Espaces vectoriels, bases et dimension · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître un espace vectoriel réel et vérifier qu'une partie en est un sous-espace vectoriel grâce au critère de stabilité par combinaison linéaire;
décrire le sous-espace engendré par une famille de vecteurs et décider, par un système linéaire, si un vecteur donné lui appartient;
tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs de $R^{n}$ , de polynômes ou de fonctions;
définir une base, démontrer que toutes les bases d'un espace de dimension finie ont le même nombre d'éléments et calculer la dimension des espaces usuels;
extraire une base d'une famille génératrice, compléter une famille libre en une base et calculer les coordonnées d'un vecteur dans une base;
appliquer ces notions aux solutions d'une équation différentielle linéaire, aux signaux échantillonnés et à l'interpolation polynomiale.

Une même structure, mille visages

Les trois premiers chapitres ont travaillé dans $R^{n}$ : on y additionne des $n$ -uplets composante par composante et on les multiplie par des nombres réels. Mais ces deux opérations, et les règles qu'elles vérifient, se rencontrent bien au-delà des colonnes de nombres.

Polynômes. La somme de deux polynômes et le produit d'un polynôme par un réel sont des polynômes; $(p + q) (x) = p (x) + q (x)$ et $(λ p) (x) = λ p (x)$ .
Matrices. Les matrices $m \times n$ s'additionnent terme à terme et se multiplient par un scalaire (chapitre 2), avec les mêmes règles que les vecteurs.
Fonctions. Les fonctions $f : I \to R$ définies sur un intervalle $I$ s'additionnent et se multiplient par des constantes point par point.
Signaux échantillonnés. Un signal audio numérisé à 44,1 kHz pendant une seconde est un vecteur de $R^{44100}$ : mélanger deux pistes, c'est additionner deux vecteurs; régler le volume, c'est multiplier par un scalaire.
Solutions d'une équation différentielle linéaire. Si $y_{1}$ et $y_{2}$ vérifient $y^{''} + y = 0$ , alors $α y_{1} + β y_{2}$ aussi, car la dérivation est linéaire. L'ensemble des solutions se comporte donc comme $R^{n}$ , alors qu'il s'agit de fonctions.

Plutôt que de redémontrer les mêmes propriétés dans chaque contexte, on isole ce qui les fait fonctionner: une liste d'axiomes, la définition d'espace vectoriel. Tout théorème prouvé à partir de ces axiomes vaut alors d'un seul coup pour $R^{n}$ , les polynômes, les matrices, les signaux et les solutions d'équations différentielles. C'est le premier grand pas d'abstraction du cours, et sa récompense est immédiate: les notions de base et de dimension, introduites dans ce chapitre, donnent un sens précis à des phrases comme «l'équation $y^{''} + y = 0$ a deux degrés de liberté» ou «un polynôme de degré au plus 3 est déterminé par 4 nombres».

Espaces vectoriels et sous-espaces

La définition axiomatique

Les axiomes 1 à 4 disent que $(E, +)$ est un groupe commutatif; les axiomes 5 à 8 règlent la compatibilité entre les deux opérations. Rien n'est dit sur la nature des vecteurs: un vecteur est simplement un élément d'un ensemble où ces huit règles sont vraies.

Exemple 4.1 · Les espaces vectoriels du cours

(a) $R^{n}$ , avec $(x_{1}, \dots, x_{n}) + (y_{1}, \dots, y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n})$ et $λ (x_{1}, \dots, x_{n}) = (λ x_{1}, \dots, λ x_{n})$ . Les huit axiomes se vérifient composante par composante à partir des règles de calcul dans $R$ ; le vecteur nul est $(0, \dots, 0)$ .

(b) $M_{m \times n} (R)$ , l'ensemble des matrices réelles à $m$ lignes et $n$ colonnes, avec l'addition et la multiplication par un scalaire du chapitre 2. Le vecteur nul est la matrice nulle. Comme une matrice $m \times n$ n'est qu'une façon de ranger $mn$ nombres, cet espace «ressemble» à $R^{mn}$ ; nous préciserons ce «ressemble» à la fin du chapitre.

(c) $R [x]$ , l'ensemble des polynômes à coefficients réels, et $R_{n} [x]$ , l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ (le polynôme nul compris). La somme de deux polynômes de degré au plus $n$ est de degré au plus $n$ , et de même pour $λ p$ : les opérations restent bien dans $R_{n} [x]$ .

(d) $F (I, R)$ , l'ensemble des fonctions d'un intervalle $I$ dans $R$ , avec $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ et $(λ f) (x) = λ f (x)$ . Le vecteur nul est la fonction identiquement nulle et l'opposé de $f$ est $x \mapsto - f (x)$ . Les axiomes se vérifient «point par point»: par exemple, $(f + g) (x) = f (x) + g (x) = g (x) + f (x) = (g + f) (x)$ pour tout $x$ , donc $f + g = g + f$ .

(e) L'ensemble des suites réelles $(u_{n})_{n \in N}$ , avec les opérations terme à terme. C'est le cas particulier $I = N$ du précédent.

Quelques règles de calcul «évidentes» ne figurent pas parmi les axiomes: elles s'en déduisent, et c'est un bon exercice de manipulation des axiomes que de les démontrer.

Démonstration. 1. Par l'axiome 6, $0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v$ . En ajoutant l'opposé de $0 v$ aux deux membres (axiomes 2, 3, 4), il reste $0 = 0 v$ . De même, $λ 0 = λ (0 + 0) = λ 0 + λ 0$ par l'axiome 5, d'où $λ 0 = 0$ .

Par les axiomes 8 et 6 puis le point 1, $v + (- 1) v = 1 v + (- 1) v = (1 + (- 1)) v = 0 v = 0$ . Le vecteur $(- 1) v$ est donc un opposé de $v$ . Or l'opposé est unique: si $v + a = 0$ et $v + b = 0$ , alors $a = a + (v + b) = (a + v) + b = b$ . Ainsi $(- 1) v = - v$ .
Si $λ \neq = 0$ , on multiplie $λ v = 0$ par $1/ λ$ : $v = 1 v = (\frac{1}{λ} λ) v = \frac{1}{λ} (λ v) = \frac{1}{λ} 0 = 0$ par les axiomes 8, 7 et le point 1. $□$

Sous-espaces vectoriels

En pratique, on rencontre rarement un espace vectoriel «nouveau»: on rencontre des parties d'un espace connu qui sont elles-mêmes stables par les opérations. Le plan d'équation $x + 2 y - z = 0$ dans $R^{3}$ , les polynômes pairs dans $R [x]$ , les fonctions continues dans $F (I, R)$ en sont des exemples.

Vérifier huit axiomes à chaque fois serait fastidieux. Heureusement, les axiomes qui portent sur des égalités (1, 2, 5, 6, 7, 8) sont vrais dans $F$ dès qu'ils le sont dans $E$ : une égalité vraie pour tous les vecteurs de $E$ l'est en particulier pour ceux de $F$ . Seuls comptent le fait que les opérations restent dans $F$ et la présence du vecteur nul et des opposés.

Démonstration. Si $F$ est un sous-espace vectoriel, il contient son vecteur nul, donc n'est pas vide, et les opérations sont à valeurs dans $F$ , donc $λ u \in F$ , $μ v \in F$ et leur somme aussi.

Réciproquement, supposons 1 et 2. Prenons $u \in F$ (possible car $F \neq = \emptyset$ ). Avec $λ = μ = 0$ et $v = u$ , la condition 2 donne $0 u + 0 u = 0 \in F$ (proposition 4.1): l'axiome 3 est satisfait dans $F$ . Avec $λ = - 1$ et $μ = 0$ , on obtient $(- 1) u = - u \in F$ : l'axiome 4 aussi. Avec $λ = μ = 1$ , $u + v \in F$ ; avec $μ = 0$ , $λ u \in F$ : les deux opérations sont bien définies sur $F$ . Les six axiomes restants sont des identités vraies dans $E$ , donc dans $F$ . $□$

Exemple 4.2 · Sous-espaces et contre-exemples

(a) Le plan $P = {(x, y, z) \in R^{3} : x + 2 y - z = 0}$ est un sous-espace de $R^{3}$ . On a $0 \in P$ car $0 + 0 - 0 = 0$ . Si $u = (x, y, z)$ et $v = (x^{'}, y^{'}, z^{'})$ sont dans $P$ , alors $λ u + μ v = (λ x + μ x^{'}, λ y + μ y^{'}, λ z + μ z^{'})$ vérifie

(λ x + μ x^{'}) + 2 (λ y + μ y^{'}) - (λ z + μ z^{'}) = λ (x + 2 y - z) + μ (x^{'} + 2 y^{'} - z^{'}) = 0.

Le même calcul montre plus généralement que l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène $A x = 0$ est un sous-espace de $R^{n}$ : $A (λ u + μ v) = λ A u + μ A v = 0$ . Nous l'appellerons le noyau de $A$ au chapitre 5.

(b) Les polynômes pairs ${p \in R [x] : p (- x) = p (x)}$ forment un sous-espace de $R [x]$ : le polynôme nul est pair, et si $p$ et $q$ le sont, $(λ p + μ q) (- x) = λ p (- x) + μ q (- x) = λ p (x) + μ q (x)$ .

(c) Les fonctions continues $C (I, R)$ forment un sous-espace de $F (I, R)$ , car une combinaison linéaire de fonctions continues est continue (cours d'analyse). De même pour les fonctions dérivables, ou les fonctions vérifiant $f (0) = 0$ .

(d) Contre-exemple: une droite qui ne passe pas par l'origine. $D = {(x, y) \in R^{2} : x + y = 1}$ n'est pas un sous-espace de $R^{2}$ , puisque $(0, 0) \in / D$ . On peut aussi remarquer que $(1, 0)$ et $(0, 1)$ sont dans $D$ mais que leur somme $(1, 1)$ n'y est pas.

(e) Contre-exemple: $Z^{2}$ , l'ensemble des points à coordonnées entières, contient $0$ et est stable par addition, mais pas par multiplication par un scalaire: $\frac{1}{2} (1, 0) = (\frac{1}{2}, 0) \in / Z^{2}$ .

(f) Contre-exemple: le cercle ${(x, y) : x^{2} + y^{2} = 1}$ ne contient pas l'origine. Plus généralement, une condition non linéaire (carré, produit de coordonnées, inégalité) définit presque toujours une partie qui n'est pas un sous-espace: ${(x, y) : x y = 0}$ , réunion des deux axes, contient $(1, 0)$ et $(0, 1)$ mais pas leur somme.

Figure 4.1. Les sous-espaces vectoriels de ℝ³ sont le sous-espace nul réduit à l'origine, les droites passant par l'origine, les plans passant par l'origine et ℝ³ tout entier. Une droite qui évite l'origine (en pointillé) n'est pas un sous-espace: elle ne contient pas 0 et n'est pas stable par addition.

Démonstration. Le vecteur nul appartient à $F$ et à $G$ , donc à $F \cap G$ . Si $u, v \in F \cap G$ , alors $λ u + μ v$ appartient à $F$ (car $F$ est un sous-espace) et à $G$ (même raison), donc à $F \cap G$ . Le critère 4.2 conclut; le raisonnement est identique pour une famille quelconque de sous-espaces. $□$

Géométriquement, deux plans distincts de $R^{3}$ passant par l'origine se coupent selon une droite passant par l'origine; en termes de systèmes, l'intersection correspond à la réunion des équations, et l'ensemble des solutions d'un système homogène est l'intersection des hyperplans définis par chaque équation.

Exercice

Parmi les parties suivantes de $R^{2}$ , laquelle est un sous-espace vectoriel?

Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Combinaisons linéaires

Le nom «sous-espace engendré» est justifié par le théorème suivant, qui dit que $Vect$ est la plus économique des façons de fabriquer un sous-espace contenant des vecteurs donnés.

Démonstration. $V$ est un sous-espace. Le vecteur nul est la combinaison de coefficients tous nuls. Si $u = \sum_{i} λ_{i} v_{i}$ et $w = \sum_{i} μ_{i} v_{i}$ sont dans $V$ , alors, par les axiomes 5 à 7,

α u + β w = i = 1 \sum k (α λ_{i} + β μ_{i}) v_{i} \in V .

$V$ contient les $v_{i}$ : prendre $λ_{i} = 1$ et les autres coefficients nuls.

Minimalité. Soit $F$ un sous-espace contenant tous les $v_{i}$ . Par stabilité, $λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} \in F$ , puis $(λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2}) + λ_{3} v_{3} \in F$ , et ainsi de suite par récurrence sur $k$ : toute combinaison linéaire des $v_{i}$ est dans $F$ , c'est-à-dire $V \subseteq F$ . $□$

Dans $R^{3}$ , $Vect (v)$ est la droite dirigée par $v$ (si $v \neq = 0$ ), et $Vect (u, v)$ est le plan contenant $u$ et $v$ — sauf si $u$ et $v$ sont colinéaires, auquel cas c'est encore une droite. L'explorateur ci-dessous illustre ce phénomène dans le plan.

Explorateur du sous-espace engendré

Réglez les composantes de u et v puis les coefficients α et β: la flèche colorée est la combinaison αu + βv, construite par la règle du parallélogramme. Lorsque u et v sont colinéaires (déterminant presque nul), Vect(u, v) se réduit à une droite.

det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁

3,50

Vect(u, v)

le plan ℝ²

αu + βv

(1,00; 2,00)

u₁2,00

u₂0,50

v₁-1,00

v₂1,50

α1,00

β1,00

Décider si un vecteur est dans Vect

La question « $w$ appartient-il à $Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ ?» revient à chercher des coefficients $λ_{i}$ tels que $\sum λ_{i} v_{i} = w$ . Dans $R^{n}$ , en écrivant les vecteurs en colonnes, c'est le système linéaire

(v_{1} v_{2} \dots v_{k}) λ_{1} ⋮ λ_{k} = w, (4.2)

dont la matrice a pour colonnes les $v_{i}$ : le vecteur $w$ est dans $Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ si et seulement si ce système est compatible, ce que l'élimination de Gauss du chapitre 1 décide.

Exemple 4.3 · Appartenance à un sous-espace engendré

Dans $R^{3}$ , soient $u = (1, 2, 1)$ , $v = (2, 1, - 1)$ , $w = (4, 5, 1)$ et $w^{'} = (1, 1, 1)$ . Le vecteur $w$ est-il dans $Vect (u, v)$ ? Et $w^{'}$ ?

On résout $α u + β v = w$ , c'est-à-dire le système de matrice augmentée

121 21 - 1 451 L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100 2 - 3 - 3 4 - 3 - 3 L_{2} \leftarrow - L_{2} /3 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100210410 .

Le système est compatible: $β = 1$ , $α = 4 - 2 = 2$ , et l'on vérifie que $2 u + v = (2 + 2, 4 + 1, 2 - 1) = (4, 5, 1) = w$ . Donc $w \in Vect (u, v)$ .

Pour $w^{'}$ , les mêmes opérations sur la colonne $(1, 1, 1)$ donnent successivement $(1, - 1, 0)$ puis, après $L_{2} \leftarrow - L_{2} /3$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2}$ , la dernière ligne $0 = - \frac{1}{3}$ : le système est incompatible et $w^{'} \in / Vect (u, v)$ . Géométriquement, $Vect (u, v)$ est un plan de $R^{3}$ ; $w$ est dans ce plan, $w^{'}$ n'y est pas. On peut d'ailleurs trouver son équation: en éliminant $α$ et $β$ du système $α u + β v = (x, y, z)$ , la condition de compatibilité s'écrit $x - y + z = 0$ . On vérifie que $4 - 5 + 1 = 0$ et $1 - 1 + 1 \neq = 0$ .

Exercice

Avec $u = (1, 2, 1)$ et $v = (2, 1, - 1)$ comme dans l'exemple 4.3, pour quelle valeur de $t$ le vecteur $(3, t, 1)$ appartient-il à $Vect (u, v)$ ?

Indépendance linéaire

Familles libres et familles liées

Une famille génératrice peut contenir des vecteurs «inutiles»: dans l'exemple 4.3, $Vect (u, v, w) = Vect (u, v)$ , puisque $w = 2 u + v$ n'apporte rien de nouveau. La notion d'indépendance linéaire formalise l'absence de redondance.

Démonstration. Supposons la famille liée: il existe $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ non tous nuls avec $\sum_{i} λ_{i} v_{i} = 0$ . Choisissons un indice $j$ tel que $λ_{j} \neq = 0$ . Alors

v_{j} = - \frac{1}{λ _{j}} i \neq = j \sum λ_{i} v_{i} = i \neq = j \sum (- \frac{λ _{i}}{λ _{j}}) v_{i},

et $v_{j}$ est combinaison linéaire des autres. Réciproquement, si $v_{j} = \sum_{i \neq = j} μ_{i} v_{i}$ , alors $\sum_{i \neq = j} μ_{i} v_{i} + (- 1) v_{j} = 0$ est une combinaison nulle dont le coefficient de $v_{j}$ vaut $- 1 \neq = 0$ : la famille est liée. $□$

Figure 4.2. Dans le plan, u = (3, 1) et v = (1, 2) ne sont pas colinéaires: la famille (u, v) est libre. Le vecteur w = (5, 5) s'obtient par la règle du parallélogramme comme u + 2v, donc (u, v, w) est liée: la relation u + 2v − w = 0 a des coefficients non nuls.

Attention à la formulation du théorème: il affirme que l'un des vecteurs (au moins) est combinaison des autres, pas que chacun l'est. Dans la famille $((1, 0), (2, 0), (0, 1))$ de $R^{2}$ , le premier vecteur est la moitié du second, mais le troisième n'est combinaison d'aucun des deux autres.

Démonstration. 1. Si $v_{j} = 0$ , la combinaison $1 \cdot v_{j} = 0$ a un coefficient non nul. Si $v_{i} = v_{j}$ avec $i \neq = j$ , alors $v_{i} - v_{j} = 0$ .

Pour un vecteur: $λ v = 0$ avec $λ \neq = 0$ force $v = 0$ (proposition 4.1). Pour deux vecteurs, c'est le théorème 4.5 avec $k = 2$ .
Soit $(v_{1}, \dots, v_{k})$ libre et $(v_{i_{1}}, \dots, v_{i_{m}})$ une sous-famille. Une combinaison nulle de la sous-famille est aussi une combinaison nulle de la famille entière (compléter par des coefficients nuls), donc tous ses coefficients sont nuls. La seconde affirmation est la contraposée de la première. $□$

Tester l'indépendance

Dans $R^{n}$ , l'équation (4.3) est le système linéaire homogène $A λ = 0$ , où $A$ est la matrice dont les colonnes sont les $v_{i}$ . La famille est libre si et seulement si ce système n'a que la solution nulle, ce qui, d'après le chapitre 1, équivaut à: la forme échelonnée de $A$ a un pivot dans chaque colonne, c'est-à-dire $rg A = k$ . Deux cas particuliers méritent d'être retenus.

Deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires (proportionnels). Dans $R^{2}$ , $(u, v)$ est liée si et seulement si $det (u, v) = u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} = 0$ : c'est le critère utilisé par l'explorateur.
Trois vecteurs de $R^{3}$ sont liés si et seulement s'ils sont coplanaires, c'est-à-dire si et seulement si le déterminant de la matrice $3 \times 3$ qu'ils forment est nul (chapitre 3). Plus généralement, $n$ vecteurs de $R^{n}$ forment une famille libre si et seulement si leur déterminant est non nul.
Plus de $n$ vecteurs de $R^{n}$ sont toujours liés: le système homogène a plus d'inconnues que d'équations, donc des solutions non nulles (chapitre 1). Nous reverrons ce fait sous une forme plus générale au théorème 4.10.

Démonstration. Supposons $p (x) = 0$ pour tout $x \in R$ . En évaluant en $x = 0$ , on obtient $a_{0} = 0$ . La fonction $p$ est dérivable et $p^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} x + \dots + n a_{n} x^{n - 1}$ est la dérivée de la fonction nulle, donc nulle; en $x = 0$ , $a_{1} = 0$ . En dérivant $k$ fois, $p^{(k)} (0) = k! a_{k} = 0$ , d'où $a_{k} = 0$ pour tout $k$ . $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes permettant de décider si une famille $(v_{1}, v_{2}, v_{3})$ de vecteurs de $R^{4}$ est libre.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Réduire

A

à une forme échelonnée par l'élimination de Gauss

Traduire cette équation en un système linéaire homogène dont la matrice

A

a pour colonnes

v_{1}, v_{2}, v_{3}

Écrire l'équation

λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + λ_{3} v_{3} = 0

d'inconnues

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

Conclure: la famille est libre si la seule solution est

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

, liée sinon

Compter les pivots: il y en a un par colonne si et seulement si

rg A = 3

Exercice

Pour quelle valeur de $k$ la famille $((1, 1, 2), (2, 3, 1), (1, k, 5))$ de $R^{3}$ est-elle liée?

Bases et dimension

Bases

Une base réunit les deux qualités précédentes: elle engendre l'espace (rien ne manque) et elle est libre (rien n'est en trop).

Démonstration. Supposons que $(b_{i})$ soit une base. L'existence de la décomposition (4.4) est exactement le caractère générateur. Pour l'unicité, supposons $v = \sum x_{i} b_{i} = \sum y_{i} b_{i}$ . En soustrayant, $\sum (x_{i} - y_{i}) b_{i} = 0$ , et comme la famille est libre, $x_{i} - y_{i} = 0$ pour tout $i$ .

Réciproquement, si tout vecteur admet une unique décomposition, la famille est génératrice (existence). Elle est libre: le vecteur $0$ admet la décomposition à coefficients nuls, et par unicité c'est la seule, ce qui est précisément (4.3). $□$

Exemple 4.6 · Bases canoniques

(a) Dans $R^{n}$ , la famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ avec $e_{i} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$ (le $1$ en position $i$ ) est la base canonique: $(x_{1}, \dots, x_{n}) = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ , et cette écriture est visiblement unique.

(b) Dans $M_{m \times n} (R)$ , les $mn$ matrices élémentaires $E_{ij}$ (un $1$ en position $(i, j)$ , des zéros ailleurs) forment une base: toute matrice $A = (a_{ij})$ s'écrit de façon unique $A = \sum_{i, j} a_{ij} E_{ij}$ .

(c) Dans $R_{n} [x]$ , la famille $(1, x, \dots, x^{n})$ est une base: elle est génératrice par définition de $R_{n} [x]$ et libre par la proposition 4.7. Elle compte $n + 1$ éléments.

(d) Dans $R [x]$ tout entier, aucune famille finie n'est génératrice: si les polynômes $p_{1}, \dots, p_{k}$ ont un degré au plus $d$ , toute combinaison linéaire est de degré au plus $d$ , et $x^{d + 1}$ n'est pas atteint. L'espace $R [x]$ n'est pas de dimension finie; il en va de même de $F (I, R)$ . Ce chapitre se concentre sur les espaces qui possèdent une famille génératrice finie.

Une base n'est jamais unique: dans $R^{2}$ , $((2, 1), (1, 2))$ est aussi une base (déterminant $4 - 1 = 3 \neq = 0$ ), et il y en a une infinité d'autres. Ce qui ne change pas, c'est le nombre de vecteurs: c'est le théorème central du chapitre, que nous démontrons maintenant en trois étapes.

Existence de bases

Démonstration. 1. Si $G$ est libre, c'est une base. Sinon, l'un de ses vecteurs, disons $v_{j}$ , est combinaison des autres (théorème 4.5); en le retirant, on ne change pas le sous-espace engendré, car tout vecteur qui s'écrivait avec $v_{j}$ se réécrit avec les autres. La famille restante est encore génératrice et compte un vecteur de moins. On recommence: le procédé s'arrête (au plus $k - 1$ retraits), sur une famille génératrice et libre, donc une base.

Partons de $L$ et parcourons les vecteurs $v_{1}, \dots, v_{k}$ de $G$ l'un après l'autre. Si $v_{i}$ est combinaison linéaire de la famille courante, on ne l'ajoute pas; sinon, on l'ajoute. Une famille libre à laquelle on ajoute un vecteur qui n'est pas dans son sous-espace engendré reste libre: si $\sum λ_{j} u_{j} + λ v_{i} = 0$ avec $λ \neq = 0$ , on pourrait isoler $v_{i}$ , contradiction; donc $λ = 0$ , puis tous les $λ_{j}$ sont nuls par liberté. À la fin, la famille obtenue $L^{'}$ est libre, et chaque $v_{i}$ est dans $Vect (L^{'})$ (soit parce qu'on l'y a mis, soit parce qu'il était déjà combinaison des vecteurs précédents). Par le théorème 4.4, $E = Vect (G) \subseteq Vect (L^{'})$ : $L^{'}$ est génératrice, donc une base. $□$

Exemple 4.7 · Extraire une base d'une famille génératrice

Soit $F = Vect (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) \subseteq R^{3}$ avec $v_{1} = (1, 2, 1)$ , $v_{2} = (2, 4, 2)$ , $v_{3} = (1, 0, 1)$ et $v_{4} = (0, 2, 0)$ . On réduit la matrice des colonnes:

121242101020 L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100200 1 - 2 0 020 L_{2} \leftarrow - L_{2} /2 L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2} 100200010 1 - 1 0 .

Les pivots sont dans les colonnes 1 et 3: $(v_{1}, v_{3})$ est une base de $F$ , qui est donc un plan. La forme réduite se lit aussi comme un dictionnaire des relations: la colonne 2 est $2 \times$ la colonne 1 et la colonne 4 vaut colonne 1 moins colonne 3, c'est-à-dire $v_{2} = 2 v_{1}$ et $v_{4} = v_{1} - v_{3}$ , ce que l'on vérifie directement: $(1 - 1, 2 - 0, 1 - 1) = (0, 2, 0)$ .

Pour compléter $(v_{1}, v_{3})$ en une base de $R^{3}$ , on essaie $e_{1}$ : $det (v_{1}, v_{3}, e_{1}) = 2 \neq = 0$ , donc $(v_{1}, v_{3}, e_{1})$ convient. En revanche $e_{2} = \frac{1}{2} v_{4}$ appartient déjà à $F$ et ne convient pas: $det (v_{1}, v_{3}, e_{2}) = 0$ .

Le théorème de la dimension

Démonstration. Nous allons remplacer un à un les vecteurs de $G$ par ceux de $L$ , en conservant une famille génératrice: c'est le principe d'échange.

Étape 1. Comme $G$ engendre $E$ , $u_{1} = \sum_{j} α_{j} g_{j}$ . Les coefficients ne sont pas tous nuls, sinon $u_{1} = 0$ et $L$ serait liée. Quitte à renuméroter, $α_{1} \neq = 0$ , et l'on peut isoler $g_{1} = \frac{1}{α _{1}} (u_{1} - \sum_{j \geq 2} α_{j} g_{j})$ . Ainsi $g_{1} \in Vect (u_{1}, g_{2}, \dots, g_{m})$ , et par le théorème 4.4 cette nouvelle famille engendre encore $E$ .

Étape $i + 1$ . Supposons que $(u_{1}, \dots, u_{i}, g_{i + 1}, \dots, g_{m})$ engendre $E$ , avec $i < p$ . Alors $u_{i + 1} = \sum_{j \leq i} β_{j} u_{j} + \sum_{j > i} α_{j} g_{j}$ . Si tous les $α_{j}$ ( $j > i$ ) étaient nuls, $u_{i + 1}$ serait combinaison de $u_{1}, \dots, u_{i}$ et $L$ serait liée (théorème 4.5). Donc il reste au moins un $g_{j}$ à échanger — ce qui exige $i < m$ — et, quitte à renuméroter, $α_{i + 1} \neq = 0$ : on isole $g_{i + 1}$ comme à l'étape 1 et $(u_{1}, \dots, u_{i + 1}, g_{i + 2}, \dots, g_{m})$ engendre $E$ .

Si l'on avait $p > m$ , après $m$ étapes la famille $(u_{1}, \dots, u_{m})$ engendrerait $E$ , et $u_{m + 1}$ en serait combinaison linéaire: contradiction avec la liberté de $L$ . Donc $p \leq m$ . $□$

Démonstration. Soient $B$ et $B^{'}$ deux bases, de $n$ et $n^{'}$ éléments. Comme $B$ est libre et $B^{'}$ génératrice, le lemme 4.10 donne $n \leq n^{'}$ . En échangeant les rôles, $n^{'} \leq n$ . $□$

Les bases canoniques de l'exemple 4.6 donnent immédiatement:

dim R^{n} = n, dim M_{m \times n} (R) = mn, dim R_{n} [x] = n + 1. (4.5)

La dimension mesure le nombre de «degrés de liberté»: un vecteur de $R_{3} [x]$ est déterminé par 4 nombres, une matrice $2 \times 3$ par 6. Attention au décalage pour les polynômes: $R_{n} [x]$ est de dimension $n + 1$ , à cause du terme constant.

Démonstration. Toute famille libre de $F$ est une famille libre de $E$ , donc a au plus $n$ éléments (lemme 4.10 avec une base de $E$ comme famille génératrice). Choisissons une famille libre de $F$ de taille maximale, $L = (u_{1}, \dots, u_{p})$ avec $p \leq n$ (si $F = {0}$ , $p = 0$ et le résultat est clair). Elle engendre $F$ : sinon, il existerait $v \in F$ hors de $Vect (L)$ , et $(u_{1}, \dots, u_{p}, v)$ serait libre (argument de la preuve du théorème 4.9), contredisant la maximalité. Donc $L$ est une base de $F$ et $dim F = p \leq n$ .

Si $dim F = n$ , une base $L$ de $F$ est une famille libre de $E$ à $n$ éléments; par le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base de $E$ , qui a $n$ éléments: on n'a rien ajouté, $L$ est déjà une base de $E$ et $F = Vect (L) = E$ . La réciproque est évidente. $□$

Dans $R^{3}$ , les sous-espaces sont donc de dimension $0$ (l'origine), $1$ (les droites par l'origine), $2$ (les plans par l'origine) ou $3$ ( $R^{3}$ lui-même), ce que la figure 4.1 anticipait.

Démonstration. Si $F$ est libre, le sous-espace $F = Vect (F)$ a $F$ pour base, donc $dim F = n$ , donc $F = E$ par le théorème 4.12: $F$ est génératrice, et c'est une base. Si $F$ est génératrice, on peut en extraire une base (théorème 4.9), qui a $n$ éléments par le théorème 4.11: c'est $F$ tout entière, qui est donc libre et une base. Enfin, une base est libre et génératrice par définition. $□$

Exercice

Quelle est la dimension du sous-espace des matrices symétriques ( $A^{T} = A$ ) de $M_{3 \times 3} (R)$ ?

Coordonnées dans une base

Figure 4.3. Coordonnées dans une base non orthogonale du plan. Avec b₁ = (2, 1) et b₂ = (1, 2), le vecteur v = (4, 5) s'écrit v = 1·b₁ + 2·b₂: ses coordonnées dans la base B sont (1, 2), alors que ce sont (4, 5) dans la base canonique. La grille oblique engendrée par b₁ et b₂ permet de lire les coordonnées comme sur du papier quadrillé.

Dans la base canonique de $R^{n}$ , les coordonnées d'un vecteur sont ses composantes. Dans une autre base, il faut résoudre un système: pour $B = ((2, 1), (1, 2))$ et $v = (4, 5)$ , on cherche $x_{1}, x_{2}$ tels que $2 x_{1} + x_{2} = 4$ et $x_{1} + 2 x_{2} = 5$ , d'où $x_{1} = 1$ et $x_{2} = 2$ : $[v]_{B} = (1, 2)^{T}$ .

Démonstration. L'application est bien définie par l'unicité de la décomposition. Elle est injective: deux vecteurs de mêmes coordonnées sont égaux à la même combinaison des $b_{i}$ . Elle est surjective: tout $(x_{1}, \dots, x_{n})$ est le vecteur des coordonnées de $\sum x_{i} b_{i}$ . Pour (4.6), si $u = \sum x_{i} b_{i}$ et $v = \sum y_{i} b_{i}$ , alors $λ u + μ v = \sum (λ x_{i} + μ y_{i}) b_{i}$ , et par unicité les coordonnées de $λ u + μ v$ sont les $λ x_{i} + μ y_{i}$ . Enfin, par linéarité et injectivité, $\sum λ_{j} v_{j} = 0$ si et seulement si $\sum λ_{j} [v_{j}]_{B} = 0$ : les relations linéaires entre les $v_{j}$ et entre leurs vecteurs de coordonnées sont exactement les mêmes. $□$

Ce théorème est la justification rigoureuse du «ressemble» de l'exemple 4.1: tout espace vectoriel de dimension $n$ est une copie de $R^{n}$ , une fois une base choisie. On dit que $φ$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels; le chapitre 6 développera cette notion. Concrètement, une question sur des polynômes ou des matrices se ramène toujours à une question sur des colonnes de nombres: c'est ce que nous avons fait en identifiant les coefficients dans l'exemple 4.5.

Applications

Solutions d'une équation différentielle linéaire

Le fait que $S$ soit un sous-espace résulte du critère 4.2, la dérivation étant linéaire. La dimension repose sur le théorème d'existence et d'unicité de Cauchy pour les équations différentielles linéaires, admis ici (cours d'analyse): pour toute donnée initiale $(y (0), y^{'} (0), \dots, y^{(n - 1)} (0)) \in R^{n}$ , il existe une unique solution. L'application $y \mapsto (y (0), \dots, y^{(n - 1)} (0))$ est alors une bijection linéaire de $S$ sur $R^{n}$ , et l'on conclut comme au théorème 4.14: les $n$ solutions dont les données initiales sont $e_{1}, \dots, e_{n}$ forment une base de $S$ .

Exemple 4.8 · L'oscillateur harmonique

Une masse suspendue à un ressort, un circuit $L C$ ou un pendule aux petites oscillations obéissent, après normalisation du temps, à $y^{''} + y = 0$ . Les fonctions $cos$ et $sin$ sont solutions, et la famille $(cos, sin)$ est libre (exemple 4.5). Comme $dim S = 2$ , le théorème 4.13 montre que $(cos, sin)$ est une base de $S$ : toute solution s'écrit de façon unique $y (t) = A cos t + B sin t$ . Les coordonnées $(A, B)$ dans cette base sont fixées par les conditions initiales: $y (0) = A$ , $y^{'} (0) = B$ . Un mouvement lâché sans vitesse depuis la position $y (0) = 2$ est donc $y (t) = 2 cos t$ , et rien d'autre.

La même méthode traite $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ : on vérifie que $e^{t}$ et $e^{2 t}$ sont solutions, elles ne sont pas proportionnelles, donc $(e^{t}, e^{2 t})$ est une base des solutions. Pour $y (0) = 1$ et $y^{'} (0) = 0$ , on résout $A + B = 1$ , $A + 2 B = 0$ : $A = 2$ , $B = - 1$ , et $y (t) = 2 e^{t} - e^{2 t}$ .

Signaux échantillonnés

Un signal de $N$ échantillons est un vecteur de $R^{N}$ . La base canonique $(e_{1}, \dots, e_{N})$ est la base des impulsions: la $k$ -ième coordonnée est la valeur du signal à l'instant $k$ . Mais d'autres bases sont plus parlantes. Pour $N = 4$ , la famille

h_{1} = (1, 1, 1, 1), h_{2} = (1, 1, - 1, - 1), h_{3} = (1, - 1, 0, 0), h_{4} = (0, 0, 1, - 1)

est une base de $R^{4}$ (son déterminant vaut $8$ , ou: on résout le système ci-dessous et l'on trouve toujours une unique solution). Les coordonnées du signal $s = (3, 1, 4, 2)$ dans cette base sont la solution de $x_{1} h_{1} + x_{2} h_{2} + x_{3} h_{3} + x_{4} h_{4} = s$ , soit $[s]_{H} = (\frac{5}{2}, - \frac{1}{2}, 1, 1)$ ; on vérifie que $\frac{5}{2} h_{1} - \frac{1}{2} h_{2} + h_{3} + h_{4} = (\frac{5}{2} - \frac{1}{2} + 1, \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - 1, \frac{5}{2} + \frac{1}{2} + 1, \frac{5}{2} + \frac{1}{2} - 1) = (3, 1, 4, 2)$ . La première coordonnée est la moyenne du signal, la deuxième compare les deux moitiés, les deux dernières mesurent les détails locaux: c'est la base de Haar, ancêtre des ondelettes utilisées dans la compression JPEG 2000. La base de Fourier discrète, formée de sinusoïdes échantillonnées, joue le même rôle pour l'analyse fréquentielle; nous y reviendrons au chapitre 7, car ces bases sont orthogonales, ce qui rend le calcul des coordonnées immédiat.

Interpolation de Lagrange

Démonstration. Chaque $L_{i}$ est un produit de $n$ facteurs de degré 1, donc appartient à $R_{n} [x]$ , et vérifie $L_{i} (x_{i}) = 1$ et $L_{i} (x_{j}) = 0$ pour $j \neq = i$ (le facteur $x - x_{j}$ s'annule). Si $\sum_{i} λ_{i} L_{i} = 0$ , on évalue en $x_{j}$ : $λ_{j} = 0$ . La famille est donc libre, à $n + 1$ éléments dans un espace de dimension $n + 1$ : c'est une base (théorème 4.13). Enfin, pour $p \in R_{n} [x]$ , le polynôme $q = \sum_{i} p (x_{i}) L_{i}$ vérifie $q (x_{j}) = p (x_{j})$ pour tout $j$ ; $p - q$ est de degré au plus $n$ avec $n + 1$ racines, donc nul: $p = \sum_{i} p (x_{i}) L_{i}$ . $□$

Pour les nœuds $0, 1, 2$ , on obtient $L_{0} = \frac{1}{2} (x - 1) (x - 2)$ , $L_{1} = - x (x - 2)$ et $L_{2} = \frac{1}{2} x (x - 1)$ . Les coordonnées de $p = x^{2}$ dans cette base sont $(p (0), p (1), p (2)) = (0, 1, 4)$ , et l'on vérifie que $- x (x - 2) + 4 \cdot \frac{1}{2} x (x - 1) = 2 x - x^{2} + 2 x^{2} - 2 x = x^{2}$ . L'intérêt pratique est énorme: le polynôme de degré au plus $n$ passant par $n + 1$ points de mesure $(x_{i}, y_{i})$ est simplement $\sum y_{i} L_{i}$ , sans aucun système à résoudre. C'est la base de l'interpolation polynomiale et des formules de quadrature (Simpson) du cours d'analyse.

Synthèse

Un espace vectoriel réel est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant huit axiomes; $R^{n}$ , $M_{m \times n} (R)$ , $R_{n} [x]$ , $F (I, R)$ et les solutions d'un système ou d'une équation différentielle linéaire homogène en sont.
Une partie est un sous-espace vectoriel si et seulement si elle contient $0$ et est stable par combinaison linéaire; une intersection de sous-espaces est un sous-espace, une réunion en général non.
$Vect (v_{1}, \dots, v_{k})$ est le plus petit sous-espace contenant les $v_{i}$ ; décider si $w$ y appartient revient à résoudre un système linéaire.
Une famille est libre si la seule combinaison nulle est triviale, liée si l'un de ses vecteurs est combinaison des autres; dans $R^{n}$ , on teste par le rang ou, pour $n$ vecteurs, par le déterminant.
Une base est une famille libre et génératrice; tout vecteur s'y décompose de façon unique, et toutes les bases ont le même cardinal, la dimension (lemme d'échange de Steinitz). En dimension $n$ : libre à $n$ éléments $⟺$ génératrice à $n$ éléments $⟺$ base.
L'application coordonnées $v \mapsto [v]_{B}$ identifie tout espace de dimension $n$ à $R^{n}$ ; les bases adaptées (solutions d'une équation différentielle, Haar, Lagrange) simplifient les problèmes.

Série d'exercices du chapitre 4

Exercice 1 sur 5

Exercice

Parmi les parties suivantes de $R_{3} [x]$ , lesquelles sont des sous-espaces vectoriels? (plusieurs réponses)

Plusieurs réponses possibles

Problème guidé

Extraire, compléter, coordonner

Dans $R^{4}$ , on considère $v_{1} = (1, 2, 0, 1)$ , $v_{2} = (2, 4, 1, 1)$ , $v_{3} = (0, 0, 1, - 1)$ et $v_{4} = (1, 2, 1, 0)$ , et le sous-espace $F = Vect (v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4})$ . On veut une base de $F$ , la compléter en une base de $R^{4}$ et calculer les coordonnées de $w = (4, 8, 1, 3)$ dans cette base.

1
Rang de la famille
On range les quatre vecteurs en colonnes et l'on réduit. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ puis $L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{1}$ font apparaître deux lignes nulles après élimination de la troisième ligne.
Exercice
Quelle est la dimension de $F$ ?
Compléter en une base de ℝ⁴
Coordonnées dans la base complétée
Interprétation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Sous-espaces ou non?

Pour chacune des parties suivantes, dire si c'est un sous-espace vectoriel de l'espace indiqué, en justifiant.

$F_{1} = {(x, y, z) \in R^{3} : x - y + 2 z = 0 et x + z = 0}$ dans $R^{3}$ .
$F_{2} = {(x, y, z) \in R^{3} : x^{2} = y^{2}}$ dans $R^{3}$ .
$F_{3} = {A \in M_{2 \times 2} (R) : tr A = 0}$ dans $M_{2 \times 2} (R)$ .
$F_{4} = {A \in M_{2 \times 2} (R) : det A = 0}$ dans $M_{2 \times 2} (R)$ .
$F_{5} = {f \in F (R, R) : f (1) = 2 f (0)}$ dans $F (R, R)$ .
$F_{6} = {f \in F (R, R) : f est born \overset{e}{ˊ} e}$ dans $F (R, R)$ .

Solution

1. Oui. $F_{1}$ est l'ensemble des solutions du système linéaire homogène $x - y + 2 z = 0$ , $x + z = 0$ : il contient $0$ et, si $u$ et $v$ vérifient les deux équations, $λ u + μ v$ aussi par linéarité de chaque équation (exemple 4.2 (a)). C'est l'intersection de deux plans, donc une droite: en résolvant, $x = - z$ et $y = x + 2 z = z$ , d'où $F_{1} = Vect ((- 1, 1, 1))$ , de dimension $1$ .

2. Non. $(1, 1, 0)$ et $(1, - 1, 0)$ sont dans $F_{2}$ (car $1 = 1$ ), mais leur somme $(2, 0, 0)$ ne l'est pas ( $4 \neq = 0$ ). La condition $x^{2} = y^{2}$ équivaut à $x = y$ ou $x = - y$ : $F_{2}$ est la réunion de deux plans, et une réunion de sous-espaces n'est en général pas un sous-espace.

3. Oui. La trace est linéaire: $tr (λ A + μ B) = λ tr A + μ tr B$ , donc si $tr A = tr B = 0$ , la combinaison est encore de trace nulle; et $tr 0 = 0$ . Une base de $F_{3}$ est $(E_{12}, E_{21}, E_{11} - E_{22})$ : $dim F_{3} = 3$ .

4. Non. $A = (1000)$ et $B = (0001)$ ont un déterminant nul, mais $A + B = I_{2}$ a pour déterminant $1$ . Le déterminant n'est pas linéaire (il est multilinéaire par rapport aux colonnes, ce qui est différent).

5. Oui. La fonction nulle vérifie $0 = 2 \cdot 0$ . Si $f (1) = 2 f (0)$ et $g (1) = 2 g (0)$ , alors $(λ f + μg) (1) = λ f (1) + μg (1) = 2 (λ f (0) + μg (0)) = 2 (λ f + μg) (0)$ . La condition est une équation linéaire homogène portant sur $f$ ; ce ne serait plus le cas avec $f (1) = 2 f (0) + 1$ .

6. Oui. La fonction nulle est bornée. Si $∣ f ∣ \leq M$ et $∣ g ∣ \leq M^{'}$ sur $R$ , alors $∣ λ f + μg ∣ \leq ∣ λ ∣ M + ∣ μ ∣ M^{'}$ par l'inégalité triangulaire: $λ f + μg$ est bornée.

Exercice 4.2 · Sous-espace engendré et paramètre

Dans $R^{3}$ , on pose $u = (1, 1, 1)$ et $v = (1, - 1, 3)$ .

Montrer que $(u, v)$ est libre et déterminer une équation cartésienne du plan $P = Vect (u, v)$ .
Pour quelle(s) valeur(s) de $a \in R$ le vecteur $w_{a} = (1, a, 2)$ appartient-il à $P$ ? Donner alors ses coordonnées dans la base $(u, v)$ de $P$ .
Déterminer la dimension de $Vect (u, v, (2, 0, 4), (0, 2, - 2))$ .

Solution

1. Les vecteurs $u$ et $v$ ne sont pas colinéaires (leurs premières composantes sont égales mais pas leurs deuxièmes), donc $(u, v)$ est libre (proposition 4.6). Un vecteur $(x, y, z)$ est dans $P$ si et seulement si le système $α + β = x$ , $α - β = y$ , $α + 3 β = z$ est compatible. Les deux premières équations donnent $α = (x + y) /2$ et $β = (x - y) /2$ ; la troisième impose alors

\frac{x + y}{2} + \frac{3 ( x - y )}{2} = z ⟺ 2 x - y = z ⟺ 2 x - y - z = 0.

C'est l'équation de $P$ ; on vérifie que $u$ et $v$ la satisfont: $2 - 1 - 1 = 0$ et $2 + 1 - 3 = 0$ .

2. $w_{a} \in P$ si et seulement si $2 \cdot 1 - a - 2 = 0$ , c'est-à-dire $a = 0$ . Pour $a = 0$ , les formules du point 1 donnent $α = (1 + 0) /2 = \frac{1}{2}$ et $β = (1 - 0) /2 = \frac{1}{2}$ : $w_{0} = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v$ , ce que l'on vérifie: $\frac{1}{2} (1 + 1, 1 - 1, 1 + 3) = (1, 0, 2)$ . Ses coordonnées dans la base $(u, v)$ de $P$ sont $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ .

3. On remarque que $(2, 0, 4) = u + v$ et $(0, 2, - 2) = u - v$ : les deux vecteurs ajoutés sont dans $P$ , donc $Vect (u, v, (2, 0, 4), (0, 2, - 2)) = P$ (théorème 4.4: $P$ est un sous-espace contenant les quatre vecteurs, et il est contenu dans leur sous-espace engendré). La dimension vaut $2$ . On peut aussi réduire la matrice des colonnes et constater qu'elle n'a que deux pivots.

Exercice 4.3 · Une base de ℝ₃[x] et des coordonnées

Dans $R_{3} [x]$ , on considère $p_{0} = 1$ , $p_{1} = 1 + x$ , $p_{2} = 1 + x + x^{2}$ et $p_{3} = 1 + x + x^{2} + x^{3}$ .

Montrer que $B = (p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3})$ est une base de $R_{3} [x]$ .
Calculer les coordonnées de $p = 2 + 3 x - x^{2} + x^{3}$ dans $B$ .
Donner l'expression générale des coordonnées de $q = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3}$ dans $B$ .

Solution

1. Comme $dim R_{3} [x] = 4$ et que $B$ compte $4$ polynômes, il suffit de montrer que la famille est libre (théorème 4.13). Si $λ_{0} p_{0} + λ_{1} p_{1} + λ_{2} p_{2} + λ_{3} p_{3} = 0$ , on regroupe par puissances de $x$ :

(λ_{0} + λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}) + (λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}) x + (λ_{2} + λ_{3}) x^{2} + λ_{3} x^{3} = 0.

Par la proposition 4.7, tous les coefficients sont nuls: $λ_{3} = 0$ , puis $λ_{2} = 0$ , $λ_{1} = 0$ , $λ_{0} = 0$ (système triangulaire). La famille est libre, donc c'est une base. Autre argument: les degrés $0, 1, 2, 3$ sont échelonnés, et une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est toujours libre (le coefficient du plus haut degré doit s'annuler, puis on recommence).

2. On cherche $x_{0}, \dots, x_{3}$ avec $x_{0} p_{0} + x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{3} = 2 + 3 x - x^{2} + x^{3}$ . L'identification des coefficients donne le système triangulaire

⎩ ⎨ ⎧ x_{3} = 1 x_{2} + x_{3} = - 1 x_{1} + x_{2} + x_{3} = 3 x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 d’o \overset{u}{ˋ} x_{3} = 1, x_{2} = - 2, x_{1} = 4, x_{0} = - 1.

Ainsi $[p]_{B} = (- 1, 4, - 2, 1)^{T}$ . Vérification: $- 1 + 4 (1 + x) - 2 (1 + x + x^{2}) + (1 + x + x^{2} + x^{3}) = (- 1 + 4 - 2 + 1) + (4 - 2 + 1) x + (- 2 + 1) x^{2} + x^{3} = 2 + 3 x - x^{2} + x^{3}$ .

3. Le même système avec un second membre général donne $x_{3} = a_{3}$ , $x_{2} = a_{2} - a_{3}$ , $x_{1} = a_{1} - a_{2}$ et $x_{0} = a_{0} - a_{1}$ : les coordonnées dans $B$ sont les différences successives des coefficients, $[q]_{B} = (a_{0} - a_{1}, a_{1} - a_{2}, a_{2} - a_{3}, a_{3})^{T}$ . On retrouve le point 2 avec $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (2, 3, - 1, 1)$ : $(2 - 3, 3 + 1, - 1 - 1, 1) = (- 1, 4, - 2, 1)$ . La matrice de passage de la base canonique à $B$ est donc bidiagonale, et son inverse est la matrice triangulaire de $1$ qui exprime les $p_{i}$ en fonction des monômes.

Exercice 4.4 · Sous-espaces de matrices

Montrer que l'ensemble $S_{2}$ des matrices symétriques de $M_{2 \times 2} (R)$ est un sous-espace vectoriel, en donner une base et sa dimension.
Soit $A = (1011)$ . Montrer que $C (A) = {X \in M_{2 \times 2} (R) : A X = X A}$ est un sous-espace vectoriel, le décrire explicitement, en donner une base et sa dimension.
Déterminer $S_{2} \cap C (A)$ et sa dimension.

Solution

1. La transposition est linéaire: $(λ X + μ Y)^{T} = λ X^{T} + μ Y^{T}$ . Si $X^{T} = X$ et $Y^{T} = Y$ , alors $(λ X + μ Y)^{T} = λ X + μ Y$ ; la matrice nulle est symétrique. Une matrice symétrique $2 \times 2$ s'écrit

(a b b c) = a (1000) + b (0110) + c (0001),

de façon unique: $(E_{11}, E_{12} + E_{21}, E_{22})$ est une base et $dim S_{2} = 3$ .

2. Si $A X = X A$ et $A Y = Y A$ , alors $A (λ X + μ Y) = λ A X + μ A Y = λ X A + μ Y A = (λ X + μ Y) A$ ; et $A \cdot 0 = 0 = 0 \cdot A$ . Écrivons $X = (a c b d)$ :

A X = (a + c c b + d d), X A = (a c a + b c + d) .

L'égalité impose $a + c = a$ (donc $c = 0$ ), $b + d = a + b$ (donc $d = a$ ), $c = c$ et $d = c + d$ (donc $c = 0$ , déjà obtenu). Ainsi

C (A) = {(a 0 b a) : a, b \in R} = Vect (I_{2}, N), N = (0010) .

Les matrices $I_{2}$ et $N$ ne sont pas colinéaires, donc $(I_{2}, N)$ est une base et $dim C (A) = 2$ . On remarque que $A = I_{2} + N$ : les matrices qui commutent avec $A$ sont exactement les polynômes en $A$ , ici $a I_{2} + b N$ .

3. Une matrice de $C (A)$ est symétrique si et seulement si $b = 0$ : $S_{2} \cap C (A) = {a I_{2} : a \in R} = Vect (I_{2})$ , de dimension $1$ . C'est bien un sous-espace, conformément à la proposition 4.3, et l'on constate que $dim (S_{2} \cap C (A)) = 1 < min (3, 2)$ : la dimension d'une intersection n'est pas déterminée par celles des deux sous-espaces (le chapitre 5 donnera la formule de Grassmann qui relie $dim (F \cap G)$ , $dim F$ , $dim G$ et $dim (F + G)$ ).

Exercice 4.5 · Réunion de deux sous-espaces

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel $E$ . Démontrer que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F \subseteq G$ ou $G \subseteq F$ .

Indication. Pour le sens difficile, raisonner par l'absurde en choisissant $u \in F ∖ G$ et $v \in G ∖ F$ , et examiner $u + v$ .

Solution

Sens facile. Si $F \subseteq G$ , alors $F \cup G = G$ , qui est un sous-espace; de même si $G \subseteq F$ .

Sens difficile. Supposons que $F \cup G$ soit un sous-espace vectoriel et que, par l'absurde, ni $F \subseteq G$ ni $G \subseteq F$ . Il existe alors un vecteur $u \in F$ avec $u \in / G$ , et un vecteur $v \in G$ avec $v \in / F$ . Les deux vecteurs $u$ et $v$ sont dans $F \cup G$ ; puisque $F \cup G$ est un sous-espace, leur somme $w = u + v$ appartient à $F \cup G$ , donc à $F$ ou à $G$ .

Si $w \in F$ : comme $u \in F$ et que $F$ est un sous-espace, $v = w - u = w + (- 1) u \in F$ , ce qui contredit le choix de $v$ .
Si $w \in G$ : de même, $u = w - v \in G$ , ce qui contredit le choix de $u$ .

Dans les deux cas, contradiction. Donc $F \subseteq G$ ou $G \subseteq F$ . $□$

Remarque. La démonstration n'utilise que la stabilité par addition et par multiplication par $- 1$ (pour former $w - u$ ). Elle éclaire l'exemple des deux axes de $R^{2}$ : aucun des deux ne contient l'autre, et $(1, 0) + (0, 1)$ sort de la croix. Le plus petit sous-espace contenant $F \cup G$ est $F + G = {f + g : f \in F, g \in G}$ , que l'on peut décrire comme $Vect (F \cup G)$ ; on l'étudiera au chapitre 5.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 4.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 3.
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, Cham, chap. 1–2.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 2–3.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, Dunod, Paris.
Nipp, K. et Stoffer, D., Lineare Algebra, vdf Hochschulverlag an der ETH Zürich, chap. 5.

Objectifs du chapitre

Une même structure, mille visages

Espaces vectoriels et sous-espaces

La définition axiomatique

Sous-espaces vectoriels

Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Combinaisons linéaires

Explorateur du sous-espace engendré

Décider si un vecteur est dans Vect

Indépendance linéaire

Familles libres et familles liées

Tester l'indépendance

Bases et dimension

Bases

Existence de bases

Le théorème de la dimension

Coordonnées dans une base

Applications

Solutions d'une équation différentielle linéaire

Signaux échantillonnés

Interpolation de Lagrange

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 4

Extraire, compléter, coordonner

Rang de la famille

Compléter en une base de ℝ⁴

Coordonnées dans la base complétée

Interprétation

Exercices

Références