Formulaire

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les lois, théorèmes et formules essentiels du cours, avec la notation des chapitres correspondants (les numéros d'équations et de théorèmes y renvoient). Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de ses conditions de validité; les démonstrations, les exemples et les pièges classiques se trouvent dans les chapitres. Conventions: unités SI, avec $g=9,81{\text{m/s}}^2$, $G=6,674\cdot 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2/{\text{kg}}^2$, $R_T=6,371\cdot 10^6$ m et $M_T=5,972\cdot 10^{24}$ kg; les vecteurs sont en gras ($\mathbf{v}$, $\mathbf{F}$, $\mathbf{a}$), leurs normes en italique ($v$, $F$, $a$), les vecteurs unitaires ${\mathbf{e}}_x$, ${\mathbf{e}}_r$, ${\mathbf{e}}_{\theta }$; les dérivées temporelles sont notées $\dot{x}=\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ et $\ddot{x}$; le produit scalaire est $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ et le produit vectoriel $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$; $\mathbf{p}$ désigne la quantité de mouvement, $\mathbf{L}$ le moment cinétique, $\mathbf{M}$ le moment de force, $I$ le moment d'inertie, $E_c$, $U$ et $E_m=E_c+U$ les énergies cinétique, potentielle et mécanique; $\Delta X=X_{\text{final}}-X_{\text{initial}}$; virgule décimale ($\pi \approx 3,142$).

Chapitre 1 – Grandeurs physiques, unités et mesures

Les sept unités de base du Système international, définies depuis 2019 en fixant la valeur de constantes fondamentales ($c$, $h$, $e$, $k_B$, $N_A$, $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$, $K_{\text{cd}}$). Unités dérivées de la mécanique: $1\text{N}=1\text{kg}\cdot \text{m}/{\text{s}}^2$, $1\text{Pa}=1\text{N}/{\text{m}}^2$, $1\text{J}=1\text{N}\cdot \text{m}$, $1\text{W}=1\text{J/s}$, $1\text{Hz}=1{\text{s}}^{-1}$; le radian est sans dimension. Unités hors SI: $1\text{bar}=10^5$ Pa, $1\text{atm}=101325$ Pa, $1\text{ch}=735,5$ W, $1\text{kgf}=9,80665$ N, $1\text{km/h}=1/3,6\text{m/s}$.

Dimension d'une grandeur (1.1) en fonction des dimensions de base longueur $\mathrm{L}$, masse $\mathrm{M}$ et temps $\mathrm{T}$. Principe d'homogénéité (théorème 1.1): les deux membres d'une équation et tous les termes d'une somme ont la même dimension; l'argument de $\exp$, $\ln$, $\sin$, $\cos$ est sans dimension. L'analyse dimensionnelle fixe une loi à une constante sans dimension près, par exemple $T=k\sqrt{L/g}$ pour le pendule (1.2).

Incertitude de type A (1.4) sur la moyenne de $n$ mesures indépendantes ($s$: écart-type expérimental) et incertitude de type B (1.5) associée à une résolution $\delta$ (distribution uniforme). Un résultat s'écrit $x=\bar{x}\pm u(x)$, l'incertitude arrondie à un ou deux chiffres significatifs et la valeur au même rang décimal.

Propagation des incertitudes (théorème 1.2, (1.6)) pour $y=f(x_1,\dots ,x_n)$ avec des incertitudes indépendantes et petites: les incertitudes absolues s'ajoutent quadratiquement dans une somme, les incertitudes relatives dans un produit ou un quotient. Deux résultats sont compatibles si leur écart normalisé $E=|x_1-x_2|/\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ vérifie $E\le 2$ (1.7).

Produit scalaire (1.9) et produit vectoriel (1.10) de deux vecteurs faisant l'angle $\alpha \in [0,\pi ]$; $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=a^2$, $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ pour des vecteurs orthogonaux, $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}=-\mathbf{b}\wedge \mathbf{a}$, $\mathbf{a}\wedge \mathbf{a}=0$, $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$ perpendiculaire aux deux vecteurs et orienté par la règle de la main droite. Base polaire (1.11): ${\mathbf{e}}_r=\cos \theta {\mathbf{e}}_x+\sin \theta {\mathbf{e}}_y$, ${\mathbf{e}}_{\theta }=-\sin \theta {\mathbf{e}}_x+\cos \theta {\mathbf{e}}_y$.

Chapitre 2 – Cinématique du point

Vitesse (2.1) et accélération (2.2) comme dérivées du vecteur position $\mathbf{r}(t)=\overrightarrow{OM}$; réciproquement, le déplacement est l'aire sous $v(t)$ et la variation de vitesse l'aire sous $a(t)$ (2.3). La vitesse est tangente à la trajectoire; le déplacement $\Delta \mathbf{r}$ a une norme inférieure ou égale à la distance parcourue $s$.

Mouvement rectiligne uniforme (2.4) et uniformément accéléré (théorème 2.1, (2.5)–(2.6)), pour une accélération $a$ constante; $x_0$ et $v_0$ sont la position et la vitesse à $t=0$. La troisième relation élimine le temps. Chute libre (2.7): axe $y$ vertical ascendant, $a=-g$, $v_y=v_{0y}-gt$, $y=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2$; depuis le repos, durée de chute $t=\sqrt{2h/g}$ et vitesse d'arrivée $v=\sqrt{2gh}$.

Projectile (théorème 2.2, (2.8)–(2.10)) lancé de l'origine avec la vitesse $v_0$ inclinée de $\alpha$ sur l'horizontale, sans résistance de l'air: équations horaires, parabole, hauteur maximale $H$, portée $R$ et temps de vol $T$ sur un sol horizontal passant par le point de lancement. Portée maximale $v_0^2/g$ pour $\alpha =45°$; deux angles complémentaires donnent la même portée. Sur une pente d'angle $\beta$ (comptée positivement vers le haut), la portée le long de la pente vaut $R_{\beta }=\frac{2v_0^2\cos \alpha \sin (\alpha -\beta )}{g{\cos }^2\beta }$ (2.11). Composition des vitesses (2.12): ${\mathbf{v}}_{M/\mathcal{R}}={\mathbf{v}}_{M/{\mathcal{R}}^{\prime }}+\mathbf{u}$, où $\mathbf{u}$ est la vitesse de ${\mathcal{R}}^{\prime }$ par rapport à $\mathcal{R}$.

Mouvement circulaire de rayon $R$ (théorème 2.3, (2.13)–(2.14)): vitesse angulaire $\omega$ en rad/s, période $T$, fréquence $f$; l'accélération a une composante normale (centripète) $a_n$, dirigée vers le centre, et une composante tangentielle $a_t$, nulle dans le mouvement circulaire uniforme. Mouvement circulaire uniformément accéléré (2.16): $\omega ={\omega }_0+\alpha t$, $\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$, ${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha (\theta -{\theta }_0)$. Pour une trajectoire curviligne quelconque de rayon de courbure $\rho$ (2.17): $\mathbf{a}=\dot{v}{\mathbf{e}}_t+(v^2/\rho ){\mathbf{e}}_n$.

Dérivées des vecteurs de la base polaire (théorème 2.4, (2.18)) et vitesse et accélération d'un mouvement plan en coordonnées polaires $(r,\theta )$ (théorème 2.5, (2.19)–(2.20)). Le terme $-r{\dot{\theta }}^2$ est l'accélération centripète et $2\dot{r}\dot{\theta }$ le terme de Coriolis; pour $r=R$ constant, on retrouve (2.13).

Chapitre 3 – Lois de Newton et applications

Les trois lois de Newton (théorèmes 3.1 à 3.3, (3.3)–(3.5)), valables dans un référentiel galiléen: principe d'inertie, relation fondamentale de la dynamique (avec $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$, forme (3.4) valable aussi à masse variable), action et réaction (forces opposées, de même droite d'action, appliquées à deux corps différents). Forces usuelles: poids $\mathbf{P}=m\mathbf{g}$; force normale $N$ et frottement $f$ de contact; tension $T$ d'un fil idéal (même valeur tout le long d'un fil sans masse passant sur une poulie idéale); rappel d'un ressort $F=-kx$ (3.1); traînée aérodynamique $F=\frac{1}{2}\rho C_{x}A{v}^2$ (3.2).

Lois d'Amontons–Coulomb du frottement sec (théorème 3.5, (3.11)–(3.12)): le frottement statique prend la valeur nécessaire pour empêcher le glissement, jusqu'à la limite ${\mu }_{s}N$; le frottement cinétique est opposé à la vitesse relative et indépendant de la vitesse et de l'aire de contact. Angle de frottement (théorème 3.6): ${\alpha }_{\max }=\arctan {\mu }_s$.

Glissement sur un plan incliné d'angle $\alpha$ sans frottement (3.6) puis avec frottement cinétique (3.13); machine d'Atwood (théorème 3.4, (3.7)) pour deux masses $m_2>m_1$ reliées par un fil idéal sur une poulie idéale. Ascenseur d'accélération verticale $a_z$: poids apparent $N=m(g+a_z)$.

Chute verticale avec traînée (3.8)–(3.10), depuis le repos: la vitesse tend vers la vitesse limite $v_{\infty }$ où la traînée équilibre le poids; en régime linéaire (petits objets, loi de Stokes $c=6\pi \eta r$), $63\%$ de $v_{\infty }$ est atteint après $\tau$; en régime quadratique (corps macroscopiques dans l'air), $\rho$ est la masse volumique du fluide, $A$ le maître-couple et $C_x$ le coefficient de traînée.

Dynamique du mouvement circulaire (3.14): la force centripète est la résultante des forces réelles projetée vers le centre, jamais une force supplémentaire. Virage plat de rayon $R$ (3.15): vitesse maximale sans dérapage; virage relevé de l'angle $\theta$ (théorème 3.7, (3.16)): angle idéal sans frottement; pendule conique (3.17) de longueur $L$ et d'angle $\theta$ avec la verticale, période $2\pi \sqrt{L\cos \theta /g}$; looping vertical de rayon $R$ (3.18): vitesse minimale au sommet pour que la normale reste positive ($N=m(v^2/R-g)\ge 0$).

Chapitre 4 – Travail, énergie et puissance

Travail d'une force constante (4.1), $\theta$ étant l'angle entre la force et le déplacement de longueur $d$, et d'une force variable le long d'une courbe (4.2), en joules; travaux du poids (4.3, $z$ ascendant), de la force de rappel d'un ressort (4.4, $x$ compté depuis la longueur naturelle) et du frottement cinétique (4.5, $s$: distance parcourue), ce dernier toujours négatif.

Énergie cinétique (4.6) et théorème de l'énergie cinétique (théorème 4.1, (4.7)): dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un point matériel est égale au travail de toutes les forces, conservatives ou non.

Énergie potentielle (4.8) d'une force conservative (travail indépendant du chemin, nul sur toute boucle) et force dérivant du potentiel (4.9); énergies potentielles de pesanteur (4.10, référence $U=0$ en $z=0$), élastique (4.11, référence à la longueur naturelle) et gravitationnelle (4.12, référence à l'infini). Une position d'équilibre ($U^{\prime }=0$) est stable si $U^{\prime \prime }>0$ (minimum), instable si $U^{\prime \prime }<0$ (maximum).

Énergie mécanique (4.13) et théorème de conservation (théorème 4.2, (4.14)): sa variation est le travail des seules forces non conservatives (frottement, traînée, moteur); elle se conserve lorsque seules des forces conservatives travaillent. Les forces perpendiculaires au mouvement (normale, tension d'un pendule) ne travaillent pas.

Puissance instantanée (4.15) et moyenne, en watts ($1\text{ch}=735,5$ W; $1\text{kWh}=3,6\cdot 10^6$ J); rendement (4.16) d'une machine, les rendements de machines en cascade se multipliant.

Chapitre 5 – Quantité de mouvement, collisions et centre de masse

Quantité de mouvement (5.1), deuxième loi de Newton sous forme générale (théorème 5.1, (5.2)), théorème de l'impulsion (théorème 5.2, (5.3)) et force moyenne pendant un choc de durée $\Delta t$ (5.4). L'impulsion $\mathbf{J}$ s'exprime en N·s $=$ kg·m/s.

Conservation de la quantité de mouvement (théorème 5.3, (5.5)): les forces intérieures ne changent pas $\mathbf{P}$; pour un système isolé ou pseudo-isolé (choc bref, explosion), $\mathbf{P}$ se conserve, composante par composante si seule une composante de ${\mathbf{F}}^{\text{ext}}$ est nulle.

Coefficient de restitution (5.6) d'un choc frontal, rapport des vitesses relatives de séparation et d'approche, et vitesses finales (théorème 5.5, (5.9)) pour des vitesses algébriques sur un axe; énergie cinétique perdue (5.10): $E_c-E_c^{\prime }=\frac{1}{2}\mu (1-e^2)(v_1-v_2{)}^2$ avec la masse réduite $\mu =m_1{m}_2/(m_1+m_2)$.

Cas particuliers du choc élastique avec cible immobile: masses égales, échange des vitesses (à deux dimensions, vitesses finales perpendiculaires, théorème 5.8); $m_1\ll m_2$, rebond $v_1^{\prime }\approx -v_1$; $m_1\gg m_2$, $v_2^{\prime }\approx 2v_1$.

Centre de masse (5.12)–(5.13), théorème du centre de masse (théorème 5.9, (5.14)): $G$ se meut comme un point matériel de masse $M$ soumis aux forces extérieures; théorème de König (théorème 5.10, (5.15)): $E_c^{\ast }$ est l'énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse, où ${\mathbf{P}}^{\ast }=0$.

Équation de la fusée (théorème 5.11, (5.16)) pour des gaz éjectés à la vitesse relative $u$ avec le débit massique $|\dot{m}|$ (poussée $u|\dot{m}|$), et équation de Tsiolkovski (théorème 5.12, (5.17)) en l'absence de forces extérieures, $m_0$ et $m_f$ étant les masses initiale et finale.

Chapitre 6 – Gravitation et mouvement des planètes

Loi de la gravitation universelle (théorème 6.1, (6.1)) entre points matériels ou corps à symétrie sphérique, ${\mathbf{e}}_r$ dirigé de $1$ vers $2$; champ gravitationnel (6.5) d'une masse $M$; pesanteur à la surface de la Terre (6.3) et à l'altitude $h$ (6.4): $g(h)=g_0(1+h/R_T{)}^{-2}\approx g_0(1-2h/R_T)$. Les champs s'additionnent vectoriellement (superposition, (6.2)).

Théorème de Newton des couches sphériques (théorème 6.2): à l'extérieur, tout se passe comme si la masse était au centre; à l'intérieur, seule la masse $M(r)$ contenue dans la sphère de rayon $r$ agit (6.6), et une couche sphérique ne crée aucun champ en son intérieur.

Énergie potentielle gravitationnelle (théorème 6.3, (6.7)), nulle à l'infini; vitesse de libération (théorème 6.4, (6.8)) depuis la surface d'un astre de rayon $R$ ($11,2$ km/s pour la Terre); vitesse et période d'une orbite circulaire de rayon $r$ (théorème 6.5, (6.9)), indépendantes de la masse du satellite; énergie mécanique de l'orbite (théorème 6.6, (6.10)), négative (état lié). Orbite géostationnaire: $T=86164$ s (jour sidéral), $r=42163$ km, altitude $35790$ km, $v=3,07$ km/s. Trajectoires: ellipse si $E<0$, parabole si $E=0$, hyperbole si $E>0$.

Lois de Kepler (théorème 6.7): loi des orbites, loi des aires (théorème 6.8, (6.12), conséquence de la conservation du moment cinétique pour toute force centrale) et loi des périodes (théorème 6.9, (6.14)), $a$ étant le demi-grand axe (le rayon pour un cercle). Sur une ellipse d'excentricité $e$ (6.13): $v_p/v_a=r_a/r_p=(1+e)/(1-e)$.

Équation de l'énergie (vis-viva, (6.11)) sur une orbite de demi-grand axe $a$, qui donne les deux impulsions $\Delta v_1$ et $\Delta v_2$ d'un transfert de Hohmann entre deux orbites circulaires de rayons $r_1$ et $r_2$ (ellipse tangente aux deux cercles, durée $T_{\text{transfert}}/2$); accélération de marée (6.15) exercée par la Lune de masse $M_L$ à la distance $d$, différence entre les attractions au point le plus proche et au centre de la Terre, en $1/d^3$.

Chapitre 7 – Oscillations

Oscillateur harmonique (7.1) et sa solution (théorème 7.1, (7.2)): $A\ge 0$ est l'amplitude, $\phi$ la phase initiale, ${\omega }_0$ la pulsation propre, $T$ la période, indépendante de l'amplitude (isochronisme). Forme équivalente $x=C_1\cos {\omega }_{0}t+C_2\sin {\omega }_{0}t$.

Amplitude et phase à partir des conditions initiales $x(0)=x_0$, $\dot{x}(0)=v_0$ (7.3), vitesse et accélération (7.4): $v_{\max }=A{\omega }_0$, $a_{\max }=A{\omega }_0^2$; la vitesse est en quadrature avec la position, l'accélération en opposition de phase.

Énergie mécanique de l'oscillateur harmonique (théorème 7.2, (7.5)), constante et proportionnelle au carré de l'amplitude; $E_c=U$ en $x=\pm A/\sqrt{2}$. Petites oscillations autour d'un minimum $x_0$ de l'énergie potentielle (7.9): $k_{\text{eˊq}}=U^{\prime \prime }(x_0)$, ${\omega }_0=\sqrt{U^{\prime \prime }(x_0)/m}$.

Ressorts en parallèle et en série (théorème 7.3, (7.6)–(7.7)); masse suspendue à un ressort vertical (7.8): la pesanteur décale la position d'équilibre de $\Delta \ell =mg/k$ sans changer la pulsation.

Pendules, valables pour $\sin \theta \approx \theta$ (amplitudes de quelques degrés); le pendule physique équivaut à un pendule simple de longueur $L_{\text{eˊq}}=I/(md)$. Correction d'amplitude du pendule simple (7.12): $T=T_0\left(1+{\theta }_0^2/16+11{\theta }_0^4/3072+\cdots \right)$, ${\theta }_0$ en radians.

Oscillateur amorti par un frottement visqueux $-b\dot{x}$ (7.16): coefficient d'amortissement $\gamma$, taux d'amortissement $\zeta$ (rapport à l'amortissement critique $b_c=2\sqrt{km}$) et facteur de qualité $Q$ (7.17), égal à $2\pi$ fois le rapport entre l'énergie emmagasinée et l'énergie dissipée par période (7.20).

Les trois régimes de l'oscillateur amorti. Pseudo-période $T_d=2\pi /{\omega }_d$ et décrément logarithmique (7.19): $\delta =\ln \frac{x(t)}{x(t+T_d)}=\gamma T_d=\frac{2\pi \zeta }{\sqrt{1-{\zeta }^2}}\approx 2\pi \zeta$ pour $\zeta \ll 1$; l'amplitude décroît de ${\mathrm{e}}^{-\pi /Q}$ par pseudo-période.

Oscillateur forcé par $F_0\cos \omega t$ (7.21) et régime permanent (théorème 7.6, (7.22)), atteint après extinction du transitoire: amplitude $A$ et retard de phase $\phi \in [0,\pi ]$ de la réponse. Avec $r=\omega /{\omega }_0$ (7.23): $A=\frac{F_0}{k}\frac{1}{\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}$, $\tan \phi =\frac{2\zeta r}{1-r^2}$; $\phi =\pi /2$ à $\omega ={\omega }_0$.

Résonance (théorème 7.7, (7.24)): pulsation et amplitude maximale, largeur à mi-puissance du pic pour un faible amortissement; pas de pic si $\zeta \ge 1/\sqrt{2}$. Puissance moyenne absorbée (7.25): $⟨P⟩=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$, maximale à $\omega ={\omega }_0$. Transmissibilité d'une suspension (7.26): $\mathcal{T}=\sqrt{\frac{1+(2\zeta r{)}^2}{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}}$, inférieure à $1$ pour $r>\sqrt{2}$.

Chapitre 8 – Référentiels non inertiels

Transformation de Galilée (8.1)–(8.2) entre un référentiel galiléen $\mathcal{R}$ et un référentiel ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en translation rectiligne uniforme à la vitesse $\mathbf{V}$: temps absolu, accélérations identiques, lois de Newton invariantes (théorème 8.1); ${\mathcal{R}}^{\prime }$ est aussi galiléen.

Référentiel en translation d'accélération ${\mathbf{a}}_e$ (8.3) et loi du mouvement (théorème 8.2, (8.4)) avec la force d'inertie d'entraînement ${\mathbf{F}}_e$, uniforme et opposée à ${\mathbf{a}}_e$; pendule dans un véhicule d'accélération horizontale $a$ (8.5): inclinaison $\theta$ et tension $T$. Pesanteur apparente ${\mathbf{g}}^{\prime }=\mathbf{g}-{\mathbf{a}}_e$ (ascenseur, surface libre d'un liquide, impesanteur en chute libre).

Formule de dérivation dans un repère tournant (théorème 8.3, (8.7)) et composition des vitesses et des accélérations (théorème 8.4, (8.8)–(8.9)) pour ${\mathcal{R}}^{\prime }$ en rotation de vecteur $\mathbf{\omega }$ autour d'un axe fixe passant par l'origine commune: accélération de Coriolis $2\mathbf{\omega }\wedge {\mathbf{v}}^{\prime }$, accélération centripète d'entraînement $\mathbf{\omega }\wedge (\mathbf{\omega }\wedge \mathbf{r})$, terme d'Euler $\dot{\mathbf{\omega }}\wedge \mathbf{r}$ nul en rotation uniforme.

Loi du mouvement dans un référentiel en rotation uniforme (8.10) avec les forces d'inertie: force centrifuge, dirigée vers l'extérieur perpendiculairement à l'axe ($\rho$: distance à l'axe), et force de Coriolis, perpendiculaire à $\mathbf{\omega }$ et à la vitesse relative ${\mathbf{v}}^{\prime }$, qui ne travaille pas (théorème 8.5). Si la rotation n'est pas uniforme s'ajoute la force d'Euler $-m\dot{\mathbf{\omega }}\wedge \mathbf{r}$. Dans l'hémisphère nord, la force de Coriolis dévie les mouvements horizontaux vers la droite.

Vitesse angulaire de la Terre (jour sidéral) et pesanteur effective à la latitude $\lambda$ (théorème 8.6, (8.11)–(8.12)), au premier ordre en $\epsilon ={\omega }_T^2{R}_T/g_0\approx 1/290$: réduction de $g$ maximale à l'équateur ($0,034{\text{m/s}}^2$) et déviation du fil à plomb vers l'équateur, d'angle $\delta$ maximal à $45°$ ($\approx 0,1°$).

Déviation vers l'est (théorème 8.7, (8.13)) d'un corps lâché sans vitesse depuis la hauteur $h$ à la latitude $\lambda$ (dans les deux hémisphères), et période de rotation du plan d'oscillation du pendule de Foucault (8.14): un jour sidéral au pôle, $33,0$ h à Lausanne ($\lambda =46,5°$), infinie à l'équateur; le plan tourne dans le sens horaire dans l'hémisphère nord.

Chapitre 9 – Dynamique de rotation et moment cinétique

Dictionnaire translation–rotation (9.1). Lien entre le mouvement d'un point du solide à la distance $R$ de l'axe et les grandeurs angulaires (9.2): $\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\wedge \mathbf{r}$, $v=R\omega$, $a_t=R\alpha$, $a_n=R{\omega }^2=v^2/R$; le vecteur $\mathbf{\omega }=\omega {\mathbf{e}}_z$ est porté par l'axe, orienté par la règle de la main droite.

Moment d'une force par rapport à un point $O$ (9.3)–(9.4), $\mathbf{r}=\overrightarrow{OP}$ joignant $O$ au point d'application, $d=r\sin \theta$ étant le bras de levier (distance de $O$ à la droite d'action); dans le plan, $M_z>0$ pour une rotation antihoraire. Changement de point (9.5): le moment d'un couple (résultante nulle) est le même en tout point.

Moment cinétique d'un point matériel (9.6) et théorème du moment cinétique pour un point (théorème 9.1, (9.7)) et pour un système (théorème 9.2, (9.8)), par rapport à un point fixe $O$ d'un référentiel galiléen ou au centre de masse $G$: seules les forces extérieures comptent. Conservation (théorème 9.3) pour un système isolé ou une force centrale (loi des aires (9.9): $\mathrm{d}A/\mathrm{d}t=L_O/(2m)$); si seule $M_z$ est nulle, seule $L_z$ est conservée (patineuse: $I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$).

Moment cinétique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe (théorème 9.4, (9.10)) et moment d'inertie (9.11), $R$ désignant la distance à l'axe; les moments d'inertie de parties s'additionnent. Théorème de Huygens–Steiner (théorème 9.5, (9.12)) pour un axe parallèle à un axe passant par $G$, à la distance $d$: l'axe par $G$ donne le moment d'inertie minimal. Théorème des axes perpendiculaires (théorème 9.6) pour une plaque plane dans $Oxy$. Rayon de giration $k$.

Moments d'inertie usuels par rapport à un axe passant par le centre de masse (sauf la tige par une extrémité, obtenue par Huygens–Steiner); pour un axe déplacé, ajouter $M{d}^2$.

Équation fondamentale de la rotation autour d'un axe fixe (théorème 9.7, (9.13)), les réactions des paliers sans frottement n'ayant pas de moment; énergie cinétique de rotation (théorème 9.8, (9.14)); travail et puissance d'un moment (9.15), en joules et en watts ($M_{\Delta }$ en N·m, $\omega$ en rad/s); théorème de l'énergie cinétique en rotation (théorème 9.9). Poulie massive: la tension diffère de part et d'autre, $(T_2-T_1)R=I\alpha$ avec $a=R\alpha$.

Chapitre 10 – Dynamique du solide

Champ des vitesses d'un solide (10.1), théorème du centre de masse (théorème 10.1, (10.2)), théorème du moment cinétique au centre de masse (théorème 10.2, (10.3)), valable même si $G$ est accéléré, et théorème de König (théorème 10.3, (10.4)): le mouvement général d'un solide est la translation de $G$ plus la rotation autour de $G$.