Noyau, image et rang · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir le noyau et l'image d'une matrice, démontrer que ce sont des sous-espaces vectoriels et en calculer une base par l'élimination de Gauss;
expliquer pourquoi les colonnes pivots d'une matrice forment une base de son image et les lignes non nulles de sa forme échelonnée une base de son espace des lignes;
définir le rang, démontrer que $rg A = rg A^{T}$ et majorer le rang d'un produit;
énoncer, démontrer et appliquer le théorème du rang, en particulier pour décrire l'ensemble des solutions d'un système $A x = b$ ;
calculer la somme et l'intersection de deux sous-espaces, utiliser la formule de Grassmann et reconnaître une somme directe;
interpréter noyau et rang dans un réseau électrique, un mécanisme ou une compression de données.

Ce qu'une matrice écrase et ce qu'elle produit

Le chapitre 4 a introduit les sous-espaces vectoriels, les bases et la dimension. Nous appliquons maintenant ces outils à l'objet central du cours: une matrice $A \in M_{m \times n} (R)$ , vue comme la «machine» $x \mapsto A x$ qui transforme un vecteur de $R^{n}$ en un vecteur de $R^{m}$ . Deux questions naturelles se posent à propos de cette machine.

Quelles entrées écrase-t-elle? Autrement dit, quels vecteurs $x$ sont envoyés sur $0$ ? Pensez à l'ombre portée par le soleil sur le sol: la projection d'un point de l'espace sur le plan horizontal «oublie» complètement la direction des rayons. Tout vecteur parallèle aux rayons a une ombre nulle. L'ensemble de ces vecteurs sera le noyau de la matrice de projection.
Quelles sorties peut-elle produire? Quels vecteurs $b$ s'écrivent $b = A x$ pour au moins un $x$ ? Reprenons l'ombre: toutes les ombres sont dans le plan du sol, et aucun point hors du sol n'est l'ombre de quoi que ce soit. L'ensemble des sorties possibles sera l'image de la matrice.

Ces deux questions ont des traductions très concrètes en ingénierie.

Capteurs redondants. Une station de mesure enregistre trois grandeurs $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ qui, en théorie, dépendent linéairement de deux paramètres physiques $x_{1}, x_{2}$ : $b = A x$ avec $A$ de taille $3 \times 2$ . Les mesures «théoriquement possibles» forment un plan de $R^{3}$ , l'image de $A$ ; une mesure réelle qui sort de ce plan révèle du bruit ou un capteur défaillant. Le chapitre 7 expliquera comment projeter la mesure sur ce plan (moindres carrés).
Systèmes sous-déterminés. Un réseau de distribution d'eau comporte plus de conduites que de nœuds: les équations de bilan aux nœuds ne suffisent pas à déterminer tous les débits. Deux répartitions de débits qui satisfont les mêmes bilans diffèrent d'un vecteur du noyau de la matrice du réseau: connaître le noyau, c'est connaître toute la marge de manœuvre de l'exploitant.
Projections en infographie. Une caméra projette la scène tridimensionnelle sur l'écran: sa matrice écrase une direction (la profondeur) et produit un plan d'image. Noyau et image décrivent exactement ce qui est perdu et ce qui est vu.

La figure 5.1 résume la situation en un schéma que nous compléterons au fil du chapitre: dans l'espace de départ $R^{n}$ , le noyau est écrasé sur $0$ tandis qu'un supplémentaire du noyau est envoyé bijectivement sur l'image; dans l'espace d'arrivée $R^{m}$ , l'image est l'ensemble des vecteurs atteints. Le théorème du rang, résultat central du chapitre, affirme que les dimensions se compensent: $dim ker A + dim Im A = n$ .

Figure 5.1. Le schéma des sous-espaces d'une matrice A de taille m × n et de rang r. À gauche, l'espace de départ ℝⁿ contient le noyau (dimension n − r) et un supplémentaire de dimension r; à droite, l'espace d'arrivée ℝᵐ contient l'image (dimension r). La composante x_k du vecteur x dans le noyau est écrasée; seule la composante x_r contribue à Ax.

Le noyau d'une matrice

Le noyau vit dans l'espace de départ $R^{n}$ . Il contient toujours $0$ , puisque $A 0 = 0$ ; la question intéressante est de savoir s'il contient autre chose.

Démonstration. On applique le critère du chapitre 4: un sous-ensemble non vide de $R^{n}$ , stable par addition et par multiplication par un scalaire, est un sous-espace. Le noyau est non vide car $0 \in ker A$ . Si $x, y \in ker A$ et $λ \in R$ , les règles du calcul matriciel (chapitre 2) donnent

A (x + y) = A x + A y = 0 + 0 = 0, A (λ x) = λ A x = λ 0 = 0,

donc $x + y$ et $λ x$ sont dans $ker A$ . $□$

Calcul d'une base du noyau

Calculer le noyau, c'est résoudre un système homogène: c'est le travail du chapitre 1, que nous relisons maintenant avec le vocabulaire des sous-espaces. Après réduction de $A$ à sa forme échelonnée réduite $R$ , les inconnues se répartissent en variables pivots et variables libres; chaque solution s'obtient en choisissant librement les variables libres, les variables pivots s'en déduisant. Le résultat est une description paramétrique du noyau, et les vecteurs qui portent les paramètres en forment une base.

Exemple 5.1 · Noyau d'une matrice 3 × 5

Déterminons une base du noyau de

A = 12 - 1 24 - 2 011 - 1 03 31 - 8 .

Réduction. Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{1}$ donnent

100200011 - 1 22 3 - 5 - 5 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} R = 100200010 - 1 20 3 - 5 0 .

La matrice $R$ est déjà réduite: les pivots sont en colonnes 1 et 3. Les variables pivots sont $x_{1}$ et $x_{3}$ , les variables libres $x_{2}$ , $x_{4}$ et $x_{5}$ .

Lecture des solutions. Le système $R x = 0$ s'écrit $x_{1} = - 2 x_{2} + x_{4} - 3 x_{5}$ et $x_{3} = - 2 x_{4} + 5 x_{5}$ . En posant $x_{2} = s$ , $x_{4} = t$ , $x_{5} = u$ ,

x = - 2 s + t - 3 u s - 2 t + 5 u t u = s - 2 1000 + t 10 - 2 10 + u - 3 0501 = s k_{1} + t k_{2} + u k_{3} .

Conclusion. $ker A = Vect (k_{1}, k_{2}, k_{3})$ , et la famille $(k_{1}, k_{2}, k_{3})$ est libre: en regardant les coordonnées 2, 4 et 5 d'une combinaison $s k_{1} + t k_{2} + u k_{3} = 0$ , on lit directement $s = t = u = 0$ . C'est donc une base du noyau, et $dim ker A = 3$ . On vérifie par exemple $A k_{2} = (1 + 0 + 0 - 1 + 0, 2 + 0 - 2 + 0 + 0, - 1 + 0 - 2 + 3 + 0)$ , soit $(0, 0, 0)$ : correct.

Le mécanisme de l'exemple est général.

Démonstration. Les systèmes $A x = 0$ et $R x = 0$ ont les mêmes solutions, car les opérations élémentaires sur les lignes sont réversibles (chapitre 1). Notons $j_{1}, \dots, j_{n - r}$ les indices des variables libres et $k_{1}, \dots, k_{n - r}$ les vecteurs de l'énoncé. Chaque équation non nulle de $R x = 0$ exprime une variable pivot en fonction des variables libres; la solution générale est donc $x = t_{1} k_{1} + \dots + t_{n - r} k_{n - r}$ lorsque $(t_{1}, \dots, t_{n - r})$ parcourt $R^{n - r}$ : la famille est génératrice du noyau. Elle est libre parce que la coordonnée $j_{i}$ de la combinaison $t_{1} k_{1} + \dots + t_{n - r} k_{n - r}$ vaut exactement $t_{i}$ (seul $k_{i}$ a une coordonnée non nulle, égale à $1$ , en position $j_{i}$ ): si la combinaison est nulle, tous les $t_{i}$ sont nuls. $□$

Démonstration. Par définition du produit matrice-vecteur, $A x = x_{1} c_{1} + \dots + x_{n} c_{n}$ . Un vecteur $x$ du noyau est donc exactement un jeu de coefficients d'une relation linéaire entre les colonnes. Dire que le noyau est réduit à $0$ , c'est dire que la seule relation est la relation triviale, ce qui est la définition d'une famille libre (chapitre 4). $□$

Ainsi, dans l'exemple 5.1, le vecteur $k_{1} = (- 2, 1, 0, 0, 0)$ traduit la relation $- 2 c_{1} + c_{2} = 0$ , c'est-à-dire $c_{2} = 2 c_{1}$ , visible sur la matrice; $k_{2}$ traduit $c_{1} - 2 c_{3} + c_{4} = 0$ , soit $c_{4} = - c_{1} + 2 c_{3}$ . Le noyau est le «catalogue» des dépendances entre les colonnes.

Figure 5.2. La matrice A = [[1, 2], [1, 2]] est de rang 1. À gauche, le plan de départ: le carré unité, les vecteurs e₁ et e₂ et la droite du noyau x + 2y = 0, dont chaque vecteur est envoyé sur 0. À droite, le plan d'arrivée: le carré est aplati sur un segment de la droite image y = x, engendrée par la colonne (1, 1).

Exercice

Soit $A = (12 - 1 1 21)$ . Lequel de ces vecteurs appartient à $ker A$ ?

Exercice

Soit $A = 12012402361448155101661217$ . Que vaut $dim ker A$ ?

L'image et l'espace des lignes

L'image

L'image vit dans l'espace d'arrivée $R^{m}$ . Elle a une description immédiate en termes de colonnes.

Démonstration. Comme $A x = x_{1} c_{1} + \dots + x_{n} c_{n}$ , l'ensemble des $A x$ est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires des colonnes, c'est-à-dire $Vect (c_{1}, \dots, c_{n})$ , qui est un sous-espace d'après le chapitre 4. Le point 2 est une reformulation de la définition: $b \in Im A$ signifie qu'il existe $x$ avec $A x = b$ . $□$

Exemple 5.2 · Trois capteurs pour deux grandeurs

Dans un poste de transformation, deux courants $x_{1}$ et $x_{2}$ sont mesurés par trois capteurs: les deux premiers mesurent $x_{1}$ et $x_{2}$ directement, le troisième mesure le courant total $x_{1} + x_{2}$ dans le conducteur de retour. Le vecteur de mesures théorique est

b = A x, A = 101011 .

L'image de $A$ est $Vect ((1, 0, 1), (0, 1, 1))$ , un plan de $R^{3}$ : c'est l'ensemble des $(b_{1}, b_{2}, b_{3})$ tels que $b_{3} = b_{1} + b_{2}$ . Une mesure $b = (2, 3, 5)$ est dans l'image (le système est compatible, de solution unique $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ ), tandis que $b = (2, 3, 5, 5)$ n'y est pas: le système est incompatible, et l'écart $0, 5$ A entre $b_{3}$ et $b_{1} + b_{2}$ signale un défaut ou du bruit. Le troisième capteur est redondant au sens où il n'ajoute aucune information en l'absence de bruit, mais il permet de détecter une incohérence: c'est le principe des systèmes de surveillance (et des codes correcteurs d'erreurs). Ici $ker A = {0}$ puisque les colonnes sont indépendantes: la mesure, quand elle est cohérente, détermine les courants sans ambiguïté.

Une base de l'image

Les colonnes engendrent l'image, mais elles ne sont pas nécessairement indépendantes. Comment en extraire une base? La réponse est remarquablement simple: ce sont les colonnes pivots de $A$ (les colonnes de $A$ elle-même, pas celles de la forme échelonnée). Elle repose sur le fait suivant.

Démonstration. Le membre de gauche s'écrit $A x = 0$ et le membre de droite $R x = 0$ . Or les opérations élémentaires sur les lignes ne changent pas l'ensemble des solutions d'un système linéaire (chapitre 1; on peut aussi écrire $R = E A$ avec $E$ inversible, produit de matrices élémentaires, de sorte que $R x = 0 ⟺ E A x = 0 ⟺ A x = 0$ ). $□$

Démonstration. Dans la forme échelonnée réduite $R$ , les colonnes pivots sont des vecteurs de la base canonique $e_{1}, \dots, e_{r}$ de $R^{m}$ (à des lignes nulles près): elles sont libres, et chaque colonne non pivot de $R$ est combinaison linéaire des colonnes pivots situées à sa gauche, avec pour coefficients ses propres coordonnées. Par le théorème 5.5, les mêmes énoncés valent pour les colonnes de $A$ : les colonnes pivots de $A$ sont libres, et les autres sont des combinaisons de celles-ci. Elles engendrent donc $Vect (c_{1}, \dots, c_{n}) = Im A$ et en forment une base. $□$

L'espace des lignes

Démonstration. Une opération élémentaire remplace une ligne par une combinaison linéaire des lignes (échange, multiplication par $λ \neq = 0$ , ou $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ ): les nouvelles lignes appartiennent à l'espace des anciennes lignes, donc le nouvel espace est inclus dans l'ancien. Comme chaque opération est réversible par une opération du même type, l'inclusion inverse vaut aussi: les deux espaces sont égaux. Les lignes non nulles d'une forme échelonnée engendrent donc l'espace des lignes de $A$ ; elles sont libres, car dans une combinaison $λ_{1} L_{1} + \dots + λ_{r} L_{r} = 0$ , la coordonnée située sous le premier pivot ne reçoit de contribution que de $L_{1}$ , ce qui force $λ_{1} = 0$ , puis de proche en proche $λ_{2} = \dots = λ_{r} = 0$ . $□$

Dans l'exemple 5.1, l'espace des lignes admet la base $((1, 2, 0, - 1, 3), (0, 0, 1, 2, - 5))$ : deux vecteurs, exactement comme la base de l'image. Ce n'est pas un hasard.

Le rang

Démonstration. D'après le corollaire 5.6, une base de l'image est formée des $r$ colonnes pivots: $dim Im A = r$ . D'après le théorème 5.7, une base de l'espace des lignes est formée des $r$ lignes non nulles de la forme échelonnée: sa dimension est aussi $r$ . Enfin, $r$ ne dépasse ni le nombre $m$ de lignes ni le nombre $n$ de colonnes, et il est égal à $dim Im A$ , quantité intrinsèque qui ne dépend d'aucun choix d'opérations. $□$

Démonstration. L'image de $A^{T}$ est l'espace des lignes de $A$ , dont la dimension est $rg A$ par le théorème 5.8. $□$

Ce corollaire est moins anodin qu'il n'y paraît: il affirme qu'une matrice $1000 \times 7$ dont les $7$ colonnes sont indépendantes possède exactement $7$ lignes indépendantes, et que ses $993$ autres lignes en sont des combinaisons.

Démonstration. Tout vecteur de $Im (A B)$ s'écrit $(A B) x = A (B x)$ : c'est l'image par $A$ d'un vecteur, donc $Im (A B) \subset Im A$ et, un sous-espace ayant une dimension au plus égale à celle de l'espace qui le contient (chapitre 4), $rg (A B) \leq rg A$ . Pour l'autre inégalité, on transpose: $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ , d'où, par ce qui précède et le corollaire 5.9, $rg (A B) = rg (B^{T} A^{T}) \leq rg B^{T} = rg B$ .

Si $A$ est inversible, on applique (5.4) au produit $B = A^{- 1} (A B)$ : $rg B \leq rg (A B)$ , d'où l'égalité. Le cas $B$ inversible est symétrique, avec $A = (A B) B^{- 1}$ . $□$

Ce théorème dit qu'un produit ne peut pas «créer» de rang: chaque facteur, s'il écrase de l'information, la perd définitivement. C'est aussi ce qui justifie que le rang se calcule par élimination: $R = E A$ avec $E$ inversible, donc $rg R = rg A$ .

Exercice

Soit $A$ une matrice $5 \times 3$ et $B$ une matrice $3 \times 5$ , toutes deux de rang $3$ . Que peut-on affirmer sur $A B$ (taille $5 \times 5$ ) et sur $B A$ (taille $3 \times 3$ )?

Le théorème du rang

Les exemples 5.1 et 5.3 donnent, pour une matrice à $n = 5$ colonnes, $dim ker A = 3$ et $rg A = 2$ ; la somme vaut $5$ . L'explication est simple: chaque colonne est soit une colonne pivot (elle compte dans le rang), soit une colonne libre (elle fournit un vecteur de base du noyau).

Démonstration. Soit $r$ le nombre de pivots d'une forme échelonnée de $A$ . Chacune des $n$ colonnes est soit une colonne pivot, soit une colonne libre; il y a donc $r$ variables pivots et $n - r$ variables libres. Le théorème 5.8 donne $rg A = r$ et le théorème 5.2 donne $dim ker A = n - r$ . La somme vaut $r + (n - r) = n$ . $□$

Une seconde démonstration, sans élimination

On peut démontrer (5.5) sans jamais échelonner, par un argument qui s'étendra au chapitre 6 à toutes les applications linéaires. Soit $(k_{1}, \dots, k_{p})$ une base de $ker A$ , que l'on complète (théorème de la base incomplète, chapitre 4) en une base $(k_{1}, \dots, k_{p}, v_{1}, \dots, v_{q})$ de $R^{n}$ , avec $p + q = n$ . On montre que $(A v_{1}, \dots, A v_{q})$ est une base de $Im A$ . Génératrice: tout $x \in R^{n}$ s'écrit $\sum α_{i} k_{i} + \sum β_{j} v_{j}$ , et $A x = \sum β_{j} A v_{j}$ puisque $A k_{i} = 0$ . Libre: si $\sum β_{j} A v_{j} = 0$ , alors $A (\sum β_{j} v_{j}) = 0$ , donc $\sum β_{j} v_{j} \in ker A$ s'écrit $\sum α_{i} k_{i}$ ; la relation $\sum α_{i} k_{i} - \sum β_{j} v_{j} = 0$ dans une base force tous les coefficients à être nuls. Ainsi $rg A = q = n - p = n - dim ker A$ . C'est exactement la figure 5.1: le supplémentaire $Vect (v_{1}, \dots, v_{q})$ du noyau est envoyé bijectivement sur l'image.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la seconde démonstration du théorème du rang (par extension d'une base du noyau).

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Montrer que

(A v_{1}, \dots, A v_{q})

est libre: une relation

\sum β_{j} A v_{j} = 0

place

\sum β_{j} v_{j}

dans le noyau

La compléter en une base

(k_{1}, \dots, k_{p}, v_{1}, \dots, v_{q})

R^{n}

, avec

p + q = n

Choisir une base

(k_{1}, \dots, k_{p})

ker A

Conclure:

rg A = q = n - p = n - dim ker A

Montrer que

(A v_{1}, \dots, A v_{q})

engendre

Im A

, car

A k_{i} = 0

Conséquences pour les systèmes linéaires

Le théorème du rang précise le théorème d'inversibilité des chapitres 2 et 3 et règle le cas des systèmes non carrés.

Démonstration. L'équivalence de 1, 2 et 3 a été rappelée dans la remarque qui précède le théorème 5.10. Par le théorème du rang, $rg A = n ⟺ dim ker A = 0 ⟺ ker A = {0}$ : c'est $3 ⟺ 4$ . De même $rg A = n ⟺ dim Im A = n ⟺ Im A = R^{n}$ , un sous-espace de $R^{n}$ de dimension $n$ étant $R^{n}$ tout entier: c'est $3 ⟺ 5$ . Les colonnes, au nombre de $n$ , forment une base si et seulement si elles sont libres (chapitre 4), c'est-à-dire si $ker A = {0}$ (théorème 5.3): $4 ⟺ 6$ . Enfin $7$ est l'assertion $6$ pour $A^{T}$ , et $rg A^{T} = rg A$ . $□$

Le point 4 est particulièrement utile en pratique: pour une matrice carrée, l'unicité de la solution de $A x = b$ (pour un seul $b$ ) entraîne l'existence d'une solution pour tous les $b$ , et réciproquement. Cette symétrie disparaît pour les matrices rectangulaires.

Démonstration. Dans les deux cas, $rg A \leq min (m, n)$ . Si $n > m$ , le théorème du rang donne $dim ker A = n - rg A \geq n - m > 0$ . Si $n < m$ , $dim Im A \leq n < m = dim R^{m}$ , donc l'image est un sous-espace strict de $R^{m}$ . $□$

Structure de l'ensemble des solutions

Démonstration. Si $k \in ker A$ , alors $A (x_{p} + k) = A x_{p} + A k = b + 0 = b$ : tout élément de $x_{p} + ker A$ est solution. Réciproquement, si $x$ est une solution, $A (x - x_{p}) = b - b = 0$ , donc $k = x - x_{p} \in ker A$ et $x = x_{p} + k$ . $□$

Géométriquement, $S$ est le sous-espace $ker A$ translaté par $x_{p}$ : une droite, un plan, etc., qui ne passe plus par l'origine. C'est la traduction exacte de la discussion du chapitre 1 sur les systèmes à une infinité de solutions.

Exemple 5.4 · Toutes les solutions d'un système 3 × 5

Reprenons la matrice $A$ de l'exemple 5.1 et résolvons $A x = b$ avec $b = (1, 3, 0)$ . Les mêmes opérations sur la matrice augmentée donnent

12 - 1 24 - 2 011 - 1 03 31 - 8 130 ⟶ 100200010 - 1 20 3 - 5 0 110 .

Le système est compatible ( $b \in Im A$ : aucune ligne du type $0 = 1$ ). En prenant toutes les variables libres nulles, on obtient la solution particulière $x_{p} = (1, 0, 1, 0, 0)$ ; on vérifie $A x_{p} = (1 + 0, 2 + 1, - 1 + 1) = (1, 3, 0)$ . Par (5.6) et l'exemple 5.1,

S = ⎩ ⎨ ⎧ 10100 + s - 2 1000 + t 10 - 2 10 + u - 3 0501 : s, t, u \in R ⎭ ⎬ ⎫,

un sous-espace affine de dimension $3$ dans $R^{5}$ . Avec $b = (1, 3, 1)$ en revanche, la troisième ligne de la matrice augmentée réduite deviendrait $(00000 ∣ 1)$ : ce second membre n'est pas dans l'image et le système n'a aucune solution.

Explorateur noyau – image d'une matrice 2 × 2

Réglez les coefficients de A = [[a, b], [c, d]]. Le disque unité (gris) est envoyé sur une ellipse pleine (rang 2) ou sur un segment (rang 1). Lorsque le déterminant s'annule, la droite du noyau (pointillée) est écrasée sur l'origine et l'image se réduit à une droite.

Rang de A

dim Ker A

det A = ad − bc

0,00

Noyau

1,0·x + 2,0·y = 0

Image

2,0·x − 2,0·y = 0

a (ligne 1, colonne 1)1,0

b (ligne 1, colonne 2)2,0

c (ligne 2, colonne 1)1,0

d (ligne 2, colonne 2)2,0

Prenez le temps, dans l'explorateur, de passer d'une matrice inversible (rang 2, le disque devient une ellipse pleine d'aire $π ∣ det A ∣$ ) à une matrice singulière (rang 1, l'ellipse s'aplatit en un segment porté par la droite image, tandis que la droite du noyau apparaît). Observez que la droite du noyau et la droite image ne sont en général pas perpendiculaires: pour $A = (1122)$ , le noyau est la droite $x + 2 y = 0$ et l'image la droite $y = x$ . Elles le seraient pour une matrice symétrique, fait que le chapitre 11 expliquera.

Exercice

Une matrice $A$ de taille $4 \times 6$ est de rang $3$ et $b \in Im A$ . Que peut-on dire de l'ensemble $S$ des solutions de $A x = b$ ?

Somme et intersection de sous-espaces

Le théorème du rang met en jeu, dans l'espace de départ, le noyau et un supplémentaire du noyau. Cette idée de «découper» un espace en deux morceaux mérite d'être précisée: comment combiner deux sous-espaces, et quand deux sous-espaces reconstituent-ils l'espace entier sans redondance?

Somme et intersection

Démonstration. L'intersection contient $0$ ; si $x, y \in F \cap G$ et $λ \in R$ , alors $x + y$ et $λ x$ sont dans $F$ (sous-espace) et dans $G$ (sous-espace), donc dans $F \cap G$ . La somme contient $0 = 0 + 0$ ; si $x = f + g$ et $y = f^{'} + g^{'}$ , alors $x + y = (f + f^{'}) + (g + g^{'}) \in F + G$ et $λ x = λ f + λ g \in F + G$ . Tout sous-espace $H$ contenant $F$ et $G$ contient les sommes $f + g$ , donc $F + G \subset H$ ; et $F + G$ contient bien $F$ (prendre $g = 0$ ) et $G$ . Enfin, un élément $f + g$ est une combinaison linéaire des $f_{i}$ et des $g_{j}$ , et réciproquement toute combinaison linéaire des $f_{i}$ et des $g_{j}$ se regroupe en un élément de $F$ plus un élément de $G$ . $□$

Figure 5.3. Deux plans F (z = x) et G (y = −x) de ℝ³ passant par l'origine. Leur somme F + G est ℝ³ tout entier, leur intersection est la droite engendrée par (1, −1, 1). La formule de Grassmann donne 3 = 2 + 2 − 1: la somme n'est pas directe, il y a une direction de redondance.

La formule de Grassmann

Démonstration. Soit $(w_{1}, \dots, w_{k})$ une base de $F \cap G$ (avec $k = 0$ si l'intersection est ${0}$ ). C'est une famille libre de $F$ : on la complète en une base $(w_{1}, \dots, w_{k}, f_{1}, \dots, f_{p})$ de $F$ , avec $dim F = k + p$ . De même, on la complète en une base $(w_{1}, \dots, w_{k}, g_{1}, \dots, g_{q})$ de $G$ , avec $dim G = k + q$ . Montrons que la famille

B = (w_{1}, \dots, w_{k}, f_{1}, \dots, f_{p}, g_{1}, \dots, g_{q})

est une base de $F + G$ ; la formule en découlera: $dim (F + G) = k + p + q = (k + p) + (k + q) - k$ .

Génératrice: par la proposition 5.15, $F + G$ est engendré par la réunion d'une famille génératrice de $F$ et d'une famille génératrice de $G$ , et $B$ contient l'une et l'autre.

Libre: supposons $\sum_{i} α_{i} w_{i} + \sum_{j} β_{j} f_{j} + \sum_{l} γ_{l} g_{l} = 0$ . Le vecteur $g = \sum_{l} γ_{l} g_{l}$ appartient à $G$ ; mais l'égalité donne $g = - \sum_{i} α_{i} w_{i} - \sum_{j} β_{j} f_{j} \in F$ . Donc $g \in F \cap G$ , et il s'écrit $g = \sum_{i} δ_{i} w_{i}$ dans la base de $F \cap G$ . L'égalité $\sum_{l} γ_{l} g_{l} - \sum_{i} δ_{i} w_{i} = 0$ est une relation entre les vecteurs de la base de $G$ : tous les $γ_{l}$ (et $δ_{i}$ ) sont nuls. La relation de départ se réduit alors à $\sum_{i} α_{i} w_{i} + \sum_{j} β_{j} f_{j} = 0$ , relation entre les vecteurs de la base de $F$ : tous les $α_{i}$ et $β_{j}$ sont nuls. $□$

La formule est l'analogue du principe d'inclusion-exclusion pour les ensembles finis, $∣ A \cup B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ , la somme jouant le rôle de la réunion. Elle permet des raisonnements «par comptage»: deux plans de $R^{3}$ passant par l'origine ont une somme de dimension au plus $3$ , donc une intersection de dimension au moins $2 + 2 - 3 = 1$ : ils se coupent toujours au moins selon une droite (figure 5.3). Deux plans de $R^{4}$ , en revanche, peuvent ne se couper qu'en $0$ .

Exercice

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces de $R^{4}$ , tous deux de dimension $3$ . Quelle est la plus petite valeur possible de $dim (F \cap G)$ ?

Sommes directes et supplémentaires

Démonstration. $1 \Rightarrow 2$ : si $x \in F \cap G$ , alors $x = x + 0$ (avec $x \in F$ , $0 \in G$ ) et $x = 0 + x$ (avec $0 \in F$ , $x \in G$ ) sont deux décompositions; par unicité, $x = 0$ .

$2 \Rightarrow 1$ : si $f + g = f^{'} + g^{'}$ , alors $f - f^{'} = g^{'} - g$ est à la fois dans $F$ et dans $G$ , donc nul: $f = f^{'}$ et $g = g^{'}$ .

$2 ⟺ 3$ : c'est la formule de Grassmann, $dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ , où $dim (F \cap G) = 0$ équivaut à $F \cap G = {0}$ .

$3 ⟺ 4$ : la réunion des deux bases engendre toujours $F + G$ (proposition 5.15) et compte $dim F + dim G$ vecteurs; c'est une base si et seulement si ce nombre est la dimension de $F + G$ (chapitre 4: une famille génératrice de cardinal égal à la dimension est une base).

Pour la dernière affirmation: $E = F \oplus G$ signifie $F + G = E$ et somme directe; par $3$ , cela équivaut à $F \cap G = {0}$ et $dim F + dim G = dim (F + G) = dim E$ , sachant qu'un sous-espace de $E$ de dimension $dim E$ est $E$ . $□$

Exemple 5.5 · Matrices symétriques et antisymétriques

Dans $E = M_{n \times n} (R)$ , notons $S_{n}$ le sous-espace des matrices symétriques ( $A^{T} = A$ ) et $A_{n}$ celui des matrices antisymétriques ( $A^{T} = - A$ ). Montrons que $M_{n \times n} (R) = S_{n} \oplus A_{n}$ .

Intersection. Si $A$ est à la fois symétrique et antisymétrique, $A = A^{T} = - A$ , donc $2 A = 0$ et $A = 0$ : $S_{n} \cap A_{n} = {0}$ .

Somme. Toute matrice $M$ s'écrit

M = \in S_{n} \frac{M + M ^{T}}{2} + \in A_{n} \frac{M - M ^{T}}{2},

car $(M + M^{T})^{T} = M^{T} + M$ et $(M - M^{T})^{T} = M^{T} - M = - (M - M^{T})$ . Donc $S_{n} + A_{n} = E$ , et par le théorème 5.17 la somme est directe. Par exemple,

(1243) = (1333) + (0 - 1 10) .

Dimensions. Une matrice symétrique est déterminée par ses coefficients sur et au-dessus de la diagonale: $dim S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ; une matrice antisymétrique a une diagonale nulle et est déterminée par ses coefficients strictement au-dessus: $dim A_{n} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ . On vérifie $\frac{n ( n + 1 )}{2} + \frac{n ( n - 1 )}{2} = n^{2} = dim E$ , en accord avec le théorème 5.17. En mécanique des milieux continus, cette décomposition sépare le gradient des déplacements en une déformation (partie symétrique) et une rotation infinitésimale (partie antisymétrique).

Le même argument pour les fonctions. Dans l'espace des fonctions $R \to R$ , les fonctions paires et les fonctions impaires forment deux sous-espaces supplémentaires: $f (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2} + \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2}$ , et une fonction à la fois paire et impaire est nulle. Pour $f = exp$ , on obtient $exp = cosh + sinh$ .

Calcul pratique de F + G et de F ∩ G

Dans $R^{n}$ , les deux sous-espaces sont donnés par des familles génératrices et tout se ramène à l'élimination de Gauss.

Somme. Par la proposition 5.15, $F + G$ est engendré par la réunion des deux familles: on range ces vecteurs en lignes d'une matrice, on échelonne, et les lignes non nulles forment une base de $F + G$ (théorème 5.7).
Intersection. Un vecteur de $F \cap G$ s'écrit $\sum α_{i} f_{i} = \sum β_{j} g_{j}$ . On résout le système homogène $\sum α_{i} f_{i} - \sum β_{j} g_{j} = 0$ d'inconnues $(α, β)$ : c'est le calcul du noyau de la matrice dont les colonnes sont les $f_{i}$ et les $- g_{j}$ . Chaque vecteur de ce noyau fournit un vecteur $\sum α_{i} f_{i}$ de l'intersection.

Exemple 5.6 · Somme et intersection de deux plans de ℝ⁴

Soient $F = Vect (f_{1}, f_{2})$ et $G = Vect (g_{1}, g_{2})$ dans $R^{4}$ , avec

f_{1} = (1, 0, 1, 0), f_{2} = (0, 1, 0, 1), g_{1} = (1, 1, 0, 0), g_{2} = (0, 0, 1, 1) .

Chaque famille est libre (les vecteurs ne sont pas proportionnels), donc $dim F = dim G = 2$ .

Somme. On échelonne la matrice des quatre vecteurs en lignes:

1010011010010101 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} - L_{2} 10000100 10 - 1 1 01 - 1 1 L_{4} \leftarrow L_{4} + L_{3} 10000100 10 - 1 0 01 - 1 0 .

Trois lignes non nulles: $dim (F + G) = 3$ , et $F + G = Vect ((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1))$ est l'hyperplan d'équation $x_{1} - x_{2} - x_{3} + x_{4} = 0$ (on vérifie que les quatre vecteurs de départ la satisfont).

Intersection. La formule de Grassmann annonce $dim (F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . Pour trouver un vecteur directeur, on résout $α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2} - β_{1} g_{1} - β_{2} g_{2} = 0$ , c'est-à-dire, coordonnée par coordonnée,

⎩ ⎨ ⎧ α_{1} - β_{1} = 0 α_{2} - β_{1} = 0 α_{1} - β_{2} = 0 α_{2} - β_{2} = 0 ⟹ α_{1} = α_{2} = β_{1} = β_{2} = t .

Avec $t = 1$ : $f_{1} + f_{2} = (1, 1, 1, 1) = g_{1} + g_{2}$ . Donc $F \cap G = Vect ((1, 1, 1, 1))$ , et la somme n'est pas directe. Si l'on remplace $g_{2}$ par $(0, 0, 1, - 1)$ , l'échelonnement donne quatre lignes non nulles, $F + G = R^{4}$ , et $F \oplus G = R^{4}$ : les deux plans deviennent supplémentaires.

Applications

Réseaux, loi des nœuds et matrice d'incidence

Un réseau électrique (ou hydraulique, ou routier) est un graphe orienté: $n$ nœuds reliés par $m$ arêtes, chacune munie d'un sens de parcours conventionnel. Sa matrice d'incidence $A \in M_{m \times n} (R)$ a une ligne par arête et une colonne par nœud: la ligne de l'arête allant du nœud $i$ au nœud $j$ contient $- 1$ en colonne $i$ , $+ 1$ en colonne $j$ et des zéros ailleurs.

Si $u \in R^{n}$ est le vecteur des potentiels aux nœuds, $A u$ est le vecteur des différences de potentiel le long des arêtes. Si $y \in R^{m}$ est le vecteur des courants dans les arêtes, la coordonnée $j$ de $A^{T} y$ est le courant total qui arrive au nœud $j$ moins celui qui en part: la loi des nœuds de Kirchhoff (rien ne s'accumule aux nœuds) s'écrit $A^{T} y = 0$ .

Exemple 5.7 · Un réseau à quatre nœuds et cinq arêtes

Considérons le graphe à quatre nœuds $1, 2, 3, 4$ et cinq arêtes $e_{1} : 1 \to 2$ , $e_{2} : 2 \to 3$ , $e_{3} : 3 \to 4$ , $e_{4} : 4 \to 1$ (un carré) et $e_{5} : 1 \to 3$ (une diagonale). Sa matrice d'incidence et sa forme échelonnée réduite sont

A = - 1 001 - 1 1 - 1 000 01 - 1 01 001 - 1 0, R = 100000100000100 - 1 - 1 - 1 00 .

Noyau de $A$ . $R u = 0$ donne $u_{1} = u_{2} = u_{3} = u_{4}$ : $ker A = Vect ((1, 1, 1, 1))$ , les potentiels constants. C'est la traduction du fait que seul le potentiel relatif a un sens: on peut choisir librement la «masse». Ici $rg A = 3 = n - 1$ .

Circulations. Le théorème du rang appliqué à $A^{T}$ (de taille $4 \times 5$ , de rang $3$ par le corollaire 5.9) donne $dim ker A^{T} = 5 - 3 = 2$ : il y a deux répartitions de courants indépendantes qui respectent la loi des nœuds sans aucune source. En résolvant $A^{T} y = 0$ , on trouve la base

y_{1} = (1, 1, 1, 1, 0) et y_{2} = (- 1, - 1, 0, 0, 1),

soit un courant unité qui tourne autour du carré, et un courant qui parcourt le triangle $1 \to 3 \to 2 \to 1$ (arête $e_{5}$ dans son sens, puis $e_{2}$ et $e_{1}$ à rebours). Ce sont les mailles du réseau: tout courant satisfaisant la loi des nœuds est une combinaison de courants de mailles, principe de la méthode des mailles en électrotechnique.

Compatibilité. Le système $A u = v$ (trouver des potentiels réalisant des tensions données $v$ sur les arêtes) n'est compatible que si $v \in Im A$ , sous-espace de dimension $3$ de $R^{5}$ : les tensions doivent satisfaire deux conditions, les lois des mailles $v_{1} + v_{2} + v_{3} + v_{4} = 0$ et $- v_{1} - v_{2} + v_{5} = 0$ . On reconnaît les coefficients de $y_{1}$ et $y_{2}$ : les mailles qui décrivent le noyau de $A^{T}$ décrivent aussi les conditions de compatibilité de $A$ . Ce lien entre $ker A^{T}$ et $Im A$ sera expliqué au chapitre 7.

Démonstration. L'équation $A u = 0$ dit que $u_{i} = u_{j}$ pour chaque arête $i \to j$ . Dans un graphe connexe, de proche en proche le long d'un chemin, tous les $u_{i}$ sont égaux: $ker A$ est formé des vecteurs constants, de dimension $1$ , et le théorème du rang donne $rg A = n - 1$ . Si le graphe a $c$ composantes, $u$ est constant sur chaque composante, avec une constante indépendante par composante: $dim ker A = c$ et $rg A = n - c$ . Enfin $rg A^{T} = rg A = n - c$ et le théorème du rang pour $A^{T}$ , qui a $m$ colonnes, donne $dim ker A^{T} = m - (n - c)$ . $□$

Pour un graphe planaire connexe, $m - n + 1$ est le nombre de faces intérieures: on retrouve la formule d'Euler $n - m + f = 2$ (en comptant la face extérieure), ce qui montre combien l'algèbre linéaire et la topologie des réseaux sont proches.

Mécanismes et degrés de liberté

Un treillis plan est un assemblage de barres articulées. Si l'on note $u \in R^{2 N}$ le vecteur des petits déplacements des $N$ nœuds, l'allongement de chaque barre est une fonction linéaire de $u$ : l'ensemble des allongements est $B u$ , où $B$ est la matrice de compatibilité, avec une ligne par barre. Le noyau de $B$ est l'ensemble des déplacements qui n'allongent aucune barre: il contient toujours les mouvements rigides du plan (deux translations et une rotation, donc $dim ker B \geq 3$ pour une structure libre), et tout vecteur supplémentaire du noyau est un mécanisme, c'est-à-dire un mode de déformation sans effort: la structure n'est pas rigide.

Pour une seule barre horizontale de longueur $1$ entre les nœuds $1$ et $2$ , l'allongement est $u_{2 x} - u_{1 x}$ , donc $B = (- 1010)$ , de rang $1$ , et $dim ker B = 4 - 1 = 3$ : exactement les trois mouvements rigides, aucun mécanisme. Pour un treillis quelconque fixé au sol (ce qui supprime les mouvements rigides), la structure est rigide si et seulement si $ker B = {0}$ , soit $rg B = 2 N$ , ce qui exige au moins $2 N$ barres: c'est le critère de Maxwell, que le théorème du rang rend rigoureux. Réciproquement, $ker B^{T}$ décrit les états d'autocontrainte, ensembles d'efforts dans les barres en équilibre sans charge extérieure, qui rendent une structure hyperstatique.

Compression par rang faible

Une image en niveaux de gris est une matrice $M \in M_{m \times n} (R)$ , souvent de plusieurs millions de coefficients. Si $rg M = r$ , le corollaire 5.6 permet d'écrire $M = C P$ où $C \in M_{m \times r}$ contient une base de l'image et $P \in M_{r \times n}$ les coordonnées de chaque colonne dans cette base: il suffit de stocker $r (m + n)$ nombres au lieu de $mn$ . Une image réelle n'est presque jamais de rang faible, mais elle est souvent proche d'une matrice de rang faible: la décomposition en valeurs singulières du chapitre 12 fournit la meilleure approximation de rang $r$ de $M$ , et $r = 20$ suffit fréquemment à reconnaître une photographie de $500 \times 500$ pixels, avec un facteur de compression de $250 000/20 000 = 12, 5$ . Le rang mesure donc, au sens le plus concret, la quantité d'information indépendante contenue dans un tableau de données.

Exercice

Un réseau électrique connexe comporte $6$ nœuds et $9$ branches. Combien de lois des mailles indépendantes faut-il écrire pour compléter les lois des nœuds?

Synthèse

Le noyau $ker A = {x : A x = 0}$ est un sous-espace de l'espace de départ; sa base se lit sur les variables libres de la forme échelonnée réduite, et $ker A = {0}$ si et seulement si les colonnes de $A$ sont libres.
L'image $Im A = Vect (colonnes)$ est un sous-espace de l'espace d'arrivée; $A x = b$ est compatible si et seulement si $b \in Im A$ ; les colonnes pivots de $A$ (et non de $R$ ) en forment une base.
Le rang est $dim Im A$ = nombre de pivots = dimension de l'espace des lignes; $rg A^{T} = rg A$ et $rg (A B) \leq min (rg A, rg B)$ .
Théorème du rang: $dim ker A + rg A = n$ . Pour une matrice carrée, inversible $⟺$ rang $n$ $⟺$ noyau nul $⟺$ image totale; un système compatible a pour solutions $x_{p} + ker A$ .
Somme et intersection de sous-espaces sont des sous-espaces, liés par la formule de Grassmann $dim (F + G) = dim F + dim G - dim (F \cap G)$ ; la somme est directe si et seulement si $F \cap G = {0}$ , et $E = F \oplus G$ définit des supplémentaires.
Dans un réseau, le noyau de la matrice d'incidence décrit les potentiels indéterminés et le noyau de sa transposée les mailles; dans un treillis, le noyau de la matrice de compatibilité décrit les mouvements rigides et les mécanismes.

Série d'exercices du chapitre 5

Exercice 1 sur 5

Exercice

Soit $A$ une matrice $3 \times 5$ . Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie?

Problème guidé

Noyau, image et solutions d'un système 3 × 4

On considère la matrice $A = 121242 10 - 1 32 - 1$ et le second membre $b = (2, 2, 0)$ . On cherche une base du noyau, une base de l'image, on vérifie le théorème du rang et l'on décrit toutes les solutions de $A x = b$ .

1
Réduction et rang
Effectuez $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ , $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ , puis normalisez et éliminez au-dessus du second pivot pour obtenir la forme échelonnée réduite $R$ .
Exercice
Combien de pivots possède $R$ (c'est le rang de $A$ )?
Base du noyau
Base de l'image et théorème du rang
Solutions de Ax = b

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 5.1 · Noyau, image et rang d'une matrice 3 × 4

Soit

A = 120360 - 2 - 5 5 0 - 2 10 .

Déterminer la forme échelonnée réduite de $A$ et son rang.
Donner une base de $ker A$ et une base de $Im A$ ; vérifier le théorème du rang.
Donner une base de l'espace des lignes de $A$ .
Le vecteur $b = (1, 2, 0)$ appartient-il à $Im A$ ? Et $b^{'} = (0, 0, 1)$ ?

Solution

1. $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne la ligne $(0, 0, - 1, - 2)$ ; puis $L_{2} \leftarrow - L_{2}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 5 L_{2}$ annulent la troisième ligne; enfin $L_{1} \leftarrow L_{1} + 2 L_{2}$ :

R = 100300010420, rg A = 2 (pivots en colonnes 1 et 3) .

2. Variables libres $x_{2} = s$ , $x_{4} = t$ ; $x_{1} = - 3 s - 4 t$ , $x_{3} = - 2 t$ . Donc

ker A = Vect ((- 3, 1, 0, 0), (- 4, 0, - 2, 1)), dim ker A = 2.

Vérification: $A (- 4, 0, - 2, 1)^{T} = (- 4 + 4 + 0, - 8 + 10 - 2, 0 - 10 + 10) = 0$ . Une base de l'image est formée des colonnes pivots de $A$ : $Im A = Vect ((1, 2, 0), (- 2, - 5, 5))$ . Théorème du rang: $2 + 2 = 4$ colonnes.

3. Les lignes non nulles de $R$ : $((1, 3, 0, 4), (0, 0, 1, 2))$ . On peut aussi prendre deux lignes indépendantes de $A$ , par exemple les lignes 1 et 3.

4. $b = (1, 2, 0)$ est la première colonne de $A$ : il appartient à l'image ( $b = A e_{1}$ ). Pour $b^{'} = (0, 0, 1)$ , on cherche $α (1, 2, 0) + β (- 2, - 5, 5) = (0, 0, 1)$ : les deux premières coordonnées donnent $α = 2 β$ et $2 α = 5 β$ , d'où $β = 0$ et $α = 0$ , incompatible avec $5 β = 1$ . Donc $b^{'} \in / Im A$ : le système $A x = b^{'}$ n'a pas de solution. L'image est le plan d'équation $- 10 b_{1} + 5 b_{2} + b_{3} = 0$ (les deux vecteurs de base le vérifient), et $b^{'}$ ne le satisfait pas.

Exercice 5.2 · Rang d'une matrice dépendant d'un paramètre

Pour $λ \in R$ , on pose

A_{λ} = 11 λ 1 λ 1 λ 11 .

Calculer $det A_{λ}$ et le factoriser.
Déterminer $rg A_{λ}$ et $dim ker A_{λ}$ selon les valeurs de $λ$ .
Pour chaque valeur de $λ$ où $A_{λ}$ n'est pas inversible, donner une base de $ker A_{λ}$ .

Solution

1. Par développement selon la première ligne (chapitre 3),

det A_{λ} = 1 (λ - 1) - 1 (1 - λ) + λ (1 - λ^{2}) = 2 (λ - 1) + λ - λ^{3} = - λ^{3} + 3 λ - 2.

On remarque que $λ = 1$ est racine; la division donne $- λ^{3} + 3 λ - 2 = - (λ - 1) (λ^{2} + λ - 2) = - (λ - 1)^{2} (λ + 2)$ .

2. Si $λ \in / {1, - 2}$ , $det A_{λ} \neq = 0$ : $rg A_{λ} = 3$ et $ker A_{λ} = {0}$ .

Si $λ = 1$ , les trois lignes sont égales à $(1, 1, 1)$ : $rg A_{1} = 1$ et $dim ker A_{1} = 3 - 1 = 2$ .

Si $λ = - 2$ , la matrice est $11 - 2 1 - 2 1 - 2 11$ . Les opérations $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} + 2 L_{1}$ donnent les lignes $(0, - 3, 3)$ et $(0, 3, - 3)$ , dont la somme est nulle: $rg A_{- 2} = 2$ et $dim ker A_{- 2} = 1$ .

3. Pour $λ = 1$ : $ker A_{1} = {x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}$ , de base $((- 1, 1, 0), (- 1, 0, 1))$ .

Pour $λ = - 2$ : le système réduit est $x_{2} = x_{3}$ et $x_{1} + x_{2} - 2 x_{3} = 0$ , soit $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ : $ker A_{- 2} = Vect ((1, 1, 1))$ . Vérification: chaque ligne de $A_{- 2}$ a pour somme $1 + 1 - 2 = 0$ , donc $A_{- 2} (1, 1, 1)^{T} = 0$ .

On constate que le rang «chute» précisément aux racines du déterminant, et qu'il chute davantage à la racine double $λ = 1$ : ce phénomène sera au cœur du chapitre 9 sur les valeurs propres.

Exercice 5.3 · Somme et intersection dans ℝ⁴

Dans $R^{4}$ , soient $F = Vect (f_{1}, f_{2})$ et $G = Vect (g_{1}, g_{2})$ avec

f_{1} = (1, 1, 0, 0), f_{2} = (0, 1, 1, 0), g_{1} = (0, 0, 1, 1), g_{2} = (1, 0, 0, 1) .

Déterminer $dim F$ , $dim G$ et une base de $F + G$ .
En déduire $dim (F \cap G)$ par la formule de Grassmann, puis déterminer une base de $F \cap G$ .
Par quel vecteur peut-on remplacer $g_{2}$ pour que $F$ et $G$ deviennent supplémentaires dans $R^{4}$ ? Justifier.

Solution

1. $f_{1}$ et $f_{2}$ ne sont pas proportionnels: $dim F = 2$ ; de même $dim G = 2$ . On échelonne la matrice des quatre vecteurs en lignes:

1001110001100011 L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{1} 1000 110 - 1 01100011 L_{4} \leftarrow L_{4} + L_{2} 1000110001110011 L_{4} \leftarrow L_{4} - L_{3} 1000110001100010 .

Donc $dim (F + G) = 3$ , de base $((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1))$ ; c'est l'hyperplan $x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0$ .

2. $dim (F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . On cherche $α_{1} f_{1} + α_{2} f_{2} = β_{1} g_{1} + β_{2} g_{2}$ :

⎩ ⎨ ⎧ α_{1} = β_{2} α_{1} + α_{2} = 0 α_{2} = β_{1} 0 = β_{1} + β_{2} ⟹ (α_{1}, α_{2}, β_{1}, β_{2}) = t (1, - 1, - 1, 1) .

Pour $t = 1$ : $f_{1} - f_{2} = (1, 0, - 1, 0) = - g_{1} + g_{2}$ . Ainsi $F \cap G = Vect ((1, 0, - 1, 0))$ .

3. Il faut $dim (F + G) = 4$ , c'est-à-dire que $g_{2}^{'}$ ne soit pas dans $F + Vect (g_{1})$ , hyperplan d'équation $x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} = 0$ . Par exemple $g_{2}^{'} = (1, 0, 0, - 1)$ : on a $1 - 0 + 0 + 1 = 2 \neq = 0$ . Alors la famille $(f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2}^{'})$ est libre (les trois premiers vecteurs sont libres, et le quatrième n'est pas dans leur espace engendré), donc $F + G^{'} = R^{4}$ avec $dim F + dim G^{'} = 4$ : par le théorème 5.17, $R^{4} = F \oplus G^{'}$ . Tout vecteur ayant $x_{1} - x_{2} + x_{3} - x_{4} \neq = 0$ convient.

Exercice 5.4 · Rang et puissances d'une matrice

Soit $A \in M_{n \times n} (R)$ .

Montrer que $ker A \subset ker A^{2}$ et $Im A^{2} \subset Im A$ ; en déduire $rg A^{2} \leq rg A$ .
On suppose $A^{2} = 0$ . Montrer que $Im A \subset ker A$ , puis que $rg A \leq n /2$ .
Donner une matrice $4 \times 4$ non nulle telle que $A^{2} = 0$ et $rg A = 2$ . Existe-t-il une matrice $3 \times 3$ avec $A^{2} = 0$ et $rg A = 2$ ?
Montrer que si $ker A = ker A^{2}$ , alors $ker A^{2} = ker A^{3}$ .

Solution

1. Si $A x = 0$ , alors $A^{2} x = A (A x) = A 0 = 0$ : $ker A \subset ker A^{2}$ . Si $y = A^{2} x$ , alors $y = A (A x) \in Im A$ : $Im A^{2} \subset Im A$ . La dimension d'un sous-espace étant au plus celle de l'espace qui le contient, $rg A^{2} \leq rg A$ (c'est aussi (5.4) avec $B = A$ ).

2. Soit $y = A x \in Im A$ . Alors $A y = A^{2} x = 0$ , donc $y \in ker A$ : $Im A \subset ker A$ . En passant aux dimensions, $rg A \leq dim ker A = n - rg A$ par le théorème du rang, d'où $2 rg A \leq n$ .

3. La matrice

A = 0000000010000100

vérifie $A e_{3} = e_{1}$ , $A e_{4} = e_{2}$ , $A e_{1} = A e_{2} = 0$ , donc $A^{2} e_{j} = 0$ pour tout $j$ et $A^{2} = 0$ ; son rang vaut $2$ (deux colonnes non nulles indépendantes) et $ker A = Vect (e_{1}, e_{2}) = Im A$ . Pour $n = 3$ , la question 2 impose $rg A \leq 3/2$ , donc $rg A \leq 1$ : aucune matrice $3 \times 3$ de carré nul n'est de rang $2$ .

4. L'inclusion $ker A^{2} \subset ker A^{3}$ vaut toujours (même argument qu'en 1). Réciproquement, soit $x \in ker A^{3}$ ; alors $A^{2} (A x) = 0$ , donc $A x \in ker A^{2} = ker A$ , ce qui donne $A (A x) = 0$ , soit $x \in ker A^{2}$ . Ainsi $ker A^{3} = ker A^{2}$ . Par récurrence, la suite croissante des noyaux $ker A \subset ker A^{2} \subset \dots$ est constante dès qu'elle stationne une fois; comme les dimensions sont majorées par $n$ , elle stationne au plus tard au rang $n$ .

Exercice 5.5 · Noyau et rang de AᵀA

Soit $A \in M_{m \times n} (R)$ . On rappelle que pour $y \in R^{m}$ , $y^{T} y = y_{1}^{2} + \dots + y_{m}^{2}$ , qui est nul si et seulement si $y = 0$ .

Montrer que $ker A \subset ker (A^{T} A)$ .
Soit $x \in ker (A^{T} A)$ . En calculant $x^{T} A^{T} A x$ de deux manières, montrer que $A x = 0$ . Conclure que $ker (A^{T} A) = ker A$ .
En déduire $rg (A^{T} A) = rg A$ , puis que la matrice carrée $A^{T} A$ (de taille $n \times n$ ) est inversible si et seulement si les colonnes de $A$ sont linéairement indépendantes.
Montrer de même que $rg (A A^{T}) = rg A$ . Vérifier les deux égalités sur $A = (1122)$ .

Solution

1. Si $A x = 0$ , alors $A^{T} A x = A^{T} (A x) = A^{T} 0 = 0$ .

2. D'une part, $x \in ker (A^{T} A)$ donne $x^{T} (A^{T} A x) = x^{T} 0 = 0$ . D'autre part, par associativité et par la règle $(A x)^{T} = x^{T} A^{T}$ (chapitre 2),

x^{T} A^{T} A x = (A x)^{T} (A x) = y^{T} y avec y = A x \in R^{m} .

Donc $y_{1}^{2} + \dots + y_{m}^{2} = 0$ , ce qui force $y = 0$ : $A x = 0$ et $x \in ker A$ . Avec la question 1, $ker (A^{T} A) = ker A$ .

3. Les matrices $A$ et $A^{T} A$ ont toutes deux $n$ colonnes et le même noyau; le théorème du rang donne $rg (A^{T} A) = n - dim ker (A^{T} A) = n - dim ker A = rg A$ . La matrice $A^{T} A$ est carrée de taille $n$ : elle est inversible si et seulement si son rang vaut $n$ (théorème 5.12), c'est-à-dire $rg A = n$ , c'est-à-dire $ker A = {0}$ , ce qui équivaut à l'indépendance des colonnes de $A$ (théorème 5.3). C'est ce résultat qui garantit, au chapitre 7, que les équations normales $A^{T} A x = A^{T} b$ des moindres carrés ont une solution unique dès que les colonnes de $A$ sont indépendantes.

4. On applique le résultat de la question 3 à la matrice $A^{T}$ (de taille $n \times m$ ): $rg ((A^{T})^{T} A^{T}) = rg (A A^{T}) = rg A^{T} = rg A$ par le corollaire 5.9.

Pour $A = (1122)$ , de rang $1$ :

A^{T} A = (1212) (1122) = (2448), A A^{T} = (1122) (1212) = (5555) .

Toutes deux sont de rang $1$ (lignes proportionnelles), et $ker (A^{T} A) = Vect ((- 2, 1)) = ker A$ : c'est la droite $x + 2 y = 0$ de la figure 5.2.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 2 et 4.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 6e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 3 («The Four Fundamental Subspaces») et chap. 10 (graphes et réseaux).
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, chap. 2–3.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 3–4.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, Dunod, Paris.
Trefethen, L. N. et Bau, D., Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphie, leçons 1 et 4.

Objectifs du chapitre

Ce qu'une matrice écrase et ce qu'elle produit

Le noyau d'une matrice

Calcul d'une base du noyau

L'image et l'espace des lignes

L'image

Une base de l'image

L'espace des lignes

Le rang

Le théorème du rang

Conséquences pour les systèmes linéaires

Structure de l'ensemble des solutions

Explorateur noyau – image d'une matrice 2 × 2

Somme et intersection de sous-espaces

Somme et intersection

La formule de Grassmann

Sommes directes et supplémentaires

Calcul pratique de F + G et de F ∩ G

Applications

Réseaux, loi des nœuds et matrice d'incidence

Mécanismes et degrés de liberté

Compression par rang faible

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 5

Noyau, image et solutions d'un système 3 × 4

Réduction et rang

Base du noyau

Base de l'image et théorème du rang

Solutions de Ax = b

Exercices

Références