Calcul matriciel et matrices inversibles · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

manipuler les matrices comme des objets algébriques à part entière: addition, multiplication par un scalaire, transposition, produit, puissances;
calculer un produit matriciel ligne par colonne et l'interpréter comme une combinaison linéaire des colonnes ou comme une transformation du plan;
reconnaître les pièges du calcul matriciel: non-commutativité, diviseurs de zéro, développement de $(A + B)^{2}$ ;
traduire les opérations élémentaires sur les lignes en produits par des matrices élémentaires;
définir l'inverse d'une matrice, démontrer ses propriétés et le calculer par la méthode de Gauss–Jordan;
énoncer et démontrer le théorème d'inversibilité, et l'appliquer à des situations concrètes (chiffrement, rotations, graphes, économie).

Pourquoi un calcul matriciel?

Au chapitre 1, la matrice augmentée d'un système linéaire n'était qu'un tableau commode pour organiser l'élimination de Gauss. Ce chapitre change de point de vue: les matrices deviennent des nombres généralisés que l'on additionne, multiplie et, parfois, inverse. Cette algèbre a été dégagée par Arthur Cayley (1858), qui fut le premier à écrire un produit de tableaux et à parler de matrice inverse; le mot «matrice» lui-même est dû à James Sylvester (1850).

Le gain est double. D'une part, un système de $m$ équations à $n$ inconnues s'écrit en trois symboles, $A x = b$ , et se manipule comme l'équation $a x = b$ d'une seule inconnue: si $A$ est «inversible», la solution est $x = A^{- 1} b$ . D'autre part, un produit de matrices est la composition de deux transformations: enchaîner une rotation et un changement d'échelle en infographie, deux maillons d'un bras de robot, deux étapes d'un processus de production, deux déplacements sur un réseau, revient à multiplier leurs matrices. C'est ce second point de vue qui fera l'objet des chapitres 4 à 6; nous en donnons ici les premières illustrations dans le plan.

Matrices: définitions et notation

Le premier indice est toujours celui de la ligne, le second celui de la colonne: $a_{23}$ se lit «ligne 2, colonne 3». Une matrice $m \times 1$ est un vecteur colonne, une matrice $1 \times n$ un vecteur ligne. Nous identifions $R^{n}$ aux vecteurs colonnes et notons en gras $x = x_{1} ⋮ x_{n}$ . Les colonnes d'une matrice $A$ de taille $m \times n$ sont $n$ vecteurs $a_{1}, \dots, a_{n}$ de $R^{m}$ , et l'on écrit $A = (a_{1} ∣ a_{2} ∣ \dots ∣ a_{n})$ .

Figure 2.1. Galerie des matrices carrées particulières d'ordre 4. Les cases grisées contiennent des entrées a priori non nulles; les lettres identiques montrent les entrées égales (ou opposées) de part et d'autre de la diagonale.

Une matrice antisymétrique a une diagonale nulle: $a_{ii} = - a_{ii}$ force $a_{ii} = 0$ . Les matrices symétriques apparaissent partout en ingénierie: matrice de rigidité d'une structure, matrice d'inertie d'un solide, matrice des covariances d'un jeu de mesures. Leur théorie, remarquablement complète, occupe le chapitre 11.

Addition, multiplication par un scalaire et transposition

Démonstration. Chaque égalité se vérifie entrée par entrée et se ramène à la propriété correspondante des nombres réels: par exemple $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = b_{ij} + a_{ij} = (B + A)_{ij}$ . $□$

Ces huit règles sont exactement celles qui définissent un espace vectoriel, notion centrale du chapitre 4: $M_{m \times n} (R)$ se comporte, pour l'addition et la multiplication par un scalaire, comme $R^{mn}$ . En particulier, on peut parler de combinaison linéaire de matrices, $λ A + μ B$ .

La transposition est linéaire, $(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$ et $(λ A)^{T} = λ A^{T}$ , et involutive, $(A^{T})^{T} = A$ : les trois égalités se lisent directement sur les entrées. Elle permet d'économiser de la place: le vecteur colonne $x$ s'écrit en ligne $x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ . Son comportement vis-à-vis du produit, plus subtil, est l'objet du théorème 2.4.

Exercice

Soit $A \in M_{n} (R)$ une matrice antisymétrique. Laquelle de ces affirmations est nécessairement vraie?

Le produit matriciel

Définition ligne par colonne

Figure 2.2. Schéma «ligne par colonne» du produit d'une matrice 2×3 par une matrice 3×2. L'entrée c₂₁ du produit s'obtient en multipliant terme à terme la deuxième ligne de A par la première colonne de B et en sommant.

La règle des tailles se retient par le schéma $(m \times n) (n \times p) = (m \times p)$ : les dimensions intérieures doivent coïncider et disparaissent, les dimensions extérieures restent. Le cas $A \in M_{m \times n}$ , $x \in R^{n}$ donne un vecteur $A x \in R^{m}$ : c'est exactement le membre de gauche du système $A x = b$ du chapitre 1, dont la $i$ -ème ligne est $a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n} = b_{i}$ .

Interprétations par colonnes et par lignes

La formule (2.1) cache deux lectures beaucoup plus parlantes que le calcul entrée par entrée.

Démonstration. L'entrée $i$ de $A x$ vaut $\sum_{k} a_{ik} x_{k}$ , qui est aussi l'entrée $i$ de $\sum_{k} x_{k} a_{k}$ : c'est (2.2). Le point 2 est la définition (2.1) lue colonne par colonne, puisque $c_{ij}$ ne dépend que de la colonne $j$ de $B$ ; le point 3 est la même définition lue ligne par ligne: $(A B)_{ij} = \sum_{k} a_{ik} b_{k j}$ est la coordonnée $j$ du vecteur ligne $\sum_{k} a_{ik} (ligne k de B)$ . $□$

La lecture (2.2) est fondamentale: résoudre $A x = b$ , c'est chercher à écrire $b$ comme combinaison linéaire des colonnes de $A$ . Elle sera le fil conducteur des chapitres 4 et 5. La lecture par lignes (point 3) servira au paragraphe sur les matrices élémentaires.

Ce que le produit n'est pas

Propriétés du produit

Démonstration. Démontrons l'associativité, la seule règle qui ne soit pas immédiate. Soient $A \in M_{m \times n}$ , $B \in M_{n \times p}$ , $C \in M_{p \times q}$ . Les deux membres sont $m \times q$ et, pour tous $i, j$ ,

((A B) C)_{ij} = l = 1 \sum p (A B)_{i l} c_{l j} = l = 1 \sum p k = 1 \sum n a_{ik} b_{k l} c_{l j} = k = 1 \sum n a_{ik} l = 1 \sum p b_{k l} c_{l j} = k = 1 \sum n a_{ik} (B C)_{k j} = (A (B C))_{ij} .

On a seulement permuté deux sommes finies et factorisé $a_{ik}$ , qui ne dépend pas de $l$ . La distributivité s'obtient de même en développant $\sum_{k} a_{ik} (b_{k j} + c_{k j})$ ; le point 3 en sortant $λ$ de la somme; le point 4 parce que $\sum_{k} δ_{ik} a_{k j} = a_{ij}$ . $□$

Démonstration. Les deux membres sont de taille $p \times m$ . L'entrée $(i, j)$ de $(A B)^{T}$ est $(A B)_{j i} = \sum_{k} a_{j k} b_{k i}$ . Celle de $B^{T} A^{T}$ est $\sum_{k} (B^{T})_{ik} (A^{T})_{k j} = \sum_{k} b_{k i} a_{j k}$ . Les deux sommes sont identiques. $□$

Le renversement est nécessaire ne serait-ce que pour les tailles: $A^{T} B^{T}$ serait un produit $(n \times m) (p \times n)$ , indéfini dès que $m \neq = p$ . Une conséquence utile: pour toute matrice $A$ , les matrices $A^{T} A$ et $A A^{T}$ sont symétriques, puisque $(A^{T} A)^{T} = A^{T} (A^{T})^{T} = A^{T} A$ . Ces matrices sont au cœur de la méthode des moindres carrés (chapitre 7).

Exercice

Soient $A = (20 - 1 4 31)$ et $B = 13 - 1 205$ . Calculez l'entrée $(A B)_{21}$ (ligne 2, colonne 1) du produit.

Puissances et matrices nilpotentes

Pour une matrice carrée $A$ , l'associativité permet de définir sans ambiguïté $A^{k} = AA \dots A$ ( $k$ facteurs), avec $A^{0} = I_{n}$ , et l'on a $A^{k} A^{l} = A^{k + l}$ et $(A^{k})^{l} = A^{k l}$ . Les puissances d'une même matrice commutent entre elles, si bien que le binôme de Newton s'applique à $(A + λ I)^{k}$ , mais pas à $(A + B)^{k}$ en général.

Les matrices comme transformations du plan

À toute matrice $A \in M_{2} (R)$ on associe l'application $x \mapsto A x$ de $R^{2}$ dans lui-même. D'après (2.2), l'image d'un vecteur $x = x_{1} e_{1} + x_{2} e_{2}$ est $x_{1} (A e_{1}) + x_{2} (A e_{2})$ : la transformation est entièrement déterminée par les images des deux vecteurs de base, qui sont les colonnes de $A$ . Le carré unité de sommets $0, e_{1}, e_{1} + e_{2}, e_{2}$ est envoyé sur le parallélogramme de côtés $A e_{1}$ et $A e_{2}$ ; les droites restent des droites et les parallèles restent parallèles, puisque $A (p + t u) = A p + t A u$ .

Figure 2.3. Image du carré unité et du quadrillage par la matrice A = (2 1; 0,5 1,5). Les colonnes de A sont les images Ae₁ = (2; 0,5) et Ae₂ = (1; 1,5) des vecteurs de base; l'aire du parallélogramme image vaut |ad − bc| = 2,5.

Quelques matrices $2 \times 2$ à reconnaître, avec $θ \in R$ et $k > 0$ :

Transformation	Matrice	Effet sur le carré unité
Rotation d'angle $θ$	$R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)$	carré tourné, aire conservée
Homothétie de rapport $k$	$k I_{2} = (k 0 0 k)$	carré de côté $k$ , aire $k^{2}$
Cisaillement horizontal	$(10 s 1)$	parallélogramme de base $e_{1}$ , aire conservée
Projection sur l'axe $O x$	$(1000)$	segment $[0, 1]$ , aire nulle
Symétrie d'axe $O x$	$(10 0 - 1)$	carré retourné, orientation inversée

On verra au chapitre 3 que l'aire du parallélogramme image est $∣ a d - b c ∣$ pour $A = (a c b d)$ , et que le signe de $a d - b c$ indique si l'orientation (le sens de rotation de $e_{1}$ vers $e_{2}$ ) est conservée. L'explorateur ci-dessous permet de le constater: essayez $a = d = 0$ , $b = - 1$ , $c = 1$ (rotation d'un quart de tour), puis $a = 1$ , $b = c = d = 0$ (projection), puis $a = - 1$ , $d = 1$ (symétrie).

Explorateur de transformations du plan

La matrice A = (a b; c d) envoie le carré unité (gris) sur le parallélogramme de côtés Ae₁ = (a, c) et Ae₂ = (b, d). Faites varier les quatre entrées: observez les rotations, cisaillements, projections et retournements, et le facteur d'aire |ad − bc|.

A e₁

(1,50; 0,50)

A e₂

(0,50; 1,00)

Facteur d'aire |ad − bc|

1,25

Orientation

conservée

a (ligne 1, colonne 1)1,50

b (ligne 1, colonne 2)0,50

c (ligne 2, colonne 1)0,50

d (ligne 2, colonne 2)1,00

Le produit $A B$ de deux matrices $2 \times 2$ correspond à la composition: appliquer d'abord $B$ , puis $A$ , puisque $A (B x) = (A B) x$ par associativité. L'ordre des facteurs est celui de la lecture de droite à gauche, et la non-commutativité devient évidente: tourner puis projeter n'est pas projeter puis tourner.

Exercice

Soient $A$ de taille $3 \times 4$ , $B$ de taille $4 \times 2$ et $C$ de taille $2 \times 3$ . Lequel de ces produits n'est pas défini?

Matrices élémentaires

Les opérations sur les lignes du chapitre 1 sont, elles aussi, des produits matriciels. C'est ce qui permettra de raisonner sur l'élimination de Gauss et non plus seulement de l'exécuter.

Démonstration. D'après le point 3 de la proposition 2.2, la ligne $i$ de $E A$ est la combinaison linéaire des lignes de $A$ dont les coefficients sont les entrées de la ligne $i$ de $E$ . Traitons la transvection $E = T_{ij} (λ)$ : ses lignes sont celles de $I_{m}$ , sauf la ligne $i$ qui est $(0, \dots, 1, \dots, λ, \dots, 0)$ avec $1$ en position $i$ et $λ$ en position $j$ . Pour $k \neq = i$ , la ligne $k$ de $E A$ est donc $1 \cdot L_{k} (A) = L_{k} (A)$ ; la ligne $i$ de $E A$ est $L_{i} (A) + λ L_{j} (A)$ . C'est exactement l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ appliquée à $A$ . Les deux autres types se traitent de la même façon (ligne $i$ de $P_{ij}$ : coefficient $1$ en position $j$ ; ligne $i$ de $D_{i} (λ)$ : coefficient $λ$ en position $i$ ). $□$

Démonstration. Par le théorème 2.5, $T_{ij} (- λ) T_{ij} (λ) = T_{ij} (- λ) T_{ij} (λ) I$ est le résultat de l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ suivie de $L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{j}$ sur $I$ , c'est-à-dire $I$ elle-même. Même raisonnement pour les deux autres types: échanger deux fois, ou multiplier par $λ$ puis par $λ^{- 1}$ , ramène à la matrice de départ. $□$

Dans le langage du paragraphe suivant, les matrices élémentaires sont inversibles et leurs inverses sont élémentaires: $T_{ij} (λ)^{- 1} = T_{ij} (- λ)$ , $D_{i} (λ)^{- 1} = D_{i} (1/ λ)$ , $P_{ij}^{- 1} = P_{ij}$ .

Matrices inversibles

Définition et premières propriétés

L'article défini «l'inverse» se justifie par le résultat suivant.

Démonstration. En utilisant l'associativité: $B = B I_{n} = B (A C) = (B A) C = I_{n} C = C$ . $□$

La démonstration utilise seulement $B A = I$ et $A C = I$ : un inverse à gauche et un inverse à droite, s'ils existent tous deux, coïncident. L'exercice 2.5 montre que pour des matrices carrées, l'un des deux suffit à garantir l'autre.

Démonstration. Dans chaque cas, il suffit d'exhiber une matrice qui, multipliée à gauche et à droite, redonne $I_{n}$ : par unicité, c'est l'inverse.

Les égalités $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I_{n}$ disent précisément que $A$ est l'inverse de $A^{- 1}$ .
$(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = A I_{n} A^{- 1} = A A^{- 1} = I_{n}$ , et de même $(B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = B^{- 1} (A^{- 1} A) B = B^{- 1} B = I_{n}$ .
Transposons $A A^{- 1} = I_{n}$ grâce au théorème 2.4: $(A^{- 1})^{T} A^{T} = I_{n}^{T} = I_{n}$ ; de même $A^{- 1} A = I_{n}$ donne $A^{T} (A^{- 1})^{T} = I_{n}$ .
$(λ A) (λ^{- 1} A^{- 1}) = λ λ^{- 1} A A^{- 1} = I_{n}$ et symétriquement; le cas de $A^{k}$ résulte du point 2 par récurrence sur $k$ . $□$

Le renversement de l'ordre au point 2 se comprend avec des transformations: pour défaire « $B$ puis $A$ », on défait d'abord $A$ , puis $B$ . C'est la règle des chaussettes et des chaussures: on les enfile dans un ordre et on les enlève dans l'ordre inverse.

Démonstration. Posons $\tilde{A} = (d - c - b a)$ . Un calcul direct donne

A \tilde{A} = (a d - b c c d - d c - ab + ba - c b + a d) = (a d - b c) I_{2} et de m \overset{e}{ˆ} me \tilde{A} A = (a d - b c) I_{2} .

Si $a d - b c \neq = 0$ , la matrice $\frac{1}{a d - b c} \tilde{A}$ vérifie donc la définition de l'inverse. Réciproquement, supposons $a d - b c = 0$ et $A$ inversible. Alors $A \tilde{A} = 0$ , et en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ on obtient $\tilde{A} = 0$ , c'est-à-dire $a = b = c = d = 0$ : mais la matrice nulle n'est pas inversible ( $0 \cdot B = 0 \neq = I_{2}$ ), contradiction. $□$

Le nombre $a d - b c$ est le déterminant de $A$ , dont le chapitre 3 généralise la définition et les propriétés à toute matrice carrée. Retenez la recette: on échange les entrées diagonales, on change le signe des deux autres, on divise par le déterminant.

Exercice

Soit $B = (34 - 2 1)$ . Donnez l'entrée $(B^{- 1})_{12}$ (ligne 1, colonne 2) de son inverse, sous forme décimale.

Le théorème d'inversibilité

Pour une matrice $n \times n$ générale, la formule (2.3) n'a pas d'équivalent simple. Le théorème suivant relie l'inversibilité aux notions du chapitre 1 et fournit du même coup une méthode de calcul.

Démonstration. On démontre les implications en boucle $1 \Rightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 1$ .

$1 \Rightarrow 2$ . Le vecteur $x = A^{- 1} b$ est solution, car $A (A^{- 1} b) = I_{n} b = b$ . Si $x$ est une solution quelconque, en multipliant $A x = b$ à gauche par $A^{- 1}$ on obtient $x = A^{- 1} b$ : la solution est unique.

$2 \Rightarrow 3$ . Cas particulier $b = 0$ : le système homogène a une solution unique, qui est nécessairement $0$ .

$3 \Rightarrow 4$ . Rappelons (chapitre 1) que l'ensemble des solutions de $A x = 0$ est décrit par la forme échelonnée réduite $R$ de $A$ , et qu'il contient une solution non nulle dès qu'il existe une variable libre, c'est-à-dire une colonne sans pivot. Si la seule solution est $0$ , chacune des $n$ colonnes de $R$ contient un pivot; comme $R$ a $n$ lignes et que les pivots occupent des lignes distinctes, chaque ligne contient exactement un pivot, égal à $1$ , avec des zéros au-dessus et au-dessous: $R = I_{n}$ .

$4 \Rightarrow 5$ . La réduction de $A$ à $I_{n}$ est une suite finie d'opérations élémentaires; par le théorème 2.5, il existe des matrices élémentaires $E_{1}, \dots, E_{k}$ telles que $E_{k} \dots E_{2} E_{1} A = I_{n}$ . Chaque $E_{i}$ est inversible d'inverse élémentaire (proposition 2.6). En multipliant successivement à gauche par $E_{k}^{- 1}$ , puis $E_{k - 1}^{- 1}$ , …, on obtient $A = E_{1}^{- 1} E_{2}^{- 1} \dots E_{k}^{- 1}$ , produit de matrices élémentaires.

$5 \Rightarrow 1$ . Un produit de matrices inversibles est inversible (théorème 2.8, point 2, et récurrence). $□$

Calcul de l'inverse par la méthode de Gauss–Jordan

L'implication $4 \Rightarrow 5$ contient une méthode de calcul. Si $E_{k} \dots E_{1} A = I_{n}$ , alors $E_{k} \dots E_{1} = A^{- 1}$ (multiplier à droite par $A^{- 1}$ ). Or $E_{k} \dots E_{1} = E_{k} \dots E_{1} I_{n}$ est le résultat des mêmes opérations élémentaires appliquées à $I_{n}$ . D'où la recette: on forme la matrice par blocs $(A ∣ I_{n})$ , de taille $n \times 2 n$ , et on la réduit par Gauss–Jordan; les opérations qui transforment le bloc de gauche en $I_{n}$ transforment le bloc de droite en $A^{- 1}$ :

(A ∣ I_{n}) op \overset{e}{ˊ} rations sur les lignes (I_{n} ∣ A^{- 1}) . (2.4)

Si, en cours de route, une ligne nulle apparaît dans le bloc de gauche, la forme échelonnée réduite de $A$ n'est pas $I_{n}$ : $A$ est singulière et l'on s'arrête.

Exemple 2.5 · Inversion complète d'une matrice 3 × 3

Inversons $A = 111123136$ .

111123136100010001 L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100112125 1 - 1 - 1 010001

L_{1} \leftarrow L_{1} - L_{2} L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{2} 100010 - 1 21 2 - 1 1 - 1 1 - 2 001 L_{1} \leftarrow L_{1} + L_{3} L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{3} 100010001 3 - 3 1 - 3 5 - 2 1 - 2 1 .

Ainsi $A^{- 1} = 3 - 3 1 - 3 5 - 2 1 - 2 1$ . Vérification obligatoire, par exemple de la première ligne de $A A^{- 1}$ : $(1, 1, 1)$ contre les colonnes de $A^{- 1}$ donne $3 - 3 + 1 = 1$ , $- 3 + 5 - 2 = 0$ , $1 - 2 + 1 = 0$ . On remarque que $A$ est symétrique et que $A^{- 1}$ l'est aussi: c'est général, car $(A^{- 1})^{T} = (A^{T})^{- 1} = A^{- 1}$ par le théorème 2.8.

L'inverse une fois connu, le système $A x = b$ se résout par une simple multiplication: pour $b = (1, 2, 4)^{T}$ ,

x = A^{- 1} b = 3 - 6 + 4 - 3 + 10 - 8 1 - 4 + 4 = 1 - 1 1 .

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul de l'inverse d'une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ par la méthode de Gauss–Jordan.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Descendre: créer les pivots et annuler les entrées situées sous chaque pivot, en s'arrêtant si une ligne nulle apparaît dans le bloc de gauche

Former la matrice augmentée par blocs

(A ∣ I_{n})

de taille

n \times 2 n

Remonter: annuler les entrées situées au-dessus de chaque pivot et normaliser les pivots à

1

Lire l'inverse dans le bloc de droite, devenu

A^{- 1}

lorsque le bloc de gauche est

I_{n}

Vérifier le résultat en calculant

A A^{- 1}

(ou au moins une ligne de ce produit)

Pourquoi l'on ne résout (presque) jamais un système en calculant l'inverse

La formule $x = A^{- 1} b$ est précieuse pour raisonner, mais c'est une mauvaise méthode de calcul. D'abord le coût: réduire $(A ∣ I_{n})$ demande environ $n^{3}$ multiplications, contre $n^{3} /3$ pour résoudre directement $A x = b$ par élimination de Gauss; même pour plusieurs seconds membres, il est plus économique de réduire $(A ∣ b_{1} ∣ \dots ∣ b_{k})$ d'un coup, ou de conserver la décomposition $LU$ du chapitre 12. Ensuite la précision: en arithmétique flottante, les erreurs d'arrondi commises dans le calcul de $A^{- 1}$ se propagent au produit $A^{- 1} b$ , alors que l'élimination avec choix du pivot est stable. Enfin, pour les très grandes matrices creuses de la simulation par éléments finis (des millions d'inconnues, quelques entrées non nulles par ligne), $A^{- 1}$ est en général pleine: la stocker est impossible. En pratique, on n'inverse une matrice que lorsqu'on a besoin des entrées de l'inverse elles-mêmes, comme dans le modèle de Leontief ci-dessous.

Matrices triangulaires

Démonstration. Soit $A$ triangulaire supérieure d'ordre $n$ ; le cas inférieur s'en déduit par transposition (théorème 2.8, point 3). Si tous les $a_{ii}$ sont non nuls, ce sont déjà $n$ pivots en position échelonnée: la remontée de Gauss–Jordan (division de chaque ligne par $a_{ii}$ , puis annulation des entrées au-dessus des pivots) mène à $I_{n}$ , donc $A$ est inversible par le théorème 2.10. Ces opérations, appliquées au bloc $I_{n}$ , n'ajoutent jamais à une ligne un multiple d'une ligne inférieure, de sorte que le bloc de droite reste triangulaire supérieur, avec $1/ a_{ii}$ sur la diagonale: c'est la forme annoncée de $A^{- 1}$ .

Réciproquement, supposons qu'une entrée diagonale soit nulle et soit $k$ le plus petit indice tel que $a_{k k} = 0$ . Cherchons une solution non nulle de $A x = 0$ de la forme $x = (x_{1}, \dots, x_{k}, 0, \dots, 0)^{T}$ . Les équations des lignes $i \geq k$ sont automatiquement satisfaites: la ligne $i$ ne contient que des entrées en colonnes $j \geq i$ , qui rencontrent soit $x_{j} = 0$ (pour $j > k$ ), soit $a_{k k} x_{k} = 0$ . Il reste les $k - 1$ équations des lignes $1, \dots, k - 1$ , homogènes, en les $k$ inconnues $x_{1}, \dots, x_{k}$ : un système homogène ayant plus d'inconnues que d'équations possède une solution non nulle (chapitre 1). Ainsi $A x = 0$ admet une solution non nulle et $A$ est singulière par le théorème 2.10. $□$

En particulier, une matrice diagonale $diag (d_{1}, \dots, d_{n})$ est inversible si et seulement si aucun $d_{i}$ n'est nul, et son inverse est $diag (1/ d_{1}, \dots, 1/ d_{n})$ .

Exercice

Soit $A \in M_{n} (R)$ . Laquelle de ces conditions n'équivaut pas à « $A$ est inversible»?

Applications

Chiffrement de Hill

En 1929, Lester Hill propose de chiffrer un texte par un produit matriciel. On numérote les lettres $A = 0, B = 1, \dots, Z = 25$ , on découpe le message en blocs de deux lettres $p = (p_{1}, p_{2})^{T}$ et l'on calcule $c = K p mod 26$ , où $K$ est une matrice $2 \times 2$ à entrées entières, la clé. Le destinataire déchiffre avec $p = K^{- 1} c mod 26$ , à condition que $K$ soit inversible modulo 26: par la formule (2.3), il faut que $a d - b c$ ait un inverse modulo 26, c'est-à-dire qu'il soit premier avec 26.

Exemple 2.6 · Chiffrer et déchiffrer avec la clé K = (3 3; 2 5)

Pour $K = (3235)$ , $a d - b c = 15 - 6 = 9$ , premier avec 26, et $9 \cdot 3 = 27 \equiv 1 (mod 26)$ : l'inverse de 9 modulo 26 est 3. D'après (2.3),

K^{- 1} \equiv 3 (5 - 2 - 3 3) = (15 - 6 - 9 9) \equiv (1520179) (mod 26) .

Chiffrons «GAUSS», complété par un X: les blocs sont $(6, 0)$ , $(20, 18)$ et $(18, 23)$ .

K (60) = (1812), K (2018) = (114130) \equiv (100), K (1823) = (123151) \equiv (1921),

soit le cryptogramme «SMKATV». Pour le premier bloc, le déchiffrement donne $K^{- 1} (18, 12)^{T} = (270 + 204, 360 + 108)^{T} = (474, 468)^{T} \equiv (6, 0)^{T}$ : on retrouve «GA». Le chiffre de Hill est aujourd'hui cassé (il est linéaire: quelques couples clair–chiffré suffisent à retrouver $K$ ), mais l'idée de mélanger les lettres par une transformation inversible survit dans les chiffrements modernes.

Rotations et composition

Démonstration. Le produit vaut

R_{α} R_{β} = (cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β - cos α sin β - sin α cos β - sin α sin β + cos α cos β) = (cos (α + β) sin (α + β) - sin (α + β) cos (α + β))

par les formules d'addition. Alors $R_{θ} R_{- θ} = R_{0} = I_{2} = R_{- θ} R_{θ}$ , et $R_{- θ} = R_{θ}^{T}$ puisque $cos (- θ) = cos θ$ et $sin (- θ) = - sin θ$ . Enfin $R_{α} R_{β} = R_{α + β} = R_{β} R_{α}$ . $□$

Ce calcul est une démonstration matricielle des formules d'addition: si l'on sait que tourner de $β$ puis de $α$ revient à tourner de $α + β$ , la comparaison des entrées redonne $cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ . Dans l'espace, les rotations autour d'axes différents ne commutent plus, ce dont témoigne quiconque a manipulé un bras de robot ou un gyroscope: c'est l'une des raisons d'être des matrices $3 \times 3$ de rotation du chapitre 8. La propriété $R^{- 1} = R^{T}$ caractérise les matrices orthogonales, étudiées au chapitre 7; elle rend l'inversion d'une rotation gratuite.

Graphes et matrice d'adjacence

Un graphe est un ensemble de sommets reliés par des arêtes: un réseau routier, un réseau électrique, les liens entre pages web. Sa matrice d'adjacence $A$ est la matrice carrée dont l'entrée $a_{ij}$ vaut $1$ si les sommets $i$ et $j$ sont reliés et $0$ sinon; pour un graphe non orienté, elle est symétrique.

Démonstration. Par récurrence sur $k$ . Pour $k = 1$ , c'est la définition de $A$ . Supposons la propriété vraie pour $k$ . Un chemin de longueur $k + 1$ de $i$ à $j$ est un chemin de longueur $k$ de $i$ à un sommet intermédiaire $l$ , suivi d'une arête de $l$ à $j$ ; pour $l$ fixé, il y en a $(A^{k})_{i l} a_{l j}$ . En sommant sur $l$ : $\sum_{l} (A^{k})_{i l} a_{l j} = (A^{k} A)_{ij} = (A^{k + 1})_{ij}$ . $□$

Exercice

Dans le graphe de l'exemple 2.7, combien y a-t-il de chemins de longueur 3 du sommet 1 au sommet 3?

Le modèle d'entrées-sorties de Leontief

Wassily Leontief (prix Nobel 1973) décrit une économie à $n$ secteurs par une matrice de consommation $C = (c_{ij})$ : produire une unité (un franc) du secteur $j$ requiert $c_{ij}$ unités du secteur $i$ . Si $x$ est le vecteur des productions et $d$ la demande finale (ménages, exportations), l'équilibre s'écrit «production = consommation intermédiaire + demande finale»:

x = C x + d ⟺ (I - C) x = d ⟺ x = (I - C)^{- 1} d, (2.5)

pourvu que $I - C$ soit inversible, ce qui est le cas dès que chaque colonne de $C$ a une somme strictement inférieure à $1$ (chaque secteur crée de la valeur). Les entrées de $(I - C)^{- 1}$ ont ici un sens propre: $((I - C)^{- 1})_{ij}$ est l'augmentation de production du secteur $i$ nécessaire pour satisfaire une unité de demande finale supplémentaire du secteur $j$ , effets indirects compris. C'est un des rares cas où l'on veut vraiment la matrice inverse, et non seulement la solution d'un système.

Synthèse

Les matrices $m \times n$ s'additionnent et se multiplient par un scalaire entrée par entrée; $M_{m \times n} (R)$ obéit aux règles d'un espace vectoriel. La transposée échange lignes et colonnes: $(A^{T})^{T} = A$ , $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .
Le produit $A B$ (défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ) se calcule ligne par colonne; $A x$ est la combinaison linéaire des colonnes de $A$ de coefficients $x_{i}$ , et $x \mapsto A x$ est une transformation du plan ou de l'espace. Le produit est associatif et distributif, mais ni commutatif ni intègre: $A B \neq = B A$ en général et $A B = 0$ n'implique pas $A = 0$ ou $B = 0$ .
Les opérations élémentaires sur les lignes sont les produits à gauche par les matrices élémentaires $P_{ij}$ , $D_{i} (λ)$ , $T_{ij} (λ)$ , toutes inversibles.
$A$ est inversible s'il existe $A^{- 1}$ avec $A A^{- 1} = A^{- 1} A = I$ ; l'inverse est unique, $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ , $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ , et pour $2 \times 2$ : $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ si $a d - b c \neq = 0$ .
Théorème d'inversibilité: $A$ inversible $⟺$ $A x = b$ a une solution unique pour tout $b$ $⟺$ $A x = 0$ n'a que la solution nulle $⟺$ la forme échelonnée réduite de $A$ est $I_{n}$ $⟺$ $A$ est un produit de matrices élémentaires. Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si sa diagonale ne contient pas de zéro.
Méthode de Gauss–Jordan: $(A ∣ I) \to (I ∣ A^{- 1})$ . On ne l'utilise pour résoudre un système que si l'on a besoin des entrées de l'inverse (Leontief); sinon l'élimination directe est plus économique et plus stable.

Série d'exercices du chapitre 2

Exercice 1 sur 5

Exercice

Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées inversibles de même ordre. Que vaut $((A B)^{T})^{- 1}$ ?

Problème guidé

Inversion d'une matrice de rigidité et résolution d'un système

Trois masses reliées par des ressorts identiques conduisent, après adimensionnement, à la matrice de rigidité $A = 210121012$ . On veut calculer $A^{- 1}$ par la méthode de Gauss–Jordan, puis résoudre $A x = b$ pour le chargement $b = (4, 2, 0)^{T}$ .

1
Premier pivot
On forme $(A ∣ I_{3})$ et l'on normalise la première ligne: $L_{1} \leftarrow \frac{1}{2} L_{1}$ . Puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ élimine l'entrée $(2, 1)$ .
Exercice
Après ces deux opérations, quelle est l'entrée $(2, 2)$ du bloc de gauche (le futur deuxième pivot)?
Fin de la réduction
Résolution du système
Interprétation

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 2.1 · Calculs élémentaires

Soient $A = (1324)$ , $B = (0110)$ et $J = (1011)$ .

Calculer $A B$ , $B A$ et $A B - B A$ . Décrire l'effet de la multiplication par $B$ à gauche et à droite.
Calculer $A^{2}$ , $A A^{T}$ et $A^{T} A$ . Lesquelles de ces matrices sont symétriques?
Démontrer par récurrence que $J^{n} = (10 n 1)$ pour tout $n \in N$ , puis déterminer $J^{- 1}$ et vérifier que la formule reste vraie pour $n = - 1$ .

Solution

1. $A B = (2413)$ et $B A = (3142)$ , d'où $A B - B A = (- 1 3 - 3 1) \neq = 0$ . La matrice $B = P_{12}$ est élémentaire: $B A$ échange les deux lignes de $A$ (théorème 2.5) et $A B$ échange ses deux colonnes.

2. $A^{2} = (1 + 6 3 + 12 2 + 8 6 + 16) = (7151022)$ , $A A^{T} = (1324) (1234) = (5111125)$ et $A^{T} A = (10141420)$ . Les deux dernières sont symétriques, conformément à la remarque qui suit le théorème 2.4; $A^{2}$ ne l'est pas ( $A$ n'est pas symétrique).

3. Initialisation: $J^{0} = I_{2}$ correspond à $n = 0$ . Hérédité: si $J^{n} = (10 n 1)$ , alors

J^{n + 1} = J^{n} J = (10 n 1) (1011) = (10 n + 1 1) .

Par (2.3), $a d - b c = 1$ et $J^{- 1} = (10 - 1 1)$ , qui est bien la formule avec $n = - 1$ : un cisaillement de paramètre $s$ se défait par le cisaillement de paramètre $- s$ . La formule vaut donc pour tout $n \in Z$ , en posant $J^{- n} = (J^{- 1})^{n}$ .

Exercice 2.2 · Inversion par Gauss–Jordan

Soit $A = 121011234$ .

Calculer $A^{- 1}$ par la méthode de Gauss–Jordan et vérifier que $A A^{- 1} = I_{3}$ .
En déduire la solution du système $A x = (1, 3, 2)^{T}$ .
Sans nouveau calcul, donner $(A^{T})^{- 1}$ et $(2 A)^{- 1}$ .

Solution

1. On réduit $(A ∣ I_{3})$ :

121011234100010001 L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1} L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1} 100011 2 - 1 2 1 - 2 - 1 010001 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100010 2 - 1 3 1 - 2 1 01 - 1 001

L_{3} \leftarrow \frac{1}{3} L_{3} 100010 2 - 1 1 1 - 2 1/3 01 - 1/3 00 1/3 L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 L_{3} L_{2} \leftarrow L_{2} + L_{3} 100010001 1/3 - 5/3 1/3 2/3 2/3 - 1/3 - 2/3 1/3 1/3 .

Donc $A^{- 1} = \frac{1}{3} 1 - 5 1 22 - 1 - 2 11$ . Vérification: $A A^{- 1} = \frac{1}{3} 1 + 0 + 2 2 - 5 + 3 1 - 5 + 4 2 + 0 - 2 4 + 2 - 3 2 + 2 - 4 - 2 + 0 + 2 - 4 + 1 + 3 - 2 + 1 + 4 = \frac{1}{3} 300030003 = I_{3}$ .

2. $x = A^{- 1} b = \frac{1}{3} 1 + 6 - 4 - 5 + 6 + 2 1 - 3 + 2 = 110$ . Contrôle dans le système: $1 + 0 = 1$ , $2 + 1 = 3$ , $1 + 1 = 2$ .

3. Par le théorème 2.8, $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T} = \frac{1}{3} 12 - 2 - 5 21 1 - 1 1$ et $(2 A)^{- 1} = \frac{1}{2} A^{- 1} = \frac{1}{6} 1 - 5 1 22 - 1 - 2 11$ .

Exercice 2.3 · Inversibilité avec paramètre et factorisation élémentaire

Pour quelles valeurs du réel $k$ la matrice $A_{k} = 121253 k 4 k + 1$ est-elle inversible? On utilisera le théorème d'inversibilité et non les déterminants.
Écrire la matrice $M = (2143)$ comme un produit de matrices élémentaires, et en déduire $M^{- 1}$ comme produit de matrices élémentaires.

Solution

1. Réduisons $A_{k}$ : $L_{2} \leftarrow L_{2} - 2 L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent

100211 k 4 - 2 k 1 L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{2} 100210 k 4 - 2 k 2 k - 3 .

Cette matrice est triangulaire supérieure à diagonale $(1, 1, 2 k - 3)$ ; les opérations élémentaires ne changent pas le fait d'être inversible (elles multiplient par des matrices inversibles). Par le théorème 2.11, $A_{k}$ est inversible si et seulement si $2 k - 3 \neq = 0$ , c'est-à-dire $k \neq = \frac{3}{2}$ . Pour $k = 3/2$ , la forme échelonnée réduite a une ligne nulle: seulement deux pivots.

2. Réduisons $M$ à $I_{2}$ en notant chaque opération: $L_{1} \leftarrow \frac{1}{2} L_{1}$ (matrice $D_{1} (1/2)$ ) donne $(1123)$ ; puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ ( $T_{21} (- 1)$ ) donne $(1021)$ ; enfin $L_{1} \leftarrow L_{1} - 2 L_{2}$ ( $T_{12} (- 2)$ ) donne $I_{2}$ . Ainsi $T_{12} (- 2) T_{21} (- 1) D_{1} (1/2) M = I_{2}$ , d'où

M = D_{1} (1/2)^{- 1} T_{21} (- 1)^{- 1} T_{12} (- 2)^{- 1} = D_{1} (2) T_{21} (1) T_{12} (2) = (2001) (1101) (1021) .

Contrôle: $(2001) (1101) = (2101)$ , puis $(2101) (1021) = (2143) = M$ . L'inverse est le produit des inverses dans l'ordre renversé:

M^{- 1} = T_{12} (- 2) T_{21} (- 1) D_{1} (1/2) = (10 - 2 1) (1 - 1 01) (1/2 0 01) = (3/2 - 1/2 - 2 1),

ce que confirme la formule (2.3) avec $a d - b c = 6 - 4 = 2$ : $M^{- 1} = \frac{1}{2} (3 - 1 - 4 2)$ .

Exercice 2.4 · Parties symétrique et antisymétrique

Soit $A \in M_{n} (R)$ .

Montrer que $S = \frac{1}{2} (A + A^{T})$ est symétrique et que $K = \frac{1}{2} (A - A^{T})$ est antisymétrique, et que $A = S + K$ .
Montrer que cette décomposition est unique: si $A = S^{'} + K^{'}$ avec $S^{'}$ symétrique et $K^{'}$ antisymétrique, alors $S^{'} = S$ et $K^{'} = K$ .
Calculer $S$ et $K$ pour $A = (1324)$ .
Montrer que pour la matrice de rotation $R_{θ}$ , on a $R_{θ}^{T} R_{θ} = I_{2}$ , puis que la partie symétrique de $R_{θ}$ est $cos θ I_{2}$ .

Solution

1. Par linéarité et involutivité de la transposition, $S^{T} = \frac{1}{2} (A^{T} + (A^{T})^{T}) = \frac{1}{2} (A^{T} + A) = S$ et $K^{T} = \frac{1}{2} (A^{T} - A) = - K$ . Enfin $S + K = \frac{1}{2} (A + A^{T} + A - A^{T}) = A$ .

2. De $S + K = S^{'} + K^{'}$ on tire $S - S^{'} = K^{'} - K$ . Le membre de gauche est symétrique (différence de deux matrices symétriques), le membre de droite antisymétrique. Une matrice $M$ à la fois symétrique et antisymétrique vérifie $M = M^{T} = - M$ , donc $M = 0$ . Ainsi $S = S^{'}$ et $K = K^{'}$ .

3. $A^{T} = (1234)$ , donc $S = \frac{1}{2} (2558) = (1 5/2 5/2 4)$ et $K = \frac{1}{2} (01 - 1 0) = (0 1/2 - 1/2 0)$ . On vérifie $S + K = A$ .

4. $R_{θ}^{T} R_{θ} = (cos θ - sin θ sin θ cos θ) (cos θ sin θ - sin θ cos θ) = (cos^{2} θ + sin^{2} θ 0 0 sin^{2} θ + cos^{2} θ) = I_{2}$ , ce qui redonne $R_{θ}^{- 1} = R_{θ}^{T}$ (théorème 2.12). La partie symétrique est $\frac{1}{2} (R_{θ} + R_{θ}^{T}) = \frac{1}{2} (2 cos θ 0 0 2 cos θ) = cos θ I_{2}$ , et la partie antisymétrique $sin θ (01 - 1 0)$ est $sin θ$ fois la rotation d'un quart de tour: c'est l'analogue matriciel de l'écriture $e^{i θ} = cos θ + i sin θ$ .

Exercice 2.5 · Matrices nilpotentes et inverses unilatéraux

Soit $N \in M_{n} (R)$ nilpotente, avec $N^{k} = 0$ pour un entier $k \geq 1$ . Montrer que $I - N$ est inversible et que

(I - N)^{- 1} = I + N + N^{2} + \dots + N^{k - 1} .

Appliquer ce résultat à $N = 000200130$ pour calculer l'inverse de $100 - 2 10 - 1 - 3 1$ .
Montrer qu'une matrice nilpotente n'est jamais inversible.
Soient $A, B \in M_{n} (R)$ carrées telles que $A B = I_{n}$ . Montrer que $B A = I_{n}$ , de sorte que $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre. On pourra commencer par montrer que $B x = 0$ n'a que la solution nulle.

Solution

1. Posons $S = I + N + N^{2} + \dots + N^{k - 1}$ . Comme $N$ commute avec ses puissances, on peut développer comme pour une somme géométrique:

(I - N) S = (I + N + \dots + N^{k - 1}) - (N + N^{2} + \dots + N^{k}) = I - N^{k} = I,

les termes intermédiaires se télescopant. Le même calcul donne $S (I - N) = I - N^{k} = I$ . Par définition, $I - N$ est inversible d'inverse $S$ . (Une seule des deux égalités suffirait d'après la question 4.)

2. On a $N^{2} = 000000600$ et $N^{3} = 0$ : $N$ est nilpotente avec $k = 3$ . La matrice à inverser est exactement $I - N$ , donc

(I - N)^{- 1} = I + N + N^{2} = 100210 1 + 6 31 = 100210731 .

Contrôle de la première ligne de $(I - N) (I + N + N^{2})$ : $(1, - 2, - 1)$ contre les colonnes donne $1$ , $2 - 2 = 0$ , $7 - 6 - 1 = 0$ . On remarque que l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure à diagonale unité est encore de ce type, conformément au théorème 2.11.

3. Si $N$ était inversible avec $N^{k} = 0$ , alors en multipliant $N^{k} = 0$ à gauche par $(N^{- 1})^{k - 1}$ on obtiendrait $N = 0$ , ce qui contredit $N \neq = 0$ (une matrice nilpotente est par définition non nulle; et de toute façon $0$ n'est pas inversible). Autre argument: $N x = 0$ a une solution non nulle, à savoir n'importe quel vecteur $x = N^{k - 1} y \neq = 0$ , qui existe puisque $N^{k - 1} \neq = 0$ si $k$ est choisi minimal.

4. Soit $x$ tel que $B x = 0$ . En multipliant à gauche par $A$ : $0 = A (B x) = (A B) x = I_{n} x = x$ . Le système homogène $B x = 0$ n'a donc que la solution nulle, et $B$ est inversible par le théorème 2.10 (point 3 $\Rightarrow$ point 1). Multiplions alors $A B = I_{n}$ à droite par $B^{- 1}$ : $A = B^{- 1}$ , et par suite $B A = B B^{- 1} = I_{n}$ . Ainsi, pour des matrices carrées, un inverse d'un seul côté est automatiquement un inverse des deux côtés — ce qui n'est pas vrai pour les matrices rectangulaires: $(10) (10) = (1)$ , mais $(10) (10) = (1000) \neq = I_{2}$ .

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 2.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 2.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 3.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, Dunod, Paris.
Trefethen, L. N. et Bau, D., Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphie, leçons 1 et 20 (coût et stabilité de l'élimination).
Leontief, W., Input-Output Economics, 2e éd., Oxford University Press, New York (le modèle d'entrées-sorties).

Objectifs du chapitre

Pourquoi un calcul matriciel?

Matrices: définitions et notation

Addition, multiplication par un scalaire et transposition

Le produit matriciel

Définition ligne par colonne

Interprétations par colonnes et par lignes

Ce que le produit n'est pas

Propriétés du produit

Puissances et matrices nilpotentes

Les matrices comme transformations du plan

Explorateur de transformations du plan

Matrices élémentaires

Matrices inversibles

Définition et premières propriétés

Le théorème d'inversibilité

Calcul de l'inverse par la méthode de Gauss–Jordan

Matrices triangulaires

Applications

Chiffrement de Hill

Rotations et composition

Graphes et matrice d'adjacence

Le modèle d'entrées-sorties de Leontief

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 2

Inversion d'une matrice de rigidité et résolution d'un système

Premier pivot

Fin de la réduction

Résolution du système

Interprétation

Exercices

Références