Grandeurs physiques, unités et mesures

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• situer une longueur, une durée ou une masse sur une échelle d'ordres de grandeur et produire une estimation de Fermi défendable;
• utiliser le Système international: unités de base, unités dérivées, préfixes, et convertir sans erreur les unités courantes en ingénierie (km/h, bar, kWh, ch);
• déterminer la dimension d'une grandeur, vérifier l'homogénéité d'une formule et deviner la forme d'une loi par analyse dimensionnelle;
• exprimer le résultat d'une mesure avec son incertitude, distinguer les incertitudes de type A et de type B et propager les incertitudes dans un calcul;
• comparer deux résultats de mesure au moyen de l'écart normalisé;
• manipuler les vecteurs (composantes, norme, produits scalaire et vectoriel, coordonnées polaires) tels qu'ils seront utilisés dans toute la mécanique.

La physique et ses modèles

Mesurer, modéliser, prédire

La physique commence par une mesure. Galilée, en faisant rouler des billes sur des plans inclinés et en chronométrant leur chute avec une horloge à eau, a établi que la distance parcourue croît comme le carré du temps: c'est une loi, c'est-à-dire une relation reproductible entre des grandeurs mesurables. Une loi n'explique rien par elle-même; c'est le modèle — ici la notion d'accélération constante, puis la deuxième loi de Newton — qui l'organise et permet de prédire des situations nouvelles: la trajectoire d'un skieur à la sortie d'un tremplin, l'orbite d'un satellite GPS ou le temps d'arrêt d'un train.

Le mot «modèle» est essentiel. Un point matériel, un fil sans masse, un solide indéformable, un fluide parfait n'existent pas: ce sont des idéalisations choisies parce qu'elles rendent le problème calculable tout en conservant l'essentiel. Toute la difficulté de la physique de l'ingénieur consiste à savoir quand une idéalisation est acceptable. Le pendule de Foucault du Panthéon est un point matériel au bout d'un fil pour calculer sa période, mais certainement pas pour dimensionner son ancrage.

Lois et domaines de validité

Chaque loi possède un domaine de validité, en dehors duquel elle est fausse ou simplement inutile. La mécanique classique que nous étudions ce semestre décrit remarquablement les objets dont la vitesse est très inférieure à celle de la lumière ($c\approx 3\cdot 10^8\text{m/s}$) et dont la taille est très supérieure à celle des atomes ($10^{-10}$ m). Pour les particules du CERN, accélérées jusqu'à $0,99999999c$, il faut la relativité; pour les électrons d'un transistor, la mécanique quantique. Même à l'intérieur de son domaine, une loi peut être approchée: $g=9,81{\text{m/s}}^2$ est une constante pour un saut à ski, mais varie d'environ $0,1\%$ entre Genève et le sommet du Cervin, et de $0,5\%$ entre l'équateur et les pôles.

Un ingénieur ne demande donc jamais «cette loi est-elle vraie?» mais «cette loi est-elle assez précise ici, et quelle erreur commet-on en l'utilisant?». Cette question traverse tout le chapitre: elle motive les ordres de grandeur, l'analyse dimensionnelle et le calcul d'incertitude.

Ordres de grandeur

Les longueurs rencontrées en physique s'étendent sur plus de quarante ordres de grandeur, du rayon du proton ($8,4\cdot 10^{-16}$ m) à la taille de l'Univers observable ($8,8\cdot 10^{26}$ m). Aucune échelle linéaire ne peut les représenter: la figure 1.1 utilise une échelle logarithmique, sur laquelle chaque graduation correspond à un facteur $1000$.

Les durées offrent la même richesse: la période d'une oscillation lumineuse visible vaut $2\cdot 10^{-15}$ s, un battement de cœur $1$ s, une année $3,16\cdot 10^7$ s, l'âge de l'Univers $4,3\cdot 10^{17}$ s. Retenez quelques repères de chaque échelle: ils servent à détecter les résultats absurdes avant même de vérifier le calcul.

Estimations de Fermi

Enrico Fermi avait l'habitude de poser à ses étudiants des questions comme «combien y a-t-il d'accordeurs de piano à Chicago?», auxquelles on ne peut répondre qu'en décomposant le problème en facteurs dont chacun s'estime à un facteur $2$ ou $3$ près. Comme les erreurs des différents facteurs se compensent partiellement, le résultat est fiable à un ordre de grandeur près, ce qui suffit souvent à trancher une question de conception.

Le Système international d'unités

Les sept unités de base

Mesurer, c'est comparer une grandeur à une grandeur de même nature choisie comme unité. Le Système international (SI), issu du système métrique adopté en France en 1795 et géré par la Conférence générale des poids et mesures, repose sur sept unités de base. Depuis la révision entrée en vigueur le 20 mai 2019, toutes sont définies en fixant la valeur numérique exacte de sept constantes de la nature, ce qui garantit qu'aucune unité ne dépend plus d'un objet matériel.

La logique est en cascade: la seconde est définie par le césium; le mètre est alors la distance parcourue par la lumière en $1/299792458$ s; le kilogramme est fixé par $h$, dont l'unité J·s $=$ kg·m${}^2$/s fait intervenir le mètre et la seconde déjà définis. La mécanique n'utilise que les trois premières unités; le kelvin et la mole apparaîtront dans la thermodynamique.

Unités dérivées

Toutes les autres unités se construisent par produits et quotients des unités de base. Certaines reçoivent un nom propre, en hommage à un physicien; leur symbole prend alors une majuscule, mais leur nom écrit en toutes lettres reste en minuscules («un newton», «trois pascals»).

Le radian est une unité «sans dimension»: un angle est le rapport de deux longueurs. On l'écrit néanmoins pour rappeler que les fonctions trigonométriques et les formules $v=\omega r$ ou $s=r\theta$ supposent des angles en radians, jamais en degrés.

Préfixes et conversions

Les préfixes évitent les puissances de dix: $1\text{km}=10^3$ m, $1\mu \text{m}=10^{-6}$ m, $1\text{GW}=10^9$ W.

Attention: un préfixe appliqué à une unité élevée à une puissance s'élève avec elle. Ainsi $1{\text{cm}}^2=(10^{-2}\text{m}{)}^2=10^{-4}{\text{m}}^2$ et $1{\text{km}}^3=10^9{\text{m}}^3$. Le kilogramme fait exception à la règle des préfixes: c'est l'unité de base, bien qu'elle en porte un; on ne dit pas «microkilogramme» mais «milligramme».

Unités hors SI courantes en ingénierie

Certaines unités anciennes survivent dans la pratique; il faut savoir les convertir exactement.

L'année-lumière est une longueur, celle que parcourt la lumière en une année julienne: $c\times 365,25\times 86400\text{s}=9,461\cdot 10^{15}$ m. Un moteur de $110$ ch développe $110\times 735,5=8,09\cdot 10^4$ W $=80,9$ kW.

Analyse dimensionnelle

Dimensions

Une vitesse, qu'on l'exprime en m/s, en km/h ou en nœuds, reste une longueur divisée par un temps. Cette nature, indépendante du choix des unités, s'appelle la dimension.

Quelques dimensions à connaître par cœur:

La dimension de $G$ se lit sur la loi de Newton $F=G{m}_1{m}_2/r^2$ (chapitre 6): $[G]=[F]{\mathrm{L}}^2{\mathrm{M}}^{-2}={\mathrm{M}}^{-1}{\mathrm{L}}^3{\mathrm{T}}^{-2}$.

Homogénéité

Démonstration. La relation $A=B$ doit rester vraie quel que soit le système d'unités. Si l'on multiplie l'unité de longueur par un facteur $\lambda$, la valeur numérique d'une grandeur de dimension ${\mathrm{L}}^a{\mathrm{M}}^b{\mathrm{T}}^c$ est divisée par ${\lambda }^a$. Pour que l'égalité $A=B$ subsiste pour tout $\lambda$, les exposants $a$ de $A$ et de $B$ doivent coïncider; de même pour $b$ et $c$. Pour la somme $A+B$, si $a_A\ne a_B$, le rapport des deux termes changerait avec $\lambda$ et la somme n'aurait pas de valeur intrinsèque. Enfin, $\exp (x)=1+x+x^2/2+\dots$ additionne des puissances différentes de $x$, ce qui n'est homogène que si $x$ est sans dimension. $\square$

Le principe a deux usages. Le premier est la vérification: une formule non homogène est fausse, et cette vérification, qui prend dix secondes, détecte la majorité des erreurs de calcul. Le second est plus surprenant: la prédiction de la forme d'une loi que l'on ne sait pas encore établir. Si l'on a identifié les grandeurs pertinentes d'un phénomène, l'homogénéité impose des contraintes si fortes qu'il ne reste souvent qu'une seule combinaison possible, à une constante numérique près.

Mesures et incertitudes

Erreurs systématiques et erreurs aléatoires

Aucune mesure n'est exacte. Si l'on chronomètre dix fois la période d'un pendule, on obtient dix valeurs différentes, et aucune n'est «la vraie». Le but du calcul d'incertitude est d'accompagner chaque résultat d'un intervalle dans lequel la valeur vraie se trouve avec une probabilité connue, afin de pouvoir le comparer à une prédiction ou à une autre mesure.

Le vocabulaire international (GUM, Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure) distingue deux manières d'évaluer $u(x)$: par la statistique de mesures répétées (type A) ou par toute autre information, notamment la résolution de l'instrument (type B).

Incertitude de type A: mesures répétées

Le facteur $n-1$ (et non $n$) compense le fait que les écarts sont calculés par rapport à la moyenne de l'échantillon plutôt qu'à la valeur vraie; pour $n$ grand, la différence est négligeable. Le point essentiel est la racine dans $s/\sqrt{n}$: l'écart-type $s$ ne diminue pas quand on multiplie les mesures (c'est une propriété de l'instrument et de l'opérateur), mais l'incertitude sur la moyenne décroît comme $1/\sqrt{n}$. Pour gagner un chiffre significatif, il faut cent fois plus de mesures.

Lorsque les erreurs aléatoires proviennent de nombreuses petites causes indépendantes, la distribution des mesures suit la loi normale (Gauss): $68\%$ des mesures tombent dans $\bar{x}\pm s$, $95\%$ dans $\bar{x}\pm 2s$. Un résultat écrit $x=\bar{x}\pm u$ est donc un intervalle à $68\%$ de confiance; en métrologie et dans les normes, on multiplie souvent $u$ par un facteur d'élargissement $k=2$ pour annoncer un intervalle à $95\%$.

Incertitude de type B: résolution et données du constructeur

Quand on ne répète pas la mesure, ou quand la répétition donne toujours la même valeur (instrument numérique), l'incertitude vient de la résolution $\delta$ de l'instrument: la plus petite graduation d'une règle, le dernier chiffre d'un affichage. La valeur vraie est alors équiprobable dans un intervalle de largeur $\delta$ centré sur la lecture, et l'écart-type d'une telle distribution uniforme vaut

Une règle graduée au millimètre donne $u_B=0,29$ mm; un chronomètre au centième, $u_B=0,003$ s, bien moins que l'erreur de réaction humaine ($0,02$ s), qui domine. En pratique, on retient souvent la demi-graduation $\delta /2$ comme incertitude, ce qui est légèrement conservateur. Une fiche technique qui annonce «$\pm 1\%$ de la lecture» décrit une borne, à traiter comme une distribution uniforme de demi-largeur $1\%$, soit $u_B=1\%/\sqrt{3}=0,58\%$. Lorsque des composantes A et B coexistent, elles se combinent quadratiquement: $u=\sqrt{u_A^2+u_B^2}$.

Écriture d'un résultat et chiffres significatifs

Écrire $g=9,80087{\text{m/s}}^2$ après une mesure au pendule est une faute: les trois derniers chiffres sont du bruit. Écrire $g=10{\text{m/s}}^2$ est parfois légitime, pour une estimation, mais il faut alors le dire.

Propagation des incertitudes

Le plus souvent, la grandeur cherchée $y$ n'est pas mesurée directement mais calculée à partir de grandeurs mesurées $x_1,\dots ,x_n$: $y=f(x_1,\dots ,x_n)$. Comment l'incertitude se transmet-elle?

Démonstration. Pour de petites variations, le développement au premier ordre (chapitre 9 de l'Analyse) donne $\Delta y\approx {\sum }_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i$. Les $\Delta x_i$ sont des variables aléatoires indépendantes, de moyenne nulle et de variance $u(x_i{)}^2$. La variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances, et multiplier une variable par une constante $c$ multiplie sa variance par $c^2$: la variance de $\Delta y$ vaut donc ${\sum }_i(\partial f/\partial x_i{)}^{2}u(x_i{)}^2$, ce qui est (1.6). Les cas particuliers s'en déduisent: pour $y=k{x}_1^p{x}_2^q$, $\partial f/\partial x_1=py/x_1$ et $\partial f/\partial x_2=qy/x_2$, d'où $u(y{)}^2/y^2=p^{2}u(x_1{)}^2/x_1^2+q^{2}u(x_2{)}^2/x_2^2$. $\square$

Deux enseignements pratiques. Dans une somme, c'est le terme d'incertitude absolue la plus grande qui domine; dans un produit, c'est le facteur d'incertitude relative la plus grande, et un exposant $p$ multiplie l'incertitude relative par $|p|$. Il ne sert à rien d'améliorer les autres mesures tant que le terme dominant n'est pas réduit. Notez enfin que la différence de deux grandeurs voisines est catastrophique: $u(y)$ reste de l'ordre de $u(x_1)$ alors que $y$ est petit, et l'incertitude relative explose.

Comparer deux résultats

Le dénominateur est l'incertitude de la différence $x_1-x_2$ (propagation d'une somme). Comparer une mesure à une valeur de référence exacte revient à poser $u_2=0$. Pour l'exemple 1.6, $E=|9,801-9,806|/0,044=0,1$: excellent accord. Attention au piège inverse: un écart normalisé très petit obtenu avec une incertitude énorme ne prouve rien; la qualité d'une mesure se juge à $u$, sa justesse à $E$.

Rappels de calcul vectoriel

Scalaires et vecteurs

Une température, une masse, une énergie sont entièrement décrites par un nombre: ce sont des scalaires. Une vitesse, une force, une accélération ont en plus une direction et un sens: ce sont des vecteurs. Toute la mécanique du point s'écrit avec ces objets, et la plupart des erreurs de débutant viennent de l'oubli de leur caractère vectoriel: deux forces de $300$ N et $200$ N n'ont une résultante de $500$ N que si elles sont parallèles et de même sens.

Dans le plan, on repère aussi un vecteur par sa norme $v$ et son angle polaire $\theta$ mesuré depuis ${\mathbf{e}}_x$ dans le sens trigonométrique (figure 1.3):

L'arc tangente ne rend l'angle qu'à $\pi$ près: si $v_x<0$, il faut ajouter $180°$ au résultat de la calculatrice.

Addition, produit par un scalaire

L'addition se fait composante par composante, $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x+b_x;a_y+b_y;a_z+b_z)$, ce qui correspond géométriquement à la règle du parallélogramme (mettre l'origine de $\mathbf{b}$ à l'extrémité de $\mathbf{a}$). Le produit par un scalaire $\lambda$ multiplie chaque composante: $\lambda \mathbf{a}$ a la même direction que $\mathbf{a}$, le même sens si $\lambda >0$, le sens opposé si $\lambda <0$, et la norme $|\lambda |\Vert \mathbf{a}\Vert$. La différence $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})$ est le vecteur qui va de l'extrémité de $\mathbf{b}$ à celle de $\mathbf{a}$ quand ils ont même origine. Ces opérations obéissent aux règles usuelles (commutativité, associativité, distributivité), ce qui fait des vecteurs un espace vectoriel au sens de l'algèbre linéaire.

Produit scalaire

L'égalité entre la forme géométrique et la forme en composantes se vérifie en développant $(a_x{\mathbf{e}}_x+a_y{\mathbf{e}}_y+a_z{\mathbf{e}}_z)\cdot (b_x{\mathbf{e}}_x+\dots )$ avec ${\mathbf{e}}_x\cdot {\mathbf{e}}_x=1$ et ${\mathbf{e}}_x\cdot {\mathbf{e}}_y=0$. Le produit scalaire sert à projeter: $\mathbf{a}\cdot \mathbf{u}$ est la composante de $\mathbf{a}$ le long du vecteur unitaire $\mathbf{u}$, et l'angle entre deux vecteurs s'obtient par $\cos \alpha =\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}/(\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert )$. En mécanique, il définit le travail d'une force constante sur un déplacement, $W=\mathbf{F}\cdot \Delta \mathbf{r}$ (chapitre 4): seule la composante de la force le long du déplacement travaille, et une force perpendiculaire au mouvement, comme la réaction d'un rail, ne travaille pas.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel apparaît chaque fois qu'une rotation intervient: le moment d'une force par rapport à un point, $\mathbf{M}=\mathbf{r}\wedge \mathbf{F}$, mesure l'aptitude de la force à faire tourner un solide autour de ce point (chapitre 9); le moment cinétique $\mathbf{L}=\mathbf{r}\wedge \mathbf{p}$ et la vitesse d'un point d'un solide en rotation $\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\wedge \mathbf{r}$ en sont d'autres exemples. Un moyen mnémotechnique pour (1.10): la composante $x$ s'obtient avec les indices $y$ et $z$ dans l'ordre cyclique $x\to y\to z\to x$, et les autres par permutation circulaire.

Dérivée d'un vecteur, coordonnées polaires

Un vecteur qui dépend du temps, comme la position $\mathbf{r}(t)$ d'un mobile, se dérive composante par composante lorsque la base est fixe:

La dérivée d'un vecteur de norme constante lui est perpendiculaire: en dérivant $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=1$, on obtient $2\mathbf{u}\cdot \dot{\mathbf{u}}=0$. Ce petit résultat aura de grandes conséquences au chapitre 2: un mobile qui tourne à vitesse constante a néanmoins une accélération, dirigée vers le centre.

Pour les mouvements circulaires ou centraux, on utilise dans le plan les coordonnées polaires $(r,\theta )$, avec $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, et la base locale

orthonormée, mais qui tourne avec le point: $\mathrm{d}{\mathbf{e}}_r/\mathrm{d}\theta ={\mathbf{e}}_{\theta }$ et $\mathrm{d}{\mathbf{e}}_{\theta }/\mathrm{d}\theta =-{\mathbf{e}}_r$. La position s'écrit simplement $\mathbf{r}=r{\mathbf{e}}_r$, mais sa dérivée fait apparaître la rotation de la base: $\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}{\mathbf{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\theta }$, formule que le chapitre 2 établira et exploitera.

Synthèse

• La physique construit des modèles dont les lois ont un domaine de validité; les ordres de grandeur et les estimations de Fermi (produit de facteurs estimés à un facteur 2 ou 3 près) permettent de juger un résultat avant tout calcul.
• Le SI repose sur sept unités de base définies depuis 2019 par des constantes fixées ($c$, $h$, $e$, $k_B$, $N_A$, $\Delta {\nu }_{\text{Cs}}$, $K_{\text{cd}}$); la mécanique utilise le mètre, le kilogramme et la seconde, avec les unités dérivées N, J, W, Pa, Hz. Les conversions se font par facteurs égaux à $1$: $1\text{km/h}=1/3,6\text{m/s}$, $1\text{kWh}=3,6\text{MJ}$, $1\text{bar}=10^5\text{Pa}$, $1\text{ch}=735,5\text{W}$.
• Toute grandeur a une dimension ${\mathrm{L}}^a{\mathrm{M}}^b{\mathrm{T}}^c$; une équation physique est homogène, ce qui permet de vérifier une formule et de deviner la forme d'une loi ($T\propto \sqrt{L/g}$, $v=\sqrt{F/\mu }$, $F\propto \rho v^{2}A$) à une constante sans dimension près, ou de construire des nombres sans dimension (Reynolds).
• Une mesure s'écrit $x=\bar{x}\pm u$: type A, $u_A=s/\sqrt{n}$ à partir de mesures répétées; type B, $u_B=\delta /(2\sqrt{3})$ à partir de la résolution. L'incertitude porte un chiffre significatif et fixe l'arrondi de la valeur.
• Propagation: les incertitudes absolues s'ajoutent quadratiquement dans une somme, les incertitudes relatives dans un produit, un exposant $p$ multipliant l'incertitude relative par $|p|$; en général $u(y{)}^2=\sum (\partial f/\partial x_i{)}^{2}u(x_i{)}^2$. Deux résultats sont compatibles si l'écart normalisé $E=|x_1-x_2|/\sqrt{u_1^2+u_2^2}$ est inférieur à $2$.
• Les vecteurs se manipulent par composantes: norme $\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$, produit scalaire $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=ab\cos \alpha$ (projection, travail), produit vectoriel $\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}$ de norme $ab\sin \alpha$ (moment de force); la base polaire $({\mathbf{e}}_r,{\mathbf{e}}_{\theta })$ tourne avec le point, ce qui fera apparaître les termes $r\dot{\theta }$ de la cinématique.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. 1–2.
• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 1 et 3.
• Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 1–2.
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics, Pearson, chap. 1.
• Bureau international des poids et mesures, Le Système international d'unités (SI), 9e éd., Sèvres, 2019.
• JCGM 100:2008, Évaluation des données de mesure – Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure (GUM), BIPM, Sèvres.
• Taylor, J. R., Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, Dunod, Paris.