Glossaire français – allemand – anglais · Algèbre linéaire

Ce glossaire donne, pour les principaux termes d'algèbre linéaire rencontrés dans ce cours, leurs équivalents en allemand (orthographe suisse, sans ß) et en anglais, ainsi qu'une brève définition. Il facilite la lecture des polycopiés germanophones «Lineare Algebra» de l'ETH Zurich et de l'EPFL, les échanges avec les collègues alémaniques, l'accès à la littérature internationale (Strang, Axler, Trefethen et Bau sont rédigés en anglais) et la lecture de la documentation des logiciels de calcul, dont les fonctions portent des noms anglais (eig, svd, lstsq, null_space…). Les termes sont classés par ordre alphabétique du français; les formules correspondantes figurent dans le formulaire (annexe A) et leur mise en œuvre numérique dans l'annexe B.

Table des termes

Français	Deutsch	English	Définition
analyse en composantes principales (ACP)	Hauptkomponentenanalyse (PCA)	principal component analysis (PCA)	Méthode statistique qui projette des données centrées sur les vecteurs propres de leur matrice de covariance, classés par variance décroissante, afin d'en réduire la dimension.
angle (entre deux vecteurs)	Winkel	angle	Nombre $θ \in [0, π]$ défini par $cos θ = ⟨ u, v ⟩ / (∥ u ∥ ∥ v ∥)$ pour deux vecteurs non nuls.
application linéaire	lineare Abbildung	linear map, linear transformation	Application $f : E \to F$ entre espaces vectoriels vérifiant $f (u + v) = f (u) + f (v)$ et $f (λ u) = λ f (u)$ .
approximation de rang faible	Niedrigrangapproximation	low-rank approximation	Matrice $A_{k} = \sum_{i = 1}^{k} σ_{i} u_{i} v_{i}^{T}$ obtenue en tronquant la décomposition en valeurs singulières; c'est la meilleure approximation de rang $k$ de $A$ (théorème d'Eckart–Young).
axes principaux	Hauptachsen	principal axes	Directions des vecteurs propres orthonormés d'une matrice symétrique, dans lesquelles une forme quadratique s'écrit sans termes croisés.
base	Basis	basis	Famille à la fois libre et génératrice d'un espace vectoriel; tout vecteur s'y décompose de manière unique.
base canonique	Standardbasis, kanonische Basis	standard basis	Base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $R^{n}$ formée des vecteurs ayant un $1$ en position $i$ et des $0$ ailleurs.
base orthonormée	Orthonormalbasis	orthonormal basis	Base formée de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux; les coordonnées s'y calculent par $x_{i} = ⟨ x, e_{i} ⟩$ .
chaîne de Markov	Markov-Kette	Markov chain	Processus aléatoire dont l'état à l'étape $k + 1$ ne dépend que de l'état à l'étape $k$ , décrit par $x_{k + 1} = P x_{k}$ avec $P$ stochastique.
changement de base	Basiswechsel	change of basis	Passage des coordonnées d'un vecteur (ou de la matrice d'une application) d'une base à une autre au moyen de la matrice de passage: $X = P X^{'}$ et $A^{'} = P^{- 1} A P$ .
cisaillement	Scherung	shear	Application linéaire du plan $(x, y) \mapsto (x + k y, y)$ qui déplace chaque point parallèlement à un axe fixe d'une quantité proportionnelle à sa distance à cet axe.
cofacteur	Kofaktor	cofactor	Nombre $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ , mineur affecté d'un signe, utilisé dans le développement du déterminant selon une ligne ou une colonne.
colinéaires	kollinear, linear abhängig	collinear, parallel	Se dit de deux vecteurs dont l'un est multiple de l'autre; deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.
comatrice	Kofaktormatrix, Adjunkte (transponiert)	cofactor matrix, adjugate (transposed)	Matrice $com A = (C_{ij})$ des cofacteurs; elle vérifie $A (com A)^{T} = (det A) I_{n}$ , d'où $A^{- 1} = (com A)^{T} / det A$ .
combinaison linéaire	Linearkombination	linear combination	Vecteur de la forme $λ_{1} v_{1} + \dots + λ_{k} v_{k}$ avec des scalaires $λ_{i}$ .
complément orthogonal	orthogonales Komplement	orthogonal complement	Sous-espace $F^{⊥}$ des vecteurs orthogonaux à tous les vecteurs de $F$ ; on a $E = F \oplus F^{⊥}$ et $(Im A)^{⊥} = ker A^{T}$ .
composition	Verkettung, Komposition	composition	Application $g \circ f$ obtenue en appliquant $f$ puis $g$ ; sa matrice est le produit des matrices, $[g \circ f] = [g] [f]$ .
conditionnement	Konditionszahl, Kondition	condition number	Nombre $κ (A) = ∥ A ∥ ∥ A^{- 1} ∥$ qui mesure l'amplification maximale des erreurs relatives lors de la résolution de $A x = b$ ; en norme $2$ , $κ (A) = σ_{m a x} / σ_{m i n}$ .
conique	Kegelschnitt	conic section	Courbe plane d'équation du second degré (ellipse, hyperbole, parabole), que l'on classe en diagonalisant la forme quadratique associée.
coordonnées	Koordinaten	coordinates	Scalaires uniques $(x_{1}, \dots, x_{n})$ tels que $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ dans une base donnée.
coordonnées homogènes	homogene Koordinaten	homogeneous coordinates	Représentation d'un point $(x, y)$ du plan par le vecteur $(x, y, 1)$ , qui permet d'écrire translations et projections comme des matrices $3 \times 3$ .
critère de Sylvester	Sylvester-Kriterium, Hauptminorenkriterium	Sylvester's criterion	Une matrice symétrique est définie positive si et seulement si tous ses mineurs principaux dominants sont strictement positifs.
décomposition de Cholesky	Cholesky-Zerlegung	Cholesky decomposition	Factorisation $A = L L^{T}$ d'une matrice symétrique définie positive, avec $L$ triangulaire inférieure à diagonale strictement positive.
décomposition en valeurs singulières (SVD)	Singulärwertzerlegung (SVD)	singular value decomposition (SVD)	Factorisation $A = U Σ V^{T}$ de toute matrice $m \times n$ , avec $U$ et $V$ orthogonales et $Σ$ diagonale à coefficients positifs rangés par ordre décroissant.
décomposition LU	LU-Zerlegung	LU decomposition, LU factorization	Factorisation $A = LU$ (ou $P A = LU$ ) en un produit d'une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et d'une matrice triangulaire supérieure, trace de l'élimination de Gauss.
décomposition spectrale	Spektralzerlegung	spectral decomposition	Écriture $A = \sum_{i} λ_{i} q_{i} q_{i}^{T}$ d'une matrice symétrique comme somme de projecteurs orthogonaux pondérés par les valeurs propres.
déterminant	Determinante	determinant	Scalaire $det A$ associé à une matrice carrée, multilinéaire et alterné en les colonnes, nul si et seulement si $A$ n'est pas inversible; il mesure le volume signé de l'image du cube unité.
déterminant de Vandermonde	Vandermonde-Determinante	Vandermonde determinant	Déterminant de la matrice de coefficients $x_{i}^{j - 1}$ , égal à $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})$ , non nul dès que les $x_{i}$ sont distincts.
diagonalisable	diagonalisierbar	diagonalizable	Se dit d'une matrice carrée (ou d'un endomorphisme) admettant une base de vecteurs propres, c'est-à-dire semblable à une matrice diagonale.
diagonalisation	Diagonalisierung	diagonalization	Recherche d'une matrice inversible $P$ et d'une matrice diagonale $D$ telles que $A = P D P^{- 1}$ , les colonnes de $P$ étant des vecteurs propres.
dimension	Dimension	dimension	Nombre de vecteurs de toute base d'un espace vectoriel de dimension finie, noté $dim E$ .
distance	Abstand, Distanz	distance	Nombre $d (u, v) = ∥ u - v ∥$ ; la distance d'un point à un sous-espace est atteinte par la projection orthogonale.
distribution stationnaire	stationäre Verteilung	stationary distribution	Vecteur de probabilité $π$ vérifiant $P π = π$ , vecteur propre de la matrice stochastique pour la valeur propre $1$ .
droite de régression	Ausgleichsgerade, Regressionsgerade	regression line, line of best fit	Droite $y = a x + b$ minimisant la somme des carrés des écarts verticaux aux points mesurés, obtenue en résolvant les équations normales.
droites gauches	windschiefe Geraden	skew lines	Deux droites de l'espace ni parallèles ni sécantes, donc non coplanaires.
élimination de Gauss	Gauss-Elimination, Gausssches Eliminationsverfahren	Gaussian elimination	Algorithme qui ramène un système linéaire à une forme échelonnée par des opérations élémentaires sur les lignes, puis le résout par substitution à rebours.
endomorphisme	Endomorphismus	endomorphism	Application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
équation cartésienne	Koordinatengleichung, implizite Gleichung	Cartesian equation, implicit equation	Description d'un plan ou d'une droite par une ou plusieurs équations linéaires en les coordonnées, comme $a x + b y + cz = d$ .
équation homogène	homogenes Gleichungssystem	homogeneous equation, homogeneous system	Système $A x = 0$ dont le second membre est nul; l'ensemble de ses solutions est le noyau de $A$ .
équation paramétrique	Parametergleichung, Parameterdarstellung	parametric equation	Description d'une droite ou d'un plan par un point et des vecteurs directeurs, comme $x = p + t u + s v$ .
équations normales	Normalgleichungen	normal equations	Système $A^{T} A x = A^{T} b$ qui caractérise les solutions au sens des moindres carrés de $A x = b$ .
espace des colonnes	Spaltenraum	column space	Sous-espace de $R^{m}$ engendré par les colonnes de $A$ , égal à l'image de $A$ .
espace des lignes	Zeilenraum	row space	Sous-espace de $R^{n}$ engendré par les lignes de $A$ , invariant par opérations élémentaires et de dimension $rg A$ .
espace propre	Eigenraum	eigenspace	Sous-espace $E_{λ} = ker (A - λ I)$ formé du vecteur nul et des vecteurs propres associés à $λ$ .
espace vectoriel	Vektorraum	vector space	Ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par les scalaires vérifiant les huit axiomes (associativité, commutativité, vecteur nul, opposé, distributivités, compatibilité avec le produit des scalaires, $1 \cdot v = v$ ).
exponentielle de matrice	Matrixexponential	matrix exponential	Matrice $e^{A} = \sum_{k \geq 0} A^{k} / k!$ ; la solution de $x^{'} = A x$ est $x (t) = e^{t A} x (0)$ .
factorisation QR	QR-Zerlegung	QR factorization, QR decomposition	Écriture $A = QR$ avec $Q$ à colonnes orthonormées et $R$ triangulaire supérieure, obtenue par Gram–Schmidt ou par réflexions de Householder.
famille génératrice	Erzeugendensystem	spanning set	Famille de vecteurs dont les combinaisons linéaires remplissent tout l'espace.
famille libre	linear unabhängige Familie	linearly independent set	Famille dont la seule combinaison linéaire nulle est celle à coefficients tous nuls.
famille liée	linear abhängige Familie	linearly dependent set	Famille dont un vecteur au moins est combinaison linéaire des autres.
forme de Jordan	Jordansche Normalform	Jordan normal form	Matrice triangulaire par blocs semblable à toute matrice complexe, formée de blocs $J_{k} (λ)$ ayant $λ$ sur la diagonale et des $1$ juste au-dessus.
forme définie positive	positiv definite Form	positive definite form	Forme quadratique $q$ vérifiant $q (x) > 0$ pour tout $x \neq = 0$ , ce qui équivaut à des valeurs propres strictement positives de sa matrice.
forme échelonnée	Zeilenstufenform	row echelon form	Forme d'une matrice où chaque ligne non nulle commence par un pivot situé strictement à droite du pivot de la ligne précédente, les lignes nulles étant en bas.
forme échelonnée réduite	reduzierte Zeilenstufenform	reduced row echelon form (RREF)	Forme échelonnée où chaque pivot vaut $1$ et est le seul coefficient non nul de sa colonne; elle est unique pour une matrice donnée.
forme linéaire	Linearform	linear functional, linear form	Application linéaire à valeurs dans le corps des scalaires, comme $x \mapsto ⟨ a, x ⟩$ .
forme quadratique	quadratische Form	quadratic form	Fonction $q (x) = x^{T} A x$ avec $A$ symétrique, polynôme homogène de degré $2$ en les coordonnées.
formule de Grassmann	Dimensionsformel für Unterräume	Grassmann's formula, dimension formula	Identité $dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ pour deux sous-espaces de dimension finie.
homothétie	zentrische Streckung, Homothetie	homothety, uniform scaling	Application $x \mapsto k x$ de matrice $k I_{n}$ , qui multiplie toutes les longueurs par $∣ k ∣$ .
hyperplan	Hyperebene	hyperplane	Sous-espace de dimension $n - 1$ d'un espace de dimension $n$ , noyau d'une forme linéaire non nulle.
image	Bild	image, range	Sous-espace $Im f$ des valeurs prises par une application linéaire; pour une matrice, c'est l'espace des colonnes.
inégalité de Cauchy–Schwarz	Cauchy-Schwarz-Ungleichung	Cauchy–Schwarz inequality	Inégalité $∣⟨ u, v ⟩∣ \leq ∥ u ∥ ∥ v ∥$ , avec égalité si et seulement si les vecteurs sont colinéaires.
inverse	Inverse, inverse Matrix	inverse	Matrice $A^{- 1}$ vérifiant $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I_{n}$ , unique lorsqu'elle existe.
isométrie	Isometrie	isometry	Application linéaire conservant la norme, donc le produit scalaire; sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale.
isomorphisme	Isomorphismus	isomorphism	Application linéaire bijective; deux espaces isomorphes ont la même dimension.
matrice	Matrix	matrix	Tableau rectangulaire de $m$ lignes et $n$ colonnes de scalaires, élément de $M_{m \times n} (R)$ .
matrice antisymétrique	schiefsymmetrische Matrix, antisymmetrische Matrix	skew-symmetric matrix	Matrice carrée vérifiant $A^{T} = - A$ ; sa diagonale est nulle.
matrice augmentée	erweiterte Matrix, erweiterte Koeffizientenmatrix	augmented matrix	Matrice $(A ∣ b)$ obtenue en accolant le second membre à la matrice des coefficients d'un système.
matrice carrée	quadratische Matrix	square matrix	Matrice ayant autant de lignes que de colonnes.
matrice creuse	dünnbesetzte Matrix	sparse matrix	Matrice dont la grande majorité des coefficients sont nuls, que l'on stocke et traite en ne conservant que les coefficients non nuls.
matrice d'une application linéaire	Abbildungsmatrix, Darstellungsmatrix	matrix of a linear map	Matrice dont la $j$ -ième colonne contient les coordonnées de $f (e_{j})$ dans la base d'arrivée, de sorte que $Y = A X$ .
matrice de covariance	Kovarianzmatrix	covariance matrix	Matrice symétrique semi-définie positive $C = \frac{1}{n - 1} X^{T} X$ des données centrées, dont les coefficients sont les covariances entre variables.
matrice de passage	Übergangsmatrix, Basiswechselmatrix	transition matrix, change-of-basis matrix	Matrice $P$ dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l'ancienne; elle vérifie $X = P X^{'}$ .
matrice de permutation	Permutationsmatrix	permutation matrix	Matrice obtenue en permutant les lignes de $I_{n}$ ; elle contient un seul $1$ par ligne et par colonne et vérifie $P^{- 1} = P^{T}$ .
matrice diagonale	Diagonalmatrix	diagonal matrix	Matrice carrée dont tous les coefficients hors de la diagonale principale sont nuls.
matrice élémentaire	Elementarmatrix	elementary matrix	Matrice obtenue en appliquant une seule opération élémentaire à $I_{n}$ ; multiplier à gauche par elle effectue cette opération.
matrice identité	Einheitsmatrix, Identitätsmatrix	identity matrix	Matrice carrée $I_{n}$ ayant des $1$ sur la diagonale et des $0$ ailleurs, élément neutre du produit.
matrice inversible	invertierbare Matrix, reguläre Matrix	invertible matrix, nonsingular matrix	Matrice carrée admettant un inverse, ce qui équivaut à $det A \neq = 0$ ou à $rg A = n$ .
matrice nilpotente	nilpotente Matrix	nilpotent matrix	Matrice carrée dont une puissance est nulle; sa seule valeur propre est $0$ .
matrice nulle	Nullmatrix	zero matrix	Matrice dont tous les coefficients sont nuls, élément neutre de l'addition.
matrice orthogonale	orthogonale Matrix	orthogonal matrix	Matrice carrée $Q$ vérifiant $Q^{T} Q = I_{n}$ , dont les colonnes forment une base orthonormée; elle conserve les normes et les angles et $det Q = \pm 1$ .
matrice par blocs	Blockmatrix	block matrix	Matrice partitionnée en sous-matrices, sur lesquelles le produit se calcule comme sur des coefficients ordinaires.
matrice stochastique	stochastische Matrix, Übergangsmatrix	stochastic matrix	Matrice à coefficients positifs dont chaque colonne a pour somme $1$ , décrivant les probabilités de transition d'une chaîne de Markov.
matrice symétrique	symmetrische Matrix	symmetric matrix	Matrice carrée vérifiant $A^{T} = A$ ; elle est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).
matrice triangulaire	Dreiecksmatrix	triangular matrix	Matrice carrée dont les coefficients situés au-dessous (triangulaire supérieure) ou au-dessus (triangulaire inférieure) de la diagonale sont nuls; son déterminant est le produit des coefficients diagonaux.
matrices semblables	ähnliche Matrizen	similar matrices	Matrices $A$ et $B$ liées par $B = P^{- 1} A P$ avec $P$ inversible; elles représentent le même endomorphisme dans deux bases et ont même spectre, trace et déterminant.
méthode de Gauss–Jordan	Gauss-Jordan-Verfahren	Gauss–Jordan elimination	Variante de l'élimination de Gauss poussée jusqu'à la forme échelonnée réduite, qui calcule l'inverse en réduisant $(A ∣ I_{n})$ en $(I_{n} ∣ A^{- 1})$ .
méthode de Gauss–Seidel	Gauss-Seidel-Verfahren	Gauss–Seidel method	Méthode itérative de résolution de $A x = b$ qui utilise immédiatement les composantes déjà mises à jour au sein d'une même itération.
méthode de Jacobi	Jacobi-Verfahren	Jacobi method	Méthode itérative $x^{(k + 1)} = D^{- 1} (b - (A - D) x^{(k)})$ avec $D$ la diagonale de $A$ , convergente pour une matrice à diagonale strictement dominante.
méthode de la puissance itérée	Potenzmethode, Vektoriteration	power method, power iteration	Itération $x_{k + 1} = A x_{k} / ∥ A x_{k} ∥$ qui converge vers un vecteur propre associé à la valeur propre de plus grand module.
mineur	Minor, Unterdeterminante	minor	Déterminant $M_{ij}$ de la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ .
moindres carrés	Methode der kleinsten Quadrate	least squares	Recherche du vecteur $\hat{x}$ minimisant $∥ A x - b ∥$ pour un système surdéterminé, solution des équations normales.
multiplicité algébrique	algebraische Vielfachheit	algebraic multiplicity	Ordre de $λ$ comme racine du polynôme caractéristique.
multiplicité géométrique	geometrische Vielfachheit	geometric multiplicity	Dimension de l'espace propre $E_{λ}$ , toujours comprise entre $1$ et la multiplicité algébrique.
norme	Norm	norm	Application $∥ \cdot ∥$ positive, homogène et sous-additive, nulle seulement en $0$ ; la norme euclidienne vaut $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ .
norme de Frobenius	Frobeniusnorm	Frobenius norm	Norme $∥ A ∥_{F} = \sum_{i, j} a_{ij}^{2} = tr (A^{T} A)$ , égale à la racine de la somme des carrés des valeurs singulières.
norme matricielle	Matrixnorm	matrix norm	Norme sur les matrices, souvent subordonnée à une norme vectorielle par $∥ A ∥ = max_{x \neq = 0} ∥ A x ∥ / ∥ x ∥$ ; la norme $2$ vaut la plus grande valeur singulière.
noyau	Kern	kernel, null space	Sous-espace $ker f = {x : f (x) = 0}$ ; il est réduit à ${0}$ si et seulement si $f$ est injective.
opération élémentaire	elementare Zeilenumformung	elementary row operation	L'une des trois transformations $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow α L_{i}$ ( $α \neq = 0$ ) et $L_{i} \leftarrow L_{i} + α L_{j}$ , qui conservent l'ensemble des solutions.
orthogonal	orthogonal	orthogonal	Se dit de deux vecteurs de produit scalaire nul, ce que l'on note $u ⊥ v$ .
orthonormé	orthonormal, orthonormiert	orthonormal	Se dit d'une famille de vecteurs unitaires deux à deux orthogonaux.
pivot	Pivot, Pivotelement	pivot	Premier coefficient non nul d'une ligne d'une matrice échelonnée; le nombre de pivots est le rang.
pivotage	Pivotisierung, Pivotsuche	pivoting	Choix, à chaque étape de l'élimination, du pivot de plus grande valeur absolue (pivotage partiel) par échange de lignes, pour limiter les erreurs d'arrondi.
polynôme caractéristique	charakteristisches Polynom	characteristic polynomial	Polynôme $χ_{A} (λ) = det (A - λ I)$ de degré $n$ , dont les racines sont les valeurs propres de $A$ .
portrait de phase	Phasenporträt	phase portrait	Représentation dans le plan des trajectoires $x (t)$ du système $x^{'} = A x$ , dont l'allure (nœud, col, foyer, centre) dépend des valeurs propres.
procédé de Gram–Schmidt	Gram-Schmidt-Verfahren, Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren	Gram–Schmidt process	Algorithme transformant une famille libre en une famille orthonormée engendrant le même sous-espace, en retranchant à chaque vecteur sa projection sur les précédents.
produit matriciel	Matrixprodukt, Matrizenmultiplikation	matrix product	Matrice $A B$ de coefficients $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ , définie lorsque le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ; il n'est pas commutatif.
produit mixte	Spatprodukt	scalar triple product	Nombre $[u, v, w] = (u \land v) \cdot w = det (u, v, w)$ , volume signé du parallélépipède construit sur les trois vecteurs.
produit scalaire	Skalarprodukt, inneres Produkt	inner product, dot product	Forme bilinéaire symétrique définie positive $⟨ u, v ⟩$ ; dans $R^{n}$ , $u \cdot v = \sum_{i} u_{i} v_{i}$ .
produit vectoriel	Kreuzprodukt, Vektorprodukt	cross product, vector product	Vecteur $u \land v$ de $R^{3}$ orthogonal à $u$ et $v$ , de norme $∥ u ∥ ∥ v ∥ sin θ$ et orienté selon la règle de la main droite.
projection	Projektion	projection	Endomorphisme $p$ vérifiant $p \circ p = p$ ; il projette sur $Im p$ parallèlement à $ker p$ .
projection orthogonale	Orthogonalprojektion	orthogonal projection	Projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à $F^{⊥}$ ; sur une base orthonormée $(e_{i})$ de $F$ , $p (x) = \sum_{i} ⟨ x, e_{i} ⟩ e_{i}$ , et en général $P = A (A^{T} A)^{- 1} A^{T}$ .
pseudo-inverse	Pseudoinverse, Moore-Penrose-Inverse	pseudoinverse, Moore–Penrose inverse	Matrice $A^{+} = V Σ^{+} U^{T}$ obtenue en inversant les valeurs singulières non nulles; $A^{+} b$ est la solution de norme minimale au sens des moindres carrés.
quadrique	Quadrik, Fläche zweiter Ordnung	quadric surface	Surface de l'espace d'équation du second degré (ellipsoïde, hyperboloïde, paraboloïde…), classée par le signe des valeurs propres de sa matrice.
quotient de Rayleigh	Rayleigh-Quotient	Rayleigh quotient	Nombre $R (x) = \frac{x ^{T} A x}{x ^{T} x}$ , compris entre la plus petite et la plus grande valeur propre d'une matrice symétrique $A$ .
rang	Rang	rank	Dimension de l'image d'une application linéaire ou de l'espace des colonnes d'une matrice, égale au nombre de pivots de sa forme échelonnée.
réflexion de Householder	Householder-Spiegelung, Householder-Transformation	Householder reflection	Matrice orthogonale $H = I - 2 v v^{T} / (v^{T} v)$ , symétrie par rapport à l'hyperplan orthogonal à $v$ , utilisée pour calculer la factorisation QR de façon stable.
règle de Cramer	Cramersche Regel	Cramer's rule	Pour $A$ inversible, la solution de $A x = b$ est donnée par $x_{i} = det A_{i} / det A$ , où $A_{i}$ est $A$ dont la $i$ -ième colonne est remplacée par $b$ .
règle de Sarrus	Regel von Sarrus	Sarrus' rule	Procédé mnémotechnique de calcul du déterminant $3 \times 3$ par sommes de produits le long des diagonales descendantes et montantes; il ne s'étend pas aux ordres supérieurs.
résidu	Residuum	residual	Vecteur $r = b - A \hat{x}$ ; au sens des moindres carrés, il est orthogonal à l'espace des colonnes de $A$ .
rotation	Drehung, Rotation	rotation	Isométrie directe du plan $(x, y) \mapsto (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ)$ , ou de l'espace autour d'un axe; sa matrice est orthogonale de déterminant $1$ .
scalaire	Skalar	scalar	Élément du corps de base ( $R$ ou $C$ ) par lequel on multiplie les vecteurs.
signature	Signatur	signature	Couple $(p, q)$ du nombre de valeurs propres strictement positives et strictement négatives de la matrice d'une forme quadratique (loi d'inertie de Sylvester).
solution particulière	spezielle Lösung, partikuläre Lösung	particular solution	Une solution quelconque $x_{p}$ de $A x = b$ ; la solution générale s'écrit $x_{p} + x_{h}$ avec $x_{h} \in ker A$ .
somme de sous-espaces	Summe von Unterräumen	sum of subspaces	Sous-espace $F + G = {u + v : u \in F, v \in G}$ , le plus petit contenant $F$ et $G$ .
somme directe	direkte Summe	direct sum	Somme $F \oplus G$ dans laquelle $F \cap G = {0}$ , de sorte que chaque vecteur se décompose de manière unique.
sous-espace engendré	lineare Hülle, Spann, Erzeugnis	span	Ensemble $Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs donnés, plus petit sous-espace les contenant.
sous-espace vectoriel	Unterraum, Untervektorraum	subspace, linear subspace	Partie non vide d'un espace vectoriel stable par addition et par multiplication par un scalaire.
spectre	Spektrum	spectrum	Ensemble des valeurs propres d'une matrice ou d'un endomorphisme.
suite récurrente linéaire	lineare Rekursion, lineare Differenzengleichung	linear recurrence	Suite définie par $x_{k + 1} = A x_{k}$ , dont le terme général $x_{k} = A^{k} x_{0}$ se calcule par diagonalisation (suite de Fibonacci, par exemple).
supplémentaire	Komplement, komplementärer Unterraum	complementary subspace	Sous-espace $G$ tel que $E = F \oplus G$ ; il n'est pas unique, contrairement au complément orthogonal.
symétrie	Spiegelung	reflection, symmetry	Endomorphisme $s$ vérifiant $s \circ s = id$ , qui fixe un sous-espace et renverse un supplémentaire; la symétrie orthogonale du plan d'axe la droite d'angle $θ$ est $(x, y) \mapsto (x cos 2 θ + y sin 2 θ, x sin 2 θ - y cos 2 θ)$ .
système différentiel linéaire	lineares Differentialgleichungssystem	linear system of differential equations	Système $x^{'} (t) = A x (t)$ dont les solutions sont des combinaisons de $e^{λ_{i} t} v_{i}$ lorsque $A$ est diagonalisable.
système linéaire	lineares Gleichungssystem (LGS)	linear system, system of linear equations	Ensemble de $m$ équations du premier degré à $n$ inconnues, écrit sous forme matricielle $A x = b$ ; il a zéro, une ou une infinité de solutions.
théorème de Cayley–Hamilton	Satz von Cayley-Hamilton	Cayley–Hamilton theorem	Toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique: $χ_{A} (A) = 0$ .
théorème de la base incomplète	Basisergänzungssatz	basis extension theorem	Toute famille libre d'un espace de dimension finie peut être complétée en une base, en puisant dans une famille génératrice.
théorème du rang	Rangsatz, Dimensionsformel	rank–nullity theorem	Pour $f : E \to F$ linéaire avec $E$ de dimension finie, $dim E = dim ker f + rg f$ .
théorème spectral	Spektralsatz	spectral theorem	Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée: $A = Q D Q^{T}$ avec $Q$ orthogonale et $D$ diagonale réelle.
trace	Spur	trace	Somme $tr A = \sum_{i} a_{ii}$ des coefficients diagonaux, égale à la somme des valeurs propres et invariante par similitude.
transposée	transponierte Matrix	transpose	Matrice $A^{T}$ obtenue en échangeant lignes et colonnes; on a $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .
trigonalisation	Trigonalisierung	triangularization	Réduction d'une matrice à une forme triangulaire semblable, toujours possible sur $C$ (théorème de Schur, avec $P$ unitaire).
valeur propre	Eigenwert	eigenvalue	Scalaire $λ$ pour lequel il existe un vecteur $v \neq = 0$ tel que $A v = λ v$ , racine du polynôme caractéristique.
valeur singulière	Singulärwert	singular value	Racine carrée $σ_{i} = λ_{i} (A^{T} A)$ des valeurs propres de $A^{T} A$ , rangée par ordre décroissant sur la diagonale de $Σ$ .
variable libre	freie Variable, freier Parameter	free variable	Inconnue correspondant à une colonne sans pivot, qui peut prendre une valeur arbitraire dans la description des solutions.
variable liée	gebundene Variable, Pivotvariable	basic variable, pivot variable	Inconnue correspondant à une colonne à pivot, exprimée en fonction des variables libres.
vecteur normal	Normalenvektor	normal vector	Vecteur $n = (a, b, c)$ orthogonal à un plan d'équation $a x + b y + cz = d$ , souvent obtenu comme produit vectoriel de deux vecteurs directeurs.
vecteur propre	Eigenvektor	eigenvector	Vecteur non nul $v$ dont l'image $A v = λ v$ lui est colinéaire.
vecteur unitaire	Einheitsvektor	unit vector	Vecteur de norme $1$ , comme $u / ∥ u ∥$ pour tout $u \neq = 0$ .

Remarques d'usage

En allemand comme en anglais, la discipline s'appelle lineare Algebra ou linear algebra; les polycopiés de l'ETH intitulés Lineare Algebra I/II couvrent l'essentiel de ce cours, souvent avec le langage plus abstrait des espaces vectoriels sur un corps quelconque.
Le mot Adjunkte désigne en allemand la transposée de la comatrice (l'adjugate anglaise), tandis que adjoint en anglais et adjungierte Matrix peuvent aussi désigner la transposée conjuguée $A^{*}$ ; vérifiez le contexte avant de traduire «comatrice».
Kern et Bild correspondent exactement à noyau et image; en anglais, null space et column space sont les noms usuels pour une matrice, kernel et image pour une application linéaire.
La lineare Hülle (ou Spann) et l'anglais span désignent le sous-espace engendré; on écrit $span (v_{1}, \dots, v_{k})$ dans la littérature anglaise là où ce cours écrit $Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ .
Le Rangsatz ou Dimensionsformel est le théorème du rang; en anglais on parle de rank–nullity theorem, le mot nullity désignant la dimension du noyau.
Le mot Übergangsmatrix est ambigu: il désigne aussi bien la matrice de passage d'un changement de base que la matrice de transition d'une chaîne de Markov; l'anglais transition matrix présente la même ambiguïté.
Les ouvrages anglophones écrivent souvent les chaînes de Markov avec des vecteurs lignes et des matrices stochastiques par lignes ( $x_{k + 1} = x_{k} P$ ); ce cours, comme la plupart des textes francophones, utilise des vecteurs colonnes et des matrices stochastiques par colonnes.
Kreuzprodukt et Vektorprodukt sont synonymes en allemand; le produit vectoriel se note $u \times v$ en allemand et en anglais, alors que la notation $u \land v$ est propre à la tradition francophone.
Les mots Eigenwert et Eigenvektor sont passés tels quels en anglais (eigenvalue, eigenvector); les termes characteristic value et proper value sont vieillis.
Regulär et singulär qualifient en allemand une matrice inversible ou non inversible; l'anglais emploie nonsingular et singular, le français «inversible» et «singulière».
En Suisse alémanique, on écrit Gauss et Gauss-Elimination sans ß; on rencontre parfois Gauß dans les ouvrages allemands.