Suites numériques

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une suite explicite, une suite récurrente, une suite arithmétique ou géométrique, et calculer la somme de leurs premiers termes;
énoncer la définition ε–N de la limite d'une suite, la lire en français et l'appliquer pour prouver une convergence simple;
calculer des limites à l'aide des opérations sur les limites, du théorème des gendarmes et des croissances comparées;
utiliser le théorème de la limite monotone et les suites adjacentes pour établir la convergence d'une suite sans connaître sa limite;
énoncer le théorème de Bolzano–Weierstrass et le critère de Cauchy, et expliquer leur lien avec la complétude de $R$ ;
calculer la limite supérieure et la limite inférieure d'une suite bornée et les interpréter comme sa plus grande et sa plus petite valeur d'adhérence;
mener l'étude complète d'une suite récurrente $u_{n + 1} = f (u_{n})$ : points fixes, monotonie, intervalle stable, convergence.

Suites: définitions et premiers exemples

Une suite est la façon la plus simple de décrire un phénomène qui évolue par étapes: le solde d'un compte d'année en année, la position d'un robot à chaque tic d'horloge, la valeur d'un signal échantillonné toutes les millisecondes, ou l'approximation successive d'une racine calculée par un ordinateur. L'analyse commence par les suites parce que tout le reste (séries, limites de fonctions, intégrales) se ramène à des limites de suites.

Il ne faut pas confondre la suite $(u_{n})$ , qui est une fonction, avec l'ensemble de ses valeurs ${u_{n} : n \in N}$ : la suite $u_{n} = (- 1)^{n}$ n'a que deux valeurs, mais une infinité de termes.

Suites explicites et suites récurrentes

Une suite peut être donnée de deux manières.

De façon explicite, par une formule en $n$ : $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ , $u_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ , .

Suites arithmétiques et géométriques

Ces deux familles sont connues du gymnase; on rappelle les formules qui serviront tout au long du cours.

La formule (3.2) se démontre en une ligne: si $S = 1 + q + \dots + q^{n}$ , alors $S - q S = 1 - q^{n + 1}$ . Elle est à la base des séries géométriques (chapitre 4) et des calculs d'annuités. Par exemple .

Suites bornées, suites monotones

Pour étudier la monotonie, on examine le signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ ou, si les termes sont strictement positifs, la position du quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ par rapport à 1. Ainsi vérifie , quotient inférieur à 1 dès que : la suite décroît à partir du rang 3, bien que , et soient croissants.

Question 3.1

Parmi les suites suivantes, laquelle est bornée?

Limite d'une suite

La définition ε–N

Dire que $u_{n}$ «tend vers» $ℓ$ , c'est dire que $u_{n}$ est aussi proche de $ℓ$ qu'on le veut pourvu que $n$ soit assez grand. La définition suivante, due à Cauchy et Weierstrass, traduit cette phrase en quantificateurs.

Lisons (3.3) en français: «quelle que soit la tolérance $ε$ , aussi petite soit-elle, il existe un rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite sont à distance moins de $ε$ de $ℓ$ ». Le rang $N$ dépend de $ε$ (on le note parfois $N (ε)$ ou $N_{ε}$ ): plus la tolérance est petite, plus il faut attendre. Géométriquement, tous les points $(n, u_{n})$ finissent dans la bande horizontale , et seul un nombre fini de termes reste à l'extérieur (figure 3.1).

Explorateur 3.1 · Définition ε–N d'une limite de suite

La suite $u_{n} = 2 + a \frac{1 + ( - 1 ) ^{n}}{n}$ vaut $2$ aux rangs impairs et $2 + 2 a / n$ aux rangs pairs: elle converge vers $2$ , mais l'écart $∣ u_{n} - 2 ∣$ n'est pas monotone. Choisissez la tolérance $ε$ et l'amplitude $a$ : le rang $N (ε)$ est le premier après le dernier terme hors de la bande $] 2 - ε, 2 + ε [$ , pas le premier terme qui y entre.

Tolérance ε0,20

Amplitude a1,50

Rang N(ε)

Premier terme dans la bande

n = 1

Minimalité: |u_N−1 − 2| ≥ ε

0,2143 ≥ 0,20

|u_N − 2|

0,0000

Question 3.2

Pour la suite $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n + 3}$ , déterminez le plus petit entier $N$ tel que $∣ u_{n} - 2 ∣ < 0, 01$ pour tout $n \geq N$ .

Premières propriétés

Démonstration. Supposons que $u_{n} \to ℓ$ et $u_{n} \to ℓ^{'}$ avec $ℓ \neq = ℓ^{'}$ , et posons . Il existe tel que pour , et tel que pour . Pour , l'inégalité triangulaire donne

∣ ℓ - ℓ^{'} ∣ \leq ∣ ℓ - u_{n} ∣ + ∣ u_{n} - ℓ^{'} ∣ < 2 ε = ∣ ℓ - ℓ^{'} ∣,

ce qui est absurde. Donc $ℓ = ℓ^{'}$ . $□$

Cette démonstration est le prototype de nombreux raisonnements du chapitre: on choisit $ε$ en fonction de la conclusion voulue, on prend le maximum des rangs, et l'inégalité triangulaire fait le reste.

Démonstration. Soit $u_{n} \to ℓ$ . Appliquons la définition avec $ε = 1$ : il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < 1$ , donc , pour tout . Les termes d'indice inférieur à sont en nombre fini; posons . Alors pour tout .

La réciproque est fausse: $u_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée mais ne converge pas. En effet, si elle convergeait vers $ℓ$ , on aurait pour $ε = 1$ et $n$ assez grand $∣ u_{n + 1} - u_{n} ∣ \leq ∣ u_{n + 1} - ℓ ∣ + ∣ ℓ - u_{n} ∣ < 2$ , alors que pour tout . La suite est l'exemple type de suite : elle ne tend ni vers un réel ni vers l'infini.

Suites divergentes vers l'infini

Par exemple $n^{2} \to + \infty$ (prendre $N > ∣ A ∣$ ), et $q^{n} \to + \infty$ pour (par l'inégalité de Bernoulli, ). Une suite qui tend vers l'infini n'est pas bornée; une suite non bornée ne tend pas forcément vers l'infini, comme le montre .

Opérations sur les limites

Somme, produit, quotient

Démonstration (somme et produit). Soit $ε > 0$ . Il existe $N_{1}$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε /2$ pour $n \geq N_{1}$ et tel que pour . Pour ,

∣(u_{n} + v_{n}) - (ℓ + ℓ^{'})∣ \leq ∣ u_{n} - ℓ ∣ + ∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε .

Pour le produit, on écrit $u_{n} v_{n} - ℓ ℓ^{'} = u_{n} (v_{n} - ℓ^{'}) + ℓ^{'} (u_{n} - ℓ)$ . La suite est convergente, donc bornée (théorème 3.2): pour tout , et l'on peut choisir . Alors

∣ u_{n} v_{n} - ℓ ℓ^{'} ∣ \leq K ∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ + ∣ ℓ^{'} ∣ ∣ u_{n} - ℓ ∣ .

Soit $ε > 0$ . À partir d'un certain rang, $∣ v_{n} - ℓ^{'} ∣ < \frac{ε}{2 K}$ et , donc . Le point 3 se démontre de même en écrivant et en minorant par à partir d'un certain rang; le point 4 découle de .

Ces règles s'étendent partiellement aux limites infinies: $u_{n} \to + \infty$ et $(v_{n})$ minorée impliquent $u_{n} + v_{n} \to + \infty$ ; et impliquent ; implique . En revanche, certaines combinaisons ne permettent aucune conclusion.

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Démonstration. Si l'on avait $ℓ > ℓ^{'}$ , on poserait $ε = (ℓ - ℓ^{'}) /2$ ; pour $n$ assez grand, $u_{n} > ℓ - ε = ℓ^{'} + ε > v_{n}$ , contradiction.

Attention: les inégalités strictes ne passent pas à la limite. On a $1/ n > 0$ pour tout $n$ , mais $lim 1/ n = 0$ , pas $> 0$ . Le passage à la limite transforme toujours une inégalité stricte en inégalité large.

Démonstration. Soit $ε > 0$ . Il existe $N$ tel que, pour $n \geq N$ , on ait simultanément $u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n}$ , et . Alors , c'est-à-dire .

Le cas particulier le plus utile est le suivant: si $∣ w_{n} - ℓ ∣ \leq v_{n}$ avec $v_{n} \to 0$ , alors $w_{n} \to ℓ$ . Par exemple car , et car

0 < \frac{n !}{n ^{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \dots \frac{n}{n} \leq \frac{1}{n} .

Limites usuelles et croissances comparées

Démonstration (partielle). Le point 1 a été vu dans l'exemple 3.2 (cas $0 < q < 1$ , le cas $- 1 < q < 0$ s'en déduit par $∣ q^{n} ∣ = ∣ q ∣^{n}$ ) et à la section précédente. Pour le point 3, posons ; la formule du binôme donne , donc et par les gendarmes. Pour , on écrit et, pour assez grand, avec un entier , d'où . Pour , fixons un entier ; pour , chacun des facteurs est au plus , donc . La limite a été établie ci-dessus par les gendarmes.

Sont admis ici, faute des outils nécessaires: la limite $n a \to 1$ pour un réel $a > 0$ quelconque et le point 2 lorsque $a$ n'est pas rationnel (les puissances à exposant réel sont définies au chapitre 6); la limite $\frac{ln n}{n ^{a}} \to 0$ (le logarithme est défini au chapitre 6); et le point 4, démontré au chapitre 6 avec les propriétés du logarithme (théorème 6.10, qui établit plus généralement ).

La règle mnémotechnique de (3.4): à l'infini, le logarithme est écrasé par les puissances, les puissances par les exponentielles, les exponentielles par la factorielle, et la factorielle par $n^{n}$ . Numériquement, $\frac{1 0 ^{10}}{2 ^{100}} \approx 8 \times 1 0^{- 21}$ , mais vaut encore pour : la croissance comparée ne dit rien sur les premiers termes.

Question 3.3

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration du théorème des gendarmes.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Écrire, pour

n \geq N

, la chaîne

ℓ - ε < u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n} < ℓ + ε

Conclure que

(w_{n})

converge vers

ℓ

par la définition

Choisir un rang

N

à partir duquel

∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε

∣ v_{n} - ℓ ∣ < ε

u_{n} \leq w_{n} \leq v_{n}

En déduire

∣ w_{n} - ℓ ∣ < ε

pour tout

n \geq N

Fixer un réel

ε > 0

quelconque

Suites monotones

Le théorème de la limite monotone

Les résultats précédents supposent la limite connue, ou au moins devinée. Le théorème suivant permet de prouver qu'une suite converge sans savoir vers quoi: c'est le premier résultat d'existence du cours, et il repose sur l'axiome de la borne supérieure du chapitre 1.

Démonstration. Soit $(u_{n})$ croissante et majorée. L'ensemble $E = {u_{n} : n \in N}$ est une partie non vide et majorée de $R$ ; par l'axiome de la borne supérieure, elle admet une borne supérieure $ℓ = sup E$ . Soit . Comme n'est pas un majorant de , il existe un indice tel que . Pour , la croissance donne , et par définition de , . Donc pour tout : . Le cas décroissant s'obtient en considérant . Enfin, si est croissante et non majorée, pour tout il existe avec , et alors pour .

Suites adjacentes

Démonstration. La suite $(b_{n} - a_{n})$ est décroissante (différence d'une suite décroissante et d'une suite croissante) et tend vers 0, donc $b_{n} - a_{n} \geq 0$ pour tout (sinon, à partir d'un certain rang, elle resterait inférieure à un nombre strictement négatif). Ainsi : la suite est croissante et majorée par , donc converge vers un réel (théorème 3.7). De même , décroissante et minorée par , converge vers . Enfin . L'encadrement découle de .

L'intérêt pratique est l'encadrement: à chaque étape, on connaît une valeur par défaut et une valeur par excès de $ℓ$ , donc une borne d'erreur $b_{n} - a_{n}$ . Avec $a_{n} = \sum_{k \leq n} 1/ k!$ et (exercice 3.3), on obtient dès . C'est aussi le principe de la dichotomie, utilisée dans la démonstration du théorème de Bolzano–Weierstrass ci-dessous et dans celle du théorème des valeurs intermédiaires (chapitre 5).

Sous-suites et théorème de Bolzano–Weierstrass

Comme $φ$ est strictement croissante, on a $φ (n) \geq n$ pour tout $n$ (récurrence immédiate). Il en résulte que si $u_{n} \to ℓ$ , alors toute sous-suite tend aussi vers $ℓ$ : le rang $N$ qui convient pour $(u_{n})$ convient pour . Réciproquement, si les sous-suites des termes pairs et des termes impairs tendent vers la même limite , alors . Et si deux sous-suites ont des limites différentes, la suite diverge: c'est la façon la plus rapide de prouver que n'a pas de limite, puisque et .

Démonstration (par dichotomie). Soit $(u_{n})$ à valeurs dans $[a, b]$ . On construit par récurrence des intervalles emboîtés $I_{k} = [a_{k}, b_{k}]$ contenant chacun une infinité de termes de la suite. On pose . Si est construit, on le coupe en deux moitiés et avec ; l'une au moins contient pour une infinité d'indices , et on l'appelle . Par construction, est croissante, est décroissante et : les suites sont adjacentes et convergent vers un même réel .

On extrait maintenant la sous-suite: on choisit $φ (0) = 0$ , puis, $I_{k + 1}$ contenant une infinité de termes, un indice $φ (k + 1) > φ (k)$ tel que $u_{φ (k + 1)} \in I_{k + 1}$ . Alors pour tout , et le théorème des gendarmes donne .

Ce théorème porte le nom du mathématicien de Prague Bernard Bolzano, dont le mémoire de 1817 contient déjà l'argument de dichotomie, et de Karl Weierstrass, qui l'a énoncé sous la forme actuelle dans ses cours berlinois des années 1860. Il est le résultat de compacité fondamental de $R$ : il sera l'ingrédient clé du théorème de Weierstrass sur les fonctions continues (chapitre 5) et du critère de Cauchy ci-dessous.

Question 3.4

Quelles sont les valeurs d'adhérence de la suite $u_{n} = (- 1)^{n} + \frac{1}{n}$ ( $n \geq 1$ )?

Limite supérieure et limite inférieure

Une suite bornée qui ne converge pas oscille; le théorème de Bolzano–Weierstrass garantit qu'elle a des valeurs d'adhérence, mais n'en désigne aucune. Deux d'entre elles méritent un nom: la plus grande et la plus petite. Elles décrivent l'enveloppe des oscillations, c'est-à-dire les niveaux que la suite finit par ne plus dépasser, par en haut et par en bas. En traitement du signal, ce sont les valeurs de crête que l'on observe une fois le régime transitoire éteint.

Les monotonies se voient directement: quand $n$ augmente, on prend la borne supérieure sur un ensemble plus petit, qui ne peut que diminuer. On a toujours $lim inf u_{n} \leq lim sup u_{n}$ , puisque $m_{n} \leq M_{n}$ pour tout . Contrairement à la limite, ces deux nombres pour une suite bornée: c'est tout leur intérêt.

La définition par $M_{n}$ et $m_{n}$ se traduit en une caractérisation en $ε$ , qui est celle que l'on utilise dans les démonstrations.

Démonstration. 1. La suite $(M_{n})$ décroît vers $L$ : il existe $N$ tel que $M_{N} < L + ε$ , et pour $n \geq N$ , .

Comme $(M_{n})$ décroît vers $L$ , on a $M_{N} \geq L$ pour tout $N$ . Fixons $N$ . Par la caractérisation de la borne supérieure (théorème 1.3), il existe $k \geq N$ tel que . Un tel indice existe au-delà de n'importe quel : il y en a donc une infinité.

Réciproquement, supposons que $L$ vérifie 1 et 2. Par 1, pour tout $ε > 0$ on a $M_{n} \leq L + ε$ dès que $n$ est assez grand, donc $lim sup u_{n} \leq L + ε$ . Par 2, pour tout il existe avec , donc , et . Comme est arbitraire, .

Démonstration. Notons $L = lim sup u_{n}$ . $L$ est une valeur d'adhérence. Par le point 2 du théorème 3.10 avec $ε = 1$ , on choisit un indice $φ (1)$ tel que $u_{φ (1)} > L - 1$ ; puis, pour , un indice tel que , ce qui est possible puisqu'il existe une infinité d'indices convenables. On a alors

L - \frac{1}{j} < u_{φ (j)} \leq M_{φ (j)},

et $M_{φ (j)} \to L$ car c'est une sous-suite de $(M_{n})$ . Par le théorème des gendarmes, $u_{φ (j)} \to L$ .

C'est la plus grande. Si une sous-suite $u_{ψ (j)}$ tend vers $λ$ , on a $u_{ψ (j)} \leq M_{ψ (j)}$ pour tout , et le passage à la limite (théorème 3.4) donne . Le cas de est symétrique.

Convergence. Si $lim inf u_{n} = lim sup u_{n} = ℓ$ , l'encadrement $m_{n} \leq u_{n} \leq M_{n}$ et le théorème des gendarmes donnent . Réciproquement, si , toute sous-suite tend vers : la seule valeur d'adhérence est , donc la plus grande et la plus petite valent toutes deux .

La première partie de cette démonstration fournit une seconde preuve du théorème de Bolzano–Weierstrass, sans dichotomie: la limite supérieure d'une suite bornée existe par le théorème de la limite monotone, et c'est une valeur d'adhérence.

Question 3.5

On échantillonne $cos (2 π f t)$ avec $f T = \frac{1}{5}$ (cinq échantillons par période): $x_{n} = cos (\frac{2 π n}{5})$ . Calculez $lim inf x_{n}$ (3 décimales).

Suites de Cauchy

La définition de la limite exige de connaître $ℓ$ . Cauchy a proposé un critère interne, qui ne fait intervenir que les termes de la suite: une suite converge si et seulement si ses termes finissent par être tous proches les uns des autres.

Démonstration. Sens direct. Soit $u_{n} \to ℓ$ et $ε > 0$ . Il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - ℓ ∣ < ε /2$ pour . Pour , l'inégalité triangulaire donne .

Sens réciproque. Soit $(u_{n})$ de Cauchy. Elle est bornée: avec $ε = 1$ , il existe $N$ tel que $∣ u_{n} - u_{N} ∣ < 1$ pour , et l'on conclut comme au théorème 3.2. Par Bolzano–Weierstrass, elle admet une sous-suite convergeant vers un réel . Montrons que toute la suite tend vers . Soit ; il existe tel que pour , et tel que pour . Pour , choisissons avec (possible car ); alors

∣ u_{n} - ℓ ∣ \leq ∣ u_{n} - u_{φ (k)} ∣ + ∣ u_{φ (k)} - ℓ ∣ < ε . □

Question 3.6

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie pour toute suite $(u_{n})$ de réels?

Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Les suites définies par une relation $u_{n + 1} = f (u_{n})$ sont omniprésentes: méthodes itératives (Newton, point fixe), modèles de population, filtres numériques, calcul du régime permanent d'un circuit échantillonné. Leur étude suit un plan en quatre points que nous illustrons sur l'exemple $f (x) = x + 2$ .

Points fixes et intervalle stable

Démonstration. L'appartenance $u_{n} \in I$ se montre par récurrence: $u_{0} \in I$ et, si $u_{n} \in I$ , alors . Si et est continue en (notion précisée au chapitre 5; ici il suffit de savoir que implique ), alors ; mais est une sous-suite de , donc tend vers . Par unicité de la limite, .

Ce résultat ne prouve pas la convergence: il dit seulement que, si la suite converge, sa limite est à chercher parmi les points fixes. La convergence elle-même vient en général du théorème de la limite monotone.

Monotonie: le signe de $f (x) - x$

Si $f$ est croissante sur l'intervalle stable $I$ , la suite est monotone, et son sens de variation est fixé par le premier pas: si $u_{1} \geq u_{0}$ , alors $u_{2} = f (u_{1}) \geq f (u_{0}) = u_{1}$ , et par récurrence est croissante; si , elle est décroissante. Or : le sur donne le sens de variation. La figure 3.3 montre cette dynamique: on reporte sur l'axe, on monte jusqu'au graphe de pour lire , on revient sur la diagonale pour recommencer.

La méthode de Héron

Le calcul de $a$ par la suite $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}})$ , décrit par Héron d'Alexandrie et probablement connu des Babyloniens (la tablette YBC 7289 porte une approximation de compatible avec cette méthode, sans décrire le procédé), est l'exemple le plus ancien de méthode de Newton (chapitre 8): on remplace la courbe par sa tangente. Pour , on trouve d'abord pour , car

u_{n + 1} - a = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{a}{u _{n}}) - a = \frac{u _{n}^{2} - 2 a u _{n} + a}{2 u _{n}} = \frac{( u _{n} - a ) ^{2}}{2 u _{n}} \geq 0. (3.6)

Ensuite $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{a - u _{n}^{2}}{2 u _{n}} \leq 0$ : la suite est décroissante à partir du rang 1 et minorée par , donc convergente, et sa limite vérifie , soit . La formule (3.6) dit bien plus: comme ,

0 \leq u_{n + 1} - a \leq \frac{( u _{n} - a ) ^{2}}{2 a} .

L'erreur à l'étape $n + 1$ est de l'ordre du carré de l'erreur à l'étape $n$ : le nombre de décimales exactes double à chaque itération. Pour $a = 2$ et $u_{0} = 2$ (la suite de la section «Suites explicites et suites récurrentes»), on obtient $u_{1} = 1, 5$ , et : trois itérations donnent déjà cinq décimales exactes de Les erreurs successives valent , , , , : cinq itérations suffisent pour la précision d'un nombre flottant en double précision. C'est la , incomparablement plus rapide que la convergence linéaire de l'exemple 3.6.

Comparaison asymptotique des suites

Dire que $ln n$ est «écrasé» par $n$ , ou que $n^{2} + n$ «se comporte comme» $n$ , est une information précieuse, mais encore vague. Les notations de Landau la rendent précise; elles serviront sans cesse au chapitre 4 (comparaison des séries) et seront étendues aux fonctions au chapitre 9.

Ainsi $u_{n} = o (1)$ signifie $u_{n} \to 0$ , et $u_{n} = O (1)$ signifie que est bornée. Les croissances comparées (3.4) s'écrivent, pour et ,

ln n = o (n^{a}), n^{a} = o (q^{n}), q^{n} = o (n!), n! = o (n^{n}) .

Quelques équivalents obtenus plus haut: $\frac{3 n ^{2} - n}{n ^{2} + 1} \sim 3$ , $n^{2} + n - n \sim \frac{1}{2}$ (exemple 3.3), et , car le quotient tend vers 1. Pour un polynôme ou une fraction rationnelle en , on garde le terme dominant: .

Démonstration. 1. On écrit $u_{n} = \frac{u _{n}}{v _{n}} \cdot v_{n}$ , produit d'une suite tendant vers 1 et d'une suite tendant vers ; on conclut par le théorème 3.3 si est fini, et par la règle « et facteur tendant vers » sinon. 2. , et de même pour le quotient. 3. À partir d'un certain rang, .

Pour lever une indétermination, on remplace donc chaque facteur par un équivalent simple: $\frac{( n ^{2} + 1 ) n}{2 n ^{3} - n} \sim \frac{n ^{2} n}{2 n ^{3}} = \frac{1}{2 n} \to 0$ .

Question 3.7

Laquelle de ces affirmations est vraie?

Le quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ , déjà utilisé pour étudier la monotonie, renseigne aussi sur la limite: c'est la version «suites» du critère de d'Alembert que le chapitre 4 appliquera aux séries.

Démonstration. 1. Choisissons $q$ avec $ℓ < q < 1$ . Il existe $n_{0}$ tel que $∣ u_{n + 1} ∣ \leq q ∣ u_{n} ∣$ pour , d'où par récurrence pour ; le majorant tend vers 0 (théorème 3.6) et l'on conclut par les gendarmes. 2. Si , on choisit (par exemple si ) et l'on obtient de même . 3. Les suites , et ont toutes un quotient de module tendant vers 1; la première tend vers , la deuxième vers 0, la troisième n'a pas de limite.

Par exemple, pour $u_{n} = \frac{n ^{10}}{2 ^{n}}$ , le quotient vaut $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{n})^{10} \to \frac{1}{2}$ : , alors même que . Pour , le quotient vaut : , bien que .

Synthèse

Une suite est une application $N \to R$ ; elle est définie explicitement ou par récurrence. Suites arithmétiques: $u_{n} = u_{0} + n r$ ; géométriques: $u_{n} = u_{0} q^{n}$ , somme .

Série d'exercices du chapitre 3Exercice 1 sur 5

Question 3.8

Que vaut $lim_{n \to \infty} \frac{3 n ^{2} - n}{n ^{2} + 1}$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Calculs de limites

Déterminer la limite (finie ou infinie), ou montrer l'absence de limite, de chacune des suites suivantes.

$u_{n} = \frac{n ^{3} + 2 ^{n}}{3 ^{n}}$ ;

Exercice 3.2 · Accumulation d'un médicament (suite arithmético-géométrique)

Un patient reçoit chaque matin une dose de 3 mg d'un médicament; en 24 heures, l'organisme en élimine 20 %. On note $u_{n}$ la quantité (en mg) présente dans l'organisme juste après la $n$ -ième prise, avec $u_{0} = 3$ .

Justifier que $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 3$ et calculer , , .

Exercice 3.3 · Suites adjacentes et nombre e

Pour $n \geq 1$ , on pose $a_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ et .

Exercice 3.4 · Division sans diviseur

Les processeurs calculent souvent l'inverse $1/ a$ d'un nombre $a > 0$ sans effectuer de division, par la suite $u_{n + 1} = u_{n} (2 - a u_{n})$ (méthode de Newton appliquée à ).

Exercice 3.5 · Lemme de Cesàro

Soit $(u_{n})_{n \geq 1}$ une suite convergeant vers $ℓ$ . On pose $m_{n} = \frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{n}}{n}$ (moyenne arithmétique des premiers termes).

Exercice 3.6 · Limites supérieure et inférieure

a) Calculer $lim sup u_{n}$ et $lim inf u_{n}$ pour $u_{n} = (- 1)^{n} \frac{n}{n + 1}$ et pour , .

Références

Douchet, J., Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne.
Liret, F., Martinais, D., Analyse 1re année, Dunod, Paris.
Ramis, E., Deschamps, C., Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 3: Topologie et éléments d'analyse, Masson, Paris.
Rudin, W., Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, New York (chapitre 3, Numerical Sequences and Series).
Spivak, M., Calculus, 4ᵉ éd., Publish or Perish (chapitre 22, Infinite Sequences).
Stewart, J., Analyse: concepts et contextes, volume 1, De Boeck, Bruxelles.

0	0,5	$- 0, 5$	0
1	0,25	$0, 25$	0
2	0,3125	$0, 0625$	1
3	$0, 33203125$	$3, 9 \times 1 0^{- 3}$	2
4	$0, 333328247$	$1, 5 \times 1 0^{- 5}$	4
5	$0, 33333333326$	$2, 3 \times 1 0^{- 10}$	9

Objectifs du chapitre

Suites: définitions et premiers exemples

Suites explicites et suites récurrentes

Suites arithmétiques et géométriques

Suites bornées, suites monotones

Limite d'une suite

La définition ε–N

Premières propriétés

Suites divergentes vers l'infini

Opérations sur les limites

Somme, produit, quotient

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Limites usuelles et croissances comparées

Suites monotones

Le théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Sous-suites et théorème de Bolzano–Weierstrass

Limite supérieure et limite inférieure

Suites de Cauchy

Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Points fixes et intervalle stable

Monotonie: le signe de $f (x) - x$

La méthode de Héron

Comparaison asymptotique des suites

Synthèse

Exercices

Références

Premiers termes

Point fixe

Sous-suites paire et impaire

Conclusion et vitesse

Objectifs du chapitre

Suites: définitions et premiers exemples

Suites explicites et suites récurrentes

Suites arithmétiques et géométriques

Suites bornées, suites monotones

Limite d'une suite

La définition ε–N

Premières propriétés

Suites divergentes vers l'infini

Opérations sur les limites

Somme, produit, quotient

Passage à la limite dans les inégalités et théorème des gendarmes

Limites usuelles et croissances comparées

Suites monotones

Le théorème de la limite monotone

Suites adjacentes

Sous-suites et théorème de Bolzano–Weierstrass

Limite supérieure et limite inférieure

Suites de Cauchy

Suites récurrentes un+1​=f(un​)

Points fixes et intervalle stable

Monotonie: le signe de f(x)−x

La méthode de Héron

Comparaison asymptotique des suites

Synthèse

Exercices

Références

Premiers termes

Point fixe

Sous-suites paire et impaire

Conclusion et vitesse

Suites récurrentes $u_{n + 1} = f (u_{n})$

Monotonie: le signe de $f (x) - x$