Nombres complexes

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer dans $C$ en forme algébrique: somme, produit, quotient, conjugué, module, et interpréter ces opérations dans le plan d'Argand;
passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle d'un nombre complexe, et inversement;
utiliser la formule d'Euler et la formule de Moivre pour linéariser une puissance de $cos θ$ ou exprimer $cos (n θ)$ en fonction de $cos θ$ ;
déterminer les racines $n$ -ièmes d'un nombre complexe et résoudre une équation du second degré à coefficients complexes;
factoriser un polynôme à coefficients réels dans $C$ puis dans $R$ en exploitant les racines conjuguées;
représenter un signal sinusoïdal par un phaseur et calculer l'impédance d'un circuit RLC.

Pourquoi inventer de nouveaux nombres?

Le chapitre 1 a présenté $R$ comme un corps ordonné qui vérifie l'axiome de la borne supérieure: on y trouve $2$ , $π$ , et plus généralement la borne supérieure de toute partie non vide majorée. Pourtant l'équation la plus simple qui soit, après $x + 1 = 0$ et $2 x = 1$ , reste sans solution:

x^{2} + 1 = 0.

Un carré réel est toujours positif ou nul, donc $x^{2} + 1 \geq 1 > 0$ pour tout $x \in R$ . Le même blocage s'était produit deux fois dans l'histoire: $x + 1 = 0$ n'a pas de solution dans $N$ (on a inventé les entiers négatifs), $2 x = 1$ n'en a pas dans (on a inventé les fractions), n'en a pas dans (on a inventé les réels). La démarche est toujours la même: on une solution formelle et l'on vérifie que les règles de calcul restent cohérentes.

L'histoire des nombres complexes est cependant plus tortueuse. Vers 1545, Jérôme Cardan (Girolamo Cardano) publie dans son Ars Magna une formule de résolution de l'équation du troisième degré $x^{3} = p x + q$ . Or cette formule fait parfois apparaître la racine carrée d'un nombre négatif, même lorsque les trois solutions sont réelles! C'est le cas dit «irréductible». Cardan lui-même qualifie ces racines de quantités «sophistiques» et ne s'en sert qu'à contrecœur. Raphaël Bombelli, dans son Algebra de 1572, ose calculer avec elles selon des règles fixes ( $- 1 \cdot - 1 = - 1$ ) et retrouve, par exemple, la solution de . Pendant deux siècles, ces nombres «imaginaires» restent des intermédiaires de calcul suspects. Leonhard Euler, Bâlois de naissance, publie en 1748 dans son la formule qui relie l'exponentielle aux fonctions trigonométriques, puis introduit en 1777 la notation pour . Enfin, Caspar Wessel (1797), Jean-Robert Argand (1806) puis Carl Friedrich Gauss (1831) donnent aux nombres complexes une représentation géométrique dans le plan, ce qui lève définitivement les réticences: un nombre complexe est un , ni plus ni moins mystérieux qu'un vecteur.

Pour l'ingénieur, les nombres complexes sont avant tout un outil de calcul d'une efficacité redoutable. En électrotechnique, un courant alternatif $i (t) = I_{0} cos (ω t + φ)$ est représenté par un phaseur $I_{0} e^{i φ}$ ; les lois de Kirchhoff, qui donnent des équations différentielles, se transforment en équations algébriques sur les . En traitement du signal, la transformée de Fourier décompose n'importe quel signal en exponentielles complexes . En mécanique des structures, l'analyse modale d'une passerelle ou d'une pale d'éolienne conduit à des valeurs propres complexes dont la partie imaginaire est une fréquence de vibration et la partie réelle un amortissement. Enfin, en Analyse II, chapitre 1, la résolution des équations différentielles linéaires passera par des racines complexes d'un polynôme caractéristique.

Forme algébrique

Le corps des nombres complexes

Les nombres réels sont les complexes de partie imaginaire nulle: $R \subset C$ . Les complexes de partie réelle nulle, $z = i b$ , sont dits imaginaires purs. L'addition et la multiplication sont définies en développant «comme d'habitude» et en remplaçant $i^{2}$ par $- 1$ :

(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d), (a + i b) (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c) . (2.2)

On vérifie sans difficulté (mais avec un peu de patience) que ces deux opérations sont associatives, commutatives, que la multiplication est distributive sur l'addition, que $0$ et $1$ sont les éléments neutres et que tout complexe non nul possède un inverse (nous le calculerons explicitement plus bas). Autrement dit, $C$ est un corps, exactement comme $Q$ et $R$ , et toutes les identités algébriques valables dans $R$ (binôme de Newton, identités remarquables, somme géométrique) restent vraies dans $C$ .

Une identité à retenir: $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i + i^{2} = 2 i$ . Elle montre que $1 + i$ est une racine carrée de $2 i$ , et que ; nous nous en servirons plusieurs fois.

Conjugué

Démonstration. Les points 2, 3 et 4 sont des calculs immédiats à partir de $z = a + i b$ . Pour le produit dans le point 1, avec $w = c + i d$ : $\overline{z w} = (a c - b d) - i (a d + b c)$ et . Le quotient se déduit du produit en écrivant .

Le point 3 est la clé du calcul de l'inverse. Si $z = a + i b \neq = 0$ , alors $z \cdot \frac{z ˉ}{a ^{2} + b ^{2}} = 1$ , donc

\frac{1}{z} = \frac{z ˉ}{z z ˉ} = \frac{a - i b}{a ^{2} + b ^{2}} . (2.3)

C'est exactement ce que nous avons fait dans l'exemple 2.1: pour diviser par $w$ , on multiplie numérateur et dénominateur par $\overset{w}{ˉ}$ , ce qui rend le dénominateur réel.

Module

Démonstration. Le point 1 découle de la définition. Pour le point 2, on utilise la proposition 2.1: $∣ z w ∣^{2} = z w \overline{z w} = z \overset{z}{ˉ} w \overset{w}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} ∣ w ∣^{2}$ , puis on prend la racine carrée. Le point 3 vient de . Pour l'inégalité triangulaire, on développe le carré du module grâce à :

∣ z + w ∣^{2} = (z + w) (\overset{z}{ˉ} + \overset{w}{ˉ}) = z \overset{z}{ˉ} + z \overset{w}{ˉ} + \overset{z}{ˉ} w + w \overset{w}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} + 2 Re (z \overset{w}{ˉ}) + ∣ w ∣^{2},

car $\overset{z}{ˉ} w = \overline{z \overset{w}{ˉ}}$ et $u + \overset{u}{ˉ} = 2 Re u$ . Par le point 3 puis le point 2, , d'où

∣ z + w ∣^{2} \leq ∣ z ∣^{2} + 2 ∣ z ∣ ∣ w ∣ + ∣ w ∣^{2} = (∣ z ∣ + ∣ w ∣)^{2},

et il suffit de prendre la racine carrée, les deux membres étant positifs. La seconde inégalité s'obtient en appliquant la première à $z = (z - w) + w$ puis à $w = (w - z) + z$ .

Cas d'égalité. D'après le calcul précédent, l'égalité équivaut à $Re (z \overset{w}{ˉ}) = ∣ z \overset{w}{ˉ} ∣$ , c'est-à-dire à ce que $u = z \overset{w}{ˉ}$ soit un réel positif ou nul (un complexe dont la partie réelle égale le module a une partie imaginaire nulle, par $∣ u ∣^{2} = (Re u)^{2} + (Im u)^{2}$ ). Pour , cela s'écrit avec ; réciproquement, si avec , les deux membres valent .

Cette démonstration est un modèle du genre: dès qu'un module apparaît au carré, on le remplace par $z \overset{z}{ˉ}$ et l'on calcule. Vous l'utiliserez à nouveau dans l'exercice 2.5.

Par exemple, le module de $\frac{3 + 4 i}{1 - 2 i}$ se lit sans calculer le quotient: $\frac{∣ 3 + 4 i ∣}{∣ 1 - 2 i ∣} = \frac{5}{5} = 5$ . (Contrôle: le quotient vaut , de module .)

Forme trigonométrique et exponentielle

Argument

Un point du plan peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes $(a, b)$ ou par ses coordonnées polaires $(r, θ)$ : $a = r cos θ$ , $b = r sin θ$ . Pour un nombre complexe non nul, $r = ∣ z ∣$ et l'angle s'appelle l'argument.

Pour trouver l'argument à partir de la forme algébrique, on calcule d'abord le module, puis on cherche $θ$ tel que $cos θ = a / r$ et $sin θ = b / r$ . La formule $θ = arctan (b / a)$ ne donne la bonne réponse que si $a > 0$ , car prend ses valeurs dans . La règle complète pour l'argument principal de est

ar g z = ⎩ ⎨ ⎧ arctan (b / a) arctan (b / a) + π arctan (b / a) - π π /2 ou - π /2 si a > 0, si a < 0 et b \geq 0, si a < 0 et b < 0, si a = 0 et b > 0 ou b < 0,

mais un dessin rapide évite toute erreur de quadrant. Par exemple, $z_{1} = - 3 + i$ a pour module $3 + 1 = 2$ , donc et : le point est dans le deuxième quadrant et (soit ), d'où . Le calcul naïf est faux: c'est l'argument de , le point diamétralement opposé; la règle ci-dessus corrige en ajoutant . De même, a pour module , avec et , donc et .

La formule d'Euler

Deux conséquences immédiates de (2.6) sont les formules d'Euler qui expriment les fonctions trigonométriques à l'aide de l'exponentielle:

cos θ = \frac{e ^{i θ} + e ^{- i θ}}{2}, sin θ = \frac{e ^{i θ} - e ^{- i θ}}{2 i} . (2.7)

Elles s'obtiennent en additionnant ou soustrayant $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ et $e^{- i θ} = cos θ - i sin θ$ . Notons aussi que , donc : les nombres parcourent le , et .

Démonstration. Tout repose sur les formules d'addition de la trigonométrie, $cos (θ + φ) = cos θ cos φ - sin θ sin φ$ et $sin (θ + φ) = sin θ cos φ + cos θ sin φ$ , que nous admettons ici: vous les connaissez du gymnase, et elles sont démontrées géométriquement, par une rotation et sans nombres complexes, au chapitre 6 (théorème 6.11). Alors

e^{i θ} e^{i φ} = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ - sin θ sin φ) + i (sin θ cos φ + cos θ sin φ) = cos (θ + φ) + i sin (θ + φ) = e^{i (θ + φ)} .

En multipliant par $r s$ on obtient la formule du produit. Pour l'inverse, $e^{i θ} e^{- i θ} = e^{0} = 1$ montre que $1/ e^{i θ} = e^{- i θ}$ , et le quotient est le produit .

L'exponentielle d'un complexe quelconque hérite de ces propriétés. Pour $z = x + i y$ et $w = u + i v$ , la définition 2.5, la propriété $e^{x + u} = e^{x} e^{u}$ de l'exponentielle réelle (chapitre 6) et le théorème 2.3 donnent

e^{z + w} = e^{x + u} e^{i (y + v)} = e^{x} e^{i y} e^{u} e^{i v} = e^{z} e^{w}, ∣ e^{z} ∣ = e^{Re z} > 0, e^{z + 2 i π} = e^{z},

et $y = Im z$ est un argument de $e^{z}$ ; en particulier $e^{z}$ ne s'annule jamais.

La dernière relation dit que l'exponentielle complexe est périodique de période $2 i π$ : contrairement à l'exponentielle réelle, elle n'est pas injective, et l'équation $e^{z} = w$ (pour $w \neq = 0$ ) a une infinité de solutions $z = ln ∣ w ∣ + i (θ + 2 k π)$ , , où est un argument de . Ces propriétés servent par exemple au chapitre 9 pour calculer .

La forme exponentielle transforme donc les multiplications en additions d'angles, tandis que la forme algébrique est commode pour les additions. Un bon réflexe: additionner en forme algébrique, multiplier et élever à une puissance en forme exponentielle.

Question 2.1

Quel est l'argument principal de $z = (- 1 + i) e^{i π /4}$ ?

La formule de Moivre

Démonstration. Par récurrence sur $n \in N$ . Pour $n = 0$ , les deux membres valent $1$ . Supposons la formule vraie au rang $n$ ; alors, d'après le théorème 2.3,

(cos θ + i sin θ)^{n + 1} = (cos (n θ) + i sin (n θ)) (cos θ + i sin θ) = cos ((n + 1) θ) + i sin ((n + 1) θ),

ce qui est la formule au rang $n + 1$ . Pour $n < 0$ , on écrit $n = - m$ avec $m \in N^{*}$ et l'on utilise $1/ e^{i m θ} = e^{- i m θ}$ .

L'explorateur ci-dessous montre les puissances successives $z, z^{2}, \dots, z^{n}$ : elles s'enroulent en spirale, tournant chaque fois de l'angle $θ$ et se rapprochant de l'origine si $∣ z ∣ < 1$ , s'en éloignant si $∣ z ∣ > 1$ . Comme , le comportement de la suite géométrique se ramène à celui de la suite réelle , étudiée au chapitre 3: si et seulement si .

Explorateur 2.1 · Puissances d'un nombre complexe

Choisissez le module $r$ et l'argument $θ$ de $z$ , puis l'exposant $n$ : les points $z, z^{2}, \dots, z^{n}$ dessinent une spirale; $z^{k}$ a pour module $r^{k}$ et pour argument $k θ$ . La spirale part du point $1 = z^{0}$ .

Module r = |z|1,10

Argument θ40°

Exposant n5

|zⁿ| = rⁿ

1,611

arg(zⁿ), dans ]−180°, 180°]

−160°

zⁿ (forme algébrique)

−1,513 − 0,551·i

La formule de Moivre a deux usages complémentaires en trigonométrie, illustrés dans l'exemple suivant: exprimer $cos (n θ)$ comme un polynôme en $cos θ$ , et, à l'inverse, linéariser une puissance de $cos θ$ ou $sin θ$ , c'est-à-dire l'écrire comme combinaison de $cos (k θ)$ et $sin (k θ)$ . La linéarisation est indispensable pour intégrer $cos^{3} θ$ (chapitre 11, section «Puissances de sinus et de cosinus») et pour analyser les harmoniques créées par un composant non linéaire.

Géométrie dans le plan complexe

Puisque $∣ z - w ∣ = (a - c)^{2} + (b - d)^{2}$ pour et , le module d'une différence est la entre les points et . Beaucoup de figures du plan s'écrivent alors en une ligne:

le cercle de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est ${z : ∣ z - a ∣ = r}$ , le disque ouvert correspondant ${z : ∣ z - a ∣ < r}$ ;

Par exemple, la rotation de centre $1$ et d'angle $π /2$ envoie $2 + i$ sur $1 + i (1 + i) = 1 + i - 1 = i$ . Pour trouver un ensemble de points défini par une équation, on peut soit la lire géométriquement, soit poser et se ramener à une équation en et ; il est prudent de faire les deux.

Question 2.2

Quel est l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $∣ z - 1 ∣ = ∣ z + i ∣$ ?

Racines n-ièmes

Racines de l'unité

Dans $R$ , l'équation $x^{n} = 1$ a une solution ( $n$ impair) ou deux ( $n$ pair). Dans $C$ , elle en a toujours exactement $n$ , et elles forment une figure remarquable.

Démonstration. Soit $z$ une solution. En prenant les modules, $∣ z ∣^{n} = 1$ , donc $∣ z ∣ = 1$ car le module est un réel positif; on écrit $z = e^{i θ}$ . Par la formule de Moivre, $z^{n} = e^{i n θ}$ , et équivaut à et , soit pour un entier : . Réciproquement, chacun de ces nombres est solution. Reste à compter: les valeurs donnent des angles deux à deux distincts dans , donc points distincts du cercle; tout autre entier s'écrit avec et donne le même point que , puisque . Enfin , et deux racines consécutives sont séparées par l'angle : ce sont bien les sommets d'un -gone régulier.

Pour $n = 2$ on retrouve $\pm 1$ ; pour $n = 4$ , les quatre racines sont $1, i, - 1, - i$ ; pour $n = 3$ , les racines sont $1$ , $j = e^{2 i π /3} = - \frac{1}{2} + i \frac{3}{2}$ et , avec la relation .

Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque

Démonstration. Le nombre $z_{0} = n ρ e^{i α / n}$ vérifie par Moivre. Si est une autre solution, alors , donc est une racine -ième de l'unité: pour un , et ces valeurs sont distinctes car les le sont. Enfin est bien (2.11).

Géométriquement, les $n$ racines de $w$ forment un polygone régulier inscrit dans le cercle de rayon $n ρ$ , dont un sommet a pour argument $α / n$ . En particulier, tout nombre complexe non nul possède exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre: la notation $w$ est donc à proscrire pour non réel positif, puisqu'aucune des deux racines n'a de raison d'être privilégiée.

Question 2.3

Ordonnez les étapes de la résolution de $z^{n} = w$ en forme exponentielle.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Identifier les modules:

r^{n} = ρ

, donc

r = n ρ

Garder

k = 0, 1, \dots, n - 1

pour obtenir les

n

solutions distinctes, puis revenir si besoin à la forme algébrique

Poser

z = r e^{i θ}

et appliquer Moivre:

z^{n} = r^{n} e^{i n θ}

Identifier les arguments à

2 π

près:

n θ = α + 2 k π

, donc

θ = (α + 2 k π) / n

Écrire

w

en forme exponentielle:

w = ρ e^{i α}

(module puis argument, en contrôlant le quadrant)

Racines carrées en forme algébrique

La forme exponentielle exige de connaître l'argument de $w$ , ce qui n'est commode que pour des angles remarquables. Pour une racine carrée, il existe une méthode purement algébrique. On cherche $z = x + i y$ tel que $z^{2} = a + i b$ . En développant et en identifiant, puis en ajoutant l'équation des modules $∣ z ∣^{2} = ∣ w ∣$ :

x^{2} - y^{2} = a, 2 x y = b, x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2} . (2.12)

La première et la troisième équation donnent $x^{2}$ et $y^{2}$ par demi-somme et demi-différence; la deuxième fixe le signe relatif de $x$ et $y$ : de même signe si $b > 0$ , de signes opposés si $b < 0$ . Si $b = 0$ , le nombre est réel: pour on trouve et , pour on trouve et (les racines carrées de sont ).

Équation du second degré

Démonstration. Comme dans $R$ , on complète le carré: $a z^{2} + b z + c = a [(z + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{Δ}{4 a ^{2}}]$ . L'équation équivaut à , soit . Un produit de complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul ( est un corps), d'où les deux solutions. Les relations entre coefficients et racines s'obtiennent en développant .

La différence avec le cas réel est de taille: il n'y a plus de cas «pas de solution». Lorsque $a, b, c$ sont réels et $Δ < 0$ , on prend $δ = i - Δ$ et les solutions $\frac{- b \pm i - Δ}{2 a}$ sont conjuguées l'une de l'autre.

Mettons la méthode en œuvre sur l'équation $z^{2} - (3 + i) z + 2 + 2 i = 0$ , qui combine la racine carrée algébrique (2.12) et la formule (2.13).

Discriminant. $Δ = (3 + i)^{2} - 4 (2 + 2 i) = 9 + 6 i - 1 - 8 - 8 i = - 2 i$ .

Racine carrée de $Δ$ . On cherche $δ = x + i y$ avec, d'après (2.12), $x^{2} - y^{2} = 0$ , $2 x y = - 2$ et . Donc , et impose des signes opposés: (ou son opposé). Contrôle: .

Solutions.

z_{1} = \frac{( 3 + i ) + ( 1 - i )}{2} = 2, z_{2} = \frac{( 3 + i ) - ( 1 - i )}{2} = 1 + i .

Contrôle par les relations de Viète: $z_{1} + z_{2} = 3 + i$ et $z_{1} z_{2} = 2 + 2 i$ , qui sont bien et . Remarquez que les racines ne sont pas conjuguées: cela n'a rien d'étonnant, les coefficients n'étant pas réels.

Polynômes

L'existence de racines carrées pour tout complexe garantit que toute équation du second degré est résoluble dans $C$ . Le résultat suivant, beaucoup plus profond, affirme qu'il en va de même à tout degré. Rappelons d'abord deux faits élémentaires sur les polynômes.

Si $z_{1}$ est une racine de $P (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ , alors , et chaque est divisible par : on peut donc écrire avec de degré . On dit que est une racine de si avec ; une racine de multiplicité 1 est dite . En factorisant ainsi racine après racine, on voit qu', comptées avec leur multiplicité: chaque racine abaisse le degré d'au moins une unité.

Ce théorème est admis ici. Toutes ses démonstrations utilisent des arguments d'analyse ou de topologie; la plus accessible, due en substance à d'Alembert et à Argand, se comprend avec les outils du chapitre 5: la fonction $z \mapsto ∣ P (z)∣$ tend vers l'infini quand $∣ z ∣ \to \infty$ et atteint donc un minimum sur le plan (une version à deux variables du théorème de Weierstrass, que ce cours n'établit que sur un segment de $R$ ); un lemme de d'Alembert montre ensuite qu'en un point où $P$ ne s'annule pas, $∣ P ∣$ peut encore diminuer, de sorte que le minimum est une racine. D'Alembert publie en 1746 une preuve incomplète; celle de Gauss (1799) est considérée comme la première preuve essentiellement complète, même si elle admettait un fait topologique qui ne sera justifié rigoureusement qu'en 1920. La factorisation (2.14) s'en déduit par récurrence: si $z_{1}$ est une racine, on écrit comme ci-dessus, avec de degré , auquel on applique à nouveau le théorème. On dit que est : en passant de à , on n'a pas seulement résolu , on a résolu toutes les équations polynomiales d'un coup.

Démonstration. Écrivons $P (z) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} z^{k}$ avec $a_{k} \in R$ , donc . Par la proposition 2.1, le conjugué d'une somme est la somme des conjugués et le conjugué d'un produit est le produit des conjugués, d'où

P (\overset{z}{ˉ}_{0}) = k = 0 \sum n a_{k} \overset{z}{ˉ}_{0}^{k} = k = 0 \sum n \overline{a_{k} z_{0}^{k}} = \overline{k = 0 \sum n a_{k} z_{0}^{k}} = \overline{P (z_{0})} = \overset{ˉ}{0} = 0.

Pour la multiplicité, on remarque que si $P (z) = (z - z_{0})^{m} Q (z)$ avec $Q (z_{0}) \neq = 0$ , alors, en conjuguant les coefficients, où est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués de ceux de ; et .

En regroupant chaque racine non réelle $z_{0} = α + i β$ avec sa conjuguée, on obtient un facteur réel du second degré:

(z - z_{0}) (z - \overset{z}{ˉ}_{0}) = z^{2} - (z_{0} + \overset{z}{ˉ}_{0}) z + z_{0} \overset{z}{ˉ}_{0} = z^{2} - 2 α z + (α^{2} + β^{2}), (2.15)

dont le discriminant $- 4 β^{2}$ est strictement négatif. D'où le corollaire: tout polynôme à coefficients réels se factorise sur $R$ en produit de facteurs du premier degré et de facteurs du second degré à discriminant négatif. Ce résultat sera essentiel au chapitre 11 pour décomposer les fractions rationnelles en éléments simples.

Question 2.4

Un polynôme $P$ à coefficients réels est de degré 5 et admet $2 + i$ et $- 3 i$ comme racines. Que peut-on affirmer?

Application: phaseurs et circuit RLC

Considérons un circuit série formé d'une résistance $R$ , d'une bobine d'inductance $L$ et d'un condensateur de capacité $C$ , alimenté par une tension sinusoïdale $u (t) = U_{0} cos (ω t)$ de pulsation $ω = 2 π f$ . Les lois de l'électrocinétique donnent, pour le courant $i (t)$ et la charge du condensateur (),

L i^{'} (t) + R i (t) + \frac{1}{C} q (t) = U_{0} cos (ω t) .

En régime établi, le courant est lui aussi sinusoïdal de même pulsation, mais avec une amplitude $I_{0}$ et un déphasage $φ$ inconnus: $i (t) = I_{0} cos (ω t + φ)$ . Trouver $I_{0}$ et directement demande des formules d'addition pénibles. L'astuce des électriciens (due à Steinmetz, 1893) consiste à le problème: on remplace par , dont il est la partie réelle, et l'on cherche un courant complexe , où est un nombre complexe constant appelé . Le courant physique sera .

L'intérêt est que dériver $e^{i ω t}$ revient à multiplier par $i ω$ , et intégrer à diviser par $i ω$ . L'équation différentielle devient une équation algébrique en $\underline{I}$ :

(i L ω + R + \frac{1}{i C ω}) \underline{I} = U_{0} ⟺ \underline{Z} \underline{I} = U_{0}, \underline{Z} = R + i (L ω - \frac{1}{C ω}) . (2.16)

Le nombre complexe $\underline{Z}$ est l'impédance du circuit: c'est une «résistance complexe» qui généralise la loi d'Ohm. Sa partie réelle est la résistance, sa partie imaginaire la réactance $X = L ω - 1/ (C ω)$ . On lit alors sur $\underline{I} = U_{0} / \underline{Z}$ , grâce au théorème 2.3:

I_{0} = \frac{U _{0}}{∣ Z ∣} = \frac{U _{0}}{R ^{2} + X ^{2}}, φ = - ar g \underline{Z} = - arctan \frac{X}{R} . (2.17)

Si $X > 0$ (comportement inductif), le courant est en retard sur la tension; si $X < 0$ (capacitif), il est en avance; si $X = 0$ , c'est la résonance: l'impédance est minimale et vaut $R$ , le courant est maximal et en phase avec la tension. Cela se produit pour $ω_{0} = 1/ L C$ .

Question 2.5

Un circuit série a $R = 100 Ω$ , $L = 0, 3$ H et $C = 50 μ$ F, à $50$ Hz. Calculez le module de son impédance, en ohms.

Synthèse

$C = {a + i b : a, b \in R}$ avec $i^{2} = - 1$ est un corps qui contient $R$ mais ne peut pas être ordonné. Le conjugué $\overset{z}{ˉ} = a - i b$ vérifie , ce qui donne l'inverse et la méthode pour diviser.

Série d'exercices du chapitre 2Exercice 1 sur 5

Question 2.6

Que vaut le conjugué de $\frac{1 + i}{1 - i}$ ?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 2.1 · Calculs en forme algébrique

Écrire sous forme algébrique $a + i b$ les nombres suivants:

a) $(3 - 2 i) (1 + 4 i)$ ; b) $\frac{2 + i}{3 - 4 i}$ ; c) ; d) .

Exercice 2.2 · Valeurs trigonométriques exactes et linéarisation

On pose $z = \frac{3 + i}{1 + i}$ .

Exercice 2.3 · Équations et lieux dans ℂ

a) Résoudre $z^{4} = - 8 (1 + i 3)$ et donner les solutions en forme algébrique. Représenter les solutions dans le plan complexe.

Exercice 2.4 · Factorisation de polynômes réels

a) Vérifier que $i$ est racine de $P (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 5$ , puis factoriser dans et dans .

Exercice 2.5 · Trois identités à démontrer

a) Démontrer l'identité du parallélogramme: pour tous $z, w \in C$ ,

∣ z + w ∣^{2} + ∣ z - w ∣^{2} = 2 (∣ z ∣^{2} + ∣ w ∣^{2}) .

Références

Douchet, J. et Zwahlen, B., Calcul différentiel et intégral, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne (chapitre sur les nombres complexes).
Liret, F. et Martinais, D., Analyse 1re année. Cours et exercices avec solutions, Dunod, Paris.
Ramis, E., Deschamps, C. et Odoux, J., Cours de mathématiques spéciales, tome 1: Algèbre, Masson, Paris.
Stewart, J., Analyse. Concepts et contextes, volume 1, De Boeck, Bruxelles (annexe sur les nombres complexes).
Needham, T., Visual Complex Analysis, Oxford University Press (pour l'interprétation géométrique).
Nahin, P. J., An Imaginary Tale: The Story of √−1, Princeton University Press (histoire de Cardan à Gauss).

Objectifs du chapitre

Pourquoi inventer de nouveaux nombres?

Forme algébrique

Le corps des nombres complexes

Conjugué

Module

Forme trigonométrique et exponentielle

Argument

La formule d'Euler

La formule de Moivre

Géométrie dans le plan complexe

Racines n-ièmes

Racines de l'unité

Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque

Racines carrées en forme algébrique

Équation du second degré

Polynômes

Application: phaseurs et circuit RLC

Synthèse

Exercices

Références

Module des solutions

Argument de la première solution

Les trois solutions en forme algébrique

Contrôle