Formulaire · Mécanique des sols

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les relations essentielles du cours avec leur notation SIA 267 / Eurocode 7. Chaque formule est suivie de la signification des symboles; les hypothèses et les domaines de validité sont expliqués dans les chapitres correspondants. Unités: kN, m, kPa ( $= kN/m^{2}$ ), s; angles en degrés dans les applications numériques; $γ_{w} = 9, 81$ kN/m³.

Chapitre 2 – Nature et identification des sols

e = \frac{V _{v}}{V _{s}}, n = \frac{V _{v}}{V} = \frac{e}{1 + e}, w = \frac{M _{w}}{M _{s}}, S_{r} = \frac{V _{w}}{V _{v}}

$e$ indice des vides, $n$ porosité, $w$ teneur en eau, $S_{r}$ degré de saturation, $V_{v}$ , $V_{s}$ , $V_{w}$ volumes des vides, des grains, de l'eau.

w G_{s} = S_{r} e

$G_{s} = ρ_{s} / ρ_{w}$ densité des grains (2,65 – 2,75); pour un sol saturé $e = w G_{s}$ .

γ = \frac{G _{s} + S _{r} e}{1 + e} γ_{w}, γ_{d} = \frac{G _{s}}{1 + e} γ_{w} = \frac{γ}{1 + w}, γ_{s a t} = \frac{G _{s} + e}{1 + e} γ_{w}, γ^{'} = γ_{s a t} - γ_{w}

$γ$ poids volumique humide, $γ_{d}$ sec, $γ_{s a t}$ saturé, $γ^{'}$ déjaugé.

C_{u} = \frac{d _{60}}{d _{10}}, C_{c} = \frac{d _{30}^{2}}{d _{10} d _{60}}

$d_{10}$ , $d_{30}$ , $d_{60}$ diamètres à 10, 30, 60 % de passant; bien gradué si $C_{u} > 4$ (gravier) ou $> 6$ (sable) et $1 < C_{c} < 3$ .

I_{P} = w_{L} - w_{P}, I_{C} = \frac{w _{L} - w}{I _{P}}, ligne A: I_{P} = 0, 73 (w_{L} - 20)

$w_{L}$ limite de liquidité, $w_{P}$ limite de plasticité, $I_{P}$ indice de plasticité, $I_{C}$ indice de consistance.

Chapitre 3 – Compactage

γ_{d} = \frac{γ}{1 + w}, γ_{d, S_{r} = 1} = \frac{G _{s} γ _{w}}{1 + w G _{s}}, D_{P r} = \frac{γ _{d}}{γ _{d, ma x}}

$γ_{d, ma x}$ poids volumique sec maximal Proctor à la teneur en eau optimale $w_{o pt}$ ; la seconde relation est la courbe de saturation (ligne des vides d'air nuls); $D_{P r}$ degré de compactage (exigence usuelle 95 – 100 %).

Chapitre 4 – L'eau dans le sol

v = k i, i = \frac{Δ h}{L}, Q = k i A

Loi de Darcy: $v$ vitesse de filtration (débit par unité de surface), $k$ coefficient de perméabilité, $i$ gradient hydraulique, $Δ h$ perte de charge sur la longueur $L$ , $A$ section traversée.

k \approx 0, 01 d_{10}^{2} (k en m/s, d_{10} en mm)

Formule de Hazen, sables propres uniformes avec $0, 1 < d_{10} < 3$ mm.

k_{h} = \frac{\sum k _{i} H _{i}}{\sum H _{i}}, k_{v} = \frac{\sum H _{i}}{\sum H _{i} / k _{i}}

Perméabilités équivalentes horizontale et verticale d'un sol stratifié en couches d'épaisseur $H_{i}$ .

Q = k Δ h \frac{N _{f}}{N _{d}}

Débit d'un réseau d'écoulement par mètre de longueur: $N_{f}$ nombre de tubes de courant, $N_{d}$ nombre de chutes de potentiel, $Δ h$ charge totale dissipée.

i_{c} = \frac{γ ^{'}}{γ _{w}} = \frac{G _{s} - 1}{1 + e}, F_{r e na r d} = \frac{i _{c}}{i _{sor t i e}}

Gradient critique d'annulation des contraintes effectives (renard, boulance) et facteur de sécurité correspondant ( $F \geq 3$ à 4 usuel).

Chapitre 5 – Contraintes dans le sol

σ_{v} = \sum γ_{i} z_{i}, u = γ_{w} h_{w}, σ^{'} = σ - u

Postulat de Terzaghi: $σ$ contrainte totale, $u$ pression interstitielle ( $h_{w}$ hauteur piézométrique), $σ^{'}$ contrainte effective.

σ_{h}^{'} = K_{0} σ_{v}^{'}, K_{0} = 1 - sin φ^{'} (Jaky), K_{0, O C} = (1 - sin φ^{'}) O C R^{s i n φ^{'}}

$K_{0}$ coefficient de poussée au repos, $O C R = σ_{p}^{'} / σ_{v 0}^{'}$ degré de surconsolidation.

Δ σ_{z} = \frac{3 Q z ^{3}}{2 π R ^{5}} = \frac{Q}{z ^{2}} I_{B}, I_{B} = \frac{3}{2 π} [1 + (\frac{r}{z})^{2}]^{- 5/2}

Boussinesq, charge ponctuelle $Q$ à la surface d'un massif élastique: $z$ profondeur, $r$ distance horizontale, $R = r^{2} + z^{2}$ .

Δ σ_{z} = q I_{F} (m, n), m = \frac{B}{z}, n = \frac{L}{z}

Sous le coin d'un rectangle uniformément chargé $q$ (abaque de Fadum); tout point s'obtient par superposition de rectangles; sous le centre d'un rectangle $B \times L$ : $4 I_{F} (B /2 z, L /2 z)$ .

Δ σ_{z} = \frac{q B L}{( B + z ) ( L + z )}

Méthode de diffusion à 2:1 (approximation pour la contrainte moyenne à la profondeur $z$ sous une fondation $B \times L$ ).

σ_{1, 3} = \frac{σ _{x} + σ _{z}}{2} \pm (\frac{σ _{x} - σ _{z}}{2})^{2} + τ_{x z}^{2}, τ_{ma x} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2}

Contraintes principales et cisaillement maximal (cercle de Mohr).

Chapitre 6 – Compressibilité et consolidation

s = i \sum \frac{Δ σ _{i}^{'}}{M _{E, i}} H_{i} = i \sum m_{v, i} Δ σ_{i}^{'} H_{i}

Tassement œdométrique: $M_{E}$ module œdométrique, $m_{v} = 1/ M_{E}$ coefficient de compressibilité volumique, $H_{i}$ épaisseur de la couche $i$ , $Δ σ_{i}^{'}$ accroissement de contrainte effective en son milieu.

s = \frac{H}{1 + e _{0}} [C_{s} lo g \frac{σ _{p}^{'}}{σ _{0}^{'}} + C_{c} lo g \frac{σ _{0}^{'} + Δ σ ^{'}}{σ _{p}^{'}}]

Tassement d'une argile surconsolidée chargée au-delà de $σ_{p}^{'}$ ; si $σ_{0}^{'} = σ_{p}^{'}$ (normalement consolidée), seul le terme en $C_{c}$ subsiste; si $σ_{0}^{'} + Δ σ^{'} < σ_{p}^{'}$ , seul le terme en $C_{s}$ avec $σ_{0}^{'} + Δ σ^{'}$ au numérateur. $C_{c}$ indice de compression, $C_{s}$ indice de gonflement (recompression), $e_{0}$ indice des vides initial, $σ_{p}^{'}$ pression de préconsolidation.

c_{v} = \frac{k}{m _{v} γ _{w}}, T_{v} = \frac{c _{v} t}{H _{d r}^{2}}, U = \frac{s ( t )}{s _{\infty}}

Théorie de Terzaghi: $c_{v}$ coefficient de consolidation, $T_{v}$ facteur temps, $H_{d r}$ longueur de drainage (épaisseur de la couche si drainée sur une face, moitié si drainée sur deux faces), $U$ degré de consolidation moyen.

T_{v} \approx \frac{π}{4} U^{2} (U \leq 0, 6), T_{v} \approx 1, 781 - 0, 933 lo g (100 - U %) (U > 0, 6)

$U$ (%)	10	20	30	40	50	60	70	80	90	95
$T_{v}$	0,008	0,031	0,071	0,126	0,197	0,287	0,403	0,567	0,848	1,129

s_{s} = C_{α} \frac{H}{1 + e _{p}} lo g \frac{t}{t _{p}}

Compression secondaire (fluage): $C_{α}$ indice de compression secondaire, $t_{p}$ fin de la consolidation primaire.

Chapitre 7 – Résistance au cisaillement

τ_{f} = c^{'} + σ^{'} tan φ^{'}

Critère de Mohr-Coulomb en contraintes effectives: $c^{'}$ cohésion effective, $φ^{'}$ angle de frottement effectif.

σ_{1}^{'} = σ_{3}^{'} tan^{2} (45° + \frac{φ ^{'}}{2}) + 2 c^{'} tan (45° + \frac{φ ^{'}}{2}), sin φ^{'} = \frac{σ _{1}^{'} - σ _{3}^{'}}{σ _{1}^{'} + σ _{3}^{'} + 2 c ^{'} cot φ ^{'}}

Relation entre contraintes principales à la rupture; le plan de rupture fait l'angle $45° + φ^{'} /2$ avec la direction de $σ_{3}^{'}$ (essai triaxial).

τ_{f} = c_{u}, c_{u} = \frac{σ _{1} - σ _{3}}{2} = \frac{q _{u}}{2}

Résistance non drainée ( $φ_{u} = 0$ ): $q_{u}$ résistance à la compression simple.

Δ u = B [Δ σ_{3} + A (Δ σ_{1} - Δ σ_{3})]

Coefficients de pression interstitielle de Skempton ( $B = 1$ saturé; $A$ de 0,5 à 1 pour les argiles normalement consolidées).

\frac{c _{u}}{σ _{v 0}^{'}} \approx 0, 22 O C R^{0, 8} (ordre de grandeur), c_{u} \approx 0, 11 + 0, 0037 I_{P} (Skempton, NC)

Corrélations pour la résistance non drainée des argiles.

Chapitre 8 – Reconnaissance géotechnique

N_{60} = N \frac{E _{r}}{60}, (N_{1})_{60} = C_{N} N_{60}, C_{N} = \frac{100}{σ _{v 0}^{'}} \leq 1, 7

Corrections de l'essai SPT: $E_{r}$ rendement énergétique (%), $C_{N}$ correction de contrainte ( $σ_{v 0}^{'}$ en kPa).

c_{u} = \frac{q _{t} - σ _{v 0}}{N _{k t}}, N_{k t} = 12 \overset{a}{ˋ} 20

Pénétromètre statique (CPT/CPTU): $q_{t}$ résistance de pointe corrigée, $N_{k t}$ facteur de cône empirique.

c_{u} = \frac{6 T _{ma x}}{7 π D ^{3}} (H = 2 D), c_{u, cor r} = μ c_{u}

Scissomètre de chantier: $T_{ma x}$ couple maximal, $D$ diamètre des pales, $μ$ correction de Bjerrum (0,6 à 1,0 selon $I_{P}$ ).

s = \frac{q B ( 1 - ν ^{2} )}{E} I_{s}, E \approx α E_{M}

Tassement élastique d'une fondation ( $I_{s}$ facteur de forme et de rigidité); $E_{M}$ module pressiométrique de Ménard et $α$ coefficient rhéologique.

Chapitre 9 – Poussée et butée, ouvrages de soutènement

K_{a} = tan^{2} (45° - \frac{φ ^{'}}{2}) = \frac{1 - sin φ ^{'}}{1 + sin φ ^{'}}, K_{p} = tan^{2} (45° + \frac{φ ^{'}}{2}) = \frac{1}{K _{a}}

Coefficients de poussée et de butée de Rankine (paroi verticale lisse, terre-plein horizontal).

σ_{a}^{'} = K_{a} σ_{v}^{'} - 2 c^{'} K_{a}, σ_{p}^{'} = K_{p} σ_{v}^{'} + 2 c^{'} K_{p}, z_{0} = \frac{2 c ^{'}}{γ K _{a}}

Contraintes horizontales actives et passives avec cohésion; $z_{0}$ profondeur de la zone de traction (fissures). Avec une nappe, on ajoute la pression de l'eau $u$ à la contrainte effective; avec une surcharge $q$ , on ajoute $K_{a} q$ .

P_{a} = \frac{1}{2} K_{a} γ H^{2} (\overset{a}{ˋ} H /3 de la base), P_{p} = \frac{1}{2} K_{p} γ H^{2}

Résultantes de poussée et de butée pour un sol pulvérulent sec homogène.

K_{a} = \frac{sin ^{2} ( θ + φ ^{'} )}{sin ^{2} θ sin ( θ - δ ) [ 1 + \frac{sin ( φ ^{'} + δ ) sin ( φ ^{'} - β )}{sin ( θ - δ ) sin ( θ + β )} ] ^{2}}

Coefficient de poussée de Coulomb (coin rigide): $θ$ inclinaison du parement sur l'horizontale ( $90°$ pour une paroi verticale), $δ$ angle de frottement sol–paroi, $β$ inclinaison du terre-plein; la poussée $P_{a} = \frac{1}{2} K_{a} γ H^{2}$ est inclinée de $δ$ sur la normale au parement. Pour $θ = 90°$ , $δ = 0$ , $β = 0$ , on retrouve Rankine. Pour la butée, la même formule avec $φ^{'}$ et $δ$ changés de signe surestime $K_{p}$ dès que $δ > φ^{'} /3$ : utiliser les abaques (Caquot-Kérisel).

σ_{h}^{'} = K_{0} σ_{v}^{'}, K_{0} = 1 - sin φ^{'}

Pression au repos pour les ouvrages rigides ne se déplaçant pas (murs de sous-sol, parois contreventées).

Chapitre 10 – Fondations superficielles

q_{u l t} = c^{'} N_{c} s_{c} d_{c} i_{c} + q N_{q} s_{q} d_{q} i_{q} + \frac{1}{2} γ^{'} B^{'} N_{γ} s_{γ} d_{γ} i_{γ}

Capacité portante (contrainte de rupture): $q = γ D$ surcharge au niveau de la base (profondeur $D$ ), $B^{'} = B - 2 e$ largeur effective (excentricité $e$ ), $γ^{'}$ poids volumique sous la base (déjaugé sous la nappe); $s$ , $d$ , $i$ facteurs de forme, de profondeur et d'inclinaison.

N_{q} = e^{π t a n φ^{'}} tan^{2} (45° + \frac{φ ^{'}}{2}), N_{c} = (N_{q} - 1) cot φ^{'}, N_{γ} = 2 (N_{q} - 1) tan φ^{'}

Facteurs de portance (Prandtl-Reissner pour $N_{q}$ et $N_{c}$ , EC7 pour $N_{γ}$ avec $δ \geq φ^{'} /2$ ). Pour $φ^{'} = 0$ : $N_{c} = π + 2 = 5, 14$ , $N_{q} = 1$ , $N_{γ} = 0$ .

s_{q} = 1 + \frac{B ^{'}}{L ^{'}} sin φ^{'}, s_{γ} = 1 - 0, 3 \frac{B ^{'}}{L ^{'}}, s_{c} = \frac{s _{q} N _{q} - 1}{N _{q} - 1}

Facteurs de forme (EC7, annexe D); pour une semelle filante $s = 1$ ; pour une semelle carrée $B^{'} / L^{'} = 1$ .

i_{q} = [1 - \frac{H}{V + A ^{'} c ^{'} cot φ ^{'}}]^{m}, i_{γ} = [1 - \frac{H}{V + A ^{'} c ^{'} cot φ ^{'}}]^{m + 1}, i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i _{q}}{N _{c} tan φ ^{'}}

Facteurs d'inclinaison (EC7): $H$ et $V$ composantes horizontale et verticale de la charge, $A^{'} = B^{'} L^{'}$ surface effective, $m = (2 + B^{'} / L^{'}) / (1 + B^{'} / L^{'})$ si $H$ agit dans la direction de $B^{'}$ .

q_{u l t} = (π + 2) c_{u} s_{c} i_{c} + q, s_{c} = 1 + 0, 2 \frac{B ^{'}}{L ^{'}}, i_{c} = \frac{1}{2} [1 + 1 - \frac{H}{A ^{'} c _{u}}]

Capacité portante non drainée ( $φ_{u} = 0$ ).

R_{d} = \frac{R _{k}}{γ _{R}} = \frac{q _{u l t, k} A ^{'}}{1 , 4}, E_{d} \leq R_{d}

Vérification SIA 267 de la sécurité structurale (rupture du terrain): $E_{d}$ charge de calcul, $R_{d}$ résistance de calcul; le calcul de $q_{u l t}$ avec les valeurs de calcul $tan φ_{d}^{'}$ , $c_{d}^{'}$ est l'approche alternative.

s = \frac{q B ( 1 - ν ^{2} )}{E} I_{s}

Tassement élastique immédiat: $I_{s}$ coefficient d'influence (forme, rigidité, position). Le tassement de consolidation se calcule par la méthode œdométrique du chapitre 6 avec les contraintes du chapitre 5.

Chapitre 11 – Fondations profondes

R = R_{b} + R_{s} = q_{b} A_{b} + i \sum q_{s, i} A_{s, i}

Résistance d'un pieu: $R_{b}$ résistance de pointe ( $q_{b}$ contrainte unitaire, $A_{b}$ section de la pointe), $R_{s}$ résistance latérale ( $q_{s}$ frottement unitaire, $A_{s}$ surface latérale par couche).

q_{b} = 9 c_{u} (argiles), q_{b} = N_{q}^{*} σ_{v, b}^{'} (sols pulv \overset{e}{ˊ} rulents, plafonn \overset{e}{ˊ})

Résistance de pointe: $c_{u}$ à la pointe, $σ_{v, b}^{'}$ contrainte effective verticale à la base, $N_{q}^{*}$ facteur de portance des pieux (Berezantzev, Meyerhof; nettement supérieur au $N_{q}$ des semelles), limité par une valeur maximale de $q_{b}$ .

q_{s} = α c_{u} (m \overset{e}{ˊ} thode α), q_{s} = β σ_{v}^{'} = K tan δ σ_{v}^{'} (m \overset{e}{ˊ} thode β)

Frottement latéral unitaire: $α$ coefficient d'adhérence (0,4 – 1,0), $β = K tan δ$ (0,15 – 0,8 selon le sol et le mode de mise en place).

R_{d} = \frac{R _{k}}{γ _{R}}, R_{k} = \frac{R _{m es u r \overset{e}{ˊ}}}{ξ} ou R_{k} calcul \overset{e}{ˊ} e avec valeurs caract \overset{e}{ˊ} ristiques

Résistance de calcul ( $γ_{R} = 1, 4$ dans ce cours); $ξ$ coefficients de corrélation pour les essais de chargement.

F_{n} = \sum β_{n} σ_{v}^{'} A_{s} (au-dessus du plan neutre), η_{g} = \frac{R _{g r o u p e}}{n R _{p i e u}}

Frottement négatif $F_{n}$ (sol tassant plus que le pieu) et efficacité d'un groupe de $n$ pieux.

Chapitre 12 – Stabilité des pentes

F = \frac{τ _{f}}{τ} = \frac{r e ˊ sistance mobilisable}{r e ˊ sistance mobilis e ˊ e}

Facteur de sécurité; $F = 1$ à la rupture; exigence usuelle 1,3 – 1,5 sur valeurs caractéristiques, $F_{d} \geq 1, 0$ sur valeurs de calcul.

F = \frac{c ^{'} + ( γ z - γ _{w} h _{w} ) cos ^{2} β tan φ ^{'}}{γ z sin β cos β}, F_{sec} = \frac{tan φ ^{'}}{tan β}, F_{s a t} = \frac{γ ^{'}}{γ _{s a t}} \frac{tan φ ^{'}}{tan β}

Pente infinie: $β$ angle de la pente, $z$ profondeur verticale du plan de glissement, $h_{w}$ hauteur de la nappe (parallèle à la pente) au-dessus du plan; cas sec et cas entièrement saturé avec écoulement parallèle ( $c^{'} = 0$ ).

r_{u} = \frac{u}{γ z}, F = (1 - \frac{r _{u}}{cos ^{2} β}) \frac{tan φ ^{'}}{tan β} (c^{'} = 0)

Coefficient de pression interstitielle.

F = \frac{\sum [ c ^{'} l _{i} + ( W _{i} cos α _{i} - u _{i} l _{i} ) tan φ ^{'} ]}{\sum W _{i} sin α _{i}}

Méthode de Fellenius (tranches): $W_{i}$ poids de la tranche, $α_{i}$ inclinaison de sa base, $l_{i} = b_{i} / cos α_{i}$ longueur de la base, $u_{i}$ pression interstitielle sur la base. Conservative de 5 à 15 %.

F = \frac{\sum \frac{c ^{'} b _{i} + ( W _{i} - u _{i} b _{i} ) tan φ ^{'}}{m _{α, i}}}{\sum W _{i} sin α _{i}}, m_{α, i} = cos α_{i} + \frac{sin α _{i} tan φ ^{'}}{F}

Méthode de Bishop simplifiée: $b_{i}$ largeur horizontale de la tranche; résolution itérative (3 – 4 itérations).

F = \frac{c _{u}}{γ H N _{s}}

Analyse non drainée (Taylor): $H$ hauteur du talus, $N_{s}$ nombre de stabilité (0,261 à 90°, 0,219 à 75°, 0,191 à 60°, 0,181 sous 53° avec substratum profond).

k_{h} \approx 0, 5 \frac{a _{g d}}{g}, F = \frac{c ^{'} + γ z ( cos ^{2} β - k _{h} sin β cos β ) tan φ ^{'}}{γ z ( sin β cos β + k _{h} cos ^{2} β )}

Méthode pseudo-statique: $k_{h}$ coefficient sismique horizontal, $a_{g d}$ accélération de dimensionnement (SIA 261: 0,6 – 1,6 m/s² selon la zone Z1 – Z3b); formule pour la pente infinie sèche.

tan φ_{d}^{'} = \frac{tan φ _{k}^{'}}{1 , 2}, c_{d}^{'} = \frac{c _{k}^{'}}{1 , 5}, c_{u, d} = \frac{c _{u, k}}{1 , 5}

Valeurs de calcul des paramètres de résistance (SIA 267, valeurs retenues dans ce cours).