Résistance au cisaillement · Mécanique des sols

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

énoncer le critère de rupture de Mohr-Coulomb en contraintes effectives et en contraintes totales, et l'exploiter sur le cercle de Mohr;
expliquer l'origine physique de la résistance au cisaillement (frottement, enchevêtrement, dilatance) et la différence entre résistance de pic, d'état critique et résiduelle;
décrire les essais de cisaillement direct et triaxial (UU, CU, CD) et interpréter leurs résultats pour obtenir $c^{'}$ , $φ^{'}$ ou $c_{u}$ ;
choisir entre une analyse drainée et une analyse non drainée selon le sol et l'échéance considérée;
utiliser les valeurs typiques et les facteurs partiels de la norme SIA 267 pour passer des valeurs caractéristiques aux valeurs de calcul.

La rupture des sols par cisaillement

Un sol ne se rompt pratiquement jamais par traction ni par écrasement: il se rompt par glissement d'une masse de sol sur une autre le long d'une surface où la contrainte de cisaillement atteint la résistance disponible. Le glissement de terrain de la Cité à Lausanne ou les ruptures de talus dans les moraines du Plateau, le poinçonnement d'une fondation dans une argile lacustre, le basculement d'un mur de soutènement poussé par son remblai: tous ces mécanismes se ramènent à un problème de résistance au cisaillement. Elle est, avec la compressibilité, la propriété mécanique fondamentale des sols.

Le critère de Mohr-Coulomb

Coulomb a observé dès 1773 que la résistance au cisaillement d'un sol sur un plan croît linéairement avec la contrainte normale qui s'exerce sur ce plan. Terzaghi a précisé, un siècle et demi plus tard, que c'est la contrainte normale effective qui compte, puisque seul le squelette solide transmet du frottement.

Dans le plan $(σ^{'}, τ)$ , l'équation (7.1) est une droite appelée enveloppe de rupture (figure 7.1). L'état de contrainte en un point est représenté par un cercle de Mohr (chapitre 5); tant que le cercle reste sous l'enveloppe, le sol est stable; lorsqu'il vient la toucher, la rupture se produit sur la facette correspondant au point de tangence. Le cercle ne peut jamais couper l'enveloppe.

Figure 7.1. Enveloppe de rupture de Mohr-Coulomb (φ' = 30°, c' = 10 kPa) et trois cercles de Mohr à la rupture, obtenus par exemple dans trois essais triaxiaux à σ'_3 = 50, 100 et 200 kPa. Les points de tangence donnent l'état de contrainte sur la facette de rupture.

La géométrie du cercle tangent fournit deux résultats essentiels. Le rayon vaut $(σ_{1}^{'} - σ_{3}^{'}) /2$ et le centre est en $(σ_{1}^{'} + σ_{3}^{'}) /2$ ; la condition de tangence s'écrit

sin φ^{'} = \frac{( σ _{1}^{'} - σ _{3}^{'} ) /2}{( σ _{1}^{'} + σ _{3}^{'} ) /2 + c ^{'} cot φ ^{'}},

ce qui, après réarrangement, donne la relation entre contraintes principales à la rupture:

σ_{1}^{'} = σ_{3}^{'} tan^{2} (45° + \frac{φ ^{'}}{2}) + 2 c^{'} tan (45° + \frac{φ ^{'}}{2}) = σ_{3}^{'} N_{φ} + 2 c^{'} N_{φ} . (7.2)

Le coefficient $N_{φ} = tan^{2} (45° + φ^{'} /2) = (1 + sin φ^{'}) / (1 - sin φ^{'})$ réapparaîtra dans les coefficients de poussée et de butée (chapitre 9) et dans les facteurs de portance (chapitre 10). Par ailleurs, le point de tangence se trouve à l'angle $90° + φ^{'}$ du centre, mesuré depuis l'axe des $σ^{'}$ : la facette de rupture fait donc un angle

θ = 45° + \frac{φ ^{'}}{2} (7.3)

avec le plan sur lequel agit la contrainte principale majeure $σ_{1}^{'}$ . Pour $φ^{'} = 30°$ , $θ = 60°$ : dans une éprouvette triaxiale comprimée verticalement, la fissure de rupture est inclinée d'environ 60° sur l'horizontale, ce que l'on observe effectivement.

Exemple 7.1 · Contraintes à la rupture

Un échantillon de moraine a $φ^{'} = 30°$ et $c^{'} = 10$ kPa. Il est soumis à une contrainte de confinement effective $σ_{3}^{'} = 100$ kPa. Quelle contrainte principale majeure provoque la rupture, sur quelle facette, et quelles sont les contraintes sur cette facette?

Contrainte majeure. $N_{φ} = tan^{2} 60° = 3$ , donc d'après (7.2)

σ_{1}^{'} = 100 \times 3 + 2 \times 10 \times 3 = 300 + 34, 6 = 334, 6 kPa,

soit un déviateur à la rupture $q_{f} = σ_{1}^{'} - σ_{3}^{'} = 234, 6$ kPa.

Facette de rupture. $θ = 45° + 15° = 60°$ par rapport au plan de $σ_{1}^{'}$ .

Contraintes sur la facette. Centre du cercle $s^{'} = 217, 3$ kPa, rayon $t = 117, 3$ kPa. Le point de tangence a pour coordonnées

σ_{f}^{'} = s^{'} - t sin φ^{'} = 217, 3 - 58, 7 = 158, 7 kPa, τ_{f} = t cos φ^{'} = 117, 3 \times 0, 866 = 101, 6 kPa .

Vérification: $c^{'} + σ_{f}^{'} tan φ^{'} = 10 + 158, 7 \times 0, 577 = 101, 6$ kPa. On note que la facette de rupture n'est pas celle où le cisaillement est maximal (qui vaut $t = 117, 3$ kPa à 45°): c'est celle où le rapport $τ / σ^{'}$ est le plus défavorable.

Explorateur du critère de Mohr-Coulomb

Choisissez φ′, c′ et la contrainte de confinement σ′₃: le cercle de Mohr à la rupture est tracé tangent à l'enveloppe et σ′₁ est calculée.

σ′₁ à la rupture

334.6kPa

Déviateur q_f = σ′₁ − σ′₃

234.6kPa

Facette de rupture θ = 45° + φ′/2

60.0°

σ′ sur la facette

158.7kPa

τ sur la facette

101.6kPa

N_φ = tan²(45° + φ′/2)

3.000

Angle de frottement φ′30°

Cohésion c′10kPa

Confinement σ′₃100kPa

Exercice

Un sable a $φ^{'} = 35°$ et $c^{'} = 0$ . Sous un confinement effectif $σ_{3}^{'} = 150$ kPa, quelle contrainte principale majeure effective $σ_{1}^{'}$ provoque la rupture (kPa)?

Le critère en conditions non drainées

Lorsqu'une argile saturée est chargée trop vite pour que l'eau interstitielle puisse s'échapper, son volume ne peut changer et sa résistance ne dépend pas de la contrainte totale appliquée: toute augmentation de $σ$ est reprise par l'eau, et $σ^{'}$ reste inchangée. Le critère s'écrit alors en contraintes totales:

τ_{f} = c_{u}, φ_{u} = 0, (7.4)

où $c_{u}$ est la résistance au cisaillement non drainée (ou cohésion non drainée). Dans le plan $(σ, τ)$ , l'enveloppe est horizontale et tous les cercles de Mohr à la rupture ont le même diamètre $σ_{1} - σ_{3} = 2 c_{u}$ . Il faut bien comprendre que $c_{u}$ n'est pas une propriété intrinsèque du sol, mais l'expression, en contraintes totales, de la résistance frottante du squelette sous la contrainte effective qui règne dans l'échantillon au moment de l'essai. Elle dépend donc de la profondeur (via $σ_{v 0}^{'}$ ) et de l'histoire du sol (via l'OCR), comme nous le verrons plus loin.

Origine physique de la résistance

Frottement, enchevêtrement et dilatance

À l'échelle des grains, la résistance au cisaillement d'un sol grenu a deux origines: le frottement aux contacts entre grains (angle de frottement interparticulaire $φ_{μ}$ , de l'ordre de 20 à 30° pour le quartz) et l'enchevêtrement des grains, qui doivent se soulever les uns par-dessus les autres pour glisser. Ce second mécanisme dépend de la compacité: un sable dense doit augmenter de volume pour se cisailler (dilatance), ce qui consomme du travail et augmente la résistance apparente; un sable lâche, au contraire, se resserre (contractance).

Taylor (1948) a formalisé cette idée: la résistance de pic d'un sable dense vaut approximativement

tan φ_{p}^{'} \approx tan φ_{c v}^{'} + \frac{d h}{d δ}, (7.5)

où $φ_{c v}^{'}$ est l'angle de frottement à volume constant (ou d'état critique) et $d h / d δ$ le taux de dilatance au pic. Aux grandes déformations, dense ou lâche, le sable atteint le même état critique: il se cisaille à volume constant, avec un indice des vides critique $e_{c v}$ qui ne dépend que de la contrainte normale, et un angle $φ_{c v}^{'}$ qui ne dépend que de la nature des grains (figure 7.2).

Figure 7.2. Boîte de cisaillement direct et courbes typiques d'un sable dense et d'un sable lâche sous la même contrainte normale. Le sable dense présente un pic de résistance accompagné d'une dilatance; les deux sables tendent vers la même résistance d'état critique.

Exercice

Lors d'un essai de cisaillement direct sur un sable dense, on observe un pic de résistance suivi d'une chute vers une valeur stabilisée. Quelle est l'explication correcte?

Résistance résiduelle des argiles

Dans les argiles, un phénomène supplémentaire intervient aux très grandes déformations: les particules en plaquettes s'orientent parallèlement à la surface de glissement, et l'angle de frottement tombe à une valeur résiduelle $φ_{r}^{'}$ qui peut n'être que de 8 à 15° pour les argiles très plastiques, contre 20 à 28° au pic. C'est la valeur qui régit les glissements réactivés: un versant ayant déjà glissé (nombreux cas dans les argiles glacio-lacustres du Plateau et dans les schistes altérés des Préalpes) ne dispose plus que de $φ_{r}^{'}$ sur l'ancienne surface de rupture. On mesure $φ_{r}^{'}$ à la boîte de cisaillement par allers-retours répétés, ou à l'appareil de cisaillement annulaire.

L'essai de cisaillement direct

L'essai est simple, rapide et bien adapté aux sols grenus; il permet la mesure de $φ_{r}^{'}$ par cycles. Ses limites sont connues: le plan de rupture est imposé et non choisi par le sol, la répartition des contraintes n'est pas uniforme, la surface cisaillée diminue au cours de l'essai, et l'on ne peut ni contrôler le drainage ni mesurer la pression interstitielle. Pour les sols fins, la vitesse de cisaillement doit être assez faible (parfois moins de 0,01 mm/min) pour garantir des conditions drainées, ce qui rend l'essai long.

L'essai triaxial

SN EN ISO 17892-8 et 17892-9 – Essais triaxiaux

L'éprouvette cylindrique (diamètre 38 à 100 mm, élancement voisin de 2), enveloppée d'une membrane en latex, est placée dans une cellule remplie d'eau mise sous pression (figure 7.3). La pression de cellule $σ_{3}$ agit sur toutes les faces; un piston applique en tête une force axiale supplémentaire, d'où la contrainte axiale $σ_{1} = σ_{3} + q$ , $q = σ_{1} - σ_{3}$ étant le déviateur. Un circuit relié aux pierres poreuses permet soit de laisser l'eau s'écouler (drainage ouvert, mesure de la variation de volume), soit de mesurer la pression interstitielle $u$ (drainage fermé). Selon la partie 8 (essai non consolidé non drainé, UU) ou la partie 9 (essais consolidés drainés CD et consolidés non drainés CU), on distingue trois types d'essais.

Figure 7.3. Cellule triaxiale et chemins de contraintes effectives dans le plan (s', t) pour un essai drainé CD (pente 1:1) et un essai non drainé CU sur une argile normalement consolidée (le chemin effectif s'incurve vers la gauche à mesure que u augmente). La droite K_f est l'image de l'enveloppe de Mohr-Coulomb.

Essai UU (non consolidé, non drainé): drainage fermé pendant toute la durée de l'essai, cisaillement rapide (quelques minutes). L'éprouvette conserve sa teneur en eau: on mesure $c_{u}$ directement, sans connaître $u$ . Sur une argile saturée, tous les cercles ont le même diamètre $2 c_{u}$ , quel que soit $σ_{3}$ .
Essai CU (consolidé, non drainé): l'éprouvette est d'abord consolidée sous $σ_{3}$ (drainage ouvert, 24 h ou plus), puis cisaillée à drainage fermé avec mesure de $u$ . On obtient $c_{u}$ pour l'état de consolidation imposé et, grâce à la mesure de $u$ , les cercles effectifs ( $σ_{3}^{'} = σ_{3} - u_{f}$ , $σ_{1}^{'} = σ_{1} - u_{f}$ ) qui donnent $c^{'}$ et $φ^{'}$ . C'est l'essai le plus courant sur les argiles, car il fournit les deux jeux de paramètres en un temps raisonnable.
Essai CD (consolidé, drainé): consolidation, puis cisaillement lent à drainage ouvert (plusieurs jours sur une argile) de sorte que $u$ reste nul: contraintes totales et effectives sont confondues. On obtient directement $c^{'}$ et $φ^{'}$ ; c'est l'essai de référence pour les sables et les graves.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes d'un essai triaxial CU avec mesure de la pression interstitielle.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer les contraintes effectives à la rupture et tracer les cercles de Mohr pour obtenir c' et φ'

Remplir la cellule et saturer l'éprouvette par contre-pression jusqu'à obtenir B ≈ 1

Fermer le drainage et cisailler à vitesse constante en enregistrant q, u et la déformation axiale

Consolider l'éprouvette sous la pression de cellule choisie, drainage ouvert, jusqu'à fin de la consolidation primaire

Tailler l'éprouvette, la placer entre les pierres poreuses et enfiler la membrane en latex

Interprétation dans le plan (s', t)

Tracer trois cercles et une droite tangente est peu précis. On préfère représenter chaque essai par un point de coordonnées

s^{'} = \frac{σ _{1}^{'} + σ _{3}^{'}}{2}, t = \frac{σ _{1}^{'} - σ _{3}^{'}}{2}, (7.6)

c'est-à-dire le sommet du cercle de Mohr. Les sommets des cercles tangents à l'enveloppe sont alignés sur la droite $K_{f}$ , d'équation $t = a + s^{'} tan α$ , et l'on montre que

sin φ^{'} = tan α, c^{'} = \frac{a}{cos φ ^{'}} . (7.7)

La régression linéaire sur les points $(s^{'}, t)$ de plusieurs essais donne $α$ et $a$ , donc $φ^{'}$ et $c^{'}$ . On rencontre aussi le plan $(p^{'}, q)$ de Cambridge avec $p^{'} = (σ_{1}^{'} + 2 σ_{3}^{'}) /3$ et $q = σ_{1}^{'} - σ_{3}^{'}$ ; la pente $M$ de l'enveloppe y vaut $6 sin φ^{'} / (3 - sin φ^{'})$ . Dans ces plans, on peut aussi suivre le chemin de contraintes d'un essai (figure 7.3): en CD, le chemin est une droite de pente 1:1 partant de $(σ_{3}^{'}, 0)$ ; en CU sur une argile NC, la surpression interstitielle positive fait dévier le chemin effectif vers la gauche, et la rupture survient à un $s^{'}$ inférieur au $s^{'}$ initial.

Exercice

Deux essais CD sur un sable propre ( $c^{'} = 0$ ) donnent à la rupture $σ_{3}^{'} = 100$ kPa, $σ_{1}^{'} = 330$ kPa, puis $σ_{3}^{'} = 200$ kPa, $σ_{1}^{'} = 660$ kPa. Calculez $φ^{'}$ en degrés.

Génération de pression interstitielle: paramètres de Skempton

Dans un essai non drainé, la variation de pression interstitielle sous un accroissement des contraintes principales totales s'écrit, d'après Skempton (1954),

Δ u = B [Δ σ_{3} + A (Δ σ_{1} - Δ σ_{3})] . (7.8)

Le paramètre $B$ traduit la saturation: $B = 1$ pour un sol saturé (l'eau reprend intégralement une compression isotrope), $B < 1$ dès que des bulles d'air sont présentes. Sa mesure en début d'essai triaxial sert de contrôle de saturation ( $B \geq 0, 95$ exigé). Le paramètre $A$ dépend du sol et du niveau de déformation: à la rupture, $A_{f}$ vaut 0,5 à 1 pour une argile NC (contractante, $Δ u > 0$ ), 0 à 0,5 pour une argile légèrement OC, et devient négatif pour les argiles fortement OC et les sables denses (dilatants), dont la résistance non drainée est alors supérieure à la résistance drainée.

Exercice

Au cours d'un essai CU sur une argile fortement surconsolidée, la pression interstitielle mesurée diminue au voisinage de la rupture. Qu'en déduisez-vous?

Résistance non drainée et comportement à court et long terme

Signification de $c_{u}$ et corrélations

Pour une argile normalement consolidée, la résistance non drainée croît proportionnellement à la contrainte effective verticale en place. Skempton a proposé, pour les argiles NC,

\frac{c _{u}}{σ _{v 0}^{'}} \approx 0, 22 \overset{a}{ˋ} 0, 25 (ou 0, 11 + 0, 0037 I_{P}) . (7.9)

Pour une argile surconsolidée, la résistance est plus élevée à même $σ_{v 0}^{'}$ ; la relation SHANSEP (Ladd et Foott, 1974) généralise (7.9):

\frac{c _{u}}{σ _{v 0}^{'}} = (\frac{c _{u}}{σ _{v 0}^{'}})_{N C} OCR^{m}, m \approx 0, 8. (7.10)

Ces relations permettent de vérifier la cohérence des mesures de $c_{u}$ et d'extrapoler un profil en fonction de la profondeur. Inversement, un profil de $c_{u}$ mesuré au scissomètre renseigne sur l'OCR.

Exemple 7.3 · Profil de résistance non drainée

Dans une argile lacustre de la plaine de l'Orbe ( $γ_{s a t} = 17, 5$ kN/m³, nappe en surface), un essai au scissomètre à 6 m de profondeur donne $c_{u} = 18$ kPa. Un sondage CPT voisin mesure, à la même profondeur, une résistance de pointe corrigée $q_{t} = 400$ kPa. Interpréter.

Contrainte effective. $σ_{v 0}^{'} = 6 \times (17, 5 - 9, 81) = 46, 1$ kPa, d'où $c_{u} / σ_{v 0}^{'} = 18/46, 1 = 0, 39$ .

OCR. Avec $(c_{u} / σ_{v 0}^{'})_{N C} = 0, 22$ et $m = 0, 8$ dans (7.10): $OCR^{0, 8} = 0, 39/0, 22 = 1, 77$ , donc $OCR = 1, 7 7^{1, 25} = 2, 0$ . L'argile est légèrement surconsolidée, ce qui est fréquent dans les premiers mètres (croûte de dessiccation, vieillissement).

Contrôle par le CPT. $σ_{v 0} = 6 \times 17, 5 = 105$ kPa et, avec $N_{k t} = 15$ ,

c_{u} = \frac{q _{t} - σ _{v 0}}{N _{k t}} = \frac{400 - 105}{15} = 19, 7 kPa .

Les deux mesures concordent à 10 % près, ce qui est très satisfaisant pour ce type d'essai.

Exercice

Un essai triaxial UU sur une argile saturée, sous $σ_{3} = 100$ kPa, atteint la rupture pour une contrainte axiale totale $σ_{1} = 176$ kPa. Quelle est la résistance non drainée $c_{u}$ (kPa)?

Essais in situ pour $c_{u}$

Le prélèvement d'échantillons intacts d'argile molle est délicat; on complète les essais de laboratoire par des essais en place.

Scissomètre de chantier (SN EN ISO 22476-9): un moulinet à quatre pales est foncé dans le sol puis mis en rotation; le couple maximal $M_{ma x}$ donne $c_{u} = M_{ma x} / K$ , $K$ dépendant des dimensions des pales (pour $h = 2 d$ : $K = 7 π d^{3} /6$ ). La valeur mesurée doit être corrigée par le facteur $μ$ de Bjerrum (0,6 à 1, fonction de $I_{P}$ ) pour tenir compte de la vitesse et de l'anisotropie.
Pénétromètre statique CPT/CPTu (SN EN ISO 22476-1): $c_{u} = (q_{t} - σ_{v 0}) / N_{k t}$ avec $N_{k t}$ entre 12 et 20, le plus souvent pris égal à 15 en l'absence d'étalonnage local. Le CPTu fournit un profil continu et sert aussi à identifier les couches (chapitre 8).

Analyse drainée ou non drainée?

Le choix du type d'analyse est l'une des décisions les plus importantes du géotechnicien; il dépend de la perméabilité du sol par rapport à la vitesse de chargement.

Situation	Sols grenus (sables, graves)	Sols fins saturés (argiles, silts)
Court terme (construction)	drainée: $c^{'}$ , $φ^{'}$	non drainée: $c_{u}$
Long terme (service)	drainée: $c^{'}$ , $φ^{'}$	drainée: $c^{'}$ , $φ^{'}$

Pour les sables, la consolidation est immédiate: l'analyse est toujours drainée. Pour les argiles, il faut se demander quelle échéance est la plus défavorable:

Chargement (remblai, fondation): la surpression interstitielle est positive à court terme et se dissipe ensuite, ce qui augmente $σ^{'}$ et la résistance. Le cas critique est le court terme, à traiter avec $c_{u}$ . C'est pourquoi un remblai sur argile molle se construit par étapes, chacune laissant le temps au sol de gagner en résistance.
Déchargement (excavation, talus de déblai): la surpression est négative à court terme; avec le temps, l'eau revient, $σ^{'}$ diminue et la résistance aussi. Le cas critique est le long terme, à traiter avec $c^{'}$ et $φ^{'}$ et le régime hydraulique stabilisé. Les ruptures différées de talus de déblai dans les argiles du Plateau, parfois des décennies après les travaux, en sont l'illustration.

En cas de doute, on vérifie les deux situations.

Exercice

On projette une tranchée de 5 m de profondeur, talutée à 2:3, dans une argile lacustre saturée. Quelle analyse de stabilité est déterminante?

Valeurs typiques et valeurs de calcul

Ordres de grandeur

Sol	$φ^{'}$ (°)	$c^{'}$ (kPa)	$c_{u}$ (kPa)
Graves alluviales (Rhône, Aar, Rhin)	35 – 42	0	–
Sables	30 – 36	0	–
Moraines (à matrice silteuse)	30 – 38	0 – 10	–
Silts	26 – 32	0 – 5	20 – 100
Argiles lacustres (Plateau)	22 – 28	0 – 5	20 – 80
Argiles très plastiques (résiduel)	8 – 15	0	–

Ces valeurs servent aux études préliminaires et à la vérification de la plausibilité des essais; l'annexe A en donne une liste plus complète. Une cohésion effective $c^{'}$ notable ne doit être retenue que si elle est confirmée par des essais, car elle disparaît souvent avec le remaniement, l'altération ou la saturation.

Valeurs caractéristiques et de calcul selon SIA 267

Synthèse

Critère de Mohr-Coulomb: $τ_{f} = c^{'} + σ^{'} tan φ^{'}$ en contraintes effectives; $τ_{f} = c_{u}$ en conditions non drainées. À la rupture, $σ_{1}^{'} = σ_{3}^{'} N_{φ} + 2 c^{'} N_{φ}$ avec $N_{φ} = tan^{2} (45° + φ^{'} /2)$ , et la facette de rupture est inclinée à $45° + φ^{'} /2$ sur le plan de $σ_{1}^{'}$ .
La résistance des sols grenus vient du frottement et de l'enchevêtrement; les sols denses dilatent et présentent un pic $φ_{p}^{'}$ , tous rejoignent l'état critique $φ_{c v}^{'}$ ; les argiles très plastiques descendent jusqu'à $φ_{r}^{'}$ aux grands déplacements.
Cisaillement direct (boîte de Casagrande): simple, plan de rupture imposé, sans contrôle du drainage. Triaxial: UU donne $c_{u}$ ; CU avec mesure de $u$ donne $c_{u}$ et $c^{'}$ , $φ^{'}$ ; CD donne $c^{'}$ , $φ^{'}$ . Interprétation commode dans le plan $(s^{'}, t)$ : $sin φ^{'} = tan α$ , $c^{'} = a / cos φ^{'}$ .
$c_{u}$ n'est pas une constante: $c_{u} / σ_{v 0}^{'} \approx 0, 22$ à 0,25 pour les argiles NC, multiplié par $OCR^{0, 8}$ pour les argiles OC; on la mesure aussi au scissomètre et au CPT ( $N_{k t} \approx 15$ ).
Chargement d'une argile: court terme critique, analyse non drainée; déchargement: long terme critique, analyse drainée; sables: toujours drainé.
SIA 267: valeurs caractéristiques prudentes, puis $γ_{φ} = 1, 2$ sur $tan φ^{'}$ , $γ_{c} = 1, 5$ sur $c^{'}$ , $γ_{c u} = 1, 5$ sur $c_{u}$ .

Série d'exercices du chapitre 7

Exercice 1 sur 5

Exercice

Dans un essai triaxial sur un sable de $φ^{'} = 30°$ , quel angle fait la surface de rupture avec l'horizontale (plan sur lequel agit $σ_{1}^{'}$ )?

Problème guidé

Interprétation de deux essais triaxiaux CU

Deux essais CU avec mesure de la pression interstitielle ont été réalisés sur une argile lacustre de Genève. Essai 1: $σ_{3} = 100$ kPa, déviateur à la rupture $q_{f} = 74$ kPa, pression interstitielle à la rupture $u_{f} = 60$ kPa. Essai 2: $σ_{3} = 200$ kPa, $q_{f} = 133$ kPa, $u_{f} = 120$ kPa. On cherche $c^{'}$ et $φ^{'}$ .

1
Contraintes effectives de l'essai 1
À la rupture, $σ_{3}^{'} = σ_{3} - u_{f}$ et $σ_{1}^{'} = σ_{3}^{'} + q_{f}$ (le déviateur est le même en contraintes totales et effectives).
Exercice
Calculez $σ_{1}^{'}$ à la rupture pour l'essai 1, en kPa.
kPa
Contraintes effectives de l'essai 2
Angle de frottement par la droite K_f
Cohésion effective

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 7.1 · Essais de cisaillement direct sur une moraine

Trois essais drainés à la boîte de Casagrande sur une moraine limoneuse de la région de Fribourg ont donné les résultats suivants.

$σ_{n}^{'}$ (kPa)	100	200	400
$τ_{f}$ (kPa)	73	138	268

Déterminer $c^{'}$ et $φ^{'}$ par régression linéaire. En déduire les valeurs de calcul selon SIA 267 et la résistance au cisaillement de calcul sur un plan où $σ^{'} = 250$ kPa.

Solution

Régression linéaire $τ_{f} = c^{'} + σ_{n}^{'} tan φ^{'}$ sur les trois points. Avec $n = 3$ , $\sum σ_{n}^{'} = 700$ , $\sum τ_{f} = 479$ , $\sum σ_{n}^{'} τ_{f} = 100 \times 73 + 200 \times 138 + 400 \times 268 = 142100$ et $\sum σ_{n}^{'2} = 210000$ :

tan φ^{'} = \frac{n \sum σ _{n}^{'} τ _{f} - \sum σ _{n}^{'} \sum τ _{f}}{n \sum σ _{n}^{'2} - ( \sum σ _{n}^{'} ) ^{2}} = \frac{3 \times 142 100 - 700 \times 479}{3 \times 210 000 - 70 0 ^{2}} = \frac{91 000}{140 000} = 0, 650,

c^{'} = \frac{\sum τ _{f} - tan φ ^{'} \sum σ _{n}^{'}}{n} = \frac{479 - 0 , 650 \times 700}{3} = 8, 0 kPa .

D'où $φ^{'} = arctan 0, 650 = 33, 0°$ et $c^{'} = 8$ kPa: valeurs typiques d'une moraine à matrice silteuse. Les trois points sont parfaitement alignés, ce qui est rare en pratique; on vérifie que la cohésion mesurée n'est pas un artefact de la dilatance sous faible contrainte avant de la retenir.

Valeurs de calcul (SIA 267).

tan φ_{d}^{'} = \frac{0 , 650}{1 , 2} = 0, 542 \Rightarrow φ_{d}^{'} = 28, 4°, c_{d}^{'} = \frac{8}{1 , 5} = 5, 3 kPa .

Résistance de calcul sur un plan où $σ^{'} = 250$ kPa:

τ_{d} = 5, 3 + 250 \times 0, 542 = 140, 8 kPa,

contre une résistance caractéristique $τ_{k} = 8 + 250 \times 0, 650 = 170, 5$ kPa: la réduction est de 17 %.

Exercice 7.2 · Cercle de Mohr à la rupture

Un essai triaxial CD sur un sable ( $c^{'} = 0$ ) sous $σ_{3}^{'} = 120$ kPa atteint la rupture pour un déviateur $q_{f} = 300$ kPa. Déterminer $φ^{'}$ , l'inclinaison de la facette de rupture, ainsi que les contraintes normale et tangentielle sur cette facette. Vérifier que ces contraintes satisfont le critère de Mohr-Coulomb. Quel déviateur de rupture attend-on sous $σ_{3}^{'} = 300$ kPa?

Solution

Contraintes principales. $σ_{3}^{'} = 120$ kPa, $σ_{1}^{'} = 120 + 300 = 420$ kPa. Centre $s^{'} = 270$ kPa, rayon $t = 150$ kPa.

Angle de frottement. L'enveloppe passe par l'origine ( $c^{'} = 0$ ) et est tangente au cercle:

sin φ^{'} = \frac{t}{s ^{'}} = \frac{150}{270} = 0, 556 \Rightarrow φ^{'} = 33, 7°.

Facette de rupture. $θ = 45° + 33, 7°/2 = 61, 9°$ par rapport au plan horizontal (plan de $σ_{1}^{'}$ ). Dans l'éprouvette, la surface de rupture est inclinée d'environ 62° sur l'horizontale.

Contraintes sur la facette. Le point de tangence est à l'angle $90° + φ^{'}$ du centre:

σ_{f}^{'} = s^{'} - t sin φ^{'} = 270 - 150 \times 0, 556 = 186, 7 kPa, τ_{f} = t cos φ^{'} = 150 \times 0, 831 = 124, 7 kPa .

Vérification. $τ_{f} / σ_{f}^{'} = 124, 7/186, 7 = 0, 668 = tan 33, 7°$ : le critère $τ_{f} = σ_{f}^{'} tan φ^{'}$ est satisfait. On remarque que le cisaillement maximal ( $t = 150$ kPa, sur la facette à 45°) est plus grand que $τ_{f}$ , mais la contrainte normale y est aussi plus élevée (270 kPa): cette facette est plus éloignée de la rupture.

Déviateur sous $σ_{3}^{'} = 300$ kPa. $N_{φ} = (1 + sin φ^{'}) / (1 - sin φ^{'}) = 1, 556/0, 444 = 3, 5$ (on retrouve $420/120$ ). Donc $σ_{1}^{'} = 300 \times 3, 5 = 1050$ kPa et $q_{f} = 750$ kPa: pour un sable, le déviateur de rupture est proportionnel au confinement.

Exercice 7.3 · Profil de résistance non drainée

Dans une argile lacustre ( $γ = 17$ kN/m³ au-dessus de la nappe située à 1 m, $γ_{s a t} = 17, 5$ kN/m³ en dessous), des essais UU sur des échantillons prélevés à 3, 6 et 9 m ont donné des déviateurs de rupture de 36, 44 et 52 kPa. Calculer $c_{u}$ et $σ_{v 0}^{'}$ à chaque profondeur, le rapport $c_{u} / σ_{v 0}^{'}$ , et estimer l'OCR par la relation SHANSEP avec $(c_{u} / σ_{v 0}^{'})_{N C} = 0, 22$ et $m = 0, 8$ . Commenter l'évolution avec la profondeur et donner les valeurs de calcul $c_{u, d}$ .

Solution

Résistance non drainée. $c_{u} = q_{f} /2$ : 18, 22 et 26 kPa à 3, 6 et 9 m.

Contrainte effective. Au-dessus de la nappe (1 m): $17$ kPa; en dessous, $γ^{'} = 17, 5 - 9, 81 = 7, 69$ kN/m³.

$z$ (m)	$σ_{v 0}^{'}$ (kPa)	$c_{u}$ (kPa)	$c_{u} / σ_{v 0}^{'}$	$OCR = (c_{u} / σ_{v 0}^{'} /0, 22)^{1/0, 8}$	$c_{u, d} = c_{u} /1, 5$ (kPa)
3	$17 + 2 \times 7, 69 = 32, 4$	18	0,556	3,2	12,0
6	$17 + 5 \times 7, 69 = 55, 5$	22	0,397	2,1	14,7
9	$17 + 8 \times 7, 69 = 78, 5$	26	0,331	1,7	17,3

Détail pour 6 m: $OCR^{0, 8} = 0, 397/0, 22 = 1, 80$ , d'où $OCR = 1, 8 0^{1, 25} = 2, 1$ .

Commentaire. La résistance non drainée croît avec la profondeur (+4 kPa tous les 3 m), mais moins vite que $σ_{v 0}^{'}$ : le rapport $c_{u} / σ_{v 0}^{'}$ décroît de 0,56 à 0,33 et l'OCR de 3,2 à 1,7. C'est le profil classique d'une argile lacustre: une croûte superficielle surconsolidée par dessiccation et fluctuations de la nappe, puis un sol qui tend vers l'état normalement consolidé en profondeur ( $c_{u} / σ_{v 0}^{'} \to 0, 22$ –0,25). L'extrapolation à plus grande profondeur se fera avec le gradient NC ( $c_{u} \approx 0, 22 σ_{v 0}^{'}$ ) et non par prolongement linéaire des mesures. Les valeurs de calcul $c_{u, d}$ de 12 à 17 kPa sont faibles: une fondation superficielle ou un remblai sur ce sol exigera un dimensionnement soigné à court terme (chapitres 10 et 12).

Exercice 7.4 · Choix de l'analyse et valeurs de calcul

Pour chacune des situations suivantes, indiquer si l'analyse déterminante est drainée ou non drainée, et à quelle échéance: (a) remblai de 4 m construit en un mois sur une argile lacustre; (b) talus de déblai permanent dans la même argile; (c) semelle filante sur une grave alluviale; (d) fouille blindée de deux semaines dans une argile silteuse. Pour l'argile, les valeurs caractéristiques sont $φ_{k}^{'} = 26°$ , $c_{k}^{'} = 5$ kPa et $c_{u, k} = 30$ kPa. Calculer les valeurs de calcul selon SIA 267, puis la résistance de calcul drainée sur un plan où $σ^{'} = 100$ kPa; comparer à la valeur caractéristique.

Solution

Type d'analyse déterminante.

(a) Remblai construit rapidement sur argile: chargement, surpressions interstitielles positives qui se dissipent ensuite en augmentant la résistance. Le court terme est critique: analyse non drainée avec $c_{u}$ . Si la stabilité n'est pas assurée, on construit par étapes en laissant le sol consolider (et gagner en $c_{u}$ ) entre les phases.
(b) Talus de déblai permanent dans l'argile: déchargement, dépressions interstitielles à court terme puis retour de l'eau et perte de résistance. Le long terme est critique: analyse drainée avec $c^{'}$ , $φ^{'}$ et régime hydraulique stabilisé. On vérifie néanmoins le court terme pour la phase de chantier.
(c) Semelle sur grave alluviale: sol très perméable, consolidation instantanée. Analyse drainée à toute échéance, avec $c^{'} = 0$ et $φ^{'}$ .
(d) Fouille blindée de deux semaines dans une argile silteuse: déchargement de courte durée; la fouille est remblayée avant que les dépressions interstitielles ne se dissipent. L'analyse non drainée à court terme est pertinente pour la durée des travaux; comme le sol est silteux (perméabilité intermédiaire), une dissipation partielle est possible et l'on vérifie aussi la situation drainée par prudence.

Valeurs de calcul (SIA 267).

tan φ_{d}^{'} = \frac{tan 26°}{1 , 2} = \frac{0 , 488}{1 , 2} = 0, 406 \Rightarrow φ_{d}^{'} = 22, 1°, c_{d}^{'} = \frac{5}{1 , 5} = 3, 3 kPa, c_{u, d} = \frac{30}{1 , 5} = 20 kPa .

Résistance drainée sur un plan où $σ^{'} = 100$ kPa.

τ_{k} = 5 + 100 \times 0, 488 = 53, 8 kPa, τ_{d} = 3, 3 + 100 \times 0, 406 = 44, 0 kPa .

Le rapport $τ_{d} / τ_{k} = 0, 82$ correspond à un facteur global d'environ 1,22 sur la résistance: proche du facteur sur $tan φ^{'}$ , puisque la cohésion ne contribue ici que pour 10 % de la résistance. Le facteur 1,5 sur $c^{'}$ ne pèse lourd que dans les sols à forte cohésion, dont la fiabilité est précisément la plus discutable.

Références

SN EN ISO 17892-8, -9 et -10, Reconnaissance et essais géotechniques – Essais de laboratoire sur les sols: essai triaxial non consolidé non drainé, essais triaxiaux consolidés, essai de cisaillement direct.
SN EN ISO 22476-1 et -9, Reconnaissance et essais géotechniques – Essais en place: essai de pénétration au cône, essai au scissomètre.
SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, 9e éd., Springer, Berlin, 2011.
Schlosser, F., Éléments de mécanique des sols, Presses de l'ENPC, Paris.
Das, B. M., Principles of Geotechnical Engineering, 8e éd., Cengage, Stamford, 2014.

Objectifs du chapitre

La rupture des sols par cisaillement

Le critère de Mohr-Coulomb

Explorateur du critère de Mohr-Coulomb

Le critère en conditions non drainées

Origine physique de la résistance

Frottement, enchevêtrement et dilatance

Résistance résiduelle des argiles

L'essai de cisaillement direct

L'essai triaxial

Interprétation dans le plan (s', t)

Génération de pression interstitielle: paramètres de Skempton

Résistance non drainée et comportement à court et long terme

Signification de cu​ et corrélations

Essais in situ pour cu​

Analyse drainée ou non drainée?

Valeurs typiques et valeurs de calcul

Ordres de grandeur

Valeurs caractéristiques et de calcul selon SIA 267

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 7

Interprétation de deux essais triaxiaux CU

Contraintes effectives de l'essai 1

Contraintes effectives de l'essai 2

Angle de frottement par la droite K_f

Cohésion effective

Exercices

Références

Signification de $c_{u}$ et corrélations

Essais in situ pour $c_{u}$