Critères de décision d'investissement

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• énoncer la règle de décision de la valeur actuelle nette, justifier qu'elle mesure la valeur créée pour les actionnaires, et démontrer qu'elle est additive alors que le taux de rendement interne ne l'est pas;
• calculer la VAN et le TRI du projet témoin d'Helvetia Instruments, le TRI par bissection, et lire l'un et l'autre sur un profil de VAN;
• reconnaître les trois situations où le TRI trompe — flux qui changent de signe plusieurs fois (TRI multiples ou absence de TRI) et classement de projets mutuellement exclusifs — et démontrer, à l'aide du taux de Fisher, pourquoi VAN et TRI peuvent classer deux projets en sens contraires;
• corriger ce défaut par le TRI différentiel, et situer le TRI modifié;
• calculer un délai de récupération simple et actualisé, et dire précisément ce qu'ils ignorent;
• utiliser l'indice de profitabilité et résoudre exactement un petit problème de rationnement du capital, en montrant pourquoi le classement par indice n'y suffit pas.

Décider d'investir: le problème et la règle

Un investissement est un échange de flux dans le temps

Helvetia Instruments envisage d'installer une nouvelle ligne de production. Aujourd'hui, elle débourse CHF 10,0 M pour les machines et immobilise CHF 0,8 M de besoin en fonds de roulement; pendant cinq ans, la ligne dégage des flux de trésorerie disponibles de CHF 3,2 M par an, et la cinquième année s'y ajoute la récupération du fonds de roulement, soit CHF 4,0 M au total. Le chapitre 3 montre comment ces flux se déduisent du compte de résultat prévisionnel; ici, nous les prenons comme donnés.

Nous suivons la convention du chapitre 1: la date $t=0$ est aujourd'hui, et le flux de l'année $t$ est versé en fin d'année $t$. Un flux négatif est une sortie de trésorerie pour l'entreprise, un flux positif une entrée. Le projet témoin s'écrit donc

La somme brute de ces flux vaut $-10,8+4\times 3,2+4,0=6,0$. Ce nombre ne dit presque rien: il additionne des francs de dates différentes, ce que le chapitre 1 nous a appris à ne jamais faire. Un franc reçu dans cinq ans ne vaut pas un franc d'aujourd'hui, parce que le franc d'aujourd'hui peut être placé. La question «le projet vaut-il son coût?» n'a de sens qu'une fois tous les flux ramenés à une même date.

Quel taux? Le coût d'opportunité du capital

Pour ramener les flux à aujourd'hui, il faut un taux. Lequel? Le bon taux n'est ni le taux auquel l'entreprise emprunte, ni celui qu'elle «espère», mais le coût d'opportunité du capital: la rentabilité que les apporteurs de capitaux pourraient obtenir ailleurs, sur le marché, en prenant le même risque. Si un actionnaire peut obtenir 7 % par an en achetant des actions d'un risque comparable, un projet qui lui rapporte moins lui fait perdre de l'argent, même si ce projet est «rentable» au sens comptable.

Pour Helvetia, ce taux est le coût moyen pondéré du capital (CMPC, en anglais WACC) de 5,8 % par an, que le chapitre 8 construit à partir du coût des fonds propres (7,0 %) et du coût de la dette après impôt. L'utiliser ici revient à poser une hypothèse: le projet témoin a le risque de l'entreprise dans son ensemble. C'est plausible pour une ligne qui fabrique les produits habituels de la société; ce serait faux pour une diversification dans un métier plus risqué. Le chapitre 8 revient sur cette hypothèse et sur l'erreur qui consiste à l'oublier.

La valeur actuelle nette

Dans la plupart des projets, $C_0$ est négatif — c'est l'investissement — et les flux suivants sont positifs. La VAN est alors la valeur actuelle des flux futurs moins le coût de l'investissement: ce que le projet vaut, moins ce qu'il coûte.

Pourquoi la VAN est la bonne règle

Il existe beaucoup de manières de juger un investissement, et la suite du chapitre en examine quatre autres. Pourquoi la VAN est-elle la référence? Pour trois raisons, dont la dernière est la plus importante.

Elle mesure une valeur, pas un rendement. Supposons qu'un investisseur puisse acheter sur le marché un portefeuille de titres qui produit exactement les flux $C_1,\dots ,C_n$ du projet, avec le même risque. Ce portefeuille coûte, par définition du coût d'opportunité, ${\sum }_{t\ge 1}{C}_t/(1+k{)}^t$ — ici CHF 14,16 M. Réaliser le projet, c'est obtenir ces mêmes flux pour CHF 10,8 M. L'écart, 3,36 M, est un gain comparable à celui d'un commerçant qui achète pour 10,8 ce qui se revend 14,16. La VAN est , moins ce qu'il coûte.

Elle est indépendante des goûts de l'actionnaire. Un actionnaire impatient, qui préférerait consommer tout de suite, n'est pas lésé par un projet qui ne rapporte que dans cinq ans: il peut emprunter sur le marché contre les flux futurs, ou vendre ses actions, dont le cours a monté de la VAN par action. Un actionnaire patient, lui, peut replacer les flux reçus. Tant que chacun peut prêter et emprunter au taux du marché pour le risque considéré, tous les actionnaires sont d'accord: ils veulent que l'entreprise maximise la VAN, puis ils ajustent eux-mêmes le calendrier de leur consommation. C'est le principe de séparation de Fisher, et c'est lui qui permet à un conseil d'administration de décider sans consulter chaque actionnaire.

Elle s'additionne. C'est le résultat le plus utile en pratique, et c'est la première obligation de démonstration de ce chapitre.

Démonstration. (i) Au taux $r$ fixé, la VAN est une combinaison linéaire des flux, de coefficients $(1+r{)}^{-t}$:

Si les deux projets n'ont pas la même durée, on complète le plus court par des flux nuls, ce qui ne change pas sa VAN. La propriété vaut pour une somme finie quelconque de projets, et pour un multiple: ${\mathrm{VAN}}_{\lambda A}=\lambda {\mathrm{VAN}}_A$.

(ii) Il suffit d'un contre-exemple. Prenons le projet témoin $A$ et le projet de rénovation $B$ que la section «Projets mutuellement exclusifs» présentera en détail (flux $-4,0$ puis $1,4$ pendant cinq ans). Leurs TRI, calculés par bissection comme à l'exemple 2.2, valent $16,2258\%$ et $22,1063\%$. Le projet combiné $A+B$ a pour flux $-14,8$, puis pendant quatre ans, puis ; son TRI vaut — pas la somme des deux TRI, évidemment. Considérons maintenant le projet , qui double tous les flux de : il a que , puisque s'annule aux mêmes taux. Si le TRI d'une combinaison était une fonction des TRI de ses composantes, on aurait donc . Or le calcul donne , différent de . Aucune fonction ne peut convenir.

La conséquence pratique est considérable. Parce que la VAN est additive, la valeur de l'entreprise est la somme des VAN de ses projets (plus la valeur de ses actifs en place), et on peut évaluer chaque projet séparément sans se demander ce que font les autres. Parce que le TRI ne l'est pas, un TRI de «portefeuille de projets» ne se déduit de rien: il faut le recalculer à chaque fois, et il ne dit toujours pas combien de valeur est créée. On verra plus bas que cette non-additivité est aussi la racine du conflit entre VAN et TRI sur des projets exclusifs.

La VAN, valeur créée pour les actionnaires

Si le marché connaît les flux du projet témoin, partage l'estimation de son risque et apprend que le conseil d'administration l'a adopté, la valeur des fonds propres d'Helvetia doit augmenter de la VAN: CHF 3,3567 M répartis sur 10 000 000 actions, soit CHF 0,34 par action. Le cours passerait de CHF 50 à CHF 50,34, une hausse de 0,67 % du cours. L'ordre de grandeur est instructif: un projet de 10,8 M dans une société de CHF 700 M de valeur d'entreprise ne déplace le cours que de quelques dixièmes de pour cent, et c'est bien ce qu'on attend.

Ce raisonnement idéalisé suppose un marché informé et d'accord avec l'entreprise sur les flux et le taux. En réalité, le marché a souvent déjà anticipé une partie des projets d'une société — le cours de CHF 50 contient une valeur des opportunités de croissance (VAOC) de CHF 14,29 par action, que le chapitre 5 calcule. L'annonce d'un projet ne fait alors bouger le cours que dans la mesure où elle surprend: si le projet était attendu, son adoption ne change rien au cours; s'il avait été abandonné, le cours aurait baissé. La VAN reste la valeur créée; ce qui varie, c'est le moment où le marché l'enregistre.

Le taux de rendement interne

Définition

La VAN dépend de deux choses: les flux, et le taux. On peut renverser la question: à quel taux la VAN du projet s'annule-t-elle? Ce taux ne dépend plus que des flux. C'est le taux de rendement «interne» au projet, par opposition au taux «externe» qu'exige le marché.

Le TRI est populaire, et on comprend pourquoi: c'est un pourcentage, il se compare immédiatement à un taux d'intérêt, et il ne demande pas de choisir un taux d'actualisation pour être calculé. Dire «le projet rapporte 16,2 % par an» parle davantage à un comité de direction que «la VAN est de 3,36 M». Mais cette commodité a un prix, que les sections suivantes chiffrent. Commençons par le cas où tout se passe bien.

Le profil de VAN

Le profil de VAN d'un projet est le graphe de la fonction $r\mapsto \mathrm{VAN}(r)$. Il réunit les deux critères sur une même image: la VAN au coût du capital se lit à l'abscisse $k$, le TRI est l'abscisse où le profil coupe l'axe horizontal. Pour le projet témoin, le profil part de la somme brute des flux, $\mathrm{VAN}(0)=6,0$, et décroît continûment. Il n'y a rien à dessiner à main levée: chaque point du profil de la figure 2.1 est un calcul de (2.1).

La forme décroissante n'est pas un accident de ce projet. Elle vaut pour tous les projets conventionnels — une sortie de fonds, puis des entrées — et c'est ce qui garantit l'existence et l'unicité du TRI.

Démonstration. (i) Pour $t\ge 1$, la fonction $r\mapsto (1+r{)}^{-t}$ est strictement décroissante sur $]-1;+\infty [$, de dérivée $-t(1+r{)}^{-t-1}<0$. Donc

car tous les termes sont positifs ou nuls et au moins un est strictement positif. Quand $r\to +\infty$, chaque $(1+r{)}^{-t}$ avec $t\ge 1$ tend vers 0, et il ne reste que $C_0$.

(ii) En $r=0$, $\mathrm{VAN}(0)={\sum }_t{C}_t>0$ par hypothèse; pour $r$ grand, la VAN est proche de $C_0<0$, donc négative. La VAN est continue: le théorème des valeurs intermédiaires fournit un zéro dans . Elle est strictement décroissante: ce zéro est unique sur tout .

(iii) Soit $r^{\ast }$ ce TRI. La VAN étant strictement décroissante et nulle en $r^{\ast }$, elle est strictement positive pour $r<r^{\ast }$ et strictement négative pour $r>r^{\ast }$.

Le projet témoin est conventionnel, de somme brute 6,0: il a un TRI unique. Le théorème ne dit pas comment le trouver. Pour un projet de deux dates, (2.3) se résout à la main: un projet qui coûte 8 aujourd'hui et rapporte 10 dans deux ans a pour TRI $\sqrt{10/8}-1=11,80\%$ par an. Au-delà, (2.3) est une équation polynomiale de degré $n$ en $x=1/(1+r)$, sans formule générale dès le degré 5. On la résout numériquement.

Calculer le TRI par bissection

La méthode la plus robuste est la bissection (ou dichotomie), qui n'exige que deux choses: savoir calculer la VAN en un point, et connaître un intervalle $[a;b]$ aux extrémités duquel la VAN change de signe. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit alors une racine dans l'intervalle. On évalue la VAN au milieu $m=(a+b)/2$; si elle a le signe de $\mathrm{VAN}(a)$, la racine est dans $[m;b]$, sinon dans $[a;m]$. Chaque étape divise par deux la largeur de l'intervalle, donc l'erreur maximale: après $j$ étapes partant d'un intervalle de largeur , le TRI est connu à près. C'est lent comparé à la méthode de Newton, mais c'est infaillible sur un projet conventionnel, et c'est la méthode que ce chapitre utilise pour tous ses TRI.

On lit souvent le TRI comme une «marge de sécurité» sur le taux: le projet témoin resterait acceptable même si le coût du capital était presque trois fois plus élevé que 5,8 %. C'est une lecture utile, à condition de ne pas confondre cette marge avec une mesure de risque: elle ne dit rien de la probabilité que les flux de 3,2 M ne se réalisent pas, et un projet peut avoir un TRI élevé et une VAN très sensible à une erreur sur ses flux.

L'explorateur: ce qui bouge et ce qui ne bouge pas

L'explorateur ci-dessous place un point mobile sur le profil de VAN du projet témoin. Déplacez le taux: la VAN, l'indice de profitabilité et le délai de récupération actualisé changent à chaque cran. Le TRI, lui, ne bouge pas. C'est la différence de nature entre les deux critères: le TRI est une propriété des flux seuls, la VAN une propriété des flux et du coût du capital. Observez aussi le moment où le verdict bascule: exactement au passage du TRI, et au même moment le délai de récupération actualisé cesse d'exister — pour une raison que la section sur le délai de récupération explique.

Quand le TRI trompe: les flux qui changent de signe

D'où viennent les flux non conventionnels

Le théorème 2.2 repose sur une hypothèse précise: un seul changement de signe. Beaucoup de projets réels ne la respectent pas. Une carrière, une mine, une installation nucléaire ou un site d'essais industriels exigent, en fin de vie, des dépenses de démantèlement et de remise en état souvent imposées par l'autorisation d'exploiter; un gros projet peut exiger un réinvestissement à mi-parcours; un contrat peut prévoir une avance du client à la signature, suivie de dépenses de fabrication. Dans tous ces cas, la suite des flux change de signe deux fois ou plus, et le profil de VAN n'a plus de raison d'être monotone.

Un résultat classique d'algèbre borne le nombre de racines possibles. Posons $x=1/(1+r)$: l'équation (2.3) devient le polynôme $C_0+C_{1}x+\cdots +C_n{x}^n=0$, et un taux correspond à une racine .

Nous admettons ce théorème, dont la démonstration relève d'un cours d'algèbre. Il dit deux choses. Un projet conventionnel ($s=1$) a au plus un TRI — ce que le théorème 2.2 avait établi directement. Et un projet à deux changements de signe peut en avoir deux, ou zéro.

Deux TRI

Considérons un projet distinct du projet témoin, inventé pour ce chapitre: Helvetia exploite pendant un an un site d'essais pour le compte d'un client. L'aménagement coûte CHF 10 M aujourd'hui, l'exploitation rapporte CHF 26 M en $t=1$, et le démantèlement du site, avec la remise en état exigée par l'autorisation, coûte CHF 16,5 M en $t=2$. Appelons-le projet M.

Les flux changent de signe deux fois. Multiplions l'équation (2.3) par $(1+r{)}^2$ et posons $y=1+r$:

Le discriminant vaut $26^2-4\times 10\times 16,5=676-660=16$, d'où $y=(26\pm 4)/20$, soit ou . Le projet M a , et ils sont exacts. Lequel est «le» rendement du projet? Aucun. Aucun des deux n'a de sens économique isolé: ce sont simplement les deux taux où un polynôme du second degré s'annule.

La règle du TRI devient alors inutilisable. Faut-il accepter M parce que le CMPC de 5,8 % est inférieur à 10 %? Ou le rejeter parce qu'il est inférieur à 50 %? La VAN, elle, tranche sans ambiguïté:

Le projet détruit de la valeur au coût du capital d'Helvetia, et il doit être rejeté. Le profil (figure 2.2) montre pourquoi: la VAN est négative pour les taux faibles, parce que la dépense de démantèlement pèse alors presque autant que la recette, positive entre 10 % et 50 %, où l'actualisation allège surtout la dépense la plus lointaine, puis de nouveau négative au-delà, où plus rien ne compense l'investissement initial. Elle atteint au plus 0,2424 CHF M, au taux de 26,92 %. Un taux d'actualisation élevé avantage un projet dont la dernière grande dépense est lointaine — un effet que la règle «TRI supérieur au taux» ne peut pas représenter.

Aucun TRI

Autre projet distinct, toujours propre à ce chapitre: un client verse à Helvetia une avance de CHF 1,0 M à la commande d'un instrument sur mesure; la fabrication coûte CHF 2,5 M l'année suivante; le solde de CHF 1,6 M est payé à la livraison, en $t=2$. Appelons-le projet N: flux $+1,0$; $-2,5$; $+1,6$. Avec $y=1+r$, l'équation du TRI s'écrit

de discriminant $2,5^2-4\times 1,6=6,25-6,4=-0,15<0$. Il n'y a pas de TRI du tout: la VAN ne s'annule pour aucun taux. Elle est même positive partout, puisqu'elle vaut 0,1 à $r=0$ et ne change jamais de signe; son minimum est CHF M, atteint à 28 %. Au CMPC, CHF M: le contrat est acceptable, quel que soit le taux. La règle du TRI, elle, n'a rien à dire. Un tableur qui renvoie un message d'erreur sur ce projet ne signale pas un projet mauvais; il signale une question mal posée.

Quand le TRI trompe: les projets mutuellement exclusifs

Deux projets pour une même halle

Deux projets sont mutuellement exclusifs quand la réalisation de l'un interdit celle de l'autre: deux machines pour le même emplacement, deux tracés pour la même route, deux technologies pour le même produit. On ne se demande plus seulement si chaque projet crée de la valeur, mais lequel en crée le plus.

Face à la nouvelle ligne (le projet témoin, que nous appelons ici A), les ingénieurs d'Helvetia proposent une solution plus modeste: rénover la ligne existante. C'est un projet distinct, propre à ce chapitre: il coûte CHF 4,0 M aujourd'hui et dégage CHF 1,4 M par an pendant cinq ans. Les deux projets occupent la même halle et servent le même marché: on fera l'un ou l'autre, pas les deux. Nous supposons que la rénovation a le même risque que la nouvelle ligne, et qu'elle s'actualise donc elle aussi au CMPC de 5,8 %.

Les deux projets sont conventionnels. La VAN de B est celle d'une annuité: $1,4\times \frac{1-1,058^{-5}}{0,058}-4,0=1,4\times 4,235382-4,0=1,9295$ CHF M. Son TRI, par bissection, vaut .

Les deux critères se contredisent. Le TRI préfère la rénovation, qui «rapporte» 22,1 % par an contre 16,2 %; la VAN préfère la nouvelle ligne, qui crée 3,36 M contre 1,93 M. Qui a raison? La VAN, sans hésitation: l'actionnaire ne consomme pas des pourcentages, il consomme de la valeur. Choisir B, c'est renoncer à CHF 1,43 M de valeur ($3,3567-1,9295=1,4272$) pour avoir le plaisir d'afficher un meilleur rendement sur une mise plus petite. Le TRI d'un projet ne dit rien de la taille de ce projet: 22 % sur 4 M, c'est moins de valeur que 16 % sur 10,8 M, au coût du capital de 5,8 %.

Le taux de Fisher

La figure 2.3 superpose les deux profils. Le profil de A part plus haut — sa somme brute vaut 6,0 contre 3,0 pour B — mais il descend plus vite, et il coupe l'axe plus tôt. Les deux profils se croisent donc: c'est le taux de Fisher (ou taux d'indifférence), et c'est lui qui explique le conflit.

Démonstration. (i) Posons $D(r)={\mathrm{VAN}}_A(r)-{\mathrm{VAN}}_B(r)$. Par l'additivité de la VAN (théorème 2.1, avec le multiple $-1$), $D(r)={\mathrm{VAN}}_{A-B}(r)$: la différence des profils est le profil du , celui dont les flux sont . La fonction est continue. En , par hypothèse. En , ; et comme et que la VAN de est strictement positive avant son TRI (théorème 2.2 (iii)), . Donc . Le théorème des valeurs intermédiaires fournit tel que , c'est-à-dire , et annule la VAN du projet différentiel: c'est un TRI de .

(ii) Si $A-B$ est conventionnel, le théorème 2.2 s'applique à lui: $D$ est strictement décroissante, $r_F$ est son unique zéro, $D(k)>0$ pour $k<r_F$ et pour . Pour , : la VAN classe devant, tandis que le TRI, qui ne dépend pas de , classe toujours devant puisque . Pour , , et les deux critères sont d'accord.

La démonstration dit pourquoi le conflit existe. Le TRI d'un projet est l'abscisse où son propre profil coupe l'axe; le classement par TRI compare donc deux points qui ne sont pas au même taux. La VAN compare les deux projets au même taux, celui du marché. Tant que ce taux est inférieur au taux de Fisher, le projet dont les flux sont plus gros ou plus lointains — celui dont le profil part plus haut et descend plus vite — l'emporte en valeur. Deux sources typiques produisent ce croisement:

• une différence d'échelle: B est une petite mise très rentable, A une grosse mise moins rentable en pourcentage — c'est notre cas;
• une différence de calendrier: à mise égale, un projet dont les flux arrivent tard a un profil plus pentu, parce que l'actualisation pèse davantage sur les flux lointains. Le problème guidé de ce chapitre en donne un exemple.

La correction: le TRI différentiel

Si l'on tient à raisonner en taux, on peut réparer la règle du TRI pour les projets exclusifs. Le raisonnement est celui de l'exemple 2.3: au lieu de comparer les TRI de A et de B, on se demande si l'investissement supplémentaire qui permet de passer du petit projet au grand est lui-même rentable.

Pour la nouvelle ligne et la rénovation, le TRI différentiel est le taux de Fisher, 12,80 %. Il dépasse le CMPC de 5,8 %: les 6,8 M supplémentaires qu'exige la nouvelle ligne rapportent davantage que ce qu'exige le marché, il faut donc choisir A. La règle corrigée retrouve la décision de la VAN — ce n'est pas une coïncidence, c'est le théorème 2.4 (ii) appliqué au projet différentiel. Elle a deux limites: elle hérite de tous les défauts du TRI si les flux différentiels changent plusieurs fois de signe, et, avec plus de deux projets, elle oblige à comparer les projets deux à deux dans l'ordre des mises. Autant calculer directement les VAN.

Le délai de récupération

Le délai simple

Le critère le plus ancien, et encore très utilisé dans les PME, pose une question de trésorerie plutôt que de valeur: en combien de temps récupère-t-on la mise?

Pour le projet témoin, le cumul vaut $-7,6$ après un an, $-4,4$ après deux ans, $-1,2$ après trois ans et $+2,0$ après quatre. La mise est récupérée au cours de la quatrième année, après $1,2/3,2=0,375$ de cette année: le délai est de 3,375 ans. Celui de la rénovation vaut $4,0/1,4=20/7=2,857$ ans.

L'hypothèse d'un flux «réparti uniformément» dans l'année contredit la convention de fin d'année adoptée partout ailleurs: strictement, avec des flux en fin d'année, la mise du projet témoin est récupérée à la date 4. L'interpolation (2.4) est une convention de présentation, répandue, et il faut la signaler quand on s'en sert.

Ce que le délai simple ignore

Le délai de récupération a trois défauts, chacun rédhibitoire comme critère de valeur:

1. Il ignore la valeur temps de l'argent à l'intérieur du délai: un franc de l'année 3 y compte autant qu'un franc d'aujourd'hui.
2. Il ignore tout ce qui se passe après le délai. Un projet qui récupère sa mise en trois ans puis s'arrête et un projet qui la récupère en trois ans puis rapporte pendant vingt ans ont le même délai. Le critère pénalise donc systématiquement les projets longs — recherche, infrastructures, formation — dont la valeur est dans la durée.
3. Le seuil est arbitraire. Pourquoi trois ans plutôt que quatre? Aucun raisonnement de marché ne le fixe; c'est une convention interne, et elle ne dépend pas du risque du projet.

Sur nos deux projets exclusifs, le délai préfère la rénovation (2,86 ans contre 3,38), comme le TRI, et pour une raison voisine: elle est plus petite. Un seuil de trois ans rejetterait même la nouvelle ligne, qui crée pourtant la plus grande valeur.

Le délai actualisé

Le délai actualisé corrige le premier défaut, et pas les deux autres. Pour le projet témoin, on lit le cumul actualisé dans la dernière colonne du tableau de l'exemple 2.1: $-2,2146$ après trois ans, $+0,3393$ après quatre. Le délai actualisé vaut donc

Il est plus long que le délai simple de 3,375 ans, ce qui est toujours le cas pour un projet conventionnel à coût du capital positif: chaque flux compte moins une fois actualisé. Le délai actualisé a une propriété qui le rapproche de la VAN: puisque le cumul actualisé final est la VAN elle-même, un projet conventionnel récupère sa mise actualisée avant son terme si et seulement si sa VAN est positive. C'est ce que montre l'explorateur: au-delà du TRI, le délai actualisé n'existe plus. Mais comme critère de choix entre projets, il continue d'ignorer ce qui se passe après le délai.

Pourquoi un critère aussi imparfait survit-il? Parce qu'il répond à une autre question que la valeur: celle de la liquidité et de l'exposition. Une PME dont la trésorerie est tendue, ou une entreprise qui investit dans un pays où le risque d'expropriation est élevé, veut savoir combien de temps son argent reste exposé. Le délai est alors une information complémentaire légitime — à condition de ne pas le prendre pour une mesure de la valeur créée.

L'indice de profitabilité et le rationnement du capital

L'indice de profitabilité

Pour le projet témoin, $\mathrm{IP}=14,1567/10,8=1,3108$: chaque franc investi aujourd'hui rapporte des flux qui valent CHF 1,31 aujourd'hui. L'égalité (2.5) montre immédiatement que, pour un projet isolé, $\mathrm{IP}>1⟺\mathrm{VAN}>0$: l'indice n'apporte aucune information de décision nouvelle, il ne fait que rapporter la VAN à la mise. Pour des projets exclusifs, il hérite en revanche du défaut du TRI, puisqu'il est lui aussi un rapport qui efface l'échelle: la rénovation (1,4824) passe devant la nouvelle ligne (1,3108).

L'indice a pourtant une utilité propre, et c'est la seule situation où il est l'outil naturel: quand ce n'est plus le coût du capital qui limite l'investissement, mais le montant disponible.

Le rationnement du capital

Dans le monde de la règle de la VAN, une entreprise peut financer tous ses projets de VAN positive: le marché lui prêtera, ou ses actionnaires souscriront une augmentation de capital. En pratique, beaucoup d'entreprises fixent un budget d'investissement pour l'année — par prudence, parce que la direction ne veut pas émettre d'actions, ou parce que l'équipe d'ingénieurs ne peut pas conduire plus de projets à la fois. On parle de rationnement du capital. La question devient: parmi des projets indépendants, tous de VAN positive, quel sous-ensemble choisir pour que la VAN totale soit maximale sans dépasser le budget?

Grâce à l'additivité (théorème 2.1), la VAN d'un ensemble de projets est la somme de leurs VAN. Le problème s'écrit donc, avec $x_j=1$ si l'on retient le projet $j$ et $x_j=0$ sinon:

C'est un problème du sac à dos. Une idée naturelle consiste à classer les projets par indice de profitabilité décroissant et à les prendre dans cet ordre tant que le budget le permet: on retient d'abord ceux qui rapportent le plus par franc investi. Cette heuristique est optimale si les projets sont divisibles — si l'on peut en réaliser une fraction. Elle ne l'est plus quand ils ne le sont pas, parce qu'elle peut laisser inutilisée une partie du budget qu'un meilleur assortiment aurait employée.

Pour quelques projets, l'énumération suffit; au-delà d'une vingtaine, le nombre de sous-ensembles ($2^{20}$ dépasse le million) impose la programmation linéaire en nombres entiers ou la programmation dynamique, qui traitent aussi des budgets sur plusieurs années et des contraintes entre projets (exclusivité, dépendance). L'essentiel est ailleurs: le critère reste la VAN totale. L'indice de profitabilité n'est qu'une heuristique pour l'approcher, et il ne tient pas compte de la place qu'un projet laisse — ou ne laisse pas — aux autres.

Il faut enfin garder un regard critique sur le rationnement lui-même. Si Helvetia renonce à des projets de VAN positive faute de budget alors qu'elle pourrait se financer au coût du capital, le rationnement détruit de la valeur: 3,36 M dans le cas de la nouvelle ligne, si elle était écartée. Un rationnement «dur», imposé par le marché, est rare pour une société cotée en bonne santé; un rationnement «souple», fixé par la direction, est une décision de gouvernance qui a un coût et qu'il faut justifier.

Le TRI modifié

Les défauts du TRI tiennent en partie à une hypothèse implicite: raisonner avec un TRI de 16,23 % revient à supposer que chaque flux intermédiaire peut être réinvesti à ce même taux jusqu'au terme du projet. Le TRI modifié remplace ce taux par le coût du capital, et règle au passage le problème des racines multiples.

Pour le projet témoin, la seule sortie de fonds est la mise de 10,8. Les quatre flux de 3,2 et le flux de 4,0, capitalisés à 5,8 % jusqu'à la date 5, valent $18,7668$. D'où $(1+r_m{)}^5=18,7668/10,8$ et $r_m=11,68\%$ par an, bien en dessous du TRI de 16,23 %: l'écart mesure ce que coûtait l'hypothèse de réinvestissement au TRI. Pour le projet M à deux TRI, les sorties actualisées valent et la rentrée capitalisée , d'où un TRI modifié unique de , inférieur au CMPC de 5,8 %: rejet, comme le disait la VAN.

Le TRI modifié a deux mérites: il est unique, et pour un projet isolé il donne la même décision que la VAN (exercice 2.5). Il n'a pas le troisième: c'est encore un taux, et il ignore l'échelle. La rénovation a un TRI modifié de 14,47 % contre 11,68 % pour la nouvelle ligne; il classe donc les deux projets exclusifs dans le mauvais ordre, exactement comme le TRI. Le TRI modifié est un meilleur résumé en pourcentage; il ne remplace pas la VAN.

Synthèse

• La VAN actualise tous les flux au coût d'opportunité du capital — pour un projet au risque de l'entreprise, le CMPC d'Helvetia de 5,8 % — et mesure la valeur créée pour les actionnaires. Pour le projet témoin, $\mathrm{VAN}=3,3567$ CHF M, soit CHF 0,34 par action. Elle est additive (théorème 2.1), ce qui permet d'évaluer chaque projet séparément et de raisonner sur des différences de projets.
• Le TRI annule la VAN; il ne dépend que des flux. Pour un projet conventionnel, il est unique et donne la même décision que la VAN (théorème 2.2). Le projet témoin a un TRI de 16,2258 %, calculé par bissection et lu sur son profil de VAN.
• Le TRI trompe quand les flux changent de signe plusieurs fois: le projet M ($-10$; $+26$; $-16,5$) a deux TRI, 10 % et 50 %, et une VAN négative au CMPC; le projet N ($+1$; $-2,5$; ) n'en a et une VAN positive à tout taux. La règle des signes de Descartes borne le nombre de TRI par le nombre de changements de signe.

Exercices

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Références

• Berk, J. et DeMarzo, P., Finance d'entreprise, Pearson — les chapitres sur les règles de décision d'investissement: VAN, TRI, délai de récupération, projets exclusifs et rationnement du capital.
• Brealey, R., Myers, S. et Allen, F., Principes de gestion financière, Pearson — le chapitre sur la VAN et ses concurrents, avec la discussion des TRI multiples et du TRI différentiel.
• Vernimmen, P., Finance d'entreprise, Dalloz — la présentation francophone de référence de la VAN, du TRI et du taux d'indifférence.
• Ross, S., Westerfield, R. et Jaffe, J., Corporate Finance, McGraw-Hill — les problèmes d'échelle et de calendrier des projets exclusifs, et l'indice de profitabilité en rationnement du capital.
• Damodaran, A., Corporate Finance: Theory and Practice, Wiley — pour le TRI modifié et la pratique des critères de décision en entreprise.