Poussée et butée, ouvrages de soutènement · Mécanique des sols

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

distinguer les états de contrainte au repos, actif et passif, et les déplacements qui les mobilisent;
calculer les coefficients de poussée et de butée par la théorie de Rankine (avec cohésion, surcharge, nappe, sol stratifié) et par la théorie de Coulomb (avec frottement sol-mur);
tracer un diagramme de poussée et déterminer la résultante et son point d'application;
décrire les principaux types d'ouvrages de soutènement utilisés en Suisse et leur domaine d'emploi;
conduire les vérifications d'un mur cantilever selon SIA 267: renversement, glissement, excentricité, portance, avec les facteurs partiels.

Les trois états de contrainte

Un massif de sol horizontal au repos supporte une contrainte effective verticale $σ_{v}^{'} = γ z$ et une contrainte horizontale $σ_{h}^{'} = K_{0} σ_{v}^{'}$ , où $K_{0} \approx 1 - sin φ^{'}$ (Jaky) pour un sol normalement consolidé (chapitre 5). Un ouvrage de soutènement interrompt ce massif: selon le sens de son déplacement, le sol derrière lui se détend ou se comprime, et la contrainte horizontale change.

Les déplacements nécessaires pour atteindre ces états sont très différents. Pour un mur de hauteur $H$ , l'état actif est atteint après un déplacement ou une rotation en tête de l'ordre de 0,1 à 0,5 % de $H$ (quelques millimètres pour un mur de 4 m: un sable dense se contente de 0,1 %, une argile molle exige davantage). L'état passif exige plusieurs pour cent de $H$ , soit des centimètres à décimètres, incompatibles avec la plupart des ouvrages: c'est pourquoi la butée devant un mur n'est mobilisée qu'avec un facteur de réduction, voire négligée.

Exercice

Un mur de sous-sol de 3 m est rigidement lié aux dalles du bâtiment et ne peut pas se déplacer. Avec quel coefficient faut-il calculer la pression des terres qu'il subit?

Théorie de Rankine

Rankine (1857) considère un massif semi-infini en état de rupture plastique généralisée, sans frottement entre le sol et le mur (parement lisse et vertical). Dans le plan de Mohr, l'état actif correspond au cercle tangent à la droite de Coulomb pour lequel $σ_{v}^{'}$ est la contrainte principale majeure, l'état passif à celui pour lequel elle est la mineure.

$φ^{'}$	20°	25°	30°	32°	35°	40°
$K_{a}$	0,490	0,406	0,333	0,307	0,271	0,217
$K_{p}$	2,04	2,46	3,00	3,25	3,69	4,60

Sol cohérent et fissures de traction

Pour un sol de paramètres $c^{'}$ , $φ^{'}$ , la construction de Mohr donne

σ_{a}^{'} = K_{a} σ_{v}^{'} - 2 c^{'} K_{a}, σ_{p}^{'} = K_{p} σ_{v}^{'} + 2 c^{'} K_{p} . (9.2)

En poussée, la contrainte est négative (traction) près de la surface, jusqu'à la profondeur

z_{0} = \frac{2 c ^{'}}{γ K _{a}} (9.3)

où se développent des fissures de traction. Le sol ne pouvant transmettre de traction au mur, on néglige la zone en traction dans le calcul de $P_{a}$ , et l'on admet prudemment que les fissures peuvent se remplir d'eau (pression hydrostatique $γ_{w} z$ sur la hauteur $z_{0}$ ).

Poussée non drainée

Dans une argile saturée sollicitée à court terme ( $φ_{u} = 0$ , $c_{u}$ ), on raisonne en contraintes totales: $K_{a} = K_{p} = 1$ et

σ_{a} = σ_{v} - 2 c_{u}, σ_{p} = σ_{v} + 2 c_{u}, z_{0} = \frac{2 c _{u}}{γ} . (9.4)

La hauteur théorique d'une fouille verticale non soutenue vaut $H_{c} = 4 c_{u} / γ$ ; en pratique, on ne dépasse pas la moitié de cette valeur sans blindage, et jamais sans considérer le temps: la résistance non drainée d'une argile lacustre diminue à mesure que la fouille se draine et gonfle.

Surface libre inclinée

Si le terre-plein est incliné de $β$ sur l'horizontale ( $β < φ^{'}$ ), la poussée de Rankine agit parallèlement à la surface avec

K_{a β} = cos β \frac{cos β - cos ^{2} β - cos ^{2} φ ^{'}}{cos β + cos ^{2} β - cos ^{2} φ ^{'}} (9.5)

et $σ_{a}^{'} = K_{a β} γ z$ sur un plan vertical. Pour $β = 0$ , on retrouve (9.1).

Diagrammes de poussée

Le calcul pratique se fait en trois temps: on établit le profil de $σ_{v}^{'}$ (chapitre 5), on le multiplie par $K_{a}$ couche par couche, puis on ajoute séparément la pression de l'eau $u$ , à laquelle aucun coefficient ne s'applique puisque l'eau n'a pas de frottement. La figure 9.1 illustre les trois situations courantes.

Figure 9.1. Diagrammes de poussée active de Rankine: (a) sol homogène avec surcharge uniforme q, (b) sol stratifié avec discontinuité de σ'_a à l'interface, (c) nappe à mi-hauteur: sous la nappe le sol est déjaugé (γ') et la pression de l'eau s'ajoute en totalité.

Surcharge uniforme $q$ : elle ajoute $K_{a} q$ constant sur toute la hauteur, résultante $K_{a} q H$ appliquée à $H /2$ .
Sol stratifié: chaque couche a son $K_{a}$ ; $σ_{v}^{'}$ est continue à l'interface mais $σ_{a}^{'}$ saute de $K_{a 1} σ_{v}^{'}$ à $K_{a 2} σ_{v}^{'}$ .
Nappe: sous la nappe, on utilise $γ^{'} = γ_{s a t} - γ_{w}$ pour le sol et l'on ajoute $u = γ_{w} h_{w}$ . La poussée totale sur un mur non drainé est presque doublée par rapport au cas sec, ce qui justifie l'importance du drainage (voir plus bas).

Le point d'application de la résultante s'obtient en décomposant le diagramme en rectangles et triangles et en prenant le moment par rapport à la base:

z_{P} = \frac{\sum P _{i} z _{i}}{\sum P _{i}} . (9.6)

Exemple 9.1 · Poussée de Rankine avec surcharge et nappe

Un mur de soutènement de $H = 6$ m à Vevey retient un sable ( $φ^{'} = 32°$ , $γ = 19$ kN/m³, $γ_{s a t} = 21$ kN/m³) dont la nappe est à 3 m sous la surface. Une surcharge de chantier $q = 15$ kPa règne sur le terre-plein. Calculer la poussée et son point d'application.

Coefficient. $K_{a} = tan^{2} (45° - 16°) = tan^{2} 29° = 0, 307$ .

Contraintes. $σ_{a}^{'} (0) = 0, 307 \times 15 = 4, 6$ kPa; $σ_{a}^{'} (3) = 0, 307 \times (15 + 57) = 22, 1$ kPa; $σ_{a}^{'} (6) = 0, 307 \times (72 + 3 \times 11, 19) = 32, 4$ kPa; $u (6) = 3 \times 9, 81 = 29, 4$ kPa.

Résultantes par mètre de mur (bras de levier depuis la base):

Composante	Force (kN/m)	$z_{i}$ (m)	Moment (kN·m/m)
$P_{1} = K_{a} q H = 0, 307 \times 15 \times 6$	27,7	3,00	83,0
$P_{2} = \frac{1}{2} K_{a} γ 3^{2}$	26,3	4,00	105,1
$P_{3} = K_{a} γ 3 \times 3$	52,5	1,50	78,8
$P_{4} = \frac{1}{2} K_{a} γ^{'} 3^{2}$	15,5	1,00	15,5
$P_{w} = \frac{1}{2} γ_{w} 3^{2}$	44,1	1,00	44,1

Résultat. Poussée du sol (surcharge comprise) $P_{a} = 27, 7 + 26, 3 + 52, 5 + 15, 5 = 121, 9$ kN/m, appliquée à $z_{P} = 282, 3/121, 9 = 2, 32$ m au-dessus de la base. Poussée totale avec l'eau: $166, 1$ kN/m à $z = 326, 4/166, 1 = 1, 97$ m. L'eau représente ici plus du quart de la poussée totale (27 %) alors que la nappe n'occupe que la moitié inférieure du mur.

Exercice

Calculez le coefficient de poussée de Rankine $K_{a}$ pour un sable de $φ^{'} = 34°$ .

Exercice

Un mur de $H = 5$ m retient un sable sec ( $γ = 18$ kN/m³, $φ^{'} = 30°$ ) sans surcharge. Calculez la poussée de Rankine $P_{a}$ en kN/m.

Exercice

Pour le même mur ( $H = 5$ m, $γ = 18$ kN/m³, $φ^{'} = 30°$ ), une surcharge uniforme $q = 20$ kPa est ajoutée sur le terre-plein. Calculez le moment de renversement total à la base, en kN·m/m.

Théorie de Coulomb

Coulomb (1776) raisonne sur l'équilibre d'un coin de sol limité par le parement du mur et un plan de rupture incliné de $θ$ (figure 9.2). Le coin est soumis à son poids $W$ , à la réaction $R$ du massif sur le plan de rupture (inclinée de $φ^{'}$ sur la normale) et à la réaction du mur $P$ (inclinée de $δ$ sur la normale au parement, $δ$ étant l'angle de frottement sol-mur). Le polygone des forces se ferme pour chaque $θ$ ; la poussée $P_{a}$ est la valeur maximale de $P$ lorsque $θ$ varie (la butée $P_{p}$ est le minimum).

Figure 9.2. Coin de rupture de Coulomb derrière un mur à parement vertical et polygone des forces: le poids W, la réaction R sur le plan de rupture (inclinée de φ' sur la normale) et la poussée P_a (inclinée de δ). Le coin critique est celui qui maximise P_a.

Pour $δ = 0$ , (9.8) redonne exactement le coefficient de Rankine. Le frottement sol-mur incline la poussée vers le bas et réduit sa composante horizontale: avec $δ = \frac{2}{3} φ^{'}$ , $K_{a}$ diminue d'environ 10 % par rapport à Rankine. Les valeurs usuelles de $δ$ sont $\frac{2}{3} φ^{'}$ pour un parement en béton coulé contre le sol ou rugueux, $\frac{1}{2} φ^{'}$ pour un béton lisse ou des palplanches, et 0 pour un parement très lisse ou lorsque le mur peut tasser davantage que le sol (la friction s'inverse alors).

La théorie de Coulomb est bien adaptée à la poussée. Pour la butée, l'hypothèse d'un plan de rupture surestime fortement $K_{p}$ dès que $δ > φ^{'} /3$ (la surface réelle est courbe): on utilise alors les tables de Caquot-Kérisel ou les abaques de l'Eurocode 7, ou l'on limite $δ$ à $φ^{'} /3$ .

Exemple 9.2 · Comparaison Rankine – Coulomb

Pour le sable de l'exemple 9.1 ( $φ^{'} = 32°$ ) et un mur en béton coulé contre le terrain ( $δ = \frac{2}{3} φ^{'} = 21, 3°$ ), parement vertical et terre-plein horizontal, calculer $K_{a}$ par Coulomb et la poussée sur un mur de 5 m ( $γ = 19$ kN/m³, pas de nappe).

Coefficient (9.8). $cos^{2} 32° = 0, 719$ ; $sin (32° + 21, 3°) = 0, 802$ ; $sin 32° = 0, 530$ ; $cos 21, 3° = 0, 932$ .

K_{a} = \frac{0 , 719}{0 , 932 [ 1 + \frac{0 , 802 \times 0 , 530}{0 , 932} ] ^{2}} = \frac{0 , 719}{0 , 932 \times ( 1 + 0 , 675 ) ^{2}} = 0, 275.

Contre $K_{a} = 0, 307$ par Rankine: réduction de 10 %.

Poussée. $P_{a} = \frac{1}{2} \times 0, 275 \times 19 \times 5^{2} = 65, 3$ kN/m, inclinée de $21, 3°$ sous l'horizontale: composante horizontale $P_{ah} = 65, 3 cos 21, 3° = 60, 8$ kN/m, composante verticale $P_{a v} = 23, 8$ kN/m dirigée vers le bas, qui participe à la stabilité du mur (poids supplémentaire). Par Rankine, $P_{a} = 72, 9$ kN/m entièrement horizontale: Rankine est donc plus conservateur pour un mur rugueux.

Exercice

Quelle affirmation est correcte concernant les théories de Rankine et de Coulomb?

Effet du compactage

Le compactage du remblai derrière un mur (chapitre 3) génère des contraintes horizontales résiduelles qui peuvent dépasser largement $K_{a} σ_{v}^{'}$ dans les premiers mètres, et même approcher $K_{p} σ_{v}^{'}$ près de la surface. Pour les murs rigides et les murs de sous-sol, on admet dans la zone compactée une pression minimale, typiquement de l'ordre de 20 à 40 kPa sur la hauteur supérieure, ou l'on limite l'énergie de compactage (plaques vibrantes légères) à proximité du parement. La norme SIA 261 traite également des pressions dues au compactage sur les ouvrages enterrés.

Explorateur de poussée des terres

Le diagramme de poussée active (Rankine) se recompose en fonction de φ′, de la hauteur du mur, de la surcharge et de la position de la nappe. L'eau est ajoutée séparément. Le coefficient de Coulomb (avec frottement δ) est donné pour comparaison.

K_a Rankine

0,333

K_a Coulomb (δ = 20°)

0,297

P_a sol (Rankine, avec q)

90,6kN/m

P_w eau

19,6kN/m

Point d'application de P_a (depuis la base)

1,88m

Moment à la base (sol + eau)

183,2kN·m/m

Angle de frottement φ′30°

Frottement sol-mur δ/φ′0,67

Hauteur H5,0m

Surcharge q10kPa

Profondeur de la nappe d_w3,0m

Ouvrages de soutènement

Le choix du type de soutènement dépend de la hauteur, de l'espace disponible, de la nature du sol et de l'eau, de la durée (provisoire ou définitive), des constructions voisines et du coût. On distingue les ouvrages qui résistent par leur poids (murs poids et cantilever), ceux qui résistent par leur encastrement dans le sol (parois, palplanches) et ceux qui sont ancrés ou étayés.

Murs poids en béton non armé, en gabions, en pierres sèches ou en blocs de béton empilés: leur stabilité vient de leur masse. Économiques jusqu'à 3 à 4 m; les murs en pierres sèches des vignobles de Lavaux et du Valais en sont l'illustration historique.
Murs cantilever en béton armé, de section en L ou en T renversé: le poids du remblai sur le talon assure la stabilité. C'est l'ouvrage définitif le plus courant entre 3 et 8 m.
Murs en terre armée (sol renforcé par des armatures métalliques ou des géogrilles, parement en écailles ou en blocs): souples, adaptés aux remblais routiers et aux terrains compressibles, jusqu'à 15 m et plus.
Parois berlinoises (profilés métalliques battus ou forés, blindage en bois ou béton projeté entre les profilés): soutènement provisoire économique hors nappe, très utilisé pour les fouilles de bâtiments sur le Plateau.
Palplanches métalliques battues ou vibrofoncées, étanches, provisoires ou définitives: fouilles dans la nappe, batardeaux, berges; leur mise en œuvre est limitée par les blocs des moraines.
Parois moulées en béton armé coulé dans une tranchée tenue à la bentonite (0,6 à 1,2 m d'épaisseur) et parois de pieux sécants ou jointifs: fouilles profondes en milieu urbain et dans la nappe (Genève, Zurich, Lausanne), souvent intégrées à l'ouvrage définitif.
Parois clouées: excavation par passes de 1 à 2 m, béton projeté et clous scellés; adaptées aux sols cohérents ou aux moraines hors nappe, pour les talus routiers et les fouilles.
Ancrages précontraints (tirants forés et injectés, SIA 267/1) et étais (butons) qui limitent les déplacements des parois; les blindages de fouille préfabriqués (caissons coulissants) pour les tranchées de canalisation.

Dimensionnement d'un mur cantilever

Forces en présence

La figure 9.3 montre un mur cantilever et les forces intervenant dans les vérifications. La poussée est calculée par Rankine sur le plan vertical fictif passant par l'extrémité du talon: le sol situé au-dessus du talon est considéré comme faisant partie du mur (poids $W_{3}$ ), ce qui justifie l'hypothèse $δ = 0$ (le sol glisse sur le sol, la poussée de Rankine est horizontale pour un terre-plein horizontal).

Figure 9.3. Mur cantilever: poids du voile W_1, de la semelle W_2 et du sol sur le talon W_3, poussée du sol P_a et de la surcharge P_q sur le plan vertical fictif, butée P_p devant le patin (généralement négligée), réaction du sol N et T avec excentricité e, point de rotation O pour le renversement. Le drainage arrière et les barbacanes évitent la pression de l'eau.

Les forces à considérer sont:

les poids du mur ( $γ_{c} = 25$ kN/m³) et du sol sur le talon;
la poussée du sol $P_{a}$ (à $H /3$ ) et celle de la surcharge $P_{q} = K_{a} q H$ (à $H /2$ ); la surcharge au-dessus du talon est une action variable favorable pour la stabilité: on ne la compte pas dans les poids;
la butée devant le patin, généralement négligée (le sol peut être excavé pour une canalisation, et sa mobilisation exige de grands déplacements); au mieux, on la réduit de moitié;
la pression de l'eau si le drainage n'est pas garanti: elle est souvent la cause des ruptures de murs.

Exercice

Pourquoi les murs de soutènement sont-ils presque toujours dimensionnés sans pression d'eau?

Format de vérification selon SIA 267

SIA 260 / SIA 267 – Vérifications d'un ouvrage de soutènement

La SIA 267 distingue plusieurs types de vérification de la sécurité structurale:

Type 1 (EQU): perte d'équilibre statique de l'ouvrage considéré comme corps rigide, ici le renversement. Facteurs sur les actions (SIA 260): $γ_{G, s u p} = 1, 1$ pour les actions permanentes déstabilisantes, $γ_{G, in f} = 0, 9$ pour les actions permanentes stabilisantes, $γ_{Q} = 1, 5$ pour les actions variables.
Type 2 (STR/GEO): rupture du terrain ou de la structure, ici le glissement à la base et la portance. Facteurs sur les actions: $γ_{G} = 1, 35$ (défavorable) ou $0, 8$ (favorable), $γ_{Q} = 1, 5$ ; les résistances du sol sont calculées avec les valeurs de calcul des paramètres: $tan φ_{d}^{'} = tan φ_{k}^{'} / γ_{φ}$ avec $γ_{φ} = 1, 2$ , $c_{d}^{'} = c_{k}^{'} / γ_{c}$ avec $γ_{c} = 1, 5$ , $c_{u, d} = c_{u, k} /1, 5$ .
Type 3: stabilité générale du massif incluant le mur (glissement profond passant sous la semelle), traitée par les méthodes du chapitre 12.
Aptitude au service (ELS): déplacements et rotations du mur compatibles avec les constructions voisines, fissuration, et excentricité de la résultante à la base.

Dans ce cours, on adopte la démarche suivante, qui respecte l'esprit de la norme (pour un projet réel, se référer au texte de la SIA 267 et aux compléments des cantons):

la poussée est calculée avec les paramètres de calcul du sol ( $φ_{d}^{'}$ , $c_{d}^{'}$ ), ce qui augmente $K_{a}$ ;
renversement (EQU): $M_{d s t, d} = 1, 1 M_{P a} + 1, 5 M_{P q} \leq M_{s t b, d} = 0, 9 M_{W}$ , moments pris par rapport à l'arête avant $O$ de la semelle;
glissement (GEO): $H_{d} = 1, 35 P_{a, d} + 1, 5 P_{q, d} \leq R_{d} = N tan δ_{b, d}$ (+ $c_{d}^{'} B$ pour un sol cohérent, souvent négligé), où $N$ est la somme des poids (avec $γ_{G} = 1, 0$ : poids et poussée proviennent de la même source) et $tan δ_{b, d} = tan δ_{b} /1, 2$ ; pour un béton coulé en place sur un sol grenu, $δ_{b} = φ^{'}$ , pour un élément préfabriqué $δ_{b} = \frac{2}{3} φ^{'}$ ;
portance (GEO): la charge $N$ est excentrée de $e$ et inclinée; on calcule la capacité portante d'une semelle de largeur réduite $B^{'} = B - 2 e$ selon le chapitre 10, avec les facteurs d'inclinaison;
excentricité (ELS et EQU): avec les valeurs caractéristiques, $e = B /2 - (M_{s t b} - M_{d s t}) / N$ ; la SIA 267 admet $e \leq B /3$ pour la vérification de type 1, et l'on cherche $e \leq B /6$ (résultante dans le tiers central, base entièrement comprimée) pour éviter le décollement et limiter les rotations en service, surtout sur sol compressible.

La contrainte sous la semelle vaut, si $e \leq B /6$ ,

q_{ma x, min} = \frac{N}{B} (1 \pm \frac{6 e}{B}) . (9.9)

Exercice

Remettez dans l'ordre logique les étapes du dimensionnement d'un mur cantilever.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer les poids du mur et du sol sur le talon et leurs bras de levier

Vérifier la stabilité générale et dimensionner les armatures du voile et de la semelle

Calculer K_a (paramètres de calcul) et les poussées du sol et de la surcharge sur le plan fictif

Choisir un prédimensionnement: B ≈ 0,5 à 0,7 H, épaisseur de semelle ≈ H/10

Vérifier le renversement (EQU) puis le glissement à la base (GEO)

Vérifier l'excentricité et la portance de la semelle (B' = B − 2e)

Exemple 9.3 · Mur poids en gabions

Un mur en gabions de $H = 3, 0$ m et $B = 1, 6$ m ( $γ_{g} = 17$ kN/m³) retient une grave ( $φ^{'} = 35°$ , $γ = 20$ kN/m³), terre-plein horizontal, sans surcharge ni eau. Le parement arrière est rugueux ( $δ = \frac{2}{3} φ^{'} = 23, 3°$ ) et le mur repose sur la même grave ( $δ_{b} = \frac{2}{3} φ^{'}$ , mur non coulé en place). Vérifier, avec les valeurs caractéristiques, le renversement, le glissement et l'excentricité.

Poussée (Coulomb, 9.8). $K_{a} = 0, 244$ ; $P_{a} = \frac{1}{2} \times 0, 244 \times 20 \times 3^{2} = 22, 0$ kN/m; $P_{ah} = 22, 0 cos 23, 3° = 20, 2$ kN/m à $H /3 = 1, 0$ m; $P_{a v} = 8, 7$ kN/m appliquée au parement arrière ( $x = B = 1, 6$ m depuis $O$ ).

Poids. $W = 1, 6 \times 3, 0 \times 17 = 81, 6$ kN/m à $x = 0, 8$ m.

Renversement. $M_{d s t} = 20, 2 \times 1, 0 = 20, 2$ kN·m/m; $M_{s t b} = 81, 6 \times 0, 8 + 8, 7 \times 1, 6 = 79, 2$ kN·m/m; rapport $3, 9$ : largement satisfait.

Glissement. $N = 81, 6 + 8, 7 = 90, 3$ kN/m; $R = 90, 3 tan 23, 3° = 39, 0$ kN/m contre $P_{ah} = 20, 2$ kN/m: rapport $1, 93$ .

Excentricité. $x = (79, 2 - 20, 2) /90, 3 = 0, 65$ m, $e = 0, 80 - 0, 65 = 0, 15$ m $< B /6 = 0, 27$ m: base entièrement comprimée, $q_{ma x} = 90, 3/1, 6 \times (1 + 6 \times 0, 15/1, 6) = 87$ kPa, sans difficulté sur une grave.

Les gabions étant perméables, aucune pression d'eau ne peut s'établir: c'est l'un de leurs grands avantages, avec la tolérance aux tassements différentiels.

Synthèse

Trois états: repos ( $K_{0}$ , pas de déplacement), actif ( $K_{a}$ , déplacement de 0,1 à 0,5 % de $H$ ), passif ( $K_{p}$ , plusieurs % de $H$ ); la butée n'est mobilisable qu'avec de grands déplacements.
Rankine: $K_{a} = tan^{2} (45° - φ^{'} /2)$ , $K_{p} = 1/ K_{a}$ ; avec cohésion $σ_{a}^{'} = K_{a} σ_{v}^{'} - 2 c^{'} K_{a}$ et fissures de traction jusqu'à $z_{0} = 2 c^{'} / (γ K_{a})$ ; non drainé $σ_{a} = σ_{v} - 2 c_{u}$ .
Diagramme de poussée: $K_{a} σ_{v}^{'}$ couche par couche, surcharge $K_{a} q$ , et pression de l'eau ajoutée séparément; résultante et point d'application par décomposition en rectangles et triangles.
Coulomb: équilibre d'un coin, frottement sol-mur $δ$ (typiquement $\frac{2}{3} φ^{'}$ ) qui incline la poussée et réduit sa composante horizontale d'environ 10 %; méthode de Culmann pour les géométries quelconques.
Ouvrages: murs poids, murs cantilever, terre armée, parois berlinoises, palplanches, parois moulées et de pieux, parois clouées, ancrages; le choix dépend de la hauteur, de l'eau, du sol et du voisinage.
Vérifications SIA 267 d'un mur: renversement (EQU: 1,1 / 0,9 / 1,5), glissement et portance (GEO: 1,35 / 1,5 sur les actions, $γ_{φ} = 1, 2$ et $γ_{c} = 1, 5$ sur les paramètres), excentricité $e \leq B /6$ visée ( $B /3$ admis en EQU), stabilité générale, et drainage systématique.

Série d'exercices du chapitre 9

Exercice 1 sur 5

Exercice

Pour $φ^{'} = 30°$ , quelle est la valeur du coefficient de butée de Rankine $K_{p}$ ?

Problème guidé

Vérification d'un mur cantilever à Fribourg

Un mur cantilever en béton armé ( $γ_{c} = 25$ kN/m³) soutient un remblai de moraine sableuse ( $φ_{k}^{'} = 30°$ , $c^{'} = 0$ , $γ = 19$ kN/m³) le long d'une route à Fribourg. Géométrie: hauteur totale $H = 4, 5$ m (voile de 4,0 m sur une semelle de 0,5 m), semelle $B = 3, 6$ m composée d'un patin de 0,6 m, du voile de 0,4 m et d'un talon de 2,6 m. Surcharge routière uniforme $q = 10$ kPa sur le terre-plein. Le drainage est assuré (pas d'eau), la butée devant le patin est négligée et la semelle est coulée en place sur la moraine ( $δ_{b} = φ^{'}$ ). Facteurs partiels: $γ_{φ} = 1, 2$ ; EQU 1,1 / 0,9 / 1,5; GEO 1,35 / 1,5.

1
Coefficient de poussée
La poussée de Rankine est calculée sur le plan vertical fictif passant par l'extrémité du talon, avec la valeur caractéristique puis la valeur de calcul de $φ^{'}$ .
Exercice
Calculez le coefficient de poussée de calcul $K_{a, d}$ correspondant à $tan φ_{d}^{'} = tan 30°/1, 2$ .
Poussées
Poids et moment stabilisant
Renversement (EQU)
Glissement (GEO) et excentricité

Exercices

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Exercice 9.1 · Poussée sur un mur de quai

Un mur de $H = 7$ m retient une couche de sable de 3 m ( $φ^{'} = 33°$ , $γ = 18$ kN/m³) reposant sur une argile silteuse ( $φ^{'} = 26°$ , $c^{'} = 0$ , $γ_{s a t} = 20$ kN/m³). La nappe se trouve à l'interface (3 m) et une surcharge $q = 20$ kPa règne en surface. Tracer le diagramme de poussée de Rankine (sol et eau), calculer la résultante totale et son point d'application. Quelle proportion de la poussée totale est due à l'eau?

Solution

Coefficients. Sable: $K_{a 1} = tan^{2} (45° - 16, 5°) = 0, 295$ . Argile silteuse: $K_{a 2} = tan^{2} (45° - 13°) = 0, 390$ .

Contraintes effectives verticales. $σ_{v}^{'} (0) = q = 20$ kPa; $σ_{v}^{'} (3) = 20 + 3 \times 18 = 74$ kPa; $σ_{v}^{'} (7) = 74 + 4 \times (20 - 9, 81) = 114, 8$ kPa.

Contraintes de poussée. $σ_{a}^{'} (0) = 0, 295 \times 20 = 5, 9$ kPa; $σ_{a}^{'} (3^{-}) = 0, 295 \times 74 = 21, 8$ kPa; $σ_{a}^{'} (3^{+}) = 0, 390 \times 74 = 28, 9$ kPa (saut à l'interface); $σ_{a}^{'} (7) = 0, 390 \times 114, 8 = 44, 8$ kPa. Pression de l'eau: $u (7) = 4 \times 9, 81 = 39, 2$ kPa.

Résultantes (bras de levier $z_{i}$ depuis la base):

Composante	Force (kN/m)	$z_{i}$ (m)	$P_{i} z_{i}$ (kN·m/m)
$P_{1} = K_{a 1} q \times 3 = 0, 295 \times 20 \times 3$	17,7	5,50	97,3
$P_{2} = \frac{1}{2} K_{a 1} γ_{1} \times 3^{2}$	23,9	5,00	119,4
$P_{3} = K_{a 2} σ_{v}^{'} (3) \times 4 = 0, 390 \times 74 \times 4$	115,6	2,00	231,2
$P_{4} = \frac{1}{2} K_{a 2} γ_{2}^{'} \times 4^{2}$	31,8	1,33	42,4
Sol: $P_{a}$	189,0	2,59	490,3
$P_{w} = \frac{1}{2} γ_{w} \times 4^{2}$	78,5	1,33	104,6
Total	267,5	2,22	594,9

La poussée du sol vaut $P_{a} = 189, 0$ kN/m à $2, 59$ m de la base; avec l'eau, la poussée totale atteint $267, 5$ kN/m à $z = 594, 9/267, 5 = 2, 22$ m. L'eau représente $78, 5/267, 5 = 29 %$ de la poussée totale, bien qu'elle n'agisse que sur les 4 m inférieurs: un mur de quai doit être conçu pour cette pression (ou drainé côté remblai avec un système de filtre fiable), et l'on n'oubliera pas qu'à marée ou crue basse, la différence de niveau d'eau de part et d'autre du mur peut être plus défavorable encore.

Exercice 9.2 · Terre-plein incliné

Un mur à parement vertical de 5 m de hauteur retient une grave ( $φ^{'} = 35°$ , $γ = 20$ kN/m³) dont le terre-plein est incliné de $β = 15°$ . Calculer $K_{a}$ par la formule de Coulomb (9.7) avec $δ = \frac{2}{3} φ^{'}$ et par celle de Rankine (9.5), puis la poussée et ses composantes horizontale et verticale par Coulomb. Comparer avec le cas d'un terre-plein horizontal et commenter l'influence de $β$ . Que devient $K_{a}$ de Coulomb si le parement est en outre incliné de $θ = 10°$ vers le remblai?

Solution

$φ^{'} = 35°$ , $δ = 23, 3°$ , $β = 15°$ , $θ = 0$ .

Coulomb (9.7). $cos^{2} φ^{'} = 0, 671$ ; $cos δ = 0, 918$ ; $sin (φ^{'} + δ) = sin 58, 3° = 0, 851$ ; $sin (φ^{'} - β) = sin 20° = 0, 342$ ; $cos (θ - β) = cos 15° = 0, 966$ .

K_{a} = \frac{0 , 671}{0 , 918 [ 1 + \frac{0 , 851 \times 0 , 342}{0 , 918 \times 0 , 966} ] ^{2}} = \frac{0 , 671}{0 , 918 \times ( 1 + 0 , 573 ) ^{2}} = 0, 295.

Rankine (9.5). $cos β = 0, 966$ , $cos φ^{'} = 0, 819$ , $cos^{2} β - cos^{2} φ^{'} = 0, 933 - 0, 671 = 0, 512$ :

K_{a β} = 0, 966 \times \frac{0 , 966 - 0 , 512}{0 , 966 + 0 , 512} = 0, 297.

Les deux valeurs sont très proches (la poussée de Rankine étant inclinée de $β = 15°$ , celle de Coulomb de $δ = 23, 3°$ ).

Poussée (Coulomb). $P_{a} = \frac{1}{2} \times 0, 295 \times 20 \times 5^{2} = 73, 8$ kN/m; $P_{ah} = 73, 8 cos 23, 3° = 67, 8$ kN/m; $P_{a v} = 73, 8 sin 23, 3° = 29, 2$ kN/m.

Terre-plein horizontal. Coulomb: $K_{a} = 0, 244$ ( $P_{a} = 61, 1$ kN/m); Rankine: $K_{a} = 0, 271$ . L'inclinaison de 15° du terre-plein augmente donc la poussée de Coulomb de 21 %: le poids du coin est plus grand et la surface de rupture plus longue. L'effet s'amplifie rapidement lorsque $β$ se rapproche de $φ^{'}$ (le terme $sin (φ^{'} - β)$ tend vers 0 et $K_{a}$ vers $cos^{2} φ^{'} / cos δ$ , soit 0,73 ici).

Parement incliné de $θ = 10°$ (fruit vers le remblai, le mur surplombant le sol): $cos^{2} (φ^{'} - θ) = cos^{2} 25° = 0, 821$ ; $cos^{2} θ = 0, 970$ ; $cos (θ + δ) = cos 33, 3° = 0, 836$ ; $cos (θ - β) = cos (- 5°) = 0, 996$ :

K_{a} = \frac{0 , 821}{0 , 970 \times 0 , 836 \times [ 1 + \frac{0 , 851 \times 0 , 342}{0 , 836 \times 0 , 996} ] ^{2}} = \frac{0 , 821}{0 , 811 \times ( 1 + 0 , 591 ) ^{2}} = 0, 400.

Avec cette convention ( $θ > 0$ lorsque le parement s'incline au-dessus du remblai), le coin de sol porté par le mur est plus lourd et $K_{a}$ augmente de 0,295 à 0,400; la poussée s'applique par ailleurs sur la longueur du parement $H / cos θ$ . Un parement incliné dans l'autre sens (mur «couché» contre le talus, $θ < 0$ ) réduit au contraire la poussée.

Exercice 9.3 · Fouille dans une argile lacustre

Une tranchée de 6 m de profondeur doit être ouverte dans une argile lacustre saturée ( $c_{u} = 35$ kPa, $γ = 19$ kN/m³) à Lausanne. Déterminer la profondeur théorique des fissures de traction, la hauteur critique non soutenue $H_{c}$ et la hauteur admissible avec un facteur de 1,5. La tranchée sera blindée: calculer la poussée non drainée sur le blindage en négligeant la zone en traction, puis en admettant que les fissures de traction se remplissent d'eau. Commenter.

Solution

$c_{u} = 35$ kPa, $γ = 19$ kN/m³, $H = 6$ m, comportement non drainé ( $K_{a} = 1$ ).

Fissures de traction (9.4). $z_{0} = 2 c_{u} / γ = 70/19 = 3, 68$ m.

Hauteur critique. $H_{c} = 4 c_{u} / γ = 7, 37$ m; avec un facteur de 1,5: $H_{a d m} = 4, 9$ m. La tranchée de 6 m dépasse la hauteur admissible: elle doit être blindée. Rappelons que la théorie suppose une paroi verticale infinie et un sol homogène; les lits silteux des argiles lacustres, les fissures existantes et le drainage progressif réduisent encore la hauteur réellement tenable, et la SUVA impose de toute façon un blindage au-delà de 1,5 m.

Poussée sans traction. $σ_{a} (6) = γ H - 2 c_{u} = 114 - 70 = 44$ kPa. Le diagramme est un triangle entre $z_{0} = 3, 68$ m et $6$ m:

P_{a} = \frac{1}{2} \times 44 \times (6 - 3, 68) = 51, 0 kN/m,

appliquée à $(6 - 3, 68) /3 = 0, 77$ m au-dessus du fond.

Fissures remplies d'eau. Pression hydrostatique sur la hauteur $z_{0}$ : $P_{w} = \frac{1}{2} γ_{w} z_{0}^{2} = 0, 5 \times 9, 81 \times 3, 6 8^{2} = 66, 6$ kN/m, appliquée à $6 - 3, 68 + 3, 68/3 = 3, 54$ m au-dessus du fond. Poussée totale: $51, 0 + 66, 6 = 117, 5$ kN/m.

Commentaire. L'eau dans les fissures fait plus que doubler la poussée et déplace fortement son point d'application vers le haut, ce qui est très défavorable pour le blindage (moment en tête) et pour les étais supérieurs. En pratique, les blindages de fouille dans les argiles sont dimensionnés avec des diagrammes empiriques (Terzaghi-Peck) qui ne tombent jamais en dessous d'une pression minimale, précisément pour couvrir ce type de situation et la perte de résistance non drainée au cours du temps.

Exercice 9.4 · Mur poids en béton

Un mur poids en béton non armé ( $γ_{c} = 24$ kN/m³) de 3,5 m de hauteur a une section trapézoïdale: 0,6 m en tête, 2,0 m à la base, parement arrière vertical et parement avant incliné. Il retient un remblai graveleux ( $φ^{'} = 33°$ , $γ = 19$ kN/m³) à surface horizontale, sans surcharge ni eau, avec un frottement sol-mur $δ = 20°$ ; il est coulé en place sur une grave ( $δ_{b} = φ^{'}$ ). Vérifier avec les valeurs caractéristiques le renversement, le glissement et l'excentricité, puis effectuer les vérifications EQU et GEO avec les facteurs partiels du cours ( $γ_{φ} = 1, 2$ appliqué à $tan φ^{'}$ et à $tan δ$ ).

Solution

Géométrie et poids (origine $O$ à l'arête avant, parement arrière en $x = 2, 0$ m). Rectangle arrière $0, 6 \times 3, 5$ m: $W_{1} = 0, 6 \times 3, 5 \times 24 = 50, 4$ kN/m à $x_{1} = 2, 0 - 0, 3 = 1, 70$ m. Triangle avant de base $1, 4$ m: $W_{2} = \frac{1}{2} \times 1, 4 \times 3, 5 \times 24 = 58, 8$ kN/m à $x_{2} = \frac{2}{3} \times 1, 4 = 0, 93$ m. $W = 109, 2$ kN/m; $M_{W} = 50, 4 \times 1, 70 + 58, 8 \times 0, 93 = 140, 6$ kN·m/m.

Poussée de Coulomb (9.8) avec $φ^{'} = 33°$ , $δ = 20°$ : $K_{a} = 0, 265$ ; $P_{a} = \frac{1}{2} \times 0, 265 \times 19 \times 3, 5^{2} = 30, 8$ kN/m; $P_{ah} = 30, 8 cos 20° = 29, 0$ kN/m à $H /3 = 1, 17$ m; $P_{a v} = 10, 6$ kN/m à $x = 2, 0$ m.

Vérifications avec les valeurs caractéristiques.

Renversement: $M_{d s t} = 29, 0 \times 1, 167 = 33, 8$ kN·m/m; $M_{s t b} = 140, 6 + 10, 6 \times 2, 0 = 161, 7$ kN·m/m; rapport $4, 8$ .
Glissement: $N = 109, 2 + 10, 6 = 119, 8$ kN/m; $R = 119, 8 tan 33° = 77, 8$ kN/m; rapport $77, 8/29, 0 = 2, 7$ .
Excentricité: $x = (161, 7 - 33, 8) /119, 8 = 1, 07$ m; $e = 1, 00 - 1, 07 = - 0, 07$ m, c'est-à-dire que la résultante passe légèrement derrière le centre de la base, à l'intérieur du tiers central ( $∣ e ∣ < B /6 = 0, 33$ m). Contraintes: $q = 119, 8/2, 0 \times (1 \pm 6 \times 0, 07/2, 0) = 47, 7$ kPa à l'avant et $72, 0$ kPa à l'arrière.

Vérification EQU (renversement). Paramètres de calcul: $tan φ_{d}^{'} = tan 33°/1, 2$ , $φ_{d}^{'} = 28, 4°$ ; $tan δ_{d} = tan 20°/1, 2$ , $δ_{d} = 16, 9°$ ; $K_{a, d} = 0, 318$ ; $P_{a, d} = \frac{1}{2} \times 0, 318 \times 19 \times 3, 5^{2} = 37, 0$ kN/m; $P_{ah, d} = 35, 4$ kN/m; $P_{a v, d} = 10, 7$ kN/m.

$M_{d s t, d} = 1, 1 \times 35, 4 \times 1, 167 = 45, 4$ kN·m/m; $M_{s t b, d} = 0, 9 \times (140, 6 + 10, 7 \times 2, 0) = 145, 8$ kN·m/m. Vérifié (rapport 3,2).

Vérification GEO (glissement). $H_{d} = 1, 35 \times 35, 4 = 47, 8$ kN/m; $R_{d} = (109, 2 + 10, 7) tan 28, 4° = 119, 9 \times 0, 541 = 64, 9$ kN/m. Vérifié (rapport 1,36).

Conclusion. Le mur est stable avec des marges confortables; comme toujours, le glissement est la vérification la plus tendue. Le contrôle de la portance de la grave sous $q_{ma x} \approx 72$ kPa (chapitre 10) et de la stabilité générale (chapitre 12) complète le dimensionnement; le drainage arrière reste obligatoire, le calcul ayant été mené sans eau.

Références

SIA 267, Géotechnique, et SIA 267/1, Géotechnique – Spécifications complémentaires, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
SIA 260, Bases pour l'élaboration des projets de structures porteuses, et SIA 261, Actions sur les structures porteuses, SIA, Zurich.
SN EN 1997-1, Eurocode 7: Calcul géotechnique – Partie 1: Règles générales (annexe C: coefficients de poussée et de butée).
Recordon, E., Mécanique des sols, cours EPFL, Presses polytechniques et universitaires romandes.
Schlosser, F., Éléments de mécanique des sols, Presses de l'ENPC, Paris.
Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, Springer, Berlin; Craig, R. F., Craig's Soil Mechanics, Spon Press, Londres.

Objectifs du chapitre

Les trois états de contrainte

Théorie de Rankine

Sol cohérent et fissures de traction

Poussée non drainée

Surface libre inclinée

Diagrammes de poussée

Théorie de Coulomb

Effet du compactage

Explorateur de poussée des terres

Ouvrages de soutènement

Dimensionnement d'un mur cantilever

Forces en présence

Format de vérification selon SIA 267

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 9

Vérification d'un mur cantilever à Fribourg

Coefficient de poussée

Poussées

Poids et moment stabilisant

Renversement (EQU)

Glissement (GEO) et excentricité

Exercices

Références