Valeurs propres et vecteurs propres · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme, et les reconnaître sur des transformations géométriques simples;
calculer le polynôme caractéristique $χ_{A} (λ) = det (A - λ I)$ , le factoriser et en déduire le spectre d'une matrice $2 \times 2$ ou $3 \times 3$ ;
déterminer une base de chaque espace propre par l'élimination de Gauss;
relier trace et déterminant aux valeurs propres, et distinguer multiplicité algébrique et multiplicité géométrique;
démontrer que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants;
utiliser le théorème de Cayley–Hamilton et la méthode de la puissance itérée, et interpréter les valeurs propres dans un problème de vibrations, de dynamique de population ou de stabilité.

Pourquoi des directions privilégiées?

Une matrice carrée $A \in M_{n \times n} (R)$ transforme chaque vecteur $x$ de $R^{n}$ en un autre vecteur $A x$ , en général de direction différente. Les chapitres 2 et 6 ont montré à quel point cette description «entrée par entrée» est lourde: pour comprendre ce que fait vraiment $A$ , on aimerait trouver des directions le long desquelles l'action de $A$ se réduit à une simple dilatation. Un vecteur $v \neq = 0$ tel que $A v$ soit colinéaire à $v$ s'appelle un vecteur propre, et le facteur de dilatation $λ$ une valeur propre. Ces directions privilégiées sont la clef de nombreux problèmes d'ingénierie.

Modes propres de vibration. Deux masses reliées par trois ressorts oscillent de façon compliquée en général. Il existe pourtant deux mouvements particulièrement simples, où les deux masses vibrent à la même fréquence: en phase, ou en opposition de phase. Ce sont les modes propres du système, et leurs fréquences sont données par les racines carrées de valeurs propres. Le même calcul, à grande échelle, permet de prévoir les fréquences de résonance d'un pont, d'une pale d'éolienne ou d'un bâtiment soumis à un séisme.
Croissance d'une population. Le modèle de Leslie décrit une population par classes d'âge: le vecteur des effectifs à l'année $k + 1$ est $L x_{k}$ . Après quelques années, la population croît géométriquement au taux de la plus grande valeur propre de $L$ , et sa répartition par âge se stabilise le long du vecteur propre associé.
PageRank. L'algorithme historique de Google classe les pages web selon les composantes du vecteur propre dominant d'une gigantesque matrice décrivant les liens entre pages. Le calcul de ce vecteur propre, par la méthode de la puissance itérée présentée dans ce chapitre, fut l'un des plus grands calculs d'algèbre linéaire jamais effectués.
Axes principaux d'inertie. Un solide en rotation ne tourne «sans vibrer» qu'autour de certains axes: ce sont les vecteurs propres de sa matrice d'inertie. Le chapitre 11 montrera que pour une matrice symétrique, ces axes sont toujours orthogonaux.

Historiquement, les valeurs propres sont apparues avant les matrices. Leonhard Euler, né à Bâle, découvre en 1765 les axes principaux d'un solide en rotation; Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace rencontrent l'«équation séculaire» — notre polynôme caractéristique — en étudiant la stabilité du système solaire, et Augustin Cauchy (1829) démontre que ses racines sont réelles pour une matrice symétrique. Le mot allemand eigen («propre», au sens de «qui appartient en propre») est introduit par David Hilbert vers 1904 dans sa théorie des équations intégrales; il est passé tel quel en anglais (eigenvalue), tandis que le français a traduit: valeur propre.

Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres

Définitions

Deux remarques sur cette définition. D'abord, la condition $v \neq = 0$ est essentielle: le vecteur nul vérifie $A 0 = λ 0$ pour tout $λ$ , et n'apporte donc aucune information. Ensuite, la valeur propre $λ$ peut, elle, être nulle: $λ = 0$ est valeur propre dès qu'un vecteur non nul est envoyé sur $0$ , c'est-à-dire dès que $ker A \neq = {0}$ .

Si $v$ est un vecteur propre pour $λ$ , tout multiple $c v$ avec $c \neq = 0$ l'est aussi, puisque $A (c v) = c A v = c λ v = λ (c v)$ . Un vecteur propre n'est donc jamais unique: ce qui compte, c'est la direction propre. Il est naturel de regrouper tous les vecteurs propres d'une même valeur propre.

L'égalité $E_{λ} = ker (A - λ I_{n})$ vient d'une simple réécriture: $A v = λ v ⟺ A v - λ I_{n} v = 0 ⟺ (A - λ I_{n}) v = 0$ . Cette réécriture est le cœur de tout le chapitre: chercher les vecteurs propres, c'est résoudre un système linéaire homogène.

Démonstration. $E_{λ}$ est le noyau de la matrice $A - λ I_{n}$ , et le noyau d'une matrice est un sous-espace vectoriel (chapitre 5). Directement: $0 \in E_{λ}$ ; si $u, v \in E_{λ}$ et $c \in R$ , alors $A (u + c v) = A u + c A v = λ u + c λ v = λ (u + c v)$ , donc $u + c v \in E_{λ}$ . Enfin $E_{λ}$ contient un vecteur propre, non nul par définition, donc $dim E_{λ} \geq 1$ . $□$

Figure 9.1. La matrice A = [[2, 1], [1, 2]] appliquée à huit vecteurs unitaires (gris): les images (couleur) sont en général tournées par rapport aux vecteurs de départ. Seules les deux directions propres, en tirets, sont conservées: le long de v = (1, 1) les vecteurs sont triplés, le long de w = (1, −1) ils sont inchangés. Le cercle unité est envoyé sur une ellipse dont les axes sont les droites propres.

Exemples géométriques

Avant de disposer d'une méthode de calcul, on peut lire les valeurs propres de nombreuses transformations directement sur leur géométrie: il suffit de chercher les directions conservées.

Exemple 9.2 · Spectre de transformations du plan et de l'espace

Projection orthogonale sur l'axe $O x$ : $P = (1000)$ . Les vecteurs de l'axe $O x$ sont fixés ( $λ = 1$ , $E_{1} = Vect (e_{1})$ ), ceux de l'axe $O y$ sont écrasés sur $0$ ( $λ = 0$ , $E_{0} = Vect (e_{2})$ ). Spectre: ${0, 1}$ . Plus généralement, une projection sur un sous-espace $F$ parallèlement à $G$ a pour espaces propres $E_{1} = F$ et $E_{0} = G$ .

Réflexion par rapport à la droite $y = x$ : $S = (0110)$ . Les vecteurs de la droite sont fixés ( $λ = 1$ , $E_{1} = Vect (1, 1)$ ), ceux de la direction perpendiculaire sont retournés ( $λ = - 1$ , $E_{- 1} = Vect (1, - 1)$ ). Spectre: ${- 1, 1}$ .

Rotation d'angle $θ \in] 0, π [$ autour de l'origine: $R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$ . Aucun vecteur non nul n'est envoyé sur un multiple de lui-même: une rotation qui n'est ni l'identité ni le demi-tour ne conserve aucune direction. $R_{θ}$ n'a pas de valeur propre réelle. Nous verrons qu'elle en a deux complexes, $e^{\pm i θ}$ .

Homothétie de rapport $k$ : $k I_{n}$ . Tout vecteur non nul est propre, pour l'unique valeur propre $k$ , et $E_{k} = R^{n}$ .

Cisaillement horizontal: $C = (1011)$ envoie $(x, y)$ sur $(x + y, y)$ . Un vecteur est conservé en direction si et seulement si $y = 0$ : l'axe $O x$ est fixé point par point ( $λ = 1$ , $E_{1} = Vect (e_{1})$ ) et c'est la seule direction propre. Une matrice $2 \times 2$ peut donc n'avoir qu'une seule droite propre.

L'explorateur suivant permet de tester ces situations: choisissez les quatre coefficients d'une matrice $2 \times 2$ et faites tourner un vecteur unitaire $x$ jusqu'à ce que son image $A x$ lui soit alignée. Essayez la projection $(1, 0, 0, 0)$ , la réflexion $(0, 1, 1, 0)$ , une rotation $(0, - 1, 1, 0)$ et le cisaillement $(1, 1, 0, 1)$ .

Explorateur de vecteurs propres

Réglez les coefficients de la matrice A = [[a, b], [c, d]] et l'angle φ du vecteur unitaire x. L'image Ax est dessinée en couleur, les droites propres en tirets (lorsque les valeurs propres sont réelles) et l'image du cercle unité en bleu. Quand x est un vecteur propre, Ax est aligné avec x: l'angle vaut 0° ou 180°.

Valeurs propres

λ₁ = 3,00, λ₂ = 1,00

Angle entre x et Ax

9,9°

tr A = a + d

4,0

det A = ad − bc

3,00

‖Ax‖

2,91

a2,0

b1,0

c1,0

d2,0

Angle φ de x30°

Exercice

Soit $A$ la matrice de la projection orthogonale de $R^{3}$ sur le plan $z = 0$ . Lesquelles de ces affirmations sont vraies?

Plusieurs réponses possibles

Deux résultats immédiats

Démonstration. Soit $T$ triangulaire de coefficients diagonaux $t_{11}, \dots, t_{nn}$ . Un réel $λ$ est valeur propre si et seulement si le système homogène $(T - λ I) x = 0$ a une solution non nulle, c'est-à-dire si et seulement si la matrice $T - λ I$ n'est pas inversible (chapitre 2). Or $T - λ I$ est encore triangulaire, de coefficients diagonaux $t_{ii} - λ$ ; une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls (son déterminant en est le produit, chapitre 3). Donc $λ$ est valeur propre si et seulement si $λ = t_{ii}$ pour un indice $i$ . $□$

Démonstration. $0$ est valeur propre si et seulement s'il existe $v \neq = 0$ avec $A v = 0$ , autrement dit si et seulement si $ker A \neq = {0}$ . D'après le chapitre 2, une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit à ${0}$ , et d'après le chapitre 3, si et seulement si son déterminant est non nul. $□$

Vecteurs propres d'un endomorphisme

Les définitions s'étendent mot pour mot à un endomorphisme $f : V \to V$ d'un espace vectoriel $V$ : $λ$ est valeur propre de $f$ s'il existe $v \in V$ non nul avec $f (v) = λ v$ , et $E_{λ} = ker (f - λ id_{V})$ . Si $V$ est de dimension finie et $B$ est une base de $V$ , les valeurs propres de $f$ sont celles de sa matrice $A = Mat_{B} (f)$ , et les vecteurs propres de $f$ ont pour coordonnées les vecteurs propres de $A$ . Le choix de la base ne change rien au spectre: c'est la proposition 9.6 ci-dessous.

Un exemple important sort du cadre des matrices: l'opérateur de dérivation $D : f \mapsto f^{'}$ sur l'espace des fonctions dérivables. L'équation $D (f) = λ f$ est l'équation différentielle $f^{'} = λ f$ , dont les solutions sont les $f (x) = C e^{λ x}$ . Tout réel $λ$ est valeur propre de $D$ , avec l'espace propre $E_{λ} = Vect (e^{λ x})$ . Les fonctions exponentielles sont les «directions propres» de la dérivation, ce qui explique leur omniprésence dans la résolution des équations différentielles linéaires (chapitre 10).

Le polynôme caractéristique

De l'équation vectorielle à l'équation scalaire

La proposition 9.3 se généralise immédiatement: remplacer $A$ par $A - λ I$ transforme la question « $λ$ est-il valeur propre?» en un calcul de déterminant.

Démonstration. $λ$ est valeur propre si et seulement si $ker (A - λ I_{n}) \neq = {0}$ , c'est-à-dire si et seulement si la matrice carrée $A - λ I_{n}$ n'est pas inversible, ce qui équivaut à $det (A - λ I_{n}) = 0$ (chapitre 3). Pour voir que $χ_{A}$ est un polynôme de degré $n$ , développons le déterminant par la formule de Leibniz (chapitre 3): $det (A - λ I)$ est une somme de produits de $n$ coefficients de $A - λ I$ , pris un par ligne et un par colonne. Chaque coefficient est soit une constante $a_{ij}$ , soit un binôme $a_{ii} - λ$ : chaque produit est un polynôme en $λ$ , de degré au plus $n$ . Le seul produit qui contient les $n$ facteurs diagonaux est $(a_{11} - λ) (a_{22} - λ) \dots (a_{nn} - λ)$ , de terme dominant $(- 1)^{n} λ^{n}$ ; tous les autres produits comportent au plus $n - 2$ facteurs diagonaux et sont de degré au plus $n - 2$ . Le coefficient de $λ^{n}$ est donc $(- 1)^{n} \neq = 0$ . Enfin un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines. $□$

Les coefficients remarquables: trace et déterminant

Démonstration. Pour $n = 2$ , avec $A = (a c b d)$ :

χ_{A} (λ) = a - λ c b d - λ = (a - λ) (d - λ) - b c = λ^{2} - (a + d) λ + (a d - b c) = λ^{2} - tr (A) λ + det A .

Pour $n$ quelconque, nous avons vu dans la démonstration précédente que les termes de degré $n$ et $n - 1$ ne peuvent provenir que du produit des coefficients diagonaux $\prod_{i} (a_{ii} - λ)$ , dont le développement commence par $(- λ)^{n} + (a_{11} + \dots + a_{nn}) (- λ)^{n - 1}$ : le coefficient de $λ^{n - 1}$ est bien $(- 1)^{n - 1} tr A$ . Le terme constant est $χ_{A} (0) = det A$ . Nous admettons la forme des coefficients intermédiaires, qui sont les sommes des mineurs principaux de $A$ .

Pour (9.5), on développe la forme factorisée: $(- 1)^{n} \prod_{i} (λ - λ_{i}) = (- 1)^{n} (λ^{n} - (λ_{1} + \dots + λ_{n}) λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} λ_{1} \dots λ_{n})$ , et l'on identifie avec (9.4) les coefficients de $λ^{n - 1}$ et le terme constant. $□$

Les relations (9.5) sont un excellent moyen de contrôle: après avoir calculé des valeurs propres, vérifiez que leur somme est la trace et leur produit le déterminant. Il faut y compter chaque racine autant de fois que sa multiplicité, et inclure les racines complexes le cas échéant.

Exercice

Calculez la plus grande valeur propre de $A = (4123)$ .

Matrices semblables

Démonstration. Comme $P^{- 1} (λ I) P = λ P^{- 1} P = λ I$ , on a $B - λ I = P^{- 1} A P - P^{- 1} (λ I) P = P^{- 1} (A - λ I) P$ . Par multiplicativité du déterminant (chapitre 3),

χ_{B} (λ) = det (P^{- 1}) det (A - λ I) det P = \frac{1}{det P} χ_{A} (λ) det P = χ_{A} (λ) .

Les valeurs propres, la trace et le déterminant se lisent sur $χ_{A}$ (théorème 9.5), d'où le reste. $□$

Ce résultat donne enfin un sens intrinsèque au polynôme caractéristique: les matrices d'un même endomorphisme $f$ dans deux bases sont semblables (chapitre 6), donc $χ_{f}$ , le spectre de $f$ , sa trace et son déterminant ne dépendent pas de la base. La réciproque est fausse: $I_{2}$ et le cisaillement $C = (1011)$ ont le même polynôme caractéristique $(λ - 1)^{2}$ sans être semblables, puisque $P^{- 1} I_{2} P = I_{2} \neq = C$ .

Calcul complet sur une matrice 3 × 3

Exemple 9.4 · Spectre et espaces propres d'une matrice 3 × 3

Déterminons les valeurs propres et les espaces propres de

A = 421 - 1 1 - 1 - 2 - 2 1 .

Polynôme caractéristique. On développe $det (A - λ I)$ selon la première ligne:

χ_{A} (λ) = 4 - λ 21 - 1 1 - λ - 1 - 2 - 2 1 - λ = (4 - λ) [(1 - λ)^{2} - 2] + 1 \cdot [2 (1 - λ) + 2] - 2 [- 2 - (1 - λ)] .

Avec $(1 - λ)^{2} - 2 = λ^{2} - 2 λ - 1$ , $2 (1 - λ) + 2 = 4 - 2 λ$ et $- 2 - (1 - λ) = λ - 3$ :

χ_{A} (λ) = (4 - λ) (λ^{2} - 2 λ - 1) + (4 - 2 λ) - 2 (λ - 3) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6.

Contrôle: le coefficient de $λ^{2}$ est $tr A = 4 + 1 + 1 = 6$ (au signe $(- 1)^{n - 1} = + 1$ près) et le terme constant est $det A = 6$ .

Factorisation. On cherche une racine évidente parmi les diviseurs du terme constant $6$ : $χ_{A} (1) = - 1 + 6 - 11 + 6 = 0$ . On divise $λ^{3} - 6 λ^{2} + 11 λ - 6$ par $λ - 1$ (division euclidienne ou schéma de Horner): le quotient est $λ^{2} - 5 λ + 6 = (λ - 2) (λ - 3)$ . Donc

χ_{A} (λ) = - (λ - 1) (λ - 2) (λ - 3), Sp (A) = {1, 2, 3} .

Contrôle par (9.5): $1 + 2 + 3 = 6 = tr A$ et $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 = det A$ .

Espaces propres par Gauss. Pour $λ = 1$ , on réduit $A - I$ :

321 - 1 0 - 1 - 2 - 2 0 L_{1} \leftrightarrow L_{3} 123 - 1 0 - 1 0 - 2 - 2 L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - 3 L_{1} 100 - 1 22 0 - 2 - 2 ⟶ 100010 - 1 - 1 0 .

La variable $x_{3} = t$ est libre, $x_{1} = x_{2} = t$ : $E_{1} = Vect (1, 1, 1)$ . Vérification: $A (1, 1, 1)^{T} = (4 - 1 - 2, 2 + 1 - 2, 1 - 1 + 1)^{T} = (1, 1, 1)^{T}$ .

Pour $λ = 2$ , $A - 2 I$ se réduit à $100010 - 1 00$ , d'où $x_{2} = 0$ , $x_{1} = x_{3}$ et $E_{2} = Vect (1, 0, 1)$ ; vérification: $A (1, 0, 1)^{T} = (2, 0, 2)^{T}$ .

Pour $λ = 3$ , $A - 3 I$ se réduit à $100 - 1 00 010$ , d'où $x_{3} = 0$ , $x_{1} = x_{2}$ et $E_{3} = Vect (1, 1, 0)$ ; vérification: $A (1, 1, 0)^{T} = (3, 3, 0)^{T}$ .

Chaque espace propre est une droite, et les trois vecteurs $(1, 1, 1)$ , $(1, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ forment une base de $R^{3}$ : c'est le point de départ de la diagonalisation du chapitre 10.

Figure 9.2. Graphe du polynôme caractéristique χ_A(λ) = det(A − λI) de la matrice de l'exemple 9.4. Ses trois racines 1, 2, 3 sont les valeurs propres; sa valeur en 0 est det A = 6, et son terme dominant −λ³ traduit le signe (−1)ⁿ pour n = 3.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul des valeurs propres et des espaces propres d'une matrice $A$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer le déterminant

χ_{A} (λ) = det (A - λ I)

Lire une base de

E_{λ}

sur les variables libres et vérifier

A v = λ v

Former la matrice

A - λ I

en soustrayant

λ

à chaque coefficient diagonal

Factoriser

χ_{A}

et en extraire les racines réelles: ce sont les valeurs propres

Pour chaque valeur propre

λ

, réduire

A - λ I

par l'élimination de Gauss

Multiplicités et indépendance des vecteurs propres

Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique

Une valeur propre peut être racine multiple du polynôme caractéristique, et son espace propre peut être de dimension supérieure à $1$ . Ces deux nombres méritent chacun un nom.

Exemple 9.5 · Le cisaillement: une valeur propre double, un seul vecteur propre

Pour $C = (1011)$ , $χ_{C} (λ) = (1 - λ)^{2}$ : la valeur propre $1$ est double, $m_{a} (1) = 2$ . Mais $C - I = (0010)$ est de rang $1$ , donc $m_{g} (1) = 2 - 1 = 1$ : l'espace propre $E_{1} = Vect (e_{1})$ est une droite. On a ici $m_{g} (1) < m_{a} (1)$ , et il n'existe pas de base de $R^{2}$ formée de vecteurs propres de $C$ .

À l'opposé, pour $A = 311131113$ on trouve $χ_{A} (λ) = - (λ - 2)^{2} (λ - 5)$ (contrôle: $2 + 2 + 5 = 9 = tr A$ , $2 \cdot 2 \cdot 5 = 20 = det A$ ). Pour $λ = 2$ , la matrice $A - 2 I$ a ses trois lignes égales à $(1, 1, 1)$ : elle est de rang $1$ et $E_{2}$ est le plan d'équation $x + y + z = 0$ , de base $(1, - 1, 0)$ , $(1, 1, - 2)$ : $m_{g} (2) = m_{a} (2) = 2$ . Pour $λ = 5$ , $A - 5 I$ se réduit à $100010 - 1 - 1 0$ et $E_{5} = Vect (1, 1, 1)$ , la droite perpendiculaire au plan $E_{2}$ .

Figure 9.3. Les espaces propres de A = [[3, 1, 1], [1, 3, 1], [1, 1, 3]] en projection oblique: le plan propre E₂ d'équation x + y + z = 0 (valeur propre double 2) et la droite propre E₅ dirigée par (1, 1, 1). Un vecteur v du plan est doublé, un vecteur w de la droite est quintuplé. La droite est orthogonale au plan: c'est une propriété des matrices symétriques (chapitre 11).

Démonstration. L'inégalité $1 \leq m_{g} (λ)$ est la proposition 9.1 et $m_{a} (λ) \leq n$ vient du degré de $χ_{A}$ . Montrons $m_{g} (λ) \leq m_{a} (λ)$ . Notons $k = m_{g} (λ)$ et choisissons une base $(v_{1}, \dots, v_{k})$ de $E_{λ}$ , que l'on complète en une base $B = (v_{1}, \dots, v_{k}, w_{k + 1}, \dots, w_{n})$ de $R^{n}$ (théorème de la base incomplète, chapitre 4). Soit $P$ la matrice de passage, dont les colonnes sont les vecteurs de $B$ . Comme $A v_{i} = λ v_{i}$ pour $i \leq k$ , les $k$ premières colonnes de $P^{- 1} A P$ (les coordonnées des $A v_{i}$ dans $B$ ) sont $λ e_{i}$ , et la matrice a la forme par blocs

B = P^{- 1} A P = (λ I_{k} 0 X Y), Y \in M_{(n - k) \times (n - k)} (R) .

Par la proposition 9.6 et le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (chapitre 3),

χ_{A} (x) = χ_{B} (x) = det ((λ - x) I_{k} 0 X Y - x I_{n - k}) = (λ - x)^{k} χ_{Y} (x) .

Ainsi $(λ - x)^{k}$ divise $χ_{A} (x)$ , ce qui signifie $m_{a} (λ) \geq k = m_{g} (λ)$ . $□$

Une conséquence utile: pour une valeur propre simple, $m_{g} = m_{a} = 1$ automatiquement, et l'espace propre est une droite. Seules les valeurs propres multiples demandent un examen du rang de $A - λ I$ .

Exercice

Une matrice $A \in M_{4 \times 4} (R)$ a pour polynôme caractéristique $χ_{A} (λ) = (2 - λ)^{3} (- 1 - λ)$ . Lesquelles de ces affirmations sont nécessairement vraies?

Plusieurs réponses possibles

Indépendance des vecteurs propres

Démonstration. Par récurrence sur $k$ . Pour $k = 1$ , la famille $(v_{1})$ est libre car $v_{1} \neq = 0$ . Supposons le résultat vrai pour $k - 1$ vecteurs et considérons une relation

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{k} v_{k} = 0 . (*)

Appliquons $A$ aux deux membres: $c_{1} λ_{1} v_{1} + \dots + c_{k} λ_{k} v_{k} = 0$ . Multiplions par ailleurs $(*)$ par $λ_{k}$ : $c_{1} λ_{k} v_{1} + \dots + c_{k} λ_{k} v_{k} = 0$ . En soustrayant, le dernier terme disparaît:

c_{1} (λ_{1} - λ_{k}) v_{1} + \dots + c_{k - 1} (λ_{k - 1} - λ_{k}) v_{k - 1} = 0 .

Par hypothèse de récurrence, $(v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ est libre, donc $c_{i} (λ_{i} - λ_{k}) = 0$ pour $i = 1, \dots, k - 1$ . Comme $λ_{i} \neq = λ_{k}$ , on obtient $c_{1} = \dots = c_{k - 1} = 0$ . La relation $(*)$ se réduit alors à $c_{k} v_{k} = 0$ , d'où $c_{k} = 0$ puisque $v_{k} \neq = 0$ . $□$

Démonstration. Rappelons (chapitre 5) que la somme est directe si la seule décomposition de $0$ est la décomposition triviale. Soient $u_{i} \in E_{λ_{i}}$ avec $u_{1} + \dots + u_{p} = 0$ . Si certains $u_{i}$ étaient non nuls, ils seraient des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, donc linéairement indépendants par le théorème 9.8; mais leur somme est nulle avec tous les coefficients égaux à $1$ , ce qui contredit l'indépendance. Donc tous les $u_{i}$ sont nuls et la somme est directe. La dimension d'une somme directe est la somme des dimensions (chapitre 5), et elle ne dépasse pas $n$ . Enfin, si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, on choisit un vecteur propre pour chacune: on obtient $n$ vecteurs indépendants dans $R^{n}$ , c'est-à-dire une base. $□$

Ce dernier énoncé annonce le chapitre 10: dans une base de vecteurs propres, la matrice de l'endomorphisme est diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale. Le critère général sera: $A$ est diagonalisable si et seulement si $χ_{A}$ se factorise entièrement sur $R$ et $m_{g} (λ) = m_{a} (λ)$ pour chaque valeur propre. Le cisaillement de l'exemple 9.5 échoue au second test.

Le théorème de Cayley–Hamilton et la puissance itérée

Une matrice annule son polynôme caractéristique

Si $p (x) = c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{k} x^{k}$ est un polynôme, on note $p (A) = c_{0} I + c_{1} A + \dots + c_{k} A^{k}$ la matrice obtenue en substituant $A$ à $x$ . Le résultat suivant, découvert par Arthur Cayley (1858) et William Rowan Hamilton, est l'une des identités les plus surprenantes de l'algèbre linéaire.

Démonstration pour $n = 2$ . Soit $A = (a c b d)$ , de polynôme caractéristique $χ_{A} (x) = x^{2} - (a + d) x + (a d - b c)$ . On calcule

A^{2} = (a^{2} + b c a c + c d ab + b d b c + d^{2}), (a + d) A = (a^{2} + a d a c + c d ab + b d a d + d^{2}),

d'où $A^{2} - (a + d) A = (b c - a d 0 0 b c - a d) = - (a d - b c) I$ , c'est-à-dire $A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) I = 0$ . $□$

Le théorème a deux applications directes: il exprime $A^{n}$ , donc toutes les puissances supérieures, comme combinaison linéaire de $I, A, \dots, A^{n - 1}$ , et il fournit l'inverse sans élimination.

Le polynôme caractéristique n'est pas toujours le polynôme de plus petit degré annulé par $A$ : pour $A = I_{n}$ , $χ_{A} (x) = (1 - x)^{n}$ mais $A$ annule déjà $x - 1$ . Le polynôme unitaire de degré minimal annulé par $A$ s'appelle le polynôme minimal; il divise $χ_{A}$ et joue un rôle central dans la théorie de la réduction, au-delà de ce cours.

La méthode de la puissance itérée

Pour de grandes matrices, calculer $χ_{A}$ puis ses racines est impraticable et numériquement instable. On préfère des méthodes itératives. La plus simple, la puissance itérée, calcule la valeur propre de plus grand module et un vecteur propre associé.

L'idée est simple: si $x_{0} = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$ dans une base de vecteurs propres, alors $A^{k} x_{0} = c_{1} λ_{1}^{k} v_{1} + \dots + c_{n} λ_{n}^{k} v_{n} = λ_{1}^{k} (c_{1} v_{1} + c_{2} (λ_{2} / λ_{1})^{k} v_{2} + \dots)$ , et tous les termes sauf le premier tendent vers $0$ . La normalisation à chaque étape évite que les composantes n'explosent ou ne s'annulent numériquement.

Exemple 9.7 · Quatre itérations de la puissance itérée

Appliquons l'algorithme à $A = (2113)$ à partir de $x_{0} = (1, 0)^{T}$ . Les valeurs exactes sont $λ_{1, 2} = \frac{5 \pm 5}{2}$ , soit $λ_{1} \approx 3, 6180$ et $λ_{2} \approx 1, 3820$ , avec $E_{λ_{1}} = Vect (1, λ_{1} - 2) = Vect (1; 1, 6180)$ .

$k$	$y_{k} = A x_{k - 1}$	$x_{k}$ (normalisé)	rapport $x_{2} / x_{1}$	$ρ (x_{k - 1})$
1	$(2; 1)$	$(1; 0, 5)$	$0, 5$	$2$
2	$(2, 5; 2, 5)$	$(1; 1)$	$1$	$3$
3	$(3; 4)$	$(0, 75; 1)$	$1, 3333$	$3, 5$
4	$(2, 5; 3, 75)$	$(0, 6667; 1)$	$1, 5$	$3, 6$

Le rapport des composantes s'approche de $1, 618$ et le quotient de Rayleigh $ρ (x_{4}) = 47/13 \approx 3, 6154$ n'est plus qu'à $0, 003$ de $λ_{1}$ . Le facteur de convergence vaut $λ_{2} / λ_{1} \approx 0, 382$ : chaque itération divise grossièrement l'erreur sur la direction par $2, 6$ . Pour une matrice symétrique, le quotient de Rayleigh converge même deux fois plus vite (comme $0, 38 2^{2 k}$ ), ce que l'on observe dans la dernière colonne.

Exercice

Pour $A = (5 - 2 - 2 8)$ et $x = (1, 1)^{T}$ , calculez le quotient de Rayleigh $ρ (x)$ .

Applications

Modes propres de deux masses couplées

Exemple 9.8 · Deux masses et trois ressorts

Deux chariots de même masse $m$ glissent sans frottement sur un rail. Ils sont reliés entre eux et aux deux parois par trois ressorts identiques de raideur $k$ . Notons $x_{1}$ et $x_{2}$ les écarts des chariots à leur position d'équilibre. Le premier chariot subit la force $- k x_{1}$ du ressort de gauche et la force $k (x_{2} - x_{1})$ du ressort central; le second, la force $- k (x_{2} - x_{1})$ du ressort central et $- k x_{2}$ du ressort de droite. La loi de Newton donne

m \overset{x}{¨}_{1} = - 2 k x_{1} + k x_{2}, m \overset{x}{¨}_{2} = k x_{1} - 2 k x_{2}, soit \ddot{x} = - \frac{k}{m} K x, K = (2 - 1 - 1 2) . (9.9)

Cherchons des mouvements harmoniques où les deux chariots vibrent à la même pulsation $ω$ : $x (t) = v cos (ω t)$ avec $v$ constant. Alors $\ddot{x} = - ω^{2} v cos (ω t)$ , et (9.9) devient, après simplification par $cos (ω t)$ ,

K v = \frac{m ω ^{2}}{k} v .

Un mode harmonique existe donc si et seulement si $v$ est un vecteur propre de $K$ , de valeur propre $λ = m ω^{2} / k$ , c'est-à-dire $ω = λk / m$ . Or $χ_{K} (λ) = λ^{2} - 4 λ + 3 = (λ - 1) (λ - 3)$ :

$λ_{1} = 1$ , $E_{1} = Vect (1, 1)$ : les deux chariots se déplacent en phase, le ressort central n'est jamais déformé et chaque chariot n'est rappelé que par son ressort extérieur: $ω_{1} = k / m$ , la pulsation d'une masse $m$ retenue par un seul ressort de raideur $k$ ;
$λ_{2} = 3$ , $E_{3} = Vect (1, - 1)$ : les chariots vibrent en opposition de phase, le ressort central est étiré deux fois plus, et $ω_{2} = 3 k / m$ .

Pour $k = 1000$ N/m et $m = 2$ kg: $ω_{1} = 500 \approx 22, 36$ rad/s, soit $f_{1} = ω_{1} /2 π \approx 3, 559$ Hz, et $ω_{2} = 1500 \approx 38, 73$ rad/s, soit $f_{2} \approx 6, 164$ Hz. Le mouvement général est une superposition des deux modes, $x (t) = a (1, 1)^{T} cos (ω_{1} t + φ_{1}) + b (1, - 1)^{T} cos (ω_{2} t + φ_{2})$ , et le chapitre 10 montrera comment déterminer $a, b, φ_{1}, φ_{2}$ à partir des conditions initiales. Une excitation extérieure à la fréquence $f_{1}$ ou $f_{2}$ provoque la résonance: c'est la raison pour laquelle on calcule les valeurs propres de la matrice de raideur de toute structure de génie civil.

Croissance d'une population: le modèle de Leslie

Exemple 9.9 · Une population à deux classes d'âge

Une population animale est divisée en jeunes (moins d'un an, effectif $j_{k}$ l'année $k$ ) et adultes (effectif $a_{k}$ ). Chaque année, un jeune donne naissance en moyenne à $1$ petit et un adulte à $2$ petits; la moitié des jeunes survivent et deviennent adultes; les adultes ne survivent pas à l'année suivante. Le vecteur $x_{k} = (j_{k}, a_{k})^{T}$ évolue selon $x_{k + 1} = L x_{k}$ avec la matrice de Leslie

L = (1 0, 5 20), χ_{L} (λ) = λ^{2} - λ - 1.

Les valeurs propres sont $λ_{1} = \frac{1 + 5}{2} \approx 1, 618$ (le nombre d'or!) et $λ_{2} = \frac{1 - 5}{2} \approx - 0, 618$ . À partir de $x_{0} = (100, 0)^{T}$ , les effectifs totaux successifs sont $150$ , $250$ , $400$ , $650$ , $1050$ , $1700$ : des multiples de la suite de Fibonacci, dont les rapports $1, 667$ ; $1, 6$ ; $1, 625$ ; $1, 615$ ; $1, 619$ convergent vers $λ_{1}$ . Le taux de croissance asymptotique de la population est la valeur propre dominante (ici $+ 61, 8 %$ par an), et la répartition par âge tend vers le vecteur propre associé: $(L - λ_{1} I) v = 0$ donne $a / j = (λ_{1} - 1) /2 \approx 0, 309$ , soit environ $76 %$ de jeunes et $24 %$ d'adultes, quelle que soit la population initiale. Le mécanisme est exactement celui de la puissance itérée; le chapitre 10 en donnera la démonstration par diagonalisation.

Le même raisonnement s'applique aux chaînes de Markov (matrices stochastiques): la valeur propre dominante vaut $1$ et le vecteur propre associé est la distribution stationnaire.

Stabilité d'un système dynamique discret

Beaucoup de systèmes (populations, économie, filtres numériques, itérations d'un algorithme) obéissent à une récurrence $x_{k + 1} = A x_{k}$ , d'où $x_{k} = A^{k} x_{0}$ . La question centrale est le comportement de $x_{k}$ quand $k \to \infty$ . Si $x_{0} = v$ est un vecteur propre pour $λ$ , la réponse est immédiate: $x_{k} = λ^{k} v$ , qui tend vers $0$ si $∣ λ ∣ < 1$ , reste borné si $∣ λ ∣ = 1$ et explose si $∣ λ ∣ > 1$ . Lorsque $x_{0}$ se décompose sur une base de vecteurs propres, chaque composante suit sa propre loi, et l'on obtient le critère suivant, que nous démontrerons au chapitre 10 pour les matrices diagonalisables.

Pour $A = (0, 5 0, 1 0, 2 0, 6)$ , $χ_{A} (λ) = λ^{2} - 1, 1 λ + 0, 28 = (λ - 0, 7) (λ - 0, 4)$ : les deux valeurs propres sont de module inférieur à $1$ , le système est stable. Le vecteur $(1, 1)^{T}$ est propre pour $0, 7$ : partant de $x_{0} = (1, 1)^{T}$ , on obtient $x_{1} = (0, 7; 0, 7)$ , $x_{2} = (0, 49; 0, 49)$ , $x_{3} = (0, 343; 0, 343)$ : une décroissance géométrique de raison $0, 7$ . Pour la matrice de Leslie de l'exemple 9.9, $λ_{1} \approx 1, 618 > 1$ : la population explose. Pour la rotation $R_{θ}$ , $∣ λ ∣ = 1$ : les trajectoires restent sur des cercles, ni stables ni explosives.

Synthèse

$λ$ est valeur propre de $A$ s'il existe $v \neq = 0$ avec $A v = λ v$ ; l'espace propre $E_{λ} = ker (A - λ I)$ est un sous-espace vectoriel de dimension $m_{g} (λ) \geq 1$ . Une valeur propre peut être nulle ( $⟺ A$ non inversible), un vecteur propre jamais.
$λ$ est valeur propre si et seulement si $χ_{A} (λ) = det (A - λ I) = 0$ ; $χ_{A}$ est un polynôme de degré $n$ , de coefficient de $λ^{n - 1}$ égal à $\pm tr A$ et de terme constant $det A$ : la somme des valeurs propres (avec multiplicités, dans $C$ ) est la trace, leur produit le déterminant.
Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux; deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique; une rotation du plan n'a que des valeurs propres complexes $e^{\pm i θ}$ .
$1 \leq m_{g} (λ) \leq m_{a} (λ)$ ; des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont indépendants et la somme des espaces propres est directe; $n$ valeurs propres distinctes fournissent une base de vecteurs propres.
Cayley–Hamilton: $χ_{A} (A) = 0$ , ce qui exprime $A^{- 1}$ et les puissances $A^{k}$ comme polynômes en $A$ . La puissance itérée calcule la valeur propre dominante et le quotient de Rayleigh l'estime.
Applications: les fréquences propres d'une structure sont les racines carrées des valeurs propres de sa matrice de raideur; le taux de croissance d'une population de Leslie et la distribution stationnaire d'une chaîne de Markov sont donnés par la valeur propre dominante; le système $x_{k + 1} = A x_{k}$ est stable si et seulement si toutes les valeurs propres ont un module strictement inférieur à $1$ .

Série d'exercices du chapitre 9

Exercice 1 sur 5

Exercice

Une matrice $A \in M_{3 \times 3} (R)$ a pour valeurs propres $- 2$ , $1$ et $4$ . Que valent sa trace et son déterminant?

Problème guidé

Analyse spectrale complète d'une matrice 3 × 3

On considère $G = 1 - 2 1 - 2 11 002$ . On veut déterminer son polynôme caractéristique, ses valeurs propres, une base d'un espace propre, puis contrôler le résultat par la trace et le déterminant.

1
Polynôme caractéristique
Développez $det (G - λ I)$ selon la troisième colonne, qui ne contient qu'un seul coefficient non nul: $χ_{G} (λ) = (2 - λ) [(1 - λ)^{2} - 4]$ . Développez ensuite complètement.
Exercice
Quel est le coefficient de $λ^{2}$ dans $χ_{G} (λ) = det (G - λ I)$ ?
Valeurs propres
Un espace propre
Contrôle par la trace et le déterminant

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 9.1 · Valeurs propres et espaces propres de matrices 2 × 2

Pour chacune des matrices suivantes, déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres réelles et une base de chaque espace propre. Préciser à chaque fois les multiplicités algébrique et géométrique.

A = (1243), B = (1111), C = (2012), D = (01 - 1 0) .

Solution

Matrice $A$ . $tr A = 4$ , $det A = 3 - 8 = - 5$ , donc $χ_{A} (λ) = λ^{2} - 4 λ - 5 = (λ - 5) (λ + 1)$ . Valeurs propres $5$ et $- 1$ , toutes deux simples.

Pour $λ = 5$ : $A - 5 I = (- 4 2 4 - 2)$ , dont les deux lignes sont proportionnelles: $x_{1} = x_{2}$ et $E_{5} = Vect (1, 1)$ . Vérification: $A (1, 1)^{T} = (5, 5)^{T}$ .

Pour $λ = - 1$ : $A + I = (2244)$ , d'où $x_{1} = - 2 x_{2}$ et $E_{- 1} = Vect (2, - 1)$ . Vérification: $A (2, - 1)^{T} = (2 - 4, 4 - 3)^{T} = (- 2, 1)^{T} = - (2, - 1)^{T}$ . Ici $m_{a} = m_{g} = 1$ pour chaque valeur propre.

Matrice $B$ . $tr B = 2$ , $det B = 0$ : $χ_{B} (λ) = λ^{2} - 2 λ = λ (λ - 2)$ . Valeurs propres $0$ et $2$ . Comme $det B = 0$ , la valeur propre $0$ était prévisible (proposition 9.3): $E_{0} = ker B = Vect (1, - 1)$ . Pour $λ = 2$ : $B - 2 I = (- 1 1 1 - 1)$ , $E_{2} = Vect (1, 1)$ . Toutes les multiplicités valent $1$ . Géométriquement, $\frac{1}{2} B$ est la projection orthogonale sur la droite $y = x$ .

Matrice $C$ . Triangulaire: $χ_{C} (λ) = (2 - λ)^{2}$ , unique valeur propre $2$ avec $m_{a} (2) = 2$ . Or $C - 2 I = (0010)$ est de rang $1$ , donc $E_{2} = Vect (1, 0)$ et $m_{g} (2) = 1 < m_{a} (2)$ . Il n'existe pas de base de vecteurs propres: $C$ est un cisaillement composé avec une homothétie de rapport $2$ .

Matrice $D$ . $χ_{D} (λ) = λ^{2} + 1$ , sans racine réelle: $D$ , la rotation d'angle $π /2$ , n'a aucune valeur propre réelle et aucun espace propre dans $R^{2}$ . Dans $C$ , ses valeurs propres sont $\pm i = e^{\pm iπ /2}$ .

Exercice 9.2 · Une valeur propre double dont l'espace propre est une droite

Soit $A = 301130002$ .

Calculer $χ_{A} (λ)$ et en déduire les valeurs propres avec leurs multiplicités algébriques.
Déterminer une base de chaque espace propre et les multiplicités géométriques.
Vérifier les relations (9.5). Existe-t-il une base de $R^{3}$ formée de vecteurs propres de $A$ ?

Solution

1. On développe selon la troisième colonne, qui ne contient que $2 - λ$ :

χ_{A} (λ) = (2 - λ) 3 - λ 0 1 3 - λ = (2 - λ) (3 - λ)^{2} = - (λ - 2) (λ - 3)^{2} .

Développé: $χ_{A} (λ) = - λ^{3} + 8 λ^{2} - 21 λ + 18$ . Les valeurs propres sont $2$ , simple, et $3$ , double: $m_{a} (2) = 1$ , $m_{a} (3) = 2$ .

2. Pour $λ = 2$ : $A - 2 I = 101110000$ , dont la forme réduite est $100010000$ : $x_{1} = x_{2} = 0$ , $x_{3}$ libre, $E_{2} = Vect (0, 0, 1)$ et $m_{g} (2) = 1$ . Vérification: la troisième colonne de $A$ est $(0, 0, 2)^{T} = 2 e_{3}$ .

Pour $λ = 3$ : $A - 3 I = 001100 00 - 1$ , de forme réduite $100010 - 1 00$ : $x_{2} = 0$ , $x_{1} = x_{3}$ , $E_{3} = Vect (1, 0, 1)$ et $m_{g} (3) = 1$ . Vérification: $A (1, 0, 1)^{T} = (3, 0, 3)^{T}$ . On a donc $m_{g} (3) = 1 < 2 = m_{a} (3)$ : la matrice $A - 3 I$ est de rang $2$ et non $1$ .

3. Somme avec multiplicités: $2 + 3 + 3 = 8 = tr A$ ; produit: $2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 = det A$ (déterminant d'une matrice triangulaire par blocs: $det (3013) \cdot 2 = 9 \cdot 2$ ). La somme des espaces propres $E_{2} \oplus E_{3}$ est de dimension $1 + 1 = 2 < 3$ : il n'existe pas de base de $R^{3}$ formée de vecteurs propres. Cette matrice n'est pas diagonalisable (chapitre 10).

Exercice 9.3 · Inverse et puissances par le théorème de Cayley–Hamilton

Soit $B = 210030111$ .

Calculer $χ_{B} (λ)$ et écrire la relation de Cayley–Hamilton pour $B$ .
Sans calculer de déterminant, justifier que $B$ est inversible et exprimer $B^{- 1}$ comme polynôme en $B$ ; calculer $B^{- 1}$ .
Calculer $B^{3}$ à l'aide de $B^{2}$ et de la relation trouvée en 1, puis contrôler le coefficient $(2, 2)$ du résultat.

Solution

1. On développe selon la deuxième colonne, dont le seul coefficient non nul est $3 - λ$ , puis le déterminant $2 \times 2$ triangulaire:

χ_{B} (λ) = (3 - λ) 2 - λ 0 1 1 - λ = (3 - λ) (2 - λ) (1 - λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 11 λ + 6.

Les valeurs propres sont $1$ , $2$ , $3$ . Cayley–Hamilton: $- B^{3} + 6 B^{2} - 11 B + 6 I = 0$ , soit

B^{3} = 6 B^{2} - 11 B + 6 I .

2. Le terme constant de $χ_{B}$ est $det B = 6 \neq = 0$ (ou: $0$ n'est pas valeur propre): $B$ est inversible. En isolant $I$ dans la relation de Cayley–Hamilton: $6 I = B^{3} - 6 B^{2} + 11 B = B (B^{2} - 6 B + 11 I)$ , donc

B^{- 1} = \frac{1}{6} (B^{2} - 6 B + 11 I) .

On calcule $B^{2} = 450090351$ , puis $B^{2} - 6 B + 11 I = 4 - 12 + 11 5 - 6 0 0 9 - 18 + 11 0 3 - 6 5 - 6 1 - 6 + 11 = 3 - 1 0 020 - 3 - 1 6$ , d'où

B^{- 1} = 1/2 - 1/6 0 0 1/3 0 - 1/2 - 1/6 1 .

Contrôle: la première ligne de $B$ multipliée par les colonnes de $B^{- 1}$ donne $(2 \cdot \frac{1}{2} + 0 + 0, 0, 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 0 + 1) = (1, 0, 0)$ .

3. $B^{3} = 6 B^{2} - 11 B + 6 I$ :

B^{3} = 24300054018306 - 221100330111111 + 600060006 = 819002707191 .

Contrôle du coefficient $(2, 2)$ : dans $B$ , la deuxième colonne est $3 e_{2}$ , donc $B^{k} e_{2} = 3^{k} e_{2}$ et le coefficient $(2, 2)$ de $B^{3}$ vaut $3^{3} = 27$ . De même, les coefficients diagonaux de $B^{3}$ sont $2^{3} = 8$ , $27$ et $1^{3} = 1$ , les cubes des valeurs propres.

Exercice 9.4 · Modèle de Leslie à trois classes d'âge

Une population d'insectes est décrite par trois classes d'âge (larves, jeunes, adultes). Chaque année, les jeunes produisent en moyenne $6$ larves et les adultes $8$ ; la moitié des larves deviennent des jeunes et la moitié des jeunes deviennent adultes; les adultes meurent. Avec $x_{k} = (ℓ_{k}, j_{k}, a_{k})^{T}$ , on a $x_{k + 1} = L x_{k}$ où

L = 0 0, 5 0 60 0, 5 800 .

Calculer $χ_{L} (λ)$ et montrer que $λ = 2$ est valeur propre. Factoriser complètement $χ_{L}$ .
Déterminer l'espace propre $E_{2}$ et en déduire la répartition asymptotique de la population par classe d'âge.
Que devient l'effectif total à long terme? Quelle serait la valeur propre dominante si les adultes ne produisaient que $2$ larves?

Solution

1. Développons selon la première colonne:

χ_{L} (λ) = - λ 0, 5 0 6 - λ 0, 5 80 - λ = - λ - λ 0, 5 0 - λ - 0, 5 6 0, 5 8 - λ = - λ^{3} - 0, 5 (- 6 λ - 4) = - λ^{3} + 3 λ + 2.

$χ_{L} (2) = - 8 + 6 + 2 = 0$ : $2$ est valeur propre. En divisant $λ^{3} - 3 λ - 2$ par $λ - 2$ , on obtient $λ^{2} + 2 λ + 1 = (λ + 1)^{2}$ . Donc

χ_{L} (λ) = - (λ - 2) (λ + 1)^{2},

avec les valeurs propres $2$ (simple) et $- 1$ (double). Contrôle: $2 - 1 - 1 = 0 = tr L$ et $2 \cdot (- 1) \cdot (- 1) = 2 = det L$ (en effet $det L = 8 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 2$ ).

2. $L - 2 I = - 2 0, 5 0 6 - 2 0, 5 80 - 2$ . Les deux dernières lignes donnent $ℓ = 4 j$ et $j = 4 a$ , soit $ℓ = 16 a$ ; la première ligne est alors automatiquement satisfaite: $- 32 a + 24 a + 8 a = 0$ . Donc $E_{2} = Vect (16, 4, 1)$ . La répartition asymptotique est proportionnelle à $(16, 4, 1)$ : sur $21$ individus, $16$ larves ( $76, 2 %$ ), $4$ jeunes ( $19, 0 %$ ) et $1$ adulte ( $4, 8 %$ ).

Pour information, $E_{- 1} = Vect (4, - 2, 1)$ est une droite: $m_{g} (- 1) = 1 < 2 = m_{a} (- 1)$ .

3. La valeur propre dominante est $2$ ( $∣ - 1 ∣ < 2$ ): à long terme, la population double chaque année et sa répartition tend vers $(16, 4, 1)$ à un facteur près, quel que soit l'état initial ayant une composante non nulle le long de $E_{2}$ . Si la fécondité des adultes tombe à $2$ , la matrice devient $0 0, 5 0 60 0, 5 200$ et $χ (λ) = - λ^{3} + 3 λ + 0, 5$ . On a $χ (1, 8) = 0, 068 > 0$ et $χ (1, 9) \approx - 0, 659 < 0$ : la valeur propre dominante est comprise entre $1, 8$ et $1, 9$ ( $\approx 1, 81$ ), la population croît encore, mais moins vite. Elle ne se stabiliserait que si la valeur propre dominante valait exactement $1$ , ce qui exige $χ (1) = 0$ , soit $- 1 + 3 + f /4 = 0$ : impossible avec une fécondité $f \geq 0$ des adultes tant que les jeunes produisent $6$ larves.

Exercice 9.5 · Propriétés du spectre (démonstrations)

Soit $A \in M_{n \times n} (R)$ .

Montrer que si $v$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $λ$ , alors $v$ est un vecteur propre de $A^{2}$ pour $λ^{2}$ , et plus généralement de $p (A)$ pour $p (λ)$ , pour tout polynôme $p$ .
Montrer que $A$ et $A^{T}$ ont le même polynôme caractéristique, donc les mêmes valeurs propres. Ont-elles les mêmes vecteurs propres?
On suppose $A$ inversible. Montrer que ses valeurs propres sont non nulles et que si $A v = λ v$ , alors $A^{- 1} v = λ^{- 1} v$ .
On suppose $A^{2} = A$ (matrice de projection). Montrer que ses valeurs propres appartiennent à ${0, 1}$ .
Une matrice $G$ est dite stochastique (par colonnes) si ses coefficients sont positifs et si chaque colonne est de somme $1$ . Montrer que $1$ est valeur propre de $G$ .

Solution

1. Si $A v = λ v$ avec $v \neq = 0$ , alors $A^{2} v = A (A v) = A (λ v) = λ A v = λ^{2} v$ . Par récurrence, $A^{k} v = λ^{k} v$ pour tout $k \in N$ (avec $A^{0} = I$ , $λ^{0} = 1$ ): si $A^{k} v = λ^{k} v$ , alors $A^{k + 1} v = A (λ^{k} v) = λ^{k} \cdot λ v = λ^{k + 1} v$ . Pour $p (x) = \sum_{k} c_{k} x^{k}$ , par linéarité,

p (A) v = k \sum c_{k} A^{k} v = k \sum c_{k} λ^{k} v = p (λ) v .

Le même vecteur $v$ est donc propre pour $p (A)$ , avec la valeur propre $p (λ)$ . Appliqué à $p = χ_{A}$ , ceci montre que $χ_{A} (A) v = χ_{A} (λ) v = 0$ : Cayley–Hamilton est «visible» sur chaque vecteur propre, ce qui en constitue une démonstration lorsque $A$ possède une base de vecteurs propres.

2. La transposée de $A - λ I$ est $A^{T} - λ I$ , et un déterminant est invariant par transposition (chapitre 3):

χ_{A^{T}} (λ) = det (A^{T} - λ I) = det ((A - λ I)^{T}) = det (A - λ I) = χ_{A} (λ) .

Les valeurs propres, avec leurs multiplicités algébriques, sont donc les mêmes. Les vecteurs propres, en revanche, diffèrent en général: pour $C = (1011)$ , $E_{1} (C) = Vect (e_{1})$ tandis que $E_{1} (C^{T}) = ker (0100) = Vect (e_{2})$ .

3. Si $A$ est inversible, $det A \neq = 0$ et $0$ n'est pas valeur propre (proposition 9.3). Soit $A v = λ v$ avec $v \neq = 0$ ; on vient de voir que $λ \neq = 0$ . En multipliant à gauche par $A^{- 1}$ : $v = A^{- 1} (λ v) = λ A^{- 1} v$ , d'où $A^{- 1} v = λ^{- 1} v$ . Ainsi $A^{- 1}$ a les mêmes vecteurs propres que $A$ , avec les valeurs propres inverses; en particulier, $E_{λ} (A) = E_{1/ λ} (A^{- 1})$ .

4. Soit $A v = λ v$ avec $v \neq = 0$ . D'après 1, $A^{2} v = λ^{2} v$ ; mais $A^{2} = A$ , donc $A^{2} v = λ v$ . Par conséquent $(λ^{2} - λ) v = 0$ et, $v$ étant non nul, $λ^{2} - λ = λ (λ - 1) = 0$ : $λ \in {0, 1}$ . C'est le résultat de l'exemple 9.2 (projection: $E_{1}$ est l'image, $E_{0}$ le noyau) obtenu sans aucune géométrie. Le même argument montre que les valeurs propres d'une matrice vérifiant $A^{2} = I$ (symétrie) sont dans ${- 1, 1}$ , et que celles d'une matrice nilpotente ( $A^{k} = 0$ ) sont toutes nulles.

5. Notons $1 = (1, 1, \dots, 1)^{T}$ . La $i$ -ième composante de $G^{T} 1$ est $\sum_{j} (G^{T})_{ij} = \sum_{j} g_{j i}$ , la somme de la $i$ -ième colonne de $G$ , qui vaut $1$ . Donc $G^{T} 1 = 1$ : $1$ est valeur propre de $G^{T}$ , de vecteur propre $1$ . D'après 2, $1$ est aussi valeur propre de $G$ . Le vecteur propre correspondant de $G$ n'est pas $1$ en général: c'est la distribution stationnaire de la chaîne de Markov (ou le vecteur PageRank), que l'on calcule en résolvant $(G - I) x = 0$ ou par la puissance itérée. On peut montrer de plus que toutes les valeurs propres de $G$ sont de module au plus $1$ : $1$ est la valeur propre dominante, ce qui garantit que $G^{k} x_{0}$ reste borné, comme il se doit pour un vecteur de probabilités.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 5.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, chap. 6.
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 3e éd., Springer, Cham, chap. 5.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 6.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, 2e éd., Dunod, Paris.
Trefethen, L. N. et Bau, D., Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphie, leçons 24–27 (méthode de la puissance itérée et quotient de Rayleigh).

Objectifs du chapitre

Pourquoi des directions privilégiées?

Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres

Définitions

Exemples géométriques

Explorateur de vecteurs propres

Deux résultats immédiats

Vecteurs propres d'un endomorphisme

Le polynôme caractéristique

De l'équation vectorielle à l'équation scalaire

Les coefficients remarquables: trace et déterminant

Matrices semblables

Calcul complet sur une matrice 3 × 3

Multiplicités et indépendance des vecteurs propres

Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique

Indépendance des vecteurs propres

Le théorème de Cayley–Hamilton et la puissance itérée

Une matrice annule son polynôme caractéristique

La méthode de la puissance itérée

Applications

Modes propres de deux masses couplées

Croissance d'une population: le modèle de Leslie

Stabilité d'un système dynamique discret

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 9

Analyse spectrale complète d'une matrice 3 × 3

Polynôme caractéristique

Valeurs propres

Un espace propre

Contrôle par la trace et le déterminant

Exercices

Références