Compressibilité et consolidation · Mécanique des sols

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

distinguer le tassement immédiat, le tassement de consolidation primaire et le tassement secondaire, et expliquer le mécanisme de la consolidation par l'analogie du ressort et du piston;
interpréter un essai œdométrique (SN EN ISO 17892-5) et en tirer $C_{c}$ , $C_{s}$ , $σ_{p}^{'}$ , l'OCR et le module œdométrique $M_{E}$ ;
calculer le tassement final de consolidation d'une couche d'argile normalement consolidée ou surconsolidée, au besoin par sous-couches;
appliquer la théorie de Terzaghi pour estimer l'évolution du tassement dans le temps ( $c_{v}$ , $T_{v}$ , $U$ ) selon les conditions de drainage;
estimer le tassement secondaire et décrire les méthodes d'accélération de la consolidation (préchargement, drains verticaux).

Compressibilité des sols

Lorsqu'un ouvrage charge le sol, celui-ci se déforme et l'ouvrage s'enfonce: c'est le tassement. Dans un sable ou une grave, l'essentiel du tassement se produit pendant la construction; on le calcule avec un module de déformation (chapitre 10). Dans une argile saturée, au contraire, le tassement peut se poursuivre pendant des années après la fin des travaux. Les remblais de l'autoroute A1 sur le Plateau, les quais du Seeland ou les bâtiments fondés sur les argiles lacustres de Vidy, Yverdon ou Genève en témoignent: le sol y est compressible et peu perméable, et c'est la lenteur de l'expulsion de l'eau interstitielle qui gouverne la vitesse du tassement.

Pour les argiles molles, $s_{c}$ domine largement; ce chapitre lui est consacré. Le tassement immédiat des argiles est en général faible (de l'ordre de 10 % du tassement total) et le tassement secondaire ne devient important que dans les sols organiques et les tourbes.

L'analogie du ressort et du piston

Terzaghi a proposé en 1923 une image restée classique. Un cylindre rempli d'eau est fermé par un piston percé d'un petit orifice et soutenu par un ressort. Le ressort représente le squelette solide, l'eau représente l'eau interstitielle et l'orifice la perméabilité du sol.

À l'instant où l'on pose une charge $Δ σ$ sur le piston, l'eau, incompressible, ne peut s'échapper: elle reprend toute la charge. La surpression interstitielle vaut $Δ u = Δ σ$ et le ressort n'est pas encore comprimé ( $Δ σ^{'} = 0$ ).
L'eau s'écoule par l'orifice sous l'effet de la surpression; le piston descend, le ressort se comprime et reprend progressivement la charge: $Δ σ^{'}$ augmente tandis que $Δ u$ diminue, avec à tout instant $Δ σ = Δ σ^{'} + Δ u$ (principe des contraintes effectives, chapitre 5).
Lorsque $Δ u = 0$ , la charge est entièrement reprise par le ressort: la consolidation primaire est terminée.

La consolidation est donc le transfert progressif de la charge de l'eau vers le squelette, à une vitesse dictée par la perméabilité et la longueur du chemin de drainage. Le tassement final ne dépend que de la raideur du ressort (compressibilité du squelette); sa vitesse ne dépend que de l'orifice (perméabilité) et de la quantité d'eau à évacuer.

L'essai œdométrique

Figure 6.1. Cellule œdométrique: l'éprouvette est confinée latéralement par une bague rigide et drainée par ses deux faces. Le comparateur mesure le tassement Δh sous chaque palier de charge.

L'essai livre deux familles de résultats: la courbe tassement-temps de chaque palier, dont on tire le coefficient de consolidation $c_{v}$ (section sur la détermination de $c_{v}$ ), et la courbe indice des vides-contrainte à la fin de chaque palier, qui caractérise la compressibilité. Cette dernière se trace en portant $e$ en fonction de $lo g σ^{'}$ : c'est la courbe e–log σ' de la figure 6.2.

Figure 6.2. Courbe de compressibilité e–log σ' d'une argile lacustre: branche de recompression, droite vierge de pente C_c, boucle de décharge-recharge de pente C_s, et construction de Casagrande pour la pression de préconsolidation σ'_p.

Indices de compression et de gonflement

Sur la courbe e–log σ', on distingue une branche initiale peu inclinée, puis, au-delà d'une contrainte particulière $σ_{p}^{'}$ , une droite nettement plus raide appelée droite vierge (ou courbe de compression vierge). En déchargeant, le sol ne revient pas sur la droite vierge: il gonfle légèrement le long d'une branche de faible pente, à peu près parallèle à la branche initiale.

Ordres de grandeur: $C_{c}$ de 0,05 à 0,15 pour les silts et argiles peu plastiques, de 0,2 à 0,5 pour les argiles lacustres suisses, supérieur à 1 pour les tourbes. Faute d'essai, on utilise des corrélations avec la limite de liquidité, la plus connue étant celle de Skempton pour les argiles remaniées, adaptée par Terzaghi et Peck aux argiles intactes de sensibilité faible à moyenne:

C_{c} \approx 0, 009 (w_{L} - 10) (w_{L} en %) . (6.3)

Pour $w_{L} = 49 %$ , on obtient $C_{c} \approx 0, 35$ , valeur que nous retiendrons pour l'argile lacustre servant de fil rouge à ce chapitre. Ces corrélations servent aux avant-projets; un projet d'exécution exige des essais œdométriques sur échantillons intacts.

Pression de préconsolidation et OCR

Un sol dont la contrainte effective actuelle $σ_{v 0}^{'}$ est égale à $σ_{p}^{'}$ est dit normalement consolidé (NC): il n'a jamais été chargé davantage et tout accroissement de charge le fait tasser suivant la droite vierge. Un sol dont $σ_{v 0}^{'} < σ_{p}^{'}$ est surconsolidé (OC): il a subi dans le passé une charge supérieure, aujourd'hui disparue. On quantifie ce degré de surconsolidation par le rapport de surconsolidation

OCR = \frac{σ _{p}^{'}}{σ _{v 0}^{'}} . (6.4)

Les causes de surconsolidation sont multiples: érosion d'une couverture de terrain, fonte d'un glacier (les moraines de fond du Plateau ont supporté plusieurs centaines de mètres de glace et sont fortement surconsolidées, OCR souvent supérieur à 5), dessiccation d'une croûte superficielle, fluctuations de la nappe, vieillissement et cimentation. Les argiles lacustres post-glaciaires du Plateau sont au contraire normalement consolidées ou légèrement surconsolidées (OCR de 1 à 2), sauf dans la croûte des premiers mètres.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la construction de Casagrande pour déterminer $σ_{p}^{'}$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Prolonger la droite vierge jusqu'à couper la bissectrice: l'abscisse de l'intersection est σ'_p

Repérer le point P de courbure maximale de la courbe

Tracer la courbe e–log σ' à partir des indices des vides en fin de palier

Tracer la bissectrice de l'angle formé par ces deux droites

Tracer par P l'horizontale et la tangente à la courbe

Exercice

Une argile a une pression de préconsolidation $σ_{p}^{'} = 150$ kPa et une contrainte effective en place $σ_{v 0}^{'} = 60$ kPa. Que signifie son OCR?

Module œdométrique

Les ingénieurs de structures raisonnent en modules plutôt qu'en indices. Le module œdométrique est le rapport entre l'accroissement de contrainte effective et la déformation verticale relative qu'il produit, dans les conditions de l'œdomètre (déformation latérale nulle):

M_{E} = \frac{Δ σ ^{'}}{Δ ε}, Δ ε = \frac{Δ h}{h _{0}} = \frac{Δ e}{1 + e _{0}} . (6.5)

Son inverse $m_{v} = 1/ M_{E}$ est le coefficient de compressibilité volumique. Contrairement à $C_{c}$ , $M_{E}$ n'est pas une constante du sol: il croît avec la contrainte, puisque la droite vierge est une droite en $lo g σ^{'}$ et non en $σ^{'}$ . Sur la droite vierge, entre $σ_{1}^{'}$ et $σ_{2}^{'}$ , on a $Δ e = C_{c} lo g (σ_{2}^{'} / σ_{1}^{'})$ , d'où, en linéarisant autour de la contrainte moyenne $σ_{m oy}^{'}$ ,

M_{E} \approx \frac{( 1 + e _{0} ) σ _{m oy}^{'} ln 10}{C _{c}} = 2, 3 \frac{( 1 + e _{0} ) σ _{m oy}^{'}}{C _{c}} . (6.6)

Il faut donc toujours préciser à quel intervalle de contrainte un module œdométrique se rapporte. Ordres de grandeur: 1 à 5 MPa pour les argiles lacustres molles, 5 à 20 MPa pour les argiles fermes et les silts, 20 à 100 MPa pour les moraines et les graves compactes.

Calcul du tassement de consolidation

Couche unique

Considérons une couche d'argile d'épaisseur $H$ et d'indice des vides initial $e_{0}$ , soumise en son milieu à la contrainte effective initiale $σ_{0}^{'}$ et à un accroissement $Δ σ$ dû à l'ouvrage, de sorte que la contrainte finale vaut $σ_{f}^{'} = σ_{0}^{'} + Δ σ$ . Le tassement de la couche est la variation de sa hauteur; comme le volume des grains est constant,

s_{c} = \frac{Δ e}{1 + e _{0}} H . (6.7)

La variation d'indice des vides $Δ e$ se lit sur la courbe e–log σ', selon la position de $σ_{0}^{'}$ et $σ_{f}^{'}$ par rapport à $σ_{p}^{'}$ . Trois cas se présentent.

L'expression (6.10) est la plus générale: elle redonne (6.8) si $σ_{p}^{'} = σ_{0}^{'}$ et (6.9) si $σ_{p}^{'} = σ_{f}^{'}$ . Avec le module œdométrique, on écrit de façon équivalente $s_{c} = Δ σ H / M_{E}$ , forme pratique lorsque $Δ σ$ est petit devant $σ_{0}^{'}$ .

Exemple 6.2 · Influence de la surconsolidation

À Yverdon, un radier de grande emprise transmet $Δ σ = 60$ kPa à un profil constitué de 2 m de sable ( $γ = 19$ kN/m³, nappe à 2 m de profondeur) reposant sur 6 m d'argile lacustre ( $γ_{s a t} = 17, 5$ kN/m³, $e_{0} = 1, 1$ , $C_{c} = 0, 35$ , $C_{s} = 0, 05$ ) puis une grave. L'essai œdométrique donne $σ_{p}^{'} = 100$ kPa. Calculer le tassement final, et le comparer à celui qu'on obtiendrait en supposant l'argile normalement consolidée.

Contrainte initiale au milieu de l'argile (profondeur 5 m):

σ_{0}^{'} = 2 \times 19 + 3 \times (17, 5 - 9, 81) = 38 + 23, 1 = 61, 1 kPa .

D'où OCR $= 100/61, 1 = 1, 64$ : argile légèrement surconsolidée. La contrainte finale $σ_{f}^{'} = 61, 1 + 60 = 121, 1$ kPa dépasse $σ_{p}^{'}$ : on est dans le cas 3.

Tassement (6.10).

s_{c} = \frac{6}{2 , 1} [0, 05 lo g \frac{100}{61 , 1} + 0, 35 lo g \frac{121 , 1}{100}] = 2, 857 [0, 0107 + 0, 0291] = 0, 114 m .

Hypothèse NC. Avec (6.8), $s_{c} = 2, 857 \times 0, 35 \times lo g (121, 1/61, 1) = 0, 297$ m. Ignorer la surconsolidation conduirait ici à surestimer le tassement de 160 %. Inversement, si la charge n'avait été que de 30 kPa ( $σ_{f}^{'} = 91, 1$ kPa $< σ_{p}^{'}$ ), le cas 2 aurait donné $s_{c} = 2, 857 \times 0, 05 \times lo g (91, 1/61, 1) = 0, 025$ m: un tassement presque négligeable. La détermination soignée de $σ_{p}^{'}$ est donc l'étape décisive de tout calcul de tassement.

Exercice

Une couche d'argile normalement consolidée de 4 m d'épaisseur ( $e_{0} = 1, 1$ , $C_{c} = 0, 35$ ) est soumise, en son milieu, à $σ_{0}^{'} = 50$ kPa et à un accroissement $Δ σ = 40$ kPa. Calculez le tassement final de consolidation, en cm.

Méthode par sous-couches

Les formules (6.8) à (6.10) supposent que $σ_{0}^{'}$ et $Δ σ$ sont uniformes sur toute la couche, ce qui n'est vrai ni pour l'une (elle croît avec la profondeur) ni pour l'autre (sous une fondation de dimensions finies, $Δ σ$ décroît avec la profondeur, chapitre 5). Comme le logarithme n'est pas linéaire, le calcul au milieu de la couche n'est exact que pour une couche mince. Dès que $H$ dépasse 3 à 4 m, ou que $Δ σ$ varie fortement, on découpe la couche en sous-couches d'épaisseur $H_{i}$ (1 à 2 m), on évalue $σ_{0, i}^{'}$ , $σ_{p, i}^{'}$ et $Δ σ_{i}$ au milieu de chacune, et l'on somme:

s_{c} = i \sum \frac{H _{i}}{1 + e _{0, i}} [C_{s} lo g \frac{σ _{p, i}^{'}}{σ _{0, i}^{'}} + C_{c} lo g \frac{σ _{f, i}^{'}}{σ _{p, i}^{'}}] . (6.11)

L'exercice 6.2 compare les deux approches: pour une couche NC de 6 m sous un remblai étendu, le calcul par trois sous-couches donne un tassement d'environ 4 % supérieur au calcul en une seule couche. L'écart devient bien plus important sous une semelle isolée, où $Δ σ$ s'atténue rapidement.

Théorie de la consolidation unidimensionnelle

L'équation de Terzaghi

Reprenons l'analogie du ressort en la rendant continue: une couche d'argile saturée, d'épaisseur $2 H$ ou $H$ , drainée par une ou deux faces, reçoit à l'instant $t = 0$ un accroissement de contrainte totale $Δ σ$ uniforme. À cet instant, $Δ u = Δ σ$ partout. L'écoulement obéit à la loi de Darcy (chapitre 4), le squelette à la relation $Δ ε = Δ σ^{'} / M_{E}$ , et la conservation de la masse d'eau lie les deux. Terzaghi obtient, avec les hypothèses de $k$ et $M_{E}$ constants, de petites déformations et d'un écoulement purement vertical:

\frac{\partial u}{\partial t} = c_{v} \frac{\partial ^{2} u}{\partial z ^{2}}, c_{v} = \frac{k M _{E}}{γ _{w}} = \frac{k}{m _{v} γ _{w}} . (6.12)

L'équation (6.12) est l'équation de la chaleur: la surpression interstitielle «diffuse» vers les faces drainantes, où elle est nulle. Sa solution dépend de deux variables adimensionnelles: la profondeur relative $z / H_{d r}$ et le facteur temps

T_{v} = \frac{c _{v} t}{H _{d r}^{2}}, (6.13)

où $H_{d r}$ est la longueur de drainage, c'est-à-dire le plus long chemin que doit parcourir une particule d'eau pour atteindre une face drainante:

drainage double (couche entre deux niveaux perméables: sable, gravier): $H_{d r} = H /2$ ;
drainage simple (couche reposant sur un substratum imperméable, molasse marneuse ou moraine argileuse): $H_{d r} = H$ .

Isochrones et degré de consolidation

La solution de (6.12) se présente sous la forme d'une série. À un instant donné, la répartition de $u$ sur la hauteur de la couche s'appelle une isochrone (figure 6.3). Près des faces drainantes, la surpression se dissipe vite; au centre, elle persiste longtemps.

Figure 6.3. Isochrones de surpression interstitielle dans une couche à double drainage, pour différentes valeurs du facteur temps T_v. La surpression se dissipe d'abord aux faces drainantes et subsiste le plus longtemps au centre de la couche.

Les valeurs correspondantes, à mémoriser au moins pour 50 et 90 %, sont les suivantes.

$U$ (%)	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
$T_{v}$	0,008	0,031	0,071	0,126	0,197	0,287	0,403	0,567	0,848	∞

Théoriquement, la consolidation n'est jamais achevée; en pratique on considère qu'elle l'est à $U = 90$ ou 95 %. Le temps nécessaire pour atteindre un degré $U$ donné s'obtient en inversant (6.13):

t_{U} = \frac{T _{v} ( U ) H _{d r}^{2}}{c _{v}}, par exemple t_{90} = \frac{0 , 848 H _{d r}^{2}}{c _{v}} . (6.15)

Exemple 6.3 · Durée de la consolidation

L'argile de l'exemple 6.2 (6 m d'épaisseur, entre un sable et une grave) a un coefficient de consolidation $c_{v} = 3$ m²/an. En combien de temps 50 % puis 90 % du tassement de 11,4 cm seront-ils atteints? Quel serait le résultat si la grave était remplacée par une molasse marneuse imperméable?

Drainage double. $H_{d r} = 6/2 = 3$ m. D'après (6.15):

t_{50} = \frac{0 , 197 \times 3 ^{2}}{3} = 0, 59 an \approx 7 mois, t_{90} = \frac{0 , 848 \times 9}{3} = 2, 5 ans .

Un an après la mise en charge, $T_{v} = 3 \times 1/9 = 0, 333$ , d'où $U = 1 - 0, 811 exp (- 0, 822) = 0, 64$ : le tassement vaut alors $0, 64 \times 11, 4 = 7, 3$ cm.

Drainage simple. $H_{d r} = 6$ m: $t_{50} = 0, 197 \times 36/3 = 2, 4$ ans et $t_{90} = 0, 848 \times 36/3 = 10, 2$ ans. Le tassement final est le même, mais il s'étale sur une décennie: la nature du substratum change complètement la stratégie de construction (attente, préchargement, drains).

Explorateur de la consolidation unidimensionnelle

Faites varier le coefficient de consolidation, l'épaisseur de la couche et les conditions de drainage: la courbe U(t) et l'isochrone de surpression interstitielle à l'instant t se recalculent.

H_dr

4.00m

T_v(t)

0.563

U(t)

79.8%

t₅₀

1.05ans

t₉₀

4.52ans

u_max/Δσ à t

0.32

Coefficient c_v3.0m²/an

Épaisseur de la couche H8.0m

Faces drainantes (1 = simple, 2 = double)double

Temps t3.00ans

Exercice

Une couche d'argile de 8 m repose sur une moraine argileuse très peu perméable et est surmontée d'une grave. Quelle longueur de drainage faut-il adopter dans le calcul de $T_{v}$ ?

Exercice

Pour la couche de la question précédente ( $H_{d r} = 8$ m, drainage simple) avec $c_{v} = 3$ m²/an, calculez le temps nécessaire pour atteindre 90 % de consolidation, en années.

Détermination de $c_{v}$ en laboratoire

Chaque palier de l'essai œdométrique fournit une courbe tassement-temps dont on tire $c_{v}$ en identifiant un point remarquable de la courbe théorique $U (T_{v})$ .

Méthode de Casagrande (log t): le tassement est porté en fonction de $lo g t$ . La courbe présente une forme en S; on détermine le tassement initial $d_{0}$ (par la parabole des premiers instants) et le tassement de fin de consolidation primaire $d_{100}$ (intersection de la tangente au point d'inflexion et de l'asymptote du fluage). Le point à mi-chemin donne $t_{50}$ , d'où $c_{v} = 0, 197 H_{d r}^{2} / t_{50}$ .
Méthode de Taylor ( $t$ ): le tassement est porté en fonction de $t$ . La partie initiale est une droite (conséquence de $U \propto T_{v}$ ); on trace une seconde droite d'abscisses 1,15 fois plus grandes, dont l'intersection avec la courbe donne $t_{90}$ , d'où $c_{v} = 0, 848 H_{d r}^{2} / t_{90}$ .

Dans l'œdomètre, l'éprouvette est drainée par ses deux faces: $H_{d r}$ est la moitié de sa hauteur moyenne pendant le palier. Les deux méthodes donnent des valeurs qui peuvent différer de 20 à 50 %; Taylor tend à donner des $c_{v}$ plus élevés. La valeur en place est souvent supérieure à la valeur de laboratoire à cause des lits silteux et sableux qui raccourcissent les chemins de drainage; d'où l'intérêt de la mesurer sur ouvrage instrumenté (tassomètres, piézomètres).

Tassement secondaire

Après la dissipation des surpressions interstitielles, le tassement continue lentement, sous contrainte effective constante: c'est le fluage ou consolidation secondaire, lié au réarrangement progressif des particules et à la déformation visqueuse des liaisons interparticulaires. Il est à peu près linéaire en $lo g t$ , ce qui conduit à définir l'indice de fluage (ou de compression secondaire)

C_{α} = - \frac{Δ e}{Δ lo g t}, s_{s} = \frac{C _{α}}{1 + e _{p}} H lo g \frac{t}{t _{p}}, (6.16)

où $t_{p}$ est le temps de fin de consolidation primaire et $e_{p}$ l'indice des vides à cet instant. Le rapport $C_{α} / C_{c}$ est remarquablement constant pour une famille de sols: 0,02 à 0,04 pour les argiles minérales, 0,05 à 0,07 pour les sols organiques et les tourbes. Pour notre argile lacustre ( $C_{α} \approx 0, 008$ , $e_{p} \approx 1, 05$ , $H = 6$ m, $t_{p} = 2, 5$ ans), le tassement secondaire entre 2,5 et 50 ans vaut $0, 008/2, 05 \times 6 \times lo g 20 = 0, 030$ m: 3 cm, soit un quart du tassement primaire, ce qui n'est pas négligeable pour un ouvrage sensible. Dans les tourbes du Seeland ou de la vallée de l'Orbe, le fluage peut dépasser le tassement primaire.

Accélération de la consolidation

Lorsque la durée de consolidation est incompatible avec le programme des travaux, on dispose de deux leviers, parfois combinés.

Préchargement. On met en place un remblai provisoire d'une hauteur supérieure à la charge définitive (surcharge). Le tassement final visé sous la charge définitive est atteint plus tôt, puisque la surcharge accélère le tassement sans changer $c_{v}$ ; on enlève la surcharge lorsque le tassement mesuré atteint la valeur calculée pour l'ouvrage définitif. Le sol est alors légèrement surconsolidé vis-à-vis de la charge définitive, ce qui réduit aussi le tassement secondaire ultérieur. C'est la méthode classique des remblais autoroutiers sur les argiles du Plateau (A1 dans le Gros-de-Vaud et le Seeland, A9 dans la plaine du Rhône), avec un suivi par tassomètres et piézomètres qui permet d'ajuster $c_{v}$ en cours de chantier.

Drains verticaux. On fonce dans l'argile des drains préfabriqués (bandes de géotextile de 100 mm de largeur) selon un maillage triangulaire ou carré de 1 à 3 m. L'eau s'écoule alors horizontalement vers le drain le plus proche: la longueur de drainage passe de plusieurs mètres à moins d'un mètre, et l'on profite de la perméabilité horizontale $k_{h}$ , souvent 2 à 5 fois supérieure à $k_{v}$ dans les dépôts lacustres varvés. La théorie de la consolidation radiale de Barron donne le degré de consolidation $U_{r}$ en fonction d'un facteur temps radial $T_{r} = c_{h} t / d_{e}^{2}$ , où $d_{e}$ est le diamètre d'influence du drain (1,05 fois l'entraxe pour une maille triangulaire, 1,13 pour une maille carrée), et d'une fonction du rapport $d_{e} / d_{w}$ entre ce diamètre et celui du drain. Le degré de consolidation combiné vaut $1 - U = (1 - U_{v}) (1 - U_{r})$ . En pratique, des drains espacés de 1,5 m ramènent une consolidation de dix ans à quelques mois.

Synthèse

Le tassement d'un sol fin saturé se décompose en tassement immédiat, tassement de consolidation primaire (expulsion de l'eau, transfert de la charge de l'eau au squelette) et tassement secondaire (fluage).
L'essai œdométrique fournit la courbe e–log σ', dont on tire $C_{c}$ (droite vierge), $C_{s}$ (décharge-recharge), $σ_{p}^{'}$ (construction de Casagrande) et $M_{E}$ ; l'OCR $= σ_{p}^{'} / σ_{v 0}^{'}$ distingue les sols NC et OC.
Tassement final: $s_{c} = \frac{H}{1 + e _{0}} [C_{s} lo g \frac{σ _{p}^{'}}{σ _{0}^{'}} + C_{c} lo g \frac{σ _{f}^{'}}{σ _{p}^{'}}]$ , à évaluer par sous-couches dès que la couche est épaisse ou la charge non uniforme.
Vitesse: $T_{v} = c_{v} t / H_{d r}^{2}$ et $U (T_{v})$ (0,197 pour 50 %, 0,848 pour 90 %); la durée est proportionnelle au carré de la longueur de drainage ( $H$ ou $H /2$ ).
$c_{v}$ se mesure sur les courbes tassement-temps de l'œdomètre (Casagrande log t, Taylor √t); les valeurs en place sont souvent plus élevées.
Préchargement et drains verticaux permettent d'obtenir l'essentiel du tassement avant la construction de l'ouvrage définitif.

Série d'exercices du chapitre 6

Exercice 1 sur 5

Exercice

Quel paramètre gouverne l'amplitude du tassement final de consolidation, et lequel gouverne sa vitesse?

Problème guidé

Remblai sur argile lacustre du Seeland

Un remblai routier de 3 m de hauteur ( $γ = 20$ kN/m³), de grande largeur, doit être construit dans le Seeland sur une couche d'argile lacustre de 8 m d'épaisseur reposant sur une grave. La nappe affleure à la surface du terrain. L'argile est normalement consolidée: $γ_{s a t} = 17, 5$ kN/m³, $e_{0} = 1, 1$ , $C_{c} = 0, 35$ , $c_{v} = 3$ m²/an; $γ_{w} = 9, 81$ kN/m³.

1
Contrainte effective initiale
Le calcul en une seule couche se fait au milieu de l'argile, à 4 m de profondeur, sous la nappe.
Exercice
Calculez $σ_{0}^{'}$ au milieu de la couche, en kPa.
kPa
Contrainte finale
Tassement final
Temps pour 90 % de consolidation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Dépouillement d'un essai œdométrique

Un essai œdométrique sur une argile lacustre de Neuchâtel ( $e_{0} = 1, 10$ ) a donné les indices des vides suivants en fin de palier.

$σ^{'}$ (kPa)	12,5	25	50	100	200	400	800	200 (décharge)	50 (décharge)
$e$	1,100	1,090	1,070	1,020	0,920	0,815	0,710	0,740	0,770

Tracer la courbe e–log σ'. Déterminer $C_{c}$ et $C_{s}$ , estimer $σ_{p}^{'}$ par la construction de Casagrande, et calculer le module œdométrique entre 100 et 200 kPa. L'échantillon provenant de 6 m de profondeur avec $σ_{v 0}^{'} \approx 55$ kPa, l'argile est-elle NC ou OC?

Solution

Courbe e–log σ'. Les points de 12,5 à 100 kPa forment une branche peu inclinée, puis la courbe s'infléchit nettement: la droite vierge est bien définie entre 200 et 800 kPa. La décharge de 800 à 50 kPa donne une branche de faible pente.

Indice de compression. Sur la droite vierge, entre 200 et 800 kPa:

C_{c} = \frac{0 , 920 - 0 , 710}{lo g ( 800/200 )} = \frac{0 , 210}{0 , 602} = 0, 35.

(Entre 100 et 800 kPa, on obtiendrait 0,34: le point à 100 kPa est encore dans la zone de transition.)

Indice de gonflement. Sur la branche de décharge, entre 800 et 50 kPa:

C_{s} = \frac{0 , 770 - 0 , 710}{lo g ( 800/50 )} = \frac{0 , 060}{1 , 204} = 0, 050.

Pression de préconsolidation. Le point de courbure maximale se situe vers 50–100 kPa. En appliquant la construction de Casagrande (horizontale, tangente, bissectrice, prolongement de la droite vierge), on lit $σ_{p}^{'} \approx 80$ à 90 kPa. Compte tenu de la précision de la construction, on retient $σ_{p}^{'} \approx 85$ kPa.

Module œdométrique entre 100 et 200 kPa. $Δ e = 1, 020 - 0, 920 = 0, 100$ ; l'indice des vides au début du palier vaut 1,020, d'où

Δ ε = \frac{0 , 100}{1 + 1 , 020} = 0, 0495, M_{E} = \frac{100}{0 , 0495} = 2020 kPa \approx 2, 0 MPa .

État de consolidation. OCR $= σ_{p}^{'} / σ_{v 0}^{'} \approx 85/55 = 1, 5$ : l'argile est légèrement surconsolidée, comme la plupart des argiles lacustres du Plateau dans leurs premiers mètres (vieillissement, fluctuations de nappe). Un chargement jusqu'à 85 kPa restera dans le domaine de recompression; au-delà, le tassement suivra la droite vierge.

Exercice 6.2 · Calcul par sous-couches

Un remblai de grande emprise transmet $Δ σ = 50$ kPa à un profil constitué de 1,5 m de remblai sableux existant ( $γ = 18$ kN/m³) surmontant 6 m d'argile lacustre normalement consolidée ( $γ_{s a t} = 17, 5$ kN/m³, $e_{0} = 1, 1$ , $C_{c} = 0, 35$ ), la nappe étant au toit de l'argile. Calculer le tassement final (a) en une seule couche, (b) en trois sous-couches de 2 m. Commenter l'écart.

Solution

Données: $γ^{'} = 17, 5 - 9, 81 = 7, 69$ kN/m³ dans l'argile; contrainte au toit de l'argile $1, 5 \times 18 = 27$ kPa; $H / (1 + e_{0}) = 6/2, 1 = 2, 857$ m pour la couche entière, $2/2, 1 = 0, 952$ m par sous-couche de 2 m; $Δ σ = 50$ kPa uniforme.

(a) Une seule couche. Au milieu de l'argile ( $z = 3$ m sous son toit): $σ_{0}^{'} = 27 + 3 \times 7, 69 = 50, 1$ kPa, $σ_{f}^{'} = 100, 1$ kPa.

s_{c} = 2, 857 \times 0, 35 \times lo g \frac{100 , 1}{50 , 1} = 2, 857 \times 0, 35 \times 0, 301 = 0, 301 m .

(b) Trois sous-couches (milieux à 1, 3 et 5 m sous le toit de l'argile):

Sous-couche	$z$ (m)	$σ_{0}^{'}$ (kPa)	$σ_{f}^{'}$ (kPa)	$lo g (σ_{f}^{'} / σ_{0}^{'})$	$s_{i}$ (m)
1	1	34,7	84,7	0,388	0,129
2	3	50,1	100,1	0,301	0,100
3	5	65,4	115,4	0,246	0,082

avec $s_{i} = 0, 952 \times 0, 35 \times lo g (σ_{f}^{'} / σ_{0}^{'})$ . Total: $s_{c} = 0, 129 + 0, 100 + 0, 082 = 0, 312$ m.

Commentaire. Le calcul par sous-couches donne un tassement supérieur d'environ 4 % (31,2 cm contre 30,1 cm). La sous-couche supérieure, où $σ_{0}^{'}$ est faible, contribue pour 41 % au tassement total alors qu'elle ne représente qu'un tiers de l'épaisseur: c'est la conséquence de la loi logarithmique. L'écart reste modeste ici parce que $Δ σ$ est uniforme (remblai étendu); sous une semelle isolée, où $Δ σ$ décroît rapidement avec la profondeur, le calcul en une seule couche serait beaucoup plus grossier et le découpage indispensable.

Exercice 6.3 · Évolution du tassement dans le temps

Une couche d'argile de 5 m d'épaisseur ( $c_{v} = 2$ m²/an) est surmontée d'un sable et repose sur la molasse marneuse, considérée comme imperméable. Le tassement final calculé est de 20 cm. Déterminer $t_{50}$ et $t_{90}$ , ainsi que le tassement un an après le chargement. Reprendre le calcul en supposant que la molasse est remplacée par une grave drainante.

Solution

Drainage simple (molasse imperméable): $H_{d r} = H = 5$ m.

t_{50} = \frac{0 , 197 \times 5 ^{2}}{2} = 2, 46 ans, t_{90} = \frac{0 , 848 \times 25}{2} = 10, 6 ans .

Après un an: $T_{v} = 2 \times 1/25 = 0, 080$ . Comme $T_{v} < 0, 287$ , $U = 4 \times 0, 080/ π = 0, 319$ , soit 32 %; le tassement vaut $0, 32 \times 20 = 6, 4$ cm.

Drainage double (grave drainante): $H_{d r} = 2, 5$ m.

t_{50} = \frac{0 , 197 \times 6 , 25}{2} = 0, 62 an, t_{90} = \frac{0 , 848 \times 6 , 25}{2} = 2, 65 ans .

Après un an: $T_{v} = 2 \times 1/6, 25 = 0, 32 > 0, 287$ , donc $U = 1 - \frac{8}{π ^{2}} exp (- π^{2} \times 0, 32/4) = 1 - 0, 811 \times 0, 454 = 0, 632$ , soit 63 % (la formule en racine carrée donnerait 64 %, valeur acceptable à la limite de son domaine). Le tassement vaut $0, 63 \times 20 = 12, 6$ cm.

Conclusion. Le tassement final (20 cm) est le même dans les deux cas, mais la nature du substratum divise les temps par 4: la reconnaissance doit établir sans ambiguïté si la base de la couche est drainante.

Exercice 6.4 · Du laboratoire au terrain

Sous le palier 50–100 kPa, une éprouvette œdométrique de 19 mm de hauteur, drainée par ses deux faces, atteint 50 % de consolidation en 4 min. Calculer $c_{v}$ en m²/an. On envisage de fonder un remblai sur une couche de 10 m de cette argile, à double drainage. Calculer $t_{90}$ et le degré de consolidation deux ans après la mise en place du remblai. Que proposez-vous si le maître d'ouvrage exige que 90 % du tassement soit acquis en un an?

Solution

Coefficient de consolidation. Éprouvette de 19 mm drainée par ses deux faces: $H_{d r} = 9, 5$ mm $= 0, 0095$ m.

c_{v} = \frac{0 , 197 \times 0 , 009 5 ^{2}}{4} = 4, 44 \times 1 0^{- 6} m^{2} / min = 4, 44 \times 1 0^{- 6} \times 525600 = 2, 34 m^{2} / an .

Couche de 10 m à double drainage. $H_{d r} = 5$ m.

t_{90} = \frac{0 , 848 \times 25}{2 , 34} = 9, 1 ans .

Après deux ans: $T_{v} = 2, 34 \times 2/25 = 0, 187$ , $U = 4 \times 0, 187/ π = 0, 49$ : environ la moitié du tassement seulement.

Obtenir 90 % en un an. Il faudrait $H_{d r}^{2} = c_{v} t / T_{v} = 2, 34 \times 1/0, 848 = 2, 76$ m², soit $H_{d r} \approx 1, 7$ m, incompatible avec un drainage vertical naturel dans une couche de 10 m. Deux solutions, souvent combinées:

Drains verticaux préfabriqués selon une maille triangulaire de 1,5 à 2 m: l'écoulement devient radial vers les drains, sur une distance inférieure à 1 m, en mobilisant la perméabilité horizontale (souvent 2 à 5 fois supérieure à la perméabilité verticale dans les argiles lacustres varvées). La théorie de Barron permet de dimensionner l'espacement pour atteindre $U = 90$ % en quelques mois.
Préchargement par une surcharge provisoire (par exemple 1,5 à 2 m de remblai supplémentaire), qui permet d'atteindre le tassement correspondant à la charge définitive à un degré de consolidation inférieur à 90 %, donc plus tôt, et qui réduit en outre le tassement secondaire.

Dans tous les cas, un suivi par tassomètres et piézomètres est indispensable, car le $c_{v}$ en place est souvent supérieur à la valeur de laboratoire (lits silteux, drainage horizontal): le programme de travaux s'ajuste aux mesures.

Références

SN EN ISO 17892-5, Reconnaissance et essais géotechniques – Essais de laboratoire sur les sols – Partie 5: Essai de compression œdométrique par paliers.
SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
Terzaghi, K., Peck, R. B., Mesri, G., Soil Mechanics in Engineering Practice, 3e éd., Wiley, New York, 1996.
Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, 9e éd., Springer, Berlin, 2011.
Recordon, E., Mécanique des sols, cours EPFL, Presses polytechniques et universitaires romandes.
Craig, R. F., Knappett, J. A., Craig's Soil Mechanics, 8e éd., Spon Press, Londres, 2012.

Objectifs du chapitre

Compressibilité des sols

L'analogie du ressort et du piston

L'essai œdométrique

Indices de compression et de gonflement

Pression de préconsolidation et OCR

Module œdométrique

Calcul du tassement de consolidation

Couche unique

Méthode par sous-couches

Théorie de la consolidation unidimensionnelle

L'équation de Terzaghi

Isochrones et degré de consolidation

Explorateur de la consolidation unidimensionnelle

Détermination de cv​ en laboratoire

Tassement secondaire

Accélération de la consolidation

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 6

Remblai sur argile lacustre du Seeland

Contrainte effective initiale

Contrainte finale

Tassement final

Temps pour 90 % de consolidation

Exercices

Références

Détermination de $c_{v}$ en laboratoire