Gravitation et mouvement des planètes

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• énoncer la loi de la gravitation universelle, en préciser le domaine de validité et l'appliquer avec le principe de superposition;
• relier la pesanteur $g$ à la masse et au rayon de la Terre, et estimer ses variations avec l'altitude et la latitude;
• utiliser le théorème de Newton pour calculer le champ d'une sphère homogène, à l'extérieur comme à l'intérieur;
• établir l'énergie potentielle gravitationnelle $U=-GMm/r$, en déduire la vitesse de libération et classer les trajectoires selon le signe de l'énergie mécanique;
• calculer la vitesse, la période et l'énergie d'un satellite en orbite circulaire, et dimensionner un transfert de Hohmann;
• énoncer les trois lois de Kepler, démontrer la deuxième et la troisième (orbites circulaires) et les utiliser pour peser le Soleil et les planètes.

De Kepler à Newton: la loi de la gravitation universelle

La pomme et la Lune

Au début du XVIIe siècle, Johannes Kepler tire des observations de Tycho Brahe trois lois empiriques sur le mouvement des planètes: les orbites sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, le rayon vecteur balaie des aires égales en des durées égales, et le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe. Ces lois décrivent, mais n'expliquent pas. Galilée, de son côté, établit que tous les corps tombent avec la même accélération $g$ près du sol. Le génie de Newton (1687) est d'unifier ces deux mondes: la force qui fait tomber la pomme est celle qui retient la Lune sur son orbite.

Vérifions-le comme Newton. La Lune décrit autour de la Terre une orbite presque circulaire de rayon $d=3,844\cdot 10^8$ m en $T=27,32$ jours. Son accélération centripète (chapitre 2) vaut

Le rapport avec la pesanteur au sol est $g/a_L=9,82/(2,72\cdot 10^{-3})\approx 3600$. Or la Lune est $d/R_T=3,844\cdot 10^8/(6,371\cdot 10^6)=60,3$ fois plus loin du centre de la Terre que la pomme, et $60,3^2=3640$. L'accord à $1\%$ près (la différence vient de l'ellipticité de l'orbite lunaire et de l'attraction du Soleil) montre que l'attraction terrestre décroît comme l'inverse du carré de la distance au centre de la Terre: c'est la clé de tout le chapitre.

La loi de Newton

Trois propriétés méritent d'être soulignées. D'abord, la force est centrale: elle est portée par la droite joignant les deux corps, ce qui aura pour conséquence la conservation du moment cinétique (section sur les lois de Kepler). Ensuite, elle est universelle: la même constante $G$ gouverne la chute d'une bille et la rotation de la Voie lactée. Enfin, elle est extraordinairement faible: deux sphères de $1$ kg dont les centres sont distants de $10$ cm s'attirent avec $F=G/0,01=6,67\cdot 10^{-9}$ N, le poids d'un grain de poussière. Ce n'est que parce que les masses astronomiques sont énormes que la gravitation domine à grande échelle.

Principe de superposition

La force gravitationnelle exercée sur un point matériel $m$ par un ensemble de masses $m_1,\dots ,m_n$ est la somme vectorielle des forces exercées par chacune d'elles:

Ce principe de superposition est une conséquence de la linéarité de la loi (6.1) en chacune des masses; il s'étend par intégration aux corps continus, une planète étant traitée comme une somme d'éléments de masse $\mathrm{d}m$. C'est lui qui permet de calculer l'attraction d'une sphère, d'un anneau ou d'une montagne, et de comprendre les marées.

Poids et pesanteur à la surface de la Terre

Admettons provisoirement (théorème 6.2) qu'une sphère homogène attire les corps extérieurs comme si toute sa masse était concentrée en son centre. Un corps de masse $m$ posé au sol, à la distance $R_T$ du centre, subit alors la force $F=G{M}_{T}m/R_T^2$. En l'identifiant au poids $mg$, on obtient l'expression de la pesanteur:

La masse $m$ du corps s'est simplifiée: tous les corps tombent avec la même accélération, comme l'avait observé Galilée. La valeur $9,82$ m/s² est celle qu'aurait une Terre sphérique immobile; la valeur conventionnelle $9,81$ m/s² (et les valeurs mesurées, de $9,78$ à l'équateur à $9,83$ aux pôles) incorpore deux corrections.

Altitude. À l'altitude $h$ au-dessus du sol, $g(h)=G{M}_T/(R_T+h{)}^2$. Pour $h\ll R_T$, le développement limité (Analyse I, chapitre 9) donne

soit une diminution relative de $2h/R_T$, c'est-à-dire $0,31\%$ par $10$ km d'altitude.

Latitude. La Terre tourne: dans le référentiel terrestre, le poids apparent inclut la force centrifuge (chapitre 8), maximale à l'équateur où elle vaut ${\omega }^2{R}_T=0,034$ m/s², soit $0,35\%$ de $g$. De plus, la Terre est aplatie aux pôles (rayon équatorial plus grand de $21$ km), ce qui éloigne les points de l'équateur du centre. Les deux effets s'ajoutent: $g_{\text{poˆle}}-g_{\text{eˊquateur}}\approx 0,052$ m/s².

Masse inerte et masse grave

Dans $mg=G{M}_{T}m/R_T^2$, le symbole $m$ joue deux rôles distincts. À gauche, dans $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$, il mesure la résistance du corps à l'accélération: c'est la masse inerte. À droite, dans la loi (6.1), il mesure l'intensité avec laquelle le corps est attiré: c'est la masse grave, l'analogue de la charge électrique. Rien, en mécanique newtonienne, n'oblige ces deux grandeurs à être égales; l'expérience (Eötvös, 1889; expériences modernes à $10^{-15}$ près, dont le satellite MICROSCOPE en 2017) montre qu'elles sont proportionnelles pour tous les corps, si bien que l'on choisit les unités pour les rendre égales. Cette égalité, le principe d'équivalence, implique qu'un champ gravitationnel uniforme est indiscernable d'une accélération du référentiel: c'est le point de départ de la relativité générale d'Einstein (1915), dans laquelle la gravitation n'est plus une force mais une courbure de l'espace-temps.

Le champ gravitationnel

Définition et champ d'une sphère

Cette notion, familière en électrostatique, sépare le problème en deux: calculer le champ des sources, puis la force $\mathbf{F}=m\mathbf{g}$ sur un corps. Le résultat central concerne les corps sphériques, ce qui inclut à une excellente approximation les étoiles, les planètes et les lunes.

Le point 1 justifie (6.3) et toutes les formules de ce chapitre où la Terre ou le Soleil sont traités comme des points. Le point 2 a une conséquence remarquable à l'intérieur d'une planète.

La pesanteur à l'intérieur de la Terre

Supposons la Terre homogène, de masse volumique $\rho =M_T/(\frac{4}{3}\pi R_T^3)=5,51\cdot 10^3$ kg/m³. À la distance $r\le R_T$ du centre, la masse intérieure vaut $M(r)=\frac{4}{3}\pi r^3\rho =M_T(r/R_T{)}^3$, d'où

Le champ croît linéairement du centre (où il est nul, par symétrie) jusqu'à la surface, puis décroît en $1/r^2$: la figure 6.1 résume les deux régimes. La Terre réelle a un noyau de fer beaucoup plus dense que le manteau, si bien que $g$ reste en fait presque constant, voire augmente légèrement, jusqu'à $2900$ km de profondeur; mais le modèle homogène capture l'essentiel.

Énergie potentielle gravitationnelle

Travail de la force de gravitation

La force (6.1) est centrale et ne dépend que de $r$: elle est conservative (chapitre 4), et l'on peut lui associer une énergie potentielle. Calculons le travail de la force $\mathbf{F}=-\frac{GMm}{r^2}{\mathbf{e}}_r$ exercée par une masse $M$ fixe sur $m$ lorsque $m$ passe du point $A$ (distance $r_A$) au point $B$ (distance $r_B$) le long d'un chemin quelconque. Pour un déplacement élémentaire $\mathrm{d}\mathbf{l}$, on a ${\mathbf{e}}_r\cdot \mathrm{d}\mathbf{l}=\mathrm{d}r$ (la composante radiale du déplacement est la variation de la distance au centre), donc

Le travail ne dépend que de $r_A$ et $r_B$, non du chemin: la force est bien conservative, et $W_{A\to B}=-(U_B-U_A)$ avec le choix suivant.

Démonstration. D'après le calcul précédent, la fonction $U(r)=-GMm/r+C$ vérifie $W_{A\to B}=U(r_A)-U(r_B)$ pour tout chemin: c'est une énergie potentielle de la force. La constante $C$ est fixée par la convention $U\to 0$ lorsque $r\to \infty$, ce qui impose $C=0$. On vérifie que $F_r=-\mathrm{d}U/\mathrm{d}r=-GMm/r^2$, conformément à (6.1). $\square$

Le choix du zéro à l'infini est naturel: c'est là que la force s'annule. L'énergie potentielle négative exprime que le corps est lié: il faut lui fournir le travail $GMm/r$ pour l'arracher à l'attraction de $M$ et l'emmener infiniment loin.

Vitesse de libération

Quelle vitesse minimale faut-il communiquer à un projectile, depuis la surface d'un astre de masse $M$ et de rayon $R$, pour qu'il s'en éloigne sans jamais retomber (en négligeant l'atmosphère et la rotation de l'astre)?

Démonstration. Seule la gravitation travaille: l'énergie mécanique $E=\frac{1}{2}m{v}^2-GMm/r$ se conserve. Le projectile s'éloigne indéfiniment si et seulement si sa vitesse ne s'annule jamais, c'est-à-dire si $\frac{1}{2}m{v}^2=E+GMm/r$ reste positif pour tout $r$; comme $GMm/r\to 0$, la condition est $E\ge 0$. La vitesse minimale correspond à $E=0$, c'est-à-dire à une vitesse nulle à l'infini: $\frac{1}{2}m{v}_{\text{lib}}^2-GMm/R=0$, d'où (6.8). La direction n'intervient pas car l'énergie ne dépend que de la norme de la vitesse. $\square$

Le puits de potentiel et la classification des trajectoires

L'énergie mécanique $E=\frac{1}{2}m{v}^2+U(r)$ d'un corps dans le champ d'une masse $M$ se lit sur le graphe de $U(r)$ (figure 6.2), que l'on appelle le puits de potentiel. Comme $E_c=E-U(r)\ge 0$, le corps ne peut se trouver qu'aux distances où le graphe de $U$ est sous le niveau $E$.

• $E<0$: état lié. La distance ne peut dépasser $r_{\max }=-GMm/E$. Le corps reste prisonnier de $M$; si son moment cinétique n'est pas nul, il décrit une ellipse (première loi de Kepler), dont le cas particulier est le cercle. Les planètes, les lunes et les satellites artificiels sont dans ce cas.
• $E=0$: cas limite. Le corps atteint l'infini avec une vitesse nulle: trajectoire parabolique. C'est la définition même de la vitesse de libération.
• $E>0$: état libre. Le corps s'échappe avec la vitesse résiduelle $v_{\infty }=\sqrt{2E/m}$: trajectoire hyperbolique. Les sondes interplanétaires quittent la Terre sur une hyperbole, et les comètes non périodiques ou les objets interstellaires comme 1I/ʻOumuamua traversent le système solaire sur une hyperbole.

Cette classification, remarquable de simplicité, ne fait intervenir que le signe de $E$; la forme précise de la conique dépend aussi du moment cinétique. L'explorateur de la section suivante permet d'expérimenter ces trois régimes.

Orbites circulaires et satellites

Vitesse orbitale et période

Démonstration. Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète et vaut $v^2/r$ (chapitre 2). La seule force est la gravitation, dirigée vers le centre: la deuxième loi de Newton projetée sur ${\mathbf{e}}_r$ donne $m{v}^2/r=GMm/r^2$, d'où $v^2=GM/r$. La période est la durée d'un tour, $T=2\pi r/v=2\pi r\sqrt{r/(GM)}$. $\square$

Énergie d'un satellite

Démonstration. D'après (6.9), $E_c=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}mGM/r=GMm/(2r)$, et $U=-GMm/r$ par (6.7). La somme donne $E=-GMm/(2r)$. $\square$

Les relations $E=U/2=-E_c$ sont un cas particulier du théorème du viriel, valable en moyenne temporelle pour tout mouvement lié sous une force en $1/r^2$: $2⟨E_c⟩+⟨U⟩=0$. Elles ont une conséquence paradoxale: pour élever un satellite (augmenter $r$), il faut lui fournir de l'énergie ($E$ augmente, car $-GMm/2r$ croît avec $r$), et pourtant sa vitesse diminue. Inversement, le frottement atmosphérique qui freine un satellite bas lui fait perdre de l'énergie, donc perdre de l'altitude, et il accélère en spiralant vers le sol: la moitié de l'énergie potentielle libérée devient de l'énergie cinétique, l'autre moitié est dissipée.

Le transfert de Hohmann

Comment amener un satellite d'une orbite circulaire basse (LEO, low Earth orbit) de rayon $r_1$ à l'orbite géostationnaire de rayon $r_2$? La manœuvre la plus économe en carburant, proposée par Walter Hohmann en 1925, utilise une ellipse de transfert tangente aux deux cercles: son périgée est sur l'orbite basse, son apogée sur l'orbite haute, donc son demi-grand axe vaut $a=(r_1+r_2)/2$. Deux impulsions brèves du moteur suffisent: la première, au périgée, fait passer du cercle bas à l'ellipse; la seconde, à l'apogée, de l'ellipse au cercle haut. Pour calculer les vitesses sur l'ellipse, nous utilisons l'équation de l'énergie (dite vis-viva), que nous admettons ici et qui sera démontrée avec les lois de Kepler: sur une orbite elliptique de demi-grand axe $a$, l'énergie mécanique vaut $E=-GMm/(2a)$ (même forme que (6.10), avec $a$ au lieu de $r$), de sorte que

Le «canon de Newton» de l'explorateur reproduit une figure célèbre des Principia: un boulet tiré horizontalement du sommet d'une montagne retombe d'autant plus loin qu'il est rapide, jusqu'à ce que, la courbure de sa trajectoire égalant celle de la Terre, il ne retombe plus. Faites varier la vitesse à altitude fixée: en dessous de la vitesse circulaire, le point de lancement est l'apogée d'une ellipse dont le périgée se trouve sous la surface (le projectile retombe) ou au-dessus (orbite elliptique basse); à la vitesse circulaire, l'orbite est un cercle; au-delà, le point de lancement devient le périgée et l'apogée s'éloigne, jusqu'à partir à l'infini lorsque $v$ atteint $\sqrt{2}$ fois la vitesse circulaire, c'est-à-dire la vitesse de libération à cette altitude.

Les lois de Kepler

Énoncés

Newton a montré que ces trois lois découlent de la loi (6.1) et de la deuxième loi du mouvement, ce qui constitue la première grande vérification de sa mécanique. Nous démontrons ici la deuxième loi en toute généralité et la troisième pour les orbites circulaires; la première, qui demande de résoudre l'équation du mouvement en coordonnées polaires (formule de Binet), est admise. Rappelons le vocabulaire de l'ellipse (figure 6.3): demi-grand axe $a$, demi-petit axe $b$, distance du centre au foyer $c=ea$, où $0\le e<1$ est l'excentricité ($e=0$: cercle). Le point de l'orbite le plus proche du Soleil est le périhélie, à la distance $r_p=a(1-e)$; le plus éloigné est l'aphélie, à $r_a=a(1+e)$ (pour la Terre, on dit périgée et apogée). L'orbite terrestre a $e=0,0167$: la distance au Soleil varie de $147,1$ à $152,1$ millions de kilomètres, et c'est au début de janvier que la Terre en est le plus proche; les saisons viennent de l'inclinaison de l'axe, non de la distance.

La deuxième loi: conservation du moment cinétique

Démonstration. Le moment cinétique par rapport à $O$ (chapitre 9) vérifie $\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{r}\wedge \mathbf{F}$, car $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\wedge m\mathbf{v})=\mathbf{v}\wedge m\mathbf{v}+\mathbf{r}\wedge m\mathbf{a}=0+\mathbf{r}\wedge \mathbf{F}$. Pour une force centrale, $\mathbf{F}$ est colinéaire à $\mathbf{r}$, donc $\mathbf{r}\wedge \mathbf{F}=0$ et $\mathbf{L}$ est un vecteur constant. Comme $\mathbf{r}$ est à chaque instant orthogonal à $\mathbf{L}$, le mouvement se fait dans le plan passant par $O$ et perpendiculaire à $\mathbf{L}$. Repérons-y la position par les coordonnées polaires $(r,\theta )$; la vitesse s'écrit $\mathbf{v}=\dot{r}{\mathbf{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\theta }$ (chapitre 2), d'où $\mathbf{L}=mr{\mathbf{e}}_r\wedge (\dot{r}{\mathbf{e}}_r+r\dot{\theta }{\mathbf{e}}_{\theta })=m{r}^2\dot{\theta }{\mathbf{e}}_z$, soit $L=m{r}^2|\dot{\theta }|$. Pendant $\mathrm{d}t$, le rayon vecteur tourne de $\mathrm{d}\theta$ et balaie un triangle infinitésimal d'aire $\mathrm{d}A=\frac{1}{2}r\cdot r\mathrm{d}\theta$ (base $r\mathrm{d}\theta$, hauteur $r$). Ainsi $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}{r}^2\dot{\theta }=\frac{L}{2m}$, constante. $\square$

La loi des aires n'utilise donc que le caractère central de la force, pas sa dépendance en $1/r^2$. Deux conséquences immédiates: aux points où la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur (périhélie et aphélie), $L=mrv$, donc $r_p{v}_p=r_a{v}_a$ et

et l'aire totale de l'ellipse, $\pi ab$, est balayée en une période: $\pi ab=\frac{L}{2m}T$, relation qui servira à démontrer la troisième loi dans le cas général (exercice 6.2).

La troisième loi

Démonstration. C'est l'équation (6.9) élevée au carré: $T^2=4{\pi }^2{a}^3/(GM)$. Newton a fait le raisonnement inverse: partant de la loi empirique $T^2\propto a^3$ et de l'accélération centripète $4{\pi }^{2}a/T^2$, il en déduit que l'accélération varie comme $a/T^2\propto a/a^3=1/a^2$, ce qui impose la loi en $1/r^2$. $\square$

La troisième loi est une balance cosmique: mesurer la période et le rayon de l'orbite d'un corps quelconque autour d'un astre donne la masse de l'astre, $M=4{\pi }^2{a}^3/(G{T}^2)$, sans jamais s'en approcher.

Les marées

La Lune n'attire pas la Terre comme un point: elle attire davantage la face qui lui est tournée que le centre, et davantage le centre que la face opposée. Ce gradient du champ est la cause des marées. Soit $d$ la distance Terre–Lune et $M_L$ la masse de la Lune. Le champ lunaire au centre de la Terre vaut $G{M}_L/d^2$; sur la face proche, à la distance $d-R_T$, il vaut $G{M}_L/(d-R_T{)}^2$. La différence, rapportée à l'unité de masse, est le champ de marée:

au premier ordre en $R_T/d=1/60$ (développement $(1-x{)}^{-2}\approx 1+2x$). Sur la face opposée, le même calcul donne $-2G{M}_L{R}_T/d^3$: là, la Lune attire moins que le centre, et par rapport au centre de la Terre (qui est lui-même en chute libre vers la Lune), l'eau y est repoussée. C'est pourquoi il y a deux bourrelets de marée, aux antipodes l'un de l'autre, et donc deux marées hautes par jour (toutes les $12$ h $25$ min, la Lune avançant sur son orbite). Numériquement, $g_{\text{mareˊe}}=2\times 6,674\cdot 10^{-11}\times 7,342\cdot 10^{22}\times 6,371\cdot 10^6/(3,844\cdot 10^8{)}^3=1,10\cdot 10^{-6}$ m/s², soit $10^{-7}g$: minuscule, mais agissant sur des océans entiers, avec des effets de résonance dans les baies (jusqu'à $15$ m au Mont-Saint-Michel). Le Soleil, malgré sa masse $2,7\cdot 10^7$ fois plus grande, est $390$ fois plus loin; comme la force de marée varie en $1/d^3$ et non en $1/d^2$, son effet vaut $5,05\cdot 10^{-7}$ m/s², $2,2$ fois plus faible que celui de la Lune. Marées de vive-eau (Lune et Soleil alignés, pleine ou nouvelle lune) et de morte-eau (en quadrature) résultent de la superposition des deux. Les mêmes forces de marée déforment la Terre solide (de $30$ cm environ), ralentissent lentement sa rotation, ont synchronisé la rotation de la Lune sur sa révolution (elle nous montre toujours la même face) et déchirent les corps qui s'approchent trop d'une planète (limite de Roche).

Synthèse

• Loi de la gravitation (6.1): $F=G{m}_1{m}_2/r^2$, attractive, centrale, universelle, avec $G=6,674\cdot 10^{-11}$ SI; le principe de superposition s'applique. Le test de la pomme et de la Lune ($60,3^2\approx 3600$) valide la décroissance en $1/r^2$.
• Pesanteur: $g=G{M}_T/R_T^2=9,82$ m/s²; elle diminue de $2h/R_T$ en valeur relative avec l'altitude et de $0,5\%$ des pôles à l'équateur. Masse inerte $=$ masse grave (principe d'équivalence).
• Théorème de Newton: une sphère attire comme un point placé en son centre; à l'intérieur, seule la masse intérieure compte, d'où $g(r)=g_{0}r/R_T$ dans une Terre homogène et le tunnel-oscillateur de période $2\pi \sqrt{R_T/g_0}=84,4$ min.
• Énergie potentielle $U=-GMm/r$ (zéro à l'infini), qui redonne $mgh$ près du sol. Vitesse de libération $v_{\text{lib}}=\sqrt{2GM/R}=11,2$ km/s pour la Terre. Classification par le signe de $E$: ellipse ($E<0$), parabole ($E=0$), hyperbole ($E>0$).
• Orbites circulaires: $v=\sqrt{GM/r}$, $T=2\pi \sqrt{r^3/(GM)}$, $E=-GMm/(2r)=U/2=-E_c$; monter en orbite coûte de l'énergie mais ralentit le satellite. ISS: $7,67$ km/s, $92$ min; géostationnaire: $35790$ km d'altitude. Transfert de Hohmann: deux impulsions tangentielles, calculées avec $v^2=GM(2/r-1/a)$.
• Lois de Kepler: ellipses avec le Soleil au foyer; loi des aires (conservation du moment cinétique, $r_p{v}_p=r_a{v}_a$); $T^2/a^3=4{\pi }^2/(GM)$, qui permet de peser le Soleil ($1,99\cdot 10^{30}$ kg) et les planètes. Marées: gradient du champ, force $\propto 1/d^3$, deux marées par jour.

Exercices

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