Ondes mécaniques et son

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• décrire une onde mécanique comme une perturbation qui se propage sans transport de matière, distinguer ondes transversales et longitudinales, et lire sur une onde sinusoïdale son amplitude, sa longueur d'onde, sa période, son nombre d'onde et sa pulsation;
• établir l'équation d'onde sur une corde tendue à partir de la deuxième loi de Newton et en déduire la vitesse de propagation $v=\sqrt{T/\mu }$, puis appliquer les formules analogues au son dans les fluides et les solides;
• calculer la puissance transportée par une onde sinusoïdale et l'intensité d'une onde sphérique;
• appliquer le principe de superposition aux interférences, aux battements et aux ondes stationnaires, et déterminer les modes propres d'une corde ou d'un tuyau sonore;
• manipuler le niveau sonore en décibels et additionner des sources;
• calculer les décalages de fréquence dus à l'effet Doppler et l'angle du cône de Mach.

Qu'est-ce qu'une onde?

Une perturbation qui se propage

Lâchez un caillou dans le Léman: des rides circulaires s'éloignent du point d'impact, mais un bouchon posé sur l'eau ne fait que monter et descendre sur place. Quelque chose se déplace — une déformation, une énergie, une information — sans que la matière ne voyage avec lui. C'est le trait fondamental d'une onde.

Les ondes mécaniques exigent un milieu: le son ne traverse pas le vide. Les ondes électromagnétiques (lumière, ondes radio), étudiées au second semestre, se propagent au contraire dans le vide à $c=2,998\cdot 10^8$ m/s; la plupart des notions de ce chapitre (longueur d'onde, superposition, effet Doppler) s'y appliquent pourtant sans changement. Les vagues sont un cas intermédiaire: les particules d'eau y décrivent des cercles, l'onde est à la fois transversale et longitudinale.

Onde progressive

Considérons une corde tendue le long de l'axe $x$ et notons $y(x,t)$ le déplacement transversal du point d'abscisse $x$ à l'instant $t$. Une onde qui se propage sans se déformer vers les $x$ croissants à la vitesse $v$ possède une propriété simple: le profil vu à l'instant $t$ est le profil initial translaté de $vt$.

Démonstration. Dire que l'onde se propage sans déformation à la vitesse $v$, c'est dire que la valeur du déplacement observée en $x$ à l'instant $t$ est celle qui se trouvait en $x-v\Delta t$ à l'instant $t-\Delta t$, pour tout $\Delta t$: $y(x,t)=y(x-v\Delta t,t-\Delta t)$. En choisissant $\Delta t=t$, on obtient $y(x,t)=y(x-vt,0)=f(x-vt)$ avec $f(u)=y(u,0)$. Réciproquement, si $y=f(x-vt)$, alors $y(x+v\Delta t,t+\Delta t)=f(x+v\Delta t-vt-v\Delta t)=f(x-vt)=y(x,t)$: le profil observé en $x$ se retrouve intact en $x+v\Delta t$ après $\Delta t$, il s'est déplacé de $v\Delta t$ vers la droite. Le cas $g(x+vt)$ se traite de même avec $v$ remplacé par $-v$. $\square$

La variable $u=x-vt$ est la phase de l'onde: tous les points $(x,t)$ de même phase portent le même déplacement. Un maximum du profil, par exemple, correspond à une valeur fixe de $u$, donc se déplace selon $x=u+vt$: à la vitesse $v$, appelée vitesse de propagation (ou de phase). Il ne faut pas la confondre avec la vitesse transversale $\partial y/\partial t$ des éléments de corde, qui montent et descendent sur place.

Ondes sinusoïdales

Le profil le plus important est la sinusoïde, parce qu'un profil quelconque s'en déduit par superposition (analyse de Fourier) et parce qu'une source vibrant harmoniquement, comme un diapason, engendre précisément une telle onde.

L'équation (12.2) est bien de la forme (12.1): $kx-\omega t=k(x-vt)$ avec $v=\omega /k$. Pendant une période $T$, la crête avance d'une longueur d'onde: $\lambda =vT$, ce qui donne la relation fondamentale

La vitesse étant imposée par le milieu, la longueur d'onde est fixée par la source: plus la fréquence est élevée, plus $\lambda$ est courte. Dans l'air, où $v\approx 343$ m/s, le la du diapason ($440$ Hz) a une longueur d'onde de $78$ cm, tandis qu'un ultrason médical de $5$ MHz n'a que $0,07$ mm.

L'équation d'onde sur une corde

Dérivation à partir de la deuxième loi de Newton

Pourquoi une perturbation se propage-t-elle, et à quelle vitesse? La réponse vient de la dynamique: chaque élément de corde est accéléré par la force que ses voisins exercent sur lui. Considérons une corde homogène de masse linéique $\mu$ (en kg/m), tendue avec la tension $T$, et un petit élément situé entre $x$ et $x+\Delta x$ (figure 12.2). Nous supposons les déplacements petits: la pente $\partial y/\partial x$ est faible devant $1$, la longueur de l'élément reste $\Delta x$ et la tension garde partout la même valeur $T$.

Démonstration. L'élément de corde a la masse $\mu \Delta x$. Il est soumis à deux forces: la tension $\mathbf{T}(x)$ exercée par la partie gauche de la corde, tangente à la corde et dirigée vers les $x$ décroissants, et la tension $\mathbf{T}(x+\Delta x)$ exercée par la partie droite, tangente et dirigée vers les $x$ croissants; nous négligeons le poids, très inférieur à la tension. Si $\theta (x)$ désigne l'angle de la tangente avec l'horizontale, la composante transversale résultante vaut

Pour de petits angles, $\sin \theta \approx \tan \theta =\partial y/\partial x$, et les composantes horizontales $T\cos \theta \approx T$ se compensent: l'élément ne se déplace que verticalement. La deuxième loi de Newton (chapitre 3) appliquée à l'élément, dont l'accélération transversale est ${\partial }^{2}y/\partial t^2$, donne

En divisant par $\Delta x$ et en faisant tendre $\Delta x$ vers $0$, le crochet divisé par $\Delta x$ tend vers la dérivée seconde ${\partial }^{2}y/\partial x^2$, d'où (12.4). Reportons enfin $y=f(u)$ avec $u=x-vt$: par la règle de dérivation des fonctions composées, $\partial y/\partial x=f^{\prime }(u)$, ${\partial }^{2}y/\partial x^2=f^{\prime \prime }(u)$, $\partial y/\partial t=-v{f}^{\prime }(u)$ et ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{f}^{\prime \prime }(u)$. L'équation (12.4) devient $v^2{f}^{\prime \prime }=(T/\mu )f^{\prime \prime }$, vérifiée pour tout profil $f$ non rectiligne si et seulement si $v^2=T/\mu$. Le même calcul vaut pour $g(x+vt)$. $\square$

Le résultat est remarquable: toute forme se propage, à la même vitesse, dans les deux sens. La vitesse croît avec la tension (la force de rappel est plus grande) et décroît avec la masse linéique (l'inertie est plus grande). C'est aussi une belle illustration de l'analyse dimensionnelle du chapitre 1: $[T/\mu ]=\text{N}/(\text{kg/m})=\text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^{-2}\cdot \text{m}\cdot {\text{kg}}^{-1}={\text{m}}^2/{\text{s}}^2$, et la seule combinaison de $T$ et $\mu$ ayant la dimension d'une vitesse est $\sqrt{T/\mu }$; la dynamique confirme que le coefficient numérique vaut $1$.

Vitesse du son dans les fluides et les solides

Le raisonnement précédent se transpose aux ondes longitudinales: la force de rappel est alors fournie par l'élasticité du milieu, et l'inertie par sa masse volumique $\rho$. Sans refaire le calcul (il est identique dans son principe, avec un élément de fluide comprimé par la différence de pression entre ses deux faces), nous admettons les résultats suivants, dont la forme $\sqrt{\text{raideur}/\text{inertie}}$ est celle de (12.5).

Pour l'air à $20°\mathrm{C}$: $\gamma =1,40$, $p=1,013\cdot 10^5$ Pa et $\rho =1,204$ kg/m³ donnent $v=\sqrt{1,40\times 1,013\cdot 10^5/1,204}=343$ m/s. Newton, qui supposait la compression isotherme ($B=p$), trouvait $290$ m/s; Laplace corrigea l'erreur en 1816. Le son va $4,3$ fois plus vite dans l'eau que dans l'air: l'eau est bien plus lourde, mais $15000$ fois moins compressible.

Énergie et puissance transportées

Une onde ne transporte pas de matière, mais elle transporte de l'énergie: la source (la main qui secoue la corde, la membrane du haut-parleur) fournit un travail qui se retrouve, plus loin, en énergie cinétique et potentielle des éléments du milieu.

Démonstration. Calculons la puissance transmise par la partie gauche de la corde à la partie droite à travers le point $x$. La force exercée par la gauche sur la droite est la tension, dont la composante transversale vaut $F_y=-T\partial y/\partial x$ (le signe traduit qu'une pente positive tire la partie droite vers le bas). Le point $x$ se déplace à la vitesse transversale $\partial y/\partial t$, et la puissance instantanée (chapitre 4) est le produit $P=F_y\partial y/\partial t=-T(\partial y/\partial x)(\partial y/\partial t)$. Pour l'onde sinusoïdale, $\partial y/\partial x=kA\cos (kx-\omega t)$ et $\partial y/\partial t=-\omega A\cos (kx-\omega t)$, donc

La puissance est toujours positive: l'énergie circule dans le sens de propagation. Sa moyenne sur une période, avec $⟨{\cos }^2⟩=\frac{1}{2}$, est $⟨P⟩=\frac{1}{2}Tk\omega A^2$. Enfin $T=\mu v^2$ et $k=\omega /v$, d'où $Tk\omega =\mu v^2{\omega }^2/v=\mu {\omega }^{2}v$, ce qui donne (12.7). $\square$

On peut interpréter (12.7) comme le produit d'une densité linéique d'énergie $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^2$ (chaque élément $\Delta x$ oscille comme un oscillateur harmonique d'énergie $\frac{1}{2}(\mu \Delta x){\omega }^2{A}^2$, chapitre 7) par la vitesse $v$ à laquelle cette énergie défile. Pour la corde de mi grave de l'exemple guidé ($\mu =6,00$ g/m, $f=82,4$ Hz, $v=107$ m/s) vibrant avec $A=2,00$ mm, on trouve $⟨P⟩=\frac{1}{2}\times 6,00\cdot 10^{-3}\times (2\pi \times 82,4{)}^2\times (2,00\cdot 10^{-3}{)}^2\times 107=0,345$ W: bien plus que la puissance acoustique rayonnée (quelques milliwatts), la différence étant réfléchie aux extrémités et dissipée dans la corde et le chevalet.

L'intensité décroît comme $1/r^2$ et, puisque $I\propto A^2$, l'amplitude décroît comme $1/r$: doubler la distance divise l'intensité par $4$. Un haut-parleur rayonnant $1,00$ W acoustique (c'est déjà très fort) produit à $10$ m une intensité de $1/(4\pi \times 100)=7,96\cdot 10^{-4}$ W/m², et quatre fois moins à $20$ m. Pour une onde plane ou guidée (son dans un tuyau, onde sur une corde), la surface ne grandit pas et l'intensité ne décroît que par absorption.

Superposition et interférences

Le principe de superposition

Que se passe-t-il lorsque deux ondes se rencontrent? Deux vagues qui se croisent sur le lac, deux voix qui parlent en même temps: chacune poursuit sa route comme si l'autre n'existait pas, et le déplacement total est, à chaque instant, la somme des deux. Ce n'est pas une évidence, c'est une propriété de l'équation d'onde.

Démonstration. La dérivation est linéaire: ${\partial }^2(\alpha y_1+\beta y_2)/\partial t^2=\alpha {\partial }^2{y}_1/\partial t^2+\beta {\partial }^2{y}_2/\partial t^2=\alpha v^2{\partial }^2{y}_1/\partial x^2+\beta v^2{\partial }^2{y}_2/\partial x^2=v^2{\partial }^2(\alpha y_1+\beta y_2)/\partial x^2$. $\square$

Le principe repose sur la linéarité de l'équation d'onde, issue de l'hypothèse des petites amplitudes; pour des ondes de très grande amplitude (déferlement, ondes de choc), la superposition échoue et les ondes interagissent. Dans le cadre linéaire, deux impulsions qui se croisent sur une corde se traversent sans se modifier: une bosse et un creux de même forme s'annulent un instant — l'énergie est alors toute cinétique — puis ressortent intacts.

Interférence de deux ondes de même fréquence

Superposons en un point deux ondes sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation, déphasées de $\Delta \phi$: $y_1=A\sin (\omega t)$ et $y_2=A\sin (\omega t+\Delta \phi )$. La formule de la somme des sinus donne

Le résultat est une oscillation de même fréquence, d'amplitude $2A|\cos (\Delta \phi /2)|$: elle vaut $2A$ si $\Delta \phi =0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\dots$ (interférence constructive) et $0$ si $\Delta \phi =\pm \pi ,\pm 3\pi ,\dots$ (interférence destructive). Lorsque les deux ondes proviennent de deux sources en phase situées aux distances $r_1$ et $r_2$ du point d'observation, le déphasage vient de la différence de marche $\delta =r_2-r_1$: l'onde 2 arrive avec le retard $\delta /v$, soit une phase $\Delta \phi =\omega \delta /v=k\delta =2\pi \delta /\lambda$. Ainsi

Battements

Superposons maintenant deux ondes de fréquences voisines $f_1$ et $f_2$, de même amplitude, en un point donné. On entend un son de fréquence intermédiaire dont l'intensité fluctue lentement: ce sont les battements, familiers de quiconque a accordé une guitare.

Démonstration. Par la formule $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}$,

Le second facteur oscille rapidement à la fréquence moyenne; le premier, lentement, est une enveloppe d'amplitude $2A|\cos (\pi (f_1-f_2)t)|$. L'oreille perçoit l'intensité, proportionnelle au carré de l'amplitude, qui vaut $4A^2{\cos }^2(\pi (f_1-f_2)t)=2A^2[1+\cos (2\pi (f_1-f_2)t)]$: elle passe par un maximum $|f_1-f_2|$ fois par seconde. $\square$

Pour accorder une corde sur un diapason à $440$ Hz, on joue les deux ensemble: si la corde vibre à $442$ Hz, on entend deux battements par seconde. On tend ou détend la corde jusqu'à ce que les battements disparaissent: l'oreille détecte ainsi des écarts inférieurs à $1$ Hz, inaccessibles à la comparaison directe de deux hauteurs. Les radars Doppler (section suivante) mesurent de même une petite différence de fréquence.

Réflexion et transmission

Lorsqu'une onde atteint l'extrémité de la corde, elle se réfléchit. Si l'extrémité est fixe (attachée à un mur), le déplacement y est nul en permanence; la seule façon d'annuler l'onde incidente au point fixe est d'y superposer une onde réfléchie inversée: une bosse revient sous forme de creux. On dit que la réflexion s'accompagne d'un déphasage de $\pi$; physiquement, le mur exerce sur la corde une force de réaction opposée à celle que la corde exerce sur lui (troisième loi de Newton). Si l'extrémité est libre (anneau coulissant sans frottement sur une tige), aucune force transversale ne peut s'y exercer, la pente est nulle et la bosse revient droite, sans inversion.

Entre ces deux cas extrêmes, au raccord avec une corde de masse linéique différente, l'onde est en partie réfléchie et en partie transmise: inversée vers une corde plus lourde (vitesse plus faible), droite vers une corde plus légère. Les coefficients de réflexion et de transmission découlent de la continuité du déplacement et de la pente au raccord. Pour le son, la même physique explique l'écho sur une paroi rigide et la réflexion des ultrasons de l'échographie aux interfaces entre tissus.

Ondes stationnaires

Superposition de deux ondes contrapropagatives

La réflexion à une extrémité crée précisément la situation la plus intéressante: une onde incidente et une onde réfléchie de même fréquence, de même amplitude, se propageant en sens inverses. Leur superposition n'est plus une onde progressive.

Démonstration. La formule $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$ avec $a=kx-\omega t$ et $b=kx+\omega t$ donne $y=2\sin (kx)\cos (-\omega t)=2A\sin (kx)\cos (\omega t)$. Cette expression n'est pas de la forme $f(x-vt)$: les variables $x$ et $t$ sont séparées, le profil ne se déplace pas. L'amplitude $2A\sin (kx)$ s'annule lorsque $kx=m\pi$, c'est-à-dire $x=m\pi /k=m\lambda /2$, et vaut $\pm 2A$ lorsque $kx=(m+\frac{1}{2})\pi$. $\square$

Le profil ne voyage plus, il respire: à $t=0$ la corde est dans sa position d'amplitude maximale, un quart de période plus tard elle est rectiligne, puis elle atteint la position opposée. Les nœuds ne bougent jamais: on peut y poser le doigt sans perturber la vibration, ce que fait le guitariste qui joue une harmonique en effleurant la corde à sa moitié ou à son tiers. Aucune énergie ne traverse un nœud: les deux ondes progressives transportent des puissances opposées.

Corde fixée aux deux extrémités: modes propres

Sur une corde de longueur $L$ fixée en $x=0$ et $x=L$, une onde stationnaire n'est possible que si les deux extrémités sont des nœuds: cette condition sélectionne les longueurs d'onde, donc les fréquences.

Démonstration. L'onde stationnaire (12.12) s'annule en $x=0$ pour tout $t$: la condition à l'extrémité gauche est satisfaite (nous avons choisi l'origine des phases pour cela). En $x=L$, il faut $\sin (kL)=0$ pour tout $t$, soit $kL=n\pi$ avec $n$ entier strictement positif ($n=0$ donnerait la corde immobile, et $n$ négatif rien de nouveau). Ainsi $k_n=n\pi /L$, ${\lambda }_n=2\pi /k_n=2L/n$: la longueur de la corde doit contenir un nombre entier de demi-longueurs d'onde. Avec $f=v/\lambda$, $f_n=nv/(2L)$, et (12.5) donne la forme en $\sqrt{T/\mu }$. Les nœuds du mode $n$ sont les solutions de $\sin (n\pi x/L)=0$ dans $[0,L]$, soit $x=mL/n$ pour $m=0,1,\dots ,n$: il y en a $n+1$, séparés par $n$ ventres. $\square$

La formule (12.13), connue empiriquement de Mersenne dès 1636 (les «lois des cordes vibrantes»), gouverne tous les instruments à cordes. Trois leviers permettent de changer la hauteur: la longueur (le violoniste raccourcit la corde avec son doigt, le guitariste avec les frettes), la tension (les chevilles d'accord) et la masse linéique (les cordes graves sont filées de métal pour être lourdes sans être trop tendues). Pour monter d'une octave, il faut doubler $f$: diviser $L$ par $2$, ou quadrupler $T$, ou diviser $\mu$ par $4$.

Lorsqu'on pince ou frappe une corde, on excite simultanément plusieurs modes: par superposition, le mouvement est une somme d'harmoniques ${\sum }_n{A}_n\sin (n\pi x/L)\cos (2\pi n{f}_{1}t+{\phi }_n)$. L'oreille perçoit la fondamentale comme la hauteur de la note et la répartition des amplitudes $A_n$ comme le timbre, qui distingue un la de guitare d'un la de piano. La corde de mi grave ($f_1=82,4$ Hz) vibre ainsi aussi à $164,8$, $247,2$, $329,6$ Hz, etc.; la pincer près du chevalet favorise les harmoniques élevées (son brillant), la pincer au milieu les atténue (son rond), car un mode ayant un nœud au point de pincement n'est pas excité.

Tuyaux sonores

Une colonne d'air dans un tuyau (flûte, tuyau d'orgue, clarinette) vibre elle aussi selon des modes propres, avec deux types de conditions aux limites. À une extrémité fermée, l'air ne peut pas se déplacer: c'est un nœud de déplacement (et un ventre de pression). À une extrémité ouverte, la pression est celle de l'atmosphère: c'est un nœud de pression, donc un ventre de déplacement.

• Tuyau ouvert aux deux bouts (flûte, tuyau d'orgue ouvert): ventres de déplacement aux deux extrémités; comme pour la corde, $L$ contient un nombre entier de demi-longueurs d'onde et $f_n=nv/(2L)$, $n=1,2,3,\dots$: toutes les harmoniques sont présentes.
• Tuyau fermé à un bout (tuyau d'orgue bouché, clarinette en première approximation): un nœud à l'extrémité fermée et un ventre à l'extrémité ouverte; la distance nœud–ventre la plus courte est $\lambda /4$, puis $3\lambda /4$, $5\lambda /4$, … Ainsi $L=(2m+1)\lambda /4$ et

Un tuyau fermé ne produit que les harmoniques impaires, et sa fondamentale est une octave plus basse que celle d'un tuyau ouvert de même longueur: les facteurs d'orgue bouchent les tuyaux graves pour gagner de la place, et la clarinette sonne plus grave que la flûte, de longueur comparable. En réalité, le ventre se forme un peu au-delà de l'extrémité ouverte (correction d'extrémité, environ $0,6$ fois le rayon), ce qui abaisse légèrement les fréquences.

Résonance et analyse de Fourier

Les modes propres sont les fréquences auxquelles le système aime vibrer: excité à l'une d'elles, il entre en résonance (chapitre 7), avec ici une infinité de fréquences propres au lieu d'une seule. Une corde au repos se met à vibrer «par sympathie» si une autre corde émet une de ses fréquences propres, et la caisse d'une guitare ou la table d'harmonie d'un piano sont des résonateurs conçus pour amplifier et rayonner les vibrations des cordes. Réciproquement, le théorème de Fourier (Analyse II) affirme que toute vibration d'une corde fixée aux deux bouts se décompose de manière unique en une somme de modes propres ${\sum }_n{A}_n\sin (n\pi x/L)\cos ({\omega }_{n}t+{\phi }_n)$, et plus généralement que tout signal périodique est une somme de sinusoïdes de fréquences multiples d'une fondamentale: le spectre des amplitudes $A_n$ est la carte d'identité d'un son.

Le son

Nature du son et audition

Le son est une onde longitudinale de compression: la membrane d'un haut-parleur qui avance comprime l'air devant elle, cette surpression pousse la couche suivante, et ainsi de proche en proche. On décrit l'onde sonore par le déplacement $s(x,t)$ des couches d'air ou, plus commodément, par la variation de pression $\Delta p(x,t)$ autour de la pression atmosphérique, les deux étant décalés d'un quart de longueur d'onde. Les amplitudes sont minuscules: une conversation correspond à $\Delta p\approx 0,02$ Pa, soit $2\cdot 10^{-7}$ fois la pression atmosphérique.

L'oreille humaine perçoit les fréquences comprises entre $20$ Hz et $20$ kHz environ; en dessous on parle d'infrasons, au-dessus d'ultrasons (chauve-souris, échographie de $2$ à $15$ MHz). La hauteur d'un son est sa fréquence fondamentale (le la${}_4$ vaut $440$ Hz, chaque octave double la fréquence et un demi-ton tempéré la multiplie par $2^{1/12}=1,0595$); le timbre est son spectre d'harmoniques; l'intensité perçue dépend de l'intensité physique $I$ de manière logarithmique, d'où la nécessité d'une échelle adaptée.

Niveau sonore en décibels

L'oreille détecte des intensités de $10^{-12}$ W/m² et supporte, un instant, $1$ W/m²: douze ordres de grandeur, sur lesquels la sensation croît à peu près comme le logarithme de l'intensité (loi de Weber–Fechner). On mesure donc les sons sur une échelle logarithmique.

Une augmentation de $10$ dB correspond à une intensité $10$ fois plus grande, mais à une sensation seulement «deux fois plus forte». La législation suisse impose une protection auditive à partir de $85$ dB(A) sur huit heures, la durée admissible étant divisée par deux chaque fois que le niveau augmente de $3$ dB.

Démonstration. Des sources indépendantes (deux machines, deux voix) n'ont pas de relation de phase fixe: en un point, le déphasage entre leurs ondes varie aléatoirement, et la moyenne temporelle du terme croisé $2y_1{y}_2$ dans $(y_1+y_2{)}^2$ est nulle. Les intensités s'ajoutent donc (et non les amplitudes, contrairement aux interférences de sources cohérentes). Alors $L=10{\log }_{10}(N{I}_1/I_0)=10{\log }_{10}(I_1/I_0)+10{\log }_{10}N=L_1+10{\log }_{10}N$, et $10{\log }_{10}2=3,01$. $\square$

L'effet Doppler

La sirène d'une ambulance paraît plus aiguë lorsqu'elle s'approche et plus grave lorsqu'elle s'éloigne, avec une chute brutale au passage. Ce changement de fréquence perçue, dû au mouvement de la source ou de l'observateur par rapport au milieu, est l'effet Doppler, prédit par Christian Doppler en 1842 et vérifié en 1845 par Buys Ballot avec des trompettistes installés sur un train.

Démonstration. 1. La source émet un front d'onde toutes les $T=1/f$ secondes. Pendant une période, le front précédent a parcouru $vT=\lambda$ dans le milieu, tandis que la source a avancé de $v_{s}T$ dans la même direction (figure 12.3): devant la source, les fronts successifs sont donc séparés de ${\lambda }^{\prime }=vT-v_{s}T=(v-v_s)/f$, et derrière de ${\lambda }^{\prime \prime }=(v+v_s)/f$. L'observateur fixe reçoit ces fronts, qui se déplacent à la vitesse $v$ du milieu (la vitesse d'une onde ne dépend pas de celle de sa source), avec la fréquence $f^{\prime }=v/{\lambda }^{\prime }=vf/(v-v_s)$ devant et $vf/(v+v_s)$ derrière.

2. Si la source est fixe, la longueur d'onde dans le milieu est $\lambda =v/f$, inchangée. Mais l'observateur qui s'approche à la vitesse $v_o$ voit les fronts défiler à la vitesse relative $v+v_o$ (composition des vitesses, chapitre 8): il en reçoit $f^{\prime }=(v+v_o)/\lambda =(v+v_o)f/v$ par seconde. S'il s'éloigne, la vitesse relative est $v-v_o$.

3. Les deux effets sont indépendants: la source mobile modifie la longueur d'onde dans le milieu, l'observateur mobile modifie la vitesse à laquelle il balaie cette longueur d'onde. En combinant, $f^{\prime }=(v\pm v_o)/{\lambda }^{\prime }=\frac{v\pm v_o}{v\mp v_s}f$. $\square$

En astronomie, le décalage Doppler vers le rouge des raies spectrales des galaxies lointaines a révélé l'expansion de l'Univers (loi de Hubble, 1929), et c'est par les oscillations Doppler de leur étoile que Michel Mayor et Didier Queloz, à l'Observatoire de Genève, ont détecté en 1995 la première exoplanète autour d'une étoile de type solaire (prix Nobel 2019).

Ondes de choc et bang supersonique

Lorsque la source atteint la vitesse du son, le dénominateur de (12.16) s'annule: les fronts émis vers l'avant s'empilent sur la source en une surpression intense. Au-delà, pour $v_s>v$, la source dépasse ses propres ondes, et les fronts sphériques émis aux instants successifs ont pour enveloppe un cône, le cône de Mach, sur lequel se concentre l'énergie: c'est l'onde de choc, entendue au sol comme un «bang» chaque fois que le cône balaie un observateur — et non au seul moment où l'avion franchit le mur du son.

Démonstration. À l'instant $t$, la source se trouve en $S$; le front émis à l'instant $0$, lorsqu'elle était en $S_0$, est une sphère de rayon $vt$ centrée en $S_0$, et $S_{0}S=v_{s}t>vt$: la source est hors de la sphère. Le front émis à l'instant $t^{\prime }$ intermédiaire est une sphère de rayon $v(t-t^{\prime })$ centrée au point $S^{\prime }$ tel que $S^{\prime }S=v_s(t-t^{\prime })$. Le rapport rayon/distance vaut $v/v_s$ pour toutes ces sphères: elles sont donc toutes tangentes aux mêmes droites issues de $S$, faisant avec la trajectoire l'angle $\theta$ tel que $\sin \theta =v(t-t^{\prime })/[v_s(t-t^{\prime })]=v/v_s$. L'enveloppe est le cône de sommet $S$ et de demi-angle $\theta$. $\square$

Un avion à Mach $2$ traîne un cône de demi-angle $30°$; à Mach $1,5$, $41,8°$. Le sillage en V d'un bateau est le même phénomène pour les vagues, et le claquement d'un fouet est un petit bang supersonique: l'extrémité de la mèche dépasse $343$ m/s.

Applications

• Sonar et échosondeur. Un navire émet une impulsion ultrasonore et mesure le temps $\Delta t$ de retour de l'écho du fond: $h=v\Delta t/2$ avec $v=1480$ m/s; pour $\Delta t=1,20$ s, $h=888$ m. Chauves-souris et dauphins font de même, et la bathymétrie des lacs suisses a été levée par sondeur multifaisceaux.
• Échographie médicale. Des ultrasons de $2$ à $15$ MHz ($\lambda$ de $0,1$ à $0,8$ mm dans les tissus, ce qui fixe la résolution) sont partiellement réfléchis par chaque interface entre tissus; le temps de retour donne la profondeur, l'amplitude de l'écho le contraste. Un gel assure le couplage sonde–peau, car l'interface air–peau réfléchirait presque tout.
• Isolation acoustique. Une paroi lourde réfléchit le son (doubler la masse surfacique gagne environ $6$ dB), un matériau poreux l'absorbe par frottement visqueux de l'air dans ses pores, et une double paroi avec lame d'air désaccouple les deux faces: murs antibruit, double vitrage asymétrique et revêtements phonoabsorbants appliquent ces principes.

Synthèse

• Une onde mécanique est une perturbation qui se propage dans un milieu élastique sans transport de matière; elle est transversale (corde, ondes S) ou longitudinale (son, ondes P). Une onde progressive s'écrit $y=f(x-vt)$; une onde sinusoïdale $y=A\sin (kx-\omega t)$ vérifie $k=2\pi /\lambda$, $\omega =2\pi f$ et $v=\lambda f=\omega /k$.
• L'équation d'onde ${\partial }^{2}y/\partial t^2=v^2{\partial }^{2}y/\partial x^2$ découle de la deuxième loi de Newton; sur une corde $v=\sqrt{T/\mu }$, dans un fluide $v=\sqrt{B/\rho }$ ($343$ m/s dans l'air à $20°\mathrm{C}$, $1480$ m/s dans l'eau), dans une barre $v=\sqrt{E/\rho }$.
• Une onde sinusoïdale sur une corde transporte la puissance moyenne $\frac{1}{2}\mu {\omega }^2{A}^{2}v$; l'intensité d'une onde sphérique décroît comme $P/(4\pi r^2)$.
• L'équation d'onde est linéaire: les ondes se superposent. Deux ondes cohérentes interfèrent constructivement si la différence de marche est $m\lambda$, destructivement si elle est $(m+\frac{1}{2})\lambda$; deux fréquences voisines produisent des battements à $|f_1-f_2|$; la réflexion sur une extrémité fixe inverse l'onde.
• Deux ondes contrapropagatives forment l'onde stationnaire $2A\sin (kx)\cos (\omega t)$, avec des nœuds distants de $\lambda /2$. Une corde fixée aux deux bouts vibre aux fréquences $f_n=nv/(2L)$; un tuyau ouvert aux mêmes fréquences, un tuyau fermé à $f_n=nv/(4L)$ avec $n$ impair.
• Le niveau sonore $L=10{\log }_{10}(I/I_0)$ (dB, $I_0=10^{-12}$ W/m²) augmente de $3$ dB quand l'intensité double. L'effet Doppler donne $f^{\prime }=f(v\pm v_o)/(v\mp v_s)$; au-delà de la vitesse du son, une source engendre un cône de Mach d'angle $\sin \theta =v/v_s$.

Exercices

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Références

• Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. sur les ondes.
• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière Éducation, Montréal, chap. 16–17 (ondes, son).
• Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 15–17.
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics with Modern Physics, 15e éd., Pearson, chap. 15–16.
• Feynman, R. P., Leighton, R. B. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Mécanique 2, Dunod, Paris, chap. 47–51 (son, équation d'onde, battements, modes).
• Rossing, T. D., Moore, F. R. et Wheeler, P. A., The Science of Sound, 3e éd., Addison-Wesley (acoustique musicale, tuyaux, décibels).