Formulaire · Finance d'entreprise

Ce formulaire rassemble ce que les dix chapitres ont démontré. Il ne remplace pas les chapitres, il les indexe: chaque entrée renvoie au chapitre, au théorème ou à l'équation qui l'établit — «(1.9)» désigne l'équation 9 du chapitre 1.

Une mise en garde avant tout le reste: une formule de finance sans ses hypothèses est fausse une fois sur deux. La perpétuité croissante n'existe que si $g < r$ ; le TRI ne classe pas des projets exclusifs; le CMPC n'actualise que les projets du risque de l'entreprise, financés comme elle; et la même entreprise a deux bêtas économiques selon qu'on suppose sa dette rééquilibrée ou fixe. Lisez les conditions avant de recopier la formule.

La dernière section rassemble sur une page tous les chiffres d'Helvetia Instruments SA. Refaites-les de mémoire: ils ont été construits pour s'emboîter, et une erreur dans l'un se voit dans les autres.

Notation

Le cours garde les notations de la littérature, quitte à réutiliser une lettre; le second tableau recense ces réutilisations.

Symbole	Sens	Chapitres
$r$	taux d'actualisation, rentabilité exigée	1–3, 10
$r_{f}$	taux sans risque (1 %)	4, 7–9
$E [r_{M}]$ , $σ_{M}$

Symbole	Réutilisation à surveiller
$D$	dette aux chapitres 8–9, mais amortissement au chapitre 3: le $τ D$ du chapitre 3 (0,4 par an) n'est pas le $τ D$ du chapitre 9 (CHF 40 M)
$D_{t}$ , $d_{t}$	dividende par action au chapitre 5; au chapitre 10, $D_{t}$ est le dividende et le dividende par action; au chapitre 4, est un facteur d'actualisation

Valeur temps de l'argent (chapitre 1)

Convention: la date 0 est aujourd'hui, un flux de la date $t$ est versé en fin de période $t$ , et $r$ est le taux effectif par période. On n'additionne que des montants ramenés à la même date.

Capitaliser et actualiser (th. 1.1 et 1.2).

VF_{n} = C_{0} (1 + r)^{n}, VA = \frac{C _{n}}{( 1 + r ) ^{n}}, VA = t = 1 \sum n \frac{C _{t}}{( 1 + r ) ^{t}} .

En intérêt simple, $VF_{n} = C_{0} (1 + r n)$ (1.1). La valeur actuelle d'une suite est la somme des valeurs actuelles (1.5): c'est la loi du prix unique, et c'est elle qui rend la VAN additive. Temps de doublement: $n^{*} = ln 2/ ln (1 + r)$ (1.3); la règle de 72 n'en est qu'une approximation.

Taux nominal, effectif, continu (th. 1.3 et 1.4). Un taux nominal $j$ capitalisé $m$ fois par an vaut le taux effectif

r = (1 + \frac{j}{m})^{m} - 1, 1 + r = e^{r_{c}}, r_{c} = ln (1 + r) .

En capitalisation continue, $C_{0}$ devient $C_{0} e^{r_{c} t}$ et un montant $C_{t}$ vaut aujourd'hui. Piège: diviser un taux effectif par 12 donne le taux , pas le taux mensuel équivalent .

Annuités (th. 1.5 et 1.6). $n$ versements $C$ en fin de période, $r \neq = 0$ :

VA = C \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}{r} = C A (r, n), VF = C \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r} .

En début de période (annuité due), multipliez les deux par $1 + r$ (1.11). Annuité d'un prêt de capital $K_{0}$ (1.16):

a = \frac{K _{0} r}{1 - ( 1 + r ) ^{- n}} .

Perpétuités (th. 1.7 et 1.8). Premier flux à la date 1:

VA = \frac{C}{r} (r > 0), VA = \frac{C _{1}}{r - g} (g < r) .

Annuité croissante de $n$ versements, $g \neq = r$ (1.13):

VA_{n} = \frac{C _{1}}{r - g} [1 - (\frac{1 + g}{1 + r})^{n}] .

Si $g = r$ , $VA_{n} = n C_{1} / (1 + r)$ (1.15). Si $g \geq r$ , la perpétuité croissante n'a de valeur finie: la formule rend un nombre infini ou négatif sans prévenir. Si l'on connaît le flux qui vient d'être versé, .

Relation de Fisher (th. 1.9 et 3.5). Exacte, et non approchée:

1 + r_{nom} = (1 + r_{r \overset{e}{ˊ} el}) (1 + π) .

Flux nominaux au taux nominal, flux réels au taux réel: les deux donnent la même valeur, tout mélange est faux. L'approximation $r_{r \overset{e}{ˊ} el} \approx r_{nom} - π$ surestime le taux réel de $(r_{nom} - π) π / (1 + π)$ . Dans un tableau en francs réels, l'amortissement et son économie d'impôt doivent être , car ils sont fixés en francs nominaux (chapitre 3).

Critères de décision (chapitre 2)

VAN (2.1). Au coût d'opportunité $k$ du projet, c'est-à-dire la rentabilité d'un actif de même risque:

VAN (k) = t = 0 \sum n \frac{C _{t}}{( 1 + k ) ^{t}} .

Règle: accepter si $VAN > 0$ ; entre projets exclusifs, prendre la plus grande VAN. La VAN est additive (th. 2.1): $VAN_{A + B} = VAN_{A} + VAN_{B}$ à tout taux; le TRI ne l'est pas.

TRI (2.3). Le taux $r^{*} > - 1$ tel que $VAN (r^{*}) = 0$ . Pour un projet conventionnel (un seul changement de signe) de somme brute positive, il existe, il est unique et positif, et la règle «TRI supérieur à $k$ » coïncide avec la VAN (th. 2.2). On le calcule par bissection: après $j$ étapes sur un intervalle de largeur $L$ , l'erreur est au plus .

Indice de profitabilité (2.5), pour une mise $I_{0} = - C_{0}$ :

IP = \frac{\sum _{t \geq 1} C _{t} / ( 1 + k ) ^{t}}{I _{0}} = 1 + \frac{VAN ( k )}{I _{0}} .

Délai de récupération (2.4). Si le cumul passe de $S_{t - 1} < 0$ à $S_{t} \geq 0$ pendant l'année $t$ , délai $= (t - 1) + (- S_{t - 1}) / C_{t}$ ; le délai fait le même calcul sur les flux actualisés. L'interpolation suppose le flux réparti sur l'année, ce qui contredit la convention de fin d'année: signalez-la.

TRI modifié (2.7). Flux positifs capitalisés à $k$ jusqu'à la date $n$ , flux négatifs actualisés à $k$ :

(1 + r_{m})^{n} = \frac{valeur capitalis e ˊ e en n des flux positifs}{valeur actuelle en 0 des flux n e ˊ gatifs} .

Taux de Fisher et TRI différentiel (th. 2.4). Deux profils de VAN se croisent au TRI du projet différentiel $A - B$ . Au-dessous de ce taux, la VAN et le TRI peuvent classer deux projets exclusifs en sens contraires; la VAN a raison. Le TRI différentiel (TRI de $A - B$ , le plus grand moins le plus petit) comparé à $k$ répare la règle.

Rationnement du capital (2.6). Maximiser $\sum_{j} VAN_{j} x_{j}$ sous $\sum_{j} I_{j} x_{j} \leq$ budget, . L'heuristique de l'IP n'est optimale que pour des projets divisibles.

Critère	Ce qu'il ignore ou déforme
TRI	l'échelle et le calendrier (projets exclusifs); multiple ou absent si les flux changent plusieurs fois de signe (règle de Descartes, th. 2.3)
IP, TRI modifié	l'échelle: ce sont des rapports
Délais de récupération	tout ce qui suit le délai; la valeur temps (délai simple)

Flux de trésorerie d'un projet (chapitre 3)

On actualise de la trésorerie, datée au moment où elle entre ou sort, et jamais un bénéfice. Les intérêts ne figurent pas dans les flux: le coût du financement est dans le taux.

Flux disponible (th. 3.1), avec $C A$ le chiffre d'affaires, $C$ les charges décaissées, $D$ l'amortissement, $I$ l'investissement:

FCF = EBIT (1 - τ) + D - I - Δ BFR = (C A - C) (1 - τ) + τ D - I - Δ BFR .

$EBIT (1 - τ)$ est le résultat opérationnel après impôt (NOPAT). Troisième contrôle: recettes moins dépenses moins impôt sur l'EBIT.

Économie d'impôt de l'amortissement (th. 3.2). L'amortissement n'agit sur la trésorerie que par $τ D$ . Tout plan déduit au total $τ I$ ; un plan plus rapide augmente la valeur actuelle de l'économie, à condition d'avoir un bénéfice à réduire.

BFR (th. 3.3 et 3.4). $BFR = stocks + cr \overset{e}{ˊ} ances clients - dettes fournisseurs$ ; une augmentation est une sortie de trésorerie. Un BFR $B$ immobilisé en 0 et récupéré en $T$ coûte

B [1 - (1 + r)^{- T}] = t = 1 \sum T \frac{r B}{( 1 + r ) ^{t}} .

Principe différentiel: flux avec le projet moins flux sans le projet. Ignorer les coûts irrécupérables et les frais de structure imputés; inclure les coûts d'opportunité et la cannibalisation, après impôt.

Seuil de VAN nulle (th. 3.6). Pour un projet de durée $T$ , BFR $= b \cdot C A$ , $A_{T} = \sum_{t = 1}^{T} (1 + r)^{- t}$ , la VAN est affine en , de pente , et

C A^{*} = C A - \frac{VAN ( C A )}{s} .

Un seuil se dit en quoi: à volume constant, $C A^{*}$ donne un prix de seuil; à prix constant, chaque unité perdue économise aussi son coût variable, et le volume de seuil est un autre nombre. Le point mort comptable (EBIT nul) et le point mort de trésorerie sont plus bas: ils ne rémunèrent pas le capital.

Obligations et taux (chapitre 4)

Prix (th. 4.1). Nominal $N$ , coupon $C = c N$ en fin d'année, maturité $T$ , rendement $y$ :

P (y) = t = 1 \sum T \frac{C}{( 1 + y ) ^{t}} + \frac{N}{( 1 + y ) ^{T}} = C \frac{1 - ( 1 + y ) ^{- T}}{y} + \frac{N}{( 1 + y ) ^{T}} .

Rendement à l'échéance: le TRI des flux promis au prix observé; il existe et il est unique dès que les flux sont positifs (th. 4.2), et la dichotomie le trouve. C'est un rendement promis: réalisé seulement si l'on garde le titre, si l'émetteur paie et si l'on réinvestit les coupons à $y$ .

Position par rapport au pair (th. 4.3):

P - N = (C - y N) \frac{1 - ( 1 + y ) ^{- T}}{y},

au-dessus du pair si $c > y$ , au pair si $c = y$ , en dessous si $c < y$ . Au-dessus du pair, $y < C / P < c$ : le rendement courant $C / P$ surestime la rentabilité.

Courbe des taux (4.4 et 4.5). Zéro-coupon: $Z_{t} = N / (1 + s_{t})^{t}$ et $d_{t} = (1 + s_{t})^{- t}$ . Une obligation vaut . Taux à terme:

(1 + s_{t})^{t} = (1 + s_{t - 1})^{t - 1} (1 + f_{t - 1, t}), 1 + f_{t - 1, t} = \frac{d _{t - 1}}{d _{t}} .

Le bootstrapping extrait $d_{1}, d_{2}, \dots$ dans cet ordre.

Duration (4.6 à 4.9). Poids $w_{t} = F_{t} (1 + y)^{- t} / P$ :

D_{Mac} = t = 1 \sum T t w_{t}, D_{mod} = \frac{D _{Mac}}{1 + y}, \frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y .

$D_{Mac}$ est l'élasticité du prix au facteur $1 + y$ . Zéro-coupon: $D_{Mac} = T$ . Rente perpétuelle: $D_{Mac} = (1 + y) / y$ .

Convexité (4.10 et 4.11):

C = \frac{1}{P} t = 1 \sum T \frac{t ( t + 1 ) F _{t}}{( 1 + y ) ^{t + 2}}, \frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y + \frac{1}{2} C (Δ y)^{2} .

Si les flux sont positifs, $C > 0$ : la duration surestime les baisses et sous-estime les hausses. Elle suppose un déplacement parallèle de la courbe.

Écart de crédit (4.12). Zéro-coupon à un an, probabilité de défaut $p$ , recouvrement $R$ , investisseurs neutres au risque:

y - r_{f} = \frac{( 1 + r _{f} ) p ( 1 - R )}{1 - p ( 1 - R )} \approx p (1 - R) .

Un rendement promis élevé n'est pas une rentabilité espérée élevée.

Évaluation des actions (chapitre 5)

Une période (5.1): $r_{E} = D_{1} / P_{0} + (P_{1} - P_{0}) / P_{0}$ , rendement du dividende plus taux de plus-value.

Modèle d'actualisation des dividendes (th. 5.1), si $P_{N} / (1 + r_{E})^{N} \to 0$ (pas de bulle):

P_{0} = t = 1 \sum \infty \frac{D _{t}}{( 1 + r _{E} ) ^{t}} .

Gordon–Shapiro (th. 5.2), croissance constante $g < r_{E}$ :

P_{0} = \frac{D _{1}}{r _{E} - g}, r_{E} = \frac{D _{1}}{P _{0}} + g, g = r_{E} - \frac{D _{1}}{P _{0}} .

Semi-élasticité (5.5): $\frac{1}{P _{0}} \frac{\partial P _{0}}{\partial g} = \frac{1}{r _{E} - g} = - \frac{1}{P _{0}} \frac{\partial P _{0}}{\partial r _{E}}$ . Méfiez-vous de tout inférieur à deux ou trois points.

Croissance soutenable (th. 5.3): $g = b \times ROE$ , où $ROE$ est la rentabilité des nouveaux investissements. Hypothèses: les actifs en place maintiennent leur bénéfice, $b$ constant, pas d'émission d'actions. La croissance se paie: $D_{1} = (1 - b) BPA_{1}$ .

VAOC (th. 5.4):

P_{0} = \frac{BPA _{1}}{r _{E}} + VAOC, VAOC = \frac{b BPA _{1} ( ROE / r _{E} - 1 )}{r _{E} - g} .

La VAOC a le signe de $ROE - r_{E}$ : la croissance ne crée de la valeur que si les nouveaux investissements rapportent plus que $r_{E}$ .

PER (th. 5.5), prospectif:

\frac{P _{0}}{BPA _{1}} = \frac{1 - b}{r _{E} - g} = \frac{1}{r _{E}} + \frac{VAOC}{BPA _{1}} .

Un PER inférieur à $1/ r_{E}$ signale une VAOC négative. Appliquer un multiple, c'est supposer sans l'écrire le même risque, la même croissance et le même ROE.

Plusieurs étapes (5.6). Croissance stable $g_{L} < r_{E}$ à partir de $T + 1$ :

P_{0} = t = 1 \sum T \frac{D _{t}}{( 1 + r _{E} ) ^{t}} + \frac{1}{( 1 + r _{E} ) ^{T}} \cdot \frac{D _{T + 1}}{r _{E} - g _{L}} .

La valeur terminale pèse souvent plus des trois quarts du prix. Flux pour les actionnaires: $FCFE = r \overset{e}{ˊ} sultat net - (investissements - amortissements) - Δ BFR + emprunts nets$ , actualisé à $r_{E}$ .

Risque et diversification (chapitre 6)

Rentabilité (6.1) et enchaînement (6.2):

R = \frac{D _{1} + P _{1} - P _{0}}{P _{0}}, 1 + R_{0, T} = t = 1 \prod T (1 + R_{t}) .

La moyenne arithmétique estime l'espérance d'une année; la moyenne géométrique décrit la croissance réalisée et lui est toujours inférieure ou égale.

Moments. $E [R] = \sum_{s} p_{s} R_{s}$ , $σ^{2} = \sum_{s} p_{s} (R_{s} - E [R])^{2}$ . Sur un historique, (6.3), et l'erreur type de la moyenne vaut : les espérances s'estiment très mal. Covariance , corrélation (6.4).

Deux actifs (th. 6.1), poids $w$ et $1 - w$ :

E [R_{p}] = w E [R_{1}] + (1 - w) E [R_{2}], σ_{p}^{2} = w^{2} σ_{1}^{2} + (1 - w)^{2} σ_{2}^{2} + 2 w (1 - w) ρ σ_{1} σ_{2} .

Sans vente à découvert, $σ_{p} \leq w σ_{1} + (1 - w) σ_{2}$ , avec égalité si $ρ = 1$ (th. 6.2).

Variance minimale (th. 6.3):

w^{*} = \frac{σ _{2}^{2} - σ _{12}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 σ _{12}}, σ_{m i n}^{2} = \frac{σ _{1}^{2} σ _{2}^{2} - σ _{12}^{2}}{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 σ _{12}} .

Si $σ_{1} > σ_{2}$ , $w^{*} < 0$ si et seulement si $ρ > σ_{2} / σ_{1}$ : au-delà de ce seuil, le portefeuille le moins risqué le titre le plus volatil. À , annule le risque.

$n$ titres équipondérés (th. 6.4), variance moyenne $\overline{σ^{2}}$ et covariance moyenne $\overset{c}{ˉ}$ :

σ_{p}^{2} = \frac{1}{n} \overline{σ^{2}} + (1 - \frac{1}{n}) \overset{c}{ˉ} ⟶ \overset{c}{ˉ} .

Risque systématique et spécifique (6.11 et 6.12). $R_{i} = α_{i} + β_{i} R_{M} + ε_{i}$ avec :

σ_{i}^{2} = β_{i}^{2} σ_{M}^{2} + σ_{ε_{i}}^{2}, \frac{β _{i}^{2} σ _{M}^{2}}{σ _{i}^{2}} = ρ_{i M}^{2} .

Les parts se lisent sur les variances, pas sur les volatilités. La diversification supprime le risque spécifique, jamais le risque systématique.

MEDAF et coût des fonds propres (chapitre 7)

Actif sans risque et portefeuille risqué $T$ (th. 7.1). $E [r_{p}] = r_{f} + w (E [r_{T}] - r_{f})$ et : une droite de pente égale au .

Droite de marché des capitaux (7.3), pour les portefeuilles efficients seulement:

E [r_{p}] = r_{f} + \frac{E [ r _{M} ] - r _{f}}{σ _{M}} σ_{p} .

Séparation (th. 7.2 et 7.3): tous détiennent le même portefeuille risqué, qui à l'équilibre est le portefeuille de marché; seule la part $w$ dépend de l'aversion au risque.

Bêta (7.5 et 7.6). Pour un portefeuille, $β_{p} = \sum_{i} x_{i} β_{i}$ , et $\sum_{i} w_{i} β_{i} = 1$ sur le marché.

β_{i} = \frac{Cov ( r _{i} , r _{M} )}{σ _{M}^{2}} = ρ_{i M} \frac{σ _{i}}{σ _{M}} .

MEDAF (th. 7.5) et droite de marché des titres, pour tous les actifs:

E [r_{i}] = r_{f} + β_{i} (E [r_{M}] - r_{f}); cours: 1 % + β_{i} \times 5 %.

Alpha (7.10): $α_{i} = E [r_{i}] - [r_{f} + β_{i} (E [r_{M}] - r_{f})]$ . Au-dessus de la DMT, sous-évalué; en dessous, surévalué; à l'équilibre, nul. Piège: lire une rentabilité exigée sur la DMC avec la volatilité totale.

Estimer un bêta (th. 7.6). Pente des moindres carrés et erreur type:

b = \frac{S _{x y}}{S _{xx}}, a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}, et (b) = \frac{s}{S _{xx}}, s^{2} = \frac{\sum _{t} e _{t}^{2}}{n - 2} .

Intervalle à 95 %: $b \pm t_{0, 975; n - 2} et (b)$ . Avec 60 mois, le bêta n'est connu qu'à environ $\pm 0, 3$ près, donc $r_{E}$ à environ $\pm 1, 5$ point. Le MEDAF est empiriquement imparfait (droite trop plate, facteurs de taille et de valeur); on l'emploie comme .

Coût moyen pondéré du capital (chapitre 8)

Coût de la dette: le rendement à l'échéance de la dette, pas son coupon; après impôt, $r_{D} (1 - τ)$ (8.1), si l'entreprise a un bénéfice à réduire. C'est un rendement promis, assimilable au rendement espéré seulement si le défaut est négligeable.

Coût des fonds propres, par deux voies qui doivent s'accorder (8.2 et 8.3):

r_{E} = r_{f} + β_{E} (E [r_{M}] - r_{f}), r_{E} = \frac{D _{1}}{P _{0}} + g .

CMPC (8.4), poids en valeur de marché (structure cible):

CMPC = \frac{E}{V} r_{E} + \frac{D}{V} r_{D} (1 - τ), V = E + D .

Des poids comptables sous-pondèrent la source la plus chère et sous-estiment le taux.

Le CMPC actualise le flux disponible (th. 8.1), si $D / V$ est constant (dette rééquilibrée), $r_{E}$ et $r_{D}$ constants, et intérêts toujours déductibles:

V_{0} = t = 1 \sum \infty \frac{E [ F C F _{t} ]}{( 1 + CMPC ) ^{t}}, E_{0} = V_{0} - D_{0} .

L'avantage fiscal de la dette est dans le taux, pas dans les flux: le compter aussi dans les flux le compte deux fois. Si la structure change, $V_{0} = \sum_{t} E [F C F_{t}] / \prod_{u \leq t} (1 + c_{u})$ (8.11), ou la valeur actuelle ajustée.

Le bon taux pour un projet. Le CMPC de l'entreprise ne convient qu'à un projet de son risque et financé comme elle. Sinon, méthode du comparable spécialisé: désendetter le bêta de chaque comparable avec sa propre structure, faire la moyenne des $β_{A}$ , réendetter à la structure du projet, puis calculer $r_{E}$ et le CMPC du projet.

Désendetter et réendetter: deux hypothèses sur la dette

C'est l'endroit du cours où une formule sans son hypothèse produit une contradiction. Les deux hypothèses sont légitimes; elles donnent des nombres différents, et il faut toujours écrire laquelle on emploie.

Le bêta de la dette se tire, au plus, du MEDAF appliqué à son rendement: $β_{D} = (r_{D} - r_{f}) / (E [r_{M}] - r_{f})$ . C'est une , puisqu'une partie de l'écart compense des pertes de défaut espérées.

Structure financière (chapitre 9)

Effet de levier (9.1), rentabilité réalisée dans un état donné:

r_{E} = r_{A} + (r_{A} - r_{D}) \frac{D}{E} .

Avec une dette sans risque, l'écart type des fonds propres vaut $σ_{U} (1 + D / E)$ : une rentabilité espérée plus haute, pour un risque plus haut.

Hypothèses de Modigliani–Miller: (1) marchés parfaits, (2) pas d'impôt, (3) pas de coûts de détresse, (4) emprunt personnel aux conditions de l'entreprise, (5) information symétrique, (6) investissement fixé. Toute création de valeur par le financement viole l'une d'elles.

Proposition I sans impôt (th. 9.1), par arbitrage (levier fait maison): $V_{L} = E_{L} + D = V_{U}$ .

Proposition II sans impôt (th. 9.2):

r_{E} = r_{U} + (r_{U} - r_{D}) \frac{D}{E}, CMPC = \frac{E}{V} r_{E} + \frac{D}{V} r_{D} = r_{U},

et de même $β_{E} = β_{U} + (β_{U} - β_{D}) D / E$ . L'argument «la dette coûte moins cher, donc plus de dette abaisse le CMPC» tient pour constant: l'effet de poids et l'effet de risque sont exactement égaux et opposés.

Avec impôt sur les sociétés (th. 9.3). En général $V_{L} = V_{U} + VA (\overset{e}{ˊ} conomies d’imp \overset{o}{ˆ} t)$ ; pour une dette perpétuelle de montant fixe, toujours déductible, économies au risque de la dette:

V_{L} = V_{U} + τ D .

C'est un plafond: une dette remboursée après $n$ années ne vaut que $τ r_{D} D \cdot A (r_{D}, n)$ , et un bénéfice incertain ou l'impôt des investisseurs réduisent encore l'avantage.

Théorie du compromis (th. 9.4):

V_{L} = V_{U} + VA (\overset{e}{ˊ} conomies d’imp \overset{o}{ˆ} t) - VA (co \overset{u}{ˆ} ts de d \overset{e}{ˊ} tresse),

à l'optimum, le gain marginal d'un franc de dette ( $τ$ pour une dette fixe) égale son coût marginal de détresse. Hiérarchie des financements: autofinancement, dette, hybrides, actions.

Politique de distribution (chapitre 10)

Jour ex (th. 10.1), sans impôt ni frais: $P^{cum} - P^{ex} = d$ , le dividende par action. L'information arrive à l'annonce, pas le jour ex.

Neutralité de Miller et Modigliani (th. 10.2). Sans impôt, information identique, investissements $I_{t}$ fixés et flux d'exploitation $X_{t}$ donnés:

n_{0} P_{0} = t = 1 \sum \infty \frac{X _{t} - I _{t}}{( 1 + r ) ^{t}} .

Le dividende n'y figure pas: ce qui est versé en plus doit être levé auprès de nouveaux actionnaires.

Dividende ou rachat (th. 10.3). Montant $X$ , $N$ actions, $P = V / N$ :

	Cours après	Nombre d'actions
Dividende	$P - X / N$	$N$
Rachat au cours $P$	$P$	$N - X / P$

La richesse de l'actionnaire est $k P$ dans les deux cas. Un rachat au prix $P^{*}$ donne le cours $P^{'} = (V - X) / (N - X / P^{*})$ : si et seulement si . Racheter au-dessus de la valeur transfère de la richesse vers les vendeurs. La hausse du BPA après un rachat ne crée rien: le PER reste le même.

Lintner (10.5), cible $p$ , vitesse $c \in] 0, 1]$ :

d_{t} = d_{t - 1} + c (p BPA_{t} - d_{t - 1}) .

Impôt anticipé et réserves issues d'apports de capital (LIA, RS 642.21; LIFD, RS 642.11)

Taux. 35 % de la prestation imposable pour les revenus de capitaux mobiliers, dividendes compris (art. 13 al. 1 let. a LIA), retenus sans égard à la personne du créancier, toute convention contraire étant nulle (art. 14 al. 1 LIA).

Remboursement. Aux personnes physiques domiciliées en Suisse et aux personnes morales ayant leur siège en Suisse à l'échéance (art. 21, 22 et 24 LIA); perdu par qui ne déclare pas le revenu (art. 23 LIA). Pour un non-résident, seule une convention de double imposition peut ouvrir un remboursement.

Apports de capital. Le remboursement de réserves issues d'apports de capital effectués après le 31 décembre 1996, comptabilisées sur un compte spécial, est traité comme un remboursement du capital-actions: pas d'impôt anticipé (art. 5 al. 1bis LIA). Restriction: une société cotée dans une bourse suisse doit distribuer au moins autant d'autres réserves; à défaut, le remboursement est imposable à hauteur de la moitié de la différence, au plus à hauteur des autres réserves disponibles (art. 5 al. 1ter LIA; exceptions à l'al. 1quater; même règle à l'art. 20 al. 3 et 4 LIFD).

Rachat. Une société qui acquiert ses propres actions pour réduire son capital, ou au-delà des limites de l'art. 659 CO, doit l'impôt anticipé sur la différence entre le prix et la valeur nominale libérée (art. 4a LIA). Pour l'investisseur privé, le dividende est un revenu imposable (art. 20 al. 1 let. c LIFD) et le gain en capital privé ne l'est pas (art. 16 al. 3 LIFD).

Pour le résident suisse qui déclare, les 35 % ne sont pas le coût fiscal du dividende: ils lui sont rendus, et son coût est l'impôt sur le revenu à son taux marginal.

Pièges classiques

Piège	Ce qu'il faut faire
Additionner des francs de dates différentes	ramener à la même date (ch. 1)
Flux nominaux au taux réel, ou l'inverse	nominal avec nominal, réel avec réel (ch. 1, 3)
Classer des projets exclusifs par TRI ou par IP	VAN, ou TRI différentiel (ch. 2)
Compter un coût irrécupérable, oublier un coût d'opportunité	principe différentiel, après impôt (ch. 3)
Retrancher les intérêts des flux d'un projet	le financement est dans le taux (ch. 3, 8)
Prendre le coupon ou le rendement promis pour le coût de la dette	rendement à l'échéance, défaut négligeable (ch. 4, 8)
Exiger une prime pour la volatilité totale	seul le bêta est rémunéré (ch. 6, 7)
Poids comptables dans le CMPC	poids de marché, structure cible (ch. 8)
Le CMPC de l'entreprise pour un projet d'un autre risque	comparable spécialisé (ch. 8)
«La dette est moins chère, donc plus de dette abaisse le CMPC»	$r_{E}$ monte; seul l'impôt fait baisser le CMPC (ch. 8, 9)
«Le rachat crée de la valeur parce qu'il augmente le BPA»	le PER ne change pas; seul le prix compte (ch. 10)
«Un dividende suisse est imposé à 35 %»	le résident qui déclare récupère l'impôt anticipé (ch. 10)

Le fil rouge: Helvetia Instruments SA sur une page

Refaites chaque ligne avant de regarder la réponse. Toutes les valeurs découlent des paramètres du cours; aucune n'est une donnée de marché. Montants en CHF M sauf mention contraire.

Les données

Donnée	Valeur
Actions en circulation	10 000 000
Cours de l'action $P_{0}$	CHF 50
Capitalisation $E$	500
Dette $D$ , coût $r_{D}$	200 à 3,5 %
Valeur $V = E + D$

Coût du capital et valeur de l'action

Grandeur	Calcul	Résultat
Bêta (ch. 6, 7)	$0, 72 \times 25/15$	$β_{E} = 1, 2$
MEDAF (ch. 7)	$1 % + 1, 2 \times 5 %$

Le contrôle des versements suppose que la dette croît de 3 % par an (de 200 à 206), comme la valeur: c'est l'hypothèse de dette rééquilibrée sous laquelle un CMPC constant est le bon taux.

Les deux hypothèses sur la dette

Grandeur	(a) Dette rééquilibrée (ch. 8)	(b) Dette perpétuelle fixe (ch. 9)
Bêta de la dette	$β_{D} = 0, 5$ (borne haute)	$β_{D} = 0, 5$
Bêta économique	$β_{A} = 1, 0$ exactement

Le CMPC est le même, 5,8 %, par les deux chemins; les bêtas économiques et les rentabilités de l'actif ne le sont pas. Avec une dette supposée sans risque, (8.7) donnerait $β_{A} = 0, 857$ et Hamada $0, 909$ (ch. 8).

Portefeuille Helvetia + indice (ch. 6)

Grandeur	Résultat
Covariance $0, 72 \times 25 \times 15$	270 %²
Poids de variance minimale sur Helvetia	$w^{*} = - 9/62 = - 14, 52 %$ (vente à découvert)
Volatilité minimale, espérance	14,78 %, 5,85 %
Seuil de corrélation $σ_{M} / σ_{E}$

Le projet témoin (ch. 2, 3, 8)

Flux $- 10, 8$ ; $3, 2$ des années 1 à 4; $4, 0$ l'année 5 (investissement 10,0, BFR 0,8 récupéré en 5, EBIT 1,5, impôt 0,3, amortissement 2,0). Décomposition: 20 000 instruments à CHF 400, coût variable CHF 150, charges fixes décaissées 1,5.

Critère au CMPC de 5,8 %	Résultat
VAN	3,3567 (valeur actuelle des flux futurs 14,1567)
TRI	16,2258 %
Indice de profitabilité	1,3108
Délai de récupération simple, actualisé	3,375 ans, 3,867 ans
TRI modifié	11,68 %
Décomposition de la VAN	$11, 8591 + 1, 6942 - 10 - 0, 1965$
Seuil en prix (volume fixé)	CHF 350,10, 12,47 % sous le prix de CHF 400
Seuil en volume (prix fixé)	15 991 instruments, 20,05 % sous 20 000
Points morts comptable et de trésorerie	14 000 et 4 000 instruments

Actualiser au CMPC suppose que le projet a le risque de l'entreprise et qu'il est financé comme elle (ch. 8).

L'obligation témoin (ch. 4)

Nominal CHF 1 000, coupon 1,5 %, 10 ans, rendement 1,0 %.

Grandeur	Résultat
Prix	CHF 1 047,3565 (cours 104,74; prime 47,36)
Rendement courant	1,43 %
Duration de Macaulay, modifiée	9,378 460 ans, 9,285 604
Convexité	98,93
Prix à 2,0 %	CHF 955,0871, baisse de 92,27
Prédiction par la duration seule	baisse de 97,25
Avec la convexité	baisse de 92,07

La distribution (ch. 10)

Grandeur	Résultat
Dividende total	$2, 00 \times 10$ M $=$ 20
Impôt anticipé retenu	CHF 0,70 par action, 7 au total; net versé CHF 1,30
Cours cum et ex dividende, un an plus tard	CHF 53,50 et CHF 51,50
Rachat de 20 au cours de CHF 53,50	373 832 actions; il en reste 9 626 168
BPA suivant avec dividende, avec rachat	CHF 2,575 et CHF 2,675; PER 20 dans les deux cas

Question B.1

On désendette le bêta d'Helvetia ( $β_{E} = 1, 2$ , $E = 500$ , $D = 200$ , $τ = 20 %$ ). Quelle réponse associe correctement une hypothèse et son bêta économique?

Question B.2

Sous l'hypothèse de dette perpétuelle fixe du chapitre 9, calculez la rentabilité exigée de l'actif d'Helvetia $r_{U}$ à partir de $E r_{E} + D r_{D} = V_{U} r_{U} + τ D r_{D}$ . Réponse en % avec deux décimales.

Question B.3

Helvetia garde son taux de rétention de 0,2 et son bénéfice attendu de CHF 2,50, mais ses nouveaux investissements ne rapportent plus que 10 % ( $r_{E} = 7 %$ inchangé). Quelle est la VAOC par action, en CHF avec deux décimales?