MEDAF et coût des fonds propres · Finance d'entreprise

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

construire la droite de marché des capitaux en ajoutant un actif sans risque à la frontière des actifs risqués, identifier le portefeuille tangent et énoncer le théorème de séparation;
expliquer pourquoi, à l'équilibre, le portefeuille tangent est le portefeuille de marché, et en déduire que seul le risque systématique est rémunéré;
définir le bêta comme la contribution d'un titre au risque du marché et démontrer que $β_{i} = Cov (r_{i}, r_{M}) / σ_{M}^{2} = ρ_{i M} σ_{i} / σ_{M}$ ;

Le chapitre 6 a laissé une question ouverte. Il a montré qu'en combinant des actifs risqués on obtient une frontière de portefeuilles, et que la diversification élimine une partie du risque — la partie spécifique — mais jamais la partie systématique. Il n'a pas dit quel portefeuille de la frontière un investisseur devrait choisir, ni quelle rentabilité le marché exige d'un titre donné. Ce chapitre répond aux deux questions, et la réponse à la seconde est le nombre dont tout le reste du cours a besoin: le coût des fonds propres $r_{E}$ d'Helvetia Instruments, qui entre dans le prix de Gordon–Shapiro (chapitre 5) et dans le CMPC (chapitre 8).

Les paramètres de marché utilisés ici sont ceux du cours: taux sans risque $r_{f} = 1 %$ par an, rentabilité espérée du marché $E [r_{M}] = 6 %$ par an, donc prime de risque du marché de 5 points de pourcentage, volatilité du marché $σ_{M} = 15 %$ par an. Ce sont des , choisis pour être plausibles sur un marché en francs suisses et pour que les chapitres s'accordent entre eux; . Helvetia Instruments SA est une société : bêta , volatilité de l'action par an, corrélation avec le marché , cours CHF 50.

L'actif sans risque change la frontière

Un actif sans risque

Jusqu'ici, tous les actifs étaient risqués. Ajoutons-en un qui ne l'est pas.

L'hypothèse d'emprunt au taux sans risque est forte — un particulier emprunte toujours plus cher que la Confédération — et nous y reviendrons. Pour l'instant, suivons ses conséquences: elles sont spectaculaires.

Combiner l'actif sans risque et un portefeuille risqué

Prenez un portefeuille risqué quelconque $T$ , de rentabilité espérée $E [r_{T}]$ et de volatilité $σ_{T}$ . Placez une fraction $w$ de votre richesse dans $T$ et le reste, $1 - w$ , dans l'actif sans risque. Si , la part est négative: vous empruntez au taux pour investir plus que votre richesse dans .

Démonstration. La rentabilité du portefeuille est $r_{p} = (1 - w) r_{f} + w r_{T}$ . Par linéarité de l'espérance, . Pour la variance, on applique la formule du portefeuille de deux actifs du chapitre 6 avec un actif de variance nulle et de covariance nulle:

σ_{p}^{2} = (1 - w)^{2} \cdot 0 + w^{2} σ_{T}^{2} + 2 w (1 - w) \cdot 0 = w^{2} σ_{T}^{2},

d'où $σ_{p} = ∣ w ∣ σ_{T} = w σ_{T}$ pour $w \geq 0$ . On tire de la seconde relation et on le reporte dans la première: , qui est (7.2).

Le résultat tient en une phrase: mélanger un actif risqué avec l'actif sans risque ne courbe rien. Sur la frontière de deux actifs risqués du chapitre 6, la corrélation imparfaite courbait la frontière vers la gauche; ici, la corrélation est nulle mais l'un des deux actifs a une volatilité nulle, et le mélange reste sur une droite. La volatilité est simplement proportionnelle à la part investie dans l'actif risqué.

Le portefeuille tangent et la droite de marché des capitaux

Chaque portefeuille risqué $T$ engendre sa propre demi-droite, et toutes partent du même point $(0, r_{f})$ . Laquelle choisir? Celle qui offre, pour chaque niveau de volatilité, la rentabilité espérée la plus élevée — c'est-à-dire celle de pente maximale. On fait tourner la demi-droite autour de $(0, r_{f})$ vers le haut aussi loin que possible tout en touchant encore l'ensemble des portefeuilles risqués réalisables: elle s'arrête lorsqu'elle devient tangente à la frontière.

Tout portefeuille situé sous la DMC est dominé: il existe sur la droite un portefeuille de même volatilité et de rentabilité espérée plus élevée, et un portefeuille de même rentabilité espérée et de volatilité plus faible. La DMC devient la nouvelle frontière efficiente. La frontière courbe des actifs risqués n'est plus efficiente qu'en un seul point, le portefeuille tangent lui-même.

La figure 7.1 le montre sur la paire témoin du chapitre 6, Helvetia et l'indice de marché. Elle contient une surprise que nous exploiterons plus loin: la droite issue de $r_{f} = 1 %$ touche la frontière de cette paire exactement au point qui ne contient aucune action Helvetia, c'est-à-dire à l'indice lui-même.

Deux segments se distinguent sur la droite. Entre $r_{f}$ et $M$ , l'investisseur place une partie de sa richesse dans l'actif sans risque: il prête à la Confédération. Au-delà de $M$ , il investit plus que sa richesse dans le portefeuille risqué: il emprunte au taux $r_{f}$ . Les deux segments font partie de la même droite si et seulement si l'on emprunte au taux auquel on prête — l'hypothèse posée plus haut.

Question 7.1

Deux investisseurs acceptent tous deux les hypothèses de ce chapitre (mêmes anticipations, prêt et emprunt au taux sans risque). La première est très prudente, le second très tolérant au risque. Qu'est-ce qui distingue leurs placements?

Le théorème de séparation

La conséquence la plus frappante de la droite de marché des capitaux est que la décision de placement se sépare en deux décisions indépendantes.

Démonstration. Pour un investisseur qui préfère une rentabilité espérée plus élevée à volatilité donnée, tout portefeuille strictement sous la DMC est dominé par le point de la DMC de même volatilité, qui s'obtient avec $T$ et l'actif sans risque (théorème 7.1). Son choix optimal est donc un point de la DMC, donc une combinaison de $r_{f}$ et de $T$ . Comme $T$ est défini par les seules anticipations communes — c'est le portefeuille de ratio de Sharpe maximal — il est le même pour tous. L'aversion pour le risque ne détermine que la position le long de la droite, donc $w$ . $□$

James Tobin a publié ce résultat en 1958, dans le prolongement de la théorie du portefeuille de Harry Markowitz (1952). Il dit quelque chose de très pratique: un conseiller n'a pas à construire un portefeuille d'actions différent pour chaque client. Il construit un portefeuille risqué et règle ensuite le curseur de risque avec la part investie dans les obligations sûres. C'est exactement ce que font les fonds «profil prudent», «équilibré» et «dynamique» construits sur le même fonds d'actions: ils diffèrent par la part d'actions, pas par le choix des actions.

Question 7.2

Avec les paramètres du cours ( $r_{f} = 1 %$ , $E [r_{M}] = 6 %$ , $σ_{M} = 15 %$ ), quelle est la rentabilité espérée d'un portefeuille efficient dont la volatilité est de 12 % par an? Répondez en % avec une décimale.

Du portefeuille tangent au portefeuille de marché

L'argument d'équilibre

Le théorème de séparation décrit ce que fait un investisseur. Passons à tous les investisseurs. Si chacun détient des actifs risqués dans les proportions du portefeuille tangent $T$ , alors la somme de leurs détentions — la demande totale de chaque action — est elle aussi proportionnelle à $T$ . Or, à l'équilibre, la demande totale de chaque action doit égaler l'offre, c'est-à-dire toutes les actions en circulation. Les proportions de l'offre totale sont celles des capitalisations boursières. Donc les proportions de $T$ sont les capitalisations boursières relatives.

Démonstration. Soit $W_{k}$ la richesse de l'investisseur $k$ et $w_{k}$ la part qu'il investit dans $T$ . Il détient $w_{k} W_{k} w_{T, i}$ francs de l'actif , où est le poids de dans . La demande totale de l'actif est donc . À l'équilibre, elle égale la capitalisation de l'actif . Le facteur est le même pour tous les actifs; en divisant la capitalisation de par la capitalisation totale, il se simplifie: . Les poids de sont les poids de capitalisation: . L'actif sans risque, lui, est en dans ce raisonnement: ce que les prudents prêtent, les audacieux l'empruntent.

L'argument est aussi un mécanisme. Supposez qu'une action ait un poids dans $T$ supérieur à son poids de capitalisation: tous les investisseurs veulent en détenir plus qu'il n'en existe. Leur demande fait monter son prix, ce qui abaisse sa rentabilité espérée (le même dividende futur, payé plus cher), et donc son poids dans le portefeuille tangent, jusqu'à ce que les deux poids coïncident. À l'inverse, une action que personne ne veut détenir à son prix actuel voit son prix baisser jusqu'à ce qu'elle redevienne désirable. Les prix s'ajustent jusqu'à ce que le marché soit le portefeuille tangent.

Le bêta: ce qu'un titre ajoute au risque du marché

Le risque d'un titre dans un portefeuille

Puisque, à l'équilibre, chacun détient le portefeuille de marché (combiné à l'actif sans risque), la question pertinente n'est plus «quel est le risque de l'action Helvetia prise isolément?», mais «de combien l'action Helvetia augmente-t-elle le risque du portefeuille de marché que je détiens?». Le chapitre 6 a donné la réponse qualitative: la partie spécifique du risque d'un titre disparaît dans un portefeuille bien diversifié; seule reste sa co-variation avec le reste du portefeuille. Rendons-la quantitative.

La variance du portefeuille de marché est la covariance de sa rentabilité avec elle-même. En écrivant $r_{M} = \sum_{i} w_{i} r_{i}$ et en utilisant la bilinéarité de la covariance:

σ_{M}^{2} = Cov (r_{M}, r_{M}) = Cov (i \sum w_{i} r_{i}, r_{M}) = i \sum w_{i} Cov (r_{i}, r_{M}) . (7.4)

La variance du marché se décompose exactement en une somme de contributions, une par titre, et la contribution du titre $i$ est son poids multiplié par sa covariance avec le marché — pas par sa variance. Un titre très volatil mais peu corrélé au marché contribue peu; un titre modérément volatil mais fortement corrélé contribue beaucoup. Divisons (7.4) par $σ_{M}^{2}$ :

1 = i \sum w_{i} \frac{Cov ( r _{i} , r _{M} )}{σ _{M}^{2}} = i \sum w_{i} β_{i} .

Démonstration. Par définition du coefficient de corrélation (chapitre 6 et annexe A), $ρ_{i M} = Cov (r_{i}, r_{M}) / (σ_{i} σ_{M})$ , donc . En reportant dans (7.5):

β_{i} = \frac{ρ _{i M} σ _{i} σ _{M}}{σ _{M}^{2}} = ρ_{i M} \frac{σ _{i}}{σ _{M}} .

Pour le portefeuille, $r_{p} = \sum_{i} x_{i} r_{i}$ et la covariance est linéaire en son premier argument: $Cov (r_{p}, r_{M}) = \sum_{i} x_{i} Cov (r_{i}, r_{M})$ . On divise par : .

La forme (7.6) sépare les deux ingrédients du bêta: la volatilité relative $σ_{i} / σ_{M}$ du titre et la corrélation $ρ_{i M}$ , qui dit quelle part de cette volatilité bouge avec le marché. Une action peut être deux fois plus volatile que le marché et avoir un bêta inférieur à 1, si sa corrélation avec le marché est inférieure à 0,5.

Risque systématique et risque spécifique, chiffrés

Le bêta permet de couper la variance d'un titre en deux morceaux additifs. Le chapitre 6 a introduit cette décomposition comme un simple outil, sous le nom de modèle de marché; nous savons maintenant pourquoi c'est la bonne. Écrivons la rentabilité du titre comme la somme d'une partie expliquée par le marché et d'un résidu:

r_{i} = α_{i} + β_{i} r_{M} + ε_{i}, Cov (ε_{i}, r_{M}) = 0.

Avec $β_{i}$ défini par (7.5), le résidu est bien non corrélé au marché: $Cov (ε_{i}, r_{M}) = Cov (r_{i}, r_{M}) - β_{i} σ_{M}^{2} = 0$ . La variance d'une somme de deux termes non corrélés est la somme des variances:

σ_{i}^{2} = syst \overset{e}{ˊ} matique β_{i}^{2} σ_{M}^{2} + sp \overset{e}{ˊ} cifique σ_{ε_{i}}^{2} . (7.7)

La part systématique dans la variance totale vaut $β_{i}^{2} σ_{M}^{2} / σ_{i}^{2} = ρ_{i M}^{2}$ : c'est le carré de la corrélation, le de la régression que nous ferons plus loin.

Question 7.3

Une action a une volatilité de 20 % par an et une corrélation de 0,6 avec le marché ( $σ_{M} = 15 %$ par an). Quel est son bêta? Répondez avec deux décimales.

Le MEDAF et la droite de marché des titres

Le théorème

Nous avons maintenant tout ce qu'il faut. Le portefeuille tangent est le portefeuille de ratio de Sharpe maximal; à l'équilibre, c'est le marché. La condition de tangence dit quelque chose de très précis sur chaque titre: aucun ne doit permettre d'améliorer le ratio de Sharpe du marché en le surpondérant ou en le sous-pondérant. Cette condition, écrite titre par titre, est le MEDAF.

Démonstration. Considérons $n$ actifs risqués de rentabilités espérées $μ = (μ_{1}, \dots, μ_{n})^{⊤}$ et de matrice de covariance $Σ$ (symétrique, supposée inversible: aucun actif risqué n'est une combinaison exacte des autres), et notons $1$ le vecteur de uns.

Étape 1: les portefeuilles efficients. Un investisseur place les montants relatifs $x = (x_{1}, \dots, x_{n})^{⊤}$ dans les actifs risqués et le reste, $1 - 1^{⊤} x$ , dans l'actif sans risque. Sa prime de risque espérée est et sa variance . Pour une prime visée , il cherche la variance minimale:

x min \frac{1}{2} x^{⊤} Σ x sous la contrainte x^{⊤} (μ - r_{f} 1) = m .

Le lagrangien $\frac{1}{2} x^{⊤} Σ x - γ (x^{⊤} (μ - r_{f} 1) - m)$ a pour gradient en : . La condition du premier ordre est donc

Σ x = γ (μ - r_{f} 1), x = γ Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1) .

Comme $Σ$ est définie positive, le problème est convexe et cette condition caractérise le minimum. La direction $Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1)$ ne dépend pas de $m$ : seul le facteur $γ$ en dépend. Tous les portefeuilles efficients détiennent donc les actifs risqués dans les mêmes proportions, celles du vecteur $w_{T} = Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1) / 1^{⊤} Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1)$ : c'est le portefeuille tangent, et c'est une seconde démonstration du théorème de séparation.

Étape 2: la condition titre par titre. Puisque $w_{T}$ est proportionnel à $Σ^{- 1} (μ - r_{f} 1)$ , il existe une constante $κ > 0$ telle que . La -ème composante de est . Donc, pour chaque actif ,

Cov (r_{i}, r_{T}) = κ (μ_{i} - r_{f}) .

Étape 3: identifier $κ$ . Multiplions par $w_{T, i}$ et sommons sur $i$ . À gauche, $\sum_{i} w_{T, i} Cov (r_{i}, r_{T}) = Cov (r_{T}, r_{T}) = σ_{T}^{2}$ , par le même calcul que (7.4). À droite, puisque les poids somment à 1. Donc et

μ_{i} - r_{f} = \frac{Cov ( r _{i} , r _{T} )}{σ _{T}^{2}} (μ_{T} - r_{f}) .

Étape 4: l'équilibre. Par le théorème 7.3, $T = M$ . En remplaçant, $μ_{i} - r_{f} = β_{i} (E [r_{M}] - r_{f})$ avec , ce qui est (7.8).

Relisez l'étape 2 avec l'exemple 7.2 en tête. Pour la paire Helvetia–indice, la condition $Cov (r_{H}, r_{M}) = κ (μ_{H} - r_{f})$ avec s'écrit . Elle est vérifiée: c'est pourquoi le poids d'Helvetia dans le portefeuille tangent de la paire était nul. Si valait 8 %, le membre de droite vaudrait , et le portefeuille tangent quitterait l'indice. L'exercice 7.5 vous propose une seconde démonstration, géométrique, du même résultat.

Le MEDAF a été établi indépendamment par William Sharpe (1964), John Lintner (1965) et Jan Mossin (1966), et Jack Treynor en avait rédigé une version non publiée dès le début des années 1960. Sharpe a reçu en 1990 le prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel, avec Markowitz et Merton Miller.

La droite de marché des titres

Ne confondez pas les deux droites de ce chapitre. La DMC vit dans le plan $(σ, E [r])$ et ne contient que des portefeuilles efficients; un titre isolé comme Helvetia est en dessous, parce qu'il porte du risque spécifique. La DMT vit dans le plan $(β, E [r])$ et contient, à l'équilibre, tous les actifs, efficients ou non: elle ne regarde que le risque systématique.

Helvetia sur la droite

Appliquons le MEDAF à la société du cours. Avec $r_{f} = 1 %$ , une prime de risque du marché de 5 points et $β_{E} = 1, 2$ :

r_{E} = 1 % + 1, 2 \times 5 % = 1 % + 6 % = 7 % par an.

La prime de risque exigée d'Helvetia, 6 points, est 1,2 fois celle du marché.

Le chapitre 5 a évalué l'action par Gordon–Shapiro, avec un dividende attendu $D_{1} = CHF 2, 00$ et une croissance à long terme $g = 3 %$ :

P_{0} = \frac{D _{1}}{r _{E} - g} = \frac{2}{0 , 07 - 0 , 03} = \frac{2}{0 , 04} = CHF 50.

C'est exactement le cours de bourse d'Helvetia. Autrement dit, les deux chapitres disent la même chose de deux côtés: la rentabilité que le MEDAF exige d'Helvetia est celle que son cours offre à un acheteur qui anticipe les dividendes du chapitre 5. Helvetia est sur la DMT, son alpha est nul, et c'est ce qui la rendait neutre dans le portefeuille tangent de l'exemple 7.2.

Ce taux de 7 % est le coût des fonds propres d'Helvetia. Il n'est pas un coût comptable — aucune charge de 7 % n'apparaît au compte de résultat — mais un coût d'opportunité: la rentabilité que les actionnaires obtiendraient en portant le même risque systématique ailleurs, par exemple avec 1,2 fois l'indice financé par un emprunt. Le chapitre 8 le combinera au coût de la dette pour obtenir le CMPC de 5,8 %.

L'alpha: au-dessus ou en dessous de la droite

Un titre au-dessus de la DMT ( $α > 0$ ) offre plus que ce que son risque systématique exige: au prix actuel, il est sous-évalué. Un titre en dessous ( $α < 0$ ) offre moins: il est surévalué. Dans la figure 7.2, A est sous-évalué d'un point et B surévalué d'un point.

Deux choses méritent d'être dites clairement. D'abord, à l'équilibre du MEDAF, tous les alphas sont nuls. Un alpha non nul est soit un déséquilibre temporaire — que les achats ou les ventes des investisseurs vont corriger, comme dans l'exemple 7.2 — soit le signe que la prévision de l'analyste est fausse, soit le signe que le modèle est incomplet. Le MEDAF ne dit pas lequel. Ensuite, l'alpha dépend de la rentabilité espérée qu'on attribue au titre, qui est une prévision. L'exemple 7.2 a montré le chemin qui mène d'un prix à cette prévision: à un cours de CHF 40, Gordon–Shapiro donnait à Helvetia une rentabilité espérée de 8 %, donc un alpha de $8 % - 7 % = + 1$ point. Un titre sous-évalué est un titre dont le prix est trop bas pour la rentabilité exigée: les deux énoncés sont le même.

L'explorateur ci-dessous vous permet de déplacer un titre dans le plan de la DMT. Regardez en particulier la dernière ligne: le prix de Gordon–Shapiro calculé avec les dividendes d'Helvetia réagit fortement au bêta, et devient indéfini lorsque la rentabilité exigée descend sous la croissance de 3 %.

Explorateur 7.1 · Au-dessus ou en dessous de la droite de marché des titres

Réglez le bêta d'une action et la rentabilité qu'un analyste prévoit pour elle. Le MEDAF fixe la rentabilité exigée sur la droite; l'écart vertical entre la prévision et la droite est l'alpha. Au départ, l'action est Helvetia: bêta 1,2, prévision 7 %, alpha nul et prix de Gordon–Shapiro de CHF 50. Observez que la prime exigée par unité de bêta ne bouge jamais.

Bêta de l'action β1,20

Rentabilité prévue par l'analyste (%)7,0

Rentabilité exigée r = 1 % + β × 5 %

7,00%

Alpha = prévue − exigée

0,00points

Verdict

sur la droite: prix d'équilibre

Prime exigée par unité de bêta

5,00%

Prix de Gordon–Shapiro à r (D₁ = CHF 2, g = 3 %)

CHF 50,00

Question 7.4

Une action a un bêta de 0,8. Un analyste prévoit pour elle une rentabilité de 6,5 % par an. Avec les paramètres du cours ( $r_{f} = 1 %$ , prime du marché 5 points), que conclut-on sous le MEDAF?

Estimer un bêta

Le bêta comme pente d'une régression

Le MEDAF parle d'espérances et de covariances vraies, que personne n'observe. En pratique, on estime le bêta à partir de rentabilités passées. La définition (7.5), $β = Cov (r_{i}, r_{M}) / Var (r_{M})$ , est exactement la pente de la droite des moindres carrés de $r_{i}$ sur : il suffit de remplacer la covariance et la variance vraies par leurs estimations.

Démonstration. La somme $Q (a, b) = \sum_{t} (y_{t} - a - b x_{t})^{2}$ est une fonction quadratique convexe de ; son minimum annule ses deux dérivées partielles. donne , donc . En reportant, , et . Comme , on peut remplacer par dans cette somme sans la changer, ce qui donne , soit . Diviser numérateur et dénominateur par montre que est le rapport de la covariance empirique à la variance empirique. La formule de l'erreur-type est le résultat classique de la régression linéaire simple, rappelé à l'annexe A; nous l'admettons ici.

L'ordonnée à l'origine $a$ n'est pas l'alpha du MEDAF tel quel: la régression ci-dessus porte sur des rentabilités brutes, et le MEDAF prédit alors $a = r_{f} (1 - β)$ par période. Pour lire directement un alpha, on régresse les rentabilités en excès du taux sans risque, $r_{i} - r_{f}$ sur ; si est constant sur la période, la pente est dans les deux régressions, seule l'ordonnée change.

Une estimation sur douze mois fictifs

Exemple 7.4 · Estimer le bêta d'Helvetia sur douze mois

Le tableau suivant donne douze rentabilités mensuelles de l'indice et de l'action Helvetia. Cette série est entièrement fictive: elle a été construite pour ressembler à ce qu'on observerait sur une action de bêta 1,2 et de volatilité 25 % par an; ce ne sont pas des données de marché.

Mois	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Indice (%)	6,0	6,7	0,8	−2,8	−4,2	0,6	−3,9	−5,7	1,4	1,1	2,8	−3,4
Helvetia (%)	7,3	7,8	−6,5	−0,6	−3,3	12,8	−3,6	−7,5	7,9	2,4	8,0	−5,8

Moyennes. $\overset{x}{ˉ} = - 0, 6/12 = - 0, 05 %$ pour l'indice et pour Helvetia, par mois.

Ce que l'on fait en pratique, et pourquoi

La figure 7.3 montre le problème mieux que des formules: le nuage est trop court et trop dispersé pour fixer une pente. L'erreur-type (7.12) diminue avec la racine du nombre d'observations. Avec les paramètres du cours — volatilité mensuelle du marché $15/ 12 = 4, 33 %$ et volatilité spécifique mensuelle d'Helvetia $17, 35/ 12 = 5, 01 %$ — l'erreur-type attendue vaut environ : 0,33 pour 12 mois, 0,15 pour 60 mois, 0,11 pour 120 mois. D'où la convention la plus répandue chez les fournisseurs de données: , soit cinq ans. Même alors, un intervalle à 95 % couvre à peu près autour de l'estimation.

Pourquoi ne pas prendre vingt ans de données? Parce que le bêta d'une entreprise change: elle modifie son activité, son endettement (chapitre 9 et chapitre 8, qui montre comment l'endettement entre dans le bêta), sa clientèle. Une longue fenêtre mesure précisément un bêta qui n'est peut-être plus le bon. Le choix de la fenêtre est un compromis entre précision et actualité.

Les autres choix d'une estimation sont tout aussi discutables, et tout analyste doit les déclarer:

L'indice. Le portefeuille de marché de la théorie est inobservable; on le remplace par un indice. Pour une société suisse, un indice large comme le SPI est l'approximation habituelle; un investisseur diversifié internationalement préférerait un indice mondial. Les deux ne donnent pas le même bêta.
La fréquence. Des rentabilités quotidiennes donnent beaucoup d'observations, mais les titres peu échangés réagissent avec retard au marché, ce qui biaise leur bêta vers le bas. Le mensuel est un compromis.
L'ajustement. Les bêtas estimés extrêmes tendent à se rapprocher de 1 d'une période à l'autre, en partie parce qu'une estimation extrême contient souvent une grosse erreur. Marshall Blume l'a documenté en 1971, et certains fournisseurs publient un bêta «ajusté» qui tire l'estimation vers 1, par exemple $\frac{2}{3} b + \frac{1}{3}$ . Sur notre série: .

Question 7.5

Remettez dans l'ordre les étapes d'une estimation du coût des fonds propres d'une société cotée par le MEDAF.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer les rentabilités de l'action et de l'indice sur chaque période

Régresser les rentabilités de l'action sur celles de l'indice et lire la pente

Choisir le taux sans risque et la prime de risque du marché

Choisir l'indice qui représente le marché, la fréquence et la fenêtre (par exemple 60 mois)

Calculer

r_{E} = r_{f} + β (E [r_{M}] - r_{f})

et présenter la valeur pour une fourchette de taux

Examiner l'erreur-type de la pente et, si besoin, ajuster le bêta ou le comparer à celui du secteur

Ce que vaut le MEDAF

Les hypothèses, dites comme telles

Le MEDAF est une conséquence logique d'hypothèses précises. Les voici, sans euphémisme:

Les investisseurs ne se soucient que de l'espérance et de la variance de la rentabilité de leur portefeuille, sur une seule période commune. C'est vrai si les rentabilités sont normales ou si les préférences sont quadratiques; ce n'est vrai ni de l'asymétrie des rentabilités réelles, ni d'investisseurs dont l'horizon et les besoins diffèrent.
Les anticipations sont homogènes: tous les investisseurs attribuent les mêmes espérances, variances et covariances à tous les actifs. En réalité, les désaccords sont la raison même des échanges.
On peut prêter et emprunter sans limite au taux sans risque. Personne ne le peut; Fischer Black (1972) a montré qu'une version du modèle subsiste sans actif sans risque, mais avec une droite dont l'ordonnée à l'origine est plus élevée et la pente plus faible.
Les marchés sont parfaits: pas d'impôt, pas de frais de transaction, ventes à découvert libres, actifs divisibles, investisseurs preneurs de prix.
Tous les actifs sont négociables, y compris le capital humain — ce qui est faux pour chacun d'entre nous.

Aucune de ces hypothèses n'est littéralement vraie. La question pertinente est de savoir si le modèle prédit bien malgré elles.

Le bilan empirique

Les tests du MEDAF comparent les rentabilités moyennes réalisées de portefeuilles d'actions à leurs bêtas estimés. Leur bilan, sur plusieurs décennies de travaux essentiellement fondés sur les actions américaines, peut se résumer ainsi, au niveau de preuve où il se situe:

La relation est positive mais trop plate. Black, Jensen et Scholes (1972) puis Fama et MacBeth (1973) trouvent que les portefeuilles de bêta élevé ont bien eu, en moyenne, des rentabilités plus élevées — mais la droite estimée a une ordonnée à l'origine supérieure au taux sans risque et une pente inférieure à la prime du marché. Les titres de faible bêta ont rapporté plus que le MEDAF ne le prévoit, ceux de bêta élevé moins. Ce résultat a été retrouvé souvent depuis, notamment par Frazzini et Pedersen (2014).
D'autres caractéristiques expliquent les rentabilités moyennes. Fama et French (1992) montrent que, sur les actions américaines de 1963 à 1990, la taille de l'entreprise et le rapport entre valeur comptable et valeur de marché des fonds propres expliquent les différences de rentabilité moyenne, et que le bêta, une fois ces variables prises en compte, n'ajoute presque rien. C'est le résultat le plus dommageable pour le modèle.
Le modèle est peut-être intestable. Richard Roll (1977) a fait remarquer que le MEDAF est équivalent à l'énoncé «le portefeuille de marché est efficient». Or le vrai portefeuille de marché — toutes les actions, obligations, immobilier, capital humain du monde — n'est pas observable. Un test qui utilise un indice teste l'efficience de cet indice, pas le MEDAF.

Ces résultats sont établis, abondamment reproduits, et leur interprétation reste discutée: une partie des «anomalies» peut refléter des risques que le bêta ne capte pas, une autre des biais de comportement, une autre encore l'exploration intensive des mêmes données par des milliers de chercheurs.

Pourquoi on l'utilise quand même

Malgré ce bilan, le MEDAF reste la méthode la plus utilisée par les directeurs financiers pour estimer le coût des fonds propres: c'est ce que montre l'enquête de Graham et Harvey (2001) auprès de directeurs financiers américains, où la grande majorité des répondants déclarent s'en servir. Ce n'est pas de l'ignorance. Le modèle est utilisé parce qu'il est une référence disciplinée, pas parce qu'il est démontré par les données:

il ne demande que trois nombres, dont un seul propre à l'entreprise, et il oblige à les déclarer;
il repose sur une idée juste et robuste, que les tests ne contestent pas — le risque diversifiable ne devrait pas être rémunéré — et il empêche l'erreur la plus coûteuse, qui est d'exiger une prime pour la volatilité totale d'un projet;
il donne des réponses cohérentes entre elles: deux divisions d'un même groupe, deux projets, deux années sont comparés avec la même règle, là où un taux «au jugé» se négocie au gré des intérêts de chacun.

Une référence disciplinée n'est pas une vérité. Le bon usage du MEDAF est celui d'un point de départ explicite, accompagné d'une analyse de sensibilité, et dont on sait qu'il peut se tromper de plusieurs points de pourcentage.

Les modèles multifactoriels

Si un seul facteur de risque — le marché — ne suffit pas, on peut en admettre plusieurs. La théorie de l'arbitrage de Stephen Ross (1976) montre que, si les rentabilités sont engendrées par quelques facteurs communs et si l'arbitrage élimine les profits sans risque, la rentabilité espérée de chaque actif est une fonction linéaire de ses sensibilités à ces facteurs: $E [r_{i}] = r_{f} + \sum_{k} β_{ik} λ_{k}$ , où est la prime du facteur . La théorie ne dit pas quels sont les facteurs. Le en propose trois — le marché, la taille (petites moins grandes capitalisations) et la valeur (rapport valeur comptable sur valeur de marché élevé moins faible) —, Carhart (1997) ajoute le , et Fama et French (2015) passent à cinq facteurs avec la et l'. Ces modèles décrivent mieux les rentabilités moyennes passées; ils demandent plus d'estimations, chacune avec son erreur, et leurs facteurs sont en partie le fruit de la recherche sur les données mêmes qu'ils expliquent. Dans l'évaluation d'entreprise, le MEDAF reste l'outil de base; les modèles multifactoriels servent surtout à évaluer les gérants et à construire des portefeuilles.

Synthèse

Avec un actif sans risque, la frontière efficiente devient une droite: la droite de marché des capitaux $E [r_{p}] = r_{f} + σ_{p} (E [r_{M}] - r_{f}) / σ_{M}$ , tangente à la frontière des actifs risqués au , celui de ratio de Sharpe maximal; avec les paramètres du cours, sa pente vaut .

Série d'exercices du chapitre 7Exercice 1 sur 5

Question 7.6

Quelle est la rentabilité exigée par le MEDAF d'une action de bêta 0,5 (paramètres du cours: $r_{f} = 1 %$ , prime du marché 5 points)? Répondez en % avec une décimale.

Problème guidé 7.1 · Le coût des fonds propres d'Alpina Logistique

Alpina Logistique SA est une société fictive, distincte d'Helvetia, que nous introduisons pour ce problème. Son action a une volatilité de 20 % par an et une corrélation de 0,45 avec le marché. Elle doit verser l'an prochain un dividende de CHF 1,20, qui croîtra ensuite de 2 % par an. Paramètres du cours: $r_{f} = 1 %$ , prime du marché 5 points, $σ_{M} = 15 %$ par an. Le cours de bourse est de CHF 50.

1. Le bêta

Calculez le bêta de l'action à partir de sa volatilité et de sa corrélation avec le marché.

Question

Bêta d'Alpina (deux décimales)

2. Le coût des fonds propres

3. La valeur de l'action

4. L'alpha au cours de bourse

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 7.1 · Se placer sur la droite de marché des capitaux

Une étudiante dispose de CHF 50 000 qu'elle veut placer pour cinq ans. Elle accepte une volatilité de 12 % par an, pas davantage. Elle a accès à un fonds indiciel qui réplique le portefeuille de marché et à des obligations de la Confédération (paramètres du cours).

Quelle part de sa richesse doit-elle placer dans le fonds indiciel? Quels montants place-t-elle dans chacun des deux placements?
Quelle est sa rentabilité espérée, en % par an et en francs pour la première année?
Un ami lui conseille plutôt d'acheter pour CHF 50 000 d'une seule action dont la volatilité est aussi de 12 % par an. Pourquoi ce conseil est-il mauvais, même si la volatilité est la même?

Solution

Sur la DMC, $σ_{p} = w σ_{M}$ , donc : 80 % de sa richesse dans le fonds indiciel, soit CHF 40 000, et CHF 10 000 en obligations de la Confédération.

Exercice 7.2 · Une action très volatile au bêta modeste

Une société d'exploration minière cotée a une volatilité de 30 % par an et une corrélation de 0,4 avec le marché ( $σ_{M} = 15 %$ par an, paramètres du cours).

Calculez son bêta et sa rentabilité exigée selon le MEDAF.
Décomposez sa variance en partie systématique et partie spécifique. Donnez la volatilité spécifique et la part systématique en % de la variance totale.
Comparez avec Helvetia. Laquelle des deux actions est la plus «risquée»? Répondez en distinguant deux sens du mot.

Solution

$β = 0, 4 \times 30/15 = 0, 8$ et par an.

Exercice 7.3 · Sur-, sous- ou correctement évaluée?

Une action a un bêta de 1,4. On attend un dividende de CHF 3,00 l'an prochain, qui croîtra de 2,5 % par an à perpétuité. Son cours est de CHF 60. Paramètres du cours.

Quelle est sa rentabilité exigée selon le MEDAF? Quelle valeur Gordon–Shapiro lui donne-t-il?
Quelle rentabilité espérée offre-t-elle à un acheteur au cours de CHF 60? Quel est son alpha?
Montrez que les deux réponses disent la même chose.

Solution

$r = 1 % + 1, 4 \times 5 % = 8 %$ par an. $P_{0} = 3/ (0, 08 - 0, 025) = 3/0, 055 = CHF 54, 55$ .

Exercice 7.4 · Une régression à la main

Voici six rentabilités mensuelles fictives (en %) d'un marché et d'une action:

Mois	1	2	3	4	5	6
Marché $x_{t}$	−3	−1	0	1	2	4
Action $y_{t}$	−4	−2	1	0	3	5

Calculez les moyennes, $S_{xx}$ et , puis la pente et l'ordonnée de la droite des moindres carrés.

Exercice 7.5 · Une seconde démonstration du MEDAF, géométrique

Soit $M$ le portefeuille tangent (le marché) et $i$ un actif risqué quelconque. On forme les portefeuilles $p (a)$ qui placent la fraction $a$ dans l'actif $i$ et $1 - a$ dans $M$ , pour $a$ voisin de 0.

Références

Berk J. et DeMarzo P., Finance d'entreprise, Pearson. Les chapitres sur le choix de portefeuille et sur le MEDAF suivent la même construction que ce chapitre, du portefeuille tangent à la droite de marché des titres, et discutent l'estimation du bêta en pratique.
Brealey R., Myers S. et Allen F., Principes de gestion financière, Pearson. Présentation classique du risque et de la rentabilité, avec une discussion équilibrée des tests du MEDAF et du modèle de Fama et French.
Vernimmen P., Finance d'entreprise, Dalloz. Pour le point de vue d'un praticien européen: choix du taux sans risque, de la prime de risque et du bêta dans l'évaluation d'entreprise.
Ross S., Westerfield R. et Jaffe J., Corporate Finance, McGraw-Hill. Traitement détaillé de la théorie de l'arbitrage et des modèles multifactoriels.
Damodaran A., Corporate Finance: Theory and Practice, Wiley. La référence pour les questions pratiques d'estimation: fenêtre, fréquence, indice, bêtas sectoriels et erreur-type des bêtas estimés.