Risque et diversification

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• calculer la rentabilité d'un placement sur une période, la décomposer en rendement du dividende et en gain en capital, et enchaîner des rentabilités annuelles sans confondre moyenne arithmétique et moyenne géométrique;
• définir l'espérance de rentabilité et la volatilité, les calculer à partir de scénarios, puis les estimer à partir d'un historique en mesurant ce que cette estimation a d'imprécis;
• calculer une covariance et une corrélation, et dire ce que chacune mesure et ne mesure pas;
• démontrer la formule de variance d'un portefeuille de deux actifs, tracer la frontière pour plusieurs corrélations et expliquer la forme de chacune;
• démontrer le poids de variance minimale et expliquer pourquoi, pour Helvetia et l'indice du marché, ce poids est négatif;
• démontrer que la variance d'un portefeuille équipondéré de $n$ titres tend vers la covariance moyenne, distinguer risque spécifique et risque systématique, et en tirer la question que le chapitre 7 tranche: quel risque le marché rémunère-t-il?

Les cinq premiers chapitres ont évalué des flux en les actualisant à un taux donné: 7 % pour les fonds propres d'Helvetia, 5,8 % pour son coût moyen pondéré du capital. D'où viennent ces taux? Le chapitre 7 répondra par le modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF, en anglais CAPM). Mais avant de dire combien un investisseur exige pour porter un risque, il faut savoir mesurer ce risque, et surtout découvrir qu'une partie de lui disparaît gratuitement dès qu'on combine plusieurs titres. C'est l'objet de ce chapitre, et c'est l'idée la plus féconde de la finance moderne: le risque d'un titre ne se juge pas seul, il se juge par ce qu'il apporte à un portefeuille.

La rentabilité d'un placement

Rentabilité sur une période

Un investisseur achète une action au cours $P_0$, touche pendant la période un dividende $D_1$ et revend (ou pourrait revendre) l'action au cours $P_1$ en fin de période. Son enrichissement, rapporté à la mise initiale, est la rentabilité de la période.

La formule traite le dividende comme encaissé en fin de période. Un dividende versé en cours d'année et réinvesti rapporterait un peu plus; la différence est de second ordre et nous l'ignorons, comme le font la plupart des séries de rentabilités annuelles.

Enchaîner des périodes

Une rentabilité se capitalise: un franc placé pendant deux années de rentabilités $R_1$ et $R_2$ devient $(1+R_1)(1+R_2)$ francs, comme au chapitre 1. Sur années,

Il en découle deux moyennes, qu'il ne faut pas confondre. La moyenne arithmétique $\bar{R}=\frac{1}{T}\sum R_t$ est l'estimateur naturel de la rentabilité espérée d'une année; c'est elle que ce chapitre utilise. La moyenne géométrique ${\bar{R}}_g=(\prod (1+R_t){)}^{1/T}-1$ est le taux constant qui aurait produit la même richesse finale; elle décrit sur l'ensemble de la période. La moyenne géométrique est toujours inférieure ou égale à la moyenne arithmétique, et l'écart grandit avec la dispersion des rentabilités: une année à +50 % suivie d'une année à −50 % a une moyenne arithmétique nulle, mais transforme CHF 100 en CHF 75.

Espérance et volatilité

La rentabilité comme variable aléatoire

Au moment d'acheter, la rentabilité de l'année à venir est inconnue: c'est une variable aléatoire. Le plus simple pour la décrire est de se donner quelques scénarios, chacun avec sa probabilité et la rentabilité qu'il produirait. Deux nombres résument alors l'essentiel: où se situe la rentabilité en moyenne, et combien elle s'écarte de cette moyenne.

La variance pondère les écarts par leur carré. C'est un choix de commodité mathématique autant que de principe: les grands écarts pèsent davantage que les petits, et surtout, comme nous le verrons, la variance d'une somme se calcule terme à terme, ce qui n'est vrai d'aucune autre mesure de dispersion. Elle traite aussi de la même manière une bonne et une mauvaise surprise, ce qui est discutable pour un investisseur; nous y reviendrons en fin de chapitre.

Estimer à partir d'un historique

Moyenne et écart type d'échantillon

Personne ne connaît les probabilités des scénarios. En pratique, on estime la rentabilité espérée et la volatilité à partir des rentabilités observées dans le passé, en faisant l'hypothèse que chaque année est un tirage indépendant de la même loi. Cette hypothèse est forte: elle suppose que l'entreprise, son endettement et son marché n'ont pas changé de nature pendant la période observée.

L'estimation est imprécise, surtout pour l'espérance

Combien peut-on se fier à ${\bar{R}}_H=8\%$? Si les années sont indépendantes et de volatilité $\sigma$, la moyenne de $T$ années a pour écart type $\sigma /\sqrt{T}$ — c'est l' de la moyenne. Avec l'estimation et , elle vaut points de pourcentage. Un intervalle de deux erreurs types autour de 8 % va de à : les données sont compatibles avec une action qui détruit de la valeur comme avec une action exceptionnelle.

Allonger l'historique aide, mais lentement, en $\sqrt{T}$. Pour ramener l'erreur type à 1 point de pourcentage avec une volatilité de 25 %, il faudrait $T=(25/1{)}^2=625$ années d'observations indépendantes et d'une loi inchangée — autrement dit, jamais. Mesurer plus souvent (des rentabilités mensuelles ou journalières au lieu d'annuelles) ne résout pas le problème pour l'espérance: la précision sur la moyenne dépend de la durée couverte, pas du nombre de points. Elle améliore en revanche beaucoup l'estimation de la volatilité et des corrélations, qui se mesurent bien mieux que les espérances. Ce déséquilibre commande la pratique: on estime les risques sur les données, on raisonne sur les rentabilités espérées à l'aide d'un modèle — et ce modèle sera le MEDAF du chapitre 7.

Notons enfin la moyenne géométrique de cet historique: $\prod (1+R_{H,t})=1,4358$, soit ${\bar{R}}_{H,g}=1,4358^{1/6}-1=6,21\%$ par an, contre une moyenne arithmétique de 8 %. L'écart de près de 1,8 point est le prix de la dispersion, exactement comme dans l'exemple +50 %/−50 %.

Covariance et corrélation

Deux mesures de co-mouvement

Le risque d'un portefeuille dépend de la manière dont ses titres bougent ensemble. Si Helvetia monte les années où l'indice monte et baisse les années où il baisse, combiner les deux ne compense presque rien; si leurs mouvements étaient indépendants, les écarts de l'un compenseraient souvent ceux de l'autre.

L'encadrement $-1\le \rho \le 1$ est l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux écarts à l'espérance (annexe A). Les cas extrêmes ont un sens précis: $\rho =1$ signifie que $R_2$ est une fonction affine croissante de $R_1$ ( avec ), une fonction affine décroissante. signifie seulement l'absence de lien : deux rentabilités non corrélées peuvent parfaitement dépendre l'une de l'autre d'une autre manière.

Deux propriétés de calcul serviront sans cesse. La covariance d'une variable avec elle-même est sa variance: $\mathrm{Cov}(R,R)=\mathrm{Var}(R)$. Et la covariance est bilinéaire: pour des constantes $a,b,c$,

Ces deux propriétés se démontrent en développant la définition et en utilisant la linéarité de l'espérance.

Sur l'historique fictif, puis avec les paramètres du cours

La somme des produits d'écarts de l'exemple 6.3 vaut 852 %², d'où la covariance d'échantillon

Cinq des six produits sont positifs: Helvetia et l'indice ont été ensemble au-dessus de leur moyenne (années 1, 3, 6) ou ensemble en dessous (années 2 et 5). L'année 4 fait exception: l'indice gagne 10 % pendant qu'Helvetia perd 14 %. C'est une mauvaise nouvelle propre à l'entreprise — une commande perdue, un rappel de produits, que l'on imagine — qui n'a rien à voir avec le marché. Retenez cette année: elle est l'image même du risque spécifique de la fin du chapitre.

Avec les paramètres du cours, la covariance entre Helvetia et l'indice vaut

L'historique fictif donne 0,748 au lieu de 0,72 et une covariance de 170,4 %² au lieu de 270 %²: la corrélation est ici assez bien estimée, la covariance moins, parce qu'elle hérite de la sous-estimation des deux volatilités. Pour la suite, seuls les paramètres du cours servent.

Le portefeuille de deux actifs

Poids, espérance et variance

Un investisseur place une fraction $w$ de sa richesse dans le titre 1 et la fraction $1-w$ dans le titre 2. Les poids somment à 1 par construction. Un poids négatif est permis: $w=-0,2$ signifie que l'investisseur a vendu à découvert le titre 1 pour 20 % de sa richesse — il l'a emprunté et vendu, et devra le racheter pour le rendre — et a placé 120 % de sa richesse dans le titre 2.

La rentabilité du portefeuille est la moyenne pondérée des rentabilités, $R_p=w{R}_1+(1-w)R_2$: un franc investi en portefeuille rapporte $w$ fois ce que rapporte un franc dans le titre 1, plus fois ce que rapporte un franc dans le titre 2. Sa variance, en revanche, n'est la moyenne pondérée des variances.

Démonstration. L'espérance est linéaire, d'où (6.5). Notons ${\mu }_p=\mathbb{E}[R_p]$ et ${\mu }_i=\mathbb{E}[R_i]$. L'écart du portefeuille à son espérance est la combinaison des écarts des titres:

Élevons au carré, en posant $X_i=R_i-{\mu }_i$:

Prenons l'espérance de chaque terme, par linéarité: $\mathbb{E}[X_1^2]={\sigma }_1^2$, $\mathbb{E}[X_2^2]={\sigma }_2^2$ et par définition de la covariance. On obtient (6.6), et n'est que (6.4) réécrite.

Le troisième terme de (6.6) est toute l'affaire. Si la covariance est positive, il ajoute du risque; si elle est nulle, il disparaît; si elle est négative, il en retire. Les deux premiers termes, eux, ne dépendent que de chaque titre pris isolément.

Une borne: la diversification ne peut que réduire la volatilité moyenne

Démonstration. Développons le carré de la moyenne pondérée des volatilités et comparons à (6.6):

Pour $0\le w\le 1$, le membre de droite est un produit de facteurs positifs ou nuls, puisque $\rho \le 1$. Il est nul si et seulement si $\rho =1$, ou $w=0$, ou $w=1$. Les deux membres de l'inégalité à démontrer étant positifs, on peut passer à la racine. $\square$

Tant que la corrélation est inférieure à 1, un mélange est donc toujours moins risqué que la moyenne de ses composants. Mais «moins risqué que la moyenne» n'est pas «moins risqué que le moins risqué des deux», et c'est ce que l'exemple 6.4 montrait déjà: 18,64 % est inférieur à la moyenne de 20 %, mais supérieur aux 15 % de l'indice.

La frontière selon la corrélation

Une paire de titres distincte, pour les formes classiques

Pour voir comment la corrélation façonne l'ensemble des portefeuilles accessibles, prenons une paire de titres fictive et distincte du fil rouge, qui n'a rien à voir avec Helvetia ni avec l'indice:

• le titre A, une valeur de croissance: rentabilité espérée 8 %, volatilité 20 %;
• le titre B, une valeur défensive: rentabilité espérée 5 %, volatilité 12 %.

Pour chaque corrélation, faisons varier le poids $w$ de A de 0 à 1 et reportons chaque portefeuille dans le plan (volatilité, rentabilité espérée), en calculant (6.5) et (6.6) point par point. La courbe obtenue est la frontière des portefeuilles de A et B.

Ce que dit chaque forme

$\rho =1$: une droite. (6.6) devient ${\sigma }_p^2=(w{\sigma }_1+(1-w){\sigma }_2{)}^2$, donc : la volatilité est, comme la rentabilité espérée, une moyenne pondérée. Mélanger ne retire rien, on se déplace simplement sur le segment qui joint B à A. C'est le cas d'égalité du théorème 6.2.

$\rho =-1$: deux segments qui touchent zéro. (6.6) devient ${\sigma }_p^2=(w{\sigma }_A-(1-w){\sigma }_B{)}^2$, donc . Elle s'annule pour

avec une rentabilité espérée de $0,375\times 8+0,625\times 5=6,125\%$. Un portefeuille sans risque est construit à partir de deux titres risqués: les hausses de l'un sont exactement compensées par les baisses de l'autre. Ce cas n'existe pas entre deux actions réelles; il est approché par une action et un instrument de couverture conçu pour elle.

$0<\rho <1$ et $\rho =0$: des courbes. Entre les deux extrêmes, la frontière est une courbe (un arc d'hyperbole) d'autant plus bombée vers la gauche que la corrélation est faible. Le tableau suivant donne, pour les quatre corrélations, la volatilité du portefeuille moitié-moitié, dont la rentabilité espérée est toujours de 6,5 %, et le portefeuille de variance minimale, calculé à la section suivante.

À corrélation nulle, le portefeuille de variance minimale (10,29 %) est moins risqué que B seul (12 %) et rapporte davantage (5,79 % contre 5 %): détenir uniquement B serait une erreur. À $\rho =0,5$, le gain existe encore mais il est faible. À $\rho =1$, le poids calculé tombe hors de $[0,1]$: sans vente à découvert, le moins risqué des portefeuilles est B tout seul.

Portefeuilles efficients et portefeuilles dominés

Sur chaque courbe en forme de «nez», les portefeuilles situés sous le point de variance minimale sont dominés: pour la même volatilité, il en existe un autre, sur la branche supérieure, qui rapporte davantage. Aucun investisseur qui préfère plus de rentabilité espérée à moins, et moins de risque à plus, ne les détiendra. La branche supérieure, du point de variance minimale jusqu'à A, est la frontière efficiente de la paire. Où s'y placer dépend de la tolérance au risque de chacun; la théorie ne tranche pas cette question à deux actifs, et le chapitre 7 montrera qu'elle la tranche d'une manière surprenante dès qu'un actif sans risque existe.

Le portefeuille de variance minimale

Le poids qui minimise la variance

Démonstration. Développons (6.6) selon les puissances de $w$:

Le coefficient $a$ est la variance de $R_1-R_2$: il est positif ou nul, et nul seulement si $R_1-R_2$ est constante, c'est-à-dire si et — le cas exclu par l'énoncé. Avec , est un polynôme du second degré en tourné vers le haut; il atteint son minimum là où sa dérivée s'annule:

ce qui est (6.7). La valeur du minimum est

Au numérateur, $a{\sigma }_2^2-b^2={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2+{\sigma }_2^4-2{\sigma }_{12}{\sigma }_2^2-{\sigma }_2^4+2{\sigma }_{12}{\sigma }_2^2-{\sigma }_{12}^2={\sigma }_1^2{\sigma }_2^2-{\sigma }_{12}^2$, ce qui donne (6.8).

Deux corollaires se lisent directement sur (6.7) et (6.8).

• Le signe de $w^{\ast }$. Le dénominateur étant positif, $w^{\ast }$ a le signe de ${\sigma }_2^2-{\sigma }_{12}={\sigma }_2({\sigma }_2-\rho {\sigma }_1)$. Si le titre 1 est le plus volatil (), alors si et seulement si . Au-delà de ce seuil de corrélation, le portefeuille le moins risqué le titre le plus volatil.

Pour la paire A et B, par exemple, avec $\rho =0$: $w^{\ast }=144/(400+144)=9/34=26,47\%$ et ${\sigma }_{\min }^2=400\times 144/544$, d'où , les valeurs du tableau ci-dessus.

Le cas témoin: le portefeuille le moins risqué vend Helvetia

Pourquoi le portefeuille le moins risqué vend-il un titre qui rapporte davantage? Partez de l'indice seul et ajoutez-y un petit poids $w$ d'Helvetia. La pente de la variance en $w=0$ vaut $2({\sigma }_{12}-{\sigma }_2^2)=2\times (270-225)=90$ %² par unité de poids: elle est , donc ajouter de l'Helvetia augmente le risque dès le premier franc. La raison se lit dans le bêta d'Helvetia, : quand l'indice varie d'un point, Helvetia varie en moyenne de 1,2 point dans le même sens. Helvetia est, pour l'essentiel, , plus un bruit qui lui est propre. Ajouter une version amplifiée d'un risque à ce même risque ne diversifie rien; c'est en un peu d'Helvetia, donc en vendant à découvert, que l'on compense une partie des mouvements de l'indice. La compensation cesse d'être payante quand le bruit propre d'Helvetia, ajouté par la position courte, l'emporte: c'est ce que fixe .

La leçon est générale et c'est pour elle que le cours garde cet exemple: diversifier exige une corrélation faible. Deux titres fortement corrélés ne se diversifient pas, quelles que soient leurs volatilités. Avec la paire A et B à corrélation nulle, le mélange réduisait le risque bien au-dessous du moins risqué des deux; avec Helvetia et l'indice, le mélange n'y parvient qu'en vendant l'un des deux, et de très peu.

Dans l'explorateur, partez de la corrélation du cours, 0,72, et descendez. À $\rho =0,6$ exactement, le point de variance minimale se pose sur l'indice: $w^{\ast }=0$ et ${\sigma }_{\min }=15\%$. En dessous, il passe à droite du point zéro des poids: $w^{\ast }$ devient positif, et Helvetia entre enfin dans le portefeuille le moins risqué. À , par exemple, et ; à , et . Remarquez aussi que les deux points «Helvetia» et «Indice» ne bougent jamais: la corrélation ne change rien à chaque titre pris seul, elle change tout à leur mélange.

La diversification avec $n$ actifs

La variance d'un portefeuille quelconque

Avec $n$ titres de poids $w_1,\dots ,w_n$ (${\sum }_i{w}_i=1$), la rentabilité du portefeuille est et son espérance . Pour la variance, la bilinéarité de la covariance donne directement

où ${\sigma }_{ii}={\sigma }_i^2$. C'est la généralisation de (6.6), qui en est le cas $n=2$: les deux termes croisés $i=1,j=2$ et donnent ensemble le .

Comptez les termes de la double somme: il y en a $n^2$, dont $n$ seulement sont des variances (la diagonale $i=j$) et $n(n-1)$ sont des covariances. Pour 30 titres, 30 variances et 870 covariances. Quand le portefeuille grossit, les variances individuelles deviennent une part négligeable de la somme, et ce sont les covariances qui font le risque. Le théorème suivant rend cette intuition exacte.

Le portefeuille équipondéré

Démonstration. Dans (6.9), posons $w_i=1/n$ pour tout $i$ et séparons la diagonale du reste:

La première somme compte $n$ termes: $\frac{1}{n^2}{\sum }_i{\sigma }_i^2=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n}{\sum }_i{\sigma }_i^2=\frac{1}{n}\overline{{\sigma }^2}$. La seconde en compte : . D'où (6.10).

Pour la limite: si $\overline{{\sigma }^2}\le K$ pour tout $n$, le premier terme est compris entre 0 et $K/n$ et tend vers 0; le second tend vers $1\times \bar{c}$ puisque $1-1/n\to 1$.

L'écriture équivalente ${\sigma }_p^2=\bar{c}+(\overline{{\sigma }^2}-\bar{c})/n$ sépare nettement les deux parts: un que le nombre de titres ne touche pas, et un qui fond comme . Si toutes les covariances étaient nulles, le plancher serait nul et le risque disparaîtrait entièrement: c'est la situation d'un assureur qui couvre des milliers de risques indépendants. Les actions d'un même marché ne sont pas dans ce cas: elles dépendent toutes, à des degrés divers, de la conjoncture, des taux d'intérêt et du franc, et leurs covariances sont en moyenne positives.

Risque spécifique et risque systématique

Deux sources de risque

Revenons à l'année 4 de l'historique fictif: l'indice gagne 10 %, Helvetia perd 14 %. Une partie des mouvements d'une action vient du marché dans son ensemble — une récession, une hausse des taux, une appréciation du franc touchent toutes les entreprises à la fois — et une partie vient de l'entreprise seule: un contrat, un procès, un produit raté, un dirigeant qui part. Pour séparer les deux, écrivons la rentabilité d'un titre $i$ comme une droite en fonction de celle du marché, plus un reste:

Le coefficient ${\beta }_i$ est la pente de la régression de $R_i$ sur $R_M$: pour que le reste ${\epsilon }_i$ ne soit pas corrélé avec le marché, il faut , donc . Le chapitre 7 montrera pourquoi ce coefficient est mesure du risque qui compte; ici, il n'est qu'un outil de décomposition.

Pourquoi le risque spécifique disparaît et l'autre non

Supposons que les restes ${\epsilon }_i$ de titres différents ne soient pas corrélés entre eux — c'est l'hypothèse du modèle de marché, qui dit que tout ce que les titres ont en commun passe par le marché. Pour un portefeuille équipondéré de $n$ titres, (6.11) donne $R_p=\bar{\alpha }+\bar{\beta }{R}_M+\frac{1}{n}{\sum }_i{\epsilon }_i$, avec la moyenne des bêtas, et donc

Le second terme est la variance spécifique moyenne divisée par $n$: il tend vers zéro. Le premier ne dépend pas de $n$. C'est exactement le théorème 6.4 relu: le plancher $\bar{c}$ y est le risque systématique, et l'excédent qui fond en $1/n$ le risque spécifique.

Le pont vers le chapitre 7

Voici la conséquence qui fonde le chapitre suivant. Le risque spécifique peut être éliminé gratuitement: il suffit de détenir un portefeuille diversifié, ce que tout investisseur peut faire à faible coût avec un fonds indiciel. Un investisseur qui porte volontairement du risque spécifique porte un risque dont il pourrait se débarrasser sans rien sacrifier. Pourquoi le marché le rémunérerait-il? Si une action offrait une prime pour son risque spécifique, les investisseurs diversifiés, qui ne le supportent pas, l'achèteraient jusqu'à faire disparaître cette prime.

La rentabilité espérée d'un titre ne devrait donc dépendre que de son risque systématique, mesuré par son bêta — et non de sa volatilité totale. C'est l'énoncé du MEDAF, que le chapitre 7 démontre: $\mathbb{E}[R_i]=r_f+{\beta }_i(\mathbb{E}[R_M]-r_f)$. Pour Helvetia, , le coût des fonds propres utilisé depuis le chapitre 5. Notez que la volatilité spécifique d'Helvetia, 17,35 %, n'intervient nulle part dans ce calcul: pour le marché, elle ne coûte rien.

La frontière efficiente avec de nombreux actifs

Avec deux titres, la frontière était une courbe unique, fixée par les poids. Avec $n$ titres, il existe une infinité de portefeuilles pour chaque rentabilité espérée visée, et l'on retient pour chacune le moins risqué. C'est le problème posé par Harry Markowitz en 1952:

Nous l'énonçons sans le résoudre. On montre, par la méthode des multiplicateurs de Lagrange, que lorsque les ventes à découvert sont permises et que la matrice des covariances est inversible, l'ensemble des solutions forme dans le plan (volatilité, rentabilité espérée) une hyperbole — la même forme que la frontière de deux titres, mais enveloppant tous les portefeuilles possibles. Son sommet est le portefeuille de variance minimale globale; sa branche supérieure est la frontière efficiente; tout portefeuille à l'intérieur de l'hyperbole est dominé.

Trois propriétés méritent d'être retenues.

• Ajouter un titre ne peut que déplacer la frontière vers la gauche, ou la laisser en place: les portefeuilles anciens restent accessibles avec un poids nul sur le nouveau titre. Un titre à la rentabilité espérée médiocre peut améliorer la frontière s'il est peu corrélé avec les autres; c'est ce qui justifie, dans les portefeuilles des caisses de pension, des classes d'actifs comme l'immobilier ou les obligations à côté des actions.
• Interdire les ventes à découvert revient à ajouter les contraintes $w_i\ge 0$; la frontière est alors plus à droite (moins favorable) et n'est plus une hyperbole unique, mais une suite d'arcs. Le portefeuille témoin de l'exemple 6.5, qui exigeait une vente à découvert, en serait exclu.
• La frontière calculée n'est jamais meilleure que les paramètres qu'on lui donne. Or la section sur l'estimation l'a montré: les rentabilités espérées sont très mal estimées. Un optimiseur à qui l'on donne des espérances bruitées sélectionne précisément les titres dont l'espérance a été surestimée, et produit des portefeuilles extrêmes et instables. Les corrélations elles-mêmes ne sont pas constantes: elles tendent à augmenter dans les crises, au moment où la diversification serait le plus utile. Ce sont des raisons de lire la frontière comme un outil de raisonnement, non comme une recette.

Enfin, la moyenne et la variance ne résument une distribution que si l'investisseur ne se soucie que d'elles, ou si les rentabilités sont proches d'une loi normale. Une variance traite de la même manière une surprise favorable et une défavorable, et elle ignore l'asymétrie que montrait l'exemple 6.2. Ces limites n'effacent pas le résultat central, qui ne dépend pas de la forme de la loi: les covariances, et non les variances, font le risque d'un portefeuille diversifié.

Ce qui manque encore à cette frontière est un actif sans risque, par exemple une obligation de la Confédération à 1 % dans les paramètres du cours. Combiné à un portefeuille risqué, il trace des droites; la meilleure de ces droites touche la frontière efficiente en un seul point, le portefeuille tangent, et cela change tout: le chapitre 7 en fait le portefeuille de marché et en tire le MEDAF.

Synthèse

• La rentabilité d'une période est $(D_1+P_1-P_0)/P_0$, en pour cent du prix d'achat; les rentabilités s'enchaînent par produit, et la moyenne arithmétique (espérance d'une année) dépasse la moyenne géométrique (croissance réalisée) d'autant plus que les rentabilités sont dispersées.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Berk, J., & DeMarzo, P., Finance d'entreprise, Pearson — chapitres sur le risque et la rentabilité et sur le choix de portefeuille optimal.
• Brealey, R., Myers, S., & Allen, F., Principes de gestion financière, Pearson — chapitres sur le risque, la rentabilité et la théorie du portefeuille.
• Vernimmen, P., Finance d'entreprise, Dalloz — partie sur le risque et la diversification.
• Ross, S., Westerfield, R., & Jaffe, J., Corporate Finance, McGraw-Hill — chapitres Capital Market Theory et Return and Risk.
• Markowitz, H., «Portfolio Selection», The Journal of Finance, vol. 7, n° 1, 1952 — l'article fondateur du problème (6.13).