Oscillations

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• établir l'équation de l'oscillateur harmonique à partir de la deuxième loi de Newton, en donner la solution générale et déterminer l'amplitude et la phase à partir des conditions initiales;
• calculer l'énergie mécanique d'un oscillateur, décrire l'échange entre énergie cinétique et énergie potentielle et reconnaître un mouvement harmonique dans les petites oscillations autour d'un minimum de potentiel;
• appliquer la formule de la période au pendule simple, au pendule physique et au pendule de torsion, et en déduire une mesure de $g$ ou d'un moment d'inertie;
• caractériser un oscillateur amorti par son taux d'amortissement, sa pseudo-période, son décrément logarithmique et son facteur de qualité, et distinguer les trois régimes;
• calculer l'amplitude et le déphasage du régime permanent d'un oscillateur forcé, tracer sa courbe de résonance et expliquer le principe de l'isolation vibratoire;
• reconnaître les situations d'ingénierie où la résonance est recherchée (horlogerie, instruments) ou redoutée (ponts, bâtiments, véhicules).

L'oscillateur harmonique

Un mouvement omniprésent

Une masse suspendue à un ressort, un enfant sur une balançoire, le balancier d'une horloge, le quartz d'une montre, un pont piétonnier qui vibre sous les pas de la foule, un atome dans une molécule: partout où un système écarté de sa position d'équilibre est rappelé vers elle par une force, il oscille. Le mouvement le plus simple de ce type est le mouvement harmonique, celui pour lequel la force de rappel est proportionnelle à l'écart. Il joue en physique un rôle comparable à celui de la droite en géométrie: au voisinage de tout équilibre stable, presque tout système se comporte comme un oscillateur harmonique, et c'est ce que nous démontrerons dans la section sur l'énergie.

Considérons un chariot de masse $m$ glissant sans frottement sur un rail horizontal, relié à un mur par un ressort de raideur $k$. Repérons sa position par l'abscisse $x$, comptée depuis la position où le ressort n'est ni tendu ni comprimé. La loi de Hooke (chapitre 4) donne la force du ressort $F=-kx$: elle est toujours dirigée vers la position d'équilibre $x=0$, d'où son nom de force de rappel. Les autres forces (poids, réaction du rail) sont verticales et se compensent. La deuxième loi de Newton (chapitre 3) projetée sur l'axe $x$ s'écrit $m\ddot{x}=-kx$, soit

La solution et son unicité

L'équation (7.1) est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, dont la théorie générale est faite au chapitre 12 d'Analyse I. Nous n'avons besoin ici que d'un résultat, que nous pouvons vérifier directement.

Démonstration. Vérification. Si $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$, alors $\dot{x}=-A{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}t+\phi )$ et $\ddot{x}=-A{\omega }_0^2\cos ({\omega }_{0}t+\phi )=-{\omega }_0^{2}x$: la fonction est solution. En développant le cosinus, $A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )=A\cos \phi \cos {\omega }_{0}t-A\sin \phi \sin {\omega }_{0}t$, ce qui est de la forme $C_1\cos {\omega }_{0}t+C_2\sin {\omega }_{0}t$ avec $C_1=A\cos \phi$ et $C_2=-A\sin \phi$; réciproquement, tout couple $(C_1,C_2)$ s'écrit ainsi avec $A=\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ et $\phi$ l'angle dont le cosinus est $C_1/A$ et le sinus $-C_2/A$ (coordonnées polaires du point $(C_1,-C_2)$).

Conditions initiales. Avec $x(0)=C_1$ et $\dot{x}(0)={\omega }_0{C}_2$, les conditions $x(0)=x_0$, $\dot{x}(0)=v_0$ imposent $C_1=x_0$ et $C_2=v_0/{\omega }_0$, d'où (7.3).

Unicité. Reste à montrer qu'il n'y a pas d'autres solutions. Soit $x$ une solution quelconque et posons $y(t)=x(t)-x_0\cos {\omega }_{0}t-(v_0/{\omega }_0)\sin {\omega }_{0}t$, où $x_0=x(0)$ et $v_0=\dot{x}(0)$. Par linéarité, $y$ est encore solution de (7.1), avec $y(0)=0$ et $\dot{y}(0)=0$. Considérons la quantité $E(t)={\dot{y}}^2+{\omega }_0^2{y}^2$: sa dérivée vaut $2\dot{y}\ddot{y}+2{\omega }_0^{2}y\dot{y}=2\dot{y}(\ddot{y}+{\omega }_0^{2}y)=0$, donc $E$ est constante, égale à sa valeur initiale $E(0)=0$. Une somme de carrés nulle a tous ses termes nuls: $y\equiv 0$, et $x$ est bien la solution annoncée. $\square$

La quantité $E$ utilisée dans la preuve n'est autre, à un facteur $m/2$ près, que l'énergie mécanique: l'unicité découle de sa conservation. Physiquement, le théorème dit que l'état initial (position et vitesse) détermine tout le mouvement futur, ce qui est le déterminisme de la mécanique de Newton.

Deux remarques importantes. D'abord, la période ne dépend pas de l'amplitude: une petite ou une grande oscillation dure le même temps. Cette propriété, appelée isochronisme, est propre au mouvement harmonique et fonde toute l'horlogerie mécanique. Ensuite, ${\omega }_0$ ne dépend que du système ($k$ et $m$), tandis que $A$ et $\phi$ dépendent de la manière dont on l'a lancé.

La vitesse et l'accélération s'obtiennent en dérivant:

La vitesse maximale $v_{\max }=A{\omega }_0$ est atteinte au passage par l'équilibre, où l'accélération est nulle; l'accélération maximale $a_{\max }=A{\omega }_0^2$ est atteinte aux extrémités, où la vitesse s'annule. La vitesse est «en avance» d'un quart de période sur la position, et l'accélération en opposition de phase avec elle.

Lien avec le mouvement circulaire uniforme

La forme de la solution (7.2) n'est pas un hasard: considérons un point $P$ décrivant un cercle de rayon $A$ à la vitesse angulaire constante ${\omega }_0$ (chapitre 2). Si l'angle polaire de $P$ vaut ${\omega }_{0}t+\phi$, la projection $M$ de $P$ sur le diamètre horizontal a pour abscisse $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$: le mouvement harmonique est la projection d'un mouvement circulaire uniforme sur un diamètre. La vitesse de $P$, de module $A{\omega }_0$ et tangente au cercle, se projette en $-A{\omega }_0\sin ({\omega }_{0}t+\phi )$, et son accélération centripète $A{\omega }_0^2$, dirigée vers le centre, se projette en $-{\omega }_0^{2}x$: on retrouve (7.4).

Cette image donne un sens géométrique à la phase: c'est l'angle du rayon $OP$, et deux oscillateurs de même pulsation dont les phases diffèrent de $\pi /2$ sont «en quadrature», comme la position et la vitesse. Elle est aussi la base de la représentation complexe que nous utiliserons pour la résonance: $x(t)=\mathrm{Re}\left(A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}({\omega }_{0}t+\phi )}\right)$.

Énergie de l'oscillateur

Conservation et échange

La force de rappel $-kx$ dérive de l'énergie potentielle élastique $E_p=\frac{1}{2}k{x}^2$ (chapitre 4). En l'absence de frottement, l'énergie mécanique $E_m=E_c+E_p$ se conserve.

Démonstration. Reportons (7.2) et (7.4) dans les deux termes: $E_p=\frac{1}{2}k{A}^2{\cos }^2({\omega }_{0}t+\phi )$ et $E_c=\frac{1}{2}m{A}^2{\omega }_0^2{\sin }^2({\omega }_{0}t+\phi )=\frac{1}{2}k{A}^2{\sin }^2({\omega }_{0}t+\phi )$ puisque $m{\omega }_0^2=k$. Leur somme vaut $\frac{1}{2}k{A}^2({\cos }^2+{\sin }^2)=\frac{1}{2}k{A}^2$, indépendante du temps. En résolvant $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}k{A}^2-\frac{1}{2}k{x}^2$, on obtient $v^2={\omega }_0^2(A^2-x^2)$; la vitesse est maximale pour $x=0$. Enfin $E_c=E_p$ signifie $E_p=E_m/2$, soit $x^2=A^2/2$. $\square$

L'énergie totale est proportionnelle au carré de l'amplitude: doubler l'amplitude quadruple l'énergie. Au cours du mouvement, l'énergie passe alternativement de la forme potentielle (aux extrémités, où le ressort est le plus déformé) à la forme cinétique (au passage par l'équilibre), et ce deux fois par période, comme le montre la figure 7.2: ${\cos }^2$ et ${\sin }^2$ oscillent à la pulsation $2{\omega }_0$.

Association de ressorts

Les ressorts d'une suspension, les segments d'un câble ou les liaisons d'une molécule s'associent en série ou en parallèle. Quelle est la raideur équivalente?

Démonstration. Parallèle. Les deux ressorts relient la masse au même support: un déplacement $x$ de la masse les allonge tous deux de $x$, et ils exercent les forces $-k_{1}x$ et $-k_{2}x$, de somme $-(k_1+k_2)x$. Série. Les ressorts sont bout à bout; le point de jonction, sans masse, est en équilibre, donc la tension $F$ est la même dans les deux ressorts (sinon sa masse nulle subirait une accélération infinie). Leurs allongements sont $x_1=F/k_1$ et $x_2=F/k_2$, et l'allongement total $x=x_1+x_2=F(1/k_1+1/k_2)$, d'où $F=k_{\text{s}}x$ avec $1/k_{\text{s}}=1/k_1+1/k_2$. $\square$

Deux ressorts identiques en série sont deux fois plus souples qu'un seul: couper un ressort en deux double sa raideur, et la période d'un oscillateur monté sur une moitié de ressort est divisée par $\sqrt{2}$.

Masse suspendue verticalement

Suspendons la masse à un ressort vertical. Comptons $y$ vers le bas depuis la position du ressort non déformé. Les forces sont le poids $mg$ et le rappel $-ky$, d'où $m\ddot{y}=mg-ky$. À l'équilibre, $y_{\text{eˊq}}=mg/k$: c'est l'allongement statique $\Delta \ell$. Posons $x=y-y_{\text{eˊq}}$; alors $m\ddot{x}=mg-k(x+mg/k)=-kx$: on retrouve exactement (7.1). Le poids ne fait que déplacer la position d'équilibre; la pulsation reste ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$, que l'on peut aussi écrire

La formule (7.8) est précieuse en pratique: il suffit de mesurer de combien un ressort s'allonge sous une charge pour connaître la période, sans connaître ni $k$ ni $m$. C'est ce que nous ferons pour la voiture du problème guidé. Le résultat s'applique à toute force constante ajoutée à un oscillateur harmonique: elle décale l'équilibre sans changer la fréquence.

Petites oscillations autour d'un minimum de potentiel

Voici le résultat qui explique l'universalité du mouvement harmonique. Soit une particule de masse $m$ se déplaçant sur un axe dans un champ de force conservatif d'énergie potentielle $U(x)$, et soit $x_0$ un point d'équilibre stable, c'est-à-dire un minimum de $U$ (chapitre 4): $U^{\prime }(x_0)=0$ et $U^{\prime \prime }(x_0)>0$. La formule de Taylor (Analyse I, chapitre 9) donne, au voisinage de $x_0$,

et la force $F=-U^{\prime }(x)\approx -U^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0)$ est une force de rappel linéaire. Les petites oscillations autour de $x_0$ sont donc harmoniques, avec

Le potentiel est «approché par sa parabole osculatrice». L'approximation est d'autant meilleure que l'amplitude est petite; pour une grande amplitude, les termes suivants du développement rendent la période dépendante de l'amplitude, comme nous le verrons pour le pendule.

Pendules

Le pendule simple

Un pendule simple est une masse ponctuelle $m$ suspendue à un fil inextensible et sans masse de longueur $L$, oscillant dans un plan vertical. Repérons-le par l'angle $\theta$ du fil avec la verticale. La masse décrit un arc de cercle de rayon $L$; sa vitesse vaut $L\dot{\theta }$ et sa composante tangentielle d'accélération $L\ddot{\theta }$ (chapitre 2). Les forces sont le poids $m\mathbf{g}$ et la tension du fil, radiale. La projection de la deuxième loi de Newton sur la tangente ne fait intervenir que le poids, dont la composante tangentielle est $-mg\sin \theta$ (elle ramène toujours vers $\theta =0$):

Cette équation n'est pas celle d'un oscillateur harmonique, à cause du sinus: le pendule n'est pas rigoureusement isochrone. Mais pour de petits angles, $\sin \theta \approx \theta$ (l'erreur relative vaut ${\theta }^2/6$, soit $0,5\%$ à $10°$), et l'on obtient $\ddot{\theta }+(g/L)\theta =0$.

Démonstration. L'équation linéarisée $\ddot{\theta }+(g/L)\theta =0$ est l'équation (7.1) avec ${\omega }_0^2=g/L$; le théorème 7.1 donne la solution et la période $2\pi /{\omega }_0$. La masse s'est simplifiée dans (7.10) parce que la force de rappel (le poids) et l'inertie sont toutes deux proportionnelles à $m$: c'est la même raison qui fait que tous les corps tombent avec la même accélération. La formule (7.12), que nous admettons, s'obtient en intégrant exactement (7.10) grâce à la conservation de l'énergie; la période s'exprime alors par une intégrale elliptique que l'on développe en puissances de ${\theta }_0$. $\square$

La correction en amplitude est faible: pour ${\theta }_0=10°$ ($0,175$ rad), $T/T_0=1,0019$, soit $0,19\%$; pour $30°$, $1,017$; pour $60°$, $1,073$. Une horloge à pendule dont l'amplitude dériverait de $5°$ à $10°$ retarderait de $1,2$ s par jour: c'est pourquoi les horloges de précision limitent l'amplitude à quelques degrés.

Le pendule physique

Un solide quelconque suspendu à un axe horizontal ne passant pas par son centre de masse $G$ constitue un pendule physique (ou pendule composé): une cloche, une jambe qui se balance, un balancier d'horloge. Soit $O$ le point de l'axe dans le plan de $G$, $d=OG$ la distance de l'axe au centre de masse, $I$ le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe (chapitre 9) et $\theta$ l'angle de $OG$ avec la verticale descendante. Le poids, appliqué en $G$, a par rapport à l'axe un moment de bras de levier $d\sin \theta$ (figure 7.3), dirigé de façon à ramener $\theta$ vers $0$; la réaction de l'axe a un moment nul. L'équation du mouvement de rotation (chapitre 9), $I\ddot{\theta }=M$, s'écrit

Démonstration. Pour $\theta$ petit, $\sin \theta \approx \theta$ et (7.13) devient $\ddot{\theta }+(mgd/I)\theta =0$, équation (7.1) avec ${\omega }_0^2=mgd/I$. Pour un pendule simple, $I=m{L}^2$ et $d=L$, d'où ${\omega }_0^2=g/L$: on retrouve (7.11). Un pendule simple de longueur $L_{\text{eˊq}}$ a la même pulsation si $g/L_{\text{eˊq}}=mgd/I$, soit $L_{\text{eˊq}}=I/(md)$. $\square$

Par le théorème de Huygens–Steiner (chapitre 9), $I=I_G+m{d}^2$, donc $L_{\text{eˊq}}=d+I_G/(md)>d$: le pendule physique est toujours «plus long» que la distance $OG$. La période mesurée, jointe à la connaissance de $m$ et $d$, fournit $I$: c'est la méthode expérimentale standard pour mesurer le moment d'inertie d'une pièce de forme compliquée (bielle, pale d'hélice).

Le pendule de torsion

Suspendons un solide à un fil ou une tige élastique verticale et faisons-le tourner d'un angle $\theta$ autour de l'axe du fil. Le fil exerce un moment de rappel proportionnel à l'angle de torsion, $M=-\kappa \theta$, où $\kappa$ (en N·m/rad) est la constante de torsion du fil. L'équation de rotation $I\ddot{\theta }=-\kappa \theta$ est exactement harmonique, sans approximation de petits angles:

C'est le principe du balancier-spiral des montres mécaniques (le spiral fournit $\kappa$, le balancier $I$), de la balance de torsion avec laquelle Cavendish mesura $G$ en 1798 (chapitre 6) et du galvanomètre. Un disque de moment d'inertie $I=1,20\cdot 10^{-3}$ kg·m² qui oscille en $T=5,00$ s au bout d'un fil d'acier a une constante de torsion $\kappa =4{\pi }^{2}I/T^2=1,89\cdot 10^{-3}$ N·m/rad.

Oscillations amorties

Frottement visqueux et équation du mouvement

Un oscillateur réel finit toujours par s'arrêter: l'air, le fluide d'un amortisseur, les frottements internes du matériau dissipent l'énergie mécanique. Le modèle le plus simple et le plus courant est le frottement visqueux, force proportionnelle à la vitesse et opposée à elle, $F_f=-bv$, avec $b>0$ en N·s/m (chapitre 3). C'est la loi de l'amortisseur hydraulique, du mouvement lent dans un fluide et, en bonne approximation, des structures peu amorties. La deuxième loi de Newton donne $m\ddot{x}=-kx-b\dot{x}$, soit

Les trois régimes

L'équation (7.16) est résolue au chapitre 12 d'Analyse I par l'équation caractéristique $r^2+2\gamma r+{\omega }_0^2=0$, de discriminant réduit ${\gamma }^2-{\omega }_0^2={\omega }_0^2({\zeta }^2-1)$. Nous en rappelons les résultats.

Régime pseudo-périodique ($\zeta <1$, $b<b_c$). Les racines sont complexes, $r=-\gamma \pm \mathrm{i}{\omega }_d$, et

Le système oscille à la pseudo-pulsation ${\omega }_d$, un peu inférieure à ${\omega }_0$, avec une amplitude qui décroît exponentiellement selon l'enveloppe $A{\mathrm{e}}^{-\gamma t}$, de constante de temps $\tau =1/\gamma$. La pseudo-période $T_d=2\pi /{\omega }_d$ est légèrement supérieure à $T_0$; pour $\zeta =0,1$, l'écart n'est que de $0,5\%$.

Régime critique ($\zeta =1$, $b=b_c$). Racine double $r=-{\omega }_0$: $x(t)=(C_1+C_{2}t){\mathrm{e}}^{-{\omega }_{0}t}$. Le système revient à l'équilibre sans osciller, et c'est le retour le plus rapide possible: c'est le réglage visé pour les amortisseurs de véhicules, les appareils de mesure à aiguille et les ferme-portes.

Régime apériodique ($\zeta >1$, $b>b_c$). Deux racines réelles négatives, $x(t)=C_1{\mathrm{e}}^{r_{1}t}+C_2{\mathrm{e}}^{r_{2}t}$ avec $r_{1,2}=-\gamma \pm \sqrt{{\gamma }^2-{\omega }_0^2}$: retour à l'équilibre sans oscillation, mais plus lent que le régime critique, car la racine la plus proche de zéro tend vers $-{\omega }_0^2/(2\gamma )$ lorsque $\gamma$ croît.

Décrément logarithmique et facteur de qualité

Comment mesurer l'amortissement d'une structure réelle, un plancher, une passerelle, une pale? On l'écarte, on la lâche et l'on enregistre la décroissance des oscillations. En régime pseudo-périodique, deux maximums successifs, séparés de $T_d$, sont dans le rapport ${\mathrm{e}}^{\gamma T_d}$; son logarithme,

est le décrément logarithmique. Sur $n$ pseudo-périodes, $\ln (x(t)/x(t+n{T}_d))=n\delta$: il suffit de compter les oscillations nécessaires pour que l'amplitude soit divisée par un facteur donné.

Le facteur de qualité admet une interprétation énergétique. L'énergie mécanique étant proportionnelle au carré de l'amplitude, elle décroît comme ${\mathrm{e}}^{-2\gamma t}$; la fraction perdue pendant une période vaut, pour $\zeta \ll 1$, $1-{\mathrm{e}}^{-2\gamma T_0}\approx 2\gamma T_0=4\pi \gamma /{\omega }_0=2\pi /Q$. Autrement dit,

et $Q/\pi$ est approximativement le nombre d'oscillations au bout duquel l'amplitude est divisée par $\mathrm{e}$. Quelques ordres de grandeur: amortisseur de voiture $\zeta \approx 0,3$ à $1$ ($Q\lesssim 2$); bâtiment en béton $\zeta \approx 0,02$ à $0,05$ ($Q\approx 10$ à $25$); corde de guitare $Q\approx 10^3$; quartz de montre $Q\approx 10^5$; cavité supraconductrice du CERN $Q\approx 10^{10}$.

Oscillations forcées et résonance

Régime transitoire et régime permanent

Appliquons maintenant à l'oscillateur amorti une force extérieure sinusoïdale $F(t)=F_0\cos \omega t$, de pulsation $\omega$ imposée: un moteur déséquilibré sur ses supports, la houle sur un navire, la route sur une suspension, le pas des piétons sur une passerelle, un séisme sur un bâtiment. L'équation du mouvement devient

D'après la théorie des équations linéaires (Analyse I, chapitre 12), la solution générale est la somme de la solution générale de l'équation homogène (7.16) et d'une solution particulière de (7.21). La première est l'oscillation libre amortie, qui s'éteint en quelques constantes de temps $1/\gamma$: c'est le régime transitoire, qui dépend des conditions initiales. La seconde, qui subsiste seule ensuite, est le régime permanent (ou régime établi): le système oscille à la pulsation $\omega$ de l'excitation, et non plus à ${\omega }_0$, avec une amplitude et un retard de phase qui dépendent de $\omega$. C'est ce régime permanent que nous calculons.

Démonstration. Utilisons la méthode complexe (Analyse I, chapitre 2). La force $F_0\cos \omega t$ est la partie réelle de $F_0{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$. Cherchons une solution complexe de $\ddot{z}+2\gamma \dot{z}+{\omega }_0^{2}z=(F_0/m){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$ sous la forme $z(t)=\underline{A}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$, où $\underline{A}\in \mathbb{C}$ est une amplitude complexe à déterminer; comme l'équation est à coefficients réels, $x_p=\mathrm{Re}z$ sera alors solution de (7.21). Les dérivations se réduisent à des multiplications: $\dot{z}=\mathrm{i}\omega z$ et $\ddot{z}=-{\omega }^{2}z$. En reportant et en simplifiant par ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega t}$,

Écrivons le dénominateur sous forme polaire: ${\omega }_0^2-{\omega }^2+2\mathrm{i}\gamma \omega =D{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ avec $D=\sqrt{({\omega }_0^2-{\omega }^2{)}^2+4{\gamma }^2{\omega }^2}$ et $\phi$ l'argument, de tangente $2\gamma \omega /({\omega }_0^2-{\omega }^2)$; comme la partie imaginaire $2\gamma \omega$ est positive, $\phi \in [0,\pi ]$ (premier quadrant si $\omega <{\omega }_0$, deuxième si $\omega >{\omega }_0$). Alors $\underline{A}=(F_0/(mD)){\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }$, $z=(F_0/(mD)){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\omega t-\phi )}$ et

ce qui est (7.22) avec $A=F_0/(mD)$. Pour obtenir (7.23), on divise numérateur et dénominateur par ${\omega }_0^2=k/m$ et l'on remplace $2\gamma \omega /{\omega }_0^2$ par $2\zeta r$. Enfin, la différence de deux solutions de (7.21) est solution de l'équation homogène, donc tend vers $0$ si $\gamma >0$: toutes les solutions rejoignent $x_p$. $\square$

La courbe de résonance

Démonstration. L'amplitude est maximale lorsque le dénominateur $g(r)=(1-r^2{)}^2+4{\zeta }^2{r}^2$ est minimal. Posons $u=r^2\ge 0$: $g=(1-u{)}^2+4{\zeta }^{2}u$ est un trinôme en $u$ de dérivée $-2(1-u)+4{\zeta }^2$, nulle pour $u=1-2{\zeta }^2$. Cette valeur n'est positive que si $\zeta <1/\sqrt{2}$; elle donne alors le minimum $g_{\min }=4{\zeta }^4+4{\zeta }^2(1-2{\zeta }^2)=4{\zeta }^2(1-{\zeta }^2)$, d'où $r_r=\sqrt{1-2{\zeta }^2}$ et $A_{\max }=(F_0/k)/\sqrt{g_{\min }}$. Si $\zeta \ge 1/\sqrt{2}$, la dérivée est positive pour tout $u>0$: $g$ croît et $A$ décroît. Pour la largeur, écrivons près de ${\omega }_0$: ${\omega }_0^2-{\omega }^2=({\omega }_0-\omega )({\omega }_0+\omega )\approx 2{\omega }_0({\omega }_0-\omega )$ et $2\gamma \omega \approx 2\gamma {\omega }_0$; l'amplitude vaut $A_{\max }/\sqrt{2}$ lorsque $({\omega }_0-\omega {)}^2={\gamma }^2$, soit $\omega ={\omega }_0\pm \gamma$, d'où $\Delta \omega =2\gamma$. $\square$

La largeur du pic donne une troisième interprétation du facteur de qualité: $Q={\omega }_0/\Delta \omega$ est la sélectivité de l'oscillateur. Un quartz de $Q=10^5$ ne répond qu'à une bande de largeur relative $10^{-5}$ autour de sa fréquence: c'est ce qui en fait un étalon de fréquence. Notez que trois pulsations distinctes sont maintenant en jeu: la pulsation de résonance, la pseudo-pulsation du régime libre et la pulsation propre, rangées dans l'ordre ${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-2{\zeta }^2}<{\omega }_d={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}<{\omega }_0$; elles ne coïncident qu'à la limite $\zeta \to 0$.

Puissance absorbée

En régime permanent, l'énergie fournie par la force est entièrement dissipée par le frottement. La puissance instantanée de la force est $P=Fv$ avec $v=-A\omega \sin (\omega t-\phi )$; sa valeur moyenne sur une période vaut

La première égalité vient de $⟨\cos \omega t\sin (\omega t-\phi )⟩=-\frac{1}{2}\sin \phi$; la deuxième traduit l'égalité avec la puissance dissipée $⟨b{v}^2⟩=\frac{1}{2}b{\omega }^2{A}^2$; la troisième utilise $\sin \phi =2\gamma \omega /D$. La puissance absorbée est maximale exactement en $\omega ={\omega }_0$ (et non en ${\omega }_r$), où elle vaut $F_0^2/(2b)$: plus l'amortissement est faible, plus l'oscillateur absorbe d'énergie à sa résonance, mais dans une bande plus étroite. C'est le mécanisme par lequel une excitation modeste mais bien accordée peut accumuler, oscillation après oscillation, une énergie destructrice.

La résonance en ingénierie

Isolation vibratoire. Pour protéger une machine sensible des vibrations du sol, ou le sol des vibrations d'une machine, on la monte sur des ressorts souples. Lorsque le support oscille avec l'amplitude $Y$, on montre par la même méthode complexe (exercice 7.5) que la masse oscille avec l'amplitude $X=\mathcal{T}Y$, où la transmissibilité

est inférieure à $1$ si et seulement si $r>\sqrt{2}$. La suspension isole donc les vibrations dont la fréquence dépasse $\sqrt{2}$ fois sa fréquence propre, et d'autant mieux que $r$ est grand: on choisit des ressorts souples, donc une fréquence propre basse. Au-dessus de $r=\sqrt{2}$, l'amortissement dégrade paradoxalement l'isolation (il transmet la force $b\dot{x}$), mais il reste indispensable pour traverser la résonance au démarrage. Une voiture obéit à la même logique: sa suspension à $1$ Hz filtre les irrégularités de la route, dont la fréquence à vitesse normale est de plusieurs hertz.

Bâtiments et séismes. Un immeuble est un oscillateur dont la période propre vaut grossièrement $0,1$ s par étage: $1$ s pour dix étages, $6$ à $7$ s pour une tour de $500$ m. Un séisme excite le sol dans une bande de $0,1$ à $10$ Hz: les bâtiments dont la fréquence propre tombe dans la bande dominante du sol local subissent les dégâts les plus lourds, comme à Mexico en 1985, où les sédiments lacustres amplifiaient les ondes autour de $0,5$ Hz et où les immeubles de dix à vingt étages furent les plus touchés. Les normes parasismiques (SIA 261 en Suisse) prescrivent un spectre de réponse, c'est-à-dire l'amplification maximale d'un oscillateur amorti à $\zeta =5\%$ en fonction de sa période propre. Pour les tours, on ajoute un amortisseur à masse accordée: la tour Taipei 101 abrite entre ses 87e et 92e étages une sphère d'acier de $660$ t suspendue comme un pendule et accordée sur la période propre de la tour (environ $7$ s, ce qui correspondrait pour un pendule simple à une longueur de $12$ m). Excitée en opposition de phase par le mouvement de la tour, elle lui soustrait de l'énergie par des vérins hydrauliques et réduit ses oscillations sous le vent et les séismes d'environ $40\%$.

Instruments de musique. Un violon, une guitare, un piano sont des assemblages d'oscillateurs: les cordes fixent les fréquences, la caisse et la table d'harmonie, larges et peu amorties, entrent en résonance avec elles et rayonnent le son. Le chapitre 12 reprendra cette idée avec les ondes stationnaires: chaque corde possède une suite de fréquences propres, et le timbre d'un instrument est la carte de ses résonances.

Aperçu: oscillateurs couplés et battements

Deux pendules identiques de longueur $L$, reliés par un ressort de raideur $k$ souple, forment un système à deux degrés de liberté ${\theta }_1$, ${\theta }_2$. Pour de petits angles, chaque pendule subit son rappel propre et celui du ressort, proportionnel à la différence des angles:

Les équations sont couplées, mais leur somme et leur différence ne le sont plus: $s={\theta }_1+{\theta }_2$ vérifie $\ddot{s}=-(g/L)s$ et $d={\theta }_1-{\theta }_2$ vérifie $\ddot{d}=-(g/L+2k/m)d$. Le système possède donc deux modes propres: le mode symétrique, où les pendules oscillent ensemble sans déformer le ressort, à ${\omega }_1=\sqrt{g/L}$, et le mode antisymétrique, où ils oscillent en opposition, à ${\omega }_2=\sqrt{g/L+2k/m}>{\omega }_1$. Tout mouvement est une superposition de ces deux modes. Si l'on écarte le seul pendule 1 et qu'on lâche, les deux modes sont excités à parts égales, et l'on observe des battements: l'énergie passe entièrement du pendule 1 au pendule 2 en un temps $\pi /({\omega }_2-{\omega }_1)$, puis revient. La recherche des modes propres d'un système à $n$ degrés de liberté est un problème de valeurs propres d'une matrice $n\times n$ (Algèbre linéaire): les fréquences propres d'un bâtiment, d'une aile d'avion ou d'une molécule se calculent ainsi, et le chapitre 12 en présentera la limite continue, les ondes.

Synthèse

• Oscillateur harmonique: $\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ a pour solutions $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$, avec ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$, $T=2\pi /{\omega }_0$; l'amplitude et la phase sont fixées par $x_0$ et $v_0$ ($A^2=x_0^2+v_0^2/{\omega }_0^2$). La période ne dépend pas de l'amplitude (isochronisme). Le mouvement est la projection d'un mouvement circulaire uniforme.
• Énergie: $E_m=\frac{1}{2}k{A}^2$ se conserve et s'échange entre $E_c$ et $E_p$ deux fois par période; $v_{\max }={\omega }_{0}A$. Ressorts en parallèle: $k_1+k_2$; en série: $1/k_1+1/k_2$. Une force constante (poids) déplace l'équilibre sans changer ${\omega }_0$: $T=2\pi \sqrt{\Delta \ell /g}$. Autour d'un minimum de potentiel, ${\omega }_0^2=U^{\prime \prime }(x_0)/m$.
• Pendules: simple $T=2\pi \sqrt{L/g}$ (petits angles; correction $1+{\theta }_0^2/16$), physique $T=2\pi \sqrt{I/(mgd)}$ (longueur équivalente $I/(md)$), torsion $T=2\pi \sqrt{I/\kappa }$.
• Amortissement $-b\dot{x}$: $\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0$ avec $\gamma =b/(2m)$, $\zeta =\gamma /{\omega }_0$, $Q=1/(2\zeta )$. Régime pseudo-périodique ($\zeta <1$: ${\omega }_d={\omega }_0\sqrt{1-{\zeta }^2}$, enveloppe ${\mathrm{e}}^{-\gamma t}$, décrément $\delta =\gamma T_d\approx 2\pi \zeta$), critique ($\zeta =1$, retour le plus rapide) ou apériodique ($\zeta >1$). $Q=2\pi E/(\Delta E\text{ par peˊriode})$.
• Oscillateur forcé par $F_0\cos \omega t$: après le transitoire, $x=A\cos (\omega t-\phi )$ avec $A=(F_0/k)/\sqrt{(1-r^2{)}^2+(2\zeta r{)}^2}$ et $\tan \phi =2\zeta r/(1-r^2)$, $r=\omega /{\omega }_0$. Résonance en ${\omega }_r={\omega }_0\sqrt{1-2{\zeta }^2}$, amplification $\approx Q$, largeur $\Delta \omega \approx {\omega }_0/Q$, phase $\pi /2$ en ${\omega }_0$; puissance absorbée maximale en ${\omega }_0$.
• Applications: isolation vibratoire pour $\omega >\sqrt{2}{\omega }_0$ (transmissibilité (7.26)), amortisseurs accordés, spectres de réponse sismique; les oscillateurs couplés possèdent des modes propres et présentent des battements.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.