Mathématiques

Algèbre linéaire

Vecteurs, matrices et applications linéaires

Systèmes linéaires, calcul matriciel, déterminants, espaces vectoriels, applications linéaires, orthogonalité, valeurs propres, diagonalisation et décompositions matricielles: le socle d'algèbre linéaire du premier cycle d'ingénieur, avec démonstrations, figures interactives et exercices corrigés.

Commencer la lecture

Sommaire

Chapitres

  1. 01Systèmes d'équations linéairesÉlimination de Gauss, forme échelonnée réduite, rang et interprétation géométrique des solutions.
  2. 02Calcul matriciel et matrices inversiblesOpérations sur les matrices, produit, transposée, matrices élémentaires, inverse et méthode de Gauss–Jordan.
  3. 03DéterminantsDéfinition, propriétés, développement selon une ligne, règle de Cramer et interprétation géométrique.
  4. 04Espaces vectoriels, bases et dimensionEspaces et sous-espaces vectoriels, combinaisons linéaires, familles libres et génératrices, bases, dimension et coordonnées.
  5. 05Noyau, image et rangSous-espaces associés à une matrice, théorème du rang, somme et intersection de sous-espaces, sommes directes.
  6. 06Applications linéaires et changements de baseApplications linéaires, matrice d'une application, composition, matrices de passage et matrices semblables.
  7. 07Produit scalaire, orthogonalité et projectionsNorme, angle, bases orthonormées, projection orthogonale, procédé de Gram–Schmidt et moindres carrés.
  8. 08Géométrie vectorielle de l'espaceProduit vectoriel et produit mixte, droites et plans de l'espace, distances et angles, applications en mécanique.
  9. 09Valeurs propres et vecteurs propresPolynôme caractéristique, espaces propres, multiplicités algébrique et géométrique, trace et déterminant.
  10. 10Diagonalisation et applicationsCritères de diagonalisabilité, puissances de matrices, suites récurrentes, systèmes différentiels linéaires et chaînes de Markov.
  11. 11Matrices symétriques et formes quadratiquesThéorème spectral, diagonalisation orthogonale, formes quadratiques, coniques et matrices définies positives.
  12. 12Décompositions matricielles et calcul numériqueDécompositions LU, QR et en valeurs singulières, conditionnement et applications (compression, moindres carrés, ACP).

Annexes

  1. AFormulaireAlgorithmes, propriétés et formules essentielles du cours, chapitre par chapitre.
  2. BCalcul numérique avec NumPyCorrespondance entre les notions du cours et les fonctions de NumPy et SciPy, avec exemples commentés.
  3. CGlossaire français – allemand – anglaisVocabulaire de l'algèbre linéaire trilingue pour les hautes écoles suisses.