Formulaire

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les algorithmes, propriétés et formules essentiels du cours, avec la notation des chapitres correspondants (les numéros d'équations et de théorèmes y renvoient). Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de ses conditions de validité; les démonstrations, les exemples et les pièges classiques se trouvent dans les chapitres. Conventions: les vecteurs sont des colonnes, notés en gras $\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^n$, les matrices en capitales $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, d'entrées $a_{ij}$; transposée $A^{\mathsf{T}}$, inverse $A^{-1}$, identité $I_n$, déterminant $\det A$ ou $|A|$, trace $\mathrm{tr}A$, rang $\mathrm{rg}A$, noyau $\ker A$, image $\mathrm{Im}A$, sous-espace engendré $\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)$; produit scalaire $⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩={\mathbf{u}}^{\mathsf{T}}\mathbf{v}$, norme $\Vert \mathbf{u}\Vert$, produit vectoriel $\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$; ${\mathbb{R}}_n[x]$ désigne les polynômes de degré au plus $n$; virgule décimale ($\sqrt{2}\approx 1,414$).

Chapitre 1 – Systèmes d'équations linéaires

Écriture matricielle d'un système de $m$ équations à $n$ inconnues (1.2): $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ est la matrice des coefficients, $(A\mid \mathbf{b})$ la matrice augmentée; la ligne $i$ code la $i$-ième équation, la colonne $j$ rassemble les coefficients de $x_j$. Le système est homogène si $\mathbf{b}=0$; il admet alors toujours la solution triviale.

Les trois opérations élémentaires sur les lignes (échange, multiplication par un scalaire non nul, addition d'un multiple d'une autre ligne); elles sont réversibles et conservent l'ensemble des solutions (théorème 1.1). Deux matrices reliées par une suite de telles opérations sont équivalentes par lignes, $M\sim M^{\prime }$.

Algorithme de Gauss (élimination), appliqué à la matrice augmentée, colonne par colonne:

1. choisir le pivot: dans la première colonne non encore traitée contenant un coefficient non nul parmi les lignes disponibles, amener ce coefficient en haut par un échange de lignes (pivot partiel: prendre le coefficient de plus grande valeur absolue);
2. éliminer: pour chaque ligne $L_i$ sous la ligne du pivot $L_p$, effectuer $L_i\leftarrow L_i-\frac{a_{ic}}{a_{pc}}{L}_p$, où $c$ est la colonne du pivot;
3. recommencer avec la sous-matrice située sous la ligne du pivot jusqu'à obtenir une forme échelonnée (lignes nulles en bas, chaque pivot strictement à droite du précédent, zéros sous les pivots);
4. lire la compatibilité, puis résoudre de la dernière équation non nulle vers la première (substitution rétrograde).

Méthode de Gauss–Jordan: prolonger l'algorithme en divisant chaque ligne par son pivot ($L_p\leftarrow L_p/a_{pc}$), puis en éliminant de bas en haut les coefficients situés au-dessus de chaque pivot. On obtient la forme échelonnée réduite (pivots égaux à $1$, seuls non nuls dans leur colonne), qui est unique (théorème 1.2); les variables pivots s'y lisent directement en fonction des variables libres.

Théorème 1.3 d'existence et d'unicité, lu sur une forme échelonnée $(E\mid \mathbf{c})$ de la matrice augmentée: le système est compatible si et seulement si la colonne des seconds membres n'est pas une colonne pivot; un système compatible a une solution unique s'il n'y a aucune variable libre, une infinité dès qu'il y en a une. Un système linéaire a donc $0$, $1$ ou une infinité de solutions.

Structure des solutions d'un système compatible (proposition 1.4 et (1.3)): une solution particulière $\mathbf{p}$ plus toutes les solutions $\mathbf{h}$ du système homogène associé, avec un paramètre par variable libre. Le rang ne dépend pas de la suite d'opérations choisie.

Nombre d'opérations arithmétiques pour un système carré $n\times n$: doubler $n$ multiplie le coût par huit. En arithmétique flottante, on applique la règle du pivot partiel pour limiter la propagation des erreurs d'arrondi.

Chapitre 2 – Calcul matriciel et matrices inversibles

Produit (2.1) de $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ par $B\in {\mathcal{M}}_{n\times p}(\mathbb{R})$, défini seulement si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$; $A\mathbf{x}$ est la combinaison linéaire des colonnes ${\mathbf{a}}_j$ de $A$ à coefficients $x_j$ (2.2), et les colonnes de $AB$ sont les produits de $A$ par les colonnes ${\mathbf{b}}_j$ de $B$ (proposition 2.2).

Règles du produit (théorème 2.3), valables dès que les tailles sont compatibles. Le produit n'est ni commutatif ni intègre: en général $AB\ne BA$, et $AB=0$ n'entraîne pas $A=0$ ou $B=0$; en particulier $(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2$.

Transposée (lignes et colonnes échangées) et ses règles; la transposition renverse l'ordre des facteurs (théorème 2.4). $A$ est symétrique si $A^{\mathsf{T}}=A$, antisymétrique si $A^{\mathsf{T}}=-A$; pour toute $A$, les matrices $A^{\mathsf{T}}A$ et $A{A}^{\mathsf{T}}$ sont symétriques.

Inverse d'une matrice $2\times 2$ (théorème 2.9, (2.3)): échanger les coefficients diagonaux, changer le signe des deux autres, diviser par le déterminant.

Définition et propriétés des inverses (théorèmes 2.7 et 2.8), pour $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ inversibles et $\lambda \ne 0$; l'inverse est unique et l'inversion renverse l'ordre des facteurs. Une matrice carrée non inversible est dite singulière.

Théorème d'inversibilité (théorème 2.10, complété au théorème 5.12): pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, les affirmations suivantes sont équivalentes:

1. $A$ est inversible;
2. pour tout $\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^n$, le système $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ possède une solution unique;
3. le système homogène $A\mathbf{x}=0$ n'a que la solution nulle, c'est-à-dire $\ker A=\{0\}$;
4. la forme échelonnée réduite de $A$ est $I_n$, c'est-à-dire $\mathrm{rg}A=n$;
5. $A$ est un produit de matrices élémentaires;
6. $\det A\ne 0$ (chapitre 3);
7. les colonnes (ou les lignes) de $A$ forment une base de ${\mathbb{R}}^n$ (chapitre 5).

Calcul de l'inverse (2.4): on réduit la matrice augmentée $(A\mid I_n)$ jusqu'à obtenir $I_n$ à gauche; si une ligne nulle apparaît dans le bloc de gauche, $A$ n'est pas inversible. Pour résoudre un seul système, l'élimination directe est plus économique que le calcul de $A^{-1}$.

Matrices élémentaires (une opération appliquée à $I_m$): une opération sur les lignes de $A$ est un produit à gauche par la matrice élémentaire correspondante (théorème 2.5). Elles sont inversibles, avec $P_{ij}^{-1}=P_{ij}$, $D_i(\lambda {)}^{-1}=D_i({\lambda }^{-1})$ et $T_{ij}(\lambda {)}^{-1}=T_{ij}(-\lambda )$ (proposition 2.6). Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si sa diagonale ne contient aucun zéro, et son inverse est triangulaire du même type (théorème 2.11).

Chapitre 3 – Déterminants

Déterminants d'ordre 2 (3.2) et d'ordre 3 (3.3), ce dernier par la règle de Sarrus: recopier les deux premières colonnes à droite, additionner les produits des trois diagonales descendantes, soustraire ceux des trois diagonales montantes. La règle de Sarrus ne s'étend pas à l'ordre 4.

Cofacteur $C_{ij}$ (mineur $M_{ij}$: déterminant de la matrice privée de la ligne $i$ et de la colonne $j$, signe en damier commençant par $+$) et développement de Laplace selon une ligne $i$ ou une colonne $j$ quelconques (théorème 3.2, (3.6)); on choisit la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros.

Effet des opérations élémentaires (théorème 3.5) et alternance (corollaire 3.6); le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne, mais $\det (A+B)\ne \det A+\det B$ en général. Les mêmes règles valent pour les colonnes puisque $\det A^{\mathsf{T}}=\det A$ (théorème 3.4). Méthode pratique: réduire à une forme triangulaire en notant les échanges et les facteurs.

Déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale (théorème 3.3) et de la transposée.

Déterminant d'un produit (théorème 3.8, (3.7)) et corollaires (théorème 3.9), pour $A,B\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $k\in \mathbb{R}$, $P$ inversible. Critère d'inversibilité (théorème 3.7): $A$ est inversible si et seulement si $\det A\ne 0$.

Règle de Cramer (théorème 3.10, (3.8)) pour $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ avec $A$ carrée inversible: $A_j$ est la matrice $A$ dont la $j$-ième colonne est remplacée par $\mathbf{b}$. Précieuse pour les formules littérales, mais Gauss reste la méthode numérique.

Formule de la comatrice (théorème 3.11, (3.9)–(3.10)): $\mathrm{com}(A)=(C_{ij})$ est la matrice des cofacteurs et sa transposée la matrice adjointe. Pour $n=2$, on retrouve (2.3).

Déterminant de Vandermonde (théorème 3.12, (3.11)), non nul si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts: c'est l'unicité du polynôme d'interpolation.

Aire signée du parallélogramme engendré par $\mathbf{u},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^2$ (proposition 3.1, (3.4); $\theta$ angle orienté de $\mathbf{u}$ vers $\mathbf{v}$), positive si la base est directe; en dimension 3, $|\det (\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})|$ est le volume du parallélépipède. À droite, équation de la droite passant par $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ (3.12).

Chapitre 4 – Espaces vectoriels, bases et dimension

Les huit axiomes d'un espace vectoriel réel $E$ (addition et multiplication par un scalaire à valeurs dans $E$), pour tous $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in E$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Exemples: ${\mathbb{R}}^n$, ${\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, ${\mathbb{R}}_n[x]$, $\mathcal{F}(I,\mathbb{R})$, les solutions d'un système ou d'une équation différentielle linéaire homogène. Conséquences (proposition 4.1): $0\mathbf{v}=0$, $\lambda 0=0$, $(-1)\mathbf{v}=-\mathbf{v}$, et $\lambda \mathbf{v}=0$ implique $\lambda =0$ ou $\mathbf{v}=0$.

Critère de sous-espace vectoriel (théorème 4.2): non vide et stable par combinaison linéaire. Une intersection de sous-espaces est un sous-espace (proposition 4.3); une réunion en général non.

Sous-espace engendré (4.1): le plus petit sous-espace contenant les ${\mathbf{v}}_i$ (théorème 4.4); la famille est génératrice de $E$ si $\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)=E$. Décider l'appartenance revient à résoudre le système (4.2) dont les colonnes sont les ${\mathbf{v}}_i$.

Famille libre (linéairement indépendante) (4.3); sinon la famille est liée, ce qui équivaut, pour $k\ge 2$, à ce que l'un des vecteurs soit combinaison linéaire des autres (théorème 4.5). Une famille contenant $0$ ou deux vecteurs égaux est liée; deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires; toute sous-famille d'une famille libre est libre (proposition 4.6). Dans ${\mathbb{R}}^n$: $k$ vecteurs sont libres si et seulement si la matrice qu'ils forment en colonnes a rang $k$; $n$ vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$ sont libres si et seulement si leur déterminant est non nul. La famille des monômes $(1,x,\dots ,x^n)$ est libre (proposition 4.7).

Base et unicité de la décomposition (théorème 4.8, (4.4)). Toutes les bases d'un espace de dimension finie ont le même nombre d'éléments, la dimension $\dim E$ (théorème 4.11); $\dim \{0\}=0$.

Dimensions usuelles (4.5): bases canoniques $({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)$, matrices $E_{ij}$ à une seule entrée non nulle, monômes $(1,x,\dots ,x^n)$.

Lemme d'échange de Steinitz (théorème 4.10) et sous-espaces (théorème 4.12). Théorème 4.9 de la base extraite et de la base incomplète: de toute famille génératrice finie on peut extraire une base, et toute famille libre peut être complétée en une base par des vecteurs d'une famille génératrice.

Familles de $n$ vecteurs en dimension $n$ (théorème 4.13): il suffit de vérifier l'une des deux propriétés.

Coordonnées dans la base $\mathcal{B}$ et linéarité de l'application coordonnées $E\to {\mathbb{R}}^n$ (théorème 4.14, (4.6)), qui est bijective: une famille de $E$ est libre, génératrice ou une base si et seulement si la famille de ses vecteurs de coordonnées l'est dans ${\mathbb{R}}^n$. Base de Lagrange de ${\mathbb{R}}_n[x]$ (proposition 4.16, (4.7)): $L_i(x)={\prod }_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$, dans laquelle les coordonnées de $p$ sont ses valeurs $p(x_i)$.

Chapitre 5 – Noyau, image et rang

Noyau (5.1) et image (5.3) de $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$ de colonnes ${\mathbf{c}}_j$; ce sont des sous-espaces (propositions 5.1 et 5.4). L'image est aussi l'espace des colonnes; l'espace des lignes est $\mathrm{Im}{A}^{\mathsf{T}}\subset {\mathbb{R}}^n$. Le système $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ est compatible si et seulement si $\mathbf{b}\in \mathrm{Im}A$; $\ker A=\{0\}$ si et seulement si les colonnes de $A$ sont libres (théorème 5.3).

Calcul pratique des trois sous-espaces (théorèmes 5.2, 5.6 et 5.7); les opérations sur les lignes conservent $\ker A$ et l'espace des lignes, ainsi que les relations linéaires entre colonnes (théorème 5.5), mais pas l'image.

Rang (théorèmes 5.8 et 5.9): nombre maximal de colonnes, ou de lignes, indépendantes. Rang d'un produit (théorème 5.10, (5.4)); si $A$ est inversible, $\mathrm{rg}(AB)=\mathrm{rg}B$, et si $B$ est inversible, $\mathrm{rg}(AB)=\mathrm{rg}A$.

Théorème du rang (théorème 5.11, (5.5)). Conséquences (théorème 5.13): si $n>m$, $\dim \ker A\ge n-m>0$ et un système compatible a une infinité de solutions; si $n<m$, $\mathrm{Im}A\ne {\mathbb{R}}^m$ et certains seconds membres ne donnent aucune solution. Pour $A$ carrée: inversible $⟺\det A\ne 0⟺\mathrm{rg}A=n⟺\ker A=\{0\}⟺\mathrm{Im}A={\mathbb{R}}^n⟺$ les colonnes (ou les lignes) forment une base de ${\mathbb{R}}^n$ (théorème 5.12).

Solutions d'un système compatible $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ (théorème 5.14, (5.6)): sous-espace affine de dimension $n-\mathrm{rg}A$ passant par une solution particulière ${\mathbf{x}}_p$; solution unique si et seulement si $\ker A=\{0\}$.

Somme de deux sous-espaces (5.7), engendrée par la réunion de familles génératrices de $F$ et de $G$ (proposition 5.15), et formule de Grassmann (théorème 5.16, (5.8)). Calcul pratique: une base de $F+G$ s'extrait de la réunion des bases (colonnes pivots); $F\cap G$ s'obtient en résolvant $\sum {\lambda }_i{\mathbf{f}}_i=\sum {\mu }_j{\mathbf{g}}_j$, ou, si $F$ et $G$ sont donnés par des équations, en réunissant les équations.

Caractérisations d'une somme directe (théorème 5.17): tout vecteur de $F+G$ s'écrit de manière unique $\mathbf{f}+\mathbf{g}$. $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ ($E=F\oplus G$) si et seulement si $F\cap G=\{0\}$ et $\dim F+\dim G=\dim E$. Application (théorème 5.18): la matrice d'incidence d'un graphe à $n$ nœuds, $m$ arêtes et $c$ composantes connexes a pour rang $n-c$, et $\dim \ker A^{\mathsf{T}}=m-n+c$ est le nombre de mailles indépendantes.

Chapitre 6 – Applications linéaires et changements de base

Application linéaire $f:E\to F$ (6.1) et premières propriétés (proposition 6.1, (6.2)); $f$ est déterminée par les images des vecteurs d'une base, et l'image d'un sous-espace $\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_i)$ est $\mathrm{Vect}(f({\mathbf{v}}_i))$. Vocabulaire: forme linéaire ($F=\mathbb{R}$), endomorphisme ($F=E$), isomorphisme ($f$ bijective, $E\cong F$), automorphisme.

Applications linéaires de ${\mathbb{R}}^n$ dans ${\mathbb{R}}^m$ (théorème 6.2, (6.3)): la matrice canonique a pour colonnes les images des vecteurs de la base canonique. Exemple: rotation d'angle $\theta$ du plan, $R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ (6.4).

Injectivité et noyau (théorème 6.4), théorème du rang (théorème 6.5, (6.5)) pour $E$ de dimension finie, avec $\mathrm{rg}f=\dim \mathrm{Im}f$. Si $\dim E=\dim F$ est finie, injective $⟺$ surjective $⟺$ bijective (corollaire 6.6); si $\dim E>\dim F$, $f$ n'est jamais injective; si $\dim E<\dim F$, jamais surjective.

Matrice de $f:E\to F$ dans les bases $\mathcal{B}=({\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n)$ de $E$ et $\mathcal{C}$ de $F$ (6.6): la colonne $j$ contient les coordonnées de $f({\mathbf{b}}_j)$ dans $\mathcal{C}$; elle calcule les images en coordonnées (théorème 6.8, (6.7)). Pour un endomorphisme on écrit ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)$. Le rang de $f$ est le rang de n'importe laquelle de ses matrices.

Matrice d'une composée (théorème 6.9, (6.8)): composer, c'est multiplier les matrices, dans le même ordre; la matrice de la réciproque d'un isomorphisme est l'inverse.

Matrice de passage de $\mathcal{B}$ à ${\mathcal{B}}^{\prime }$ (6.9): colonnes = nouveaux vecteurs exprimés dans l'ancienne base, soit ${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },\mathcal{B}}({\mathrm{id}}_E)$; changement de coordonnées (théorème 6.10, (6.10)), les nouvelles coordonnées étant $[\mathbf{x}{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P^{-1}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$.

Formule de changement de base (théorème 6.11, (6.11)–(6.12)), avec $A={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)$, $A^{\prime }={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },{\mathcal{C}}^{\prime }}(f)$, $P=P_{\mathcal{B}\to {\mathcal{B}}^{\prime }}$ et $Q=P_{\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }}$.

Matrices semblables (même endomorphisme dans deux bases) et invariants de similitude (théorème 6.13, complété par la proposition 9.6 pour le polynôme caractéristique); la trace $\mathrm{tr}A={\sum }_i{a}_{ii}$ vérifie $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ (lemme 6.12) et $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}A+\mathrm{tr}B$.

Chapitre 7 – Produit scalaire, orthogonalité et projections

Produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^n$ (7.1), symétrique, bilinéaire et défini positif (proposition 7.1); norme et distance. Un produit scalaire sur un espace vectoriel quelconque est une forme symétrique, bilinéaire, définie positive; l'espace est alors euclidien. Développement: $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+2⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩+\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2$ (7.2).

Inégalité de Cauchy–Schwarz (théorème 7.2, (7.3); égalité si et seulement si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont colinéaires), inégalité triangulaire (théorème 7.3) et angle entre deux vecteurs non nuls (7.4). Identité du parallélogramme (proposition 7.4): $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}{\Vert }^2=2(\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2)$.

Orthogonalité et théorème de Pythagore (théorème 7.5), qui s'étend à une famille deux à deux orthogonale. Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre (théorème 7.6).

Base orthonormée $({\mathbf{q}}_1,\dots ,{\mathbf{q}}_k)$ d'un sous-espace $F$ et coordonnées d'un vecteur $\mathbf{v}\in F$ (théorème 7.7, (7.5)): les coordonnées sont des produits scalaires, sans système à résoudre.

Matrice orthogonale $Q\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ (colonnes, et donc lignes, orthonormées) et propriétés (théorème 7.8): conservation des produits scalaires, normes, angles et distances; le produit de deux matrices orthogonales est orthogonal. Pour $Q\in {\mathcal{M}}_{n\times k}(\mathbb{R})$ rectangulaire, $Q^{\mathsf{T}}Q=I_k$ signifie seulement que les colonnes sont orthonormées (7.6).

Orthogonal d'un sous-espace et propriétés (théorème 7.9); pour trouver $F^{\perp }$, on résout $A^{\mathsf{T}}\mathbf{x}=0$ où les colonnes de $A$ engendrent $F$. Tout vecteur s'écrit de manière unique $\mathbf{v}=\mathbf{p}+\mathbf{r}$ avec $\mathbf{p}\in F$ et $\mathbf{r}\in F^{\perp }$: $\mathbf{p}={\mathrm{proj}}_F(\mathbf{v})$ est la projection orthogonale, $\mathbf{r}$ le résidu.

Projection orthogonale sur la droite $D=\mathrm{Vect}(\mathbf{u})$ (théorème 7.10, (7.7)) et sur un sous-espace $F$ muni d'une base orthonormée $({\mathbf{q}}_i)$ ou seulement orthogonale $({\mathbf{u}}_i)$ (théorème 7.11, (7.8)). Meilleure approximation (théorème 7.12): ${\mathrm{proj}}_F(\mathbf{v})$ est l'unique point de $F$ le plus proche de $\mathbf{v}$, et $d(\mathbf{v},F)=\Vert \mathbf{v}-{\mathrm{proj}}_F(\mathbf{v})\Vert$.

Matrice de la projection orthogonale sur $F$ (théorème 7.13): $Q$ a pour colonnes une base orthonormée de $F$, $A$ une base quelconque (alors $A^{\mathsf{T}}A$ est inversible).

Procédé de Gram–Schmidt (théorème 7.14, (7.9)), à partir d'une famille libre $({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)$:

1. poser ${\mathbf{u}}_1={\mathbf{v}}_1$;
2. pour $j=2,\dots ,k$, retrancher à ${\mathbf{v}}_j$ sa projection sur les vecteurs déjà construits: ${\mathbf{u}}_j={\mathbf{v}}_j-\sum _{i=1}^{j-1}\frac{⟨{\mathbf{v}}_j,{\mathbf{u}}_i⟩}{\Vert {\mathbf{u}}_i{\Vert }^2}{\mathbf{u}}_i$;
3. normaliser: ${\mathbf{q}}_i={\mathbf{u}}_i/\Vert {\mathbf{u}}_i\Vert$.

La famille $({\mathbf{u}}_i)$ est orthogonale, $({\mathbf{q}}_i)$ orthonormée, et $\mathrm{Vect}({\mathbf{q}}_1,\dots ,{\mathbf{q}}_j)=\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_j)$ pour tout $j$.

Factorisation QR (théorème 7.15) d'une matrice $A\in {\mathcal{M}}_{n\times k}(\mathbb{R})$ à colonnes indépendantes: $Q$ contient les vecteurs de Gram–Schmidt, $R$ les coefficients $r_{ij}=⟨{\mathbf{v}}_j,{\mathbf{q}}_i⟩$ ($i\le j$).

Équations normales (théorème 7.16, (7.10)): $\hat{\mathbf{x}}$ minimise $\Vert \mathbf{b}-A\mathbf{x}\Vert$ (solution au sens des moindres carrés d'un système incompatible $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$); elles ont toujours une solution, unique si les colonnes de $A$ sont indépendantes (théorème 7.17). Le résidu $\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}$ est orthogonal à $\mathrm{Im}A$.

Droite de régression (théorème 7.18, (7.11)) de $m\ge 2$ points $(x_i,y_i)$ d'abscisses non toutes égales, $\bar{x}$ et $\bar{y}$ étant les moyennes; c'est la solution des équations normales pour $A=(1\mid \mathbf{x})$, et la droite passe par le point moyen $(\bar{x},\bar{y})$. Tout modèle linéaire en ses paramètres (polynôme, combinaison de fonctions données) se traite de même.

Chapitre 8 – Géométrie vectorielle de l'espace

Produit vectoriel de $\mathbf{u},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^3$ (8.2), dans un repère orthonormé direct. Propriétés (théorème 8.1): antisymétrie $\mathbf{v}\wedge \mathbf{u}=-\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$ (donc $\mathbf{u}\wedge \mathbf{u}=0$), bilinéarité, $\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}$ orthogonal à $\mathbf{u}$ et à $\mathbf{v}$, orienté par la règle de la main droite; $\mathbf{u}\wedge \mathbf{v}=0$ si et seulement si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont colinéaires. Il n'est ni commutatif ni associatif.

Identité de Lagrange et norme du produit vectoriel (théorème 8.2, (8.3)–(8.4); $\theta \in [0,\pi ]$ angle entre $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$), formule du double produit vectoriel (8.6). Aires (8.5): parallélogramme $\Vert \mathbf{u}\wedge \mathbf{v}\Vert$, triangle $ABC$: $\frac{1}{2}\Vert \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\Vert$.

Produit mixte et déterminant (théorème 8.3, (8.7)), volumes (8.8). Le produit mixte est invariant par permutation circulaire, change de signe si l'on échange deux vecteurs, et s'annule si et seulement si $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$ sont coplanaires.

Représentation paramétrique d'une droite passant par $A$ et dirigée par $\mathbf{u}=(a,b,c)\ne 0$ (8.9), équivalente à deux équations cartésiennes. Positions relatives de ${\mathcal{D}}_1=A+s\mathbf{u}$ et ${\mathcal{D}}_2=B+t\mathbf{v}$: parallèles si $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ sont colinéaires (confondues si de plus $B\in {\mathcal{D}}_1$); sinon sécantes ou gauches selon que le produit mixte est nul ou non (théorème 8.4).

Équation cartésienne du plan passant par $A$ et de vecteur normal $\mathbf{n}\ne 0$ (théorème 8.7, (8.12)), obtenu à partir de deux vecteurs directeurs $\mathbf{u},\mathbf{v}$ non colinéaires par produit vectoriel; réciproquement toute équation $ax+by+cz=d$ avec $(a,b,c)\ne (0,0,0)$ définit un plan de normale $(a,b,c)$. Deux plans sont parallèles si leurs normales sont colinéaires, perpendiculaires si ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$.

Distances (théorèmes 8.5, 8.6 et 8.8, (8.10), (8.11), (8.14), (8.15)); la distance entre deux droites non parallèles est nulle si et seulement si elles sont sécantes. Deux droites parallèles sont à la distance $d(B,{\mathcal{D}}_1)$.

Angles (8.13): $\phi \in [0,\pi /2]$ entre deux plans de normales ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$; $\alpha \in [0,\pi /2]$ entre une droite de direction $\mathbf{u}$ et un plan de normale $\mathbf{n}$ (complémentaire de l'angle aigu entre $\mathbf{u}$ et $\mathbf{n}$); $\theta \in [0,\pi ]$ entre deux vecteurs (8.1); l'angle entre deux droites est l'angle aigu, obtenu avec $|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|$ au numérateur.

Moment par rapport à $O$ d'une force $\mathbf{F}$ appliquée en $P$ (8.16), de norme «intensité × bras de levier», et vitesse d'un point d'un solide en rotation de vecteur rotation $\mathbf{\omega }$ autour d'un axe passant par $O$ (8.17).

Chapitre 9 – Valeurs propres et vecteurs propres

Valeur propre $\lambda \in \mathbb{R}$, vecteur propre $\mathbf{v}$ (9.1) et espace propre $E_{\lambda }$ (9.2), sous-espace de dimension au moins $1$ (proposition 9.1); l'ensemble des valeurs propres est le spectre $\mathrm{Sp}(A)$. Une valeur propre peut être nulle ($0\in \mathrm{Sp}(A)$ si et seulement si $A$ est singulière, proposition 9.3), un vecteur propre jamais.

Polynôme caractéristique, de degré $n$, et caractérisation des valeurs propres (théorèmes 9.4 et 9.5, (9.3)–(9.4)); au plus $n$ valeurs propres réelles. Pour $n=2$: ${\chi }_A(\lambda )={\lambda }^2-\mathrm{tr}(A)\lambda +\det A$. Marche à suivre: racines de ${\chi }_A$, puis pour chaque $\lambda$ une base de $\ker (A-\lambda I)$ par Gauss.

Trace et déterminant (9.5), les ${\lambda }_i$ étant les racines de ${\chi }_A$ comptées avec multiplicité (dans $\mathbb{C}$ si nécessaire). Les valeurs propres d'une matrice triangulaire ou diagonale sont ses coefficients diagonaux (proposition 9.2); deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres (proposition 9.6); une rotation du plan d'angle $\theta \ne 0,\pi$ n'a que des valeurs propres complexes ${\mathrm{e}}^{\pm \mathrm{i}\theta }$.

Multiplicité géométrique $m_g$ et multiplicité algébrique $m_a$ (ordre de $\lambda$ comme racine de ${\chi }_A$), et leur encadrement (théorème 9.7, (9.6)); une valeur propre simple ($m_a=1$) a toujours $m_g=1$.