Fondations superficielles · Mécanique des sols

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

distinguer les types de fondations superficielles (semelles isolées, semelles filantes, radiers) et choisir leur profondeur d'assise;
décrire les mécanismes de rupture d'un sol sous une semelle et les zones de Prandtl;
calculer la capacité portante d'une semelle par la formule générale (Brinch Hansen / Vesić) avec les facteurs de forme, d'inclinaison et de profondeur, en conditions drainées et non drainées;
tenir compte d'une charge excentrée (largeur efficace de Meyerhof) et de la position de la nappe;
effectuer la vérification de la sécurité structurale $E_{d} \leq R_{d}$ selon SIA 267 (portance, glissement) et estimer les tassements d'une semelle (méthode élastique, méthode des contraintes 2:1);
situer les tassements calculés par rapport aux valeurs admissibles pour un bâtiment.

Types de fondations superficielles et profondeur d'assise

Une fondation est dite superficielle lorsqu'elle transmet les charges de l'ouvrage au sol par sa base, à faible profondeur: la profondeur d'encastrement $D$ reste inférieure à quelques fois la largeur $B$ (en pratique $D / B < 4$ , le plus souvent $D < 3$ m). C'est le mode de fondation le plus économique dès que le sol porteur est proche de la surface: graves alluviales des vallées du Rhône et de l'Aar, moraines compactes du Plateau, molasse altérée.

Le choix de la profondeur d'assise $D$ répond à trois exigences. La base doit d'abord se trouver sous la zone soumise au gel: en Suisse, la profondeur hors gel vaut environ 0,8 m sur le Plateau et 1,0 à 1,2 m en altitude (Jura, Préalpes), car un sol fin gélif qui gèle sous une semelle la soulève par formation de lentilles de glace. La base doit ensuite reposer dans une couche porteuse, sous la terre végétale, les remblais et les horizons altérés. Elle doit enfin être compatible avec les ouvrages voisins: une fouille ne doit pas décomprimer le sol sous une fondation existante (règle de la ligne à 45° ou reprise en sous-œuvre, chapitre 11).

Trois vérifications structurent le dimensionnement:

ELU portance: le sol ne doit pas rompre sous la semelle (capacité portante);
ELU glissement: la semelle ne doit pas glisser sur sa base sous l'effet d'une charge horizontale;
ELS tassements: les tassements absolus et différentiels doivent rester compatibles avec l'ouvrage.

En Suisse, le sol de fondation est le plus souvent qualifié par un rapport géotechnique qui fournit, pour chaque couche, les paramètres caractéristiques $φ_{k}^{'}$ , $c_{k}^{'}$ , $c_{u, k}$ , $γ$ et le module $M_{E}$ (essai de plaque ou œdomètre, chapitres 6 et 8).

Mécanismes de rupture et capacité portante

Les trois modes de rupture

Lorsqu'on augmente progressivement la charge sur une semelle, le tassement croît d'abord de façon quasi linéaire, puis le sol se plastifie et cède. Vesić distingue trois modes de rupture selon la compacité du sol et l'encastrement:

la rupture générale, dans les sols denses ou raides: une surface de glissement continue se développe depuis le bord de la semelle jusqu'à la surface, avec soulèvement du sol de part et d'autre et une charge de pic bien marquée;
la rupture locale, dans les sols moyennement compacts: la surface de glissement reste incomplète, le tassement devient important sans pic net;
la rupture par poinçonnement, dans les sols lâches ou les sols mous surmontés d'une couche raide: la semelle s'enfonce en cisaillant le sol le long de son périmètre, sans soulèvement.

Les formules de capacité portante sont établies pour la rupture générale. Pour les sols lâches, on les applique avec des paramètres de résistance réduits (Terzaghi proposait $tan φ^{*} = \frac{2}{3} tan φ^{'}$ ), mais dans ces sols c'est en général le tassement qui gouverne.

Figure 10.1. Mécanisme de rupture générale sous une semelle filante (Prandtl, φ′ = 30°). Le coin I sous la semelle s'enfonce comme un corps rigide, la zone II est cisaillée radialement le long d'une spirale logarithmique et la zone III est poussée vers le haut en butée. Le sol au-dessus du niveau de la base est remplacé par la surcharge q = γ·D.

Zones de Prandtl et formule de Terzaghi

Prandtl (1920) a résolu le problème de la plasticité d'un demi-espace non pesant chargé par une bande: sous la semelle se forme un coin actif (zone I, angles à la base $45° + φ^{'} /2$ ), qui refoule le sol vers l'extérieur à travers une zone de cisaillement radial (zone II, spirale logarithmique de centre le bord de la semelle) jusqu'à une zone passive de Rankine (zone III, angles $45° - φ^{'} /2$ ). Terzaghi (1943) a étendu ce schéma à un sol pesant et encastré, en superposant trois contributions:

q_{u l t} = c^{'} N_{c} + q N_{q} + \frac{1}{2} γ B N_{γ} (10.1)

où $q = γ D$ est la contrainte du sol au niveau de la base (surcharge latérale), $γ$ le poids volumique du sol sous la base et $N_{c}$ , $N_{q}$ , $N_{γ}$ les facteurs de capacité portante, fonctions de $φ^{'}$ seulement. Le premier terme est l'apport de la cohésion, le deuxième celui de l'encastrement, le troisième celui du poids du sol dans le mécanisme, proportionnel à la largeur de la semelle.

Facteurs de capacité portante

Les expressions retenues par SIA 267 et l'annexe D de l'Eurocode 7 sont celles de Prandtl–Reissner pour $N_{q}$ et $N_{c}$ et celle de Vesić pour $N_{γ}$ :

N_{q} = e^{π t a n φ^{'}} tan^{2} (45° + \frac{φ ^{'}}{2}), N_{c} = (N_{q} - 1) cot φ^{'}, N_{γ} = 2 (N_{q} - 1) tan φ^{'} . (10.2)

$φ^{'}$	$N_{c}$	$N_{q}$	$N_{γ}$
0°	5,14	1,00	0
20°	14,83	6,40	3,93
25°	20,72	10,66	9,01
30°	30,14	18,40	20,09
35°	46,12	33,30	45,23
40°	75,31	64,20	106,05

Pour $φ^{'} = 0$ , $N_{c} = π + 2 = 5, 14$ et $N_{γ} = 0$ . Les facteurs croissent de façon exponentielle avec $φ^{'}$ (figure 10.2): entre 30° et 35°, $N_{γ}$ fait plus que doubler. C'est pourquoi la capacité portante est très sensible à l'angle de frottement, et pourquoi le facteur partiel $γ_{φ}$ appliqué à $tan φ^{'}$ a un effet important.

Figure 10.2. Facteurs de capacité portante selon (10.2) en fonction de l'angle de frottement (échelle logarithmique). Les points marquent φ′ = 30°.

Exercice

Un sable a $φ^{'} = 30°$ . Si l'on passe à $φ^{'} = 35°$ , par quel facteur environ le terme $\frac{1}{2} γ B N_{γ}$ est-il multiplié?

Formule générale (Brinch Hansen / Vesić)

La formule (10.1) est valable pour une semelle filante, chargée verticalement et centrée. Pour une semelle rectangulaire, une charge inclinée ou une semelle encastrée, on corrige chaque terme par des facteurs de forme $s$ , de profondeur $d$ et d'inclinaison $i$ :

q_{u l t} = c^{'} N_{c} s_{c} d_{c} i_{c} + q N_{q} s_{q} d_{q} i_{q} + \frac{1}{2} γ B^{'} N_{γ} s_{γ} d_{γ} i_{γ} . (10.3)

SIA 267 / SN EN 1997-1 annexe D – Facteurs correctifs

Facteurs de forme (semelle $B^{'} \times L^{'}$ , $B^{'} \leq L^{'}$ ):

s_{q} = 1 + \frac{B ^{'}}{L ^{'}} sin φ^{'}, s_{γ} = 1 - 0, 3 \frac{B ^{'}}{L ^{'}}, s_{c} = \frac{s _{q} N _{q} - 1}{N _{q} - 1} . (10.4)

Pour une semelle filante, $B^{'} / L^{'} = 0$ et tous les facteurs de forme valent 1. Pour une semelle carrée, $s_{q} = 1 + sin φ^{'}$ et $s_{γ} = 0, 7$ .

Facteurs d'inclinaison pour une charge de composante verticale $V$ et horizontale $H$ agissant sur l'aire efficace $A^{'} = B^{'} L^{'}$ :

i_{q} = (1 - \frac{H}{V + A ^{'} c ^{'} cot φ ^{'}})^{m}, i_{γ} = (1 - \frac{H}{V + A ^{'} c ^{'} cot φ ^{'}})^{m + 1}, i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i _{q}}{N _{c} tan φ ^{'}}, (10.5)

avec $m = m_{B} = (2 + B^{'} / L^{'}) / (1 + B^{'} / L^{'})$ si $H$ agit dans la direction de $B^{'}$ , et $m = m_{L} = (2 + L^{'} / B^{'}) / (1 + L^{'} / B^{'})$ si $H$ agit dans la direction de $L^{'}$ . Pour une semelle filante, $m = 2$ .

Facteurs de profondeur: l'annexe D de l'Eurocode 7 ne les donne pas et SIA 267 recommande de les négliger ( $d_{c} = d_{q} = d_{γ} = 1$ ), ce qui va dans le sens de la sécurité: on ne compte pas sur la résistance au cisaillement du sol situé au-dessus de la base, souvent remanié par la fouille. Brinch Hansen proposait $d_{q} = 1 + 2 tan φ^{'} (1 - sin φ^{'})^{2} D / B$ pour $D \leq B$ .

Charge excentrée: la semelle efficace

Lorsque la résultante $V$ agit avec une excentricité $e_{B}$ dans la direction de $B$ (et $e_{L}$ dans la direction de $L$ ), Meyerhof propose de remplacer la semelle réelle par une semelle efficace fictive, centrée sur le point d'application de la charge:

B^{'} = B - 2 e_{B}, L^{'} = L - 2 e_{L}, A^{'} = B^{'} L^{'} . (10.6)

La capacité portante est calculée avec $B^{'}$ et $L^{'}$ dans (10.3) et (10.4), et la résistance totale vaut $R = q_{u l t} A^{'}$ . La partie de la semelle située au-delà de la zone efficace est considérée comme inactive.

Figure 10.3. Semelle chargée excentrée. À gauche, la répartition linéaire des contraintes de contact utilisée pour le calcul de la semelle en béton armé (valable tant que la résultante reste dans le noyau central, e ≤ B/6). À droite, la semelle efficace de Meyerhof utilisée pour le calcul de la portance: la charge est supposée uniformément répartie sur B′ = B − 2e.

Exercice

Une semelle carrée de 2,0 m de côté reçoit $V = 1200$ kN et un moment $M = 300$ kNm. Que vaut la largeur efficace $B^{'}$ et la résultante est-elle dans le noyau central?

Conditions non drainées

Dans une argile saturée chargée rapidement (construction d'un bâtiment en quelques mois sur une argile lacustre), la surpression interstitielle n'a pas le temps de se dissiper et l'on raisonne en contraintes totales avec $φ_{u} = 0$ et $c_{u}$ . Les facteurs valent $N_{c} = π + 2$ , $N_{q} = 1$ , $N_{γ} = 0$ , et (10.3) devient:

q_{u l t} = (π + 2) c_{u} s_{c} i_{c} + q, s_{c} = 1 + 0, 2 \frac{B ^{'}}{L ^{'}}, i_{c} = \frac{1}{2} (1 + 1 - \frac{H}{A ^{'} c _{u}}) . (10.7)

Le terme $q = γ D$ (poids volumique total) correspond au poids du sol excavé; on parle de capacité portante nette $q_{n e t} = q_{u l t} - q = (π + 2) c_{u} s_{c} i_{c}$ , que l'on compare à la contrainte nette apportée par l'ouvrage. Un radier dont le poids ne dépasse pas celui du sol excavé (fondation compensée) ne sollicite donc pratiquement pas le sol.

Pour une argile, il faut examiner les deux situations: la situation non drainée à court terme, avec $c_{u}$ , et la situation drainée à long terme, avec $φ^{'}$ et $c^{'}$ . Pour les argiles normalement consolidées ou légèrement surconsolidées, c'est presque toujours le court terme qui gouverne, car la consolidation augmente ensuite la résistance. Pour un déchargement (fouille, excavation), c'est au contraire le long terme qui est critique.

Exercice

Un bâtiment est fondé sur des semelles reposant sur une argile lacustre normalement consolidée. Quelle situation gouverne en général la vérification de portance?

Effet de la nappe

La position de la nappe intervient dans les deux derniers termes de (10.3). Si la nappe est au niveau de la base ou au-dessus, le poids volumique dans le terme en $N_{γ}$ est le poids déjaugé $γ^{'} = γ_{s a t} - γ_{w}$ , soit environ la moitié de $γ$ , et la surcharge $q$ est la contrainte effective $σ_{v}^{'} (D)$ . Si la nappe est à une profondeur $d_{w}$ comprise entre $D$ et $D + B$ (zone du mécanisme de rupture), on interpole linéairement:

γ_{e f f} = γ^{'} + \frac{d _{w} - D}{B} (γ - γ^{'}) . (10.8)

Au-delà de $D + B$ , la nappe n'a plus d'influence. Une remontée de nappe jusqu'à la base d'une semelle dans un sable sans cohésion réduit donc le terme en $N_{γ}$ de moitié environ: c'est un cas de charge à examiner explicitement (nappe des hautes eaux du rapport géotechnique).

Exemple 10.1 · Semelle filante dans une grave de la plaine du Rhône

Un mur de soutènement à Sion est fondé sur une semelle filante de largeur $B = 1, 5$ m encastrée à $D = 1, 0$ m dans une grave sableuse ( $φ_{k}^{'} = 32°$ , $c^{'} = 0$ , $γ = 19$ kN/m³), nappe profonde. Calculer $q_{u l t}$ et la résistance de calcul par mètre.

Facteurs. D'après (10.2), pour $φ^{'} = 32°$ : $N_{q} = e^{π t a n 32°} tan^{2} 61° = 23, 18$ et $N_{γ} = 2 (23, 18 - 1) tan 32° = 27, 72$ . Semelle filante, charge verticale centrée: tous les facteurs $s$ , $d$ , $i$ valent 1.

Capacité portante. $q = γ D = 19 \times 1, 0 = 19$ kPa.

q_{u l t} = 19 \times 23, 18 + \frac{1}{2} \times 19 \times 1, 5 \times 27, 72 = 440 + 395 = 835 kPa .

Résistance de calcul. $R_{k} = q_{u l t} B = 835 \times 1, 5 = 1253$ kN/m et, avec $γ_{R} = 1, 4$ , $R_{d} = 1253/1, 4 = 895$ kN/m. Les deux termes contribuent à parts presque égales: l'encastrement d'un mètre vaut autant que la largeur de la semelle.

Exercice

Une semelle filante de largeur $B = 2, 0$ m est encastrée à $D = 1, 0$ m dans un sable ( $φ^{'} = 30°$ , $c^{'} = 0$ , $γ = 18$ kN/m³), nappe profonde. Calculez $q_{u l t}$ en kPa avec les facteurs (10.2).

Exercice

Pour la semelle précédente ( $q_{u l t} = 693$ kPa, $B = 2, 0$ m), calculez la résistance de calcul $R_{d}$ par mètre linéaire avec $γ_{R} = 1, 4$ .

Exemple 10.2 · Semelle excentrée avec nappe au niveau de la base

Une semelle carrée de $2, 5 \times 2, 5$ m sous un poteau d'un bâtiment industriel à Yverdon est encastrée à $D = 1, 2$ m dans un sable graveleux ( $φ_{k}^{'} = 33°$ , $c^{'} = 0$ , $γ = 20$ kN/m³ au-dessus de la nappe, $γ_{s a t} = 21$ kN/m³). La nappe des hautes eaux se trouve au niveau de la base. Charges de calcul: $V_{d} = 2000$ kN et moment $M_{d} = 300$ kNm autour d'un axe parallèle à un côté. Vérifier la portance.

Excentricité. $e_{B} = M_{d} / V_{d} = 300/2000 = 0, 15$ m $< B /6 = 0, 42$ m. Largeur efficace $B^{'} = 2, 5 - 0, 30 = 2, 2$ m, $L^{'} = L = 2, 5$ m, $A^{'} = 5, 5$ m².

Facteurs. Pour $φ^{'} = 33°$ : $N_{q} = 26, 09$ , $N_{γ} = 32, 59$ . Forme, avec $B^{'} / L^{'} = 0, 88$ : $s_{q} = 1 + 0, 88 sin 33° = 1, 479$ ; $s_{γ} = 1 - 0, 3 \times 0, 88 = 0, 736$ .

Nappe. Au-dessus de la base, le sol est humide: $q = 20 \times 1, 2 = 24$ kPa. Sous la base, $γ^{'} = 21 - 9, 81 = 11, 19$ kN/m³.

Capacité portante.

q_{u l t} = 24 \times 26, 09 \times 1, 479 + \frac{1}{2} \times 11, 19 \times 2, 2 \times 32, 59 \times 0, 736 = 926 + 295 = 1222 kPa .

Vérification. $R_{k} = q_{u l t} A^{'} = 1222 \times 5, 5 = 6719$ kN, $R_{d} = 6719/1, 4 = 4799$ kN $\geq V_{d} = 2000$ kN. La portance est largement vérifiée (taux d'utilisation 42 %). Sans nappe, le terme en $N_{γ}$ vaudrait 528 kPa et $q_{u l t} = 1454$ kPa: la nappe coûte 16 % de portance. Reste à vérifier le tassement, souvent déterminant pour une semelle de cette taille.

Exemple 10.3 · Semelle sur argile lacustre: court terme et long terme

Une semelle rectangulaire $B \times L = 2, 0 \times 3, 0$ m est fondée à $D = 1, 5$ m dans une argile lacustre saturée de la région de Vevey ( $c_{u, k} = 45$ kPa, $φ_{k}^{'} = 26°$ , $c_{k}^{'} = 5$ kPa, $γ = γ_{s a t} = 19$ kN/m³, nappe au niveau de la base). Charge verticale centrée $V_{d} = 1200$ kN.

Court terme (non drainé). $s_{c} = 1 + 0, 2 \times 2/3 = 1, 133$ , $i_{c} = 1$ .

q_{u l t} = 5, 14 \times 45 \times 1, 133 + 19 \times 1, 5 = 262 + 28, 5 = 291 kPa .

$R_{k} = 291 \times 6, 0 = 1744$ kN, $R_{d} = 1744/1, 4 = 1246$ kN $\geq 1200$ kN: vérifié de justesse (96 %).

Long terme (drainé). Pour $φ^{'} = 26°$ : $N_{c} = 22, 25$ , $N_{q} = 11, 85$ , $N_{γ} = 10, 59$ ; $s_{q} = 1 + 0, 667 sin 26° = 1, 292$ , $s_{γ} = 0, 80$ , $s_{c} = (1, 292 \times 11, 85 - 1) /10, 85 = 1, 319$ ; $γ^{'} = 9, 19$ kN/m³:

q_{u l t} = 5 \times 22, 25 \times 1, 319 + 28, 5 \times 11, 85 \times 1, 292 + \frac{1}{2} \times 9, 19 \times 2, 0 \times 10, 59 \times 0, 80 = 147 + 437 + 78 = 661 kPa .

Le long terme donne plus du double du court terme: c'est bien la situation non drainée qui gouverne. Une semelle si sollicitée sur une argile de cette consistance tassera en outre notablement; en pratique on l'élargirait ou l'on passerait à un radier.

Vérification selon SIA 267

Format de vérification et facteurs partiels

SIA 267 – Sécurité structurale des fondations superficielles

La vérification s'écrit $E_{d} \leq R_{d}$ , où $E_{d}$ est la valeur de calcul de l'effet des actions (SIA 260/261, combinaison avec $γ_{G} = 1, 35$ et $γ_{Q} = 1, 5$ en situation de type 2) et $R_{d}$ la valeur de calcul de la résistance ultime du sol.

SIA 267 applique des facteurs partiels aux paramètres du sol: $γ_{φ} = 1, 2$ sur $tan φ^{'}$ , $γ_{c} = 1, 5$ sur $c^{'}$ et $γ_{c u} = 1, 5$ sur $c_{u}$ , ce qui donne des valeurs de calcul $tan φ_{d}^{'} = tan φ_{k}^{'} /1, 2$ , $c_{d}^{'} = c_{k}^{'} /1, 5$ , $c_{u, d} = c_{u, k} /1, 5$ , à introduire dans les formules de portance pour obtenir directement $R_{d}$ . Cette approche correspond à l'approche de calcul 3 (DA3) de l'Eurocode 7.

Lorsque la résistance est déterminée avec les valeurs caractéristiques des paramètres, elle est divisée par un facteur de résistance $γ_{R}$ : $R_{d} = R_{k} / γ_{R}$ , avec $γ_{R} = 1, 4$ pour la portance et le glissement des fondations superficielles. C'est l'esprit de l'approche 2 (DA2) de l'Eurocode 7, adoptée notamment en Allemagne et en Autriche. Les deux voies donnent des résultats voisins; dans ce cours, sauf indication contraire, nous calculons $R_{k}$ avec les paramètres caractéristiques et appliquons $γ_{R} = 1, 4$ .

Glissement

Sous une charge horizontale $H_{d}$ (poussée des terres sur un mur, vent, freinage), la semelle doit être retenue par le frottement sur sa base. La résistance au glissement vaut:

R_{k} = V^{'} tan δ + A^{'} c^{'} (10.9)

où $V^{'}$ est la composante verticale effective de la charge (poids déjaugé si la base est sous la nappe), $δ$ l'angle de frottement sol–béton ( $δ = φ^{'}$ pour un béton coulé en place, $\frac{2}{3} φ^{'}$ pour un élément préfabriqué lisse) et $A^{'}$ l'aire efficace. En conditions non drainées, $R_{k} = A^{'} c_{u}$ . La vérification s'écrit $H_{d} \leq R_{d} = R_{k} / γ_{R}$ ; l'adhérence $c^{'}$ est souvent négligée par prudence, et la butée sur la face avant n'est comptée que si le sol y est certain de rester en place (pas de fouille future).

Contrainte de service et valeurs indicatives

Dans la pratique courante des petits ouvrages, l'ingénieur compare souvent la contrainte de contact sous charges de service $σ_{ser} = V_{ser} / A$ à une contrainte admissible indicative tirée du rapport géotechnique, qui couvre implicitement la portance et un tassement modéré. Ordres de grandeur pour la Suisse romande: 300 à 500 kPa pour une grave alluviale compacte, 200 à 400 kPa pour une moraine de fond, 50 à 150 kPa pour une argile lacustre ferme. Ces valeurs ne remplacent pas la vérification SIA 267 pour un ouvrage de classe supérieure, mais elles permettent de pré-dimensionner rapidement les semelles.

Explorateur de capacité portante

Semelle filante de largeur B encastrée à la profondeur D dans un sol homogène (γ = 20 kN/m³). Faites varier φ′, c′, B, D et la profondeur de la nappe: la formule générale recalcule q_ult et la résistance de calcul R_d = q_ult·B/γ_R avec γ_R = 1,4.

N_c / N_q / N_γ

30.1 / 18.4 / 20.1

q = σ′_v(D)

20.0kPa

c′N_c + qN_q + ½γBN_γ

0 + 368 + 301kPa

q_ult

669kPa

R_d par mètre (γ_R = 1,4)

717kN/m

Angle de frottement φ′30°

Cohésion c′0kPa

Largeur B1.5m

Encastrement D1.0m

Profondeur de la nappe d_w6.0m

Tassements des fondations superficielles

La portance n'est qu'une condition nécessaire: dans les sols compressibles, ou pour les semelles larges, c'est le tassement qui dimensionne la fondation. Le tassement total d'une semelle comprend une part immédiate (déformation à volume constant du sol sous la semelle, ou déformation quasi élastique des sols grenus), une part de consolidation (dissipation des surpressions dans les sols fins saturés, chapitre 6) et éventuellement une part de fluage secondaire.

Tassement immédiat (méthode élastique)

En assimilant le sol à un demi-espace élastique de module $E$ et de coefficient de Poisson $ν$ , le tassement d'une semelle de largeur $B$ transmettant la contrainte nette $q$ vaut:

s = q B \frac{1 - ν ^{2}}{E} I (10.10)

où $I$ est un coefficient d'influence qui dépend de la forme de la semelle, de sa rigidité et du point considéré: pour une semelle rigide, $I \approx 0, 88$ (carrée), $1, 0$ à $1, 2$ ( $L / B = 2$ à $3$ ), environ $2$ (filante $L / B = 10$ ); pour le centre d'une semelle carrée souple, $I = 1, 12$ . Pour un sol grenu, $E$ est déduit d'essais in situ (pressiomètre, CPT, plaque: $E \approx 1$ à $3 q_{c}$ selon la nature du sable, $E \approx 0, 8 M_{E}$ dans les moraines compactes); pour une argile en conditions non drainées, $ν = 0, 5$ et $E_{u} \approx 300$ à $600 c_{u}$ .

Méthode des contraintes 2:1 et module M_E

La pratique suisse utilise largement la méthode de la diffusion 2:1 couplée au module de compressibilité $M_{E}$ (essai de plaque SN 670 317 ou œdomètre). On admet que la charge $V$ se diffuse dans le sol avec une pente de 2 (vertical) pour 1 (horizontal): à la profondeur $z$ sous la base, la contrainte additionnelle vaut

Δ σ_{v} (z) = \frac{V}{( B + z ) ( L + z )} = \frac{q B L}{( B + z ) ( L + z )} . (10.11)

Le sol est découpé en couches d'épaisseur $h_{i}$ (1 m près de la semelle, davantage en profondeur), et le tassement est la somme des raccourcissements de chaque couche:

s = i \sum \frac{Δ σ _{v, i} h _{i}}{M _{E, i}} . (10.12)

On arrête la sommation à la profondeur où $Δ σ_{v}$ devient inférieure à 10 % de la contrainte effective initiale, ou en pratique vers $2 B$ à $3 B$ sous la base. Cette méthode, simple et robuste, néglige les contraintes horizontales et surestime légèrement le tassement au centre d'une semelle carrée; elle se prête bien aux sols stratifiés.

Exemple 10.4 · Tassement d'une semelle isolée sur moraine

La semelle carrée $B = 2, 0$ m d'un bâtiment scolaire à Fribourg transmet une contrainte nette $q = 250$ kPa à une moraine ( $M_{E} = 30$ MPa sur 6 m, puis molasse). Estimer le tassement par la méthode 2:1 et par la méthode élastique ( $E = 25$ MPa, $ν = 0, 3$ , semelle rigide $I = 0, 85$ ).

Méthode 2:1, couches de 1 m, $Δ σ_{v}$ calculée au milieu de chaque couche avec (10.11):

Couche (m)	$z_{i}$ (m)	$Δ σ_{v, i}$ (kPa)	$s_{i}$ (mm)
0 – 1	0,5	160,0	5,33
1 – 2	1,5	81,6	2,72
2 – 3	2,5	49,4	1,65
3 – 4	3,5	33,1	1,10
4 – 5	4,5	23,7	0,79
5 – 6	5,5	17,8	0,59

Somme: $s \approx 12, 2$ mm. La première couche contribue à elle seule pour 44 %.

Méthode élastique. $s = 250 \times 2, 0 \times (1 - 0, 09) \times 0, 85/25 000 = 0, 0155$ m $= 15, 5$ mm.

Les deux estimations sont du même ordre (12 à 16 mm), ce qui est acceptable pour un bâtiment courant. La dispersion reflète l'incertitude sur le module: un rapport de 1,5 entre deux estimations de tassement est habituel.

Exercice

Une semelle rigide de $3, 0 \times 3, 0$ m transmet une contrainte nette $q = 200$ kPa à une grave ( $E = 40$ MPa, $ν = 0, 3$ , $I = 0, 88$ ). Calculez le tassement immédiat en mm.

Tassements admissibles et différentiels

Ce n'est pas le tassement absolu qui endommage un bâtiment, mais le tassement différentiel $δ$ entre deux appuis, rapporté à leur distance $l$ (distorsion angulaire $δ / l$ ). Les ordres de grandeur retenus par SIA 260/267 et la littérature (Skempton et MacDonald, Bjerrum) sont les suivants:

Critère	Valeur indicative
Tassement total, bâtiment sur semelles isolées	2 à 5 cm
Tassement total, radier	5 à 10 cm
Distorsion angulaire $δ / l$ , ossature béton ou acier	1/500 (fissuration des cloisons: 1/300)
Distorsion angulaire, murs porteurs en maçonnerie	1/1000 à 1/2000
Distorsion angulaire, ponts et machines	1/1000 ou selon l'exploitation

Le tassement différentiel est estimé en calculant le tassement de chaque semelle sous sa charge; à défaut, on l'admet égal à la moitié ou aux deux tiers du tassement total maximal, l'hétérogénéité du sol en étant la principale cause. Pour le réduire, on égalise les contraintes de contact sous les semelles (même $q$ sous toutes les semelles pour un sol grenu), on rigidifie l'ouvrage (longrines, radier) ou l'on fonde tout le bâtiment dans la même couche.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes du dimensionnement d'une semelle isolée selon SIA 267.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer les facteurs N, s, i et la capacité portante q_ult, puis vérifier

E_{d} \leq R_{d}

pour la portance et le glissement

Dimensionner la semelle en béton armé (SIA 262) et rédiger la note de calcul

Calculer l'excentricité et les dimensions efficaces B′ et L′

Choisir la profondeur d'assise D (hors gel, couche porteuse) et pré-dimensionner B à partir d'une contrainte admissible indicative

Déterminer les charges de calcul

V_{d}

H_{d}

M_{d}

(combinaisons SIA 260) et lire les paramètres du sol dans le rapport géotechnique

Calculer le tassement sous charges de service et le comparer aux valeurs admissibles

Synthèse

Une fondation superficielle transmet les charges par sa base à faible profondeur; la profondeur d'assise respecte la profondeur hors gel (0,8 à 1,2 m en Suisse) et atteint la couche porteuse.
La capacité portante est donnée par la formule générale $q_{u l t} = c^{'} N_{c} s_{c} i_{c} + q N_{q} s_{q} i_{q} + \frac{1}{2} γ B^{'} N_{γ} s_{γ} i_{γ}$ , avec les facteurs $N$ de (10.2), très sensibles à $φ^{'}$ ; les facteurs de profondeur sont négligés.
Une charge excentrée réduit la semelle à sa largeur efficace $B^{'} = B - 2 e$ ; une nappe proche de la base divise le terme en $N_{γ}$ par deux environ.
Sur une argile, on vérifie le court terme avec $q_{u l t} = (π + 2) c_{u} s_{c} i_{c} + q$ et le long terme avec $φ^{'}$ , $c^{'}$ ; le court terme gouverne dans les argiles normalement consolidées.
SIA 267: $E_{d} \leq R_{d}$ avec $R_{d} = R_{k} / γ_{R}$ ( $γ_{R} = 1, 4$ ) ou avec les paramètres de calcul ( $γ_{φ} = 1, 2$ , $γ_{c} = γ_{c u} = 1, 5$ ); glissement $R_{k} = V^{'} tan δ + A^{'} c^{'}$ .
Les tassements sont estimés par la méthode élastique $s = q B (1 - ν^{2}) I / E$ ou par la diffusion 2:1 avec $M_{E}$ ; le tassement différentiel (distorsion 1/500 pour un bâtiment courant) est le critère décisif.

Série d'exercices du chapitre 10

Exercice 1 sur 5

Exercice

Pour une semelle filante chargée verticalement et centrée dans un sable sec, quel terme de la formule de capacité portante croît proportionnellement à la largeur $B$ ?

Problème guidé

Semelle isolée sur moraine

Une semelle carrée de $2, 0 \times 2, 0$ m est fondée à $D = 1, 0$ m dans une moraine de fond du Plateau vaudois ( $φ_{k}^{'} = 34°$ , $c_{k}^{'} = 5$ kPa, $γ = 21$ kN/m³), nappe profonde. La charge de calcul verticale centrée vaut $V_{d} = 1500$ kN; la charge de service vaut $V_{ser} = 1100$ kN. Le module $M_{E} = 40$ MPa est constant sur 6 m sous la base, puis le rocher molassique est atteint. On utilise $γ_{R} = 1, 4$ .

1
Facteurs de capacité portante
Appliquez les formules (10.2) avec $φ^{'} = 34°$ (calculez en degrés puis convertissez pour la tangente).
Exercice
Calculez $N_{q}$ pour $φ^{'} = 34°$ .
Facteurs de forme et capacité portante
Vérification de la portance
Tassement par la méthode 2:1

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 10.1 · Influence de la nappe

Une semelle filante de largeur $B = 1, 8$ m est encastrée à $D = 0, 8$ m dans un sable ( $φ_{k}^{'} = 35°$ , $c^{'} = 0$ , $γ = 18$ kN/m³ au-dessus de la nappe, $γ_{s a t} = 20$ kN/m³). Calculer $q_{u l t}$ et $R_{d}$ par mètre ( $γ_{R} = 1, 4$ ) pour trois positions de la nappe: (a) nappe profonde; (b) nappe au niveau de la base; (c) nappe à la surface du terrain. Commenter.

Solution

Données: $B = 1, 8$ m, $D = 0, 8$ m, $φ^{'} = 35°$ , $c^{'} = 0$ , $γ = 18$ kN/m³, $γ_{s a t} = 20$ kN/m³, $γ^{'} = 20 - 9, 81 = 10, 19$ kN/m³. Semelle filante chargée verticalement et centrée: tous les facteurs $s$ , $d$ , $i$ valent 1.

Facteurs pour $φ^{'} = 35°$ : $N_{q} = e^{π t a n 35°} tan^{2} 62, 5° = 33, 30$ , $N_{γ} = 2 (33, 30 - 1) tan 35° = 45, 23$ .

(a) Nappe profonde. $q = 18 \times 0, 8 = 14, 4$ kPa.

q_{u l t} = 14, 4 \times 33, 30 + \frac{1}{2} \times 18 \times 1, 8 \times 45, 23 = 479, 5 + 732, 7 = 1212 kPa, R_{d} = \frac{1212 \times 1 , 8}{1 , 4} = 1558 kN/m .

(b) Nappe au niveau de la base. La surcharge est inchangée ( $q = 14, 4$ kPa); le poids volumique dans le terme en $N_{γ}$ devient $γ^{'}$ :

q_{u l t} = 479, 5 + \frac{1}{2} \times 10, 19 \times 1, 8 \times 45, 23 = 479, 5 + 414, 8 = 894 kPa, R_{d} = \frac{894 \times 1 , 8}{1 , 4} = 1150 kN/m .

(c) Nappe en surface. Les deux termes sont affectés: $q = γ^{'} D = 10, 19 \times 0, 8 = 8, 15$ kPa.

q_{u l t} = 8, 15 \times 33, 30 + 414, 8 = 271, 5 + 414, 8 = 686 kPa, R_{d} = \frac{686 \times 1 , 8}{1 , 4} = 882 kN/m .

Commentaire. La remontée de la nappe jusqu'à la base réduit la portance de 26 %, et jusqu'en surface de 43 %. Le rapport géotechnique doit indiquer le niveau des hautes eaux, et c'est ce niveau qui est déterminant pour la vérification de la portance. Dans un sable sans cohésion, le terme en $N_{γ}$ est approximativement divisé par deux dès que la nappe atteint la base.

Exercice 10.2 · Semelle sous charge inclinée et excentrée

La semelle d'une culée de passage supérieur près de Bulle mesure $B \times L = 2, 0 \times 3, 0$ m et est fondée à $D = 1, 5$ m dans une moraine ( $φ_{k}^{'} = 32°$ , $c_{k}^{'} = 10$ kPa, $γ = 21$ kN/m³), nappe profonde. Les charges de calcul à la base sont $V_{d} = 2200$ kN, $H_{d} = 250$ kN (parallèle à $B$ ) et $M_{d} = 330$ kNm (autour de l'axe parallèle à $L$ ). Vérifier la portance et le glissement selon SIA 267 avec $γ_{R} = 1, 4$ et $δ = φ^{'}$ .

Solution

Données: $B = 2, 0$ m, $L = 3, 0$ m, $D = 1, 5$ m, $φ^{'} = 32°$ , $c^{'} = 10$ kPa, $γ = 21$ kN/m³, $V_{d} = 2200$ kN, $H_{d} = 250$ kN parallèle à $B$ , $M_{d} = 330$ kNm.

Dimensions efficaces. $e_{B} = 330/2200 = 0, 15$ m $< B /6 = 0, 33$ m. $B^{'} = 2, 0 - 0, 30 = 1, 7$ m, $L^{'} = 3, 0$ m, $A^{'} = 5, 1$ m², $B^{'} / L^{'} = 0, 567$ .

Facteurs de capacité portante ( $φ^{'} = 32°$ ): $N_{q} = 23, 18$ , $N_{c} = 35, 49$ , $N_{γ} = 27, 72$ .

Facteurs de forme. $s_{q} = 1 + 0, 567 sin 32° = 1, 300$ ; $s_{γ} = 1 - 0, 3 \times 0, 567 = 0, 830$ ; $s_{c} = (1, 300 \times 23, 18 - 1) /22, 18 = 1, 314$ .

Facteurs d'inclinaison. $H$ agit dans la direction de $B^{'}$ : $m = (2 + 0, 567) / (1 + 0, 567) = 1, 638$ . $A^{'} c^{'} cot φ^{'} = 5, 1 \times 10 \times 1, 600 = 81, 6$ kN.

1 - \frac{H}{V + A ^{'} c ^{'} cot φ ^{'}} = 1 - \frac{250}{2281 , 6} = 0, 8904, i_{q} = 0, 890 4^{1, 638} = 0, 827, i_{γ} = 0, 890 4^{2, 638} = 0, 736,

i_{c} = i_{q} - \frac{1 - i _{q}}{N _{c} tan φ ^{'}} = 0, 827 - \frac{0 , 173}{35 , 49 \times 0 , 625} = 0, 819.

Capacité portante. $q = 21 \times 1, 5 = 31, 5$ kPa.

q_{u l t} = 10 \times 35, 49 \times 1, 314 \times 0, 819 + 31, 5 \times 23, 18 \times 1, 300 \times 0, 827 + \frac{1}{2} \times 21 \times 1, 7 \times 27, 72 \times 0, 830 \times 0, 736

q_{u l t} = 382 + 785 + 302 = 1469 kPa .

Portance. $R_{k} = 1469 \times 5, 1 = 7493$ kN, $R_{d} = 7493/1, 4 = 5352$ kN $\geq V_{d} = 2200$ kN: vérifié (taux d'utilisation 41 %).

Glissement. $R_{k} = V_{d} tan δ + A^{'} c^{'} = 2200 tan 32° + 5, 1 \times 10 = 1375 + 51 = 1426$ kN; $R_{d} = 1426/1, 4 = 1018$ kN $\geq H_{d} = 250$ kN: vérifié, même en négligeant la cohésion ( $R_{d} = 982$ kN). L'inclinaison de la charge ( $H / V = 11 %$ ) coûte environ 20 % de portance par rapport à une charge verticale.

Exercice 10.3 · Radier sur argile lacustre

Un immeuble à Yverdon-les-Bains est fondé sur un radier de $12 \times 20$ m à $D = 2, 0$ m dans une argile lacustre ( $c_{u, k} = 35$ kPa, $γ = 18$ kN/m³, nappe au niveau de la base). La contrainte de calcul transmise par le radier, poids propre compris, vaut $q_{E d} = 110$ kPa. Vérifier la portance à court terme en raisonnant en contrainte nette ( $γ_{R} = 1, 4$ ). Quelle contrainte totale maximale pourrait-on appliquer? Que se passerait-il pour un immeuble deux fois plus lourd?

Solution

Données: $B = 12$ m, $L = 20$ m, $D = 2, 0$ m, $c_{u} = 35$ kPa, $γ = 18$ kN/m³, $q_{E d} = 110$ kPa (contrainte totale sous le radier).

Capacité portante nette. Facteur de forme $s_{c} = 1 + 0, 2 \times 12/20 = 1, 12$ ; charge verticale centrée, $i_{c} = 1$ .

q_{n e t, k} = (π + 2) c_{u} s_{c} = 5, 14 \times 35 \times 1, 12 = 201, 6 kPa, q_{n e t, d} = \frac{201 , 6}{1 , 4} = 144, 0 kPa .

Contrainte nette appliquée. Le sol excavé pesait $γ D = 18 \times 2, 0 = 36$ kPa, donc $q_{n e t, E d} = 110 - 36 = 74$ kPa.

Vérification. $74$ kPa $\leq 144$ kPa: la portance à court terme est vérifiée, avec une réserve confortable (taux d'utilisation 51 %).

Contrainte totale maximale. $q_{ma x} = q_{n e t, d} + γ D = 144 + 36 = 180$ kPa.

Immeuble deux fois plus lourd. $q_{E d} = 220$ kPa, soit $q_{n e t, E d} = 184$ kPa $> 144$ kPa: la portance n'est plus vérifiée. Il faudrait approfondir le sous-sol (chaque mètre d'excavation supplémentaire compense 18 kPa: fondation compensée), améliorer le sol ou passer à des pieux. Indépendamment de la portance, le tassement de consolidation d'un radier de 12 m de largeur sur une argile lacustre sous 74 kPa nets peut atteindre plusieurs centimètres et doit être calculé (chapitre 6).

Exercice 10.4 · Tassement d'une semelle sur sol stratifié

Une semelle carrée de 3,0 m de côté, fondée à 1,0 m ( $γ = 19$ kN/m³), transmet une contrainte de contact de 220 kPa sous charges de service. Le sol comprend 3 m de sable graveleux ( $M_{E} = 30$ MPa) sous la base, puis 6 m de silt lacustre ( $M_{E} = 12$ MPa) reposant sur la molasse. Calculer le tassement par la méthode 2:1 (couches de 1 m jusqu'à 9 m). Comparer au tassement élastique obtenu avec $E = 30$ MPa, $ν = 0, 3$ et $I = 0, 85$ . Le bâtiment a des portées de 6 m; quel tassement différentiel serait admissible pour une distorsion limite de 1/500?

Solution

Données: $B = L = 3, 0$ m, $q = 220$ kPa, $D = 1, 0$ m, $γ = 19$ kN/m³; sable $M_{E} = 30$ MPa de 0 à 3 m sous la base, silt $M_{E} = 12$ MPa de 3 à 9 m.

Contrainte nette. $q_{n e t} = 220 - 19 \times 1, 0 = 201$ kPa.

Diffusion 2:1, $Δ σ_{v} = 201 \times 9/ (3 + z)^{2}$ au milieu de chaque couche de 1 m:

Couche (m)	$z$ (m)	$Δ σ_{v}$ (kPa)	$M_{E}$ (MPa)	$s_{i}$ (mm)
0 – 1	0,5	147,7	30	4,92
1 – 2	1,5	89,3	30	2,98
2 – 3	2,5	59,8	30	1,99
3 – 4	3,5	42,8	12	3,57
4 – 5	4,5	32,2	12	2,68
5 – 6	5,5	25,0	12	2,08
6 – 7	6,5	20,0	12	1,67
7 – 8	7,5	16,4	12	1,37
8 – 9	8,5	13,7	12	1,14

s = i \sum \frac{Δ σ _{v, i} h _{i}}{M _{E, i}} \approx 22, 4 mm .

Le silt, bien que soumis à des contraintes plus faibles, contribue pour 12,5 mm (56 %) au tassement: c'est la couche molle en profondeur qui gouverne.

Méthode élastique. $s = q_{n e t} B (1 - ν^{2}) I / E = 201 \times 3, 0 \times 0, 91 \times 0, 85/30 000 = 0, 0155$ m $= 15, 5$ mm. Cette valeur est inférieure car elle suppose un demi-espace homogène de module 30 MPa et ignore le silt: la méthode élastique n'est adaptée qu'à un sol homogène sur une grande profondeur.

Tassement différentiel admissible. Pour une distorsion angulaire limite de $1/500$ et une portée $l = 6$ m: $δ_{a d m} = 6000/500 = 12$ mm. Le tassement total de 22 mm est acceptable (limite indicative 2 à 5 cm), mais un tassement différentiel de la moitié à deux tiers du total (11 à 15 mm) est à la limite de l'admissible: il faut vérifier que les semelles voisines, plus ou moins chargées, tassent de façon similaire, égaliser les contraintes de contact ou rigidifier l'ouvrage par des longrines.

Références

SIA 267, Géotechnique, Société suisse des ingénieurs et des architectes, Zurich, 2013.
SIA 260, Bases pour l'élaboration des projets de structures porteuses, SIA, Zurich.
SN EN 1997-1, Eurocode 7: Calcul géotechnique – Partie 1: Règles générales, annexe D (capacité portante).
Lang, H.-J., Huder, J., Amann, P., Puzrin, A. M., Bodenmechanik und Grundbau, Springer, Berlin.
Terzaghi, K., Peck, R. B., Mesri, G., Soil Mechanics in Engineering Practice, Wiley, New York.
Recordon, E., Mécanique des sols, cours EPFL, Presses polytechniques et universitaires romandes.
Schlosser, F., Éléments de mécanique des sols, Presses de l'ENPC, Paris.

Objectifs du chapitre

Types de fondations superficielles et profondeur d'assise

Mécanismes de rupture et capacité portante

Les trois modes de rupture

Zones de Prandtl et formule de Terzaghi

Facteurs de capacité portante

Formule générale (Brinch Hansen / Vesić)

Charge excentrée: la semelle efficace

Conditions non drainées

Effet de la nappe

Vérification selon SIA 267

Format de vérification et facteurs partiels

Glissement

Contrainte de service et valeurs indicatives

Explorateur de capacité portante

Tassements des fondations superficielles

Tassement immédiat (méthode élastique)

Méthode des contraintes 2:1 et module M_E

Tassements admissibles et différentiels

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 10

Semelle isolée sur moraine

Facteurs de capacité portante

Facteurs de forme et capacité portante

Vérification de la portance

Tassement par la méthode 2:1

Exercices

Références