Diagonalisation et applications · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décider si une matrice carrée est diagonalisable, sur $R$ ou sur $C$ , à l'aide des multiplicités algébriques et géométriques de ses valeurs propres;
construire explicitement les matrices $P$ et $D$ de la factorisation $A = P D P^{- 1}$ et vérifier le résultat par $A P = P D$ ;
calculer les puissances $A^{k}$ , une racine carrée et l'exponentielle $e^{A}$ d'une matrice diagonalisable, et en déduire le terme général d'une suite récurrente linéaire;
modéliser une évolution aléatoire par une chaîne de Markov, trouver sa distribution stationnaire et prévoir son comportement à long terme;
résoudre un système différentiel linéaire $x^{'} = A x$ et lire la stabilité de l'équilibre sur les valeurs propres;
situer la diagonalisation parmi les réductions plus générales (trigonalisation, blocs de Jordan, matrices symétriques).

Pourquoi diagonaliser?

Le chapitre 9 a introduit les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice carrée $A$ : les directions privilégiées $v$ le long desquelles $A$ agit comme une simple multiplication, $A v = λ v$ . Ce chapitre en tire les conséquences pratiques. Trois problèmes d'ingénieur, en apparence sans rapport, se ramènent à la même idée.

Calculer $A^{100}$ . Un modèle de population ou de propagation d'erreurs numériques fait intervenir une matrice appliquée un très grand nombre de fois: $x_{k} = A^{k} x_{0}$ . Multiplier cent fois une matrice $3 \times 3$ est fastidieux et n'apprend rien sur la tendance générale. Si $A = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale, alors $A^{100} = P D^{100} P^{- 1}$ , et $D^{100}$ s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance $100$ .
Résoudre $x^{'} = A x$ . Deux réservoirs couplés, un circuit à deux mailles, deux masses reliées par des ressorts: chaque grandeur évolue sous l'influence des autres et le système est couplé. Dans une base de vecteurs propres, les équations se découplent et chacune devient l'équation scalaire $z_{j}^{'} = λ_{j} z_{j}$ , de solution $e^{λ_{j} t}$ .
Prédire une chaîne de Markov. La météo de demain dépend de celle d'aujourd'hui, la page web visitée ensuite dépend de la page actuelle: ces évolutions aléatoires sont gouvernées par une matrice de probabilités de transition. Le vecteur propre associé à la valeur propre $1$ décrit l'état d'équilibre vers lequel le système converge, et la deuxième valeur propre dit à quelle vitesse.

Dans les trois cas, le calcul devient élémentaire dans une base de vecteurs propres: c'est exactement ce que réalise la diagonalisation. Le travail consiste donc, d'abord, à savoir quand une telle base existe et comment la construire.

Diagonalisation

Définition et caractérisation

Rappelons (chapitre 6) que deux matrices $A$ et $B$ sont semblables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{- 1} A P$ : elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes, $P$ étant la matrice de passage.

Démonstration. L'égalité $A = P D P^{- 1}$ équivaut à $A P = P D$ (multiplier à droite par $P$ ou par $P^{- 1}$ ). Lisons cette relation colonne par colonne. Si $p_{j}$ désigne la $j$ -ième colonne de $P$ , la $j$ -ième colonne de $A P$ est $A p_{j}$ ; celle de $P D$ est $P (d_{j j} e_{j}) = d_{j j} p_{j}$ , car multiplier à droite par une matrice diagonale multiplie chaque colonne par le coefficient diagonal correspondant. Ainsi

A P = P D ⟺ A p_{j} = d_{j j} p_{j} pour j = 1, \dots, n .

Si $A$ est diagonalisable, $P$ est inversible, donc ses colonnes forment une base de $R^{n}$ (chapitre 4) et chacune est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $d_{j j}$ : on a une base de vecteurs propres. Réciproquement, si $(v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base de vecteurs propres avec $A v_{j} = λ_{j} v_{j}$ , la matrice $P$ de colonnes $v_{j}$ est inversible (ses colonnes sont libres) et vérifie $A P = P D$ pour $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , d'où $A = P D P^{- 1}$ . $□$

La figure 10.1 montre la lecture géométrique de (10.1): pour calculer $A x$ , on exprime $x$ dans la base des vecteurs propres ( $c = P^{- 1} x$ ), on étire chaque coordonnée par la valeur propre correspondante ( $D c$ ), puis on revient à la base canonique ( $P D c$ ). Le parallélogramme engendré par les vecteurs propres est un carré dans les coordonnées propres, et $A$ y devient une simple dilatation le long des axes.

Figure 10.1. Diagramme commutatif de la diagonalisation A = P D P⁻¹. En haut, l'action de A dans la base canonique: le parallélogramme engendré par les vecteurs propres v₁ et v₂ est envoyé sur le parallélogramme engendré par λ₁v₁ et λ₂v₂. En bas, la même action lue dans les coordonnées propres c = P⁻¹x: le carré unité est simplement étiré du facteur λ₁ = 5/3 horizontalement et λ₂ = 2/3 verticalement.

Un critère suffisant: des valeurs propres toutes distinctes

Démonstration. Le chapitre 9 a établi que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. Rappelons l'argument par récurrence: si $v_{1}, \dots, v_{k}$ sont des vecteurs propres pour $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ distinctes et si $α_{1} v_{1} + \dots + α_{k} v_{k} = 0$ , on applique $A - λ_{k} I$ à cette relation; le dernier terme disparaît et il reste $\sum_{j < k} α_{j} (λ_{j} - λ_{k}) v_{j} = 0$ . Par hypothèse de récurrence, $α_{j} (λ_{j} - λ_{k}) = 0$ , donc $α_{j} = 0$ pour $j < k$ puisque $λ_{j} \neq = λ_{k}$ ; enfin $α_{k} v_{k} = 0$ force $α_{k} = 0$ . En choisissant un vecteur propre pour chacune des $n$ valeurs propres, on obtient $n$ vecteurs libres dans $R^{n}$ , donc une base (chapitre 4), formée de vecteurs propres: le théorème 10.1 conclut. $□$

Ce critère n'est que suffisant: la matrice identité $I_{n}$ est diagonalisable (elle est déjà diagonale) alors que sa seule valeur propre est $1$ , de multiplicité $n$ . Il faut un critère plus fin pour les valeurs propres multiples.

Le critère général: multiplicités géométrique et algébrique

Rappelons les deux multiplicités d'une valeur propre $λ$ (chapitre 9): la multiplicité algébrique $m_{a} (λ)$ est l'ordre de $λ$ comme racine de $χ_{A}$ , la multiplicité géométrique $m_{g} (λ) = dim E_{λ} = dim ker (A - λ I)$ est la dimension de l'espace propre, et l'on a toujours $1 \leq m_{g} (λ) \leq m_{a} (λ)$ .

Démonstration. (2 ⟹ 1) Choisissons une base $B_{i}$ de chaque espace propre $E_{λ_{i}}$ et réunissons-les en une famille $B$ de $\sum_{i} m_{g} (λ_{i}) = n$ vecteurs. Cette famille est libre: si une combinaison linéaire des vecteurs de $B$ est nulle, regroupons les termes par espace propre; on obtient $w_{1} + \dots + w_{r} = 0$ avec $w_{i} \in E_{λ_{i}}$ . Les $w_{i}$ non nuls seraient des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes, donc libres, ce qui est incompatible avec une somme nulle: tous les $w_{i}$ sont nuls, et comme $B_{i}$ est libre, tous les coefficients sont nuls. Une famille libre de $n$ vecteurs de $R^{n}$ est une base; elle est formée de vecteurs propres.

(1 ⟹ 2) Soit $(v_{1}, \dots, v_{n})$ une base de vecteurs propres. Notons $n_{i}$ le nombre de ces vecteurs associés à $λ_{i}$ ; ils forment une famille libre de $E_{λ_{i}}$ , donc $n_{i} \leq m_{g} (λ_{i})$ . En sommant, $n = \sum_{i} n_{i} \leq \sum_{i} m_{g} (λ_{i})$ . Par ailleurs $\sum_{i} m_{g} (λ_{i}) \leq \sum_{i} m_{a} (λ_{i}) \leq n$ , puisque le nombre total de racines de $χ_{A}$ , comptées avec multiplicité, ne dépasse pas son degré $n$ . D'où l'égalité.

(2 ⟺ 3) Dans la chaîne d'inégalités $\sum_{i} m_{g} (λ_{i}) \leq \sum_{i} m_{a} (λ_{i}) \leq n$ , l'égalité $\sum_{i} m_{g} (λ_{i}) = n$ force $m_{g} (λ_{i}) = m_{a} (λ_{i})$ pour chaque $i$ (car $m_{g} \leq m_{a}$ terme à terme) et $\sum_{i} m_{a} (λ_{i}) = n$ ; la réciproque est immédiate. $□$

Exemple 10.2 · Deux matrices non diagonalisables sur ℝ

Le cisaillement. $S = (1011)$ a pour polynôme caractéristique $(1 - λ)^{2}$ : valeur propre $1$ de multiplicité algébrique $2$ . Mais $S - I = (0010)$ est de rang $1$ , donc $m_{g} (1) = 2 - 1 = 1 < 2 = m_{a} (1)$ . L'espace propre est la droite $Vect (e_{1})$ et il n'existe pas de base de vecteurs propres: $S$ n'est diagonalisable ni sur $R$ ni sur $C$ . Géométriquement, un cisaillement laisse fixe une seule direction; on peut aussi le voir directement: si $S = P D P^{- 1}$ avec $D$ diagonale de seule valeur propre $1$ , alors $D = I$ et $S = P I P^{- 1} = I$ , absurde.

La rotation d'un quart de tour. $R = (01 - 1 0)$ a pour polynôme caractéristique $λ^{2} + 1$ , sans racine réelle: aucune direction du plan n'est conservée, $R$ n'est pas diagonalisable sur $R$ . Sur $C$ , en revanche, les valeurs propres $i$ et $- i$ sont distinctes et le théorème 10.2 s'applique: avec $v_{1} = (1 - i)$ (vérifier: $R v_{1} = (i 1) = i v_{1}$ ) et $v_{2} = \overline{v_{1}} = (1 i)$ ,

R = P (i 0 0 - i) P^{- 1}, P = (1 - i 1 i) .

Cette diagonalisation complexe est précisément ce qui fait apparaître $cos$ et $sin$ dans les systèmes différentiels oscillants (section sur les portraits de phase).

L'algorithme de diagonalisation

Exemple 10.3 · Une matrice 3 × 3 avec une valeur propre double

Diagonalisons $A = 100120 - 1 02$ .

Étape 1. La matrice est triangulaire supérieure: $χ_{A} (λ) = (1 - λ) (2 - λ)^{2}$ . Valeurs propres $λ = 1$ ( $m_{a} = 1$ ) et $λ = 2$ ( $m_{a} = 2$ ).

Étape 2, $λ = 1$ . $A - I = 000110 - 1 01$ . Les lignes 2 et 3 donnent $y = 0$ et $z = 0$ , la ligne 1 est alors satisfaite; $x$ est libre: $E_{1} = Vect 100$ , $m_{g} (1) = 1$ .

Étape 2, $λ = 2$ . $A - 2 I = - 1 00 100 - 1 00$ , de rang $1$ : l'espace propre est le plan d'équation $x = y - z$ , de dimension $3 - 1 = 2$ . Avec $(y, z) = (1, 0)$ puis $(0, 1)$ :

E_{2} = Vect 110, - 1 01, m_{g} (2) = 2.

Étape 3. $m_{g} (1) + m_{g} (2) = 1 + 2 = 3 = n$ : la matrice est diagonalisable.

Étape 4.

P = 100110 - 1 01, D = 100020002 .

Étape 5. $A P = 100220 - 2 02$ et $P D = 1 \cdot 1 00 2 \cdot 1 2 \cdot 1 0 2 \cdot (- 1) 0 2 \cdot 1 = 100220 - 2 02$ : égalité. Ici $P$ est triangulaire de déterminant $1$ et l'on trouve $P^{- 1} = 100 - 1 10 101$ (vérifier $P P^{- 1} = I$ ).

Comparez avec $B = 200120003$ , qui a les mêmes multiplicités algébriques ( $2$ double, $3$ simple) mais pour laquelle $B - 2 I$ est de rang $2$ : $m_{g} (2) = 1 < 2$ et $B$ n'est pas diagonalisable.

Exercice

Parmi les matrices suivantes, laquelle est diagonalisable sur $R$ ?

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la diagonalisation d'une matrice $A$ de taille $n \times n$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Comparer

m_{g} (λ_{i})

m_{a} (λ_{i})

: s'arrêter si

m_{g} < m_{a}

pour une valeur propre

Pour chaque valeur propre

λ_{i}

, résoudre

(A - λ_{i} I) x = 0

et extraire une base de l'espace propre

E_{λ_{i}}

Vérifier

A P = P D

, puis calculer

P^{- 1}

si l'application l'exige

Calculer le polynôme caractéristique

χ_{A} (λ) = det (A - λ I)

et ses racines avec leurs multiplicités algébriques

Ranger les

n

vecteurs propres en colonnes de

P

et les valeurs propres correspondantes, dans le même ordre, sur la diagonale de

D

Puissances et fonctions de matrices

Puissances

Démonstration. Par récurrence sur $k$ . Pour $k = 0$ , les deux membres valent $I$ (avec $D^{0} = I$ ). Si $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ , alors

A^{k + 1} = A^{k} A = (P D^{k} P^{- 1}) (P D P^{- 1}) = P D^{k} (P^{- 1} P) D P^{- 1} = P D^{k + 1} P^{- 1} :

les facteurs $P^{- 1} P = I$ intérieurs «télescopent». Enfin $D^{k}$ est diagonale de coefficients $λ_{j}^{k}$ , puisque le produit de deux matrices diagonales se fait coefficient par coefficient. Pour $k < 0$ , on remarque que $(P D^{- 1} P^{- 1}) (P D P^{- 1}) = I$ , donc $A^{- 1} = P D^{- 1} P^{- 1}$ , et l'on applique ce qui précède à $A^{- 1}$ . $□$

Exercice

Avec la formule (10.3), calculez le coefficient $(A^{5})_{12}$ (ligne 1, colonne 2) de la matrice $A = (4213)$ .

Suites récurrentes linéaires: la formule de Binet

La suite de Fibonacci $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ ( $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ ) est définie par une récurrence d'ordre $2$ . L'astuce consiste à la transformer en une récurrence d'ordre $1$ vectorielle: en posant $x_{n} = (F_{n + 1} F_{n})$ ,

x_{n + 1} = (F_{n + 2} F_{n + 1}) = (F_{n + 1} + F_{n} F_{n + 1}) = M (1110) x_{n}, donc x_{n} = M^{n} x_{0} = M^{n} (10) .

La matrice $M$ est la matrice compagnon de la récurrence. Calculer $F_{n}$ revient à calculer $M^{n}$ : diagonalisons.

Démonstration. $χ_{M} (λ) = λ^{2} - λ - 1$ , dont les racines sont $φ$ et $ψ$ (elles vérifient $φ + ψ = 1$ , $φ ψ = - 1$ , $φ - ψ = 5$ ). Elles sont distinctes: $M$ est diagonalisable. Pour $λ \in {φ, ψ}$ , la première ligne de $(M - λ I) v = 0$ s'écrit $(1 - λ) x + y = 0$ ; comme $λ^{2} = λ + 1$ , le vecteur $v_{λ} = (λ 1)$ convient (vérifier: $M v_{λ} = (λ + 1 λ) = (λ^{2} λ) = λ v_{λ}$ ). Donc

P = (φ 1 ψ 1), det P = φ - ψ = 5, P^{- 1} = \frac{1}{5} (1 - 1 - ψ φ) .

Alors $P^{- 1} x_{0} = \frac{1}{5} (1 - 1)$ , puis $D^{n} P^{- 1} x_{0} = \frac{1}{5} (φ^{n} - ψ^{n})$ et enfin

x_{n} = P D^{n} P^{- 1} x_{0} = \frac{1}{5} (φ^{n + 1} - ψ^{n + 1} φ^{n} - ψ^{n}) .

La seconde composante est $F_{n}$ , ce qui établit (10.4). Comme $∣ ψ ∣ < 1$ , le terme $ψ^{n} / 5$ est de valeur absolue inférieure à $1/ 5 < 1/2$ : $F_{n}$ est l'entier le plus proche de $φ^{n} / 5$ . Enfin $F_{n + 1} / F_{n} = \frac{φ ^{n + 1} - ψ ^{n + 1}}{φ ^{n} - ψ ^{n}} = φ \frac{1 - ( ψ / φ ) ^{n + 1}}{1 - ( ψ / φ ) ^{n}} \to φ$ puisque $∣ ψ / φ ∣ < 1$ . $□$

Par exemple $φ^{20} / 5 \approx 6765, 00003$ , d'où $F_{20} = 6765$ . La même méthode s'applique à toute récurrence linéaire $u_{n + 2} = a u_{n + 1} + b u_{n}$ : les valeurs propres de la matrice compagnon $(a 1 b 0)$ sont les racines de $λ^{2} - aλ - b$ , et si elles sont distinctes, $u_{n} = α λ_{1}^{n} + β λ_{2}^{n}$ , les constantes étant fixées par $u_{0}$ et $u_{1}$ (exercice 10.3).

Systèmes dynamiques discrets

Un système dynamique linéaire discret est une suite de vecteurs définie par $x_{k + 1} = A x_{k}$ , donc $x_{k} = A^{k} x_{0}$ : populations de plusieurs classes d'âge (matrices de Leslie), stocks dans une chaîne logistique, températures de plusieurs pièces relevées chaque heure. La diagonalisation donne le comportement à long terme sans calculer $A^{k}$ .

Démonstration. Par linéarité et $A^{k} v_{j} = λ_{j}^{k} v_{j}$ (appliquer $k$ fois $A v_{j} = λ_{j} v_{j}$ ), on obtient $A^{k} x_{0} = \sum_{j} c_{j} λ_{j}^{k} v_{j}$ . En divisant par $λ_{1}^{k} \neq = 0$ ,

\frac{x _{k}}{λ _{1}^{k}} = c_{1} v_{1} + j = 2 \sum n c_{j} (\frac{λ _{j}}{λ _{1}})^{k} v_{j},

et chaque rapport $λ_{j} / λ_{1}$ est de module strictement inférieur à $1$ , donc $(λ_{j} / λ_{1})^{k} \to 0$ . $□$

Avec $A = (4213)$ et $x_{0} = (10)$ , les coordonnées propres sont $P^{- 1} x_{0} = \frac{1}{3} (12)$ , donc $x_{k} = \frac{1}{3} \cdot 2^{k} (1 - 2) + \frac{2}{3} \cdot 5^{k} (11)$ ; on vérifie $x_{1} = (42)$ , $x_{2} = (1814)$ et $x_{k} / 5^{k} \to \frac{2}{3} (11)$ : après quelques étapes, les deux composantes sont pratiquement égales et croissent d'un facteur $5$ par étape. C'est aussi le principe de la méthode de la puissance (chapitre 12), qui calcule numériquement la valeur propre dominante en itérant $x \mapsto A x / ∥ A x ∥$ .

Racine carrée et exponentielle d'une matrice

La formule (10.2) suggère de définir $f (A) = P f (D) P^{- 1}$ pour d'autres fonctions que les puissances, en appliquant $f$ à chaque valeur propre.

Racine carrée. Si toutes les valeurs propres sont positives ou nulles, $B = P diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) P^{- 1}$ vérifie $B^{2} = P diag (λ_{j}) P^{- 1} = A$ : c'est une racine carrée de $A$ . Cette construction sert en mécanique (raideur équivalente), en statistique (matrices de covariance) et en géométrie (chapitre 12, décomposition polaire).

Démonstration. (1) $D^{k} = diag (λ_{j}^{k})$ , donc les sommes partielles de (10.6) sont $diag (\sum_{k \leq N} λ_{j}^{k} / k!)$ , dont chaque coefficient tend vers $e^{λ_{j}}$ .

(2) Par le théorème 10.4, la somme partielle vaut $\sum_{k \leq N} P D^{k} P^{- 1} / k! = P (\sum_{k \leq N} D^{k} / k!) P^{- 1}$ ; le passage à la limite $N \to \infty$ commute avec la multiplication par les matrices fixes $P$ et $P^{- 1}$ (chaque coefficient du produit est une combinaison linéaire finie de coefficients convergents). La version avec $t$ s'obtient en remplaçant $A$ par $t A = P (t D) P^{- 1}$ .

(3) et (4) Nous admettons ces deux points dans le cas général: ils se démontrent en manipulant la série (10.6) comme la série de l'exponentielle réelle, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes donnant $e^{A} e^{B} = \sum_{k} \frac{1}{k !} \sum_{i + j = k} (i k) A^{i} B^{j} = \sum_{k} \frac{( A + B ) ^{k}}{k !}$ à condition que $A$ et $B$ commutent, ce qui autorise la formule du binôme. Pour une matrice diagonalisable, le point 4 découle directement du point 2: $\frac{d}{d t} P diag (e^{λ_{j} t}) P^{- 1} = P diag (λ_{j} e^{λ_{j} t}) P^{- 1} = P D P^{- 1} \cdot P diag (e^{λ_{j} t}) P^{- 1} = A e^{t A}$ . $□$

Exemple 10.5 · Racine carrée et exponentielle par diagonalisation

Racine carrée. Soit $B = (5445)$ : $χ_{B} (λ) = λ^{2} - 10 λ + 9 = (λ - 1) (λ - 9)$ , avec $E_{9} = Vect (11)$ et $E_{1} = Vect (1 - 1)$ . Avec $P = (11 1 - 1)$ , $P^{- 1} = \frac{1}{2} P$ , on obtient

B = P (3001) P^{- 1} = \frac{1}{2} (33 1 - 1) (11 1 - 1) = (2112),

et l'on vérifie $(2112)^{2} = (5445)$ . (D'autres racines carrées existent, par exemple en choisissant $- 3$ au lieu de $3$ ; celle-ci est la seule à valeurs propres positives.)

Exponentielle. Pour $A = (4213)$ , il suffit de remplacer $2^{k}$ et $5^{k}$ par $e^{2}$ et $e^{5}$ dans (10.3):

e^{A} = \frac{1}{3} (e^{2} + 2 e^{5} - 2 e^{2} + 2 e^{5} - e^{2} + e^{5} 2 e^{2} + e^{5}) \approx (101, 41 94, 02 47, 01 54, 40) .

Plus généralement, toute fonction $f$ développable en série entière donne $f (A) = P diag (f (λ_{j})) P^{- 1}$ : c'est ainsi que les logiciels calculent $cos (A)$ , $ln (A)$ ou $A^{1/3}$ .

Chaînes de Markov

Matrices stochastiques

Un système passe d'un état à l'autre parmi $n$ états possibles, au hasard, avec des probabilités qui ne dépendent que de l'état actuel (et pas du passé): c'est une chaîne de Markov, du nom du mathématicien russe Andreï Markov (1906). On décrit la situation à l'instant $k$ par le vecteur de distribution $x_{k} \in R^{n}$ , dont la $i$ -ième composante est la probabilité d'être dans l'état $i$ (ou la proportion de la population qui s'y trouve).

Si $x$ est un vecteur de probabilité, $A x$ l'est aussi: ses composantes sont positives, et leur somme vaut $\sum_{i} \sum_{j} a_{ij} x_{j} = \sum_{j} x_{j} (\sum_{i} a_{ij}) = \sum_{j} x_{j} = 1$ . Le produit de deux matrices stochastiques est stochastique (même calcul), et $A^{k}$ contient les probabilités de transition en $k$ étapes.

Démonstration. Notons $1 = (1, 1, \dots, 1)^{T}$ . La condition «colonnes de somme $1$ » s'écrit $1^{T} A = 1^{T}$ , soit en transposant $A^{T} 1 = 1$ : le vecteur $1$ est vecteur propre de $A^{T}$ pour la valeur propre $1$ . Or $A$ et $A^{T}$ ont le même polynôme caractéristique, car $det (A^{T} - λ I) = det ((A - λ I)^{T}) = det (A - λ I)$ (chapitre 3). Donc $1$ est aussi valeur propre de $A$ (avec, en général, un autre vecteur propre). L'inégalité $∣ λ ∣ \leq 1$ fait l'objet de l'exercice 10.5. $□$

Pour trouver $π$ , on résout le système homogène $(A - I) π = 0$ , dont une équation est toujours redondante (la somme des lignes de $A - I$ est nulle, puisque $1^{T} (A - I) = 0^{T}$ ), et l'on remplace cette équation par la contrainte $π_{1} + \dots + π_{n} = 1$ .

Convergence vers l'état stationnaire

Ce théorème est un cas particulier du théorème de Perron–Frobenius (1907–1912) sur les matrices à coefficients positifs; nous l'admettons dans le cas général. Lorsque $A$ est diagonalisable, le point 3 se déduit des deux premiers grâce à (10.5): en écrivant $x_{0} = c_{1} π + \sum_{j \geq 2} c_{j} v_{j}$ , on a $x_{k} = c_{1} π + \sum_{j \geq 2} c_{j} λ_{j}^{k} v_{j} \to c_{1} π$ , et $c_{1} = 1$ car $x_{k}$ et $π$ sont des vecteurs de probabilité (appliquer $1^{T}$ , qui annule les $v_{j}$ pour $j \geq 2$ : en effet $1^{T} v_{j} = 1^{T} A v_{j} = λ_{j} 1^{T} v_{j}$ avec $λ_{j} \neq = 1$ ).

Démontrons complètement le cas de deux états, qui contient toute l'idée. Avec $p$ la probabilité de passer de A à B et $q$ celle de passer de B à A, la matrice est $A = (1 - p p q 1 - q)$ , de trace $2 - p - q$ et de déterminant $1 - p - q$ : ses valeurs propres sont $1$ et $λ_{2} = 1 - p - q$ . Si $x_{k}$ désigne la part de l'état A,

x_{k + 1} = (1 - p) x_{k} + q (1 - x_{k}) = q + (1 - p - q) x_{k} .

Le point fixe est $x^{*} = q / (p + q)$ (si $p + q > 0$ ), et en soustrayant $x^{*} = q + (1 - p - q) x^{*}$ on obtient $x_{k + 1} - x^{*} = λ_{2} (x_{k} - x^{*})$ , donc

x_{k} - x^{*} = λ_{2}^{k} (x_{0} - x^{*}), λ_{2} = 1 - p - q . (10.8)

Dès que $0 < p + q < 2$ , on a $∣ λ_{2} ∣ < 1$ et $x_{k} \to x^{*}$ géométriquement, quel que soit $x_{0}$ ; si $λ_{2} < 0$ ( $p + q > 1$ ), la convergence se fait en oscillant autour de $x^{*}$ . Les cas limites $p = q = 0$ (rien ne bouge, $λ_{2} = 1$ ) et $p = q = 1$ (tout le monde change à chaque étape, $λ_{2} = - 1$ ) sont ceux où $∣ λ_{2} ∣ = 1$ : la convergence échoue, et l'on vérifie que la matrice n'est pas régulière ( $I$ et $(0110)$ ont des puissances qui restent, respectivement, l'identité ou alternent). Remarquez que si un seul des deux paramètres est nul, par exemple $p = 0$ et $q > 0$ , la matrice n'est pas régulière non plus (l'état A est absorbant: $a_{21} = 0$ dans toutes les puissances), mais $∣ λ_{2} ∣ = 1 - q < 1$ et la convergence a quand même lieu, vers $x^{*} = 1$ : la régularité est une condition suffisante, pas nécessaire. L'explorateur ci-dessous permet de le constater.

Explorateur d'une chaîne de Markov à deux états

Deux états A et B; à chaque étape, un individu en A passe en B avec probabilité p et un individu en B passe en A avec probabilité q. La courbe montre la part x_k de l'état A; la ligne pointillée est la valeur stationnaire q/(p + q).

Distribution stationnaire (A; B)

(0,600; 0,400)

Deuxième valeur propre 1 − p − q

0,500

x₁₂

0,600

Écart |x_n − x*|

0,000

p = P(A → B)0,20

q = P(B → A)0,30

Part initiale x₀ de A0,90

Nombre d'étapes n12

Exercice

Dans une chaîne à deux états avec $p = 0, 2$ et $q = 0, 3$ , toute la population est initialement dans l'état A ( $x_{0} = 1$ ). Calculez la part $x_{5}$ de l'état A après 5 étapes.

Exemple 10.6 · Météo à trois états

On classe chaque journée en soleil (S), nuages (N) ou pluie (P). Des relevés donnent les probabilités de transition d'un jour au suivant, rangées en colonnes (colonne $j$ = état d'aujourd'hui):

A = 0, 6 0, 3 0, 1 0, 3 0, 4 0, 3 0, 2 0, 3 0, 5 \leftarrow S demain \leftarrow N demain \leftarrow P demain

Chaque colonne a pour somme $1$ : la matrice est stochastique, et tous ses coefficients sont strictement positifs, donc elle est régulière (avec $m = 1$ ).

Distribution stationnaire. Le système $(A - I) π = 0$ s'écrit

⎩ ⎨ ⎧ - 0, 4 π_{S} + 0, 3 π_{N} + 0, 2 π_{P} = 0 0, 3 π_{S} - 0, 6 π_{N} + 0, 3 π_{P} = 0 0, 1 π_{S} + 0, 3 π_{N} - 0, 5 π_{P} = 0

La deuxième équation donne $π_{N} = (π_{S} + π_{P}) /2$ ; en reportant dans la première, $- 0, 4 π_{S} + 0, 15 π_{S} + 0, 15 π_{P} + 0, 2 π_{P} = 0$ , soit $0, 25 π_{S} = 0, 35 π_{P}$ , donc $π_{S} = \frac{7}{5} π_{P}$ et $π_{N} = \frac{6}{5} π_{P}$ . (La troisième équation est bien redondante: $0, 14 + 0, 36 - 0, 5 = 0$ .) La normalisation $π_{S} + π_{N} + π_{P} = \frac{7 + 6 + 5}{5} π_{P} = 1$ donne $π_{P} = \frac{5}{18}$ , d'où

π = (\frac{7}{18}, \frac{6}{18}, \frac{5}{18}) \approx (0, 389; 0, 333; 0, 278) .

À long terme, il fait beau $38, 9 %$ des jours, quel que soit le temps de départ.

Prévision. S'il fait soleil aujourd'hui, $x_{0} = (1, 0, 0)^{T}$ : la première colonne de $A$ donne $x_{1} = (0, 6; 0, 3; 0, 1)$ pour demain, puis $x_{2} = A x_{1} = (0, 47; 0, 33; 0, 20)$ pour après-demain, $x_{3} = (0, 421; 0, 333; 0, 246)$ , et $x_{7} \approx (0, 390; 0, 333; 0, 277)$ : en une semaine, la mémoire du temps initial est perdue. Les autres valeurs propres de $A$ sont $0, 4$ et $0, 1$ (on trouve $χ_{A} (λ) = - (λ - 1) (λ - 0, 4) (λ - 0, 1)$ ), ce qui explique la rapidité: l'écart à $π$ est divisé par $2, 5$ chaque jour.

Figure 10.2. Convergence de la chaîne météo de l'exemple 10.6 en partant d'un jour de soleil (x₀ = (1, 0, 0)). Chaque groupe de barres est la distribution x_k = Aᵏx₀; le dernier groupe est la distribution stationnaire π = (7/18, 1/3, 5/18), matérialisée aussi par les lignes pointillées. Dès k = 4, la différence est invisible à l'échelle du dessin.

Exemple 10.7 · PageRank sur quatre pages

L'algorithme PageRank de Google (1998) modélise un internaute qui, depuis une page, clique au hasard sur l'un de ses liens sortants. Considérons quatre pages avec les liens: page 1 vers 2, 3 et 4; page 2 vers 1 et 4; page 3 vers 1; page 4 vers 2 et 3. La colonne $j$ contient $1/ d_{j}$ ( $d_{j}$ = nombre de liens sortants de $j$ ) sur les lignes des pages pointées:

M = 0 \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{2} 00 \frac{1}{2} 1000 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2} 0 .

La matrice est stochastique et $M^{4}$ a tous ses coefficients strictement positifs: elle est régulière. Le score d'une page est sa composante dans la distribution stationnaire, c'est-à-dire la fraction du temps que l'internaute y passe à long terme. Les lignes 2 et 3 de $M$ sont identiques, donc $π_{2} = π_{3}$ . Le système $M π = π$ donne, ligne 1: $π_{1} = \frac{1}{2} π_{2} + π_{3} = \frac{3}{2} π_{2}$ ; ligne 4: $π_{4} = \frac{1}{3} π_{1} + \frac{1}{2} π_{2} = \frac{1}{2} π_{2} + \frac{1}{2} π_{2} = π_{2}$ . Avec $π_{1} + 3 π_{2} = \frac{9}{2} π_{2} = 1$ :

π = (\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{2}{9}, \frac{2}{9}) \approx (0, 333; 0, 222; 0, 222; 0, 222) .

La page 1 est la mieux classée: elle ne reçoit que deux liens (des pages 2 et 3), mais la page 3 lui consacre tout son «vote» et la page 2 la moitié du sien, alors que les pages 2, 3 et 4 reçoivent chacune des demi-votes ou des tiers de vote. Dans l'algorithme réel, on remplace $M$ par $α M + (1 - α) \frac{1}{n} 1 1^{T}$ avec $α \approx 0, 85$ (l'internaute saute parfois vers une page quelconque), ce qui rend la matrice régulière quelle que soit la structure des liens, et l'on calcule $π$ par la méthode de la puissance sur des milliards de pages.

Systèmes différentiels linéaires

Résolution par diagonalisation

Un système différentiel linéaire à coefficients constants relie les dérivées de $n$ fonctions inconnues $x_{1} (t), \dots, x_{n} (t)$ à leurs valeurs:

x^{'} (t) = A x (t), x (0) = x_{0}, (10.9)

où $x (t) = (x_{1} (t), \dots, x_{n} (t))^{T}$ et $A \in M_{n \times n} (R)$ . Pour $n = 1$ , c'est l'équation $x^{'} = a x$ , de solution $x (t) = x_{0} e^{a t}$ (Analyse 1). La diagonalisation ramène le cas général à $n$ équations de ce type.

Démonstration. Existence. Posons $x (t) = P e^{t D} c$ avec $c = P^{- 1} x_{0}$ . Comme $e^{t D} = diag (e^{λ_{j} t})$ , on a $x (t) = \sum_{j} c_{j} e^{λ_{j} t} v_{j}$ , et en dérivant terme à terme, $x^{'} (t) = \sum_{j} c_{j} λ_{j} e^{λ_{j} t} v_{j} = \sum_{j} c_{j} e^{λ_{j} t} A v_{j} = A x (t)$ . De plus $x (0) = P c = x_{0}$ .

Unicité. Soit $y$ une solution quelconque de (10.9) et $z (t) = P^{- 1} y (t)$ ses coordonnées dans la base propre. Alors $z^{'} = P^{- 1} y^{'} = P^{- 1} A P z = D z$ : le système est découplé, $z_{j}^{'} = λ_{j} z_{j}$ pour chaque $j$ . Or $(z_{j} e^{- λ_{j} t})^{'} = (z_{j}^{'} - λ_{j} z_{j}) e^{- λ_{j} t} = 0$ , donc $z_{j} (t) = z_{j} (0) e^{λ_{j} t}$ (une fonction de dérivée nulle sur $R$ est constante). Ainsi $z (t) = e^{t D} z (0)$ avec $z (0) = P^{- 1} x_{0} = c$ , et $y = P z$ coïncide avec la solution construite. $□$

La méthode pratique tient en trois lignes: diagonaliser $A$ ; écrire la solution générale $x (t) = \sum_{j} c_{j} e^{λ_{j} t} v_{j}$ avec des constantes $c_{j}$ arbitraires; déterminer les $c_{j}$ par la condition initiale, c'est-à-dire résoudre $P c = x_{0}$ .

Exemple 10.8 · Un système 2 × 2 avec condition initiale

Résolvons ${x_{1}^{'} = x_{1} + 2 x_{2} x_{2}^{'} = 2 x_{1} + x_{2}$ avec $x_{1} (0) = 3$ , $x_{2} (0) = 1$ . Ici $A = (1221)$ , $χ_{A} (λ) = (1 - λ)^{2} - 4 = (λ - 3) (λ + 1)$ , et l'on trouve $E_{3} = Vect (11)$ , $E_{- 1} = Vect (1 - 1)$ . Solution générale:

x (t) = c_{1} e^{3 t} (11) + c_{2} e^{- t} (1 - 1) .

À $t = 0$ : $c_{1} + c_{2} = 3$ et $c_{1} - c_{2} = 1$ , d'où $c_{1} = 2$ , $c_{2} = 1$ , et

x_{1} (t) = 2 e^{3 t} + e^{- t}, x_{2} (t) = 2 e^{3 t} - e^{- t} .

Vérification: $x_{1}^{'} = 6 e^{3 t} - e^{- t}$ et $x_{1} + 2 x_{2} = 2 e^{3 t} + e^{- t} + 4 e^{3 t} - 2 e^{- t} = 6 e^{3 t} - e^{- t}$ . Lorsque $t \to + \infty$ , le terme en $e^{3 t}$ domine et la trajectoire s'aligne sur la direction propre $(1, 1)$ en s'éloignant de l'origine; lorsque $t \to - \infty$ , c'est $e^{- t}$ qui domine et la trajectoire vient de la direction $(1, - 1)$ . C'est le point selle du panneau central de la figure 10.3.

Portraits de phase et stabilité

Pour $n = 2$ , on visualise les solutions en traçant les courbes $t \mapsto (x_{1} (t), x_{2} (t))$ dans le plan: c'est le portrait de phase du système. L'origine est toujours un point d'équilibre ( $x = 0$ est solution constante), et les valeurs propres décident du comportement des trajectoires voisines.

Figure 10.3. Portraits de phase de x′ = Ax pour trois matrices. Nœud stable (λ = −1, −3): toutes les trajectoires convergent vers l'origine, tangentiellement à la direction propre de la valeur propre la moins négative. Point selle (λ = 3, −1): les trajectoires approchent l'origine le long de la direction propre de λ = −1 puis s'échappent le long de celle de λ = 3. Foyer stable (λ = −0,5 ± 2i): spirales convergentes.

Valeurs propres de $A$	Nature de l'origine	Comportement quand $t \to + \infty$
réelles, $λ_{1} < λ_{2} < 0$	nœud stable	$x (t) \to 0$ , tangent à $v_{2}$ (la plus lente)
réelles, $0 < λ_{1} < λ_{2}$	nœud instable	$∥ x (t)∥ \to \infty$ le long de $v_{2}$
réelles, $λ_{1} < 0 < λ_{2}$	point selle	fuite le long de $v_{2}$ , sauf sur la droite $Vect (v_{1})$
complexes $a \pm b i$ , $a < 0$	foyer stable	spirale vers $0$ , pseudo-période $2 π / b$
complexes $a \pm b i$ , $a > 0$	foyer instable	spirale s'éloignant de $0$
imaginaires pures $\pm b i$	centre	orbites fermées (ellipses), oscillation entretenue

Le cas complexe s'obtient à partir de la diagonalisation sur $C$ (exemple 10.2): pour $λ = a \pm b i$ , les solutions $e^{λ t}$ se recombinent en $e^{a t} cos (b t)$ et $e^{a t} sin (b t)$ à l'aide de la formule d'Euler $e^{(a + b i) t} = e^{a t} (cos b t + i sin b t)$ . La partie réelle $a$ contrôle l'amplitude (amortissement si $a < 0$ ), la partie imaginaire $b$ la fréquence des oscillations. On retient la règle: l'origine est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative; pour $n = 2$ , cela équivaut à $tr A < 0$ et $det A > 0$ (chapitre 9: $tr A = λ_{1} + λ_{2}$ et $det A = λ_{1} λ_{2}$ ).

Exercice

Le système $x^{'} = A x$ avec $A = (0 - 4 10)$ modélise un oscillateur non amorti ( $x_{1}^{''} = - 4 x_{1}$ ). Quelle est la nature de l'origine dans le portrait de phase?

Application: deux réservoirs couplés

Exemple 10.9 · Mélange entre deux réservoirs

Deux réservoirs de $V = 100$ L d'eau sont reliés par deux conduites: une pompe fait circuler $r = 10$ L/min du réservoir 1 vers le réservoir 2 et autant en sens inverse, les volumes restant constants. À l'instant $t = 0$ , on dissout $20$ g de sel dans le réservoir 1, le réservoir 2 contenant de l'eau pure. Notons $x_{1} (t)$ et $x_{2} (t)$ les masses de sel (en g) dans chaque réservoir, supposées uniformément mélangées.

Mise en équation. Le réservoir 1 perd du sel à la concentration $x_{1} / V$ au débit $r$ et en reçoit à la concentration $x_{2} / V$ au même débit:

x_{1}^{'} = - \frac{r}{V} x_{1} + \frac{r}{V} x_{2}, x_{2}^{'} = \frac{r}{V} x_{1} - \frac{r}{V} x_{2}, soit x^{'} = 0, 1 (- 1 1 1 - 1) x .

Diagonalisation. $χ_{A} (λ) = (- 0, 1 - λ)^{2} - 0, 01 = λ (λ + 0, 2)$ : valeurs propres $0$ et $- 0, 2$ , avec $E_{0} = Vect (11)$ et $E_{- 0, 2} = Vect (1 - 1)$ . La valeur propre $0$ traduit la conservation de la masse totale de sel: $(x_{1} + x_{2})^{'} = 0$ .

Solution. $x (t) = c_{1} (11) + c_{2} e^{- 0, 2 t} (1 - 1)$ avec $c_{1} + c_{2} = 20$ et $c_{1} - c_{2} = 0$ , donc $c_{1} = c_{2} = 10$ :

x_{1} (t) = 10 + 10 e^{- 0, 2 t}, x_{2} (t) = 10 - 10 e^{- 0, 2 t} .

Les deux réservoirs tendent vers l'équilibre $10$ g chacun, avec une constante de temps $τ = 1/0, 2 = 5$ min. Le réservoir 1 ne contient plus que $12$ g lorsque $e^{- 0, 2 t} = 0, 2$ , soit $t = 5 ln 5 \approx 8, 05$ min. Le même modèle décrit deux pièces échangeant de la chaleur, deux condensateurs reliés par une résistance ou deux compartiments d'un organisme échangeant un médicament: la structure $x^{'} = A x$ est universelle.

Oscillateurs couplés et modes propres

Deux chariots de masse $m$ sont reliés entre eux et aux parois par trois ressorts identiques de raideur $k$ . Si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont leurs écarts à l'équilibre, la loi de Newton donne $m x_{1}^{''} = - k x_{1} + k (x_{2} - x_{1})$ et $m x_{2}^{''} = - k (x_{2} - x_{1}) - k x_{2}$ , soit, avec $ω_{0}^{2} = k / m$ ,

x^{''} = - ω_{0}^{2} K x, K = (2 - 1 - 1 2) . (10.11)

C'est un système du second ordre, mais la même idée s'applique: dans une base de vecteurs propres de $K$ , il se découple. Les valeurs propres de $K$ sont $1$ (vecteur propre $(1, 1)$ ) et $3$ (vecteur propre $(1, - 1)$ ); en posant $x = z_{1} (11) + z_{2} (1 - 1)$ , (10.11) devient $z_{1}^{''} = - ω_{0}^{2} z_{1}$ et $z_{2}^{''} = - 3 ω_{0}^{2} z_{2}$ . Chaque coordonnée oscille à sa propre pulsation $ω_{j} = ω_{0} λ_{j}$ : ce sont les modes propres de la structure. Le premier mode ( $ω_{1} = ω_{0}$ ) voit les deux chariots osciller en phase, le ressort central restant au repos; le second ( $ω_{2} = 3 ω_{0} \approx 1, 732 ω_{0}$ ) les voit osciller en opposition de phase. Le mouvement général est la superposition des deux:

x (t) = (a_{1} cos ω_{1} t + b_{1} sin ω_{1} t) (11) + (a_{2} cos ω_{2} t + b_{2} sin ω_{2} t) (1 - 1),

les quatre constantes étant fixées par les positions et vitesses initiales. L'analyse modale des bâtiments, des ponts et des aubes de turbine repose sur ce principe, avec des matrices de raideur de plusieurs milliers de lignes: les fréquences propres $λ_{j}$ doivent être tenues à l'écart des fréquences d'excitation (vent, séismes, machines tournantes) pour éviter la résonance.

Aperçu: au-delà de la diagonalisation

Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables, mais on peut toujours faire presque aussi bien.

Trigonalisation. Toute matrice carrée à coefficients complexes est semblable à une matrice triangulaire supérieure: $A = P T P^{- 1}$ avec $T$ triangulaire, dont la diagonale porte les valeurs propres (théorème de Schur; on peut même choisir $P$ unitaire). La démonstration se fait par récurrence sur $n$ en complétant un vecteur propre en une base. Sur $R$ , c'est possible si et seulement si $χ_{A}$ a toutes ses racines réelles. Les puissances et l'exponentielle d'une matrice triangulaire se calculent encore, quoique moins simplement.
Blocs de Jordan. Pour $n = 2$ , une matrice non diagonalisable sur $C$ a une valeur propre double $λ$ et est semblable au bloc de Jordan $J = (λ 0 1 λ)$ , comme le cisaillement de l'exemple 10.2. On a alors $J^{k} = (λ^{k} 0 k λ^{k - 1} λ^{k})$ et $e^{t J} = e^{λ t} (10 t 1)$ : les solutions de $x^{'} = A x$ contiennent des termes $t e^{λ t}$ , comme dans le cas critique de l'oscillateur amorti. La forme de Jordan générale, hors programme, découpe toute matrice en tels blocs.
Diagonalisation simultanée. Deux matrices diagonalisables $A$ et $B$ admettent une même base de vecteurs propres si et seulement si elles commutent, $A B = B A$ . C'est ce qui permet, en mécanique quantique comme en traitement du signal, de simplifier simultanément plusieurs opérateurs.
Matrices symétriques. Le chapitre 11 démontre le théorème spectral: toute matrice symétrique réelle est diagonalisable sur $R$ , et l'on peut choisir $P$ orthogonale ( $P^{- 1} = P^{T}$ ). Les matrices de raideur, d'inertie, de covariance et les matrices de graphes non orientés sont symétriques: pour elles, la question de la diagonalisabilité ne se pose jamais, et $A = P D P^{T}$ s'interprète comme un choix d'axes orthogonaux adaptés.

Synthèse

$A$ est diagonalisable si et seulement si $R^{n}$ (ou $C^{n}$ ) admet une base de vecteurs propres; alors $A = P D P^{- 1}$ , les colonnes de $P$ étant les vecteurs propres et la diagonale de $D$ les valeurs propres, dans le même ordre. Contrôle: $A P = P D$ .
Critères: $n$ valeurs propres distinctes suffisent; en général il faut et il suffit que $χ_{A}$ soit scindé et que $m_{g} (λ) = m_{a} (λ)$ pour chaque valeur propre. Un cisaillement ( $m_{g} < m_{a}$ ) n'est pas diagonalisable; une rotation ne l'est que sur $C$ .
$A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ , $A = P D P^{- 1}$ , $e^{A} = P e^{D} P^{- 1}$ : toute fonction de $A$ se calcule sur les valeurs propres. Les suites récurrentes linéaires se résolvent par la matrice compagnon (formule de Binet: $F_{n} = (φ^{n} - ψ^{n}) / 5$ ), et $x_{k} = A^{k} x_{0}$ est dominé par la plus grande valeur propre.
Une matrice stochastique a la valeur propre $1$ et toutes ses valeurs propres vérifient $∣ λ ∣ \leq 1$ ; si elle est régulière, la distribution converge vers l'unique état stationnaire $π$ (solution de $(A - I) π = 0$ , $\sum π_{i} = 1$ ), à la vitesse $∣ λ_{2} ∣^{k}$ .
Le système $x^{'} = A x$ a pour solution $x (t) = \sum_{j} c_{j} e^{λ_{j} t} v_{j} = P e^{t D} P^{- 1} x_{0}$ ; l'origine est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle strictement négative (nœud, foyer), instable sinon (selle, nœud ou foyer instables); les valeurs propres imaginaires pures donnent un centre.
Les modes propres d'une structure sont les vecteurs propres de sa matrice de raideur et ses fréquences propres les racines carrées des valeurs propres; toute matrice est trigonalisable sur $C$ , et les matrices symétriques sont toujours diagonalisables (chapitre 11).

Série d'exercices du chapitre 10

Exercice 1 sur 5

Exercice

Soit $A = (2012)$ . Laquelle de ces affirmations est correcte?

Problème guidé

Disponibilité d'une machine-outil

Une machine-outil d'un atelier de décolletage jurassien est, chaque jour, dans l'un de trois états: en service (S), en révision préventive (R) ou en panne (P). D'un jour au suivant, les probabilités de transition sont: depuis S, rester en S avec probabilité $0, 8$ , passer en R avec $0, 15$ et tomber en panne avec $0, 05$ ; depuis R, revenir en S avec $0, 9$ et rester en R avec $0, 1$ ; depuis P, revenir en S avec $0, 6$ , passer en R avec $0, 3$ et rester en P avec $0, 1$ . On range ces probabilités dans une matrice $A$ dont la colonne $j$ décrit les transitions depuis l'état $j$ (ordre S, R, P).

1
La matrice de transition
Écrivez $A = 0, 8 0, 15 0, 05 0, 9 0, 1 0 0, 6 0, 3 0, 1$ et contrôlez qu'elle est stochastique.
Exercice
Quelle propriété fait de $A$ une matrice stochastique (par colonnes)?
Distribution stationnaire
Prévision à deux jours
Interprétation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 10.1 · Diagonalisation, puissances et exponentielle

Soit $A = (2123)$ .

Diagonaliser $A$ : donner $P$ , $D$ et $P^{- 1}$ , et vérifier $A P = P D$ .
En déduire une formule explicite pour $A^{k}$ , $k \in N$ , et calculer $A^{10}$ .
Calculer $e^{A}$ et $A^{- 1}$ à l'aide de la même factorisation.

Solution

1. $χ_{A} (λ) = (2 - λ) (3 - λ) - 2 = λ^{2} - 5 λ + 4 = (λ - 1) (λ - 4)$ (contrôle: $tr A = 5$ , $det A = 4$ ). Deux valeurs propres distinctes: $A$ est diagonalisable.

$λ = 1$ : $A - I = (1122)$ , équation $x + 2 y = 0$ , vecteur propre $v_{1} = (2 - 1)$ .
$λ = 4$ : $A - 4 I = (- 2 1 2 - 1)$ , équation $x = y$ , vecteur propre $v_{2} = (11)$ .

P = (2 - 1 11), D = (1004), det P = 3, P^{- 1} = \frac{1}{3} (11 - 1 2) .

Vérification: $A P = (2 - 1 44)$ et $P D = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1 1 \cdot 4 1 \cdot 4) = (2 - 1 44)$ .

2. $A^{k} = P D^{k} P^{- 1} = (2 - 1 4^{k} 4^{k}) \cdot \frac{1}{3} (11 - 1 2)$ , soit

A^{k} = \frac{1}{3} (2 + 4^{k} - 1 + 4^{k} - 2 + 2 \cdot 4^{k} 1 + 2 \cdot 4^{k}) .

Contrôles: $k = 0$ donne $I$ , $k = 1$ donne $A$ . Pour $k = 10$ , $4^{10} = 1048576$ et

A^{10} = \frac{1}{3} (1048578104857520971502097153) = (349526349525699050699051) .

3. On remplace $4^{k}$ par $e^{4}$ et $1 = 1^{k}$ par $e^{1}$ :

e^{A} = P (e 0 0 e^{4}) P^{- 1} = \frac{1}{3} (2 e + e^{4} - e + e^{4} - 2 e + 2 e^{4} e + 2 e^{4}) \approx (20, 01 17, 29 34, 59 37, 30) .

Pour l'inverse, la formule de la question 2 avec $k = - 1$ (licite car $det A = 4 \neq = 0$ ) donne $A^{- 1} = \frac{1}{3} (2 + \frac{1}{4} - 1 + \frac{1}{4} - 2 + \frac{1}{2} 1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} (3 - 1 - 2 2)$ , ce que confirme la formule d'inversion des matrices $2 \times 2$ : $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} (3 - 1 - 2 2)$ .

Exercice 10.2 · Diagonalisable ou non?

Pour chacune des matrices suivantes, déterminer si elle est diagonalisable sur $R$ ; si oui, donner $P$ et $D$ ; sinon, expliquer pourquoi.

B = 200120003, C = 211 01 - 1 0 - 1 1 .

Pour $C$ , calculer ensuite $C^{k}$ pour tout $k \geq 1$ et interpréter géométriquement la matrice $\frac{1}{2} C$ .

Solution

Matrice $B$ . Triangulaire: $χ_{B} (λ) = (2 - λ)^{2} (3 - λ)$ , valeurs propres $2$ (double) et $3$ (simple). Pour $λ = 2$ , $B - 2 I = 000100001$ est de rang $2$ (lignes 1 et 3 indépendantes), donc $m_{g} (2) = 3 - 2 = 1 < 2 = m_{a} (2)$ : l'espace propre $E_{2} = Vect (e_{1})$ est trop petit. $B$ n'est pas diagonalisable (ni sur $R$ ni sur $C$ ). Le bloc $(2012)$ est un bloc de Jordan.

Matrice $C$ . Développons $det (C - λ I)$ selon la première ligne:

χ_{C} (λ) = (2 - λ) 1 - λ - 1 - 1 1 - λ = (2 - λ) ((1 - λ)^{2} - 1) = (2 - λ) λ (λ - 2) = - λ (λ - 2)^{2} .

Valeurs propres $0$ (simple) et $2$ (double). Pour $λ = 2$ : $C - 2 I = 011 0 - 1 - 1 0 - 1 - 1$ est de rang $1$ , donc $m_{g} (2) = 2 = m_{a} (2)$ ; l'espace propre est le plan $x = y + z$ , de base $110$ , $101$ . Pour $λ = 0$ : $C x = 0$ donne $x = 0$ puis $y = z$ , d'où $E_{0} = Vect 011$ . Comme $m_{g} (0) + m_{g} (2) = 3$ , $C$ est diagonalisable:

P = 110101011, D = 200020000, P^{- 1} = \frac{1}{2} 11 - 1 1 - 1 1 - 1 11 .

Vérification: $C P = 220202000 = P D$ .

Puissances. $C^{k} = P diag (2^{k}, 2^{k}, 0) P^{- 1} = 2^{k} P diag (1, 1, 0) P^{- 1}$ . Or $P diag (1, 1, 0) P^{- 1}$ est la matrice $Q$ de la projection sur le plan $E_{2}$ parallèlement à la droite $E_{0}$ (elle fixe les deux premières colonnes de $P$ et annule la troisième), et le calcul donne

Q = \frac{1}{2} 211 01 - 1 0 - 1 1 = \frac{1}{2} C .

Ainsi $C^{k} = 2^{k} Q = 2^{k - 1} C$ pour tout $k \geq 1$ ; par exemple $C^{3} = 4 C = 844 04 - 4 0 - 4 4$ , ce que confirme le produit direct. Géométriquement, $\frac{1}{2} C$ est un projecteur ( $Q^{2} = Q$ ), et $C$ est «deux fois une projection»: elle écrase la direction $E_{0}$ et double les vecteurs du plan $E_{2}$ .

Exercice 10.3 · Suite récurrente linéaire d'ordre 2

On considère la suite définie par $u_{0} = 1$ , $u_{1} = 1$ et $u_{n + 2} = 5 u_{n + 1} - 6 u_{n}$ pour $n \geq 0$ .

Écrire la relation sous la forme $x_{n + 1} = M x_{n}$ avec $x_{n} = (u_{n + 1} u_{n})$ et diagonaliser $M$ .
En déduire une formule explicite pour $u_{n}$ et la vérifier pour $n = 2, 3, 4$ .
Déterminer le comportement de $u_{n}$ lorsque $n \to \infty$ et la limite de $u_{n + 1} / u_{n}$ .
Quelles valeurs initiales $(u_{0}, u_{1})$ donneraient une suite tendant vers $0$ ?

Solution

1. $x_{n + 1} = (u_{n + 2} u_{n + 1}) = (5 u_{n + 1} - 6 u_{n} u_{n + 1}) = (51 - 6 0) x_{n}$ . La matrice compagnon $M$ a pour polynôme caractéristique $λ^{2} - 5 λ + 6 = (λ - 2) (λ - 3)$ : valeurs propres $2$ et $3$ , distinctes, donc $M$ est diagonalisable. Comme pour Fibonacci, $v_{λ} = (λ 1)$ est vecteur propre (vérifier: $M v_{λ} = (5 λ - 6 λ) = (λ^{2} λ)$ car $λ^{2} = 5 λ - 6$ ). Donc $P = (2131)$ , $D = diag (2, 3)$ , $det P = - 1$ , $P^{- 1} = (- 1 1 3 - 2)$ .

2. $x_{n} = P D^{n} P^{- 1} x_{0}$ avec $x_{0} = (11)$ : $P^{- 1} x_{0} = (2 - 1)$ , $D^{n} P^{- 1} x_{0} = (2 \cdot 2^{n} - 3^{n})$ , et

x_{n} = (2131) (2^{n + 1} - 3^{n}) = (2^{n + 2} - 3^{n + 1} 2^{n + 1} - 3^{n}), donc u_{n} = 2^{n + 1} - 3^{n} .

(On peut aussi poser directement $u_{n} = α 2^{n} + β 3^{n}$ et résoudre $α + β = 1$ , $2 α + 3 β = 1$ , d'où $β = - 1$ , $α = 2$ .) Vérification: $u_{2} = 5 \cdot 1 - 6 \cdot 1 = - 1 = 8 - 9$ ; $u_{3} = 5 \cdot (- 1) - 6 \cdot 1 = - 11 = 16 - 27$ ; $u_{4} = 5 \cdot (- 11) - 6 \cdot (- 1) = - 49 = 32 - 81$ .

3. $u_{n} = 3^{n} (2 (2/3)^{n} - 1)$ et $(2/3)^{n} \to 0$ : la suite tend vers $- \infty$ , dominée par la valeur propre $3$ (théorème 10.6). De plus

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{2 ^{n + 2} - 3 ^{n + 1}}{2 ^{n + 1} - 3 ^{n}} = 3 \cdot \frac{1 - \frac{4}{3} ( 2/3 ) ^{n}}{1 - 2 ( 2/3 ) ^{n}} n \to \infty 3.

4. La solution générale est $u_{n} = α 2^{n} + β 3^{n}$ ; elle tend vers $0$ si et seulement si $α = β = 0$ , c'est-à-dire $u_{0} = u_{1} = 0$ : la suite nulle. Aucune valeur propre n'étant de module inférieur à $1$ , aucune suite non nulle ne peut s'éteindre. (Si la récurrence était $u_{n + 2} = \frac{5}{6} u_{n + 1} - \frac{1}{6} u_{n}$ , de valeurs propres $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{3}$ , toutes les suites tendraient vers $0$ .)

Exercice 10.4 · Réservoirs en cascade

Deux réservoirs contiennent respectivement $V_{1} = 150$ L et $V_{2} = 100$ L de liquide. De l'eau pure entre dans le réservoir 1 à $20$ L/min; le réservoir 1 déverse $30$ L/min dans le réservoir 2; le réservoir 2 renvoie $10$ L/min vers le réservoir 1 et évacue $20$ L/min vers l'extérieur, de sorte que les volumes restent constants. À $t = 0$ , le réservoir 1 contient $30$ g de sel et le réservoir 2 n'en contient pas. On note $x_{1} (t)$ et $x_{2} (t)$ les masses de sel en grammes.

Établir le système $x^{'} = A x$ et vérifier $A = (- 0, 2 0, 2 0, 1 - 0, 3)$ .
Diagonaliser $A$ et écrire la solution avec les conditions initiales.
À quel instant la masse de sel du réservoir 2 est-elle maximale, et que vaut-elle?
Que deviennent $x_{1}$ et $x_{2}$ à long terme? Quelle est la nature de l'origine dans le portrait de phase?

Solution

1. Bilan du réservoir 1: il perd du sel par le débit sortant $30$ L/min à la concentration $x_{1} /150$ et en reçoit par le débit $10$ L/min à la concentration $x_{2} /100$ (l'eau pure n'apporte rien): $x_{1}^{'} = - \frac{30}{150} x_{1} + \frac{10}{100} x_{2} = - 0, 2 x_{1} + 0, 1 x_{2}$ . Réservoir 2: il reçoit $30$ L/min à la concentration $x_{1} /150$ et perd $10 + 20 = 30$ L/min à la concentration $x_{2} /100$ : $x_{2}^{'} = 0, 2 x_{1} - 0, 3 x_{2}$ . D'où la matrice annoncée.

2. $tr A = - 0, 5$ , $det A = 0, 06 - 0, 02 = 0, 04$ , donc $χ_{A} (λ) = λ^{2} + 0, 5 λ + 0, 04 = (λ + 0, 1) (λ + 0, 4)$ . Pour $λ = - 0, 1$ : $A + 0, 1 I = (- 0, 1 0, 2 0, 1 - 0, 2)$ , vecteur propre $(11)$ . Pour $λ = - 0, 4$ : $A + 0, 4 I = (0, 2 0, 2 0, 1 0, 1)$ , vecteur propre $(1 - 2)$ . Solution générale:

x (t) = c_{1} e^{- 0, 1 t} (11) + c_{2} e^{- 0, 4 t} (1 - 2) .

Conditions initiales: $c_{1} + c_{2} = 30$ et $c_{1} - 2 c_{2} = 0$ , d'où $c_{1} = 20$ , $c_{2} = 10$ :

x_{1} (t) = 20 e^{- 0, 1 t} + 10 e^{- 0, 4 t}, x_{2} (t) = 20 e^{- 0, 1 t} - 20 e^{- 0, 4 t} .

Contrôle: $x_{2} (0) = 0$ et $x_{2}^{'} (0) = - 2 + 8 = 6 = 0, 2 \cdot 30$ , en accord avec le système.

3. $x_{2}^{'} (t) = - 2 e^{- 0, 1 t} + 8 e^{- 0, 4 t} = 2 e^{- 0, 4 t} (4 - e^{0, 3 t})$ , qui s'annule pour $e^{0, 3 t} = 4$ , soit

t^{*} = \frac{ln 4}{0 , 3} \approx 4, 62 min,

et est positive avant, négative après: c'est un maximum. Avec $e^{- 0, 1 t^{*}} = 4^{- 1/3}$ et $e^{- 0, 4 t^{*}} = 4^{- 4/3} = \frac{1}{4} 4^{- 1/3}$ ,

x_{2} (t^{*}) = 20 \cdot 4^{- 1/3} (1 - \frac{1}{4}) = 15 \cdot 4^{- 1/3} \approx 9, 45 g .

4. Les deux valeurs propres sont strictement négatives: $x_{1} (t) \to 0$ et $x_{2} (t) \to 0$ , le sel étant progressivement évacué par le débit de sortie. Après $10$ min, il reste $x_{1} \approx 7, 54$ g et $x_{2} \approx 6, 99$ g. L'origine est un nœud stable; pour $t$ grand, le terme $e^{- 0, 1 t}$ domine et $x (t) \approx 20 e^{- 0, 1 t} (1, 1)$ : la trajectoire rejoint l'origine tangentiellement à la direction propre $(1, 1)$ , ce qui signifie que les deux réservoirs finissent par contenir la même masse de sel, décroissant avec la constante de temps $10$ min.

Exercice 10.5 · Valeurs propres d'une matrice stochastique

Soit $A \in M_{n \times n} (R)$ une matrice stochastique par colonnes: $a_{ij} \geq 0$ et $\sum_{i} a_{ij} = 1$ pour tout $j$ .

Montrer que $1$ est valeur propre de $A$ .
Soit $λ \in C$ une valeur propre de $A^{T}$ et $y \in C^{n}$ un vecteur propre associé. En considérant une composante de $y$ de module maximal, montrer que $∣ λ ∣ \leq 1$ . En déduire que toutes les valeurs propres de $A$ vérifient $∣ λ ∣ \leq 1$ .
On suppose de plus $A$ diagonalisable sur $C$ . Montrer que les coefficients de $A^{k}$ restent bornés lorsque $k \to \infty$ , puis que si $λ = 1$ est la seule valeur propre de module $1$ , la suite $A^{k}$ converge vers une matrice $L$ dont toutes les colonnes sont des distributions stationnaires.

Solution

1. C'est le théorème 10.8: $1^{T} A = 1^{T}$ signifie $A^{T} 1 = 1$ , donc $1$ est valeur propre de $A^{T}$ ; comme $χ_{A^{T}} = χ_{A}$ (le déterminant est invariant par transposition), $1$ est aussi valeur propre de $A$ .

2. La matrice $A^{T}$ a ses lignes de somme $1$ : $\sum_{j} (A^{T})_{ij} = \sum_{j} a_{j i} = 1$ . Soit $A^{T} y = λ y$ avec $y \neq = 0$ , et soit $i$ un indice tel que $∣ y_{i} ∣ = max_{j} ∣ y_{j} ∣ > 0$ . La $i$ -ième ligne donne $λ y_{i} = \sum_{j} a_{j i} y_{j}$ , et par l'inégalité triangulaire (les $a_{j i}$ étant positifs),

∣ λ ∣ ∣ y_{i} ∣ = j \sum a_{j i} y_{j} \leq j \sum a_{j i} ∣ y_{j} ∣ \leq j \sum a_{j i} ∣ y_{i} ∣ = ∣ y_{i} ∣ .

En divisant par $∣ y_{i} ∣ > 0$ : $∣ λ ∣ \leq 1$ . (C'est l'argument de la «norme infinie»: la multiplication par $A^{T}$ ne peut pas augmenter la plus grande composante en module, puisque chaque composante de l'image est une moyenne pondérée des composantes de départ.) Comme $A$ et $A^{T}$ ont les mêmes valeurs propres, la conclusion vaut pour $A$ .

3. Écrivons $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , $∣ λ_{j} ∣ \leq 1$ . Alors $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ , et chaque coefficient de $A^{k}$ vaut $\sum_{j} p_{ij} λ_{j}^{k} q_{j l}$ (avec $Q = P^{- 1}$ ), de module au plus $\sum_{j} ∣ p_{ij} ∣ ∣ q_{j l} ∣$ , quantité indépendante de $k$ : les puissances $A^{k}$ sont bornées. (Sans diagonalisabilité, la conclusion reste vraie mais l'argument est différent: les coefficients de $A^{k}$ sont des probabilités de transition en $k$ étapes, donc compris entre $0$ et $1$ .)

Si de plus $λ_{1} = 1$ est la seule valeur propre de module $1$ , alors $λ_{j}^{k} \to 0$ pour $j \geq 2$ et $D^{k} \to diag (1, 0, \dots, 0)$ (en supposant $1$ simple; si $1$ est multiple, $D^{k}$ tend vers la matrice diagonale ayant des $1$ aux places des valeurs propres égales à $1$ , et le raisonnement est identique). Donc $A^{k} \to L = P diag (1, 0, \dots, 0) P^{- 1}$ . Chaque colonne $ℓ$ de $L$ est limite de la colonne correspondante de $A^{k}$ , qui est un vecteur de probabilité (produit de matrices stochastiques): $ℓ$ a des composantes positives ou nulles de somme $1$ . Enfin $A L = lim A^{k + 1} = L$ , donc $A ℓ = ℓ$ : chaque colonne de $L$ est une distribution stationnaire. Lorsque la valeur propre $1$ est simple (cas régulier, théorème 10.9), toutes les colonnes de $L$ sont égales à l'unique $π$ , ce qui exprime $A^{k} x_{0} \to π$ pour tout vecteur de probabilité $x_{0}$ . $□$

Références

D. C. Lay, S. R. Lay, J. J. McDonald, Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, 2018 — chapitre 5 (valeurs propres, diagonalisation, systèmes dynamiques discrets et différentiels) et chapitre 10 (chaînes de Markov).
G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 6e éd., Wellesley-Cambridge Press, 2023 — chapitre 6 (Eigenvalues and Eigenvectors: diagonalisation, systèmes d'équations différentielles, exponentielle de matrice).
S. Axler, Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, 2024 — chapitres 5 et 8 (opérateurs diagonalisables, sous-espaces invariants, forme de Jordan).
J. Grifone, Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, 2019 — chapitre sur la réduction des endomorphismes (diagonalisation, trigonalisation, applications aux suites et aux systèmes différentiels).
C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000 — chapitre 8 (théorie de Perron–Frobenius et chaînes de Markov).
L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997 — leçons 24 à 27 (calcul numérique des valeurs propres, méthode de la puissance, forme de Schur).

Objectifs du chapitre

Pourquoi diagonaliser?

Diagonalisation

Définition et caractérisation

Un critère suffisant: des valeurs propres toutes distinctes

Le critère général: multiplicités géométrique et algébrique

L'algorithme de diagonalisation

Puissances et fonctions de matrices

Puissances

Suites récurrentes linéaires: la formule de Binet

Systèmes dynamiques discrets

Racine carrée et exponentielle d'une matrice

Chaînes de Markov

Matrices stochastiques

Convergence vers l'état stationnaire

Explorateur d'une chaîne de Markov à deux états

Systèmes différentiels linéaires

Résolution par diagonalisation

Portraits de phase et stabilité

Application: deux réservoirs couplés

Oscillateurs couplés et modes propres

Aperçu: au-delà de la diagonalisation

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 10

Disponibilité d'une machine-outil

La matrice de transition

Distribution stationnaire

Prévision à deux jours

Interprétation

Exercices

Références