Mécanique des fluides

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• définir la masse volumique et la pression, convertir entre Pa, bar, atm et mmHg, et calculer la force pressante sur une paroi;
• établir et appliquer l'équation fondamentale de la statique des fluides, la loi de l'hydrostatique et la loi de l'atmosphère isotherme;
• utiliser le principe de Pascal (presse hydraulique), lire un manomètre et calculer la résultante des pressions sur un barrage et son point d'application;
• énoncer, démontrer et appliquer le théorème d'Archimède aux corps immergés et flottants;
• appliquer l'équation de continuité et le théorème de Bernoulli aux écoulements parfaits: vidange, Venturi, Pitot, jets, conduites forcées;
• décrire les effets de la viscosité (loi de Poiseuille, nombre de Reynolds, traînée, vitesse limite) et de la tension superficielle.

Fluides et pression

États de la matière et masse volumique

Un solide conserve sa forme: pour le déformer, il faut lui appliquer des contraintes de cisaillement, auxquelles il résiste. Un fluide — liquide ou gaz — ne résiste pas à un cisaillement maintenu: il s'écoule et épouse la forme de son récipient. Les liquides sont pratiquement incompressibles (il faut $220$ bar pour réduire de $1\%$ le volume de l'eau), tandis que les gaz sont compressibles et occupent tout le volume disponible. Cette distinction fixera les domaines de validité de nos lois.

L'air est environ $800$ fois moins dense que l'eau: un mètre cube d'air pèse $1,2$ kg, ce qui n'est pas négligeable à l'échelle d'une salle ($300{\text{m}}^3$, soit $360$ kg d'air) ou d'une montgolfière.

Pression

Un fluide au repos exerce sur toute surface avec laquelle il est en contact — paroi, corps immergé ou surface fictive tracée en son sein — une force normale à cette surface et dirigée vers elle. C'est la force pressante; sa valeur par unité d'aire est la pression.

L'isotropie se démontre en écrivant l'équilibre d'un petit prisme de fluide: les forces pressantes sur ses faces ne peuvent s'équilibrer, quelle que soit l'inclinaison de la face oblique, que si la pression est la même sur toutes les faces (le poids du prisme, proportionnel à son volume, devient négligeable devant les forces de surface lorsque le prisme est petit). Un fluide au repos ne transmet donc que des forces normales — c'est précisément l'absence de résistance au cisaillement qui le définit.

Statique des fluides

L'équation fondamentale

Considérons un fluide au repos dans le champ de pesanteur, l'axe $z$ vertical ascendant. Nous voulons savoir comment la pression varie d'un point à un autre.

Démonstration. Isolons par la pensée un petit cylindre de fluide d'axe vertical, de section $A$ et de hauteur $\mathrm{d}z$, entre les altitudes $z$ et $z+\mathrm{d}z$. Il est soumis à son poids $-\rho gA\mathrm{d}z{\mathbf{e}}_z$, à la force pressante du fluide situé au-dessous, $+p(z)A{\mathbf{e}}_z$, à celle du fluide situé au-dessus, $-p(z+\mathrm{d}z)A{\mathbf{e}}_z$, et aux forces pressantes latérales, horizontales, qui se compensent par symétrie. Le cylindre étant au repos, la somme des forces est nulle:

ce qui donne (11.1) à la limite $\mathrm{d}z\to 0$. Pour un cylindre horizontal, le poids n'a pas de composante le long de l'axe et le même raisonnement donne $p(x+\mathrm{d}x)=p(x)$: la pression est constante sur une horizontale. $\square$

Démonstration. Si $\rho$ est constante, (11.1) s'intègre immédiatement: $p(z)=-\rho gz+C$. Entre la surface libre (altitude $z_0$, pression $p_0$) et un point d'altitude $z=z_0-h$, on obtient $p-p_0=-\rho g(z-z_0)=\rho gh$. $\square$

Deux conséquences de (11.2) surprennent au premier abord. Le paradoxe hydrostatique: la pression au fond d'un récipient ne dépend que de la hauteur d'eau, pas de sa quantité. Un tube fin de $10$ m rempli d'eau exerce sur son fond la même pression ($98$ kPa) qu'un lac de $10$ m de profondeur — c'est l'expérience du «tonneau de Pascal», où quelques litres versés dans un long tube fixé sur un tonneau plein suffisent à le faire éclater. Les vases communicants: dans des récipients reliés par leur base et contenant un même liquide au repos, les surfaces libres sont toutes à la même altitude, puisqu'elles sont toutes à la pression $p_0$ et qu'une isobare est horizontale. C'est le principe du niveau à eau des maçons et de l'alimentation des fontaines par un réservoir en hauteur. Si les liquides sont différents (eau et mercure dans un tube en U), les hauteurs des colonnes mesurées depuis la surface de séparation sont inversement proportionnelles aux masses volumiques: ${\rho }_1{h}_1={\rho }_2{h}_2$.

L'atmosphère isotherme

Pour un gaz, $\rho$ dépend de la pression et (11.2) n'est plus valable sur de grandes hauteurs. L'équation des gaz parfaits, $pV=nRT$, s'écrit avec la masse molaire $M$ ($0,029$ kg/mol pour l'air): $\rho =\frac{pM}{RT}$. Si l'on suppose la température uniforme, (11.1) devient une équation différentielle linéaire (chapitre 12 d'Analyse I):

Démonstration. L'équation $p^{\prime }=-p/H$ a pour solutions $p=C{\mathrm{e}}^{-z/H}$; la condition $p(0)=p_0$ fixe $C=p_0$. $\square$

L'échelle de hauteur $H$ vaut $\frac{8,314\cdot 273}{0,029\cdot 9,81}=8,0$ km à $0°\text{C}$ et $8,4$ km à $15°\text{C}$: la pression est divisée par $\mathrm{e}\approx 2,72$ tous les $8$ km, et par $2$ tous les $5,5$ km. Au Jungfraujoch ($z=3571$ m), (11.3) donne $p=1013\cdot {\mathrm{e}}^{-3571/8000}=648$ hPa avec $H=8,0$ km, en excellent accord avec la valeur mesurée. L'atmosphère réelle n'est pas isotherme (la température baisse d'environ $6,5°\text{C}$ par km dans la troposphère), mais le modèle exponentiel est une bonne approximation jusqu'à une dizaine de kilomètres. Notez que la masse volumique décroît selon la même loi: à $8$ km, l'air est $2,7$ fois moins dense, ce qui explique la baisse de portance des avions et de puissance des moteurs en altitude.

Principe de Pascal et presse hydraulique

Démonstration. D'après (11.2), la pression en un point quelconque du liquide s'écrit $p=p_A+\rho gh$, où $p_A$ est la pression en un point de référence $A$ et $h$ la différence d'altitude. Si l'on augmente $p_A$ de $\Delta p$ (par exemple en poussant un piston), le terme $\rho gh$ ne change pas, puisque ni $\rho$ ni la géométrie ne changent pour un liquide incompressible; la pression augmente donc de la même quantité $\Delta p$ partout. $\square$

Le principe de Pascal est à la base de toute l'hydraulique: freins d'une voiture, cric, presse, vérins d'une pelleteuse. Une presse hydraulique est constituée de deux cylindres de sections $A_1$ et $A_2$ reliés par un liquide. Une force $F_1$ sur le petit piston crée la surpression $\Delta p=F_1/A_1$, qui se transmet au grand piston et y exerce $F_2=\Delta p{A}_2$:

La force est multipliée par le rapport des sections, mais pas le travail: lorsque le petit piston descend de $d_1$, il déplace le volume $A_1{d}_1$, qui fait monter le grand piston de $d_2=d_1{A}_1/A_2$; on vérifie que $F_1{d}_1=F_2{d}_2$, conformément au chapitre 4.

Manomètres et baromètre

Un manomètre à tube en U contient un liquide de masse volumique ${\rho }_m$ (eau, huile ou mercure); l'une de ses branches est reliée à l'enceinte dont on mesure la pression $p$, l'autre est ouverte à l'atmosphère. Les deux surfaces libres étant à des altitudes différant de $h$, la loi de l'hydrostatique appliquée dans le liquide donne $p-p_0={\rho }_{m}gh$: la dénivellation mesure la pression relative. Avec du mercure, $1$ mm de dénivellation correspond à $133$ Pa, avec de l'eau à $9,81$ Pa: on choisit le liquide selon la sensibilité voulue.

Le baromètre de Torricelli (1643) mesure la pression absolue de l'atmosphère. Un tube de verre rempli de mercure est retourné sur une cuve de mercure: la colonne descend jusqu'à ce que sa hauteur $h$ équilibre la pression atmosphérique, laissant du vide (en fait de la vapeur de mercure à pression négligeable) au sommet. La loi de l'hydrostatique entre le sommet ($p\approx 0$) et la surface de la cuve ($p_0$) donne $p_0={\rho }_{\text{Hg}}gh$, soit

C'est l'origine de l'unité mmHg, encore utilisée en médecine pour la pression artérielle ($120/80$ mmHg, c'est-à-dire $16,0/10,7$ kPa au-dessus de la pression atmosphérique). Avec de l'eau, il faudrait un tube de $p_0/(\rho g)=10,3$ m: c'est aussi la hauteur maximale à laquelle une pompe aspirante peut faire monter l'eau, ce que Galilée avait constaté sans l'expliquer.

Force sur un barrage

La pression variant avec la profondeur, la force sur une paroi verticale de grande hauteur n'est pas simplement $pA$: il faut intégrer.

Démonstration. Repérons la profondeur $h$ depuis la surface libre. Sur la bande horizontale de largeur $b$ et de hauteur $\mathrm{d}h$ située à la profondeur $h$, la surpression $\rho gh$ exerce la force élémentaire $\mathrm{d}F=\rho ghb\mathrm{d}h$, horizontale. La résultante vaut

Le point d'application $h_c$ est tel que le moment de la résultante par rapport à la surface libre égale la somme des moments élémentaires (chapitre 10, équilibre statique):

soit $H/3$ au-dessus du pied. La résultante passe par le centre de gravité du triangle des pressions, ce qui est intuitif: la pression croît linéairement avec la profondeur. $\square$

Poussée d'Archimède

Le théorème

Plongé dans un fluide, un corps reçoit sur toute sa surface des forces pressantes. Comme la pression est plus grande en bas qu'en haut, leur résultante n'est pas nulle: elle est dirigée vers le haut.

Démonstration. Principe de solidification. Remplaçons par la pensée le corps par du fluide identique à celui qui l'entoure, occupant exactement le volume $V_{\text{imm}}$. Ce fluide est au repos: la résultante des forces pressantes qu'il reçoit du fluide environnant équilibre exactement son poids ${\rho }_f{V}_{\text{imm}}g$, et s'applique en son centre de gravité. Or les forces pressantes ne dépendent que du champ de pression $p(z)$ et de la géométrie de la surface, et non de ce qui se trouve à l'intérieur: le corps réel reçoit donc la même résultante, dirigée vers le haut, de valeur ${\rho }_f{V}_{\text{imm}}g$.

Vérification directe sur un cube. Pour un cube d'arête $a$ dont la face supérieure est à la profondeur $h$, les forces sur les faces latérales se compensent deux à deux (même profondeur, sens opposés). La face supérieure reçoit vers le bas $F_{\text{haut}}=(p_0+{\rho }_{f}gh)a^2$ et la face inférieure vers le haut $F_{\text{bas}}=(p_0+{\rho }_{f}g(h+a))a^2$. La résultante vaut $F_{\text{bas}}-F_{\text{haut}}={\rho }_{f}g{a}^3={\rho }_{f}gV$, vers le haut, indépendamment de $p_0$ et de $h$. $\square$

Un corps entièrement immergé de masse volumique ${\rho }_s$ est soumis à son poids ${\rho }_{s}Vg$ et à la poussée ${\rho }_{f}Vg$: il coule si ${\rho }_s>{\rho }_f$, monte si ${\rho }_s<{\rho }_f$, et reste en équilibre indifférent si ${\rho }_s={\rho }_f$. La poussée existe aussi dans l'air: un être humain de $70$ L déplace $84$ g d'air et reçoit une poussée de $0,82$ N, négligeable devant son poids — mais pas pour un ballon.

Flottaison

Démonstration. À l'équilibre, la poussée compense le poids: ${\rho }_f{V}_{\text{imm}}g={\rho }_{s}Vg$, d'où le résultat. $\square$

Pour un iceberg (${\rho }_s=917{\text{kg/m}}^3$) dans l'eau de mer (${\rho }_f=1025{\text{kg/m}}^3$), $V_{\text{imm}}/V=0,895$: $89,5\%$ du volume est sous l'eau et seuls $10,5\%$ émergent, d'où l'expression «la partie visible de l'iceberg». Un navire en acier flotte parce que sa coque enferme de l'air: sa masse volumique moyenne est inférieure à celle de l'eau. Quand on le charge, il s'enfonce jusqu'à déplacer un volume d'eau supplémentaire dont le poids égale la charge — c'est ce que mesure le tirant d'eau, et ce qu'affiche la ligne de flottaison réglementaire.

Stabilité, ballons et sous-marins

Stabilité d'un navire. Le poids s'applique au centre de gravité $G$ du navire, la poussée au centre de poussée $C$, centre de gravité du volume immergé. Quand le navire gîte, la forme du volume immergé change et $C$ se déplace; la verticale passant par le nouveau $C$ coupe l'axe du navire en un point $M$ appelé métacentre. Si $M$ est au-dessus de $G$, le couple poids–poussée redresse le navire: l'équilibre est stable. Un chargement trop haut élève $G$ au-dessus de $M$ et rend le navire instable — c'est la cause de nombreux chavirements. C'est un cas particulier de la stabilité des équilibres du chapitre 10.

Ballons. Un ballon reçoit de l'air ambiant une poussée ${\rho }_{\text{air}}Vg$; il s'élève si cette poussée dépasse le poids total (gaz intérieur, enveloppe, nacelle, charge). Un ballon-sonde gonflé à l'hélium (${\rho }_{\text{He}}=0,166{\text{kg/m}}^3$ au sol) a une force portante nette de $(1,20-0,166)g\approx 10,1$ N par mètre cube; comme l'air se raréfie avec l'altitude selon (11.3), le ballon se dilate en montant et éclate vers $30$ km.

Sous-marins. Un sous-marin règle sa flottabilité en admettant de l'eau dans ses ballasts (il devient plus lourd que l'eau déplacée et plonge) ou en la chassant à l'air comprimé (il remonte). En plongée, il vise l'équilibre indifférent, ${\rho }_{\text{moyenne}}={\rho }_{\text{eau}}$, puis se dirige avec ses barres de plongée. Les poissons font de même avec leur vessie natatoire, et les plongeurs avec leur gilet stabilisateur.

Dynamique des fluides parfaits

Description d'un écoulement

Décrire le mouvement d'un fluide en suivant chacune de ses particules (description lagrangienne, celle des chapitres précédents) est impraticable. Euler propose de décrire au contraire, en chaque point $\mathbf{r}$ de l'espace et à chaque instant $t$, la vitesse $\mathbf{v}(\mathbf{r},t)$ de la particule qui s'y trouve: c'est le champ des vitesses, et la description eulérienne.

Nous nous limitons dans cette section aux fluides parfaits: sans viscosité (aucun frottement interne ni sur les parois) et incompressibles. C'est une bonne approximation pour l'eau et l'air à vitesse modérée, loin des parois; la section suivante en discutera les limites.

Débit et équation de continuité

Démonstration. Pendant $\mathrm{d}t$, le volume de fluide qui entre par la section $A_1$ est celui d'un cylindre de base $A_1$ et de longueur $v_1\mathrm{d}t$, soit $A_1{v}_1\mathrm{d}t$; il en sort $A_2{v}_2\mathrm{d}t$ par $A_2$, et rien ne traverse la surface latérale. Le fluide étant incompressible et l'écoulement stationnaire, la masse (donc le volume) contenue entre les deux sections ne change pas: le volume entré égale le volume sorti, $A_1{v}_1=A_2{v}_2$. Pour un fluide compressible, le même bilan donne ${\rho }_1{A}_1{v}_1={\rho }_2{A}_2{v}_2$ (conservation du débit massique). $\square$

Ce résultat explique pourquoi le jet d'un robinet s'amincit en tombant (il accélère), pourquoi l'on pince un tuyau d'arrosage pour arroser plus loin, et pourquoi le Rhône coule lentement dans la plaine et vite dans les gorges.

Le théorème de Bernoulli

Démonstration. Appliquons le théorème de l'énergie cinétique (chapitre 4) à la portion de fluide contenue, à l'instant $t$, dans un tube de courant fin entre les sections $A_1$ (altitude $z_1$, pression $p_1$, vitesse $v_1$) et $A_2$ ($z_2$, $p_2$, $v_2$). Pendant $\mathrm{d}t$, cette portion avance: elle abandonne à l'entrée un petit cylindre de volume $\mathrm{d}V=A_1{v}_1\mathrm{d}t$ et occupe à la sortie un cylindre de même volume $A_2{v}_2\mathrm{d}t=\mathrm{d}V$ (continuité). L'écoulement étant stationnaire, tout ce qui se trouve entre les deux est inchangé; la variation d'énergie mécanique du système se réduit donc à celle du fluide transféré de l'entrée à la sortie, de masse $\mathrm{d}m=\rho \mathrm{d}V$:

Les forces non conservatives qui travaillent sont les forces pressantes aux extrémités (le fluide étant parfait, il n'y a ni frottement sur la paroi latérale, ni travail des forces pressantes latérales, qui sont perpendiculaires au déplacement). À l'entrée, le fluide amont pousse la section $A_1$ sur $v_1\mathrm{d}t$ dans le sens du mouvement: $W_1=p_1{A}_1{v}_1\mathrm{d}t=p_1\mathrm{d}V$. À la sortie, le fluide aval résiste: $W_2=-p_2\mathrm{d}V$. Le théorème de l'énergie mécanique, $\Delta E_c+\Delta E_p=W_1+W_2$, s'écrit

et, après division par $\mathrm{d}V$, $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{z}_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{z}_2$. Les sections étant arbitraires sur le tube, que l'on peut rendre aussi fin qu'une ligne de courant, on obtient (11.9). $\square$

Bernoulli exprime la conservation de l'énergie par unité de volume. Sa conséquence la plus contre-intuitive: là où le fluide va vite, la pression est basse. Un fluide n'accélère que s'il est poussé, donc si la pression derrière lui est plus grande que devant.

Vidange d'un réservoir: formule de Torricelli

Démonstration. Suivons une ligne de courant de la surface libre (point 1) à l'orifice (point 2). En 1 et en 2, le liquide est en contact avec l'atmosphère: $p_1=p_2=p_0$ (dans un jet libre, la pression est celle de l'air ambiant). L'orifice étant petit devant la section du réservoir, la continuité donne $v_1=v_2{A}_2/A_1\approx 0$: la surface descend très lentement, ce qui autorise aussi à traiter l'écoulement comme stationnaire à chaque instant. Bernoulli avec $z_1-z_2=h$: $p_0+0+\rho gh=p_0+\frac{1}{2}\rho v_2^2$, d'où $v_2=\sqrt{2gh}$. $\square$

Le jet sortant d'un trou percé à $3$ m sous la surface a une vitesse de $\sqrt{2\cdot 9,81\cdot 3}=7,67$ m/s, quelle que soit la nature du liquide. Le débit vaut $Q=a\sqrt{2gh}$, où $a$ est la section contractée du jet, un peu plus petite que celle de l'orifice (coefficient de contraction $\approx 0,6$ pour un orifice à bord vif). Comme le débit décroît avec le niveau, la vidange ralentit: le temps de vidange complet d'un réservoir de section $A$ vaut $T=\frac{A}{a}\sqrt{\frac{2h_0}{g}}$, soit deux fois le temps que mettrait le débit initial à vider le volume $A{h}_0$ (exercice 11.5). Une cuve de $2{\text{m}}^2$ et $1,5$ m d'eau percée d'un orifice de $10{\text{cm}}^2$ se vide en $T=2000\cdot \sqrt{3/9,81}=1106$ s, soit $18$ min.

Tube de Venturi et débitmètre

Un tube de Venturi est une conduite qui se rétrécit puis s'élargit progressivement. Dans le col, la continuité impose $v_2=v_1{A}_1/A_2>v_1$, et Bernoulli (conduite horizontale) donne $p_2=p_1-\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)<p_1$: la pression chute dans le rétrécissement, contrairement à l'intuition du «fluide comprimé».

Démonstration. Avec $v_1=Q/A_1$ et $v_2=Q/A_2$, Bernoulli donne $\Delta p=\frac{1}{2}\rho (v_2^2-v_1^2)=\frac{1}{2}\rho \frac{Q^2}{A_2^2}\left(1-\frac{A_2^2}{A_1^2}\right)$, que l'on résout en $Q$. $\square$

Si la pression dans le col descend au-dessous de la pression de vapeur du liquide ($2,3$ kPa pour l'eau à $20°\text{C}$), le liquide se vaporise localement: des bulles apparaissent, puis implosent violemment quand la pression remonte. Cette cavitation érode les hélices, les turbines et les vannes; on la contrôle en limitant les vitesses ou en augmentant la pression amont, comme le montre l'explorateur.

Tube de Pitot

Un tube de Pitot mesure la vitesse d'un écoulement, ou celle d'un avion par rapport à l'air. Il comporte une prise frontale, où le fluide est arrêté (point d'arrêt, $v=0$), et une prise latérale, où le fluide passe à la vitesse $v$ non perturbée, à la pression statique $p$. Bernoulli le long de la ligne de courant qui aboutit au point d'arrêt donne la pression d'arrêt $p_t=p+\frac{1}{2}\rho v^2$, d'où

Effet Venturi et portance

La baisse de pression dans les zones de grande vitesse — l'effet Venturi — explique beaucoup de phénomènes: le vaporisateur de parfum et le carburateur (l'air rapide aspire le liquide), le tirage d'une cheminée par le vent, l'attraction de deux navires qui se croisent de près, l'arrachement des toits par un ouragan (l'air rapide au-dessus du toit crée une dépression, l'air immobile de la maison pousse de l'intérieur).

La portance d'une aile relève du même principe, à condition de la décrire correctement. Une aile inclinée et cambrée dévie l'air vers le bas; par la troisième loi de Newton, l'air pousse l'aile vers le haut. Du point de vue des pressions, l'écoulement suit la courbure de l'extrados, l'air y accélère et la pression y diminue, tandis qu'elle augmente à l'intrados: la différence de pression intégrée sur la surface de l'aile donne la portance $F_L=\frac{1}{2}{C}_L\rho v^{2}A$, où le coefficient $C_L$ dépend de la forme et de l'angle d'attaque. Un A320 de $70$ t en croisière à $250$ m/s dans de l'air à $0,41{\text{kg/m}}^3$ a besoin, sur ses $122{\text{m}}^2$ d'aile, d'une différence de pression moyenne de $70000\cdot 9,81/122=5,6$ kPa, soit $0,44$ fois la pression dynamique $12,8$ kPa: $C_L\approx 0,44$.

Jets et conduites forcées

Une conduite forcée amène l'eau d'un lac de barrage à une turbine située très en contrebas. À débit nul (vanne fermée), la pression au bas de la conduite est la pression hydrostatique $\rho gH$; en fonctionnement, Bernoulli entre la surface du lac et la sortie de la conduite montre que l'énergie potentielle $\rho gH$ par unité de volume se transforme en énergie cinétique du jet ($\frac{1}{2}\rho v^2$, turbine Pelton) ou en pression à l'entrée de la turbine (turbine Francis). La puissance hydraulique disponible est le produit du débit par la charge:

À Bieudron (Valais), l'eau de la Grande Dixence tombe de $H=1883$ m, la plus grande chute exploitée au monde: la pression au bas de la conduite atteint $\rho gH=18,5$ MPa, soit $185$ bar, la vitesse idéale du jet $\sqrt{2gH}=192$ m/s, et pour le débit maximal de $75{\text{m}}^3/\text{s}$ la puissance hydraulique vaut $1000\cdot 9,81\cdot 75\cdot 1883=1,39$ GW, dont les trois turbines Pelton et leurs alternateurs convertissent $1,27$ GW en électricité, un rendement de $92\%$. Le problème guidé en fin de chapitre reprend ce calcul.

Fluides réels

Viscosité

Un fluide réel résiste au cisaillement tant qu'il est en mouvement: c'est la viscosité. Faisons glisser une plaque à la vitesse $v_0$ parallèlement à une plaque fixe, le fluide remplissant l'espace $e$ entre elles. Le fluide adhère aux deux plaques (condition de non-glissement): sa vitesse passe linéairement de $0$ à $v_0$, et il faut exercer sur la plaque mobile une force tangentielle pour entretenir le mouvement.

La viscosité des liquides diminue fortement avec la température (l'huile de moteur est $10$ fois plus fluide à $100°\text{C}$ qu'à $20°\text{C}$), celle des gaz augmente légèrement. Le sang, le ketchup ou les peintures ne sont pas newtoniens: leur viscosité apparente dépend du cisaillement.

Écoulement de Poiseuille

Dans une conduite cylindrique de rayon $R$ et de longueur $L$, un fluide visqueux en régime laminaire s'écoule avec un profil de vitesse parabolique: nulle à la paroi, maximale sur l'axe. Le calcul (équilibre entre la différence de pression et le cisaillement visqueux sur un cylindre de fluide coaxial) conduit à la loi de Poiseuille:

où $\Delta p$ est la chute de pression entre les extrémités. Le débit est proportionnel à la chute de pression, comme le courant à la tension dans la loi d'Ohm — on parle de résistance hydraulique $R_h=8\eta L/(\pi R^4)$ — et surtout à la quatrième puissance du rayon. Doubler le rayon multiplie le débit par $16$; une réduction de rayon de $20\%$ le réduit de $59\%$ ($0,8^4=0,41$). En hydraulique, c'est pourquoi les conduites légèrement sous-dimensionnées demandent des pompes beaucoup plus puissantes; en physiologie, c'est pourquoi un léger rétrécissement d'une artère (athérosclérose) réduit tant le débit sanguin, et pourquoi le corps régule la circulation en faisant varier de quelques pour cent le calibre des artérioles.

Nombre de Reynolds et turbulence

L'écoulement de Poiseuille, ordonné en couches parallèles, est dit laminaire. Au-delà d'une certaine vitesse, il devient turbulent: la vitesse fluctue de façon chaotique, des tourbillons apparaissent, et la dissipation augmente considérablement. Reynolds (1883) a montré que la transition est gouvernée par un seul paramètre sans dimension, rapport entre les forces d'inertie ($\sim \rho v^2/D$) et les forces visqueuses ($\sim \eta v/D^2$):

où $D$ est une dimension caractéristique (diamètre de la conduite ou de l'obstacle). L'analyse dimensionnelle du chapitre 1 montre que deux écoulements géométriquement semblables de même nombre de Reynolds sont dynamiquement semblables: c'est le principe des essais sur maquette en soufflerie ou en bassin. En conduite, l'écoulement est laminaire pour $\mathrm{Re}<2300$ environ et turbulent au-delà de $4000$. De l'eau à $1$ m/s dans un tuyau de $2$ cm donne $\mathrm{Re}=1000\cdot 1\cdot 0,02/10^{-3}=20000$: la plupart des écoulements techniques sont turbulents, et la loi de Poiseuille ne s'y applique pas. Le sang dans les capillaires ($\mathrm{Re}\approx 10^{-3}$), le miel qui coule, ou une bactérie qui nage sont au contraire dominés par la viscosité.

Pertes de charge. Dans une conduite réelle, la charge de Bernoulli décroît le long de l'écoulement: on écrit $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g{z}_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{z}_2+\Delta p_{\text{pertes}}$. Pour une conduite de longueur $L$ et de diamètre $D$, la formule de Darcy–Weisbach donne $\Delta p_{\text{pertes}}=f\frac{L}{D}\frac{\rho v^2}{2}$, où le coefficient $f$ vaut $64/\mathrm{Re}$ en laminaire (ce qui redonne Poiseuille) et dépend de $\mathrm{Re}$ et de la rugosité de la paroi en turbulent ($f\approx 0,02$ typiquement). Les coudes, vannes et changements de section ajoutent des pertes singulières. Dans la conduite forcée de Bieudron, ces pertes représentent quelques pour cent de la chute.

Traînée et vitesse limite

Un corps qui se déplace dans un fluide subit une force de résistance, la traînée, dont la loi dépend du régime.

• Faible Reynolds ($\mathrm{Re}<1$): la traînée est d'origine visqueuse et proportionnelle à la vitesse. Pour une sphère de rayon $r$, c'est la loi de Stokes: $F=6\pi \eta rv$.
• Grand Reynolds ($\mathrm{Re}>10^3$): la traînée est d'origine inertielle (sillage turbulent) et proportionnelle au carré de la vitesse: $F=\frac{1}{2}{C}_x\rho A{v}^2$, où $A$ est le maître-couple (section frontale) et $C_x$ le coefficient de traînée ($0,47$ pour une sphère, $0,25$–$0,35$ pour une voiture, $\approx 1$ pour un parachutiste en position ventrale, $1,3$–$1,5$ pour une voile de parachute).

Un corps qui tombe dans un fluide accélère jusqu'à ce que la traînée (plus la poussée d'Archimède) équilibre son poids: il atteint sa vitesse limite (chapitre 3). En régime de Stokes, $6\pi \eta r{v}_{\ell }=\frac{4}{3}\pi r^3({\rho }_s-{\rho }_f)g$, d'où $v_{\ell }=\frac{2r^2({\rho }_s-{\rho }_f)g}{9\eta }$; en régime quadratique, $v_{\ell }=\sqrt{\frac{2mg}{C_x{\rho }_{f}A}}$.

Tension superficielle et capillarité

Les molécules à la surface d'un liquide ont moins de voisines que celles du volume et sont donc dans un état d'énergie plus élevé: créer de la surface coûte une énergie $\gamma$ par unité d'aire. Cette tension superficielle $\gamma$ ($72,8$ mN/m pour l'eau à $20°\text{C}$, $22$ mN/m pour l'éthanol, $485$ mN/m pour le mercure) se manifeste aussi comme une force par unité de longueur qui tend la surface comme une membrane: elle donne aux gouttes et aux bulles leur forme sphérique (surface minimale à volume donné), porte les insectes patineurs et fait flotter une aiguille posée délicatement sur l'eau. La pression à l'intérieur d'une goutte de rayon $r$ dépasse la pression extérieure de $\Delta p=2\gamma /r$ (loi de Laplace): $2,9$ kPa pour une goutte de $50\mu \text{m}$.

Au contact d'un solide, le liquide forme un angle de contact $\theta$: petit s'il mouille le solide (eau sur verre propre, $\theta \approx 0$), grand sinon (mercure sur verre, $\theta \approx 140°$; eau sur téflon). Dans un tube fin de rayon $r$ plongé dans un liquide mouillant, la tension superficielle tire le liquide vers le haut le long du périmètre $2\pi r$ avec la force $2\pi r\gamma \cos \theta$, jusqu'à équilibrer le poids de la colonne $\rho g\pi r^{2}h$: c'est la loi de Jurin,

Dans un tube de verre de $0,5$ mm de rayon, l'eau monte de $h=2\cdot 0,0728/(1000\cdot 9,81\cdot 5\cdot 10^{-4})=29,7$ mm; dans un pore de $50\mu \text{m}$, de $30$ cm. La capillarité explique la montée de l'eau dans les briques et les sols (remontées capillaires, essentielles en mécanique des sols), l'imbibition du papier buvard et, en partie, la montée de la sève. Le mercure, non mouillant, descend au contraire dans un tube fin: on corrige les lectures d'un baromètre de cet effet.

Synthèse

• La pression $p=\mathrm{d}F/\mathrm{d}A$ (Pa; $1$ bar $=10^5$ Pa, $1$ atm $=1,013$ bar $=760$ mmHg) est isotrope dans un fluide au repos. Statique: $\mathrm{d}p/\mathrm{d}z=-\rho g$, d'où $p=p_0+\rho gh$ dans un liquide ($\approx 1$ bar par $10$ m d'eau) et $p=p_0{\mathrm{e}}^{-z/H}$ avec $H=RT/(Mg)\approx 8$ km dans une atmosphère isotherme.
• Principe de Pascal: une variation de pression se transmet intégralement dans un liquide; presse hydraulique $F_2=F_1{A}_2/A_1$ à travail égal. Sur une paroi verticale de hauteur $H$: $F=\frac{1}{2}\rho g{H}^2$ par unité de largeur, appliquée à $H/3$ du pied.
• Théorème d'Archimède: $F_A={\rho }_f{V}_{\text{imm}}g$ vers le haut, au centre du volume déplacé; un corps flotte avec $V_{\text{imm}}/V={\rho }_s/{\rho }_f$; le poids apparent mesure les masses volumiques; ballons et sous-marins jouent sur la différence entre poids et poussée.
• Fluide parfait incompressible en régime stationnaire: continuité $A_1{v}_1=A_2{v}_2$ et Bernoulli $p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gz=$ const le long d'une ligne de courant (conservation de l'énergie). Là où la vitesse est grande, la pression est basse.
• Applications: Torricelli $v=\sqrt{2gh}$, Venturi $Q=A_2\sqrt{2\Delta p/[\rho (1-(A_2/A_1{)}^2)]}$, Pitot $v=\sqrt{2\Delta p/\rho }$, hauteur d'un jet $v^2/2g$, puissance hydraulique $P=\rho gQH$.
• Fluides réels: viscosité $\tau =\eta \mathrm{d}v/\mathrm{d}y$; Poiseuille $Q=\pi R^4\Delta p/(8\eta L)$ en laminaire; nombre de Reynolds $\mathrm{Re}=\rho vD/\eta$ (laminaire au-dessous de $2300$, turbulent au-delà de $4000$); traînée de Stokes $6\pi \eta rv$ ou quadratique $\frac{1}{2}{C}_x\rho A{v}^2$ et vitesse limite; tension superficielle et loi de Jurin $h=2\gamma \cos \theta /(\rho gr)$.

Exercices

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Références

• Gruber, C. et Benoit, W., Mécanique générale, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, chap. sur les milieux continus et les fluides.
• Halliday, D., Resnick, R. et Walker, J., Physique 1 – Mécanique, Chenelière/De Boeck, chap. 14 (Fluides).
• Benson, H., Physique I – Mécanique, De Boeck, Bruxelles, chap. 14 (Statique et dynamique des fluides).
• Young, H. D. et Freedman, R. A., University Physics, Pearson, chap. 12 (Fluid Mechanics).
• Feynman, R., Leighton, R. et Sands, M., Le cours de physique de Feynman – Électromagnétisme 2, Dunod, chap. 40–41 (L'écoulement de l'eau sèche, l'écoulement de l'eau mouillée).
• Guyon, E., Hulin, J.-P. et Petit, L., Hydrodynamique physique, EDP Sciences/CNRS Éditions, Paris (pour aller plus loin: viscosité, Reynolds, tension superficielle).