Systèmes d'équations linéaires · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

reconnaître une équation linéaire et un système linéaire, et interpréter géométriquement leurs solutions dans le plan et dans l'espace;
écrire la matrice augmentée d'un système et appliquer les trois opérations élémentaires sur les lignes en justifiant qu'elles ne modifient pas l'ensemble des solutions;
exécuter l'algorithme de Gauss pour amener une matrice à la forme échelonnée, puis à la forme échelonnée réduite (Gauss–Jordan);
distinguer variables pivots et variables libres, et écrire l'ensemble des solutions sous forme paramétrique vectorielle $x = p + s u + t v$ ;
décider de l'existence et de l'unicité des solutions à l'aide de la forme échelonnée et du rang, y compris pour un système dépendant d'un paramètre;
modéliser par un système linéaire un circuit électrique, une réaction chimique, un réseau de flux ou un problème d'interpolation, et le résoudre.

Des équations linéaires partout

L'algèbre linéaire est née d'un problème très concret: résoudre plusieurs équations du premier degré à plusieurs inconnues en même temps. Un ingénieur en rencontre dès ses premiers cours, et sous des habits très différents.

Statique d'un treillis. À un nœud d'un treillis en équilibre, la somme des forces est nulle. Si deux barres inclinées de $6 0^{\circ}$ et $4 5^{\circ}$ par rapport à l'horizontale reprennent une charge verticale $P$ , les efforts $F_{1}$ et $F_{2}$ vérifient $- F_{1} cos 6 0^{\circ} + F_{2} cos 4 5^{\circ} = 0$ et $F_{1} sin 6 0^{\circ} + F_{2} sin 4 5^{\circ} = P$ : deux équations linéaires, deux inconnues. Un treillis de pont en a plusieurs dizaines.
Circuits électriques. Les lois de Kirchhoff affirment que la somme des courants en un nœud est nulle et que la somme des tensions le long d'une maille est nulle. Pour un circuit à deux mailles alimenté par deux sources, on obtient trois équations linéaires en les trois courants de branche $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ ; nous les résoudrons à la section «Applications».
Bilan de mélange. Mélanger $x$ litres d'une solution à $10 %$ , $y$ litres à $30 %$ et $z$ litres à $50 %$ pour obtenir $100$ litres à $32 %$ impose $x + y + z = 100$ et $0, 1 x + 0, 3 y + 0, 5 z = 32$ : le bilan de volume et le bilan de matière sont linéaires en les quantités mélangées. Les bilans de masse et d'énergie d'une station d'épuration ou d'une chaufferie ont la même structure.
Ajustement de mesures. Chercher la droite $y = α x + β$ qui passe «au mieux» par des points de mesure conduit, par la méthode des moindres carrés (chapitre 7), à deux équations linéaires en $α$ et $β$ , les équations normales. Chercher un polynôme qui passe exactement par des points donnés en conduit aussi, comme nous le verrons.

Dans tous ces cas, les inconnues n'apparaissent qu'à la puissance $1$ , sans produit entre elles ni fonction appliquée à elles. C'est cette linéarité qui rend la résolution systématique, quel que soit le nombre d'inconnues, et qui permet aux logiciels de calcul de résoudre couramment des systèmes à plusieurs millions d'inconnues (méthode des éléments finis).

Un peu d'histoire

La méthode d'élimination que ce chapitre présente est ancienne. Le chapitre VIII des Neuf chapitres sur l'art mathématique (Chine, vers le II^e siècle av. J.-C.), intitulé Fangcheng («disposition rectangulaire»), résout des systèmes à trois et même cinq inconnues en disposant les coefficients en colonnes sur une table à calcul et en les combinant exactement comme nous le ferons avec les lignes d'une matrice. En Europe, Carl Friedrich Gauss systématise l'élimination en 1809 pour ajuster l'orbite de la planète naine Cérès à partir d'observations entachées d'erreurs; le géodésien Wilhelm Jordan en publie la variante «réduite» en 1888 pour ses calculs de triangulation. Gabriel Cramer, professeur à Genève, avait donné en 1750 des formules explicites pour les systèmes à solution unique (chapitre 3), mais elles deviennent inutilisables dès que le nombre d'inconnues dépasse quelques unités: l'élimination reste, deux mille ans plus tard, la méthode de référence.

Équations et systèmes linéaires

Définitions

Ainsi $3 x - 2 y + 5 z = 7$ est linéaire, mais $x y + z = 1$ , $x^{2} + y = 4$ et $sin x + y = 0$ ne le sont pas: dans une équation linéaire, chaque inconnue apparaît seule, multipliée par une constante. Les coefficients peuvent être des nombres quelconques, y compris nuls ou irrationnels; ce sont les inconnues qui doivent rester au premier degré.

Nous noterons souvent $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ le vecteur des inconnues et $s$ une solution. Résoudre un système, c'est décrire complètement son ensemble de solutions: dire s'il est vide, s'il est réduit à un point, ou en donner une description paramétrique lorsqu'il est infini.

Ces trois situations — une solution, aucune, une infinité — sont les seules possibles pour un système linéaire, quel que soit le nombre d'équations et d'inconnues; nous le démontrerons au théorème 1.4. En particulier, un système linéaire n'a jamais exactement deux solutions.

Interprétation géométrique

Dans le plan muni d'un repère, l'équation $a x + b y = c$ avec $(a, b) \neq = (0, 0)$ est celle d'une droite. Un système de deux équations à deux inconnues demande donc les points communs à deux droites: elles sont sécantes (un point), strictement parallèles (aucun point) ou confondues (une droite entière de points). C'est exactement l'exemple 1.1.

Figure 1.1. Les trois positions relatives de deux droites du plan, pour les systèmes (a), (b) et (c) de l'exemple 1.1. La droite x + 2y = 4 est la même dans les trois cas; seule la seconde change.

Dans l'espace, l'équation $a x + b y + cz = d$ avec $(a, b, c) \neq = (0, 0, 0)$ est celle d'un plan. Deux plans distincts sont parallèles ou se coupent selon une droite; un système de trois équations à trois inconnues cherche les points communs à trois plans, et les configurations sont plus variées: un point (cas général), une droite (trois plans «en portefeuille» autour d'un axe), un plan entier (trois équations proportionnelles), ou rien du tout (deux plans parallèles, ou trois plans qui se coupent deux à deux selon trois droites parallèles, comme les faces d'un prisme).

Figure 1.2. Trois plans de l'espace. À gauche, trois plans de normales indépendantes se coupent en un point unique S. Au centre, trois plans contenant une même droite d: le système a une infinité de solutions dépendant d'un paramètre. À droite, trois plans sécants deux à deux selon des droites parallèles: aucun point n'appartient aux trois, le système est incompatible.

Au-delà de trois inconnues, l'intuition visuelle s'arrête, mais le vocabulaire reste: l'ensemble des solutions d'une équation linéaire non triviale en $n$ inconnues est un hyperplan de $R^{n}$ , et résoudre un système, c'est intersecter des hyperplans. L'algèbre prendra le relais de la géométrie.

L'explorateur ci-dessous permet de faire varier la seconde droite d'un système $2 \times 2$ . Observez la quantité $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}$ , qui s'annule exactement lorsque les deux droites ont la même direction: c'est le déterminant du système, que le chapitre 3 étudiera en toute généralité.

Explorateur d'un système 2×2

La droite 1 (x + 2y = 4) est fixe. Modifiez les coefficients de la droite 2 (a₂x + b₂y = c₂) et observez le déterminant a₁b₂ − a₂b₁: nul exactement quand les droites sont parallèles ou confondues.

Déterminant a₁b₂ − a₂b₁

−7,00

Nature du système

solution unique

Solution (x; y)

(2,00; 1,00)

a₂3,00

b₂−1,00

c₂5,00

Systèmes homogènes

Un système homogène est donc toujours compatible: la seule question est de savoir s'il possède des solutions non triviales. Géométriquement, ses équations sont des droites ou des plans passant par l'origine. À tout système (1.2) on associe le système homogène associé, obtenu en remplaçant chaque $b_{i}$ par $0$ ; le lien entre les deux ensembles de solutions est décrit au théorème 1.4.

Exercice

Parmi les équations suivantes en les inconnues $x$ , $y$ , $z$ , laquelle est linéaire?

Exercice

Résolvez le système $x + 2 y = 4$ , $3 x - y = 5$ et donnez la valeur de $x$ .

Notation matricielle et opérations élémentaires

Matrice augmentée

Dans la résolution de l'exemple 1.1, les lettres $x$ et $y$ n'ont joué aucun rôle: seuls comptaient les coefficients et leur position. On les range dans un tableau rectangulaire.

Opérations élémentaires sur les lignes

Pour résoudre l'exemple 1.1 (a), nous avons combiné les équations entre elles. Trois manipulations suffisent à tout faire.

Chaque opération élémentaire est réversible par une opération élémentaire du même type: l'échange $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ est sa propre inverse, $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ s'annule par $L_{i} \leftarrow λ^{- 1} L_{i}$ (c'est pour cela que $λ \neq = 0$ est exigé), et $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ s'annule par $L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{j}$ . Cette réversibilité est la clé du théorème fondamental de ce chapitre.

Démonstration. Il suffit de traiter une seule opération, puisqu'une suite d'opérations se traite en enchaînant l'argument. Notons $(S)$ le système de départ et $(S^{'})$ le système obtenu.

Montrons d'abord que toute solution $s$ de $(S)$ est solution de $(S^{'})$ . Pour l'échange de deux lignes, $(S^{'})$ contient les mêmes équations que $(S)$ dans un autre ordre, et $s$ les vérifie toutes. Pour $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ , la seule équation nouvelle est $λ a_{i 1} s_{1} + \dots + λ a_{in} s_{n} = λ b_{i}$ , qui est la $i$ -ième équation de $(S)$ multipliée par $λ$ : elle est vraie puisque $a_{i 1} s_{1} + \dots + a_{in} s_{n} = b_{i}$ . Pour $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ , la nouvelle $i$ -ième équation s'écrit

(a_{i 1} + λ a_{j 1}) s_{1} + \dots + (a_{in} + λ a_{j n}) s_{n} = (a_{i 1} s_{1} + \dots + a_{in} s_{n}) + λ (a_{j 1} s_{1} + \dots + a_{j n} s_{n}) = b_{i} + λ b_{j},

et c'est bien le second membre de la nouvelle ligne. Les autres équations sont inchangées. Dans les trois cas, $s$ est solution de $(S^{'})$ .

Réciproquement, $(S)$ s'obtient à partir de $(S^{'})$ par l'opération inverse, qui est encore une opération élémentaire: le même raisonnement montre que toute solution de $(S^{'})$ est solution de $(S)$ . Les deux ensembles de solutions sont donc égaux. $□$

L'algorithme de Gauss

Le théorème 1.1 autorise à transformer librement la matrice augmentée. Le but est d'atteindre une forme dans laquelle le système se résout «en remontant», équation par équation.

Forme échelonnée

Figure 1.3. Allure d'une matrice augmentée échelonnée (à gauche) et de sa forme échelonnée réduite (à droite) pour quatre équations et cinq inconnues. Les pivots sont encadrés, la zone nulle imposée par la forme est grisée et l'escalier est tracé. Les colonnes x₂ et x₅ ne contiennent pas de pivot: ce sont les colonnes des variables libres.

La forme échelonnée dessine un escalier dont chaque marche commence à un pivot; en dessous de l'escalier, tout est nul. Lorsqu'une matrice augmentée est échelonnée, la dernière équation non nulle ne contient qu'une ou quelques inconnues, l'avant-dernière en contient au moins une de plus, et ainsi de suite: on résout de bas en haut par substitution rétrograde.

L'algorithme

Algorithme de Gauss (élimination)

Partant de la matrice augmentée, on traite les colonnes de gauche à droite.

Choisir le pivot. Repérer la première colonne (parmi celles non encore traitées) contenant un coefficient non nul dans les lignes non encore utilisées; par un échange de lignes, amener l'un de ces coefficients non nuls en haut de la partie restante. C'est le pivot.
Éliminer. Pour chaque ligne $L_{i}$ située sous la ligne du pivot $L_{p}$ , effectuer $L_{i} \leftarrow L_{i} - \frac{a _{i c}}{a _{p c}} L_{p}$ , où $c$ est la colonne du pivot, afin d'annuler le coefficient $a_{i c}$ .
Recommencer avec la sous-matrice située sous la ligne du pivot, jusqu'à ce qu'il ne reste plus de ligne non nulle à traiter. La matrice est alors échelonnée.
Lire la compatibilité et remonter. Si une ligne est de la forme $(0 \dots 0 ∣ b)$ avec $b \neq = 0$ , le système est incompatible. Sinon, on résout de la dernière équation non nulle vers la première.

Exemple 1.3 · Élimination de Gauss sur un système 3 × 3

Résolvons le système de l'exemple 1.2:

121 13 - 1 1126115 .

Première colonne. Le coefficient $1$ en position $(1, 1)$ est non nul: c'est le pivot, aucun échange n'est nécessaire. On annule les coefficients situés dessous:

L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100 11 - 2 1 - 1 1 6 - 1 - 1 .

Deuxième colonne. On travaille sur les lignes 2 et 3. Le coefficient $1$ en position $(2, 2)$ sert de pivot:

L_{3} \leftarrow L_{3} + 2 L_{2} 100110 1 - 1 - 1 6 - 1 - 3 .

La matrice est échelonnée, avec trois pivots. Aucune ligne n'est de la forme $(000 ∣ b \neq = 0)$ : le système est compatible.

Substitution rétrograde. La troisième ligne se lit $- z = - 3$ , donc $z = 3$ . La deuxième, $y - z = - 1$ , donne $y = - 1 + 3 = 2$ . La première, $x + y + z = 6$ , donne $x = 6 - 2 - 3 = 1$ . La solution est unique: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ . On vérifie dans le système initial: $1 + 2 + 3 = 6$ , $2 + 6 + 3 = 11$ , $1 - 2 + 6 = 5$ .

Le principe est toujours le même: chaque pivot sert à «nettoyer» la colonne située sous lui, et une fois une colonne nettoyée, on ne touche plus à la ligne du pivot. Notez que le choix du pivot n'est pas unique — on aurait pu échanger $L_{1}$ et $L_{3}$ au départ — et que les formes échelonnées obtenues peuvent différer; l'ensemble des solutions, lui, ne dépend pas de ces choix (théorème 1.1).

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la résolution d'un système linéaire par l'algorithme de Gauss.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Résoudre de la dernière équation vers la première par substitution rétrograde

Vérifier qu'aucune ligne n'est de la forme

(0 \dots 0 ∣ b)

avec

b \neq = 0

Choisir un pivot non nul dans la première colonne non nulle, en échangeant deux lignes si nécessaire

Écrire la matrice augmentée

(A ∣ b)

en fixant l'ordre des inconnues

Annuler les coefficients situés sous le pivot par des opérations

L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{p}

Recommencer avec les lignes situées sous le pivot jusqu'à obtenir une forme échelonnée

Forme échelonnée réduite et méthode de Gauss–Jordan

On peut pousser l'élimination plus loin et supprimer aussi les coefficients situés au-dessus des pivots: la substitution rétrograde devient alors inutile, la solution se lit directement.

Démonstration (partielle). L'existence est établie par l'algorithme lui-même: l'élimination de Gauss produit une forme échelonnée, et les opérations de Gauss–Jordan (division par les pivots, élimination au-dessus des pivots) sont des opérations élémentaires qui conduisent à une forme échelonnée réduite. L'unicité, que nous admettons, se démontre au chapitre 5 à l'aide de la notion de rang: on montre que la position des pivots et les coefficients des colonnes libres sont déterminés par les relations linéaires entre les colonnes de la matrice, relations que les opérations sur les lignes conservent. $□$

L'unicité est précieuse: alors qu'une matrice possède en général plusieurs formes échelonnées (selon les pivots choisis), sa forme échelonnée réduite est un objet canonique. Deux personnes qui réduisent la même matrice obtiendront la même réponse, ce qui facilite grandement la vérification des calculs.

Variables pivots et variables libres

Que se passe-t-il lorsqu'il y a moins de pivots que d'inconnues? Certaines colonnes de $A$ ne contiennent pas de pivot, et les inconnues correspondantes ne sont déterminées par aucune équation.

Pour décrire l'ensemble des solutions, on donne aux variables libres des valeurs arbitraires, appelées paramètres, et l'on en déduit les variables pivots. Lorsqu'il y a $k$ variables libres $s, t, \dots$ , on obtient une écriture vectorielle

x = p + s u + t v + \dots (s, t, \dots \in R), (1.3)

où $p$ est une solution particulière (obtenue en annulant tous les paramètres) et $u, v, \dots$ sont des vecteurs de $R^{n}$ , un par variable libre. L'ensemble des solutions est un point translaté d'une droite, d'un plan, etc.: sa «dimension» est le nombre de variables libres.

Exemple 1.5 · Un système à deux variables libres

Résolvons

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + x_{4} 2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} - x_{4} x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 2 x_{4} = 3 = 0 = - 3 121242 - 1 12 1 - 1 - 2 30 - 3 .

Élimination: $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent

100200 - 1 33 1 - 3 - 3 3 - 6 - 6 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100200 - 1 30 1 - 3 0 3 - 6 0 .

La deuxième colonne ne contient aucun coefficient non nul sous le premier pivot: on passe à la troisième colonne, où $3$ devient pivot. La ligne nulle finale est sans effet (l'équation $0 = 0$ ). Réduction: $L_{2} \leftarrow \frac{1}{3} L_{2}$ puis $L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{2}$ :

100200010 0 - 1 0 1 - 2 0 .

Les colonnes pivots sont les colonnes 1 et 3: $x_{1}$ et $x_{3}$ sont les variables pivots, $x_{2}$ et $x_{4}$ les variables libres. Posons $x_{2} = s$ et $x_{4} = t$ . Les deux équations non nulles donnent $x_{1} = 1 - 2 s$ et $x_{3} = - 2 + t$ , d'où

x = x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} = 1 - 2 s s - 2 + t t = p 10 - 2 0 + s u - 2 100 + t v 0011, s, t \in R .

L'ensemble des solutions est un «plan» de $R^{4}$ passant par $p$ . Vérification avec $s = 1$ , $t = 2$ : $x = (- 1, 1, 0, 2)$ , et $- 1 + 2 - 0 + 2 = 3$ , $- 2 + 4 + 0 - 2 = 0$ , $- 1 + 2 + 0 - 4 = - 3$ .

Exercice

On considère le système $x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{4} + x_{5} = 4$ , $2 x_{1} + 4 x_{2} + x_{3} + 7 x_{4} = 9$ , $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} + 4 x_{4} - x_{5} = 5$ . Combien possède-t-il de variables libres?

Existence et unicité des solutions

Le théorème de discussion

La forme échelonnée contient toute l'information sur le nombre de solutions.

Démonstration. Par le théorème 1.1, le système échelonné a les mêmes solutions que le système initial; raisonnons sur lui.

(1) Si une ligne $(0 \dots 0 ∣ c)$ avec $c \neq = 0$ est présente, elle code l'équation $0 x_{1} + \dots + 0 x_{n} = c$ , qui n'a aucune solution: le système est incompatible. Réciproquement, supposons qu'aucune ligne de ce type n'apparaisse. Alors toute ligne non nulle possède un pivot dans une colonne de $E$ . Donnons la valeur $0$ à toutes les variables libres et résolvons de bas en haut: la dernière équation non nulle ne contient, parmi les variables pivots, que son propre pivot (les variables situées à droite sont libres, donc nulles), et se résout en divisant par le pivot; l'équation précédente ne contient alors qu'une variable pivot inconnue, et ainsi de suite. On construit ainsi une solution: le système est compatible.

(2) Supposons le système compatible. S'il n'y a pas de variable libre, la substitution rétrograde ci-dessus n'offre aucun choix: chaque variable est déterminée de manière unique par les équations, et la solution est unique. S'il existe une variable libre $x_{j}$ , on peut lui donner n'importe quelle valeur réelle, les autres variables libres étant fixées, et compléter par substitution rétrograde en une solution; à des valeurs différentes de $x_{j}$ correspondent des solutions différentes, d'où une infinité de solutions. $□$

Avec ce vocabulaire, le théorème 1.3 se reformule ainsi: le système est compatible si et seulement si $rg (A ∣ b) = rg A$ ; un système compatible a une solution unique si et seulement si $rg A = n$ , et ses solutions dépendent de $n - rg A$ paramètres. Le chapitre 5 fera du rang un outil central.

Démonstration. Soit $x$ une solution de $(S)$ et posons $h = x - p$ . Pour chaque équation $i$ , $\sum_{j} a_{ij} h_{j} = \sum_{j} a_{ij} x_{j} - \sum_{j} a_{ij} p_{j} = b_{i} - b_{i} = 0$ : $h$ est solution de $(S_{0})$ et $x = p + h$ . Réciproquement, si $h$ est solution de $(S_{0})$ , alors $\sum_{j} a_{ij} (p_{j} + h_{j}) = b_{i} + 0 = b_{i}$ , donc $p + h$ est solution de $(S)$ .

Pour la dernière affirmation: si $(S)$ possède deux solutions distinctes $p$ et $q$ , alors $h = q - p \neq = 0$ est solution de $(S_{0})$ , et par le même calcul $λ h$ l'est aussi pour tout $λ \in R$ ; les vecteurs $p + λ h$ sont alors des solutions de $(S)$ , deux à deux distinctes: il y en a une infinité. $□$

C'est exactement la structure de la formule (1.3): $p$ est une solution particulière et $s u + t v + \dots$ décrit les solutions du système homogène associé. Vous retrouverez ce principe «solution particulière plus solution générale de l'équation homogène» pour les équations différentielles linéaires.

La démonstration, courte, fait l'objet de l'exercice 1.5: elle repose sur le fait qu'il ne peut y avoir plus de pivots que de lignes. Ce résultat est le germe de la notion de dimension (chapitre 4): on ne peut pas «bloquer» $n$ inconnues avec moins de $n$ contraintes linéaires.

Systèmes dépendant d'un paramètre

En pratique, les coefficients d'un système contiennent souvent une grandeur physique non fixée — une raideur, une résistance, une fréquence — et l'on veut savoir pour quelles valeurs le comportement change. On mène alors l'élimination avec le paramètre, en prenant garde de ne jamais diviser par une expression qui pourrait s'annuler.

Exemple 1.6 · Discussion d'un système selon un paramètre

Discutons, selon la valeur du réel $a$ , le système

⎩ ⎨ ⎧ x + y + a z x + a y + z a x + y + z = 1 = 1 = 1 11 a 1 a 1 a 11 111 .

Le pivot $1$ en position $(1, 1)$ ne dépend pas de $a$ : on l'utilise sans risque. $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - a L_{1}$ donnent

100 1 a - 1 1 - a a 1 - a 1 - a^{2} 10 1 - a .

Cas $a = 1$ . Les lignes 2 et 3 sont nulles: la matrice échelonnée a un seul pivot. Le système se réduit à $x + y + z = 1$ , un plan de $R^{3}$ : solutions $(1 - s - t, s, t)$ avec $s, t \in R$ .

Cas $a \neq = 1$ . On peut diviser $L_{2}$ par $a - 1$ et $L_{3}$ par $1 - a$ (non nuls); avec $1 - a^{2} = (1 - a) (1 + a)$ , on obtient

100111 a - 1 1 + a 101 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100110 a - 1 a + 2 101 .

Si $a = - 2$ , la dernière ligne est $(000 ∣ 1)$ : le système est incompatible. (On le voit aussi directement: la somme des trois équations donne $(a + 2) (x + y + z) = 3$ , impossible pour $a = - 2$ .)
Si $a \neq = - 2$ (et $a \neq = 1$ ), il y a trois pivots: solution unique, obtenue en remontant: $z = \frac{1}{a + 2}$ , $y = z = \frac{1}{a + 2}$ , puis $x = 1 - y - a z = 1 - \frac{1 + a}{a + 2} = \frac{1}{a + 2}$ .

En résumé: solution unique $(x, y, z) = \frac{1}{a + 2} (1, 1, 1)$ pour $a \in / {1, - 2}$ , un plan de solutions pour $a = 1$ , aucune solution pour $a = - 2$ . Pour $a = 3$ , par exemple, la solution est $(0, 2; 0, 2; 0, 2)$ .

Exercice

Soit le système $x + a y = 1$ , $a x + 4 y = 2$ , où $a$ est un réel. Pour quelle valeur de $a$ n'a-t-il aucune solution?

Coût de l'algorithme et pivot partiel

Combien d'opérations? Et quel pivot choisir?

Pour un système de $n$ équations à $n$ inconnues, l'élimination de Gauss coûte environ $\frac{2 n ^{3}}{3}$ opérations arithmétiques (additions et multiplications), la substitution rétrograde seulement $n^{2}$ : la première colonne demande de l'ordre de $2 n^{2}$ opérations, la suivante $2 (n - 1)^{2}$ , et $\sum_{k = 1}^{n} 2 k^{2} \approx \frac{2 n ^{3}}{3}$ . Pour $n = 1000$ , cela représente environ $6, 7 \cdot 1 0^{8}$ opérations, qu'un ordinateur portable exécute en une fraction de seconde; pour $n = 1 0^{5}$ , comme dans un calcul par éléments finis, $6, 7 \cdot 1 0^{14}$ opérations, ce qui impose d'exploiter le grand nombre de coefficients nuls (matrices creuses). Doubler la taille du système multiplie le coût par huit.

En arithmétique flottante, le choix du pivot compte. Diviser par un pivot très petit amplifie les erreurs d'arrondi: sur une machine à trois chiffres significatifs, résoudre $0, 001 x + y = 1$ , $x + y = 2$ avec le pivot $0, 001$ donne $x = 0$ au lieu de $x \approx 1, 001$ . La règle du pivot partiel consiste à choisir dans chaque colonne, parmi les candidats, le coefficient de plus grande valeur absolue, en échangeant les lignes. Tous les logiciels (NumPy, MATLAB, les solveurs d'éléments finis) l'appliquent; le chapitre 12 reviendra sur cette question avec la décomposition LU et le conditionnement.

Applications

Circuit électrique et lois de Kirchhoff

Exemple 1.7 · Courants dans un circuit à deux mailles

Un circuit comporte deux sources de tension $E_{1} = 12$ V et $E_{2} = 6$ V et trois résistances $R_{1} = 2 Ω$ , $R_{2} = 4 Ω$ , $R_{3} = 6 Ω$ . La branche de gauche contient $E_{1}$ et $R_{1}$ , parcourue par le courant $I_{1}$ ; la branche centrale contient $R_{2}$ , parcourue par $I_{2}$ vers le bas; la branche de droite contient $E_{2}$ et $R_{3}$ , parcourue par $I_{3}$ . Les branches se rejoignent en un nœud supérieur $N$ où $I_{1}$ et $I_{3}$ arrivent et $I_{2}$ repart.

Loi des nœuds en $N$ : $I_{1} + I_{3} = I_{2}$ . Loi des mailles (la somme des tensions le long d'une boucle est nulle, loi d'Ohm $U = R I$ ): maille de gauche $E_{1} = R_{1} I_{1} + R_{2} I_{2}$ , maille de droite $E_{2} = R_{3} I_{3} + R_{2} I_{2}$ . D'où le système et sa matrice augmentée

⎩ ⎨ ⎧ I_{1} - I_{2} + I_{3} 2 I_{1} + 4 I_{2} 4 I_{2} + 6 I_{3} = 0 = 12 = 6 120 - 1 44 1060126 .

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ donne $(06 - 2 ∣ 12)$ , que l'on divise par $2$ : $(03 - 1 ∣ 6)$ . Puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - \frac{4}{3} L_{2}$ : $(006 + \frac{4}{3} ∣ 6 - 8) = (00 \frac{22}{3} ∣ - 2)$ . Substitution rétrograde:

I_{3} = - \frac{2 \cdot 3}{22} = - \frac{3}{11}, 3 I_{2} = 6 + I_{3} = \frac{63}{11} ⟹ I_{2} = \frac{21}{11}, I_{1} = I_{2} - I_{3} = \frac{24}{11} .

Numériquement $I_{1} \approx 2, 182$ A, $I_{2} \approx 1, 909$ A, $I_{3} \approx - 0, 273$ A. Le signe négatif de $I_{3}$ signifie que le courant réel circule dans le sens opposé à celui choisi pour l'orientation: la source $E_{2}$ , plus faible, est chargée par $E_{1}$ . Vérification sur la maille de gauche: $2 \cdot \frac{24}{11} + 4 \cdot \frac{21}{11} = \frac{132}{11} = 12$ V.

Équilibrage d'une équation chimique

Exemple 1.8 · Combustion du propane

La combustion du propane s'écrit $x_{1} C_{3} H_{8} + x_{2} O_{2} \to x_{3} C O_{2} + x_{4} H_{2} O$ , où les coefficients stœchiométriques $x_{1}, \dots, x_{4}$ sont des entiers positifs à déterminer. La conservation de chaque élément fournit une équation linéaire homogène:

C : 3 x_{1} = x_{3}, H : 8 x_{1} = 2 x_{4}, O : 2 x_{2} = 2 x_{3} + x_{4} .

La matrice augmentée $380002 - 1 0 - 2 0 - 2 - 1 000$ est de rang $3$ pour $4$ inconnues: une variable libre, conformément au corollaire 1.5 (trois équations, quatre inconnues). Sa forme échelonnée réduite est

100010001 - \frac{1}{4} - \frac{5}{4} - \frac{3}{4} 000, soit x_{1} = \frac{1}{4} x_{4}, x_{2} = \frac{5}{4} x_{4}, x_{3} = \frac{3}{4} x_{4} .

La plus petite solution entière s'obtient avec $x_{4} = 4$ : $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (1, 5, 3, 4)$ , c'est-à-dire $C_{3} H_{8} + 5 O_{2} \to 3 C O_{2} + 4 H_{2} O$ . Toute autre solution est un multiple de celle-ci: l'ensemble des solutions est la droite engendrée par $(1, 5, 3, 4)$ .

Réseau de flux

Exemple 1.9 · Trafic dans un quartier à sens uniques

Quatre carrefours $A$ , $B$ , $C$ , $D$ d'un quartier sont reliés par des rues à sens unique formant une boucle $A \to B \to C \to D \to A$ , avec des débits horaires inconnus $x_{1}$ (de $A$ à $B$ ), $x_{2}$ (de $B$ à $C$ ), $x_{3}$ (de $C$ à $D$ ) et $x_{4}$ (de $D$ à $A$ ). Des comptages donnent les débits entrant et sortant du quartier à chaque carrefour (en véhicules par heure): en $A$ , $500$ entrent et $200$ sortent; en $B$ , $100$ entrent et $300$ sortent; en $C$ , $400$ entrent et $200$ sortent; en $D$ , $100$ entrent et $400$ sortent. À chaque carrefour, le débit entrant égale le débit sortant (aucun véhicule ne s'accumule):

A : 500 + x_{4} B : x_{1} + 100 C : x_{2} + 400 D : x_{3} + 100 = x_{1} + 200 = x_{2} + 300 = x_{3} + 200 = x_{4} + 400 ⟹ 1100 0 - 1 10 00 - 1 1 - 1 00 - 1 300200 - 200 300 .

La forme échelonnée réduite est $x_{1} - x_{4} = 300$ , $x_{2} - x_{4} = 100$ , $x_{3} - x_{4} = 300$ , avec une ligne nulle: le système est compatible (le total entrant, $1100$ , égale le total sortant) et $x_{4} = t$ est libre:

(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (300, 100, 300, 0) + t (1, 1, 1, 1), t \geq 0.

Les comptages extérieurs ne déterminent pas le trafic circulant dans la boucle: on peut y ajouter un nombre quelconque de véhicules qui tournent. La contrainte physique $x_{j} \geq 0$ impose $t \geq 0$ ; le tronçon $B \to C$ est le moins chargé, avec au minimum $100$ véhicules par heure. Si l'on ferme le tronçon $D \to A$ pour des travaux ( $x_{4} = 0$ ), les autres débits sont entièrement déterminés: $x_{1} = 300$ , $x_{2} = 100$ , $x_{3} = 300$ .

Interpolation polynomiale

Exemple 1.10 · Parabole par trois points

On cherche le polynôme $p (x) = α x^{2} + β x + γ$ dont le graphe passe par les points $(1, 2)$ , $(2, 3)$ et $(3, 6)$ , par exemple pour interpoler trois mesures d'un capteur. Les inconnues sont les coefficients $α, β, γ$ et chaque point donne une équation linéaire:

⎩ ⎨ ⎧ α + β + γ 4 α + 2 β + γ 9 α + 3 β + γ = 2 = 3 = 6 149123111236 .

$L_{2} \leftarrow L_{2} - 4 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 9 L_{1}$ donnent $(0 - 2 - 3 ∣ - 5)$ et $(0 - 6 - 8 ∣ - 12)$ ; puis $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{2}$ donne $(001 ∣ 3)$ . Donc $γ = 3$ , $- 2 β - 9 = - 5$ soit $β = - 2$ , et $α = 2 - β - γ = 1$ : $p (x) = x^{2} - 2 x + 3$ . Vérification: $p (1) = 2$ , $p (2) = 3$ , $p (3) = 6$ .

La matrice des coefficients, dont la ligne $i$ est $(x_{i}^{2}, x_{i}, 1)$ , est une matrice de Vandermonde; on montrera au chapitre 3 que son déterminant est non nul dès que les abscisses sont distinctes, de sorte que le polynôme interpolateur de degré au plus $k$ par $k + 1$ points existe et est unique. Avec plus de points que de coefficients, le système n'a en général pas de solution, et l'on cherche alors la meilleure approximation par moindres carrés (chapitre 7).

Synthèse

Un système linéaire de $m$ équations à $n$ inconnues se code par sa matrice augmentée $(A ∣ b) \in M_{m \times (n + 1)} (R)$ ; géométriquement, il décrit l'intersection de droites, de plans ou d'hyperplans.
Les trois opérations élémentaires sur les lignes ( $L_{i} \leftrightarrow L_{j}$ , $L_{i} \leftarrow λ L_{i}$ avec $λ \neq = 0$ , $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ ) sont réversibles et conservent l'ensemble des solutions (théorème 1.1).
L'algorithme de Gauss amène toute matrice à une forme échelonnée (pivots en escalier, zéros dessous); Gauss–Jordan poursuit jusqu'à la forme échelonnée réduite, unique, où chaque pivot vaut $1$ et est seul dans sa colonne.
Le système est compatible si et seulement si aucune ligne $(0 \dots 0 ∣ b \neq = 0)$ n'apparaît; la solution est unique si et seulement si chaque colonne de $A$ porte un pivot; sinon les solutions s'écrivent $x = p + s u + t v + \dots$ avec un paramètre par variable libre.
Le rang de $A$ est le nombre de pivots; les solutions d'un système compatible dépendent de $n - rg A$ paramètres, et l'ensemble des solutions est «solution particulière plus solutions du système homogène associé». Un système homogène avec plus d'inconnues que d'équations a toujours des solutions non triviales.
Un système ne peut avoir que $0$ , $1$ ou une infinité de solutions; un paramètre dans les coefficients se discute cas par cas, sans jamais diviser par une expression susceptible de s'annuler. Numériquement, Gauss coûte environ $2 n^{3} /3$ opérations et se pratique avec pivot partiel.

Série d'exercices du chapitre 1

Exercice 1 sur 5

Exercice

Après élimination, la matrice augmentée d'un système est $100210 - 1 40 325$ . Que peut-on conclure?

Problème guidé

Circuit à trois courants inconnus

Un circuit à deux mailles comporte une source $E_{1} = 9$ V en série avec $R_{1} = 1 Ω$ dans la branche de gauche (courant $I_{1}$ , orienté vers le nœud supérieur $N$ ), une résistance $R_{2} = 2 Ω$ dans la branche centrale (courant $I_{2}$ , orienté de $N$ vers le bas) et une source $E_{2} = 3$ V en série avec $R_{3} = 1 Ω$ dans la branche de droite (courant $I_{3}$ , orienté vers $N$ ). Les lois des mailles donnent $I_{1} + 2 I_{2} = 9$ (maille de gauche) et $2 I_{2} + I_{3} = 3$ (maille de droite). On cherche les trois courants par l'algorithme de Gauss.

1
Loi des nœuds
Au nœud $N$ , la somme des courants qui arrivent égale la somme des courants qui repartent. Avec les orientations choisies, $I_{1}$ et $I_{3}$ arrivent en $N$ et $I_{2}$ en repart.
Exercice
Quelle équation traduit la loi des nœuds en $N$ ?
Élimination
Substitution rétrograde
Interprétation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 1.1 · Trois systèmes 3 × 3

Résoudre par l'algorithme de Gauss les systèmes suivants et décrire géométriquement l'ensemble des solutions.

(a) ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - z x - y + 2 z 3 x + 2 y + z = 3 = 1 = 8 (b) ⎩ ⎨ ⎧ x + y + z 2 x - y + z 3 x + 2 z = 1 = 2 = 4 (c) ⎩ ⎨ ⎧ x - 2 y + 3 z 2 x - 3 y + 4 z 3 x - 5 y + 7 z = 4 = 5 = 9

Solution

(a) On échange $L_{1}$ et $L_{2}$ pour avoir le pivot $1$ en haut:

123 - 1 12 2 - 1 1 138 L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1} 100 - 1 35 2 - 5 - 5 115 L_{3} \leftarrow L_{3} - \frac{5}{3} L_{2} 100 - 1 30 2 - 5 \frac{10}{3} 11 \frac{10}{3} .

Trois pivots: solution unique. $z = 1$ ; $3 y - 5 = 1$ donne $y = 2$ ; $x = 1 + y - 2 z = 1$ . Solution $(1, 2, 1)$ : trois plans qui se coupent en un point. Vérification: $2 + 2 - 1 = 3$ , $1 - 2 + 2 = 1$ , $3 + 4 + 1 = 8$ .

(b) $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ :

100 1 - 3 - 3 1 - 1 - 1 101 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100 1 - 3 0 1 - 1 0 101 .

La dernière ligne est $(000 ∣ 1)$ : système incompatible. On le voit aussi directement: la somme des deux premières équations donne $3 x + 2 z = 3$ , contradictoire avec la troisième, $3 x + 2 z = 4$ . Les deuxième et troisième équations décrivent, après combinaison avec la première, deux plans parallèles distincts.

(c) $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1}$ :

100 - 2 11 3 - 2 - 2 4 - 3 - 3 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100 - 2 10 3 - 2 0 4 - 3 0 L_{1} \leftarrow L_{1} + 2 L_{2} 100010 - 1 - 2 0 - 2 - 3 0 .

Deux pivots, $z = t$ libre: $x = - 2 + t$ , $y = - 3 + 2 t$ , soit

(x, y, z) = (- 2, - 3, 0) + t (1, 2, 1), t \in R .

Les trois plans contiennent une même droite (la troisième équation est la somme des deux premières). Vérification avec $t = 1$ : $(- 1, - 1, 1)$ donne $- 1 + 2 + 3 = 4$ , $- 2 + 3 + 4 = 5$ , $- 3 + 5 + 7 = 9$ .

Exercice 1.2 · Forme échelonnée réduite et paramétrisation

Soit le système

⎩ ⎨ ⎧ x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + x_{4} 2 x_{1} - 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} - x_{1} + x_{2} - x_{3} - 3 x_{4} = 2 = 5 = - 3

Déterminer la forme échelonnée réduite de sa matrice augmentée et le rang de la matrice des coefficients.
Identifier les variables pivots et les variables libres, puis écrire l'ensemble des solutions sous la forme $x = p + s u + t v$ .
Vérifier que $u$ et $v$ sont solutions du système homogène associé et expliquer pourquoi c'était prévisible.

Solution

1. Élimination: $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{1}$ :

100 - 1 00 2 - 1 1 12 - 2 21 - 1 L_{3} \leftarrow L_{3} + L_{2} 100 - 1 00 2 - 1 0 120210 .

Réduction: $L_{2} \leftarrow - L_{2}$ puis $L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 L_{2}$ :

100 - 1 00 010 5 - 2 0 4 - 1 0 .

Deux pivots (colonnes 1 et 3): le rang de la matrice des coefficients vaut $2$ , et celui de la matrice augmentée aussi (pas de ligne $(0 \dots 0 ∣ b \neq = 0)$ ): le système est compatible.

2. Variables pivots: $x_{1}$ et $x_{3}$ ; variables libres: $x_{2} = s$ et $x_{4} = t$ . Les deux équations réduites donnent $x_{1} = 4 + s - 5 t$ et $x_{3} = - 1 + 2 t$ , d'où

x = 40 - 1 0 + s 1100 + t - 5 021, s, t \in R .

Les solutions dépendent de $n - rg A = 4 - 2 = 2$ paramètres. Vérification de $p = (4, 0, - 1, 0)$ : $4 - 2 = 2$ , $8 - 3 = 5$ , $- 4 + 1 = - 3$ .

3. Pour $u = (1, 1, 0, 0)$ : $1 - 1 = 0$ , $2 - 2 = 0$ , $- 1 + 1 = 0$ . Pour $v = (- 5, 0, 2, 1)$ : $- 5 + 4 + 1 = 0$ , $- 10 + 6 + 4 = 0$ , $5 - 2 - 3 = 0$ . Les deux vecteurs sont solutions du système homogène. C'était prévisible par le théorème 1.4: toute solution s'écrit $p + h$ avec $h$ solution du système homogène; en prenant $s = 1$ , $t = 0$ on obtient la solution $p + u$ , donc $u = (p + u) - p$ est solution du système homogène, et de même pour $v$ . Les combinaisons $s u + t v$ décrivent exactement l'ensemble des solutions du système homogène associé.

Exercice 1.3 · Système à paramètre

Discuter, selon la valeur du réel $a$ , le nombre de solutions du système

⎩ ⎨ ⎧ x + y - z 2 x + 3 y + a z x + a y + 3 z = 1 = 3 = 2

et donner les solutions dans chaque cas.

Solution

Le pivot $1$ en position $(1, 1)$ ne dépend pas de $a$ . $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ :

100 11 a - 1 - 1 a + 2 4 111 .

Le pivot $1$ en position $(2, 2)$ ne dépend pas non plus de $a$ : on l'utilise pour $L_{3} \leftarrow L_{3} - (a - 1) L_{2}$ , ce qui donne la troisième ligne

(004 - (a - 1) (a + 2) 1 - (a - 1)) = (00 - (a + 3) (a - 2) 2 - a),

puisque $4 - (a^{2} + a - 2) = - (a^{2} + a - 6) = - (a + 3) (a - 2)$ .

Cas $a \neq = 2$ et $a \neq = - 3$ . Trois pivots, solution unique. La dernière ligne donne $z = \frac{2 - a}{- ( a + 3 ) ( a - 2 )} = \frac{1}{a + 3}$ . Puis $y = 1 - (a + 2) z = \frac{a + 3 - a - 2}{a + 3} = \frac{1}{a + 3}$ , et $x = 1 - y + z = 1$ . Solution: $(x, y, z) = (1, \frac{1}{a + 3}, \frac{1}{a + 3})$ . Par exemple, pour $a = 0$ : $(1, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ ; on vérifie $1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 1$ , $2 + 1 + 0 = 3$ , $1 + 0 + 1 = 2$ .

Cas $a = 2$ . La dernière ligne est $(000 ∣ 0)$ : deux pivots, infinité de solutions à un paramètre. Le système réduit est $y + 4 z = 1$ et $x + y - z = 1$ ; avec $z = t$ : $y = 1 - 4 t$ , $x = 1 - y + z = 5 t$ , soit $(x, y, z) = (0, 1, 0) + t (5, - 4, 1)$ , $t \in R$ . Les trois plans ont une droite commune.

Cas $a = - 3$ . La dernière ligne est $(000 ∣ 5)$ : système incompatible, aucune solution.

Remarque: les valeurs critiques $a = 2$ et $a = - 3$ sont les racines de $(a + 3) (a - 2)$ , qui est, au signe près, le déterminant de la matrice des coefficients (chapitre 3).

Exercice 1.4 · Bilan de mélange

Un laboratoire dispose de trois solutions d'un même acide, aux concentrations de $10 %$ , $30 %$ et $50 %$ (en volume). On veut préparer $100$ litres d'une solution à $32 %$ en mélangeant $x$ , $y$ et $z$ litres des trois solutions.

Écrire le système linéaire traduisant le bilan de volume et le bilan d'acide, et montrer qu'il possède une infinité de solutions; les décrire à l'aide d'un paramètre.
Tenir compte des contraintes physiques $x, y, z \geq 0$ : entre quelles valeurs le paramètre peut-il varier? Quelle est la quantité maximale de solution à $10 %$ utilisable?
On impose de plus d'utiliser deux fois plus de solution à $50 %$ que de solution à $10 %$ . Résoudre le système complet.

Solution

1. Bilan de volume: $x + y + z = 100$ . Bilan d'acide (litres d'acide pur): $0, 1 x + 0, 3 y + 0, 5 z = 0, 32 \cdot 100 = 32$ . On multiplie la seconde équation par $10$ pour travailler avec des entiers:

(111315100320) L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} (101214100220) L_{2} \leftarrow \frac{1}{2} L_{2} L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2} (1001 - 1 2 - 10 110) .

Deux équations, trois inconnues, deux pivots: une variable libre, $z = t$ . Solutions: $x = - 10 + t$ , $y = 110 - 2 t$ , $z = t$ , soit $(x, y, z) = (- 10, 110, 0) + t (1, - 2, 1)$ , $t \in R$ . Mathématiquement, il y a une infinité de recettes.

2. Les contraintes $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $z \geq 0$ donnent $t \geq 10$ , $t \leq 55$ et $t \geq 0$ : le paramètre varie dans $[10, 55]$ . La quantité de solution à $10 %$ vaut $x = t - 10 \in [0, 45]$ : on peut en utiliser au maximum $45$ litres (avec alors $y = 0$ et $z = 55$ ). À l'autre extrême, $t = 10$ donne $x = 0$ , $y = 90$ , $z = 10$ .

3. La condition supplémentaire s'écrit $z = 2 x$ , soit $- 2 x + z = 0$ . Avec la paramétrisation du point 1: $t = 2 (t - 10)$ , d'où $t = 20$ et $(x, y, z) = (10, 70, 20)$ . On peut aussi résoudre directement le système $3 \times 3$ : $L_{3} \leftarrow L_{3} + 2 L_{1}$ appliqué à la ligne $(- 201 ∣ 0)$ de la forme réduite du point 1 donne $(00 - 1 ∣ - 20)$ , soit $z = 20$ , puis $y = 110 - 40 = 70$ et $x = - 10 + 20 = 10$ . Vérification du bilan d'acide: $1 + 21 + 10 = 32$ litres d'acide pur dans $100$ litres, soit $32 %$ .

Exercice 1.5 · Systèmes homogènes sous-déterminés (démonstration)

Soit un système linéaire homogène de $m$ équations à $n$ inconnues avec $n > m$ . Démontrer qu'il possède une solution non triviale. (On pourra raisonner sur le nombre de pivots d'une forme échelonnée.)
En déduire qu'un tel système possède une infinité de solutions.
Soit maintenant un système linéaire quelconque (non nécessairement homogène) de $m$ équations à $n$ inconnues. Montrer que si $n > m$ , le système n'a jamais de solution unique. Peut-il être incompatible? Donner un exemple.

Solution

1. Considérons une forme échelonnée $(E ∣ 0)$ de la matrice augmentée du système; comme les seconds membres sont nuls, ils le restent au cours des opérations élémentaires (chaque opération combine des zéros). Le système est donc compatible: il admet au moins la solution triviale. Chaque ligne non nulle de $E$ contient exactement un pivot, et une ligne contient au plus un pivot; le nombre $r$ de pivots vérifie donc $r \leq m$ . Comme $n > m \geq r$ , il existe au moins $n - r \geq 1$ colonnes de $E$ sans pivot, c'est-à-dire au moins une variable libre $x_{j}$ . Donnons-lui la valeur $1$ , la valeur $0$ aux éventuelles autres variables libres, et déterminons les variables pivots par substitution rétrograde (ce qui est possible, le système étant compatible, comme dans la preuve du théorème 1.3). On obtient une solution $h$ dont la $j$ -ième composante vaut $1$ : $h \neq = 0$ est une solution non triviale.

2. Si $h$ est solution du système homogène, alors pour tout $λ \in R$ , $λ h$ l'est aussi: pour chaque équation $i$ , $\sum_{j} a_{ij} (λ h_{j}) = λ \sum_{j} a_{ij} h_{j} = λ \cdot 0 = 0$ . Comme $h \neq = 0$ , les vecteurs $λ h$ sont deux à deux distincts (si $λ h = μ h$ , alors $(λ - μ) h = 0$ , donc $λ = μ$ puisqu'une composante de $h$ est non nulle). Il y a donc une infinité de solutions. (On peut aussi invoquer directement le théorème 1.3: un système compatible avec une variable libre a une infinité de solutions.)

3. Soit $(S)$ un système de $m$ équations à $n > m$ inconnues. S'il est incompatible, il n'a pas de solution unique. S'il est compatible, soit $p$ une solution; par le théorème 1.4, l'ensemble des solutions est ${p + h}$ où $h$ parcourt les solutions du système homogène associé $(S_{0})$ , qui a lui aussi $m$ équations et $n > m$ inconnues. Par le point 1, $(S_{0})$ possède une solution non triviale $h$ , et $p + h \neq = p$ est une seconde solution de $(S)$ : la solution n'est pas unique (et par le point 2, il y en a une infinité). Dans tous les cas, $(S)$ n'a jamais exactement une solution.

Un système avec $n > m$ peut cependant être incompatible: par exemple $x + y + z = 1$ , $x + y + z = 2$ ( $m = 2$ , $n = 3$ ) n'a aucune solution, car $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ donne $(000 ∣ 1)$ . Géométriquement, ce sont deux plans parallèles distincts. L'hypothèse «homogène» du point 1 est donc essentielle pour garantir l'existence de solutions; l'hypothèse $n > m$ , elle, garantit qu'une solution éventuelle n'est jamais isolée.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 1.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, chap. 2.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 1.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, 2e éd., Dunod, Paris.
Trefethen, L. N. et Bau, D., Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphie, leçons 20–22 (élimination de Gauss et pivot partiel).
Chemla, K. et Guo, S., Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Dunod, Paris (chapitre VIII, Fangcheng).