Applications linéaires et changements de base · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une application linéaire, vérifier la linéarité et produire des contre-exemples;
déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire, en déduire son injectivité et sa surjectivité, et appliquer le théorème du rang;
écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données et l'utiliser pour calculer des images, des composées et des réciproques;
construire une matrice de passage et convertir des coordonnées d'une base à une autre;
appliquer la formule de changement de base $A^{'} = P^{- 1} A P$ , reconnaître des matrices semblables et utiliser leurs invariants (rang, déterminant, trace);
modéliser des transformations géométriques (rotations, réflexions, cisaillements, translations en coordonnées homogènes) pour l'infographie et la robotique.

Des transformations qui respectent les combinaisons linéaires

Faites tourner une pièce mécanique de $30°$ autour de son axe: le point situé «à mi-chemin» entre deux sommets se retrouve à mi-chemin entre les images de ces sommets, et le vecteur qui joint deux points tournés est le tourné du vecteur qui joignait ces points. Dérivez un polynôme: la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de $3 p$ est $3 p^{'}$ . Échantillonnez un signal à intervalles réguliers, appliquez-lui un filtre à moyenne glissante, calculez la trace d'une matrice ou l'intégrale d'une fonction sur $[0, 1]$ : à chaque fois, la transformation respecte les combinaisons linéaires, c'est-à-dire qu'elle envoie $λ u + μ v$ sur $λ f (u) + μ f (v)$ .

Ces transformations, appelées applications linéaires, sont l'objet central de l'algèbre linéaire; les chapitres 4 et 5 ont préparé le terrain en étudiant les espaces sur lesquels elles agissent. Leur intérêt pratique tient à un fait remarquable, que nous démontrerons: dès qu'on a choisi une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée, toute application linéaire entre espaces de dimension finie est décrite par une matrice, et composer deux applications revient à multiplier leurs matrices. C'est la raison d'être du produit matriciel du chapitre 2, dont la définition en apparence arbitraire trouve ici sa justification.

Mais la matrice dépend des bases choisies, et une même transformation peut avoir une matrice compliquée dans une base et très simple dans une autre: une réflexion du plan a pour matrice $diag (1, - 1)$ dès que l'on prend un vecteur sur l'axe de réflexion et un vecteur perpendiculaire. La seconde moitié du chapitre explique comment passer d'une base à l'autre, et prépare ainsi la diagonalisation des chapitres 9 et 10.

Applications linéaires

Définition et premiers exemples

Dans tout le chapitre, $E$ et $F$ désignent des espaces vectoriels réels.

L'équivalence des deux formulations est immédiate: la seconde contient la première (prendre $λ = μ = 1$ , puis $μ = 0$ ), et la première donne $f (λ u + μ v) = f (λ u) + f (μ v) = λ f (u) + μ f (v)$ .

Voici une galerie d'exemples, que nous reprendrons tout au long du chapitre.

Application définie par une matrice. Pour $A \in M_{m \times n} (R)$ , l'application $f_{A} : R^{n} \to R^{m}$ , $x \mapsto A x$ , est linéaire par les règles du calcul matriciel: $A (u + v) = A u + A v$ et $A (λ u) = λ A u$ . Résoudre le système $A x = b$ du chapitre 1, c'est chercher les antécédents de $b$ par $f_{A}$ .
Dérivation. $D : R_{n} [x] \to R_{n - 1} [x]$ , $p \mapsto p^{'}$ , est linéaire: $(p + q)^{'} = p^{'} + q^{'}$ et $(λ p)^{'} = λ p^{'}$ .
Évaluation en un point. Pour $a \in R$ fixé, $ev_{a} : R_{n} [x] \to R$ , $p \mapsto p (a)$ , est linéaire.
Intégrale. $I : C ([0, 1]) \to R$ , $f \mapsto \int_{0}^{1} f (t) d t$ , est linéaire (linéarité de l'intégrale).
Transposition et trace. $A \mapsto A^{T}$ de $M_{m \times n} (R)$ dans $M_{n \times m} (R)$ , et $A \mapsto tr A$ de $M_{n} (R)$ dans $R$ , sont linéaires.
Transformations géométriques du plan. La rotation d'angle $θ$ autour de l'origine, la réflexion par rapport à une droite passant par l'origine, la projection sur une droite passant par l'origine parallèlement à une autre, le cisaillement $(x, y) \mapsto (x + k y, y)$ : toutes sont linéaires (figure 6.1), et nous verrons qu'elles sont toutes de la forme $x \mapsto A x$ .

Et voici trois contre-exemples à garder en tête.

La translation $t_{b} : x \mapsto x + b$ avec $b \neq = 0$ n'est pas linéaire: $t_{b} (0) = b \neq = 0$ , alors que nous allons voir qu'une application linéaire envoie toujours $0$ sur $0$ .
L'application $x \mapsto x^{2}$ de $R$ dans $R$ n'est pas linéaire: $(1 + 1)^{2} = 4 \neq = 1^{2} + 1^{2} = 2$ .
La norme $x \mapsto ∥ x ∥$ de $R^{n}$ dans $R$ n'est pas linéaire: $∥ - x ∥ = ∥ x ∥ \neq = - ∥ x ∥$ dès que $x \neq = 0$ .

Démonstration. 1. $f (0) = f (0 \cdot 0) = 0 \cdot f (0) = 0$ , et $f (- u) = f ((- 1) u) = - f (u)$ . 2. Par récurrence sur $k$ : le cas $k = 1$ est la seconde condition de (6.1), et si la formule vaut pour $k - 1$ vecteurs, alors $f (\sum_{i = 1}^{k} λ_{i} v_{i}) = f (\sum_{i = 1}^{k - 1} λ_{i} v_{i}) + f (λ_{k} v_{k}) = \sum_{i = 1}^{k - 1} λ_{i} f (v_{i}) + λ_{k} f (v_{k})$ . 3. Si $G$ est un sous-espace de $E$ , $f (G)$ contient $f (0) = 0$ et, pour $f (u), f (v) \in f (G)$ , on a $λ f (u) + μ f (v) = f (λ u + μ v) \in f (G)$ . La dernière affirmation est une relecture de (6.2): les images des combinaisons linéaires des $v_{i}$ sont exactement les combinaisons linéaires des $f (v_{i})$ . $□$

La formule (6.2) est la clé de tout le chapitre: une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. Si $(b_{1}, \dots, b_{n})$ est une base de $E$ , tout $x \in E$ s'écrit $x = \sum x_{j} b_{j}$ de manière unique, et alors $f (x) = \sum x_{j} f (b_{j})$ ne dépend que des $n$ vecteurs $f (b_{1}), \dots, f (b_{n})$ . Réciproquement, on peut choisir ces $n$ vecteurs librement dans $F$ : la formule $f (\sum x_{j} b_{j}) = \sum x_{j} w_{j}$ définit alors une application linéaire, et une seule, qui envoie $b_{j}$ sur $w_{j}$ .

Figure 6.1. Quatre applications linéaires du plan agissant sur une même forme en F (en pointillé, l'original). La rotation et la réflexion conservent les longueurs; la projection écrase la forme sur l'axe des x; le cisaillement conserve les aires mais pas les angles. Chacune est de la forme x ↦ Ax pour la matrice indiquée.

Applications linéaires de ℝⁿ dans ℝᵐ: ce sont les matrices

Démonstration. Si $f (x) = A x$ , la linéarité de $f$ vient des règles du produit matriciel (exemple 1 ci-dessus). Réciproquement, soit $f$ linéaire et $A$ la matrice (6.3), dont la $j$ -ième colonne est le vecteur $f (e_{j}) \in R^{m}$ . Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T} = \sum_{j} x_{j} e_{j}$ , la formule (6.2) donne

f (x) = j = 1 \sum n x_{j} f (e_{j}) = x_{1} a_{11} ⋮ a_{m 1} + \dots + x_{n} a_{1 n} ⋮ a_{mn} = A x,

puisque le produit $A x$ est précisément la combinaison linéaire des colonnes de $A$ à coefficients $x_{1}, \dots, x_{n}$ (chapitre 2). Unicité: si $A x = B x$ pour tout $x$ , alors en particulier $A e_{j} = B e_{j}$ , c'est-à-dire que $A$ et $B$ ont les mêmes colonnes. $□$

Exemple 6.1 · Matrice d'une rotation du plan

Soit $r_{θ}$ la rotation du plan d'angle $θ$ autour de l'origine. Elle est linéaire (elle conserve les parallélogrammes, donc les sommes de vecteurs, et les rapports de longueurs sur une droite, donc les multiples). Pour trouver sa matrice, il suffit de calculer l'image des deux vecteurs de la base canonique: $e_{1} = (1, 0)^{T}$ tourne en $(cos θ, sin θ)^{T}$ et $e_{2} = (0, 1)^{T}$ en $(- sin θ, cos θ)^{T}$ . Donc

R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ), r_{θ} (x y) = (x cos θ - y sin θ x sin θ + y cos θ) . (6.4)

Pour $θ = 60°$ , $R_{60°} = (1/2 3 /2 - 3 /2 1/2)$ , et l'image de $(2, 0)^{T}$ est $(1, 3)^{T}$ , de norme $2$ comme il se doit. De la même façon, la réflexion par rapport à l'axe des $x$ a pour matrice $diag (1, - 1)$ , la projection sur l'axe des $x$ a pour matrice $diag (1, 0)$ , et le cisaillement $(x, y) \mapsto (x + k y, y)$ a pour matrice $(10 k 1)$ : on lit les colonnes en regardant où vont $e_{1}$ et $e_{2}$ .

Exercice

Parmi les applications suivantes, lesquelles sont linéaires? (Plusieurs réponses possibles.)

Plusieurs réponses possibles

Vocabulaire

Vérifions la linéarité de $f^{- 1}$ : pour $y_{1}, y_{2} \in F$ , posons $u_{i} = f^{- 1} (y_{i})$ ; alors $f (λ u_{1} + μ u_{2}) = λ y_{1} + μ y_{2}$ , donc $f^{- 1} (λ y_{1} + μ y_{2}) = λ u_{1} + μ u_{2} = λ f^{- 1} (y_{1}) + μ f^{- 1} (y_{2})$ .

Enfin, l'ensemble $L (E, F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$ est lui-même un espace vectoriel: la somme $f + g$ et le multiple $λ f$ , définis point par point, sont encore linéaires. Lorsque $E = R^{n}$ et $F = R^{m}$ , le théorème 6.2 identifie $L (R^{n}, R^{m})$ à $M_{m \times n} (R)$ , qui est de dimension $mn$ .

Noyau et image d'une application linéaire

Le chapitre 5 a introduit le noyau et l'image d'une matrice. Ces notions s'étendent mot pour mot aux applications linéaires, et elles répondent aux deux questions naturelles: $f$ est-elle injective? est-elle surjective?

Démonstration. $0 \in ker f$ par la proposition 6.1, et si $f (u) = f (v) = 0$ , alors $f (λ u + μ v) = λ 0 + μ 0 = 0$ . L'image est $f (E)$ , sous-espace de $F$ par la proposition 6.1 (point 3), et la dernière affirmation en est le cas particulier $E = Vect (b_{1}, \dots, b_{n})$ . $□$

Démonstration. La seconde affirmation est la définition de la surjectivité. Pour la première: si $f$ est injective, le seul antécédent de $0 = f (0)$ est $0$ , donc $ker f = {0}$ . Réciproquement, supposons $ker f = {0}$ et $f (u) = f (v)$ . Par linéarité, $f (u - v) = f (u) - f (v) = 0$ , donc $u - v \in ker f$ , d'où $u = v$ . $□$

Ce critère est propre aux applications linéaires: pour vérifier l'injectivité, au lieu de comparer toutes les paires de vecteurs, il suffit de résoudre une équation, $f (x) = 0$ . Pour $f = f_{A}$ , c'est le système homogène $A x = 0$ du chapitre 1.

Figure 6.2. Une projection p du plan sur la droite D₁ = Vect(u₁) parallèlement à la droite D₂ = Vect(u₂). L'image de p est D₁ (u₁ est fixe) et son noyau est D₂ (u₂ est envoyé sur 0). Le vecteur x = (4; 4) glisse le long d'une parallèle à D₂ jusqu'à p(x) = (2,4; 0,8), et x − p(x) appartient au noyau. Ici dim Ker p + dim Im p = 1 + 1 = 2.

Le théorème du rang

Démonstration. Soit $n = dim E$ et $k = dim ker f$ . Choisissons une base $(u_{1}, \dots, u_{k})$ de $ker f$ et complétons-la (théorème de la base incomplète, chapitre 4) en une base $(u_{1}, \dots, u_{k}, v_{1}, \dots, v_{r})$ de $E$ , avec $k + r = n$ . Nous allons montrer que $(f (v_{1}), \dots, f (v_{r}))$ est une base de $Im f$ , ce qui donnera $rg f = r = n - k$ .

Génératrice. Par la proposition 6.3, $Im f$ est engendrée par les images des vecteurs de la base de $E$ ; or $f (u_{i}) = 0$ , donc $Im f = Vect (f (v_{1}), \dots, f (v_{r}))$ .

Libre. Supposons $\sum_{j = 1}^{r} μ_{j} f (v_{j}) = 0$ . Par linéarité, $f (\sum_{j} μ_{j} v_{j}) = 0$ , donc $w = \sum_{j} μ_{j} v_{j}$ appartient à $ker f$ et s'écrit $w = \sum_{i = 1}^{k} λ_{i} u_{i}$ . Ainsi $\sum_{i} λ_{i} u_{i} - \sum_{j} μ_{j} v_{j} = 0$ , et comme la famille $(u_{1}, \dots, u_{k}, v_{1}, \dots, v_{r})$ est libre, tous les coefficients sont nuls; en particulier $μ_{1} = \dots = μ_{r} = 0$ . $□$

L'idée à retenir: $E$ se «décompose» en une partie que $f$ écrase (le noyau, de dimension $k$ ) et une partie que $f$ transporte fidèlement dans $F$ (le supplémentaire $Vect (v_{1}, \dots, v_{r})$ , envoyé bijectivement sur $Im f$ ). Pour $f = f_{A}$ , on retrouve la formule $n = dim ker A + rg A$ du chapitre 5.

Démonstration. Posons $n = dim E = dim F$ . Si $f$ est injective, $ker f = {0}$ et (6.5) donne $rg f = n = dim F$ ; un sous-espace de $F$ de même dimension que $F$ est $F$ tout entier (chapitre 4), donc $Im f = F$ et $f$ est surjective. Si $f$ est surjective, $rg f = n$ et (6.5) donne $dim ker f = 0$ : $f$ est injective. Les deux dernières affirmations viennent aussi de (6.5): si $dim E > dim F$ , alors $dim ker f = dim E - rg f \geq dim E - dim F > 0$ ; si $dim E < dim F$ , alors $rg f \leq dim E < dim F$ . $□$

Les coordonnées: tout espace de dimension n est une copie de ℝⁿ

Démonstration. L'application est bien définie car les coordonnées dans une base sont uniques (chapitre 4). Elle est linéaire: si $x = \sum x_{j} b_{j}$ et $y = \sum y_{j} b_{j}$ , alors $λ x + μ y = \sum (λ x_{j} + μ y_{j}) b_{j}$ , dont les coordonnées sont $λ [x]_{B} + μ [y]_{B}$ . Elle est injective: $[x]_{B} = 0$ signifie $x = \sum 0 \cdot b_{j} = 0$ . Elle est surjective: tout $(x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ est l'image de $\sum x_{j} b_{j}$ . $□$

Ce théorème est le pont entre l'algèbre linéaire abstraite et le calcul matriciel: polynômes, matrices, suites récurrentes ou solutions d'une équation différentielle linéaire, tout espace de dimension $n$ «est» $R^{n}$ une fois une base choisie, et toute question de dépendance linéaire, de rang ou de dimension se ramène à un système d'équations. Le prix à payer est que le choix de la base est arbitraire: c'est l'objet de la section sur les changements de base.

Exercice

Soit $f : R^{4} \to R^{3}$ , $x \mapsto A x$ avec $A = 121242011132$ . Quelle est la dimension de $ker f$ ?

Matrice d'une application linéaire dans des bases

Le théorème 6.2 associe une matrice à toute application linéaire de $R^{n}$ dans $R^{m}$ , en utilisant implicitement les bases canoniques. Combiné au théorème 6.7, il permet de faire de même pour n'importe quels espaces de dimension finie, pourvu que l'on choisisse une base au départ et une base à l'arrivée.

Autrement dit, $a_{ij}$ est le coefficient de $c_{i}$ dans l'écriture de $f (b_{j})$ : $f (b_{j}) = \sum_{i = 1}^{m} a_{ij} c_{i}$ . Retenez la règle: colonne $j$ = image du $j$ -ième vecteur de la base de départ, exprimée dans la base d'arrivée. La matrice a autant de colonnes que la dimension de l'espace de départ et autant de lignes que celle de l'espace d'arrivée.

Démonstration. Notons $M = Mat_{B, C} (f)$ et $x = \sum_{j} x_{j} b_{j}$ . Par linéarité de $f$ puis de l'application coordonnées $φ_{C}$ (théorème 6.7),

[f (x)]_{C} = [j = 1 \sum n x_{j} f (b_{j})]_{C} = j = 1 \sum n x_{j} [f (b_{j})]_{C} = j = 1 \sum n x_{j} (colonne j de M) = M [x]_{B},

la dernière égalité étant la description du produit matrice-vecteur comme combinaison linéaire des colonnes. $□$

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul de la matrice d'une application linéaire $f : E \to F$ dans des bases $B$ et $C$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Vérifier la taille:

dim F

lignes et

dim E

colonnes

Calculer les images

f (b_{1}), \dots, f (b_{n})

Choisir une base

B = (b_{1}, \dots, b_{n})

E

et une base

C

F

Ranger les coordonnées de

f (b_{j})

dans la

j

-ième colonne

Exprimer chaque image

f (b_{j})

comme combinaison linéaire des vecteurs de

C

La composée et le produit matriciel

Démonstration. La linéarité de $g \circ f$ est immédiate: $g (f (λ u + μ v)) = g (λ f (u) + μ f (v)) = λ g (f (u)) + μ g (f (v))$ . Notons $M_{f} = Mat_{B, C} (f)$ et $M_{g} = Mat_{C, D} (g)$ . Pour tout $x \in E$ , deux applications de (6.7) donnent

[(g \circ f) (x)]_{D} = [g (f (x))]_{D} = M_{g} [f (x)]_{C} = M_{g} M_{f} [x]_{B} .

La matrice $M_{g} M_{f}$ calcule donc les images par $g \circ f$ ; en prenant $x = b_{j}$ (dont le vecteur de coordonnées est $e_{j}$ ), on voit que la $j$ -ième colonne de $M_{g} M_{f}$ est $[(g \circ f) (b_{j})]_{D}$ , c'est-à-dire la $j$ -ième colonne de $Mat_{B, D} (g \circ f)$ . $□$

Deux conséquences immédiates:

Réciproque. Si $f : E \to F$ est un isomorphisme et $M = Mat_{B, C} (f)$ , alors $M$ est inversible et $Mat_{C, B} (f^{- 1}) = M^{- 1}$ . En effet, (6.8) appliquée à $f^{- 1} \circ f = id_{E}$ et à $f \circ f^{- 1} = id_{F}$ donne $Mat (f^{- 1}) M = I_{n}$ et $M Mat (f^{- 1}) = I_{m}$ , d'où $m = n$ et $Mat (f^{- 1}) = M^{- 1}$ (la matrice de l'identité dans une même base est $I$ , puisque $id (b_{j}) = b_{j}$ a pour coordonnées $e_{j}$ ). Réciproquement, si $M$ est inversible, l'application linéaire de matrice $M^{- 1}$ est la réciproque de $f$ .
Rang. $rg f = rg Mat_{B, C} (f)$ , quelles que soient les bases. En effet, l'isomorphisme $φ_{C}$ envoie $Im f = Vect (f (b_{1}), \dots, f (b_{n}))$ sur $Vect ([f (b_{1})]_{C}, \dots, [f (b_{n})]_{C})$ , l'espace des colonnes de la matrice, et un isomorphisme conserve la dimension (il transporte une base sur une base). De même, $ker f$ est envoyé par $φ_{B}$ sur le noyau de la matrice.

Explorateur de composition: rotation et cisaillement

La forme F (gris) est transformée par la rotation R(θ) et le cisaillement S(k). L'ordre choisi donne l'image pleine; l'autre ordre est tracé en pointillé: en général R∘S ≠ S∘R.

S·R (rotation puis cisaillement)

(1,37 −0,37 ; 0,87 0,50)

R·S (cisaillement puis rotation)

(0,50 −0,37 ; 0,87 1,37)

Déterminant de la composée

1,00

Angle de rotation θ60°

Facteur de cisaillement k1,00

Ordrerotation puis cisaillement

Exercice

Soient $r$ la rotation du plan d'angle $90°$ et $s$ le cisaillement $(x, y) \mapsto (x + y, y)$ . Quelle est la matrice de la composée «rotation d'abord, puis cisaillement»?

Changement de base

Matrice de passage

Un même vecteur a des coordonnées différentes dans des bases différentes. Comment passer des unes aux autres?

Lorsque $E = R^{n}$ et $B$ est la base canonique, la matrice de passage s'obtient sans calcul: on écrit simplement les vecteurs de $B^{'}$ en colonnes.

Démonstration. La formule (6.10) est la formule (6.7) appliquée à $f = id_{E}$ dans les bases $B^{'}$ et $B$ : $[id (x)]_{B} = Mat_{B^{'}, B} (id) [x]_{B^{'}}$ . Par le théorème 6.9 appliqué à $id \circ id = id$ avec les bases $B \to B^{'} \to B$ , on obtient $P_{B \to B^{'}} P_{B^{'} \to B} = Mat_{B, B} (id) = I_{n}$ , et de même dans l'autre ordre. $□$

Exercice

Soit $B^{'} = ((2, 1)^{T}, (1, - 1)^{T})$ , base de $R^{2}$ . Quelle est la première coordonnée du vecteur $x = (5, 1)^{T}$ dans $B^{'}$ ?

Changement de base pour une application linéaire

Que devient la matrice d'une application linéaire lorsqu'on change de bases? Le diagramme de la figure 6.3 résume la situation: on peut aller des nouvelles coordonnées de $x$ aux nouvelles coordonnées de $f (x)$ directement (par $A^{'}$ ), ou en faisant un détour par les anciennes bases (par $P$ , puis $A$ , puis $Q^{- 1}$ ).

Figure 6.3. Le diagramme du changement de base pour f: E → F. Les matrices de passage P (de B à B′) et Q (de C à C′) convertissent les nouvelles coordonnées en anciennes. Le chemin du bas, A′, et le chemin par le haut, Q⁻¹AP, donnent le même résultat: le diagramme «commute».

Démonstration. On écrit $f = id_{F} \circ f \circ id_{E}$ et l'on applique deux fois le théorème 6.9 avec la suite de bases $B^{'} id_{E} B f C id_{F} C^{'}$ :

Mat_{B^{'}, C^{'}} (f) = Mat_{C, C^{'}} (id_{F}) Mat_{B, C} (f) Mat_{B^{'}, B} (id_{E}) = P_{C^{'} \to C} A P_{B \to B^{'}} = Q^{- 1} A P,

puisque $P_{C^{'} \to C} = Q^{- 1}$ par le théorème 6.10. On peut aussi le vérifier sur les coordonnées: pour tout $x$ , $[f (x)]_{C^{'}} = Q^{- 1} [f (x)]_{C} = Q^{- 1} A [x]_{B} = Q^{- 1} A P [x]_{B^{'}}$ , et la matrice qui calcule les images dans les bases $B^{'}, C^{'}$ est unique. $□$

Puisque des matrices semblables décrivent la même transformation, toute quantité qui a un sens géométrique pour la transformation doit être la même pour les deux matrices. C'est le cas du rang, du déterminant et de la trace.

Démonstration. Le coefficient $(i, i)$ de $A B$ est $\sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k i}$ , et celui de $B A$ (une matrice $n \times n$ ) est $\sum_{i = 1}^{m} b_{k i} a_{ik}$ pour l'indice $k$ . Donc

tr (A B) = i = 1 \sum m k = 1 \sum n a_{ik} b_{k i} = k = 1 \sum n i = 1 \sum m b_{k i} a_{ik} = tr (B A) :

ce sont les mêmes $mn$ produits, sommés dans un autre ordre. $□$

Démonstration. Déterminant: par multiplicativité du déterminant (chapitre 3), $det A^{'} = det (P^{- 1}) det A det P = det A$ , puisque $det (P^{- 1}) = 1/ det P$ . Trace: par le lemme 6.12 avec les matrices $P^{- 1}$ et $A P$ , $tr (P^{- 1} (A P)) = tr ((A P) P^{- 1}) = tr (A)$ . Rang: $A$ et $A^{'}$ sont les matrices du même endomorphisme $f$ dans deux bases, et l'on a vu que le rang d'une matrice de $f$ est $rg f$ , indépendamment des bases. $□$

Exemple 6.5 · Une projection dans une base adaptée, puis dans la base canonique

Soit $p$ la projection de $R^{2}$ sur la droite $D_{1} = Vect (u_{1})$ parallèlement à $D_{2} = Vect (u_{2})$ , avec $u_{1} = (3, 1)^{T}$ et $u_{2} = (1, 2)^{T}$ (figure 6.2). Par définition, $p (u_{1}) = u_{1}$ et $p (u_{2}) = 0$ : dans la base adaptée $B^{'} = (u_{1}, u_{2})$ , la matrice de $p$ est la plus simple possible,

A^{'} = Mat_{B^{'}} (p) = (1000) .

Pour obtenir la matrice $A$ dans la base canonique, on utilise (6.12) à l'envers: $A = P A^{'} P^{- 1}$ , où $P = (u_{1} u_{2})$ est la matrice de passage de la base canonique à $B^{'}$ . Avec $det P = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$ ,

P = (3112), P^{- 1} = \frac{1}{5} (2 - 1 - 1 3), A = P A^{'} P^{- 1} = (3100) \cdot \frac{1}{5} (2 - 1 - 1 3) = \frac{1}{5} (62 - 3 - 1) .

Vérifications: $A u_{1} = \frac{1}{5} (18 - 3, 6 - 1)^{T} = (3, 1)^{T} = u_{1}$ et $A u_{2} = \frac{1}{5} (6 - 6, 2 - 2)^{T} = 0$ . Pour $x = (4, 4)^{T}$ , $A x = \frac{1}{5} (24 - 12, 8 - 4)^{T} = (2, 4; 0, 8)^{T}$ , comme sur la figure 6.2. On constate aussi que $A^{2} = A$ (projeter deux fois revient à projeter une fois), et que les invariants coïncident: $tr A = \frac{6 - 1}{5} = 1 = tr A^{'}$ , $det A = \frac{- 6 + 6}{25} = 0 = det A^{'}$ , $rg A = 1 = rg A^{'}$ .

La leçon est générale: pour trouver la matrice d'une transformation géométrique, on cherche d'abord une base dans laquelle elle est évidente, puis on revient à la base canonique par un changement de base. Le problème guidé en fin de chapitre applique la même méthode à une réflexion.

Vers la diagonalisation

L'exemple précédent illustre une stratégie que les chapitres 9 et 10 systématiseront. Prenons l'endomorphisme de $R^{2}$ de matrice $A = (1221)$ dans la base canonique. On observe que $A (1, 1)^{T} = (3, 3)^{T} = 3 (1, 1)^{T}$ et $A (1, - 1)^{T} = (- 1, 1)^{T} = - (1, - 1)^{T}$ : dans la base $B^{'}$ de l'exemple 6.4, la transformation dilate la première direction d'un facteur $3$ et retourne la seconde. Sa matrice est donc

A^{'} = P^{- 1} A P = diag (3, - 1), P = (11 1 - 1),

ce que confirme un calcul direct. Dans cette base, tout devient transparent: $A^{10} = P diag (3^{10}, 1) P^{- 1}$ , le déterminant vaut $3 \cdot (- 1) = - 3$ et la trace $3 - 1 = 2$ . Les directions $(1, 1)$ et $(1, - 1)$ sont les vecteurs propres de $A$ , et $3$ , $- 1$ ses valeurs propres; diagonaliser une matrice, c'est trouver une base de vecteurs propres, c'est-à-dire une base adaptée dans laquelle la matrice est diagonale. Toutes les matrices ne le permettent pas — le cisaillement $(1011)$ en est un exemple — et le chapitre 10 dira précisément lesquelles.

Applications

Infographie: transformations géométriques et coordonnées homogènes

Un logiciel de dessin, un moteur de jeu ou un logiciel de CAO manipule des objets décrits par les coordonnées de leurs sommets. Déplacer, tourner, agrandir ou déformer un objet, c'est appliquer une même transformation à tous ses sommets; si celle-ci est linéaire, il suffit de multiplier la matrice $2 \times 2$ (ou $3 \times 3$ en 3D) des sommets rangés en colonnes. Les transformations de base du plan ont été rencontrées à l'exemple 6.1: rotation $R_{θ}$ , mise à l'échelle $diag (s_{x}, s_{y})$ , réflexion, cisaillement. En dimension 3, les rotations autour des axes de coordonnées sont

R_{x} (θ) = 100 0 cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ, R_{z} (θ) = cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ 0 001,

et une rotation quelconque se compose de rotations élémentaires — dans un ordre qui compte, comme vous l'avez constaté avec l'explorateur.

Un obstacle: la translation n'est pas linéaire, et l'on aimerait pourtant la traiter comme les autres, par une multiplication matricielle, pour enchaîner rotations et déplacements en un seul produit. L'astuce des coordonnées homogènes consiste à représenter le point $(x, y)$ du plan par le vecteur $(x, y, 1)^{T} \in R^{3}$ . Une transformation linéaire de matrice $A$ et la translation de vecteur $t = (t_{x}, t_{y})^{T}$ deviennent alors

(A 0^{T} 01) et T_{t} = 100010 t_{x} t_{y} 1, T_{t} x y 1 = x + t_{x} y + t_{y} 1 . (6.13)

Toute composition de translations, rotations et mises à l'échelle du plan est alors une seule matrice $3 \times 3$ (et $4 \times 4$ en 3D): c'est ainsi que travaillent les cartes graphiques. Par exemple, la rotation d'angle $θ$ autour d'un point $C$ quelconque s'écrit $T_{C} R_{θ} T_{- C}$ : on ramène $C$ à l'origine, on tourne, on renvoie $C$ à sa place (exercice 6.4).

Robotique: un bras à deux segments

Un bras robotisé plan est formé de deux segments de longueurs $ℓ_{1}$ et $ℓ_{2}$ , articulés par deux moteurs qui imposent les angles $θ_{1}$ (entre le premier segment et l'axe des $x$ ) et $θ_{2}$ (entre le second segment et le premier). Où se trouve l'extrémité du bras (l'effecteur)? On suit la chaîne des transformations en coordonnées homogènes: partant de l'origine, on tourne de $θ_{1}$ , on avance de $ℓ_{1}$ le long du premier segment, on tourne de $θ_{2}$ , on avance de $ℓ_{2}$ . La position de l'effecteur est donc la dernière colonne de

M = R_{θ_{1}} T_{(ℓ_{1}, 0)} R_{θ_{2}} T_{(ℓ_{2}, 0)},

où l'on a noté $R_{θ}$ la rotation en coordonnées homogènes. En effectuant les produits, on trouve

p = (ℓ_{1} cos θ_{1} + ℓ_{2} cos (θ_{1} + θ_{2}) ℓ_{1} sin θ_{1} + ℓ_{2} sin (θ_{1} + θ_{2})), (6.14)

formule que l'on peut vérifier directement: le second segment fait l'angle $θ_{1} + θ_{2}$ avec l'axe des $x$ . Ce calcul s'appelle la cinématique directe; le problème inverse (quels angles pour atteindre un point donné?) est non linéaire, mais se résout localement en linéarisant (6.14), ce qui ramène encore à une matrice, la jacobienne du bras.

Filtres linéaires sur les signaux

Un signal échantillonné sur $n$ instants est un vecteur $s \in R^{n}$ . Un filtre linéaire — moyenne glissante pour lisser un bruit de mesure, différence finie pour estimer une dérivée, filtre passe-bas d'un capteur — est une application linéaire $R^{n} \to R^{n}$ , donc une matrice. Pour la moyenne glissante sur trois points d'un signal périodique, $y_{k} = \frac{1}{3} (s_{k - 1} + s_{k} + s_{k + 1})$ avec les indices lus modulo $n$ , la matrice est circulante: chaque ligne est la précédente décalée d'un cran,

C = \frac{1}{3} 110 ⋮ 1 11100110 \dots \dots \dots ⋱ \dots 0001 100 ⋮ 1 .

Ces matrices commutent entre elles (appliquer deux filtres dans un ordre ou dans l'autre revient au même) et se diagonalisent toutes dans la même base, celle des signaux sinusoïdaux $(cos (2 π j k / n), sin (2 π j k / n))$ : c'est la transformée de Fourier discrète, une matrice de passage particulièrement bien choisie, dont vous entendrez parler en traitement du signal.

Synthèse

Une application $f : E \to F$ est linéaire si $f (λ u + μ v) = λ f (u) + μ f (v)$ ; elle vérifie $f (0) = 0$ et est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. Les applications linéaires $R^{n} \to R^{m}$ sont exactement les $x \mapsto A x$ , avec $A = (f (e_{1}) \dots f (e_{n}))$ .
$ker f$ et $Im f$ sont des sous-espaces; $f$ est injective si et seulement si $ker f = {0}$ , surjective si et seulement si $Im f = F$ . Théorème du rang: $dim E = dim ker f + rg f$ ; si $dim E = dim F$ , injectif, surjectif et bijectif sont équivalents.
Le choix d'une base $B$ de $E$ ( $dim E = n$ ) fournit l'isomorphisme $x \mapsto [x]_{B}$ de $E$ sur $R^{n}$ . La matrice $Mat_{B, C} (f)$ a pour colonnes les $[f (b_{j})]_{C}$ et vérifie $[f (x)]_{C} = Mat_{B, C} (f) [x]_{B}$ .
La matrice d'une composée est le produit des matrices, $Mat (g \circ f) = Mat (g) Mat (f)$ , et celle de $f^{- 1}$ est l'inverse; le rang de $f$ est celui de n'importe laquelle de ses matrices.
La matrice de passage $P$ de $B$ à $B^{'}$ a pour colonnes les nouveaux vecteurs dans l'ancienne base; $[x]_{B} = P [x]_{B^{'}}$ et $A^{'} = Q^{- 1} A P$ , soit $A^{'} = P^{- 1} A P$ pour un endomorphisme.
Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans deux bases; elles ont même rang, même déterminant et même trace ( $tr (A B) = tr (B A)$ ). Une base adaptée rend la matrice simple, idéalement diagonale: c'est le programme des chapitres 9 et 10.

Série d'exercices du chapitre 6

Exercice 1 sur 5

Exercice

Soit $f : R^{3} \to R^{2}$ une application linéaire quelconque. Laquelle de ces affirmations est toujours vraie?

Problème guidé

Matrice de la réflexion par rapport à la droite y = 2x

Soit $s$ la réflexion (symétrie orthogonale) du plan par rapport à la droite $D$ d'équation $y = 2 x$ . On veut la matrice $A$ de $s$ dans la base canonique. Méthode: trouver une base adaptée, écrire la matrice de $s$ dans cette base, puis revenir à la base canonique par la formule $A = P A^{'} P^{- 1}$ .

1
Une base adaptée
Le vecteur $u = (1, 2)^{T}$ dirige $D$ , et $v = (- 2, 1)^{T}$ lui est perpendiculaire ( $1 \cdot (- 2) + 2 \cdot 1 = 0$ ). Une réflexion fixe les vecteurs de l'axe et renverse les vecteurs perpendiculaires.
Exercice
Quelle est la matrice $A^{'}$ de $s$ dans la base $B^{'} = (u, v)$ ?
La matrice de passage
Retour à la base canonique
Vérification sur un vecteur

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 6.1 · Une application linéaire de ℝ³ dans ℝ²

Soit $f : R^{3} \to R^{2}$ définie par $f (x, y, z) = (x + 2 y - z, 3 x - y + z)$ .

Montrer que $f$ est linéaire et écrire sa matrice $A$ dans les bases canoniques.
Déterminer $ker f$ (en donner une base) et $Im f$ .
$f$ est-elle injective? surjective? Vérifier le théorème du rang.

Solution

1. On peut vérifier (6.1) à la main, mais il est plus rapide de constater que $f (x) = A x$ avec

A = (f (e_{1}) f (e_{2}) f (e_{3})) = (13 2 - 1 - 1 1),

ce qui prouve la linéarité par le théorème 6.2 (les colonnes sont $f (1, 0, 0) = (1, 3)$ , $f (0, 1, 0) = (2, - 1)$ , $f (0, 0, 1) = (- 1, 1)$ ).

2. Le noyau est l'ensemble des solutions du système homogène $x + 2 y - z = 0$ , $3 x - y + z = 0$ . En additionnant les deux équations, $4 x + y = 0$ , soit $y = - 4 x$ ; puis $z = x + 2 y = - 7 x$ . Donc

ker f = {(x, - 4 x, - 7 x) : x \in R} = Vect ((1, - 4, - 7)^{T}),

de dimension $1$ (vérification: $1 + 2 (- 4) - (- 7) = 0$ et $3 + 4 - 7 = 0$ ). L'image est engendrée par les colonnes de $A$ ; les deux premières, $(1, 3)$ et $(2, - 1)$ , ne sont pas colinéaires, donc $Im f = R^{2}$ et $rg f = 2$ .

3. $ker f \neq = {0}$ : $f$ n'est pas injective (elle ne pouvait pas l'être, puisque $dim R^{3} > dim R^{2}$ ). $Im f = R^{2}$ : $f$ est surjective. Théorème du rang: $dim ker f + rg f = 1 + 2 = 3 = dim R^{3}$ .

Exercice 6.2 · Composée de deux transformations du plan

Soient $r$ la rotation du plan d'angle $90°$ et $s$ le cisaillement $(x, y) \mapsto (x + y, y)$ .

Écrire les matrices $R$ et $S$ de $r$ et $s$ dans la base canonique.
Calculer les matrices de $s \circ r$ et de $r \circ s$ . Ces deux applications sont-elles égales?
Déterminer l'image du carré unité (sommets $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(1, 1)$ , $(0, 1)$ ) par $s \circ r$ et calculer son aire.
Calculer la matrice de $(s \circ r)^{- 1}$ de deux façons: en inversant directement $S R$ , puis à l'aide de $R^{- 1}$ et $S^{- 1}$ .

Solution

1. D'après (6.4) avec $θ = 90°$ et l'exemple 6.1,

R = (01 - 1 0), S = (1011) .

2. Par le théorème 6.9,

Mat (s \circ r) = S R = (11 - 1 0), Mat (r \circ s) = R S = (01 - 1 1) .

Les matrices sont différentes, donc $s \circ r \neq = r \circ s$ : par exemple $(s \circ r) (e_{1}) = (1, 1)$ alors que $(r \circ s) (e_{1}) = (0, 1)$ .

3. Les images des sommets par $S R$ sont $(0, 0) \mapsto (0, 0)$ , $(1, 0) \mapsto (1, 1)$ , $(1, 1) \mapsto (0, 1)$ , $(0, 1) \mapsto (- 1, 0)$ : le carré devient le parallélogramme de sommets $(0, 0)$ , $(1, 1)$ , $(0, 1)$ , $(- 1, 0)$ . Son aire est $∣ det (S R)∣ = ∣ 1 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1 ∣ = 1$ (chapitre 3): la rotation et le cisaillement conservent les aires, leur composée aussi.

4. Directement: $det (S R) = 1$ , donc $(S R)^{- 1} = (0 - 1 11)$ (on échange les coefficients diagonaux et l'on change le signe des autres). Par les inverses: $(S R)^{- 1} = R^{- 1} S^{- 1}$ avec $R^{- 1} = R_{- 90°} = (0 - 1 10)$ et $S^{- 1} = (10 - 1 1)$ (cisaillement de facteur $- 1$ ):

R^{- 1} S^{- 1} = (0 - 1 10) (10 - 1 1) = (0 - 1 11) .

Les deux méthodes concordent. Remarquez l'inversion de l'ordre: pour défaire «tourner puis cisailler», on commence par «dé-cisailler», puis on «dé-tourne».

Exercice 6.3 · Un endomorphisme de ℝ₂[x] et une base adaptée

Soit $f : R_{2} [x] \to R_{2} [x]$ définie par $f (p) = (x + 1) p^{'}$ .

Vérifier que $f$ est bien un endomorphisme de $R_{2} [x]$ et écrire sa matrice $M$ dans la base canonique $B = (1, x, x^{2})$ .
Déterminer $ker f$ , $Im f$ et $rg f$ .
Calculer $f (1)$ , $f (x + 1)$ et $f ((x + 1)^{2})$ . En déduire la matrice $M^{'}$ de $f$ dans la base $B^{'} = (1, x + 1, (x + 1)^{2})$ (on admettra que c'est une base).
Écrire la matrice de passage $P$ de $B$ à $B^{'}$ , calculer $P^{- 1}$ et vérifier que $M^{'} = P^{- 1} M P$ .

Solution

1. Si $de g p \leq 2$ , alors $de g p^{'} \leq 1$ et $de g ((x + 1) p^{'}) \leq 2$ : $f$ envoie bien $R_{2} [x]$ dans lui-même. Elle est linéaire comme composée de la dérivation et de la multiplication par le polynôme fixe $x + 1$ , toutes deux linéaires. Les images des vecteurs de $B$ sont $f (1) = 0$ , $f (x) = x + 1$ , $f (x^{2}) = 2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x$ , d'où

M = Mat_{B} (f) = 000110022 .

2. $f (p) = 0$ si et seulement si $(x + 1) p^{'} = 0$ , c'est-à-dire $p^{'} = 0$ : $ker f = Vect (1)$ , les constantes, de dimension $1$ . Par le théorème du rang, $rg f = 3 - 1 = 2$ , et $Im f = Vect (f (x), f (x^{2})) = Vect (x + 1, x^{2} + x)$ ; c'est l'ensemble des polynômes de $R_{2} [x]$ divisibles par $x + 1$ , c'est-à-dire s'annulant en $- 1$ .

3. $f (1) = 0$ , $f (x + 1) = (x + 1) \cdot 1 = x + 1$ et $f ((x + 1)^{2}) = (x + 1) \cdot 2 (x + 1) = 2 (x + 1)^{2}$ . Chaque vecteur de $B^{'}$ est envoyé sur un multiple de lui-même ( $0$ , $1$ et $2$ fois): la matrice de $f$ dans $B^{'}$ est diagonale,

M^{'} = Mat_{B^{'}} (f) = 000010002 .

4. Les colonnes de $P$ sont les coordonnées de $1$ , $x + 1$ et $(x + 1)^{2} = 1 + 2 x + x^{2}$ dans $B$ :

P = 100110121, P^{- 1} = 100 - 1 10 1 - 2 1

( $P^{- 1}$ s'obtient par Gauss–Jordan, ou en remarquant que $1 = 1$ , $x = (x + 1) - 1$ et $x^{2} = (x + 1)^{2} - 2 (x + 1) + 1$ : ce sont les colonnes de $P^{- 1}$ , coordonnées des anciens vecteurs dans la nouvelle base). Alors

M P = 000110242, P^{- 1} M P = 100 - 1 10 1 - 2 1 000110242 = 000010002 = M^{'} .

Contrôle par les invariants: $tr M = 0 + 1 + 2 = 3 = tr M^{'}$ , $det M = 0 = det M^{'}$ et $rg M = 2 = rg M^{'}$ . Les nombres $0$ , $1$ , $2$ sont les valeurs propres de $f$ et $B^{'}$ est une base de vecteurs propres: $f$ est diagonalisable (chapitre 10).

Exercice 6.4 · Coordonnées homogènes et matrices semblables

En coordonnées homogènes, écrire la matrice $3 \times 3$ de la rotation $ρ$ d'angle $90°$ autour du point $C = (2, 1)$ sous la forme $T_{C} R_{90°} T_{- C}$ , puis effectuer le produit. Vérifier que $C$ est fixe et calculer les images de l'origine et du point $(3, 1)$ .
Un bras robotisé plan a des segments de longueurs $ℓ_{1} = 0, 4$ m et $ℓ_{2} = 0, 3$ m. Calculer la position de l'effecteur pour $θ_{1} = 60°$ et $θ_{2} = - 30°$ .
Soient $A = (41 - 2 1)$ et $P = (2111)$ . Calculer $P^{- 1} A P$ et interpréter le résultat: que représentent les colonnes de $P$ pour l'endomorphisme de matrice $A$ ? Vérifier les invariants de similitude.

Solution

1. D'après (6.13),

T_{C} = 100010211, R_{90°} = 010 - 1 00 001, T_{- C} = 100010 - 2 - 1 1 .

On calcule $R_{90°} T_{- C} = 010 - 1 00 1 - 2 1$ puis

M = T_{C} R_{90°} T_{- C} = 010 - 1 00 3 - 1 1, soit ρ (x, y) = (- y + 3, x - 1) .

Vérifications: $M (2, 1, 1)^{T} = (- 1 + 3, 2 - 1, 1)^{T} = (2, 1, 1)^{T}$ , le centre est fixe; $ρ (0, 0) = (3, - 1)$ et $ρ (3, 1) = (2, 2)$ . Ce dernier est bien à distance $1$ de $C$ , comme $(3, 1)$ , et le vecteur $C (3, 1) = (1, 0)$ a tourné de $90°$ en $C (2, 2) = (0, 1)$ .

2. Par (6.14) avec $θ_{1} + θ_{2} = 30°$ :

x = 0, 4 cos 60° + 0, 3 cos 30° = 0, 2 + 0, 2598 = 0, 4598 m, y = 0, 4 sin 60° + 0, 3 sin 30° = 0, 3464 + 0, 15 = 0, 4964 m .

Le second segment, replié de $30°$ vers l'intérieur, fait un angle de $30°$ avec l'horizontale.

3. $det P = 2 - 1 = 1$ , donc $P^{- 1} = (1 - 1 - 1 2)$ . Alors $A P = (6322)$ et

P^{- 1} A P = (1 - 1 - 1 2) (6322) = (3002) .

Interprétation: dans la base $B^{'} = ((2, 1)^{T}, (1, 1)^{T})$ formée des colonnes de $P$ , l'endomorphisme a une matrice diagonale, ce qui signifie $A (2, 1)^{T} = 3 (2, 1)^{T}$ et $A (1, 1)^{T} = 2 (1, 1)^{T}$ (on le vérifie directement: $A (2, 1)^{T} = (6, 3)^{T}$ , $A (1, 1)^{T} = (2, 2)^{T}$ ). Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres, dilatés respectivement d'un facteur $3$ et $2$ . Invariants: $tr A = 4 + 1 = 5 = 3 + 2$ et $det A = 4 + 2 = 6 = 3 \cdot 2$ ; le rang vaut $2$ des deux côtés.

Exercice 6.5 · Projecteurs: f ∘ f = f

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et $f : E \to E$ un endomorphisme vérifiant $f \circ f = f$ (on dit que $f$ est un projecteur).

Montrer que pour tout $x \in E$ , le vecteur $x - f (x)$ appartient à $ker f$ . En déduire $E = ker f + Im f$ .
Montrer que $ker f \cap Im f = {0}$ , et conclure que $E = ker f \oplus Im f$ .
Montrer que $f$ est l'identité sur $Im f$ . En déduire qu'il existe une base $B^{'}$ de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est $diag (1, \dots, 1, 0, \dots, 0)$ avec $r = rg f$ coefficients $1$ .
En déduire que $tr f = rg f$ pour tout projecteur, et vérifier cette identité sur la matrice $A = \frac{1}{5} (62 - 3 - 1)$ de l'exemple 6.5.

Solution

1. Par linéarité et l'hypothèse $f \circ f = f$ ,

f (x - f (x)) = f (x) - f (f (x)) = f (x) - f (x) = 0,

donc $x - f (x) \in ker f$ . Ainsi tout $x \in E$ s'écrit $x = (x - f (x)) + f (x)$ avec le premier terme dans $ker f$ et le second dans $Im f$ : $E = ker f + Im f$ .

2. Soit $y \in ker f \cap Im f$ . Comme $y \in Im f$ , il existe $x$ avec $y = f (x)$ ; alors $f (y) = f (f (x)) = f (x) = y$ . Mais $y \in ker f$ donne $f (y) = 0$ . Donc $y = 0$ . La somme du point 1 est directe (chapitre 5): $E = ker f \oplus Im f$ . (On retrouve au passage le théorème du rang: $n = dim ker f + rg f$ .)

3. Le calcul du point 2 montre que $f (y) = y$ pour tout $y \in Im f$ . Choisissons une base $(v_{1}, \dots, v_{r})$ de $Im f$ et une base $(u_{1}, \dots, u_{n - r})$ de $ker f$ ; puisque la somme est directe, la famille $B^{'} = (v_{1}, \dots, v_{r}, u_{1}, \dots, u_{n - r})$ est une base de $E$ . Dans cette base, $f (v_{j}) = v_{j}$ (colonne $e_{j}$ ) et $f (u_{i}) = 0$ (colonne nulle):

Mat_{B^{'}} (f) = (I_{r} 0 00) = diag (r 1, \dots, 1, n - r 0, \dots, 0) .

Géométriquement, $f$ est la projection sur $Im f$ parallèlement à $ker f$ , exactement comme dans l'exemple 6.5 et la figure 6.2.

4. La trace est un invariant de similitude (théorème 6.13), donc $tr f = tr Mat_{B^{'}} (f) = r = rg f$ . Pour la matrice $A$ de l'exemple 6.5, on a vérifié $A^{2} = A$ ; sa trace vaut $\frac{1}{5} (6 - 1) = 1$ et son rang vaut $1$ (la seconde colonne est $- \frac{1}{2}$ fois la première): l'identité $tr A = rg A$ est satisfaite. Remarque: la réciproque est fausse en général, mais l'identité $tr f = rg f$ est un test rapide pour repérer une matrice qui ne peut pas être un projecteur, par exemple $(1011)$ , de trace $2$ et de rang $2$ mais dont le carré n'est pas elle-même.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 1.8–1.9, 4.4, 4.7 et 5.4.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 8 (Linear Transformations).
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 3e éd., Springer, chap. 3 (Linear Maps).
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 3 et 4.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, Dunod, Paris, chapitres sur les applications linéaires et les matrices.
Polycopiés Algèbre linéaire (EPFL, première année) et Lineare Algebra (ETH Zurich), chapitres sur les applications linéaires et les changements de base; pour les applications en infographie et en robotique, Marschner, S. et Shirley, P., Fundamentals of Computer Graphics, 5e éd., CRC Press, chap. 6–7.

Objectifs du chapitre

Des transformations qui respectent les combinaisons linéaires

Applications linéaires

Définition et premiers exemples

Applications linéaires de ℝⁿ dans ℝᵐ: ce sont les matrices

Vocabulaire

Noyau et image d'une application linéaire

Le théorème du rang

Les coordonnées: tout espace de dimension n est une copie de ℝⁿ

Matrice d'une application linéaire dans des bases

La composée et le produit matriciel

Explorateur de composition: rotation et cisaillement

Changement de base

Matrice de passage

Changement de base pour une application linéaire

Vers la diagonalisation

Applications

Infographie: transformations géométriques et coordonnées homogènes

Robotique: un bras à deux segments

Filtres linéaires sur les signaux

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 6

Matrice de la réflexion par rapport à la droite y = 2x

Une base adaptée

La matrice de passage

Retour à la base canonique

Vérification sur un vecteur

Exercices

Références