrales impropres

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• calculer une intégrale par parties, en choisissant judicieusement le facteur à dériver et le facteur à intégrer;
• effectuer un changement de variable dans une intégrale, dans les deux sens, et reconnaître les substitutions trigonométriques et hyperboliques classiques;
• décomposer une fraction rationnelle en éléments simples et en déterminer une primitive;
• définir une intégrale impropre, étudier sa convergence par comparaison, par équivalents et par convergence absolue, connaître les intégrales de référence, découper une intégrale impropre de type I, II ou III (y compris en un point intérieur) et comparer une série à une intégrale;
• utiliser l'intégrale pour calculer des aires, des volumes et des aires de révolution, des longueurs d'arc, des centres de gravité et des travaux;
• démontrer les formules du chapitre (intégration par parties, changement de variable, critère de comparaison, comparaison série–intégrale, $\Gamma (n+1)=n!$).

Intégration par parties

Le chapitre 10 a montré que calculer une intégrale, c'est trouver une primitive. Or les règles de dérivation ne s'inversent pas toutes de façon évidente: la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, et l'on ne dispose d'aucune «formule du produit» pour les primitives. L'intégration par parties est le remède partiel: elle transforme l'intégrale d'un produit en une autre intégrale, que l'on espère plus simple. C'est l'outil qui permet par exemple de calculer l'énergie d'un signal amorti $t{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ (nous le ferons après avoir introduit la fonction Gamma) ou le régime permanent d'un circuit alimenté en sinusoïdal.

Démonstration. Par la règle de dérivation d'un produit (chapitre 7), $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, et cette fonction est continue sur $[a,b]$. La formule de Newton–Leibniz (théorème 10.12), appliquée à la primitive $uv$ de $(uv{)}^{\prime }$, donne

et il suffit d'isoler la dernière intégrale. $\square$

Tout l'art consiste à choisir, dans le produit à intégrer, quel facteur jouera le rôle de $u$ (celui que l'on dérive) et quel facteur jouera le rôle de $v^{\prime }$ (celui dont on cherche une primitive). Le choix est bon si $u^{\prime }v$ est plus simple que $u{v}^{\prime }$.

Les intégrales de Wallis

L'intégration par parties est aussi un moteur de relations de récurrence. L'exemple le plus célèbre porte le nom de John Wallis, qui obtint en 1656, avant Newton et Leibniz, un produit infini pour $\pi$ par une interpolation audacieuse; la récurrence par parties ci-dessous en est la démonstration moderne.

Démonstration. Les valeurs de $W_0$ et $W_1$ sont immédiates. Pour $n\ge 2$, écrivons ${\sin }^{n}x={\sin }^{n-1}x\cdot \sin x$ et intégrons par parties avec , , donc et :

car le crochet est nul aux deux bornes ($\cos (\pi /2)=0$ et $\sin 0=0$). Ainsi $W_n=(n-1)(W_{n-2}-W_n)$, soit . Les formules closes s'obtiennent en itérant (11.2) jusqu'à ou : par exemple , et l'on complète numérateur et dénominateur par les facteurs pairs pour faire apparaître .

Les premières valeurs sont $W_2=\pi /4$, $W_3=2/3$, $W_4=3\pi /16\approx 0,589$, . L'exercice 11.5 montre que décroît vers 0 et que ; on en déduit la formule de Wallis , l'une des premières expressions de comme limite d'une suite de rationnels.

La formule de Taylor avec reste intégral

Au chapitre 9, le reste de la formule de Taylor était donné sous la forme de Lagrange, avec un point intermédiaire inconnu. L'intégration par parties fournit une expression exacte de ce reste, très utile pour les estimations numériques.

Démonstration. Par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, la formule s'écrit $f(x)=f(a)+{\int }_a^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$: c'est le théorème fondamental. Supposons (11.3) vraie au rang pour toute fonction de classe , et soit de classe . Intégrons le reste par parties en posant et , donc (la variable est , et est fixé):

Le crochet vaut $\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$, qui est exactement le terme manquant du polynôme de Taylor au rang $n+1$; l'intégrale restante est le reste au rang .

Si $|f^{(n+1)}|\le M$ sur $I$, la majoration $\left|{\int }_a^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t\right|\le \frac{M|x-a{|}^{n+1}}{(n+1)!}$ redonne l'inégalité de Taylor–Lagrange du chapitre 9. On retrouve même le reste de Lagrange: pour , le poids est positif sur et d'intégrale , et est continue; la formule de la moyenne généralisée (théorème 10.8) fournit tel que le reste vaille . Pour , le poids garde le signe constant sur et le même raisonnement s'applique. (Sous l'hypothèse seulement: le chapitre 9 démontre la formule de Lagrange sans supposer continue.)

Changement de variable

La deuxième règle de dérivation qui s'inverse est la règle de la chaîne. Elle donne la technique la plus puissante du calcul intégral: remplacer la variable d'intégration par une fonction d'une nouvelle variable, en n'oubliant pas de transformer l'élément différentiel $\mathrm{d}x$ et les bornes.

Démonstration. Soit $F$ une primitive de $f$ sur l'intervalle considéré (elle existe car $f$ est continue, théorème 10.11). Par la règle de la chaîne, la fonction $t\mapsto F(\phi (t))$ est de classe $C^1$ sur $[\alpha ,\beta ]$, de dérivée $F^{\prime }(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)=f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$. Le théorème fondamental appliqué à cette fonction donne

Notez que $\phi$ n'a pas besoin d'être monotone ni bijective: la formule reste vraie si $\phi$ «fait des allers-retours», les contributions se compensant. Dans la pratique, on utilise la formule dans deux sens.

• De droite à gauche (on reconnaît une dérivée composée): l'intégrande est de la forme $f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$; on pose $x=\phi (t)$, $\mathrm{d}x={\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$, et l'on intègre $f$ entre et . Exemple type: .

Substitutions classiques

Les substitutions suivantes éliminent les racines carrées des expressions quadratiques grâce aux identités ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ et ${\cosh }^{2}t-{\sinh }^{2}t=1$ (chapitre 6).

Pour les intégrales d'une fraction rationnelle en $\sin x$ et $\cos x$, la substitution universelle $t=\tan (x/2)$ ramène toujours à une fraction rationnelle en $t$ grâce aux formules

Elle se démontre à partir des formules de duplication: $\sin x=2\sin (x/2)\cos (x/2)=2\tan (x/2){\cos }^2(x/2)$ et ${\cos }^2(x/2)=1/(1+{\tan }^2(x/2))$. Elle est efficace mais souvent lourde: avant de l'employer, on essaie (si l'intégrande est impair en ), (impair en ) ou (invariant par ).

Puissances de sinus et de cosinus

Les intégrales $\int {\sin }^{m}x{\cos }^{n}x\mathrm{d}x$ ($m,n\in \mathbb{N}$) reviennent sans cesse, en mécanique vibratoire comme en traitement du signal. Deux cas se présentent.

• Un exposant impair. On isole un facteur de la puissance impaire, qui fournit la différentielle, et l'on exprime le reste avec ${\cos }^2=1-{\sin }^2$ (ou l'inverse). Ainsi, avec $u=\sin x$, $\mathrm{d}u=\cos x\mathrm{d}x$:

d'où ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{3}x\mathrm{d}x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, la valeur de trouvée par la récurrence de Wallis (les intégrales de et de sur sont égales, exercice 11.5).

• Deux exposants pairs. On linéarise avec les formules ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$, ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$ et du chapitre 6, ou avec les formules d'Euler du chapitre 2 pour les puissances plus élevées. Par exemple , donc

Le premier procédé est une substitution $u=\sin x$ ou $u=\cos x$ (règle de parité énoncée plus haut); le second remplace un produit de puissances par une somme de cosinus d'arcs multiples, qui s'intègrent immédiatement.

Parité et périodicité

Démonstration. Pour 1 et 2, on coupe en ${\int }_{-a}^0+{\int }_0^a$ et l'on pose $x=-t$ dans la première: ${\int }_{-a}^{0}f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{0}f(-t)(-1)\mathrm{d}t={\int }_0^{a}f(-t)\mathrm{d}t$, qui vaut si est paire et si est impaire. Pour 3, posons . Par le théorème fondamental, est dérivable et : est constante.

Ces propriétés sont précieuses en traitement du signal: la valeur moyenne d'un signal périodique se calcule sur n'importe quelle période, et les coefficients de Fourier d'un signal pair ou impair se simplifient de moitié.

Intégration des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est un quotient $P/Q$ de deux polynômes. Ces fonctions apparaissent dans les fonctions de transfert des systèmes linéaires (filtres, suspensions, régulateurs), et le passage du domaine de Laplace au domaine temporel exige précisément de savoir les intégrer. La bonne nouvelle: toute fraction rationnelle possède une primitive exprimable avec des fractions rationnelles, des logarithmes et des arctangentes.

Décomposition en éléments simples

Ce théorème est admis: sa démonstration repose sur la factorisation des polynômes réels (théorème de d'Alembert–Gauss, théorème 2.8) et sur un argument d'algèbre linéaire qui sort du cadre de ce cours. Ce qui compte ici, c'est de savoir déterminer les coefficients. Trois techniques se complètent.

Primitives des éléments simples

Les éléments de première espèce s'intègrent immédiatement:

Pour les éléments de seconde espèce avec $n=1$, on met le trinôme sous forme canonique $x^2+px+q=(x+p/2{)}^2+{\omega }^2$ avec , puis on sépare le numérateur en une partie proportionnelle à la dérivée du dénominateur et une constante:

Le premier terme vient de $\int {\phi }^{\prime }/\phi =\ln |\phi |$, le second du changement de variable $x+p/2=\omega u$ dans $\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+p/2{)}^2+{\omega }^2}$. Pour , la partie en s'intègre en puissance, et la partie constante se ramène, par le changement de variable , aux intégrales

que l'on calcule par récurrence. Intégrons $I_n$ par parties en dérivant le facteur $(1+s^2{)}^{-n}$, de dérivée $-2ns(1+s^2{)}^{-n-1}$, et en intégrant le facteur , de primitive ; puis écrivons :

d'où la relation de récurrence

Par exemple $I_2=\frac{s}{2(1+s^2)}+\frac{1}{2}\arctan s+C$, et donc . On reconnaît la structure de la récurrence de Wallis: ce n'est pas un hasard, puisque la substitution transforme en .

Intégrales se ramenant à une fraction rationnelle

Deux familles d'intégrales se ramènent au cas rationnel par une substitution bien choisie.

• Fractions rationnelles en ${\mathrm{e}}^x$: on pose $u={\mathrm{e}}^x$, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}u/u$. Par exemple $\int \frac{\mathrm{d}x}{1+{\mathrm{e}}^x}=\int \frac{\mathrm{d}u}{u(1+u)}=\int \left(\frac{1}{u}-\frac{1}{1+u}\right)\mathrm{d}u=x-\ln (1+{\mathrm{e}}^x)+C$. Les fonctions hyperboliques, qui sont des fractions rationnelles en , relèvent du même traitement.

Intégrales impropres

L'intégrale de Riemann du chapitre 10 est définie pour une fonction bornée sur un intervalle borné $[a,b]$. Or l'ingénieur rencontre sans cesse des intégrales sur $[0,+\infty [$ (énergie totale d'un signal amorti, transformée de Laplace, loi de probabilité) ou des intégrandes qui explosent en une borne ($1/\sqrt{x}$ en 0, apparaissant dans les problèmes de diffusion). On étend la définition par un passage à la limite.

Les intégrales de référence

Démonstration. 1. Pour $p\ne 1$ et $A>1$, ${\int }_1^A{x}^{-p}\mathrm{d}x={\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]}_1^A=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}$. Si , l'exposant est négatif, et l'intégrale tend vers . Si , et l'intégrale diverge. Pour , : divergence.

2. Pour $p\ne 1$ et $0<c<1$, ${\int }_c^1{x}^{-p}\mathrm{d}x=\frac{1-c^{1-p}}{1-p}$. Si , quand et la limite vaut ; si , . Pour , .

Retenez la règle: à l'infini, il faut décroître plus vite que $1/x$; en 0, il faut exploser moins vite que $1/x$. La fonction $1/x$ est exactement à la frontière des deux côtés, ce qui explique le rôle central du logarithme. Notez la parenté avec les séries de Riemann $\sum 1/n^p$ du chapitre 4, qui convergent aussi si et seulement si $p>1$: ce n'est pas un hasard, comme nous le verrons plus bas.

Critères de convergence pour les fonctions positives

Le plus souvent, on ne sait pas calculer une primitive: il faut décider de la convergence sans calculer la valeur. Pour une fonction positive, la situation est simple, parce que $A\mapsto {\int }_a^{A}f$ est alors croissante: elle converge si et seulement si elle est majorée (théorème de la limite monotone, chapitre 3, transposé aux fonctions).

Démonstration. Posons $F(A)={\int }_a^{A}f$ et $G(A)={\int }_a^{A}g$. Comme , est croissante (si , ). Par positivité de l'intégrale, pour tout . Si converge, est croissante et tend vers une limite finie , donc et pour tout : la fonction croissante est majorée, elle admet une limite finie, inférieure ou égale à . Le point 2 est la contraposée du point 1. Enfin, modifier les fonctions sur un intervalle borné ne change les intégrales que d'une constante finie, ce qui justifie la remarque sur le voisinage.

Démonstration. Puisque $f/g\to 1$, il existe un voisinage de $\omega$ sur lequel $\frac{1}{2}g\le f\le 2g$. Le critère de comparaison appliqué à chacune de ces deux inégalités donne le résultat. Si $f/g\to \ell \in ]0,+\infty [$, on applique ce qui précède à et .

Pour la règle, si $x^{\alpha }f(x)\to \ell$ finie, on a $0\le f(x)\le (\ell +1)/x^{\alpha }$ pour $x$ assez grand, et ${\int }^{+\infty }{x}^{-\alpha }\mathrm{d}x$ converge pour (théorème 11.7). Si , on a pour assez grand (ce minorant vaut aussi si ), et diverge pour . Le cas d'une borne finie est identique, avec la partie 2 du théorème 11.7.

La règle est plus souple que les équivalents: elle s'applique à $f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$, qui n'est équivalente à aucune puissance, en prenant $\alpha =3/2$: $x^{3/2}\frac{\ln x}{x^2}=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\to 0$, donc converge (elle vaut , exercice 11.4).

Les intégrales de Bertrand. Elles montrent jusqu'où va la frontière $1/x$. Pour $\alpha ,\beta$ réels,

Si $\alpha >1$, choisissons $\gamma$ strictement entre $1$ et $\alpha$: $x^{\gamma }\cdot \frac{1}{x^{\alpha }(\ln x{)}^{\beta }}=\frac{1}{x^{\alpha -\gamma }(\ln x{)}^{\beta }}\to 0$ par croissance comparée (chapitre 6), et la règle avec l'exposant donne la convergence. Si , le même produit avec tend vers : divergence. Si , le changement de variable , , ramène à , qui converge si et seulement si (théorème 11.7). Par exemple , alors que diverge, avec une lenteur extrême.

Démonstration. Posons $f^{+}=\max (f,0)=\frac{1}{2}(|f|+f)$ et $f^{-}=\max (-f,0)=\frac{1}{2}(|f|-f)$: ce sont deux fonctions continues, avec et . Par le critère de comparaison (théorème 11.8), et convergent; par linéarité des limites, a une limite finie. L'inégalité s'obtient en passant à la limite dans (théorème 10.6).

La réciproque est fausse, comme pour les séries (la série harmonique alternée du chapitre 4). L'exemple type est ${\int }_1^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$.

• Elle converge. Intégrons par parties sur $[1,A]$, en dérivant $1/x$ et en intégrant $\sin x$:

Le terme $\cos A/A$ tend vers $0$, et ${\int }_1^{+\infty }\frac{\cos x}{x^2}$ converge absolument puisque . La limite quand existe donc: l'intégrale converge (sa valeur est environ ).

• Elle ne converge pas absolument. Comme $|\sin x|\le 1$, $|\sin x|\ge {\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, donc . Le second terme a une intégrale convergente sur (même intégration par parties), le premier une intégrale divergente: .

La convergence de $\int \frac{\sin x}{x}$ vient de la compensation entre les arches positives et négatives, et non de la petitesse de l'intégrande: c'est pourquoi les critères pour fonctions positives n'y suffisent pas.

Concrètement, pour étudier ${\int }_a^{+\infty }f$, on cherche un équivalent simple de $|f(x)|$ en $+\infty$, souvent de la forme $C/x^p$ ou $C{\mathrm{e}}^{-\alpha x}$, et l'on applique le théorème 11.7 ou l'exemple 11.5 a).

Comparaison série–intégrale

Le chapitre 4 a énoncé, en renvoyant sa démonstration à ce chapitre, un pont entre séries et intégrales (théorème 4.7). Nous disposons maintenant de tout ce qu'il faut pour l'établir.

Démonstration. Pour $k\ge 1$ et $x\in [k,k+1]$, la décroissance donne $f(k+1)\le f(x)\le f(k)$. Par l'inégalité de la moyenne (10.6) sur un segment de longueur ,

Sommons pour $k=1,\dots ,n-1$ grâce à la relation de Chasles: $S_n-f(1)\le {\int }_1^{n}f\le S_{n-1}$, où . Les deux suites et sont croissantes, puisque . Si l'intégrale converge, : les sommes partielles sont majorées et la série converge (chapitre 4). Si la série converge, pour tout , et comme est croissante et majorée par , l'intégrale converge. Enfin, en sommant l'encadrement pour (à gauche) et (à droite), puis en passant à la limite, on obtient et .

Le théorème 11.7 donne alors immédiatement la nature des séries de Riemann $\sum 1/n^p$: convergentes si et seulement si $p>1$. L'encadrement du reste est un outil de calcul numérique: pour $f(x)=1/x^2$, $\frac{1}{N+1}\le {\sum }_{n>N}\frac{1}{n^2}\le \frac{1}{N}$. Avec , le reste vaut , bien compris entre et . L'explorateur ci-dessous affiche précisément le reste qui majore le reste de la série. Appliqué aux intégrales de Bertrand (sur , la démonstration étant la même), le théorème montre que diverge alors que converge.

La fonction Gamma

Démonstration. Intégrons par parties sur $[c,A]$ avec $0<c<A$, en posant $u=t^x$ et $v^{\prime }={\mathrm{e}}^{-t}$:

Quand $A\to +\infty$, $A^x{\mathrm{e}}^{-A}\to 0$ (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance); quand $c\to 0^{+}$, $c^x{\mathrm{e}}^{-c}\to 0$ car . Le crochet tend donc vers 0 et il reste . Enfin , et par récurrence .

La fonction Gamma prolonge donc la factorielle aux réels positifs, ce qu'Euler cherchait précisément en 1729. Le changement de variable $t=s^2$ dans (11.7) donne $\Gamma (1/2)=2{\int }_0^{\infty }{\mathrm{e}}^{-s^2}\mathrm{d}s=\sqrt{\pi }$ d'après l'exemple 11.6, d'où le résultat surprenant .

Application: énergie d'un signal amorti. L'impulsion $x(t)=t{\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ ($t\ge 0$, constante de temps $\tau >0$) modélise la réponse d'un système du second ordre en régime critique: elle monte linéairement, culmine en $t=\tau$ puis s'éteint. Son énergie (au sens du traitement du signal) est l'intégrale impropre

Le changement de variable $s=2t/\tau$, $\mathrm{d}t=\frac{\tau }{2}\mathrm{d}s$, la ramène à la fonction Gamma:

Doubler la constante de temps multiplie donc l'énergie par $8$. Deux intégrations par parties donneraient le même résultat; la fonction Gamma les fait une fois pour toutes.

Types I, II et III: où se trouve la difficulté?

Toutes les intégrales impropres se ramènent à la définition 11.1, mais il est utile de nommer l'endroit où se trouve la difficulté, car c'est lui qui dicte le découpage. On distingue souvent trois types:

• type I: l'intervalle n'est pas borné, la fonction est continue partout, par exemple ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x^2}$ ou ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$;

La règle de travail est la même dans les trois cas: on découpe l'intervalle de sorte que chaque morceau ne présente qu'une seule difficulté, située à une borne, et l'intégrale converge si et seulement si chacun des morceaux converge. Le point de découpe est arbitraire: il ne change que des intégrales ordinaires, donc ni la nature ni la valeur.

Applications géométriques et physiques

L'intégrale est née de problèmes de mesure: aires, volumes, longueurs. Le principe est toujours le même, hérité des sommes de Riemann du chapitre 10: on découpe l'objet en tranches infinitésimales dont la mesure est facile à écrire, et l'on somme, c'est-à-dire l'on intègre.

Aire entre deux courbes

Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$ avec $g\le f$, l'aire de la région comprise entre les deux graphes vaut $\mathcal{A}={\int }_a^b(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$ (exemple 10.6). Si les courbes se croisent, on découpe l'intervalle aux points d'intersection et l'on intègre . Par exemple, sur , les courbes et se croisent en ; le cosinus est au-dessus avant, le sinus après:

Sans découpage, on aurait obtenu ${\int }_0^{\pi }(\sin x-\cos x)\mathrm{d}x=2$: une aire algébrique, où la petite région de gauche est comptée négativement.

Volume d'un solide de révolution

Justification. La tranche du solide comprise entre les abscisses $x$ et $x+\mathrm{d}x$ est un disque de rayon $f(x)$ et d'épaisseur $\mathrm{d}x$, de volume $\pi f(x{)}^2\mathrm{d}x$ (figure 11.3). Une somme de Riemann de ces disques approche le volume; le passage à la limite donne (11.8). La justification complète, qui demande une définition rigoureuse du volume, relève de l'intégrale multiple (Analyse II). $\square$

Longueur d'un arc de courbe

L'origine de la formule est le théorème de Pythagore appliqué à un élément de courbe: $\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2=(1+f^{\prime }(x{)}^2)\mathrm{d}{x}^2$. Cette définition est justifiée: si l'on approche la courbe par une ligne brisée inscrite, le théorème des accroissements finis (chapitre 8) écrit la longueur de chaque segment , si bien que la longueur de la ligne brisée est une somme de Riemann de (11.9) et tend vers quand le pas tend vers .

Aire d'une surface de révolution

Faisons tourner autour de l'axe des $x$ le graphe lui-même, et non la région qu'il borde. Un petit arc de longueur $\mathrm{d}s=\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}\mathrm{d}x$, situé à la distance de l'axe, décrit une bande de largeur et de périmètre , d'aire (c'est l'aire latérale d'un tronc de cône infiniment mince).

Pour la sphère de rayon $R$, $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ et $f^{\prime }(x)=-x/\sqrt{R^2-x^2}$, d'où pour . L'intégrande se prolonge par continuité en (où n'existe pas), et

l'aire de la sphère est quatre fois celle d'un grand disque, résultat qu'Archimède considérait comme l'une de ses plus belles découvertes. On remarque que toutes les tranches de même épaisseur ont la même aire latérale, $2\pi R\mathrm{d}x$: c'est le principe de la projection cylindrique équivalente de Lambert, utilisée en cartographie.

Centre de gravité d'une plaque plane

Pour une plaque homogène occupant la région $a\le x\le b$, $g(x)\le y\le f(x)$, d'aire $\mathcal{A}$, les coordonnées du centre de gravité sont

La première formule vient du moment statique des bandes verticales $x\cdot (f-g)\mathrm{d}x$; la seconde, de ce que le centre de gravité d'une bande verticale est à mi-hauteur $(f+g)/2$, ce qui donne le moment $\frac{f+g}{2}(f-g)\mathrm{d}x$. Pour le demi-disque sur , la symétrie donne et

un résultat que l'ingénieur civil retrouve dans les tables de sections, et qui est indispensable pour appliquer le théorème de Steiner (transport des moments d'inertie d'un axe passant par le centre de gravité à un axe parallèle).

De même, le centre de gravité d'un arc homogène, graphe de $f$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et de longueur $L$ (définition 11.4), a pour ordonnée

moyenne de la hauteur pondérée par la longueur des éléments d'arc.

Les théorèmes de Pappus–Guldin

Les formules des volumes et des aires de révolution se lisent d'une manière remarquablement géométrique. Ces énoncés sont dus à Pappus d'Alexandrie (IVᵉ siècle) et furent redécouverts par le jésuite suisse Paul Guldin (1577–1643), né à Mels dans l'actuel canton de Saint-Gall.

Démonstration. La plaque comprise entre les graphes de $g\le f$ engendre un solide creux, dont le volume est la différence des volumes engendrés par $f$ et par $g$ (formule des disques, théorème 11.13): $V=\pi {\int }_a^b(f^2-g^2)\mathrm{d}x$. D'après (11.10), , d'où . Pour l'arc, la définition de l'aire de révolution et celle du centre de gravité de l'arc donnent directement .

Deux applications immédiates.

• Contrôle. Le demi-disque de rayon $R$, d'aire $\pi R^2/2$ et de centre de gravité $y_G=4R/(3\pi )$, engendre la boule: $V=2\pi \cdot \frac{4R}{3\pi }\cdot \frac{\pi R^2}{2}=\frac{4}{3}\pi R^3$, comme à l'exemple 11.8. Inversement, connaissant le volume de la boule, Pappus–Guldin le centre de gravité du demi-disque sans calcul d'intégrale.

Travail et énergie

Lorsqu'une force $F(x)$ agit le long d'un déplacement rectiligne de $a$ à $b$, le travail est $W={\int }_a^{b}F(x)\mathrm{d}x$. Pour un ressort de raideur $k$ étiré de $0$ à , et : avec N/m et cm, J, énergie stockée dans le ressort. Pour vidanger un réservoir, le principe est le même, mais c'est le déplacement qui varie d'une tranche à l'autre: la tranche d'eau située à la hauteur , de volume , doit être élevée jusqu'à la hauteur de sortie, ce qui coûte . Le problème guidé de fin de chapitre détaille ce calcul.

La transformée de Laplace

L'intégrale impropre $\mathcal{L}\{f\}(s)={\int }_0^{+\infty }f(t){\mathrm{e}}^{-st}\mathrm{d}t$ est la transformée de Laplace de $f$; elle transforme les équations différentielles linéaires en équations algébriques et joue un rôle central en automatique et en électronique. D'après l'exemple 11.5 a), $\mathcal{L}\{1\}(s)=1/s$ pour et pour . Vous la retrouverez dans les cours de systèmes et de signaux; notez simplement que les fractions rationnelles en qui en résultent se ramènent au domaine temporel par la décomposition en éléments simples de ce chapitre.

Synthèse

• Intégration par parties: $\int u{v}^{\prime }=uv-\int u^{\prime }v$; on dérive de préférence arc, logarithme, polynôme (règle ALPES). Elle fournit les récurrences de Wallis et le reste intégral de Taylor.
• Changement de variable: ${\int }_{\phi (\alpha )}^{\phi (\beta )}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t$; transformer les bornes. Substitutions , , pour les racines de trinômes, pour les fractions en et ; par ou si un exposant est impair, par linéarisation sinon.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitres sur les méthodes d'intégration et les intégrales généralisées).
• Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, vol. 1, De Boeck, Bruxelles (techniques d'intégration, applications de l'intégrale).
• Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish, Houston (chapitre «Integration in Elementary Terms»).
• Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
• Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, Masson, Paris (volumes d'algèbre pour la décomposition en éléments simples, d'analyse pour les intégrales impropres).
• Apostol, T. M., Calculus, vol. 1, 2ᵉ éd., Wiley, New York (fonction Gamma, formule de Wallis).