Déterminants · Algèbre linéaire

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer un déterminant d'ordre 2 ou 3 par la formule directe ou la règle de Sarrus, et l'interpréter comme une aire ou un volume signé;
définir le déterminant d'ordre $n$ par développement selon une ligne ou une colonne à l'aide des mineurs et des cofacteurs;
prévoir l'effet des trois opérations élémentaires sur le déterminant et calculer un déterminant d'ordre 4 par réduction à une forme triangulaire;
utiliser les propriétés $det (A B) = det A \cdot det B$ , $det A^{T} = det A$ , $det (k A) = k^{n} det A$ et éviter les pièges classiques;
décider si une matrice est inversible grâce à son déterminant et démontrer ce critère;
résoudre un système par la règle de Cramer, inverser une matrice par la comatrice et reconnaître le déterminant de Vandermonde.

Pourquoi un déterminant?

Le chapitre 1 nous a appris à résoudre un système linéaire par élimination, et le chapitre 2 à reconnaître une matrice inversible en la réduisant à la forme échelonnée réduite. Ces algorithmes répondent à la question «quelle est la solution?», mais ils ne fournissent pas de formule: pour savoir si le système $A x = b$ a une solution unique, il faut refaire toute l'élimination chaque fois que les coefficients changent. Le déterminant est le nombre, calculé à partir des coefficients de $A$ , qui répond d'un seul coup à cette question.

Regardons le cas le plus simple, un système de deux équations à deux inconnues:

{a x + b y = e c x + d y = f

Multiplions la première équation par $d$ , la seconde par $b$ , et soustrayons: $(a d - b c) x = e d - b f$ . De même, $(a d - b c) y = a f - ce$ . Si le nombre $a d - b c$ est non nul, le système possède une solution unique,

x = \frac{e d - b f}{a d - b c}, y = \frac{a f - ce}{a d - b c}, (3.1)

et si $a d - b c = 0$ , les deux lignes $(a, b)$ et $(c, d)$ sont proportionnelles: le système a soit une infinité de solutions, soit aucune. Le nombre $a d - b c$ détermine donc la nature du système: c'est le déterminant de la matrice $(a c b d)$ . Pour le système $2 x + 3 y = 8$ , $x - y = - 1$ , on trouve $a d - b c = 2 \cdot (- 1) - 3 \cdot 1 = - 5 \neq = 0$ , puis $x = \frac{8 \cdot ( - 1 ) - 3 \cdot ( - 1 )}{- 5} = 1$ et $y = \frac{2 \cdot ( - 1 ) - 1 \cdot 8}{- 5} = 2$ .

Ce même nombre a une seconde vie, géométrique. Les vecteurs $u = (a, b)$ et $v = (c, d)$ engendrent un parallélogramme; nous verrons que son aire vaut $∣ a d - b c ∣$ . Le déterminant est nul exactement lorsque le parallélogramme est aplati, c'est-à-dire lorsque $u$ et $v$ sont colinéaires: l'algèbre (système sans solution unique) et la géométrie (parallélogramme dégénéré) racontent la même histoire.

Figure 3.1. Le parallélogramme engendré par u = (3, 1) et v = (1, 2). Son aire, 5, est le déterminant 3·2 − 1·1. Le rectangle en pointillé, de côtés 4 et 3, sert à la démonstration: on lui retranche deux triangles de côtés (3, 1), deux triangles de côtés (1, 2) et deux petits rectangles 1 × 1.

Un peu d'histoire

Les déterminants sont plus anciens que les matrices. Le mathématicien japonais Seki Takakazu les utilise dès 1683 pour éliminer une inconnue entre deux équations polynomiales, et Leibniz, indépendamment, décrit en 1693 dans une lettre au marquis de L'Hôpital la condition $a d - b c = 0$ et son analogue pour trois équations. Le Genevois Gabriel Cramer publie en 1750, dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, la formule générale (3.1) pour $n$ équations à $n$ inconnues, qu'il utilise pour faire passer une courbe algébrique par des points donnés: c'est la «règle de Cramer». Vandermonde (1771) et Laplace (1772) étudient les déterminants pour eux-mêmes et découvrent les développements selon une ligne; Cauchy, en 1812, fixe le mot «déterminant» et démontre la formule $det (A B) = det A \cdot det B$ . Les matrices n'apparaissent qu'en 1858 chez Cayley.

Déterminants d'ordre 2 et 3

Formules

La formule (3.3) contient six produits de trois facteurs, chaque produit prenant exactement un coefficient dans chaque ligne et dans chaque colonne. On la retient grâce à la règle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice, on additionne les produits des trois diagonales descendantes et l'on soustrait les produits des trois diagonales montantes.

Figure 3.2. La règle de Sarrus. Les deux premières colonnes sont recopiées à droite; les trois diagonales descendantes (traits pleins) donnent les termes positifs de (3.3), les trois diagonales montantes (traits interrompus) les termes négatifs.

Exercice

Calculez le déterminant de la matrice $(43 - 2 5)$ .

Interprétation géométrique: aire et volume signés

Démonstration. Écrivons les deux vecteurs en coordonnées polaires: $u = ∥ u ∥ (cos α, sin α)$ et $v = ∥ v ∥ (cos β, sin β)$ , de sorte que $θ = β - α$ . Alors

u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} = ∥ u ∥ ∥ v ∥ (cos α sin β - sin α cos β) = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin (β - α),

par la formule d'addition du sinus. Or l'aire du parallélogramme est le produit de la base $∥ u ∥$ par la hauteur $∥ v ∥ ∣ sin θ ∣$ , et le signe de $sin θ$ est positif si et seulement si $θ \in] 0, π [$ , c'est-à-dire si $v$ est «à gauche» de $u$ . Enfin $sin θ = 0$ équivaut à $θ \in {0, π}$ , c'est-à-dire à la colinéarité (si l'un des vecteurs est nul, tout est nul des deux côtés). $□$

Pour les vecteurs de la figure 3.1, la démonstration «par découpage» donne le même résultat: le rectangle de côtés $u_{1} + v_{1}$ et $u_{2} + v_{2}$ a pour aire $(u_{1} + v_{1}) (u_{2} + v_{2})$ ; on lui retranche deux triangles d'aire $u_{1} u_{2} /2$ , deux triangles d'aire $v_{1} v_{2} /2$ et deux rectangles d'aire $u_{2} v_{1}$ , et il reste exactement $u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1}$ .

Explorateur du déterminant 2×2

Le parallélogramme engendré par u et v est colorié selon le signe de det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁: violet si la base (u, v) est directe, gris si elle est indirecte. Son aire est |det|. Rendez u et v colinéaires pour voir le parallélogramme s'aplatir.

det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁

2,75

Aire |det|

2,75

Orientation

directe (sens antihoraire)

u₁2,0

u₂0,5

v₁0,5

v₂1,5

La situation est la même dans l'espace: trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ de $R^{3}$ engendrent un parallélépipède dont le volume est $∣ det (u, v, w)∣$ , le déterminant de la matrice $3 \times 3$ dont les colonnes sont les trois vecteurs. Le signe indique si le trièdre $(u, v, w)$ est direct (règle de la main droite) ou indirect. Nous admettons ici ce résultat, qui sera démontré au chapitre 8 à l'aide du produit vectoriel: le volume vaut aire de la base $\times$ hauteur, l'aire de la base $(u, v)$ est $∥ u \land v ∥$ , et la hauteur est la composante de $w$ le long de $u \land v$ , ce qui donne le produit mixte $(u \land v) \cdot w$ , dont on vérifie qu'il coïncide avec (3.3).

Figure 3.3. Le parallélépipède engendré par u = (2, 1, 0), v = (0, 2, 1) et w = (1, 0, 2), en projection oblique. Son volume est |det(u, v, w)| = 9. Les arêtes cachées sont en pointillé.

Cette interprétation explique pourquoi le déterminant apparaît chaque fois qu'un ingénieur mesure une déformation: si une transformation linéaire $x \mapsto A x$ envoie le carré unité sur le parallélogramme engendré par les colonnes de $A$ , elle multiplie toutes les aires par $∣ det A ∣$ , et elle renverse l'orientation (comme un miroir) si $det A < 0$ . Nous retrouverons ce facteur d'échelle dans la formule de changement de variables des intégrales doubles (Analyse II).

Définition générale

Mineurs, cofacteurs et développement

La seconde écriture de l'exemple 3.1 suggère de définir le déterminant d'ordre $n$ à partir de déterminants d'ordre $n - 1$ .

Pour $n = 2$ , (3.5) donne $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ , et pour $n = 3$ , elle redonne (3.3), comme on l'a vu dans l'exemple 3.1: la définition générale est bien cohérente avec les formules d'ordre 2 et 3.

L'intérêt pratique est immédiat: on développe selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.

Matrices triangulaires et transposée

Démonstration. Traitons le cas triangulaire supérieur par récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ , il n'y a rien à démontrer. Si $n \geq 2$ , la première colonne de $A$ est $(a_{11}, 0, \dots, 0)^{T}$ ; en développant selon cette colonne (théorème 3.2), $det A = a_{11} M_{11}$ , où $M_{11}$ est le déterminant de la matrice triangulaire supérieure d'ordre $n - 1$ obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne, dont la diagonale est $(a_{22}, \dots, a_{nn})$ . Par hypothèse de récurrence, $M_{11} = a_{22} \dots a_{nn}$ . Le cas triangulaire inférieur se traite de même en développant selon la première ligne, ce qui n'utilise que la définition (3.5). $□$

Nous admettons ce résultat: il se lit directement sur la formule de Leibniz, où transposer revient à échanger le rôle des lignes et des colonnes dans chaque produit sans changer la signature. Sa conséquence est précieuse: toute propriété du déterminant relative aux lignes est aussi valable pour les colonnes. Nous énoncerons donc les propriétés pour les lignes seulement.

Exercice

Calculez le déterminant de $1472583610$ .

Propriétés et opérations sur les lignes

Effet des opérations élémentaires

Le calcul d'un déterminant par développement coûte de l'ordre de $n!$ multiplications. L'élimination de Gauss, elle, coûte de l'ordre de $n^{3} /3$ opérations: si l'on sait comment les opérations élémentaires modifient le déterminant, on peut réduire $A$ à une matrice triangulaire et appliquer le théorème 3.3.

Démonstration. Point 1. Développons $det B$ selon la ligne $i$ (théorème 3.2). Les cofacteurs $C_{ik}$ ne font pas intervenir la ligne $i$ , ils sont donc les mêmes pour $A$ et $B$ , tandis que les coefficients de cette ligne sont multipliés par $λ$ : $det B = \sum_{k} λ a_{ik} C_{ik} = λ det A$ .

Point 2. Récurrence sur $n \geq 2$ . Pour $n = 2$ , échanger les deux lignes de $(a c b d)$ donne $c b - d a = - (a d - b c)$ . Pour $n \geq 3$ , choisissons une ligne $k$ différente de $i$ et de $j$ et développons $det A$ et $det B$ selon cette ligne: les coefficients $a_{k l}$ sont les mêmes dans les deux matrices, et chaque mineur $M_{k l}$ de $B$ est le mineur correspondant de $A$ dans lequel deux lignes ont été échangées. Par hypothèse de récurrence, chaque mineur change de signe, donc $det B = - det A$ .

Point 3. Développons $det B$ selon la ligne $i$ . Les cofacteurs sont ceux de $A$ et les coefficients valent $a_{ik} + λ a_{j k}$ , donc

det B = k \sum (a_{ik} + λ a_{j k}) C_{ik} = det A + λ k \sum a_{j k} C_{ik} = det A + λ det A^{'},

où $A^{'}$ est la matrice $A$ dont la ligne $i$ a été remplacée par une copie de la ligne $j$ . Cette matrice a deux lignes égales; en les échangeant, elle reste identique, mais son déterminant change de signe d'après le point 2: $det A^{'} = - det A^{'}$ , donc $det A^{'} = 0$ et $det B = det A$ . $□$

Le calcul du point 3 a montré au passage deux faits importants, que nous isolons.

Démonstration. Le point 1 est la lecture du développement selon la ligne $i$ , dont les cofacteurs ne dépendent pas de cette ligne. Le point 2 pour deux lignes égales a été établi ci-dessus; une ligne nulle donne un développement dont tous les termes sont nuls; enfin si $L_{i} = λ L_{j}$ , l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{j}$ fait apparaître une ligne nulle sans changer le déterminant. $□$

Exercice

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ avec $det A = 4$ . On échange $L_{1}$ et $L_{3}$ , puis on remplace $L_{2}$ par $2 L_{2}$ , puis on remplace $L_{3}$ par $L_{3} + 5 L_{1}$ . Quel est le déterminant de la matrice obtenue?

Déterminant d'un produit et inversibilité

Démonstration. Réduisons $A$ à sa forme échelonnée réduite $R$ par une suite d'opérations élémentaires. D'après le théorème 3.5, chaque opération multiplie le déterminant par une constante non nulle ( $- 1$ , $λ \neq = 0$ ou $1$ ), donc $det A = c \cdot det R$ avec $c \neq = 0$ . Or, d'après le théorème d'inversibilité du chapitre 2, une matrice carrée est inversible si et seulement si sa forme échelonnée réduite est $I_{n}$ . Si $A$ est inversible, $R = I_{n}$ et $det A = c \neq = 0$ . Si $A$ n'est pas inversible, $R$ est une matrice carrée échelonnée réduite différente de $I_{n}$ : elle possède moins de $n$ pivots, donc au moins une ligne nulle, et $det R = 0$ d'après le corollaire 3.6, d'où $det A = 0$ . $□$

Ce théorème complète la liste des conditions équivalentes du chapitre 2: pour $A$ carrée, « $A$ est inversible», « $A x = 0$ n'a que la solution nulle», « $A x = b$ a une solution unique pour tout $b$ », « $rg A = n$ » et « $det A \neq = 0$ » sont toutes équivalentes. C'est aussi une nouvelle lecture de la proposition 3.1: les colonnes de $A$ sont linéairement indépendantes si et seulement si le parallélogramme (ou parallélépipède) qu'elles engendrent n'est pas aplati.

Exercice

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de « $A$ est inversible si et seulement si $det A \neq = 0$ ».

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

A

est inversible,

R = I_{n}

det R = 1

, donc

det A = c \neq = 0

Chaque opération multiplie le déterminant par une constante non nulle, donc

det A = c \cdot det R

avec

c \neq = 0

Réduire

A

à sa forme échelonnée réduite

R

par une suite d'opérations élémentaires

Conclure:

A

est inversible si et seulement si

det A \neq = 0

A

n'est pas inversible,

R

possède une ligne nulle, donc

det R = 0

det A = 0

Démonstration. Étape 1: le cas d'une matrice élémentaire. Rappelons (chapitre 2) qu'une matrice élémentaire $E$ est obtenue en appliquant une opération élémentaire à $I_{n}$ , et que $E A$ est la matrice obtenue en appliquant la même opération à $A$ . D'après le théorème 3.5, il existe une constante $c$ (égale à $λ$ , $- 1$ ou $1$ selon l'opération) telle que $det (E A) = c det A$ pour toute matrice $A$ . En prenant $A = I_{n}$ , on trouve $det E = c$ . Ainsi $det (E A) = det E \cdot det A$ .

Étape 2: $A$ inversible. D'après le chapitre 2, $A$ est alors un produit de matrices élémentaires, $A = E_{1} E_{2} \dots E_{k}$ . En appliquant l'étape 1 de façon répétée,

det (A B) = det (E_{1} E_{2} \dots E_{k} B) = det E_{1} \cdot det (E_{2} \dots E_{k} B) = \dots = det E_{1} \dots det E_{k} \cdot det B,

et le même calcul avec $B = I_{n}$ donne $det A = det E_{1} \dots det E_{k}$ . D'où $det (A B) = det A \cdot det B$ .

Étape 3: $A$ non inversible. Alors $det A = 0$ par le théorème 3.7, et il suffit de montrer que $A B$ n'est pas inversible. Si $A B$ l'était, on aurait $A (B (A B)^{- 1}) = I_{n}$ , et $A$ posséderait un inverse à droite, donc serait inversible (chapitre 2): contradiction. Ainsi $det (A B) = 0 = det A \cdot det B$ . $□$

Démonstration. 1. De $A A^{- 1} = I_{n}$ et (3.7), $det A \cdot det (A^{- 1}) = det I_{n} = 1$ . 2. La matrice $k A$ s'obtient en multipliant chacune des $n$ lignes par $k$ : le théorème 3.5 s'applique $n$ fois. 3. Récurrence immédiate à partir de (3.7), puis point 1 pour les exposants négatifs. 4. $det (P^{- 1} A P) = det (P^{- 1}) det A det P = det A$ . $□$

Le point 4 dit que deux matrices semblables (chapitre 6) ont le même déterminant: le déterminant est une propriété de l'application linéaire, indépendante de la base choisie. C'est lui qui donnera au chapitre 9 le produit des valeurs propres.

Exercice

Soient $A$ et $B$ deux matrices $3 \times 3$ avec $det A = 3$ et $det B = - 2$ . Que vaut $det (2 A^{- 1} B^{T})$ ?

Applications

La règle de Cramer

Démonstration. Notons $a_{1}, \dots, a_{n}$ les colonnes de $A$ et $e_{1}, \dots, e_{n}$ celles de $I_{n}$ . Soit $I_{j}$ la matrice obtenue en remplaçant la $j$ -ième colonne de $I_{n}$ par $x$ . Le produit $A I_{j}$ se calcule colonne par colonne: pour $k \neq = j$ , sa $k$ -ième colonne est $A e_{k} = a_{k}$ , et sa $j$ -ième colonne est $A x = b$ . Donc $A I_{j} = A_{j}$ . Par (3.7), $det A \cdot det I_{j} = det A_{j}$ . Or la $j$ -ième ligne de $I_{j}$ est $(0, \dots, 0, x_{j}, 0, \dots, 0)$ , avec $x_{j}$ en position $j$ ; en développant selon cette ligne, $det I_{j} = x_{j} (- 1)^{2 j} det I_{n - 1} = x_{j}$ . D'où $x_{j} det A = det A_{j}$ , et (3.8) puisque $det A \neq = 0$ . $□$

Pour $n = 2$ , la règle de Cramer redonne exactement les formules (3.1) de l'introduction.

Exemple 3.4 · Courants de maille d'un circuit par la règle de Cramer

Un circuit à trois mailles est alimenté par une source $E = 12$ V dans la première maille; les résistances valent $R_{1} = 2 Ω$ (maille 1 seule), $R_{2} = 2 Ω$ (commune aux mailles 1 et 2), $R_{3} = 1 Ω$ (maille 2 seule), $R_{4} = 2 Ω$ (commune aux mailles 2 et 3) et $R_{5} = 2 Ω$ (maille 3 seule). La loi des mailles de Kirchhoff, écrite pour les courants de maille $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ (en ampères), donne le système

⎩ ⎨ ⎧ (R_{1} + R_{2}) I_{1} - R_{2} I_{2} = E - R_{2} I_{1} + (R_{2} + R_{3} + R_{4}) I_{2} - R_{4} I_{3} = 0 - R_{4} I_{2} + (R_{4} + R_{5}) I_{3} = 0 soit 4 - 2 0 - 2 5 - 2 0 - 2 4 I_{1} I_{2} I_{3} = 1200 .

Le déterminant de la matrice $A$ (développé selon la première ligne) vaut $det A = 4 (20 - 4) + 2 (- 8 - 0) = 64 - 16 = 48 \neq = 0$ : le système a une solution unique. Les trois déterminants de Cramer sont

det A_{1} = 1200 - 2 5 - 2 0 - 2 4 = 12 (20 - 4) = 192, det A_{2} = 4 - 2 0 1200 0 - 2 4 = 4 (0 + 24) = 96,

det A_{3} = 4 - 2 0 - 2 5 - 2 1200 = 12 - 2 0 5 - 2 = 12 \cdot 4 = 48,

où l'on a développé $det A_{1}$ selon la première colonne, $det A_{2}$ selon la troisième ligne et $det A_{3}$ selon la troisième colonne. Donc

I_{1} = \frac{192}{48} = 4 A, I_{2} = \frac{96}{48} = 2 A, I_{3} = \frac{48}{48} = 1 A .

Vérification dans la première équation: $4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 12$ . La matrice $A$ est symétrique et ses coefficients diagonaux dominent: c'est la structure typique des matrices d'admittance, et plus généralement des matrices de rigidité en éléments finis, dont on sait a priori que le déterminant est strictement positif.

Coût de Cramer contre coût de Gauss

La règle de Cramer exige $n + 1$ déterminants d'ordre $n$ . Calculés par développement, ils coûtent chacun de l'ordre de $n!$ multiplications, soit environ $(n + 1)!$ opérations au total: pour $n = 20$ , cela représente $21! \approx 5 \cdot 1 0^{19}$ opérations, plus de mille ans de calcul à un milliard d'opérations par seconde. L'élimination de Gauss résout le même système en environ $n^{3} /3 \approx 2700$ multiplications. Même en calculant chaque déterminant par réduction (coût $n^{3} /3$ ), Cramer reste $n + 1$ fois plus cher que Gauss. La règle de Cramer est donc un outil théorique: elle montre que la solution dépend continûment des coefficients, elle fournit des formules explicites pour $n = 2$ ou $3$ (utiles en mécanique, en électrotechnique, en calcul symbolique), mais elle n'est jamais utilisée numériquement pour de grands systèmes.

Comatrice et formule de l'inverse

Démonstration. Le coefficient $(i, k)$ du produit $A com (A)^{T}$ vaut $\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} C_{k j}$ . Si $k = i$ , c'est le développement de $det A$ selon la ligne $i$ (théorème 3.2). Si $k \neq = i$ , c'est le développement selon la ligne $k$ du déterminant de la matrice $A^{'}$ obtenue en remplaçant la ligne $k$ de $A$ par une copie de sa ligne $i$ : en effet les cofacteurs $C_{k j}$ ne dépendent pas de la ligne $k$ , et les coefficients de la ligne $k$ de $A^{'}$ sont les $a_{ij}$ . Or $A^{'}$ a deux lignes égales, donc $det A^{'} = 0$ (corollaire 3.6). Ainsi $A com (A)^{T}$ a $det A$ sur la diagonale et $0$ ailleurs. L'égalité $com (A)^{T} A = (det A) I_{n}$ se démontre de même avec les développements selon les colonnes (ou en appliquant le résultat à $A^{T}$ , dont la comatrice est $com (A)^{T}$ ). Enfin, si $det A \neq = 0$ , on divise (3.9) par $det A$ : la matrice $\frac{1}{d e t A} com (A)^{T}$ est inverse à droite et à gauche de $A$ . $□$

Pour $n = 2$ , les cofacteurs de $A = (a c b d)$ sont $C_{11} = d$ , $C_{12} = - c$ , $C_{21} = - b$ , $C_{22} = a$ , et (3.10) redonne la formule du chapitre 2:

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .

Exemple 3.5 · Inverse d'une matrice tridiagonale par la comatrice

Soit $K = 210121012$ , une matrice de masse typique d'une poutre discrétisée en trois éléments. Son déterminant, développé selon la première ligne, vaut $det K = 2 (4 - 1) - 1 (2 - 0) = 4$ . Les neuf cofacteurs sont

C_{11} = 2112 = 3, C_{12} = - 1012 = - 2, C_{13} = 1021 = 1,

C_{21} = - 1102 = - 2, C_{22} = 2002 = 4, C_{23} = - 2011 = - 2,

C_{31} = 1201 = 1, C_{32} = - 2101 = - 2, C_{33} = 2112 = 3.

La comatrice est symétrique, comme $K$ , et

K^{- 1} = \frac{1}{4} 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3 .

Vérification: la première ligne de $K K^{- 1}$ vaut $\frac{1}{4} (2 \cdot 3 + 1 \cdot (- 2), 2 \cdot (- 2) + 1 \cdot 4, 2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2)) = (1, 0, 0)$ . Pour $n = 3$ , la formule de la comatrice demande neuf déterminants d'ordre 2: c'est comparable à Gauss–Jordan. Au-delà, son intérêt est théorique: elle montre par exemple que les coefficients de $A^{- 1}$ sont des fonctions rationnelles de ceux de $A$ , et qu'une matrice à coefficients entiers de déterminant $\pm 1$ a un inverse à coefficients entiers.

Le déterminant de Vandermonde et l'interpolation

Nous démontrons la formule pour $n = 3$ ; le cas général s'obtient par la même méthode et une récurrence (exercice 3.4 pour $n = 4$ ). Les opérations sur les colonnes $C_{3} \leftarrow C_{3} - x_{1} C_{2}$ puis $C_{2} \leftarrow C_{2} - x_{1} C_{1}$ , qui ne changent pas le déterminant (théorèmes 3.4 et 3.5), annulent la première ligne sauf son premier coefficient:

V (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 111 0 x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{1} 0 x_{2} (x_{2} - x_{1}) x_{3} (x_{3} - x_{1}) = x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{1} x_{2} (x_{2} - x_{1}) x_{3} (x_{3} - x_{1}),

et en mettant $(x_{2} - x_{1})$ en facteur dans la première ligne et $(x_{3} - x_{1})$ dans la seconde (linéarité par rapport à chaque ligne),

V (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) 11 x_{2} x_{3} = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) .

Équations de droites et de plans

Le corollaire 3.6 fournit des équations élégantes. La droite passant par deux points distincts $(x_{1}, y_{1})$ et $(x_{2}, y_{2})$ du plan est l'ensemble des points $(x, y)$ tels que

x x_{1} x_{2} y y_{1} y_{2} 111 = 0. (3.12)

En effet, le développement selon la première ligne est une équation de la forme $α x + β y + γ = 0$ avec $(α, β) = (y_{1} - y_{2}, x_{2} - x_{1}) \neq = (0, 0)$ , donc une droite, et les deux points la vérifient puisque leur substitution crée deux lignes égales. Pour les points $(1, 2)$ et $(3, 5)$ , on obtient $x (2 - 5) - y (1 - 3) + (5 - 6) = - 3 x + 2 y - 1 = 0$ . De même, le plan passant par trois points non alignés de l'espace a pour équation le déterminant $4 \times 4$ analogue, et trois points du plan sont alignés si et seulement si le déterminant (3.12) formé avec leurs coordonnées est nul — c'est exactement la condition «aire du triangle nulle» de la proposition 3.1, puisque ce déterminant vaut deux fois l'aire signée du triangle.

Jacobien, orientation et produit vectoriel

Deux autres apparitions du déterminant, développées dans les cours suivants, méritent d'être signalées dès maintenant.

Changement de variables. Si l'on passe des coordonnées polaires $(r, θ)$ aux coordonnées cartésiennes par $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , un petit rectangle de côtés $d r$ et $d θ$ est envoyé sur un petit parallélogramme engendré par les dérivées partielles $\partial (x, y) / \partial r = (cos θ, sin θ)$ et $\partial (x, y) / \partial θ = (- r sin θ, r cos θ)$ . D'après la proposition 3.1, son aire vaut

cos θ sin θ - r sin θ r cos θ d r d θ = r d r d θ .

Ce déterminant, le jacobien de la transformation, est le facteur qui apparaît dans la formule de changement de variables des intégrales multiples (Analyse II): $d x d y = r d r d θ$ .

Orientation et produit vectoriel. Le signe de $det (u, v, w)$ indique si le trièdre $(u, v, w)$ est direct: une rotation conserve l'orientation ( $det = + 1$ ), une symétrie par rapport à un plan la renverse ( $det = - 1$ ). Le produit vectoriel $u \land v$ du chapitre 8 s'écrit lui-même avec des déterminants d'ordre 2: ses composantes sont les cofacteurs de la première ligne du «déterminant symbolique» $e_{1} u_{1} v_{1} e_{2} u_{2} v_{2} e_{3} u_{3} v_{3}$ , et le produit mixte $(u \land v) \cdot w$ est précisément $det (u, v, w)$ .

Synthèse

Le déterminant d'ordre 2 est $a d - b c$ ; celui d'ordre 3 se calcule par la règle de Sarrus, qui ne s'étend pas au-delà. Géométriquement, $∣ det ∣$ est l'aire du parallélogramme (ou le volume du parallélépipède) engendré par les colonnes, et le signe donne l'orientation.
Le déterminant d'ordre $n$ est défini par développement selon la première ligne à l'aide des cofacteurs $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ; on peut développer selon n'importe quelle ligne ou colonne, et $det A^{T} = det A$ .
Une matrice triangulaire a pour déterminant le produit de sa diagonale. L'échange de deux lignes change le signe, la multiplication d'une ligne par $λ$ multiplie le déterminant par $λ$ , l'addition d'un multiple d'une autre ligne ne change rien: c'est la méthode de calcul pratique.
Le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne et alterné (deux lignes égales donnent $0$ ), mais il n'est pas linéaire: $det (A + B) \neq = det A + det B$ et $det (k A) = k^{n} det A$ .
$det (A B) = det A \cdot det B$ , $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ , et $A$ est inversible si et seulement si $det A \neq = 0$ .
Règle de Cramer $x_{j} = det A_{j} / det A$ , formule de l'inverse $A^{- 1} = com (A)^{T} / det A$ et déterminant de Vandermonde $\prod_{i < j} (x_{j} - x_{i})$ : des formules exactes précieuses en théorie, mais l'élimination de Gauss reste la méthode numérique.

Série d'exercices du chapitre 3

Exercice 1 sur 5

Exercice

Soient $A$ et $B$ deux matrices $n \times n$ . Laquelle de ces égalités est toujours vraie?

Problème guidé

Déterminant d'ordre 4, inversibilité et règle de Cramer

On considère la matrice $A = 010 - 3 - 1 112 41 - 3 0 1 - 2 - 2 - 1$ et le vecteur $b = (- 3, - 4, - 1, - 2)^{T}$ . On veut calculer $det A$ par réduction, en déduire si le système $A x = b$ a une solution unique, puis obtenir la composante $x_{3}$ par la règle de Cramer.

1
Réduction à une forme triangulaire
Le coefficient $a_{11}$ est nul: commencez par l'échange $L_{1} \leftrightarrow L_{2}$ (qui change le signe du déterminant), puis éliminez sous les pivots successifs avec des opérations $L_{i} \leftarrow L_{i} + λ L_{j}$ , qui ne changent rien. Vous retrouverez la matrice de l'exemple 3.3.
Exercice
Calculez $det A$ .
Nature du système
Déterminant de Cramer
Composante de la solution

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Calculs de déterminants

Calculer les déterminants suivants en choisissant chaque fois la méthode la plus économique.

$52 - 3 4$
$13 - 2 201 - 1 24$
$2000 7 - 1 00 - 3 530 149 - 2$
$130201202010 0 - 1 01$

Solution

1. $5 \cdot 4 - (- 3) \cdot 2 = 20 + 6 = 26$ .

2. Par la règle de Sarrus: diagonales descendantes $1 \cdot 0 \cdot 4 = 0$ , $2 \cdot 2 \cdot (- 2) = - 8$ , $(- 1) \cdot 3 \cdot 1 = - 3$ ; diagonales montantes $(- 1) \cdot 0 \cdot (- 2) = 0$ , $1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$ , $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$ . Donc $det = (0 - 8 - 3) - (0 + 2 + 24) = - 11 - 26 = - 37$ .

3. La matrice est triangulaire supérieure: $det = 2 \cdot (- 1) \cdot 3 \cdot (- 2) = 12$ (théorème 3.3).

4. La deuxième colonne contient deux zéros; développons selon cette colonne, dont les coefficients non nuls sont $a_{22} = 1$ et $a_{32} = 2$ :

det = 1 \cdot (+ 1) 102210001 + 2 \cdot (- 1) 132200 0 - 1 1 .

Le premier mineur, développé selon sa troisième colonne, vaut $1 \cdot 1021 = 1$ . Le second, développé selon sa deuxième colonne (un seul coefficient non nul, $2$ en position $(1, 2)$ ), vaut $2 \cdot (- 1)^{1 + 2} 32 - 1 1 = - 2 \cdot 5 = - 10$ . Donc $det = 1 - 2 \cdot (- 10) = 21$ .

Exercice 3.2 · Déterminant à paramètre et géométrie

Soit $A (t) = t 11 1 t 1 11 t$ . Calculer $det A (t)$ , le factoriser et déterminer les valeurs de $t$ pour lesquelles $A (t)$ n'est pas inversible.
Calculer l'aire du triangle de sommets $P = (1, 1)$ , $Q = (4, 2)$ et $R = (2, 5)$ .
Calculer le volume du parallélépipède engendré par $u = (1, 2, 0)$ , $v = (0, 1, 3)$ et $w = (2, 0, 1)$ , et dire si le trièdre $(u, v, w)$ est direct.

Solution

1. En développant selon la première ligne,

det A (t) = t (t^{2} - 1) - 1 (t - 1) + 1 (1 - t) = t^{3} - 3 t + 2.

Comme $t = 1$ est racine évidente, on factorise: $t^{3} - 3 t + 2 = (t - 1) (t^{2} + t - 2) = (t - 1)^{2} (t + 2)$ . La matrice $A (t)$ n'est pas inversible (théorème 3.7) exactement pour $t = 1$ (les trois lignes sont alors égales) et $t = - 2$ (la somme des trois lignes est nulle). Une méthode plus rapide: l'opération $C_{1} \leftarrow C_{1} + C_{2} + C_{3}$ fait apparaître $t + 2$ dans toute la première colonne, que l'on met en facteur, puis $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ donnent une matrice triangulaire de diagonale $(1, t - 1, t - 1)$ . Ce calcul est celui du polynôme caractéristique du chapitre 9: les valeurs $1$ et $- 2$ seront les valeurs propres de la matrice $A (0)$ .

2. Le triangle est la moitié du parallélogramme engendré par $P Q = (3, 1)$ et $P R = (1, 4)$ . D'après la proposition 3.1,

A = \frac{1}{2} 3114 = \frac{1}{2} ∣ 12 - 1 ∣ = \frac{11}{2} = 5, 5.

On obtient le même résultat avec le déterminant $3 \times 3$ de (3.12) formé avec les trois sommets.

3. Le volume est la valeur absolue du déterminant des trois vecteurs en colonnes (ou en lignes, par le théorème 3.4):

det (u, v, w) = 102210031 = 1 (1 - 0) - 2 (0 - 6) + 0 = 13.

Le volume vaut $13$ , et le déterminant étant positif, le trièdre est direct.

Exercice 3.3 · Mélange d'alliages: Cramer et comatrice

Une fonderie dispose de trois alliages de cuivre, zinc et étain: l'alliage 1 contient 60 % de cuivre, 30 % de zinc et 10 % d'étain; l'alliage 2 en contient 40 %, 50 % et 10 %; l'alliage 3 en contient 50 %, 20 % et 30 %. On veut produire 100 kg d'un alliage contenant 52 kg de cuivre, 32 kg de zinc et 16 kg d'étain, en fondant $x$ kg d'alliage 1, $y$ kg d'alliage 2 et $z$ kg d'alliage 3.

Écrire le système linéaire vérifié par $(x, y, z)$ , sous la forme $A x = b$ à coefficients entiers, et calculer $det A$ .
Résoudre le système par la règle de Cramer.
Calculer la comatrice de $A$ et en déduire $A^{- 1}$ . Retrouver la solution du point 2.

Solution

1. Les bilans de cuivre, de zinc et d'étain s'écrivent $0, 6 x + 0, 4 y + 0, 5 z = 52$ , $0, 3 x + 0, 5 y + 0, 2 z = 32$ , $0, 1 x + 0, 1 y + 0, 3 z = 16$ . En multipliant par $10$ :

A = 631451523, b = 520320160 .

Le bilan de masse totale $x + y + z = 100$ est la somme des trois équations (les pourcentages de chaque alliage totalisent 100 %): il est automatiquement satisfait. Le déterminant, développé selon la première ligne, vaut $det A = 6 (15 - 2) - 4 (9 - 2) + 5 (3 - 5) = 78 - 28 - 10 = 40$ .

2. Les déterminants de Cramer valent

det A_{1} = 520320160451523 = 401384451523 = 40 (13 \cdot 13 - 4 \cdot 16 + 5 \cdot (- 12)) = 40 \cdot 45 = 1800,

où l'on a mis $40$ en facteur dans la première colonne. De même $det A_{2} = 40 (6 \cdot 16 - 13 \cdot 7 + 5 \cdot 4) = 40 \cdot 25 = 1000$ et $det A_{3} = 40 (6 \cdot 12 - 4 \cdot 4 + 13 \cdot (- 2)) = 40 \cdot 30 = 1200$ . Donc

x = \frac{1800}{40} = 45, y = \frac{1000}{40} = 25, z = \frac{1200}{40} = 30.

Vérification: $45 + 25 + 30 = 100$ kg, et le cuivre: $0, 6 \cdot 45 + 0, 4 \cdot 25 + 0, 5 \cdot 30 = 27 + 10 + 15 = 52$ kg.

3. Les cofacteurs sont $C_{11} = 13$ , $C_{12} = - 7$ , $C_{13} = - 2$ , $C_{21} = - 7$ , $C_{22} = 13$ , $C_{23} = - 2$ , $C_{31} = - 17$ , $C_{32} = 3$ , $C_{33} = 18$ (par exemple $C_{31} = 4552 = 8 - 25 = - 17$ et $C_{32} = - 6352 = - (12 - 15) = 3$ ). Par (3.10),

A^{- 1} = \frac{1}{40} com (A)^{T} = \frac{1}{40} 13 - 7 - 2 - 7 13 - 2 - 17 318 .

Alors $x = A^{- 1} b = \frac{1}{40} (13 \cdot 520 - 7 \cdot 320 - 17 \cdot 160, - 7 \cdot 520 + 13 \cdot 320 + 3 \cdot 160, - 2 \cdot 520 - 2 \cdot 320 + 18 \cdot 160) = \frac{1}{40} (1800, 1000, 1200) = (45, 25, 30)$ : on retrouve la solution du point 2, ce qui n'est pas un hasard, puisque la $j$ -ième composante de $com (A)^{T} b$ est exactement le développement de $det A_{j}$ selon sa $j$ -ième colonne.

Exercice 3.4 · Déterminant tridiagonal et Vandermonde d'ordre 4

Pour $n \geq 1$ , soit $D_{n}$ le déterminant de la matrice $n \times n$ dont la diagonale est formée de $2$ , les deux diagonales adjacentes de $- 1$ , et les autres coefficients de $0$ (matrice de rigidité d'une barre discrétisée en $n + 1$ éléments):

D_{1} = ∣ 2 ∣, D_{2} = 2 - 1 - 1 2, D_{3} = 2 - 1 0 - 1 2 - 1 0 - 1 2, \dots

Montrer que $D_{n} = 2 D_{n - 1} - D_{n - 2}$ pour $n \geq 3$ , puis démontrer par récurrence que $D_{n} = n + 1$ . Que peut-on en conclure sur l'inversibilité de ces matrices?

Calculer le déterminant de Vandermonde $V (0, 1, 2, 3)$ de deux façons: par la formule (3.11), puis par la méthode de la section «Vandermonde» (opérations sur les colonnes puis mise en facteur).

Solution

1. Développons $D_{n}$ selon la première ligne, qui vaut $(2, - 1, 0, \dots, 0)$ :

D_{n} = 2 M_{11} - (- 1) M_{12} = 2 D_{n - 1} + M_{12},

puisque le mineur $M_{11}$ est le déterminant de la même matrice tridiagonale d'ordre $n - 1$ . Le mineur $M_{12}$ est le déterminant de la matrice obtenue en supprimant la ligne 1 et la colonne 2; sa première colonne est $(- 1, 0, \dots, 0)^{T}$ et, en développant selon cette colonne, $M_{12} = (- 1) \cdot D_{n - 2}$ (la matrice restante est la matrice tridiagonale d'ordre $n - 2$ ). D'où $D_{n} = 2 D_{n - 1} - D_{n - 2}$ .

Récurrence forte: $D_{1} = 2 = 1 + 1$ et $D_{2} = 4 - 1 = 3 = 2 + 1$ . Si $D_{n - 1} = n$ et $D_{n - 2} = n - 1$ , alors $D_{n} = 2 n - (n - 1) = n + 1$ . Ainsi $D_{n} = n + 1 \neq = 0$ pour tout $n$ : ces matrices sont toujours inversibles (théorème 3.7), ce qui garantit que le système d'équilibre d'une barre discrétisée a une solution unique, quel que soit le nombre d'éléments. On remarque que $D_{n}$ croît seulement linéairement avec $n$ alors que le produit des coefficients diagonaux vaut $2^{n}$ : le déterminant d'une matrice non triangulaire ne se lit pas sur la diagonale.

2. Par (3.11), avec $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 1$ , $x_{3} = 2$ , $x_{4} = 3$ :

V (0, 1, 2, 3) = (1 - 0) (2 - 0) (3 - 0) (2 - 1) (3 - 1) (3 - 2) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 12.

Par la méthode directe: comme $x_{1} = 0$ , la première ligne de la matrice $11110123014901827$ est déjà $(1, 0, 0, 0)$ et le développement selon cette ligne donne

V = 1231491827 = 1 \cdot 2 \cdot 3111123149 = 6 V (1, 2, 3),

en mettant en facteur $1$ , $2$ et $3$ dans les trois lignes. Pour $V (1, 2, 3)$ , les opérations $C_{3} \leftarrow C_{3} - C_{2}$ puis $C_{2} \leftarrow C_{2} - C_{1}$ donnent $111012026 = 6 - 4 = 2$ , d'où $V (0, 1, 2, 3) = 6 \cdot 2 = 12$ , en accord avec la formule. Le système d'interpolation par un polynôme de degré $3$ aux abscisses $0, 1, 2, 3$ a donc toujours une solution unique.

Exercice 3.5 · Déterminant d'un produit et matrices antisymétriques

Vérifier l'identité $det (A B) = det A \cdot det B$ pour deux matrices $2 \times 2$ quelconques $A = (a c b d)$ et $B = (p r q s)$ par un calcul direct.
Rappeler pourquoi, pour $A$ inversible d'ordre $n$ , il existe des matrices élémentaires $E_{1}, \dots, E_{k}$ avec $A = E_{1} \dots E_{k}$ , et en déduire à nouveau $det (A B) = det A \cdot det B$ dans ce cas.
Une matrice carrée $A$ est antisymétrique si $A^{T} = - A$ . Montrer que toute matrice antisymétrique d'ordre impair est singulière (non inversible). Le résultat subsiste-t-il en ordre pair? Donner un exemple.
En déduire que pour tout vecteur $a \in R^{3}$ , l'application $x \mapsto a \land x$ , dont la matrice est $0 a_{3} - a_{2} - a_{3} 0 a_{1} a_{2} - a_{1} 0$ , n'est pas injective, et interpréter géométriquement.

Solution

1. Le produit vaut $A B = (a p + b r c p + d r a q + b s c q + d s)$ , donc

det (A B) = (a p + b r) (c q + d s) - (a q + b s) (c p + d r) .

Développons: $(a p + b r) (c q + d s) = a c pq + a d p s + b c q r + b d r s$ et $(a q + b s) (c p + d r) = a c pq + a d q r + b c p s + b d r s$ . Les termes $a c pq$ et $b d r s$ se simplifient et il reste

det (A B) = a d p s + b c q r - a d q r - b c p s = a d (p s - q r) - b c (p s - q r) = (a d - b c) (p s - q r) = det A \cdot det B .

2. D'après le chapitre 2, une matrice carrée est inversible si et seulement si elle se réduit à $I_{n}$ par une suite d'opérations élémentaires, c'est-à-dire $E_{k}^{'} \dots E_{1}^{'} A = I_{n}$ avec des matrices élémentaires $E_{i}^{'}$ ; comme chaque matrice élémentaire est inversible, d'inverse élémentaire, $A = (E_{1}^{'})^{- 1} \dots (E_{k}^{'})^{- 1} = E_{1} \dots E_{k}$ . Par le théorème 3.5, appliquer une opération élémentaire multiplie le déterminant par une constante $c$ égale à $det E$ (calculer $det (E I_{n})$ ): $det (E M) = det E \cdot det M$ pour toute matrice $M$ . Alors

det (A B) = det (E_{1} (E_{2} \dots E_{k} B)) = det E_{1} \cdot det (E_{2} \dots E_{k} B) = \dots = det E_{1} \dots det E_{k} \cdot det B,

et avec $B = I_{n}$ , $det A = det E_{1} \dots det E_{k}$ . D'où $det (A B) = det A \cdot det B$ .

3. Soit $A$ antisymétrique d'ordre $n$ . Par le théorème 3.4 et le corollaire 3.9,

det A = det A^{T} = det (- A) = (- 1)^{n} det A .

Si $n$ est impair, $(- 1)^{n} = - 1$ et $det A = - det A$ , donc $det A = 0$ : $A$ n'est pas inversible (théorème 3.7). En ordre pair, l'argument ne dit rien et le résultat est faux: $A = (0 - 1 10)$ est antisymétrique et $det A = 1$ . (On démontre plus généralement que le déterminant d'une matrice antisymétrique d'ordre pair est un carré parfait, le carré du pfaffien.)

4. La matrice $M_{a}$ donnée est antisymétrique d'ordre $3$ , donc $det M_{a} = 0$ et $M_{a}$ n'est pas inversible: le système $M_{a} x = 0$ a des solutions non nulles, et l'application $x \mapsto a \land x$ n'est pas injective. Géométriquement, c'est évident: $a \land a = 0$ , et tout vecteur colinéaire à $a$ est envoyé sur $0$ . On vérifie d'ailleurs directement que $M_{a} a = (- a_{3} a_{2} + a_{2} a_{3}, a_{3} a_{1} - a_{1} a_{3}, - a_{2} a_{1} + a_{1} a_{2}) = 0$ . Le chapitre 5 dira que le noyau de cette application est la droite $Vect (a)$ et son image le plan orthogonal à $a$ : c'est la structure d'une rotation infinitésimale en mécanique, où $a$ est le vecteur vitesse angulaire.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 3.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 5.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 6.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, 2e éd., Dunod, Paris.
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, chap. 9 (les déterminants après les valeurs propres).
Cramer, G., Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève, 1750, appendice 1 (texte original de la règle de Cramer).

Objectifs du chapitre

Pourquoi un déterminant?

Déterminants d'ordre 2 et 3

Formules

Interprétation géométrique: aire et volume signés

Explorateur du déterminant 2×2

Définition générale

Mineurs, cofacteurs et développement

Matrices triangulaires et transposée

Propriétés et opérations sur les lignes

Effet des opérations élémentaires

Déterminant d'un produit et inversibilité

Applications

La règle de Cramer

Comatrice et formule de l'inverse

Le déterminant de Vandermonde et l'interpolation

Équations de droites et de plans

Jacobien, orientation et produit vectoriel

Synthèse

Série d'exercices du chapitre 3

Déterminant d'ordre 4, inversibilité et règle de Cramer

Réduction à une forme triangulaire

Nature du système

Déterminant de Cramer

Composante de la solution

Exercices

Références