L'eau dans le sol · Mécanique des sols

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

distinguer l'eau libre, l'eau capillaire et l'eau adsorbée, et estimer une hauteur de remontée capillaire;
définir la charge hydraulique et le gradient hydraulique, et appliquer la loi de Darcy;
situer le coefficient de perméabilité d'un sol par son ordre de grandeur et le déterminer par des essais de laboratoire ou in situ;
calculer la perméabilité équivalente d'un sol stratifié;
lire un réseau d'écoulement pour en déduire un débit, une pression interstitielle et un gradient de sortie;
vérifier la sécurité d'une fouille contre le renard et dimensionner un filtre.

Les formes de l'eau dans le sol

Un sol naturel contient presque toujours de l'eau, mais celle-ci n'y est pas retenue de la même manière selon la taille des vides. On distingue trois formes d'eau, dont le rôle mécanique est très différent.

Dans un tube de diamètre $d$ plongé dans l'eau, le ménisque monte jusqu'à une hauteur $h_{c} = 4 T_{s} cos α / (γ_{w} d)$ , où $T_{s} \approx 0, 073$ N/m est la tension superficielle et $α$ l'angle de contact. Le sol n'est pas un faisceau de tubes, mais ses vides jouent le même rôle: plus les grains sont fins, plus la remontée est haute. Terzaghi a proposé l'estimation empirique

h_{c} \approx \frac{C}{e d _{10}}, C = 10 \overset{a}{ˋ} 50 mm^{2}, (4.1)

avec $d_{10}$ en mm et $h_{c}$ en mm. La frange capillaire est saturée sur une hauteur voisine de $h_{c}$ ; au-dessus, l'eau capillaire n'occupe plus que les points de contact entre grains (figure 4.1).

Figure 4.1. Remontée capillaire dans un tube et dans un sol. Au-dessus de la nappe, la pression interstitielle est négative: elle vaut −γ_w h_c au sommet de la frange capillaire saturée, puis devient mal définie dans la zone partiellement saturée.

Charge hydraulique et gradient

L'eau se déplace dans le sol d'un point où son énergie est élevée vers un point où elle est plus faible. Cette énergie par unité de poids est la charge hydraulique de Bernoulli. Les vitesses d'écoulement dans un sol sont si faibles (rarement plus de quelques centimètres par seconde, même dans une grave) que le terme cinétique $v^{2} /2 g$ est négligeable.

Le gradient est sans dimension. Ce n'est pas la pression qui fait couler l'eau, mais la différence de charge: dans une nappe au repos, la pression augmente avec la profondeur ( $u = γ_{w} (z_{w} - z)$ ) alors que la charge est la même partout, et rien ne coule. Réciproquement, deux points à la même pression mais à des cotes différentes sont le siège d'un écoulement.

La loi de Darcy

En 1856, l'ingénieur Henry Darcy, chargé de l'alimentation en eau de Dijon, mesure le débit traversant des colonnes de sable sous différentes charges. Il constate que le débit est proportionnel à la perte de charge et inversement proportionnel à la longueur du parcours. Le dispositif de la figure 4.2, le perméamètre à charge constante, reproduit son expérience.

Figure 4.2. Perméamètre à charge constante. Le réservoir à trop-plein maintient la charge amont; deux piézomètres piqués dans l'échantillon mesurent la perte de charge Δh sur la longueur L. On recueille le volume V écoulé pendant le temps t.

La vitesse $v$ de Darcy est une vitesse fictive: elle rapporte le débit à la section totale $A$ , alors que l'eau ne circule que dans les vides, de section $n A$ . La vitesse réelle moyenne des particules d'eau vaut donc

v_{s} = \frac{v}{n}, (4.5)

toujours supérieure à $v$ . Pour un sable de porosité $n = 0, 35$ et de perméabilité $k = 5 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s soumis à un gradient $i = 0, 02$ , on obtient $v = 1 0^{- 5}$ m/s mais $v_{s} = 2, 9 \cdot 1 0^{- 5}$ m/s, soit 2,5 m par jour: c'est la vitesse à laquelle une pollution est transportée par la nappe.

La loi de Darcy suppose un écoulement laminaire. Elle est valable pour tous les sols fins et les sables; dans les graves très ouvertes et les enrochements, l'écoulement devient turbulent au-delà d'un nombre de Reynolds de l'ordre de 1 à 10 et le débit croît moins vite que le gradient. À l'autre extrême, dans les argiles compactes, on observe parfois un gradient seuil en dessous duquel l'écoulement est imperceptible. Pour la pratique du génie civil, la loi de Darcy reste l'outil de base.

Exercice

Un traceur est injecté dans une nappe de sable ( $k = 2 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s, $n = 0, 30$ ) où le gradient vaut $i = 0, 005$ . Au bout de combien de temps environ atteint-il un puits situé à 30 m?

Exemple 4.2 · Essais au perméamètre

Charge constante. Un sable de la plaine du Rhône est placé dans un perméamètre de diamètre 100 mm. Les piézomètres, distants de $L = 150$ mm, indiquent une différence de niveau $Δ h = 0, 30$ m. On recueille $V = 1, 2$ L en $t = 120$ s.

A = \frac{π \times 0 , 10 0 ^{2}}{4} = 7, 85 \cdot 1 0^{- 3} m^{2}, Q = \frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{- 3}}{120} = 1, 0 \cdot 1 0^{- 5} m^{3} / s,

k = \frac{Q L}{A Δ h} = \frac{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 5} \times 0 , 150}{7 , 85 \cdot 1 0 ^{- 3} \times 0 , 30} = 6, 4 \cdot 1 0^{- 4} m/s .

C'est la valeur attendue pour un sable moyen propre.

Charge variable. Un silt argileux de la région d'Yverdon est testé dans une cellule de section $A = 78, 5$ cm² (diamètre 100 mm) et de longueur $L = 12$ cm, surmontée d'un tube de section $a = 0, 785$ cm² (diamètre 10 mm). Le niveau dans le tube descend de $h_{1} = 80$ cm à $h_{2} = 40$ cm en une heure. D'après (4.7):

k = \frac{a L}{A t} ln \frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{0 , 785 \times 12}{78 , 5 \times 3600} ln 2 = 2, 3 \cdot 1 0^{- 5} cm/s = 2, 3 \cdot 1 0^{- 7} m/s .

Cet ordre de grandeur est celui d'un silt: le même essai à charge constante aurait demandé plusieurs jours pour recueillir un volume mesurable.

Exercice

Un essai à charge constante est réalisé sur un sable limoneux: diamètre de l'échantillon 75 mm, distance entre piézomètres $L = 120$ mm, perte de charge $Δ h = 0, 25$ m, volume recueilli 0,60 L en 300 s. Calculez $k$ et exprimez-le en $1 0^{- 4}$ m/s.

Le coefficient de perméabilité

Ordres de grandeur

Le coefficient $k$ est la propriété des sols qui varie dans la plus large gamme: plus de dix ordres de grandeur entre une grave propre et une argile. Il dépend avant tout de la taille des vides, donc des grains les plus fins, mais aussi de l'indice des vides, de la structure du sol et de la température de l'eau (les valeurs sont rapportées à 10 °C ou 20 °C).

Sol	$k$ (m/s)	Drainage
Gravier propre	$1 0^{- 1}$ – $1 0^{- 3}$	très bon
Sable	$1 0^{- 3}$ – $1 0^{- 5}$	bon
Silt, sable limoneux, moraine	$1 0^{- 5}$ – $1 0^{- 8}$	médiocre
Argile	$< 1 0^{- 9}$	pratiquement imperméable

Pour les sables propres, Hazen a proposé une corrélation avec le diamètre efficace:

k \approx C d_{10}^{2}, C \approx 0, 01 (k en m/s, d_{10} en mm) . (4.6)

Un sable de $d_{10} = 0, 2$ mm a ainsi $k \approx 0, 01 \times 0, 04 = 4 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s. La formule n'est qu'un ordre de grandeur, valable pour $0, 1 < d_{10} < 3$ mm et $C_{u} < 5$ ; elle surestime fortement $k$ dès que le sol contient des fines.

Essais de laboratoire

Pour l'essai à charge constante, la loi de Darcy donne directement $k = Q L / (A Δ h)$ . Pour l'essai à charge variable, la charge $h (t)$ décroît au fur et à mesure que l'eau traverse l'échantillon: le débit $- a d h / d t$ sortant du tube est égal au débit $k (h / L) A$ traversant l'éprouvette. En intégrant entre $t_{1}$ et $t_{2}$ :

k = \frac{a L}{A ( t _{2} - t _{1} )} ln \frac{h _{1}}{h _{2}} . (4.7)

Les essais de laboratoire portent sur quelques centaines de centimètres cubes de sol; ils ne voient ni les lentilles sableuses d'une argile, ni la fissuration d'une moraine, ni la stratification d'une alluvion. Leur résultat sous-estime souvent la perméabilité en grand du massif.

Essais in situ

L'essai Lefranc est réalisé dans un forage: on injecte (ou pompe) de l'eau dans une cavité de forme connue au fond du trou et l'on mesure le débit sous charge constante, ou la variation de niveau sous charge variable. Il renseigne sur la perméabilité locale de la couche testée.

L'essai de pompage est la référence pour un aquifère. On pompe un débit $Q$ constant dans un puits complet jusqu'au régime permanent et l'on relève le niveau de la nappe dans des piézomètres situés aux distances $r_{1}$ et $r_{2}$ du puits. Pour une nappe libre reposant sur un substratum imperméable, l'hypothèse de Dupuit (écoulement horizontal, gradient égal à la pente de la surface libre) conduit à

Q = π k \frac{h _{2}^{2} - h _{1}^{2}}{ln ( r _{2} / r _{1} )}, k = \frac{Q ln ( r _{2} / r _{1} )}{π ( h _{2}^{2} - h _{1}^{2} )}, (4.8)

où $h_{1}$ et $h_{2}$ sont les hauteurs d'eau au-dessus du substratum dans les deux piézomètres. Pour une nappe captive d'épaisseur $D$ , on remplace $h_{2}^{2} - h_{1}^{2}$ par $2 D (h_{2} - h_{1})$ .

Sols stratifiés

Les dépôts alluviaux et lacustres sont faits de couches alternées de perméabilités différentes. À l'échelle du massif, on remplace la succession de $n$ couches d'épaisseurs $H_{i}$ et de perméabilités $k_{i}$ par un sol homogène anisotrope.

Pour un écoulement parallèle aux couches, le gradient est le même dans chaque couche et les débits s'ajoutent:

k_{h} = \frac{\sum _{i} k _{i} H _{i}}{\sum _{i} H _{i}} . (4.9)

Pour un écoulement perpendiculaire aux couches, le débit est le même dans chaque couche et les pertes de charge s'ajoutent:

k_{v} = \frac{\sum _{i} H _{i}}{\sum _{i} H _{i} / k _{i}} . (4.10)

Considérons 2 m de sable ( $k = 1 0^{- 4}$ m/s), 1 m de silt argileux ( $k = 1 0^{- 7}$ m/s) et 3 m de grave ( $k = 5 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s). On trouve $k_{h} = (2 \cdot 1 0^{- 4} + 1 0^{- 7} + 1, 5 \cdot 1 0^{- 3}) /6 = 2, 8 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s, gouverné par la grave, et $k_{v} = 6/ (2 \cdot 1 0^{4} + 1 0^{7} + 6 \cdot 1 0^{3}) = 6, 0 \cdot 1 0^{- 7}$ m/s, gouverné par le silt. Le rapport $k_{h} / k_{v}$ dépasse 470: une mince couche peu perméable suffit à bloquer l'écoulement vertical, tandis qu'une couche grossière draine tout l'écoulement horizontal. C'est ce contraste qui rend les nappes du Plateau si sensibles aux détails de la stratigraphie.

Écoulements permanents en deux dimensions

Équation de Laplace et réseau d'écoulement

Sous un barrage, un batardeau ou une paroi de fouille, l'écoulement n'est plus unidimensionnel. En combinant la loi de Darcy avec la conservation de la masse pour un sol homogène, isotrope et saturé, on obtient

\frac{\partial ^{2} h}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} h}{\partial z ^{2}} = 0, (4.11)

l'équation de Laplace. Ses solutions ont une propriété géométrique remarquable: les lignes de courant (trajectoires de l'eau) et les équipotentielles (lignes de charge constante) se coupent à angle droit. Si l'on trace des équipotentielles équidistantes en charge ( $Δ h = h / N_{d}$ entre deux lignes voisines) et des lignes de courant délimitant des canaux de même débit ( $Δ q = q / N_{f}$ ), les mailles du réseau sont des «carrés curvilignes»: leurs côtés médians sont égaux. Cette propriété permet de tracer le réseau à la main, par approximations successives, ou de le calculer numériquement comme dans la figure 4.3.

Figure 4.3. Réseau d'écoulement sous un rideau de palplanches fiché de d = 4,5 m dans une couche perméable de T = 10 m reposant sur un substratum imperméable; charge à dissiper h = 4 m. Le réseau, calculé par résolution numérique de l'équation de Laplace, comporte N_f = 4 canaux et N_d = 8 chutes de charge. Les mailles sont les plus petites au voisinage du pied du rideau, côté aval: c'est là que le gradient est le plus élevé.

Les conditions aux limites déterminent le réseau: la surface du sol côté amont et le fond de fouille côté aval sont des équipotentielles (charge $h$ et charge nulle); le rideau imperméable et le substratum sont des lignes de courant.

Débit, pressions et gradient de sortie

Dans chaque maille de côté médian $b$ (dans le sens de l'écoulement) et de largeur $a$ , le débit vaut $Δ q = k (Δ h / b) a$ . Pour des carrés, $a = b$ et $Δ q = k Δ h = k h / N_{d}$ . Le débit total par mètre de longueur d'ouvrage est la somme sur les canaux:

q = k h \frac{N _{f}}{N _{d}} . (4.12)

Le rapport $N_{f} / N_{d}$ est le facteur de forme du réseau; il ne dépend que de la géométrie. Pour la figure 4.3, avec $k = 2 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s, on obtient $q = 2 \cdot 1 0^{- 4} \times 4 \times 4/8 = 4 \cdot 1 0^{- 4}$ m³/s par mètre de rideau, soit 0,4 L/s par mètre, ou 35 m³ par jour et par mètre: un batardeau de 40 m de long demande une pompe de 16 L/s.

La pression interstitielle en un point se lit sur le réseau: après $n$ chutes depuis l'amont, la charge vaut $h_{P} = h - n Δ h$ (référence au niveau aval) et la pression s'obtient par (4.2), $u_{P} = γ_{w} (h_{P} - z_{P})$ . Au pied du rideau de la figure 4.3, par symétrie, la charge a perdu la moitié de sa valeur: $h_{P} = 4 - 4 \times 0, 5 = 2$ m, à la cote $z_{P} = - 4, 5$ m, d'où $u_{P} = 9, 81 \times (2 + 4, 5) = 63, 8$ kPa. Cette pression est supérieure à la pression hydrostatique côté aval ( $44, 1$ kPa) et inférieure à celle côté amont ( $83, 4$ kPa): c'est elle qui sollicite le rideau.

Enfin, le gradient de sortie est le gradient dans la dernière maille, là où l'eau ressort dans la fouille le long du rideau: $i_{s} = Δ h / b_{s}$ , où $b_{s}$ est la longueur de cette maille. Sur la figure 4.3, la maille de sortie mesure environ 2 m: $i_{s} \approx 0, 5/2 \approx 0, 25$ . Pour un rideau isolé dans une couche très épaisse, la solution analytique donne, au contact même du rideau, $i_{s} = h / (π d)$ , soit ici $4/ (π \times 4, 5) = 0, 28$ : la valeur lue sur le réseau est une moyenne sur la maille, légèrement inférieure au gradient maximal qui règne contre le rideau. C'est ce dernier qui compte pour la sécurité.

Exercice

Un rideau de palplanches est fiché dans un sable de perméabilité $k = 3 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s. La charge à dissiper vaut $h = 3, 5$ m et le réseau d'écoulement comporte $N_{f} = 4$ canaux et $N_{d} = 8$ chutes. Calculez le débit d'exhaure par mètre de rideau, en L/s par m.

Forces d'écoulement et renard

Force d'écoulement

L'eau qui traverse le sol frotte sur les grains et leur transmet une force dirigée dans le sens de l'écoulement. Considérons un tube de sol de section $A$ et de longueur $L$ traversé par un écoulement sous la perte de charge $Δ h$ : la différence des pressions d'eau aux deux extrémités, $γ_{w} Δ h A$ , est entièrement reprise par le squelette solide. Rapportée au volume $A L$ , elle donne la force d'écoulement par unité de volume:

j = i γ_{w} . (4.13)

C'est une force volumique, comme le poids, de même direction que la vitesse d'écoulement. Sous un gradient $i = 0, 5$ , elle vaut $4, 9$ kN/m³, la moitié du poids volumique déjaugé d'un sable: on ne peut pas l'ignorer.

Gradient critique et renard

Lorsque l'écoulement est ascendant, la force d'écoulement s'oppose au poids déjaugé $γ^{'}$ des grains. Le sol perd tout son poids apparent, donc toute sa résistance, lorsque $j = γ^{'}$ , c'est-à-dire pour le gradient critique

i_{c} = \frac{γ ^{'}}{γ _{w}} = \frac{γ _{s a t} - γ _{w}}{γ _{w}} = \frac{G _{s} - 1}{1 + e} . (4.14)

Pour un sable de $γ_{s a t} = 20$ kN/m³, $i_{c} = 10, 19/9, 81 = 1, 04$ ; pour tous les sols courants, $i_{c}$ vaut à peu près 1. Au-delà, les grains sont mis en suspension: c'est la boulance (sable bouillant), qui dégénère en renard lorsque l'érosion se propage depuis la sortie vers l'amont en creusant un chenal dans lequel le gradient croît encore. Un renard sous un batardeau ou une digue provoque la ruine de l'ouvrage en quelques minutes.

Exercice

Calculez le gradient critique $i_{c}$ d'un sable dont le poids volumique saturé vaut $γ_{s a t} = 19, 8$ kN/m³ ( $γ_{w} = 9, 81$ kN/m³).

Explorateur du renard hydraulique

Le fond d'une fouille asséchée repose sur une couche de sable d'épaisseur L, sous laquelle une grave en charge impose une charge hydraulique h. Faites varier k, h et L: le gradient, le débit et la sécurité contre le renard se recalculent (γ′ = 10,2 kN/m³).

Gradient i = h/L

0.750

Débit q = k·i

7,50e-5m³/s par m²

Débit q

4.50L/min par m²

Force d'écoulement j = i·γ_w

7.36kN/m³

Gradient critique i_c = γ′/γ_w

1.04

Sécurité F = i_c/i

1.39renard!

log₁₀ k (k en m/s)k = 1,0e-4

Charge hydraulique h3.0m

Épaisseur du sable L4.0m

Érosion interne et filtres

Même sous un gradient inférieur au gradient critique, l'eau peut entraîner les particules les plus fines à travers les vides des plus grosses: c'est la suffusion, forme d'érosion interne qui menace les sols à granulométrie discontinue et les contacts entre un sol fin et un drain grossier. Elle a été mise en cause dans plusieurs désordres de digues fluviales; les digues du Rhône, reconstruites dans le cadre de la 3e correction, comportent pour cette raison des filtres et des drains soigneusement gradués entre le corps de digue et les matériaux grossiers.

Lorsqu'un filtre granulaire est nécessaire entre plusieurs sols très différents, on superpose plusieurs couches formant un filtre inverse. Les géotextiles remplacent aujourd'hui souvent la première couche: un non-tissé d'ouverture de filtration $O_{90}$ comprise entre $d_{50}$ et $2 d_{90}$ environ retient le sol tout en restant perméable; il est ensuite recouvert d'un drain en gravier ou d'un tuyau drainant.

Exercice

Un sable fin à protéger a $d_{15} = 0, 10$ mm et $d_{85} = 0, 60$ mm. Parmi les matériaux suivants, lequel satisfait les deux règles de filtre de Terzaghi (limite 4)?

Rabattement de nappe

Ouvrir une fouille sous la nappe exige de maîtriser l'eau. Les techniques dépendent de la perméabilité du sol:

Pompage en fouille (puisards et pompes) pour les sols peu perméables, où les venues d'eau sont faibles; il est déconseillé dans les sables fins, car l'écoulement ascendant vers le puisard y provoque la boulance.
Puits filtrants ou pointes filtrantes (wellpoints) disposés autour de la fouille, qui rabattent la nappe sous le fond de fouille avant l'excavation: c'est la solution courante dans les sables et graves ( $k$ de $1 0^{- 5}$ à $1 0^{- 3}$ m/s). Le débit se calcule par la formule de Dupuit (4.8), appliquée à un puits équivalent de rayon voisin de celui de la fouille.
Enceintes étanches (parois moulées, rideaux de palplanches, jet grouting) ancrées dans un substratum peu perméable, éventuellement complétées par un bouchon de fond injecté, dans les graves trop perméables pour être rabattues économiquement.

Un rabattement modifie les pressions interstitielles bien au-delà de la fouille. Dans les argiles lacustres de Lausanne ou de Genève, la baisse de $u$ augmente les contraintes effectives (chapitre 5) et provoque des tassements de consolidation (chapitre 6) qui peuvent endommager les bâtiments voisins: le rayon d'action du rabattement et les tassements induits font partie de tout projet de fouille urbaine.

Synthèse

L'eau libre s'écoule sous l'effet des différences de charge hydraulique $h = z + u / γ_{w}$ ; l'eau capillaire est retenue au-dessus de la nappe en dépression, sur une hauteur $h_{c} \approx C / (e d_{10})$ .
Loi de Darcy: $v = k i$ ; la vitesse réelle de l'eau vaut $v / n$ .
Le coefficient de perméabilité $k$ s'étend sur plus de dix ordres de grandeur (gravier $1 0^{- 1}$ à $1 0^{- 3}$ , sable $1 0^{- 3}$ à $1 0^{- 5}$ , silt $1 0^{- 5}$ à $1 0^{- 8}$ , argile inférieur à $1 0^{- 9}$ m/s); on le mesure au perméamètre à charge constante ou variable, et in situ par essai de pompage (formule de Dupuit).
Dans un sol stratifié, $k_{h}$ est gouverné par les couches les plus perméables et $k_{v}$ par les moins perméables.
Un réseau d'écoulement donne le débit $q = k h N_{f} / N_{d}$ , les pressions interstitielles et le gradient de sortie.
La force d'écoulement vaut $j = i γ_{w}$ ; le renard survient lorsque le gradient ascendant atteint $i_{c} = γ^{'} / γ_{w} \approx 1$ ; on vérifie $F = i_{c} / i_{s} \geq 1, 5$ et l'on protège les sorties d'eau par des filtres ( $D_{15} / d_{85} < 4$ , $D_{15} / d_{15} > 4$ ).

Série d'exercices du chapitre 4

Exercice 1 sur 5

Exercice

Un sable propre a $d_{10} = 0, 20$ mm. Quel ordre de grandeur de $k$ donne la formule de Hazen?

Problème guidé

Fouille blindée dans une grave

Une fouille de 6 m de profondeur est ouverte à Martigny dans une grave sableuse ( $γ_{s a t} = 20$ kN/m³, $k = 5 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s) dont la nappe se trouve à 1 m sous le terrain naturel. L'enceinte est un rideau de palplanches fiché de $f = 3$ m sous le fond de fouille; la fouille est maintenue à sec par pompage et la nappe extérieure n'est pas rabattue. Le réseau d'écoulement tracé pour cette géométrie comporte $N_{d} = 10$ chutes et la maille de sortie, le long du rideau côté fouille, mesure $b_{s} = 0, 95$ m. On prend $γ_{w} = 9, 81$ kN/m³.

1
Charge hydraulique à dissiper
La référence est le fond de fouille asséché, où la charge est nulle. La charge amont est la hauteur de la nappe extérieure au-dessus de ce niveau.
Exercice
Calculez la charge $h$ à dissiper, en m.
m
Gradient de sortie
Sécurité contre le renard
Fiche requise pour une sécurité plus élevée

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Perméamètre à charge variable

Un essai à charge variable est réalisé sur un silt sableux prélevé à Yverdon: éprouvette de diamètre 80 mm et de longueur $L = 15$ cm, tube de section $a = 0, 5$ cm². Le niveau dans le tube descend de 120 cm à 45 cm en 25 minutes. Calculer $k$ , classer le sol selon sa perméabilité, puis déterminer le temps nécessaire pour que le niveau descende de 120 cm à 20 cm.

Solution

Données: $a = 0, 5$ cm², $A = π \times 8^{2} /4 = 50, 27$ cm², $L = 15$ cm, $h_{1} = 120$ cm, $h_{2} = 45$ cm, $t = 25 \times 60 = 1500$ s.

k = \frac{a L}{A t} ln \frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{0 , 5 \times 15}{50 , 27 \times 1500} ln \frac{120}{45} = 9, 95 \cdot 1 0^{- 5} \times 0, 981 = 9, 76 \cdot 1 0^{- 5} cm/s = 9, 8 \cdot 1 0^{- 7} m/s .

Cette valeur, comprise entre $1 0^{- 5}$ et $1 0^{- 8}$ m/s, correspond à un silt: drainage médiocre, sol gélif, sensible à la boulance dans les fouilles.

Temps pour descendre de 120 à 20 cm: la relation (4.7) donne

t = \frac{a L}{A k} ln \frac{h _{1}}{h _{2}} = \frac{0 , 5 \times 15}{50 , 27 \times 9 , 76 \cdot 1 0 ^{- 5}} ln 6 = 1529 \times 1, 792 = 2740 s \approx 46 minutes .

La descente ralentit à mesure que la charge diminue: il faut presque autant de temps pour passer de 45 à 20 cm que de 120 à 45 cm.

Exercice 4.2 · Essai de pompage et rabattement

Dans la plaine de l'Orbe, un puits complet traverse une nappe libre de 11 m d'épaisseur reposant sur une molasse imperméable. Sous un pompage de $Q = 30$ L/s, on mesure en régime permanent $h_{1} = 9, 2$ m à $r_{1} = 8$ m et $h_{2} = 10, 1$ m à $r_{2} = 40$ m. Déterminer $k$ . On souhaite ensuite maintenir dans ce puits, de rayon $r_{w} = 0, 30$ m, une hauteur d'eau de 7 m; en admettant que la nappe n'est plus influencée au-delà de $R = 300$ m, calculer le débit à pomper.

Solution

Perméabilité. Nappe libre, formule de Dupuit avec $Q = 0, 030$ m³/s:

k = \frac{Q ln ( r _{2} / r _{1} )}{π ( h _{2}^{2} - h _{1}^{2} )} = \frac{0 , 030 \times ln 5}{π ( 10 , 1 ^{2} - 9 , 2 ^{2} )} = \frac{0 , 030 \times 1 , 609}{π \times 17 , 37} = 8, 85 \cdot 1 0^{- 4} m/s .

C'est la perméabilité d'un sable grossier ou d'une grave sableuse.

Débit de rabattement. On applique (4.8) entre le puits ( $r_{w} = 0, 30$ m, $h_{w} = 7$ m) et le rayon d'action ( $R = 300$ m, $H_{0} = 11$ m):

Q = π k \frac{H _{0}^{2} - h _{w}^{2}}{ln ( R / r _{w} )} = π \times 8, 85 \cdot 1 0^{- 4} \times \frac{121 - 49}{ln 1000} = π \times 8, 85 \cdot 1 0^{- 4} \times \frac{72}{6 , 908} = 0, 0290 m^{3} / s \approx 29 L/s .

Un rabattement de 4 m dans le puits exige donc un débit voisin de celui de l'essai; le rayon d'action, admis ici, n'intervient que par son logarithme et une incertitude d'un facteur 2 sur $R$ modifie $Q$ de 10 % seulement.

Exercice 4.3 · Sol stratifié

Un profil alluvial comprend, de haut en bas, 4 m de sable ( $k = 3 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s), 0,3 m de silt argileux ( $k = 2 \cdot 1 0^{- 8}$ m/s) et 5 m de grave ( $k = 8 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s). Calculer les perméabilités équivalentes horizontale et verticale et leur rapport. Une différence de charge de 2 m est appliquée verticalement entre le toit du sable et la base de la grave: calculer la vitesse de Darcy, le débit par m² et par jour, et la perte de charge dans chaque couche. Commenter.

Solution

Couches: $H = (4; 0, 3; 5)$ m, $k = (3 \cdot 1 0^{- 4}; 2 \cdot 1 0^{- 8}; 8 \cdot 1 0^{- 4})$ m/s, épaisseur totale 9,3 m.

Perméabilité horizontale (4.9):

k_{h} = \frac{4 \times 3 \cdot 1 0 ^{- 4} + 0 , 3 \times 2 \cdot 1 0 ^{- 8} + 5 \times 8 \cdot 1 0 ^{- 4}}{9 , 3} = \frac{1 , 2 \cdot 1 0 ^{- 3} + 6 \cdot 1 0 ^{- 9} + 4 \cdot 1 0 ^{- 3}}{9 , 3} = 5, 6 \cdot 1 0^{- 4} m/s .

Perméabilité verticale (4.10):

\sum \frac{H _{i}}{k _{i}} = \frac{4}{3 \cdot 1 0 ^{- 4}} + \frac{0 , 3}{2 \cdot 1 0 ^{- 8}} + \frac{5}{8 \cdot 1 0 ^{- 4}} = 1, 33 \cdot 1 0^{4} + 1, 5 \cdot 1 0^{7} + 6, 25 \cdot 1 0^{3} = 1, 502 \cdot 1 0^{7} s, k_{v} = \frac{9 , 3}{1 , 502 \cdot 1 0 ^{7}} = 6, 2 \cdot 1 0^{- 7} m/s .

Rapport $k_{h} / k_{v} = 5, 6 \cdot 1 0^{- 4} /6, 2 \cdot 1 0^{- 7} \approx 900$ .

Écoulement vertical sous $Δ h = 2$ m: gradient moyen $i = 2/9, 3 = 0, 215$ , vitesse de Darcy $v = k_{v} i = 6, 19 \cdot 1 0^{- 7} \times 0, 215 = 1, 33 \cdot 1 0^{- 7}$ m/s, soit un débit de $1, 33 \cdot 1 0^{- 7} \times 86400 = 0, 0115$ m³ par m² et par jour, soit 11,5 L/m² par jour.

La vitesse étant la même dans chaque couche, la perte de charge dans la couche $i$ vaut $Δ h_{i} = v H_{i} / k_{i}$ :

sable: $1, 33 \cdot 1 0^{- 7} \times 4/3 \cdot 1 0^{- 4} = 0, 0018$ m;
silt argileux: $1, 33 \cdot 1 0^{- 7} \times 0, 3/2 \cdot 1 0^{- 8} = 1, 997$ m;
grave: $1, 33 \cdot 1 0^{- 7} \times 5/8 \cdot 1 0^{- 4} = 0, 0008$ m.

Commentaire. Les 30 cm de silt dissipent 99,9 % de la charge: c'est cette couche qui contrôle entièrement l'écoulement vertical, tandis que le sable et la grave se comportent comme des réservoirs à charge uniforme. Le gradient dans le silt vaut $1, 997/0, 3 = 6, 7$ , bien supérieur au gradient critique: si l'écoulement était ascendant, le silt serait le siège d'un renard dès qu'une fouille l'entamerait. Inversement, la perméabilité horizontale est gouvernée par la grave, et un rabattement se propagerait très loin dans cette couche.

Exercice 4.4 · Batardeau sur le Rhône

Un batardeau en palplanches est établi dans une grave sableuse ( $k = 4 \cdot 1 0^{- 4}$ m/s, $γ_{s a t} = 20$ kN/m³, $d_{15} = 0, 10$ mm, $d_{85} = 0, 60$ mm). La différence de niveau entre le fleuve et l'intérieur asséché vaut $h = 4, 5$ m. Le réseau d'écoulement comporte $N_{f} = 4$ canaux et $N_{d} = 8$ chutes; la maille de sortie mesure 1,2 m.

Calculer le débit d'exhaure par mètre de batardeau.
Un point A situé à la cote $- 6, 0$ m par rapport au niveau d'eau aval se trouve sur la cinquième équipotentielle comptée depuis l'amont. Calculer la pression interstitielle en A.
Calculer le gradient de sortie et le facteur de sécurité contre le renard.
Le fond de fouille est recouvert d'une couche drainante. Vérifier si un gravillon de $D_{15} = 1, 5$ mm et un sable de $D_{15} = 0, 30$ mm satisfont les règles de filtre de Terzaghi (limite 4).

Solution

1. Débit. $q = k h N_{f} / N_{d} = 4 \cdot 1 0^{- 4} \times 4, 5 \times 4/8 = 9, 0 \cdot 1 0^{- 4}$ m³/s par m, soit 0,9 L/s par mètre de batardeau (78 m³ par jour et par mètre).

2. Pression interstitielle en A. Chute de charge par équipotentielle: $Δ h = 4, 5/8 = 0, 5625$ m. Avec le niveau d'eau aval comme référence, la charge en A, sur la cinquième équipotentielle depuis l'amont (5 chutes), vaut

h_{A} = 4, 5 - 5 \times 0, 5625 = 1, 69 m .

La cote de A est $z_{A} = - 6, 0$ m, donc

u_{A} = γ_{w} (h_{A} - z_{A}) = 9, 81 \times (1, 69 + 6, 0) = 75, 4 kPa .

La pression hydrostatique côté aval à cette cote ne serait que de $58, 9$ kPa: l'écoulement augmente la pression sous la fouille.

3. Gradient de sortie et sécurité. $i_{s} = Δ h / b_{s} = 0, 5625/1, 2 = 0, 469$ . Gradient critique: $i_{c} = (20 - 9, 81) /9, 81 = 1, 039$ . Facteur de sécurité $F = 1, 039/0, 469 = 2, 2$ , supérieur à 1,5 (fouille provisoire): la sécurité contre le renard est assurée, à condition que la grave soit homogène et que le pompage se fasse par un puisard filtré et non au pied du rideau.

4. Filtres. Règles de Terzaghi avec la limite 4: rétention $D_{15} < 4 d_{85} = 2, 4$ mm; perméabilité $D_{15} > 4 d_{15} = 0, 40$ mm.

Gravillon $D_{15} = 1, 5$ mm: $1, 5/0, 60 = 2, 5 < 4$ et $1, 5/0, 10 = 15 > 4$ : convient.
Sable $D_{15} = 0, 30$ mm: $0, 30/0, 60 = 0, 5 < 4$ (retient bien le sol) mais $0, 30/0, 10 = 3 < 4$ : pas assez perméable; il se mettrait en charge et n'assurerait pas le drainage.

Le gravillon sera lui-même recouvert d'une couche plus grossière (filtre inverse) ou remplacé par un géotextile surmonté d'un gravier drainant.

Références

SN EN ISO 17892-11, Reconnaissance et essais géotechniques – Essais de laboratoire sur les sols – Partie 11: Essais de perméabilité, SIA/VSS, Zurich.
SN EN 1997-1, Eurocode 7: Calcul géotechnique – Partie 1: Règles générales (état limite HYD), SIA, Zurich.
SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
Recordon, E., Mécanique des sols, cours EPFL, Presses polytechniques et universitaires romandes.
Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, Springer, Berlin.
Terzaghi, K., Peck, R. B., Mesri, G., Soil Mechanics in Engineering Practice, 3e éd., Wiley, New York, 1996.

Objectifs du chapitre

Les formes de l'eau dans le sol

Charge hydraulique et gradient

La loi de Darcy

Le coefficient de perméabilité

Ordres de grandeur

Essais de laboratoire

Essais in situ

Sols stratifiés

Écoulements permanents en deux dimensions

Équation de Laplace et réseau d'écoulement

Débit, pressions et gradient de sortie

Forces d'écoulement et renard

Force d'écoulement

Gradient critique et renard

Explorateur du renard hydraulique

Érosion interne et filtres

Rabattement de nappe

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 4

Fouille blindée dans une grave

Charge hydraulique à dissiper

Gradient de sortie

Sécurité contre le renard

Fiche requise pour une sécurité plus élevée

Exercices

Références