Obligations et taux d'intérêt · Finance d'entreprise

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

décrire une obligation par son nominal, son coupon, sa maturité et son émetteur, et expliquer pourquoi les emprunts de la Confédération servent de référence sans risque dans ce cours;
démontrer que le prix d'une obligation est la somme de ses flux actualisés, calculer ce prix et en déduire le rendement à l'échéance par dichotomie;
expliquer pourquoi une obligation cote au-dessus du pair, au pair ou en dessous du pair, et distinguer le rendement courant du rendement à l'échéance;
évaluer des obligations zéro-coupon, extraire une courbe des taux au comptant d'obligations à coupon par la méthode du bootstrapping, et calculer des taux à terme;
décrire les trois formes de la courbe des taux et les hypothèses — anticipations, prime de liquidité, segmentation — qui prétendent les expliquer;
démontrer que la duration est l'élasticité du prix au rendement, lui ajouter le terme de convexité, et chiffrer le risque de crédit par l'écart de rendement sur la Confédération.

Qu'est-ce qu'une obligation?

Un contrat de dette découpé en titres

Quand une entreprise a besoin de CHF 200 millions pour dix ans, elle peut les emprunter à une banque. Elle peut aussi découper cette dette en 200 000 titres de CHF 1 000 et les vendre à des milliers d'investisseurs: caisses de pension, assurances, fonds de placement, particuliers. Chaque titre donne à son détenteur le droit de recevoir des intérêts à dates fixes et le remboursement de son montant à l'échéance. C'est une obligation. Parce que les titres sont identiques et cotés, ils s'échangent en bourse (en Suisse, sur SIX Swiss Exchange) bien avant l'échéance, et leur prix fluctue chaque jour. Tout ce chapitre porte sur ce prix: d'où il vient, ce qu'il révèle sur les taux d'intérêt, et à quel point il bouge quand les taux bougent.

L'obligation témoin du cours verse donc un coupon de $0, 015 \times 1000 = CHF 15$ à la fin de chacune des dix prochaines années, plus CHF 1 000 à la fin de la dixième. Son détenteur connaît exactement, au centime et à la date près, ce qu'il recevra — à condition que l'émetteur paie. Cette réserve est toute la différence entre une obligation de la Confédération et une obligation d'entreprise, et nous y reviendrons à la dernière section.

Trois points distinguent une obligation d'une action, que vous rencontrerez au chapitre 5. Les flux sont contractuels et non résiduels: le coupon est dû que l'entreprise gagne de l'argent ou non. Ils sont plafonnés: le détenteur ne reçoit jamais plus que ce que le contrat promet, même si l'émetteur prospère. Et ils sont prioritaires: en cas de faillite, les créanciers sont servis avant les actionnaires. Une obligation est donc, pour un émetteur solide, un actif dont les flux sont presque certains — ce qui en fait l'objet idéal pour mesurer le prix du temps à l'état pur, sans le prix du risque qui obscurcit tout le reste de la finance.

Les emprunts de la Confédération, référence sans risque du cours

La Confédération suisse emprunte en émettant des obligations en francs, par voie d'enchères organisées par la Trésorerie fédérale, sur des maturités qui s'étendent de quelques années à plusieurs décennies. Parce qu'un État qui emprunte dans sa propre monnaie peut toujours honorer une dette libellée dans cette monnaie, et parce que la Confédération bénéficie de la meilleure qualité de crédit du marché suisse, on traite ses obligations comme sans risque de défaut. Leur rendement sert de taux sans risque $r_{f}$ : le taux auquel on actualise un flux certain en francs, et le point de départ de tous les taux exigés du cours — le MEDAF du chapitre 7 part de $r_{f}$ , le coût de la dette du chapitre 8 se lit dans le rendement à l'échéance de la dette, que ce chapitre définit.

Deux précisions honnêtes s'imposent. D'abord, «sans risque» signifie sans risque de défaut, pas sans risque de prix: une obligation de la Confédération à dix ans perd de la valeur quand les taux montent, et toute la seconde moitié de ce chapitre mesure ce risque-là. Ensuite, il n'existe pas un taux sans risque mais un taux par maturité: la Confédération emprunte à deux ans et à trente ans à des taux différents, et l'ensemble de ces taux forme la courbe des taux. Le cours fixe $r_{f} = 1, 0 %$ pour toutes les maturités, ce qui revient à supposer une courbe plate; c'est une simplification délibérée, et la section 6 montre ce qu'elle cache.

Cotation en pour-cent du nominal

Sur le marché, le prix d'une obligation se cote en pour-cent du nominal: un cours de 104,74 signifie que l'on paie CHF 1 047,40 pour un titre de nominal CHF 1 000. On parle de cotation au pair à 100, au-dessus du pair au-delà, en dessous du pair en deçà. Entre deux dates de coupon, l'acheteur verse en outre au vendeur les intérêts courus, c'est-à-dire la part du prochain coupon qui correspond au temps écoulé depuis le dernier: le cours affiché est un prix «hors intérêts courus» (clean price), et le montant payé un prix «coupon couru compris» (dirty price). C'est la version de marché de la délimitation temporelle que vous avez rencontrée en comptabilité (cours Comptabilité, chapitre 9, «Créances, stocks et délimitations»). Dans tout ce chapitre, nous évaluons les obligations à une date de coupon, juste après son versement; les intérêts courus sont alors nuls et les deux prix coïncident.

Le prix, somme des flux actualisés

Le théorème

Le chapitre 1 a établi qu'un flux certain $F$ reçu dans $t$ années vaut aujourd'hui $F / (1 + r)^{t}$ si l'on peut placer et emprunter au taux $r$ . Une obligation n'est qu'un paquet de tels flux. Son prix en découle.

Démonstration. Découpez l'obligation en $T + 1$ titres élémentaires: pour $t = 1, \dots, T - 1$ , un titre qui verse $C$ à la date $t$ et rien d'autre; à la date $T$ , un titre qui verse $C + N$ . Détenir l'obligation ou détenir ces titres ensemble procure exactement les mêmes flux, aux mêmes dates, dans tous les états du monde. Si le marché permet de placer et d'emprunter au taux pour toute durée, le titre qui verse en vaut : c'est la somme qu'il faut placer aujourd'hui pour obtenir en (chapitre 1). Deux actifs qui procurent les mêmes flux doivent avoir le même prix, sans quoi on achèterait le moins cher et on vendrait le plus cher pour un gain sans risque et sans mise de fonds — c'est la . Le prix de l'obligation est donc la somme des prix des titres élémentaires, ce qui est (4.1).

Pour (4.2), la somme des coupons est une annuité. Posez $v = 1/ (1 + y)$ ; alors $\sum_{t = 1}^{T} v^{t} = v (1 - v^{T}) / (1 - v)$ par la série géométrique finie, et , d'où et . En multipliant par et en ajoutant , on obtient (4.2).

La démonstration dit plus que la formule. Elle dit que le prix d'une obligation n'est pas une opinion: dès lors que les taux de placement sont connus, le prix est imposé par l'absence d'arbitrage. Elle dit aussi où l'hypothèse se cache — «au même taux $y$ pour toute durée» —, et la section 5 lèvera précisément cette hypothèse.

L'obligation témoin au prix du marché

Avec $C = 15$ , $N = 1000$ , $T = 10$ et $y = 1, 0 %$ :

P = 15 \cdot \frac{1 - 1 , 0 1 ^{- 10}}{0 , 01} + \frac{1 000}{1 , 0 1 ^{10}} = 15 \times 9, 4713 + 905, 2870 = 142, 0696 + 905, 2870 = CHF 1047, 3565.

Les dix coupons valent ensemble CHF 142,07 et le nominal actualisé CHF 905,29; le prix est de CHF 1 047,36, soit un cours de 104,74. On peut séparer autrement la même somme: les neuf premiers coupons valent CHF 128,49, et le dernier flux, coupon et nominal ensemble, CHF 918,87. C'est cette seconde décomposition que reprendra la figure 4.2.

Vous payez donc aujourd'hui CHF 1 047,36 pour recevoir au total $10 \times 15 + 1000 = CHF 1150$ . La différence, CHF 102,64, rémunère votre attente au taux de 1 % par an. Si le taux d'actualisation était nul, le prix serait exactement la somme des flux, CHF 1 150: ce cas n'est pas théorique en Suisse, où des obligations de la Confédération ont été émises et négociées à des rendements négatifs pendant plusieurs années, alors que le taux directeur de la Banque nationale suisse était lui-même négatif, de janvier 2015 (−0,75 %) jusqu'au 23 septembre 2022. La formule (4.1) reste valable pour $y < 0$ : le prix dépasse alors la somme des flux, et le détenteur paie pour la sécurité de son placement.

Question 4.1

Une obligation de nominal CHF 1 000, de coupon annuel 2 % et de maturité 5 ans est évaluée à un rendement de 1,0 %. Calculez son prix, en CHF, arrondi au centime.

Le rendement à l'échéance

Du prix au taux

En pratique, on observe le prix et on cherche le taux. Si une obligation se négocie à CHF 1 047,36, quel taux d'actualisation ce prix contient-il?

Au chapitre 2, un TRI pouvait être multiple ou absent quand les flux changeaient de signe plusieurs fois. Rien de tel ici, et il vaut la peine de voir pourquoi.

Démonstration. Chaque terme $F_{t} (1 + y)^{- t}$ , avec $F_{t} > 0$ et $t \geq 1$ , est continu et strictement décroissant en sur , car sa dérivée est strictement négative. Une somme finie de telles fonctions l'est aussi. Quand , et le dernier terme diverge; quand , chaque terme tend vers 0. Par le théorème des valeurs intermédiaires, prend toute valeur de , et par la stricte monotonie elle la prend une seule fois.

Il n'existe pas de formule générale pour $y$ dès que $T \geq 5$ (c'est une équation polynomiale de degré $T$ en $v = 1/ (1 + y)$ , et les équations de degré 5 ou plus n'ont pas de formule générale par radicaux), mais le théorème 4.2 donne exactement ce qu'il faut pour une méthode numérique sûre.

La dichotomie

La dichotomie (ou bissection) exploite la monotonie. On part d'un intervalle $[y_{-}; y_{+}]$ qui encadre la solution, c'est-à-dire tel que $P (y_{-}) > P_{obs} > P (y_{+})$ . On calcule le prix au milieu . Si , le prix est encore trop haut, donc le taux trop bas: la solution est dans . Sinon, elle est dans . À chaque étape la largeur de l'intervalle est divisée par deux, si bien qu'après étapes l'erreur est au plus . C'est lent comparé à d'autres méthodes, mais : la dichotomie ne diverge jamais, ne saute jamais par-dessus la solution et ne demande aucune dérivée.

Appliquée à l'obligation témoin cotée CHF 1 047,3565, la même procédure retrouve un rendement de 1,000 000 %, ce qui est une vérification et non une coïncidence: nous avons calculé ce prix à 1 %.

Question 4.2

Remettez dans l'ordre les étapes de la recherche du rendement à l'échéance par dichotomie.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer le taux milieu

y_{m} = (y_{-} + y_{+}) /2

et le prix

P (y_{m})

Choisir deux taux

y_{-}

y_{+}

tels que

P (y_{-}) > P_{obs} > P (y_{+})

Recommencer tant que la largeur

y_{+} - y_{-}

dépasse la précision voulue

P (y_{m}) > P_{obs}

, remplacer

y_{-}

par

y_{m}

; sinon remplacer

y_{+}

par

y_{m}

Au-dessus du pair, au pair, en dessous du pair

La règle et sa raison

L'obligation témoin cote au-dessus du pair; celle de l'exemple 4.1 aussi. Dans les deux cas, le coupon dépasse le rendement. Ce n'est pas un hasard.

Démonstration. Notez $a = (1 - (1 + y)^{- T}) / y$ le facteur d'annuité. D'après (4.2), $P = C a + N (1 + y)^{- T}$ . Or par définition de . Donc , c'est-à-dire . Le facteur est positif: c'est une somme de facteurs d'actualisation positifs (et pour il vaut , ce qui prolonge la formule par continuité). Le signe de est donc celui de .

La formule (4.3) se lit comme un calcul de valeur. Une obligation au pair verserait un coupon $y N$ — exactement le taux du marché. L'obligation réelle verse $C$ . L'écart annuel $C - y N$ est un supplément (s'il est positif) ou un manque (s'il est négatif) garanti chaque année jusqu'à l'échéance, et la prime ou la décote est la valeur actuelle de ce supplément. Pour l'obligation témoin: $15 - 10 = 5$ francs par an de plus que le marché, pendant dix ans, valent $5 \times 9, 4713 = CHF 47, 36$ aujourd'hui — exactement la prime observée.

Pourquoi une obligation émise à 1,5 % cote-t-elle au-dessus du pair? Parce que son coupon a été fixé à l'émission, à une date où le marché exigeait 1,5 %. Si les taux ont baissé depuis, le coupon fixe devient avantageux et le prix monte jusqu'à ce que le nouvel acheteur n'obtienne plus que le taux du marché. Si les taux avaient monté, le prix serait descendu. Le prix d'une obligation à taux fixe évolue en sens inverse des taux: le théorème 4.2 l'a démontré, et le théorème 4.3 dit où se trouve le point de bascule.

À titre d'illustration, l'obligation témoin évaluée à trois rendements différents:

Rendement $y$	0,5 %	1,5 %	2,5 %
Prix (CHF)	1 097,30	1 000,00	912,48
Position	au-dessus du pair	au pair	en dessous du pair

Le retour vers le pair

À rendement constant, une obligation au-dessus du pair perd un peu de sa prime chaque année, et une obligation en dessous du pair regagne une partie de sa décote: à l'échéance, les deux valent exactement le nominal. Si le rendement de l'obligation témoin restait à 1 % jusqu'à son échéance, son prix évoluerait ainsi, juste après chaque coupon:

Années restantes	10	8	6	4	2	1	0
Prix (CHF)	1 047,36	1 038,26	1 028,98	1 019,51	1 009,85	1 004,95	1 000,00

Le détenteur qui a payé CHF 1 047,36 reçoit chaque année CHF 15 de coupon, mais voit son titre perdre de la valeur. Son rendement total — coupon plus variation de prix — est exactement de 1 % par an: la première année, $15 + (1042, 83 - 1047, 36) = 10, 47$ , soit $10, 47/1 047, 36 = 1, 00 %$ . Ce n'est pas une coïncidence: si le prix est la valeur actualisée au taux $y$ des flux restants, alors $P_{t + 1} + C = (1 + y) P_{t}$ identiquement.

Rendement courant et rendement à l'échéance

Pour l'obligation témoin, le rendement courant vaut $15/1 047, 36 = 1, 43 %$ , alors que le rendement à l'échéance vaut 1,00 %. L'écart est précisément la perte de prime vue dans le tableau ci-dessus, que le rendement courant ignore. Pour une obligation au-dessus du pair on a toujours $y < C / P < c$ (ici $1, 00 < 1, 43 < 1, 5$ ), et pour une obligation en dessous du pair les inégalités s'inversent. Le rendement courant est donc un indicateur de , commode pour un investisseur qui vit de ses coupons, mais un mauvais indicateur de : il surestime celle des obligations chères et sous-estime celle des obligations bon marché.

Question 4.3

Une obligation de maturité 10 ans verse un coupon annuel de 2 %. Le marché exige pour elle un rendement de 1,2 %. Que peut-on affirmer?

Obligations zéro-coupon et taux au comptant

Le titre élémentaire

La démonstration du théorème 4.1 découpait une obligation en titres qui ne versent qu'un seul flux. Ces titres existent: on les appelle des obligations zéro-coupon.

Le rendement à l'échéance d'une zéro-coupon est son taux au comptant, et il n'y a là aucune ambiguïté: une zéro-coupon n'a qu'un flux, donc un seul taux possible. Au rendement de 1 %, une zéro-coupon de nominal CHF 1 000 vaut CHF 951,47 à 5 ans et CHF 905,29 à 10 ans. Le rendement d'une zéro-coupon est entièrement une plus-value: on paie CHF 905,29 et on reçoit CHF 1 000.

Les zéro-coupon s'obtiennent aussi en démembrant une obligation à coupon (stripping): une banque achète une obligation de la Confédération, puis vend séparément chacun de ses coupons et son nominal comme autant de zéro-coupon. Si la somme des prix des morceaux différait du prix du tout, l'opération de démembrement — ou l'opération inverse, la reconstitution — procurerait un gain sans risque. C'est le mécanisme par lequel la loi du prix unique s'impose sur le marché, et non un simple axiome.

Évaluer avec une courbe au lieu d'un taux

Le théorème 4.1 supposait un taux unique $y$ pour toutes les dates. Si les taux au comptant diffèrent selon la maturité, la même démonstration — découper, évaluer chaque morceau, additionner — donne:

La démonstration est celle du théorème 4.1, mot pour mot, en remplaçant le prix $F / (1 + y)^{t}$ du titre élémentaire par le prix $F d_{t}$ observé sur le marché des zéro-coupon. Le théorème 4.2 garantit ensuite l'existence et l'unicité de $y$ , et comme $min_{t} s_{t} \leq y \leq max_{t} s_{t}$ (sans quoi chaque terme de (4.4) serait trop grand ou trop petit), est bien une moyenne.

La conséquence pratique est importante: deux obligations de même maturité mais de coupons différents n'ont pas le même rendement à l'échéance si la courbe n'est pas plate, parce qu'elles ne pondèrent pas les taux au comptant de la même façon. Le rendement à l'échéance est un résumé commode, pas un prix du temps.

Construire la courbe: le bootstrapping

Les zéro-coupon ne sont pas cotés pour toutes les maturités, alors que les obligations à coupon le sont. La méthode du bootstrapping extrait les taux au comptant d'obligations à coupon, une maturité après l'autre: à chaque étape, tous les flux sauf le dernier tombent à des dates dont on connaît déjà le facteur d'actualisation, et une seule inconnue reste.

Exemple 4.2 · Une courbe au comptant extraite de quatre prix fictifs

Quatre obligations sans risque de défaut, de nominal 100, à coupon annuel, sont évaluées juste après une date de coupon. Les prix sont fictifs, construits pour l'exercice; ils ne décrivent aucun marché réel.

Obligation	Maturité	Coupon	Prix
A	1 an	0 % (zéro-coupon)	99,60
B	2 ans	0,75 %	100,10
C	3 ans	1,00 %	100,16
D	4 ans	1,25 %	100,42

Maturité 1. A est une zéro-coupon: $d_{1} = 99, 60/100 = 0, 996000$ , donc $s_{1} = 1/0, 996 - 1 = 0, 4016 %$ .

Remarquez l'ordre des opérations: on ne peut pas calculer $s_{3}$ avant $s_{2}$ . Une erreur sur un prix court se propage donc à toute la suite de la courbe. Les prix de l'exemple sont arrondis au centime de pour-cent, et ces arrondis suffisent à déplacer la quatrième décimale des taux: c'est pourquoi l'on écrit les taux au comptant à la précision que les prix justifient, et non davantage.

Les taux à terme

Un taux pour une période future

La courbe au comptant contient une information que l'on peut isoler. Placer un franc pour deux ans au taux $s_{2}$ rapporte $(1 + s_{2})^{2}$ . Placer ce franc pour un an au taux $s_{1}$ , puis réinvestir le tout pour la deuxième année à un taux fixé , rapporte .

La relation (4.5) n'est pas une hypothèse sur le comportement des investisseurs, mais une conséquence de l'absence d'arbitrage. Supposez qu'une banque propose aujourd'hui de vous prêter en $t = 1$ , pour un an, à un taux $f$ supérieur à $f_{1, 2}$ . Vous pouvez répliquer ce prêt avec des zéro-coupon: vendre aujourd'hui une zéro-coupon d'échéance 1 et acheter avec le produit $d_{1} / d_{2}$ zéro-coupon d'échéance 2. Mise de fonds nulle aujourd'hui; en vous payez 1 franc; en vous recevez . C'est un prêt synthétique au taux . En combinant ce prêt synthétique et l'emprunt proposé par la banque, vous encaisseriez l'écart sans risque: un tel écart ne peut pas persister. Le taux à terme est donc le que la courbe au comptant impose à l'argent futur.

Dans l'exemple 4.2, les taux à terme valent:

Période	0 → 1	1 → 2	2 → 3	3 → 4
Taux à terme	0,40 %	1,00 %	1,45 %	1,75 %

Ils sont plus élevés que les taux au comptant et croissent plus vite: c'est une propriété générale. Le taux au comptant $s_{t}$ est une moyenne (géométrique) des taux à terme des périodes 1 à $t$ , puisque $(1 + s_{t})^{t} = \prod_{k = 1}^{t} (1 + f_{k - 1, k})$ . Quand une moyenne croît, le dernier terme ajouté dépasse la moyenne: sur une courbe croissante, les taux à terme sont au-dessus des taux au comptant.

Question 4.4

Les taux au comptant sans risque valent $s_{1} = 0, 8 %$ et $s_{2} = 1, 2 %$ . Calculez le taux à terme $f_{1, 2}$ pour la deuxième année, en %, avec deux décimales.

La courbe des taux

Trois formes

La courbe des taux au comptant d'un émetteur sans risque se présente sous trois formes typiques. Elle est croissante quand les taux longs dépassent les taux courts, plate quand ils sont égaux, inversée quand les taux courts dépassent les taux longs. La figure 4.1 dessine les trois à partir de paramètres du cours; elles ne représentent aucune date réelle.

Pourquoi la courbe a-t-elle telle ou telle forme? Trois explications ont été proposées. Elles sont présentées ici comme ce qu'elles sont: des hypothèses, dont chacune explique une partie des faits et aucune la totalité.

Hypothèse des anticipations

Sous cette hypothèse, la forme de la courbe est une prévision: une courbe croissante annonce une hausse des taux courts, une courbe inversée une baisse, une courbe plate leur stabilité. Dans l'exemple 4.2, elle affirmerait que le marché attend un taux à un an de 1,00 % l'an prochain et de 1,75 % dans trois ans.

L'hypothèse explique bien pourquoi les taux de maturités voisines bougent ensemble, et pourquoi la courbe s'inverse quand le marché anticipe un assouplissement monétaire. Elle a deux faiblesses. D'abord, elle prédit qu'en moyenne la courbe devrait être aussi souvent croissante que décroissante, puisque les taux ne peuvent pas monter indéfiniment; or, sur de longues périodes et dans la plupart des pays, elle est plus souvent croissante. Ensuite, les tests empiriques des taux à terme comme prévisions des taux futurs sont, dans l'ensemble, décevants: les taux à terme contiennent de l'information sur l'avenir, mais ils sont des prévisions biaisées.

Hypothèse de la prime de liquidité

Cette hypothèse explique le fait que la précédente laissait sans réponse: même si les taux courts sont attendus stables, la courbe est légèrement croissante, parce que la prime s'ajoute. Elle prévient aussi une lecture naïve: une courbe croissante n'annonce pas nécessairement une hausse des taux, elle peut ne refléter que la prime. La section suivante donne à cette prime un fondement mesurable: un titre long a une duration plus grande, donc un prix plus exposé aux taux. La faiblesse de l'hypothèse est que la prime n'est pas observable directement; on ne peut l'estimer qu'en faisant une hypothèse sur les anticipations, si bien que les deux composantes ne se séparent jamais proprement.

Hypothèse de la segmentation et de l'habitat préféré

Cette hypothèse explique des anomalies locales que les deux précédentes ignorent — un taux à 30 ans anormalement bas quand les assureurs se disputent les rares titres très longs, par exemple. Dans sa version stricte, elle prédit en revanche que les taux de maturités différentes pourraient évoluer indépendamment, ce que les données démentent: les taux voisins bougent ensemble. C'est la raison pour laquelle on retient plutôt la version modérée.

Sensibilité au taux: la duration

Pourquoi mesurer

Une caisse de pension détient des obligations de la Confédération pour CHF 2 milliards. Si les taux montent d'un point, combien perd-elle? Le théorème 4.2 dit que le prix baisse; il ne dit pas de combien. La réponse dépend de quand tombent les flux: un flux lointain est actualisé par une puissance élevée de $(1 + y)$ , donc plus sensible au taux. La duration résume cette sensibilité en un seul nombre.

Les poids $w_{t}$ sont positifs et somment à 1 (leur somme est $P / P$ ), si bien que $D_{Mac}$ est une vraie moyenne: elle est comprise entre 1 et $T$ . Pour une zéro-coupon, tout le poids est sur $T$ , et $D_{Mac} = T$ . Pour une obligation à coupon, les coupons tirent la moyenne vers le présent, et .

La duration de l'obligation témoin

À 1 %, les neuf premiers coupons de l'obligation témoin valent chacun entre CHF 14,85 et CHF 13,72 aujourd'hui, soit un poids d'environ 1,4 % chacun, et 12,27 % ensemble. Le dernier flux, CHF 1 015, vaut CHF 918,87, soit 87,73 % du prix. La duration vaut donc

D_{Mac} = 1 \times 0, 014180 + 2 \times 0, 014040 + \dots + 9 \times 0, 013095 + 10 \times 0, 877319 = 9, 378460 ans,

et la duration modifiée $D_{mod} = 9, 378 460/1, 01 = 9, 285604$ . La figure 4.2 représente ce calcul comme un problème d'équilibre: posez sur une poutre graduée en années des poids proportionnels aux valeurs actuelles des flux; la duration est le point où la poutre tient en équilibre.

La duration comme élasticité

La définition (4.6) est une moyenne de dates. Son intérêt vient de ce qu'elle est aussi, exactement, une mesure de sensibilité.

Démonstration. Dérivez (4.1), écrit comme $P = \sum_{t} F_{t} (1 + y)^{- t}$ , terme à terme par rapport à $y$ (la somme est finie):

\frac{d P}{d y} = t = 1 \sum T (- t) F_{t} (1 + y)^{- t - 1} = - \frac{1}{1 + y} t = 1 \sum T t \cdot \frac{F _{t}}{( 1 + y ) ^{t}} .

Multipliez et divisez la somme par $P$ : $\sum_{t} t F_{t} (1 + y)^{- t} = P \sum_{t} t w_{t} = P D_{Mac}$ par (4.6). D'où , ce qui est (4.7). Comme , diviser (4.7) par et multiplier par donne (4.8). Enfin, un développement de Taylor à l'ordre 1 de autour de , , donne (4.9) une fois divisé par .

La démonstration montre pourquoi la même quantité joue deux rôles. Dériver $(1 + y)^{- t}$ fait descendre l'exposant $t$ : chaque flux contribue à la sensibilité en proportion de sa date. La sensibilité totale est donc la moyenne des dates pondérée par les valeurs actuelles — la duration. Un flux lointain est à la fois plus loin dans le temps et plus sensible au taux, et c'est la même chose.

Pour l'obligation témoin, (4.9) prédit qu'une hausse d'un point du rendement fait baisser le prix d'environ $9, 29 %$ , soit

Δ P \approx - 9, 285604 \times 1047, 3565 \times 0, 01 = - CHF 97, 25.

Les praticiens expriment souvent la même information en francs par point de base (0,01 point de pourcentage): $D_{mod} \times P \times 0, 0001 = CHF 0, 97$ par titre de nominal CHF 1 000. La caisse de pension du début de section, avec CHF 2 milliards investis dans des titres de duration modifiée comparable, perdrait donc environ 9 % de leur valeur pour une hausse d'un point — ordre de grandeur qui explique pourquoi les gestionnaires de fonds de prévoyance calculent la duration de leurs actifs et de leurs engagements.

Ce qui fait varier la duration

Trois règles découlent directement de (4.6), et l'explorateur de la section suivante permet de les vérifier.

La duration croît avec la maturité (pour les obligations usuelles, cotées près du pair): plus l'échéance est lointaine, plus le poids du remboursement est reporté.
La duration décroît avec le coupon: un coupon plus élevé met plus de poids sur les dates proches. Une zéro-coupon a la duration maximale pour sa maturité: à 10 ans et 1 %, sa duration modifiée vaut $10/1, 01 = 9, 90$ , contre 9,29 pour l'obligation témoin de même échéance.
La duration décroît avec le rendement: un $y$ plus élevé écrase davantage les flux lointains, dont le poids diminue.

À la limite, une rente perpétuelle — un coupon constant sans échéance — a une duration finie, $D_{Mac} = (1 + y) / y$ , soit 101 ans à 1 % (exercice 4.5). La maturité et la duration sont donc deux choses différentes: une maturité infinie peut avoir une duration finie.

Question 4.5

L'obligation témoin (prix CHF 1 047,36 à 1 %, duration modifiée 9,2856) voit son rendement passer de 1,0 % à 1,5 %. Selon l'approximation par la duration, de combien son prix varie-t-il? Donnez la variation en CHF, avec son signe, arrondie au centime.

La convexité

Le terme du second ordre

La figure 4.3 montre le prix exact de l'obligation témoin pour tous les rendements entre 0 % et 4 %, et la tangente en A que la duration trace à 1 %. La courbe est au-dessus de sa tangente partout: la duration surestime les baisses de prix et sous-estime les hausses. L'écart est petit près de A et grandit vite quand on s'en éloigne.

Démonstration. Dérivez une seconde fois l'expression de $d P / d y$ obtenue dans la démonstration du théorème 4.5: la dérivée de $- t F_{t} (1 + y)^{- t - 1}$ est $t (t + 1) F_{t} (1 + y)^{- t - 2}$ . En sommant, , et la division par donne (4.10). La fonction est indéfiniment dérivable sur ; le développement de Taylor à l'ordre 2 s'écrit

P (y + Δ y) = P (y) + P^{'} (y) Δ y + \frac{1}{2} P^{''} (y) (Δ y)^{2} + o ((Δ y)^{2}) .

En divisant par $P (y)$ et en remplaçant $P^{'} / P$ par $- D_{mod}$ (théorème 4.5) et $P^{''} / P$ par $C$ , on obtient (4.11). Enfin, si tous les sont positifs, chaque terme de (4.10) l'est, donc et pour tout .

Géométriquement, $C > 0$ signifie que $P$ est une fonction convexe de $y$ , et une fonction convexe est toujours au-dessus de ses tangentes. L'erreur de la duration a donc toujours le même signe: pour un détenteur, la convexité est une bonne nouvelle. Quand les taux montent, il perd moins que ne le dit la duration; quand ils baissent, il gagne plus.

L'explorateur ci-dessous permet de faire varier les trois ingrédients à la fois. Son état initial est l'obligation témoin et le choc de l'exemple 4.3.

Explorateur 4.1 · Prix, duration et erreur de l'approximation linéaire

Choisissez la maturité et le rendement de départ d'une obligation à coupon de 1,5 %, puis faites varier le rendement de $Δ y$ . Comparez la variation de prix exacte à celle que prédit la tangente de duration: l'erreur reste positive que le taux monte ou descende, et elle croît avec la maturité et avec l'ampleur du choc.

Rendement initial y₀ (%)1,0

Maturité T (années)10

Variation du rendement Δy (points)+1,0

Prix initial

CHF 1 047,36

Duration de Macaulay

9,378ans

Duration modifiée

9,286

Variation exacte ΔP

CHF −92,27

Prédite par la duration

CHF −97,25

Avec le terme de convexité

CHF −92,07

Erreur de la tangente (exacte − linéaire)

CHF +4,98

Trois expériences sont instructives. Poussez la maturité à 30 ans: la duration de Macaulay dépasse 24 ans, la courbe se creuse, et l'erreur de la tangente pour un choc d'un point atteint CHF 35,91. Ramenez la maturité à 2 ans: la courbe est presque une droite, l'erreur tombe à CHF 0,29, et la duration suffit. Enfin, faites passer $Δ y$ de $+ 2$ à $- 2$ points: la lecture «erreur de la tangente» ne change jamais de signe. C'est le théorème 4.6 sous vos yeux.

Risque de crédit et écart sur la Confédération

Le rendement promis d'un émetteur risqué

Tout ce qui précède supposait des flux certains. Une entreprise, contrairement à la Confédération, peut ne pas payer. Ses obligations promettent les mêmes coupons et le même remboursement, mais la promesse vaut moins, et leur prix est plus bas. Comme le rendement à l'échéance se calcule à partir des flux promis, un prix plus bas se traduit par un rendement plus élevé.

Pour voir ce que l'écart contient, prenez le cas le plus simple: une zéro-coupon à un an, de nominal $N$ , émise par une entreprise qui fait défaut avec probabilité $p$ . En cas de défaut, le détenteur récupère une fraction $R$ du nominal (le taux de recouvrement). Supposez en outre, pour isoler l'effet du défaut, que les investisseurs sont neutres au risque: ils évaluent un flux incertain à son espérance actualisée au taux sans risque. Le prix vaut alors

P = \frac{( 1 - p ) N + p R N}{1 + r _{f}} = \frac{N ( 1 - p ( 1 - R ) )}{1 + r _{f}},

et le rendement promis $y$ , défini par $P = N / (1 + y)$ , satisfait

1 + y = \frac{1 + r _{f}}{1 - p ( 1 - R )}, y - r_{f} = \frac{( 1 + r _{f} ) p ( 1 - R )}{1 - p ( 1 - R )} \approx p (1 - R) . (4.12)

L'écart de crédit est, au premier ordre, la perte attendue $p (1 - R)$ : probabilité de défaut multipliée par la fraction perdue. Avec $p = 2 %$ , $R = 40 %$ et $r_{f} = 1 %$ — des valeurs , choisies pour l'illustration —, le détenteur attend ; le prix vaut ; le rendement promis ; l'écart 1,23 point, proche de point. Mais le n'est que , le taux sans risque: sous neutralité au risque, l'écart compense exactement le défaut attendu, et rien de plus.

Ce que l'écart contient en réalité

Le modèle à une période est une décomposition, pas une description complète. Trois composantes s'ajoutent dans l'écart observé, et leur part relative est débattue dans la littérature empirique:

la perte attendue $p (1 - R)$ , celle du modèle;
une prime de risque de crédit: les investisseurs ne sont pas neutres au risque, et les défauts surviennent de préférence dans les récessions, quand la perte coûte le plus. Ils exigent donc plus que la perte attendue;
une prime de liquidité: une obligation d'entreprise s'échange moins facilement qu'une obligation de la Confédération, et le détenteur qui doit vendre vite subit une décote.

La qualité de crédit d'un émetteur est évaluée par des agences de notation, dont les notes vont de la meilleure qualité («AAA» dans l'échelle la plus répandue) à la catégorie spéculative (en dessous de «BBB−»). Les écarts croissent quand la note se dégrade, et ils s'élargissent pour tous les émetteurs en période de crise, quand la prime de risque et la prime de liquidité montent ensemble. Retenez l'ordre de grandeur et le mécanisme; les écarts d'une date donnée sont des données de marché, que ce cours ne cite pas.

Synthèse

Une obligation est un paquet de flux promis — coupons et nominal. Par la loi du prix unique, son prix est la somme de ses flux actualisés (théorème 4.1); il n'y a là aucune opinion, seulement l'absence d'arbitrage.
Le rendement à l'échéance est le taux unique qui égalise prix et flux promis. Il existe et il est unique dès que les flux sont positifs (théorème 4.2), et la dichotomie le calcule de façon infaillible. C'est un rendement promis, réalisé seulement sous des conditions précises.
Une obligation cote au-dessus du pair si son coupon dépasse le rendement, en dessous dans le cas contraire (théorème 4.3), et revient vers le pair à l'échéance. Le rendement courant $C / P$ mesure le revenu, pas la rentabilité.
Les zéro-coupon définissent les taux au comptant, qu'on extrait des obligations à coupon par bootstrapping; les taux à terme en découlent sans arbitrage. La courbe des taux peut être plate, croissante ou inversée; anticipations, prime de liquidité et segmentation sont trois hypothèses pour expliquer sa forme.
La duration de Macaulay est à la fois la date moyenne pondérée des flux et, au signe près, l'élasticité du prix au facteur $1 + y$ (théorème 4.5): pour l'obligation témoin, 9,38 ans, et $Δ P / P \approx - 9, 29 %$ par point.

Série d'exercices du chapitre 4Exercice 1 sur 5

Question 4.6

Quelle est la duration de Macaulay d'une obligation zéro-coupon de maturité 7 ans, évaluée à un rendement de 1,5 %?

Problème guidé 4.1 · Sensibilité d'une obligation courte de la Confédération

Une obligation de la Confédération de nominal CHF 1 000 verse un coupon annuel de 1 % et arrive à échéance dans 5 ans. Le rendement de marché de cette maturité est de 0,5 % (paramètre de l'exercice, pas une cotation). On l'évalue juste après le versement d'un coupon, puis on étudie l'effet d'une hausse d'un point du rendement, de 0,5 % à 1,5 %.

Le prix

Commencez par le prix, somme des flux actualisés.

Question

Calculez le prix de l'obligation au rendement de 0,5 %, en CHF, au centime.

La duration de Macaulay

La prédiction de la duration

Le prix exact et l'écart de convexité

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 4.1 · Trois coupons, un rendement

Trois obligations sans risque de nominal CHF 1 000 ont une maturité de 8 ans et versent des coupons annuels de 0,5 %, 1 % et 2 %. Le marché exige un rendement de 1 % pour cette maturité.

Sans calcul, classez-les selon leur position par rapport au pair.
Calculez leurs prix.
Calculez leurs rendements courants et comparez-les au rendement à l'échéance.

Solution

1. Par le théorème 4.3, la position dépend du signe de $c - y$ : l'obligation à 0,5 % cote en dessous du pair, celle à 1 % au pair, celle à 2 % au-dessus.

2. Avec (4.2), $y = 0, 01$ et $T = 8$ , le facteur d'annuité vaut et le nominal actualisé :

Exercice 4.2 · Une dichotomie à la main

Une obligation de nominal 100, de coupon annuel 1 % et de maturité 3 ans cote 101,50.

Montrez que son rendement à l'échéance se trouve entre 0 % et 2 %.
Effectuez six étapes de dichotomie à partir de cet intervalle et donnez l'intervalle final.
Combien d'étapes faudrait-il pour connaître le rendement à 0,0001 point près?

Solution

1. À $y = 0$ , le prix est la somme des flux, $1 + 1 + 101 = 103 > 101, 50$ . À , . Par le théorème 4.2, le prix étant continu et strictement décroissant, le rendement est dans .

Exercice 4.3 · Bootstrapping et taux à terme

Trois obligations sans risque de nominal 100, à coupon annuel, cotent juste après une date de coupon (prix fictifs, distincts de ceux de l'exemple 4.2):

Maturité	Coupon	Prix
1 an	0 %	99,00
2 ans	1,5 %	100,50
3 ans	2 %	101,20

Extrayez les facteurs d'actualisation et les taux au comptant à 1, 2 et 3 ans.
Calculez les taux à terme $f_{1, 2}$ et $f_{2, 3}$ .
Évaluez une obligation sans risque de 3 ans à coupon de 3 %, et comparez son rendement à l'échéance au taux au comptant à 3 ans.

Exercice 4.4 · Duration et convexité d'une obligation au pair

Une obligation de nominal CHF 1 000, de coupon annuel 2 % et de maturité 5 ans est évaluée à un rendement de 2 %.

Quel est son prix? Justifiez sans calcul.
Calculez sa duration de Macaulay, sa duration modifiée et sa convexité.
Le rendement passe à 3 %. Comparez la variation de prix exacte avec celle que donnent la duration seule, puis la duration et la convexité.

Solution

1. Le coupon égale le rendement: par le théorème 4.3, l'obligation cote au pair, $P = CHF 1000$ .

2. Les flux actualisés valent 19,61; 19,22; 18,85; 18,48 et $1 020/1, 0 2^{5} = 923, 85$ . Par (4.6), ans. Pour une obligation au pair, on dispose d'une forme fermée, , qui confirme le calcul. . Par (4.10), .

Exercice 4.5 · Trois résultats sur la duration et la convexité

Démontrez qu'une obligation zéro-coupon de maturité $T$ a une duration de Macaulay égale à $T$ et une convexité égale à $T (T + 1) / (1 + y)^{2}$ .
Une rente perpétuelle verse un coupon $C$ à la fin de chaque année, sans échéance. Son prix vaut $P = C / y$ pour (chapitre 1). Démontrez que sa duration de Macaulay vaut , et calculez-la à 1 % et à 2 %.

Références

Berk, J. et DeMarzo, P., Finance d'entreprise, Pearson — chapitre consacré à l'évaluation des obligations: prix, rendement, courbe des taux et risque de crédit.
Brealey, R., Myers, S. et Allen, F., Principes de gestion financière, Pearson — chapitres sur l'évaluation des obligations, la structure par terme des taux et la duration.
Vernimmen, P., Finance d'entreprise, Dalloz — chapitres sur les obligations, le taux actuariel, la courbe des taux et la sensibilité.
Hull, J., Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson — chapitre 4, «Taux d'intérêt»: taux zéro-coupon, bootstrapping, taux à terme, duration, convexité et théories de la structure par terme.
Ross, S., Westerfield, R. et Jaffe, J., Corporate Finance, McGraw-Hill — chapitre sur les taux d'intérêt et l'évaluation des obligations.

Étape	Intervalle (%)	Milieu (%)	$P (milieu)$	Décision
1	[0; 4]	2	1 000,00	trop bas: $y < 2$
2	[0; 2]	1	1 057,95	trop haut: $y > 1$
3	[1; 2]	1,5	1 028,49	$y < 1, 5$
4	[1; 1,5]	1,25	1 043,10	$y > 1, 25$
5	[1,25; 1,5]	1,375	1 035,76	$y < 1, 375$
6	[1,25; 1,375]	1,3125	1 039,42	$y < 1, 3125$
7	[1,25; 1,3125]	1,28125	1 041,26	$y > 1, 28125$
8	[1,28125; 1,3125]	1,296875	1 040,34	$y > 1, 296875$

Choc de rendement	Exact	Duration seule	Duration + convexité
$+ 1$ point (1 % → 2 %)	$- 92, 27$	$- 97, 25$	$- 92, 07$
$- 1$ point (1 % → 0 %)	$+ 102, 64$	$+ 97, 25$	$+ 102, 43$

Coupon	Coupons actualisés	Prix
0,5 %	$5 \times 7, 6517 = 38, 26$	CHF 961,74
1 %	$10 \times 7, 6517 = 76, 52$	CHF 1 000,00
2 %	$20 \times 7, 6517 = 153, 03$	CHF 1 076,52

Étape	Intervalle (%)	Milieu (%)	Prix au milieu	Nouvel intervalle (%)
1	[0; 2]	1	100,0000	[0; 1]
2	[0; 1]	0,5	101,4851	[0; 0,5]
3	[0; 0,5]	0,25	102,2388	[0,25; 0,5]
4	[0,25; 0,5]	0,375	101,8610	[0,375; 0,5]
5	[0,375; 0,5]	0,4375	101,6728	[0,4375; 0,5]
6	[0,4375; 0,5]	0,46875	101,5789	[0,46875; 0,5]