Valeur temps de l'argent · Finance d'entreprise

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

expliquer pourquoi un franc disponible aujourd'hui vaut plus qu'un franc promis dans un an, en termes de coût d'opportunité et non de simple impatience, et refuser d'additionner des montants datés différemment;
capitaliser et actualiser un flux unique en intérêts simples et composés, démontrer les formules de la valeur future et de la valeur actuelle, et manier le facteur d'actualisation;
convertir un taux nominal en taux effectif pour n'importe quelle fréquence de capitalisation, et établir la capitalisation continue comme la limite qui fait apparaître $e^{r t}$ ;
évaluer une annuité ordinaire, une annuité de début de période, une rente perpétuelle, une perpétuité croissante et une annuité croissante, en démontrant chaque formule à partir de la série géométrique;
construire ligne par ligne le tableau d'amortissement d'un prêt à annuités constantes et en vérifier la cohérence;
passer d'un taux nominal à un taux réel par la relation de Fisher, et actualiser des flux nominaux au taux nominal et des flux réels au taux réel — jamais l'un avec l'autre.

Pourquoi un franc aujourd'hui vaut plus qu'un franc demain

Imaginez qu'on vous offre le choix entre recevoir CHF 10 000 aujourd'hui et recevoir CHF 10 000 dans un an, la promesse étant absolument sûre. Presque tout le monde prend l'argent tout de suite. La raison qu'on donne spontanément est l'impatience: on préfère consommer maintenant plutôt que plus tard. C'est une raison réelle, mais ce n'est pas celle sur laquelle repose la finance d'entreprise, et il est important de voir pourquoi.

Supposez que vous soyez parfaitement patient, indifférent au moment où vous consommez. Vous devriez quand même préférer les CHF 10 000 d'aujourd'hui, pour une raison purement arithmétique: si une banque ou la Confédération vous verse 1 % d'intérêt sur un placement sans risque, vous pouvez placer les CHF 10 000 aujourd'hui et disposer de CHF 10 100 dans un an. Recevoir CHF 10 000 dans un an, c'est donc renoncer à CHF 100. Ces CHF 100 sont un coût d'opportunité: la valeur de la meilleure alternative à laquelle on renonce. Le raisonnement ne dit rien de vos goûts; il dit seulement qu'un franc disponible aujourd'hui peut être transformé en plus d'un franc demain, tant que le marché offre un taux positif.

Trois phénomènes distincts se cachent derrière le taux d'intérêt, et le cours les séparera soigneusement:

Le prix du temps lui-même, celui d'un placement sans risque et sans inflation. Il reflète l'arbitrage entre consommer et investir dans l'économie tout entière; c'est ici que l'impatience joue son rôle, au niveau agrégé, mais le financier le prend comme une donnée de marché.
L'inflation: si les prix montent, un franc de l'an prochain achète moins qu'un franc d'aujourd'hui, et le prêteur exige d'en être compensé. La dernière section du chapitre sépare les taux nominaux des taux réels.
Le risque: un franc promis n'est pas un franc reçu. Plus la promesse est incertaine, plus le taux exigé est élevé. Les chapitres 6 et 7 mesurent ce risque et le prix qu'il commande; dans ce chapitre, tous les flux sont certains, et le taux est celui d'un placement de même échéance sans risque.

Le coût d'opportunité est la clé de tout ce qui suit. Quand une entreprise se demande si un projet vaut la peine, elle ne compare pas le projet à «ne rien faire»; elle le compare à ce que ses actionnaires pourraient obtenir en plaçant leur argent ailleurs, à risque égal. Le taux d'actualisation est le rendement de cette alternative, pas un chiffre qu'on choisit par goût.

Intérêt simple et intérêt composé

Deux façons de rémunérer un placement

Vous placez un capital initial $C_{0}$ au taux annuel $r$ pendant $n$ années. Deux conventions sont possibles pour les intérêts.

L'intérêt simple survit dans quelques usages de très court terme (certains calculs d'intérêts courus sur une fraction d'année, les placements du marché monétaire à moins d'un an). Dès que l'horizon dépasse une période, c'est l'intérêt composé qui décrit ce que fait réellement un investisseur: il réinvestit ce qu'il reçoit. Dans tout le cours, «au taux $r$ » signifie intérêt composé.

Démonstration. Notons $K_{t}$ le capital à la fin de l'année $t$ , avec $K_{0} = C_{0}$ .

Intérêt simple. Chaque année ajoute l'intérêt $r C_{0}$ , calculé sur le capital initial: $K_{t} = K_{t - 1} + r C_{0}$ . La suite est arithmétique de raison , d'où .

Intérêt composé. L'intérêt de l'année $t$ est calculé sur le capital de début d'année, intérêts antérieurs compris: $K_{t} = K_{t - 1} + r K_{t - 1} = (1 + r) K_{t - 1}$ . La suite est géométrique de raison ; par récurrence, si , alors , et l'initialisation est vraie. D'où (1.2).

Comparaison. Par la formule du binôme, pour $r > 0$ et $n \geq 2$ ,

(1 + r)^{n} = 1 + n r + (2 n) r^{2} + \dots + r^{n} > 1 + n r,

car tous les termes à partir du troisième sont strictement positifs. Ces termes supplémentaires, multipliés par $C_{0}$ , sont exactement les intérêts produits par des intérêts: le terme en $r^{2}$ compte les intérêts d'une année d'intérêts, celui en $r^{3}$ les intérêts sur ceux-ci, et ainsi de suite. $□$

La différence entre les deux régimes est négligeable sur un an ou deux et devient écrasante sur plusieurs décennies. C'est ce que montre la figure 1.1, et c'est ce que l'exemple 1.1 chiffre.

Le temps de doublement

Une question naturelle: en combien de temps un capital double-t-il? Il suffit de résoudre $(1 + r)^{n} = 2$ , soit

n^{*} = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r )} . (1.3)

À 7 %, $n^{*} = 10, 24$ ans; à 3 %, $23, 45$ ans; à 1 %, $69, 66$ ans. Comme $ln (1 + r) \approx r$ pour $r$ petit, on obtient la règle de 72 des praticiens, $n^{*} \approx 72/ (100 r)$ : elle donne 10,29 ans à 7 % et 24 ans à 3 %. (Le chiffre 72 plutôt que 69,3, c'est-à-dire , compense en partie l'écart entre et aux taux usuels, et 72 a l'avantage d'avoir beaucoup de diviseurs.) Elle suffit pour un calcul mental; pour un chiffre qu'on imprime, on utilise (1.3).

Question 1.1

Deux placements de CHF 10 000 durent 20 ans au taux de 7 %: A en intérêt simple, B en intérêt composé. Après 20 ans, A vaut CHF 24 000 et B vaut CHF 38 696,84. Quels énoncés sont exacts?

Plusieurs réponses possibles

Valeur actuelle et actualisation

Remonter le temps

La capitalisation répond à la question «combien vaudra demain ce que j'ai aujourd'hui?». La question inverse est au cœur de la finance d'entreprise: combien vaut aujourd'hui un montant que je recevrai plus tard? Un projet, une obligation, une action ne sont rien d'autre que des promesses de flux futurs; leur valeur est ce que ces promesses valent maintenant.

Démonstration. Montant unique. Cherchons le montant $X$ qu'il faudrait placer aujourd'hui pour disposer exactement de $C_{n}$ à la date $n$ . Par (1.2), $X (1 + r)^{n} = C_{n}$ , donc . Montrons que est le seul prix possible pour la promesse de recevoir . Si quelqu'un vendait cette promesse à un prix , on pourrait l'acheter en empruntant au taux : à la date , on reçoit et on rembourse , et l'on empoche la différence sans avoir rien investi ni risqué. Si la promesse se vendait à , on la vendrait (on s'engagerait à verser ) et l'on placerait pour honorer l'engagement, empochant aujourd'hui. Dans un marché où ces opérations sont possibles, aucun prix autre que ne peut subsister: c'est la .

Plusieurs flux. Une suite de flux est un portefeuille de promesses indépendantes, une par date. Chacune vaut $C_{t} (1 + r)^{- t}$ par ce qui précède. Si le portefeuille se vendait à un prix différent de la somme des prix de ses composantes, on achèterait le moins cher des deux (le portefeuille ou les composantes séparées) et on vendrait l'autre, avec un gain certain. Le prix du portefeuille est donc la somme (1.5). $□$

La démonstration dit aussi pourquoi $r$ est le bon taux: c'est le taux auquel on peut effectivement placer et emprunter pour reproduire les flux. Si les flux sont risqués, ce taux n'est plus celui d'un placement sans risque, mais celui d'un placement de même risque — c'est tout l'objet des chapitres 6 à 8. L'additivité (1.5), elle, reste vraie en toutes circonstances; c'est elle qui rendra la valeur actuelle nette additive au chapitre 2.

La ligne du temps des flux

Pour raisonner sur des flux datés, on les dessine sur une ligne du temps: un axe horizontal gradué en périodes, où la date 0 est aujourd'hui et la date $t$ est la fin de la période $t$ . Le cours adopte une convention fixe, que vous retrouverez dans chaque chapitre:

un encaissement (un flux reçu) est une flèche vers le haut, un décaissement (un flux payé) une flèche vers le bas;
la longueur de chaque flèche est proportionnelle au montant, à une échelle unique dans la figure, pour que l'œil compare les flux sans lire les chiffres;
le montant est écrit à côté de la flèche, sans signe: la direction le porte déjà.

Une date $t$ désigne toujours la fin d'une période. «Aujourd'hui» est la date 0; «dans un an» est la date 1. Les confusions entre le début et la fin d'une période sont la première source d'erreurs dans les calculs d'annuités: dessinez la ligne du temps avant d'écrire une formule.

Question 1.2

Un héritage de CHF 25 000 vous sera versé avec certitude dans 6 ans. Le taux sans risque à 6 ans est de 2,5 % par an (taux propre à cet exercice). Quelle est la valeur actuelle de cet héritage, en francs?

Taux nominal, taux effectif et capitalisation continue

Quand les intérêts sont versés plus d'une fois par an

Les taux sont presque toujours annoncés par an, alors que les intérêts sont souvent versés plus souvent: chaque trimestre sur un prêt hypothécaire, chaque mois sur un crédit à la consommation ou un leasing. Un taux annoncé de 6 % avec des versements mensuels signifie que la banque applique $6/12 = 0, 5 %$ chaque mois — et que les intérêts de janvier produisent déjà des intérêts en février. Le taux réellement obtenu sur l'année est donc plus élevé que 6 %.

Démonstration. Un franc placé au taux périodique $j / m$ pendant les $m$ sous-périodes d'une année devient, par (1.2) appliqué avec $m$ périodes, $(1 + j / m)^{m}$ francs. Le taux effectif est défini par l'égalité des valeurs futures après un an: $1 + r = (1 + j / m)^{m}$ , d'où (1.6). Pour l'inverse, on cherche le taux par sous-période tel que , soit . Enfin, la fonction est strictement croissante sur et, par l'inégalité du binôme de la démonstration 1.1, pour ; comme , on a .

Le tableau ci-dessous applique (1.6) à un taux nominal de 6 %. Chaque ligne est calculée, pas estimée.

Capitalisation	$m$	Taux périodique	Taux effectif annuel
annuelle	1	6 %	6,0000 %
semestrielle	2	3 %	6,0900 %
trimestrielle	4	1,5 %	6,1364 %
mensuelle	12	0,5 %	6,1678 %
hebdomadaire	52	0,1154 %	6,1800 %
quotidienne	365	0,0164 %	6,1831 %
continue	$\infty$	—	6,1837 %

Deux observations. D'abord, le taux effectif croît avec la fréquence de capitalisation: plus les intérêts sont versés tôt, plus tôt ils produisent eux-mêmes des intérêts. Ensuite, il croît de moins en moins: passer de l'annuel au semestriel ajoute 0,09 point de pourcentage, passer du quotidien au continu n'en ajoute qu'environ 0,0005. La suite converge, et sa limite est l'objet du paragraphe suivant.

Dans l'autre sens, un taux effectif de 6 % correspond à un taux mensuel équivalent de $1, 0 6^{1/12} - 1 = 0, 4868 %$ , et non aux 0,5 % du taux proportionnel. Une banque qui annoncerait «6 % par an» en appliquant 0,5 % par mois vous facturerait en réalité 6,1678 % effectifs.

La capitalisation continue

Que se passe-t-il si la fréquence de capitalisation devient infinie — si les intérêts sont versés à chaque instant? La suite des taux effectifs du tableau suggère une limite finie. La démontrer fait apparaître la fonction exponentielle, qui est l'outil de la finance dès qu'on travaille en temps continu (évaluation des options, modèles de taux).

Démonstration. Pour $m$ assez grand, $1 + r_{c} / m > 0$ et l'on peut passer au logarithme:

ln (1 + \frac{r _{c}}{m})^{m} = m ln (1 + \frac{r _{c}}{m}) .

Si $r_{c} = 0$ , les deux membres de (1.7) valent 1. Sinon, posons $x = r_{c} / m$ , qui tend vers 0 quand $m \to \infty$ ; alors

m ln (1 + \frac{r _{c}}{m}) = r_{c} \cdot \frac{ln ( 1 + x )}{x} .

Or $\frac{ln ( 1 + x )}{x} = \frac{ln ( 1 + x ) - ln 1}{x}$ est le taux d'accroissement du logarithme en 1, qui tend vers la dérivée $ln^{'} (1) = 1/1 = 1$ quand . Le logarithme de tend donc vers , et par continuité de l'exponentielle, , ce qui établit (1.7).

Pour une durée $t$ , un placement capitalisé $m$ fois par an pendant $t$ années compte $m t$ sous-périodes (supposons $m t$ entier, ce qu'on peut toujours obtenir en choisissant $m$ le long d'une suite adaptée): la valeur acquise est $C_{0} (1 + r_{c} / m)^{m t} = C_{0} [(1 + r_{c} / m)^{m}]^{t}$ , qui tend vers par (1.7) et continuité de . La valeur actuelle s'en déduit comme au théorème 1.2, en résolvant . Enfin, (1.8) exprime l'égalité des valeurs futures après un an entre le taux effectif et le taux continu: .

À 6 % continu, le taux effectif vaut $e^{0, 06} - 1 = 6, 1837 %$ , la dernière ligne du tableau. Inversement, un taux effectif de 6 % correspond à un taux continu de $ln 1, 06 = 5, 8269 %$ . Sur de longues durées l'écart se voit: CHF 10 000 placés 30 ans à 7 % continu deviennent $10000 e^{2, 1} = CHF 81661, 70$ , contre CHF 76 122,55 à 7 % effectif annuel.

L'intérêt pratique du temps continu n'est pas de décrire des banques qui verseraient des intérêts à chaque seconde — aucune ne le fait. Il est algébrique: les taux continus s'additionnent. Sur deux périodes successives aux taux continus $r_{1}$ et $r_{2}$ , le facteur de capitalisation vaut $e^{r_{1}} e^{r_{2}} = e^{r_{1} + r_{2}}$ , alors qu'en taux effectifs il faut multiplier . C'est pour cette raison que les rendements d'actions sont souvent mesurés en logarithmes, et que les modèles d'options travaillent en temps continu.

Question 1.3

Un compte d'épargne annonce un taux nominal de 4,8 % par an, capitalisé mensuellement (taux propre à cet exercice). Quel est son taux effectif annuel? Donnez la réponse en pourcentage, avec deux décimales.

Annuités

L'annuité ordinaire

Un prêt remboursé par mensualités égales, un loyer, une rente de retraite, les coupons d'une obligation: une grande partie des contrats financiers promettent le même montant à intervalles réguliers. Évaluer ces suites de flux terme par terme serait fastidieux; la série géométrique donne une formule fermée.

Démonstration. Par (1.5), la valeur actuelle est la somme des valeurs actuelles des $n$ versements. Notons $v = (1 + r)^{- 1}$ le facteur d'actualisation d'une période; comme $r \neq = 0$ et $r > - 1$ , on a . Alors

VA = t = 1 \sum n C v^{t} = C v (1 + v + v^{2} + \dots + v^{n - 1}) = C v \frac{1 - v ^{n}}{1 - v},

par la formule de la somme des $n$ premiers termes d'une suite géométrique de raison $v \neq = 1$ (rappelée en annexe A et démontrée dans Analyse I, chapitre 4, «Séries numériques»). Il reste à simplifier le quotient $v / (1 - v)$ :

1 - v = 1 - \frac{1}{1 + r} = \frac{r}{1 + r}, \frac{v}{1 - v} = \frac{1/ ( 1 + r )}{r / ( 1 + r )} = \frac{1}{r} .

D'où $VA = C (1 - v^{n}) / r = C (1 - (1 + r)^{- n}) / r$ , qui est (1.9).

Pour la valeur future, deux voies mènent au même résultat. Soit on capitalise chaque versement jusqu'à la date $n$ — le versement de la date $t$ y vaut $C (1 + r)^{n - t}$ — et l'on somme une nouvelle série géométrique; soit, plus directement, on capitalise la valeur actuelle sur $n$ périodes par (1.2):

VF = VA (1 + r)^{n} = C \frac{( 1 + r ) ^{n} - ( 1 + r ) ^{n} ( 1 + r ) ^{- n}}{r} = C \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r} . □

La figure 1.2 montre ce que dit la formule. Chaque versement de CHF 1 000 vaut moins, aujourd'hui, que le précédent, parce qu'il arrive plus tard; la valeur actuelle de l'annuité est la somme de ces valeurs décroissantes, et c'est exactement le prix qu'un acheteur rationnel paierait aujourd'hui pour recevoir l'annuité.

Sur l'exemple de la figure, (1.9) donne $A (0, 05; 5) = 4, 329477$ , d'où $VA = 1000 \times 4, 329477 = CHF 4329, 48$ — la somme, au centime près, des cinq valeurs actuelles $952, 38 + 907, 03 + 863, 84 + 822, 70 + 783, 53$ . La valeur future de la même annuité, à la date 5, vaut par (1.10) , et l'on vérifie que .

L'annuité de début de période

Un loyer se paie d'avance, une prime d'assurance aussi, et beaucoup de plans d'épargne prévoient un versement dès l'ouverture. Ces suites de flux commencent à la date 0.

Démonstration. Chaque versement de l'annuité de début de période a lieu une période plus tôt que le versement correspondant de l'annuité ordinaire. Avancer un flux d'une période multiplie sa valeur, à toute date d'évaluation fixée, par $1 + r$ : le flux de la date $t - 1$ vaut à la date 0 $C (1 + r)^{- (t - 1)} = (1 + r) C (1 + r)^{- t}$ . En sommant sur , on factorise devant la somme (1.9); même raisonnement pour la valeur future, évaluée à la date .

Dans l'exemple de la figure, si les cinq versements de CHF 1 000 avaient lieu aux dates 0 à 4, la valeur actuelle serait $1, 05 \times 4329, 48 = CHF 4545, 95$ .

Question 1.4

Une PME loue une machine pour huit ans. Le contrat prévoit huit loyers annuels de CHF 3 000, payés à la fin de chaque année. Le taux d'actualisation est de 4 % par an (taux propre à cet exercice). Quelle est la valeur actuelle des loyers, en francs?

Rentes perpétuelles et perpétuités croissantes

La rente perpétuelle comme limite

Que vaut une annuité qui ne s'arrête jamais? La question n'est pas théorique. Certaines obligations d'État ont été émises sans échéance; une fondation qui finance une bourse d'études chaque année «à perpétuité» doit savoir quel capital y consacrer; et surtout, une entreprise en activité n'a pas de date de fin prévue — sa valeur est celle d'une suite de flux sans terme, et ce chapitre prépare l'outil qui permettra de la calculer.

Démonstration. Par (1.9), la valeur actuelle des $n$ premiers versements est $C (1 - (1 + r)^{- n}) / r$ . Si $r > 0$ , alors $1 + r > 1$ et avec , donc quand . La limite vaut . Si , la somme des premiers versements vaut , qui tend vers l'infini (pour ); si , alors , les termes ne tendent pas vers 0 et la série diverge.

La formule a une interprétation qui vaut une seconde démonstration. Placez $C / r$ francs au taux $r$ : chaque année, ils rapportent exactement $r \cdot C / r = C$ d'intérêts, que vous retirez, et le capital reste intact pour l'année suivante — éternellement. Vous avez reproduit la rente perpétuelle avec $C / r$ francs; par la loi du prix unique, c'est son prix. À 5 %, une rente de CHF 1 000 par an vaut CHF 20 000.

Cette limite est atteinte lentement ou vite selon le taux. À 5 %, les 30 premiers versements valent $1000 \times A (0, 05; 30) = CHF 15372, 45$ , soit 76,86 % de la valeur de la perpétuité; il faut 47,19 ans pour atteindre 90 % de cette valeur. Les versements au-delà de l'année 30 représentent donc 23,14 % de la valeur de la perpétuité — en effet, $1, 0 5^{- 30} = 0, 2314$ : au-delà de l'année $n$ , la perpétuité vaut exactement la fraction de sa valeur totale, puisqu'une perpétuité qui démarre après la date vaut à la date et donc aujourd'hui.

La perpétuité croissante

Une rente qui ne croît jamais est une abstraction dans une économie où les prix et les revenus augmentent. Le cas qui compte vraiment en finance d'entreprise est celui d'un flux qui croît à taux constant: c'est le modèle le plus simple d'une entreprise en régime de croisière, dont les bénéfices et les dividendes suivent la croissance de l'économie. Le chapitre 5 bâtit sur ce résultat le modèle de Gordon-Shapiro, qui évalue une action comme la valeur actuelle de ses dividendes futurs; il vaut donc la peine de le démontrer avec soin, et d'en voir les conditions.

Démonstration. Par (1.5), la valeur actuelle des $n$ premiers flux est

VA_{n} = t = 1 \sum n \frac{C _{1} ( 1 + g ) ^{t - 1}}{( 1 + r ) ^{t}} = \frac{C _{1}}{1 + r} t = 1 \sum n (\frac{1 + g}{1 + r})^{t - 1} = \frac{C _{1}}{1 + r} k = 0 \sum n - 1 x^{k}, x = \frac{1 + g}{1 + r} > 0.

(a) Si $g \neq = r$ , alors $x \neq = 1$ et la somme géométrique vaut $(1 - x^{n}) / (1 - x)$ . Or

1 - x = \frac{( 1 + r ) - ( 1 + g )}{1 + r} = \frac{r - g}{1 + r}, donc \frac{C _{1}}{1 + r} \cdot \frac{1}{1 - x} = \frac{C _{1}}{r - g},

ce qui donne (1.13).

(b) Si $g < r$ , alors $0 < x < 1$ et $x^{n} \to 0$ : la limite de (1.13) est $C_{1} / (r - g)$ .

(c) Si $g = r$ , alors $x = 1$ et chaque terme vaut $C_{1} / (1 + r)$ : la somme partielle vaut $n C_{1} / (1 + r)$ , qui tend vers l'infini. Si , alors , les termes croissent sans borne et la série diverge a fortiori. Dans les deux cas, la condition nécessaire de convergence d'une série — son terme général doit tendre vers 0 — est violée.

Trois remarques, qui serviront au chapitre 5.

Le premier flux est celui de la date 1. Si l'on connaît le flux de la date 0 qui vient d'être versé, $C_{0}$ , le numérateur de (1.14) est $C_{1} = C_{0} (1 + g)$ . Oublier ce facteur est l'erreur la plus fréquente dans l'usage de la formule.
La croissance rapproche le dénominateur de zéro. La valeur est très sensible à l'écart : avec et , elle vaut CHF 20 000 pour et CHF 33 333,33 pour . Une erreur d'un point sur déplace la valeur bien plus qu'une erreur d'un point sur .

La formule (1.13) admet une lecture qui la rend facile à retenir: l'annuité croissante est la différence de deux perpétuités croissantes, celle qui commence à la date 1 et celle qui commence à la date $n + 1$ . La seconde a pour premier flux $C_{1} (1 + g)^{n}$ et vaut, à la date $n$ , $C_{1} (1 + g)^{n} / (r - g)$ ; actualisée sur périodes, elle vaut aujourd'hui. La différence est exactement (1.13). La même lecture, avec , redonne l'annuité constante (1.9) comme différence de deux rentes perpétuelles.

Enfin, on complète le tableau avec le cas $g = r$ exclu de (1.13): chaque terme vaut alors $C_{1} / (1 + r)$ et

VA_{n} = \frac{n C _{1}}{1 + r} (g = r), (1.15)

ce qu'on retrouve aussi comme limite de (1.13) quand $g \to r$ (exercice 1.5).

L'explorateur de la valeur temps

L'explorateur ci-dessous permet de faire varier les trois grandeurs de la capitalisation et de l'actualisation. Remarquez deux choses. D'abord, la valeur acquise et la valeur actuelle sont l'image l'une de l'autre: le facteur d'actualisation est l'inverse exact du facteur de capitalisation, et leur produit vaut 1 quel que soit le réglage. Ensuite, la part des intérêts sur intérêts — exprimée en pourcentage des intérêts totaux, et non de la valeur finale — croît avec la durée bien plus fortement qu'avec le taux: à 5 %, elle passe de 20,5 % des intérêts totaux après 10 ans à 54,8 % après 30 ans.

Explorateur 1.1 · Explorateur de la valeur temps

Choisissez un montant, un taux et une durée. La colonne empilée montre ce que devient le montant placé: le capital, les intérêts simples qu'il produit chaque année, et les intérêts gagnés sur les intérêts. La courbe en tirets est la valeur actuelle du même montant reçu à la date t: elle descend exactement comme la valeur acquise monte. Observez comme la part des intérêts sur intérêts grandit avec la durée bien plus vite qu'avec le taux.

Taux annuel r5,0%

Durée n25ans

Montant M10 000CHF

Valeur acquise M(1 + r)ⁿ

33 864CHF

Valeur actuelle M(1 + r)⁻ⁿ

2 953CHF

Facteur d'actualisation

0,2953

Intérêts simples cumulés

12 500CHF

Intérêts sur intérêts

11 364CHF

Intérêts sur intérêts, en % des intérêts totaux

47,6%

Le tableau d'amortissement d'un prêt

Rembourser un prêt par annuités constantes

Un prêt à annuités constantes est remboursé par des versements égaux, chacun couvrant les intérêts de la période et une partie du capital. C'est le mode de remboursement des crédits à la consommation, de la plupart des leasings et de nombreux prêts d'entreprise. L'annuité est fixée par une condition simple: la valeur actuelle des versements, au taux du prêt, doit être égale au capital emprunté. Pour la banque, le prêt est un placement au taux $r$ ; pour l'emprunteur, c'est une annuité ordinaire qu'il vend contre le capital reçu aujourd'hui. Par (1.9),

K_{0} = a \cdot A (r, n) ⟺ a = \frac{K _{0} r}{1 - ( 1 + r ) ^{- n}} . (1.16)

Le contexte suisse du crédit hypothécaire

En Suisse, un achat immobilier est financé en grande partie par une hypothèque, souvent scindée en deux rangs. L'hypothèque de premier rang, qui couvre la part la plus sûre du financement, n'est souvent pas amortie du tout: l'emprunteur n'en paie que les intérêts, et le prêt est renouvelé à son échéance. L'hypothèque de second rang, au-delà, doit être amortie dans un délai fixé par les directives d'autorégulation des banques. L'amortissement peut être direct (le capital dû diminue, et avec lui les intérêts) ou indirect (l'emprunteur verse les montants sur un compte de prévoyance liée du pilier 3a, nanti en faveur de la banque, et la dette reste constante). Dans l'amortissement direct, la pratique suisse la plus courante est de rembourser une tranche constante de capital chaque année; les offres à annuités constantes existent aussi, et ce sont elles que la formule (1.16) décrit. L'exercice 1.4 construit l'autre variante.

Question 1.5

Vous construisez une ligne du tableau d'amortissement d'un prêt à annuités constantes. Remettez les opérations dans l'ordre.

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Calculer le capital final: capital initial moins amortissement

Calculer l'intérêt de l'année: taux du prêt × capital initial, arrondi au centime

Contrôler, après la dernière ligne, que la somme des amortissements égale le capital emprunté

Reprendre comme capital initial le capital final de la ligne précédente

Calculer l'amortissement: annuité moins intérêt

Taux nominaux, taux réels et relation de Fisher

Le taux réel

Jusqu'ici, un franc de l'année prochaine était un franc: on ne s'est pas demandé ce qu'il permettrait d'acheter. Or si les prix montent de 2 % par an, un placement à 3 % n'enrichit son détenteur que d'environ 1 % en pouvoir d'achat. Le taux affiché par la banque est un taux nominal; ce qui intéresse l'épargnant, c'est le taux réel. Le cours de Macroéconomie (chapitre 3, «Prix, inflation et coût de la vie») établit cette relation du point de vue de l'économie tout entière; ici, elle sert à actualiser des flux.

Attention à la collision de vocabulaire: le «taux nominal» de cette section s'oppose au taux réel, alors que le «taux nominal annuel» de la section sur la capitalisation s'opposait au taux effectif. Les deux distinctions sont indépendantes: un taux peut être nominal au sens de Fisher et effectif au sens de (1.6), et c'est même le cas de presque tous les taux qu'on utilise pour actualiser.

Démonstration. Notons $P_{0}$ et $P_{1} = P_{0} (1 + π)$ le prix d'un panier de biens aujourd'hui et dans un an. Un franc placé aujourd'hui au taux nominal devient $1 + r_{nom}$ francs dans un an. Aujourd'hui, ce franc achète panier; dans un an, le montant acquis achète paniers. La croissance du pouvoir d'achat est donc

1 + r_{r \overset{e}{ˊ} el} = \frac{( 1 + r _{nom} ) / P _{1}}{1/ P _{0}} = \frac{1 + r _{nom}}{1 + π},

ce qui est (1.17). Pour l'écart à l'approximation,

(r_{nom} - π) - r_{r \overset{e}{ˊ} el} = (r_{nom} - π) - \frac{r _{nom} - π}{1 + π} = (r_{nom} - π) \frac{π}{1 + π} .

Pour l'équivalence des deux actualisations, soit $C_{t}^{r \overset{e}{ˊ} el}$ un flux en francs de la date 0 et $C_{t}^{nom} = C_{t}^{r \overset{e}{ˊ} el} (1 + π)^{t}$ le même flux en francs de la date , l'inflation étant supposée constante. Par (1.17) élevée à la puissance , , donc

\frac{C _{t}^{nom}}{( 1 + r _{nom} ) ^{t}} = \frac{C _{t}^{r \overset{e}{ˊ} el} ( 1 + π ) ^{t}}{( 1 + r _{r \overset{e}{ˊ} el} ) ^{t} ( 1 + π ) ^{t}} = \frac{C _{t}^{r \overset{e}{ˊ} el}}{( 1 + r _{r \overset{e}{ˊ} el} ) ^{t}} .

Terme à terme, les deux actualisations coïncident; par (1.5), leurs sommes aussi. $□$

Pour un compte d'épargne à 1,5 % nominal quand l'inflation est de 0,8 %, le taux réel vaut $1, 015/1, 008 - 1 = 0, 6944 %$ ; l'approximation donne 0,70 %, soit une surestimation de 0,0056 point de pourcentage, exactement $(0, 015 - 0, 008) \times 0, 008/1, 008$ . Aux taux suisses usuels, l'approximation est excellente; elle cesse de l'être quand l'inflation est forte.

Piège: actualiser des flux nominaux à un taux réel, ou l'inverse

Un loyer de CHF 24 000 en francs d'aujourd'hui, indexé sur une inflation de 1 %, sera versé pendant trois ans: les flux nominaux sont CHF 24 240,00, 24 482,40 et 24 727,22. Au taux nominal de 3 % (taux propre à cet exemple), leur valeur actuelle est CHF 69 239,90. Au taux réel $1, 03/1, 01 - 1 = 1, 9802 %$ , les flux réels de CHF 24 000 donnent la même valeur, CHF 69 239,90, comme l'annonce le théorème 1.9. Mais actualiser les flux nominaux au taux réel donne CHF 70 624,77, une surestimation de CHF 1 384,87 (2,00 % de la valeur correcte); actualiser les flux réels au taux nominal donne CHF 67 886,67, une sous-estimation de CHF 1 353,23 (1,95 % de la valeur correcte). Règle: flux nominaux au taux nominal, flux réels au taux réel. Les taux cotés sur les marchés sont nominaux; les prévisions d'une entreprise sont presque toujours faites en francs courants, donc nominales.

Helvetia Instruments SA, l'entreprise du cours

Tout au long du cours, une même entreprise vous accompagnera: Helvetia Instruments SA, fabricant suisse d'instruments de mesure de précision, cotée à la SIX Swiss Exchange. Elle est fictive, comme toutes ses données; ses chiffres ont été construits pour que les chapitres, qui l'examinent chacun sous un angle différent, concordent entre eux. Voici ce que le marché en montre aujourd'hui.

Donnée	Valeur
Activité	instruments de mesure de précision
Cotation	SIX Swiss Exchange
Actions en circulation	10 000 000
Cours de l'action	CHF 50
Capitalisation boursière	CHF 500 M
Dette financière	CHF 200 M

La capitalisation boursière est le produit du nombre d'actions par le cours: $10000000 \times 50 = CHF 500$ millions. Ce chiffre est la valeur que le marché attribue aujourd'hui aux fonds propres de l'entreprise, c'est-à-dire, si ce chapitre a raison, la valeur actuelle de tout ce que les actionnaires s'attendent à recevoir. Est-ce justifié? Pour répondre, il faudra savoir quels dividendes l'entreprise versera, à quel rythme ils croîtront, et à quel taux les actualiser compte tenu de leur risque. Le chapitre 5 fera ce calcul avec une perpétuité croissante; les chapitres 6 à 8 fourniront le taux. Pour l'instant, retenez l'idée: un cours de bourse est une valeur actuelle.

Ce chapitre ne connaît que des flux certains, et Helvetia en a aussi.

Synthèse

Un franc aujourd'hui vaut plus qu'un franc demain parce qu'il peut être placé: le taux d'intérêt mesure un coût d'opportunité, le rendement de la meilleure alternative de même risque, et non une préférence personnelle. On ne compare, n'additionne ou ne soustrait des montants qu'à la même date.
Capitaliser, c'est multiplier par $(1 + r)^{n}$ ; actualiser, par le facteur $(1 + r)^{- n}$ . La valeur actuelle d'une suite de flux certains est la somme des valeurs actuelles de chacun, par la loi du prix unique. En intérêt composé, les intérêts sur intérêts dominent sur longue durée: 68,24 % des intérêts totaux pour CHF 10 000 placés 30 ans à 7 %.
Un taux nominal $j$ capitalisé fois équivaut au , croissant avec et tendant vers : la au taux donne , avec .

Série d'exercices du chapitre 1Exercice 1 sur 5

Question 1.6

Une perpétuité croissante verse CHF 100 à la date 1, puis des montants croissant de 5 % par an. Le taux d'actualisation est de 4 %. Que vaut-elle?

Problème guidé 1.1 · Une bourse d'études à perpétuité

Une fondation (fictive) veut financer chaque année une bourse d'études de CHF 12 000, la première dans un an. Son capital est placé à 3 % par an, taux nominal propre à cet exercice. On suppose une inflation constante de 1 % par an. Combien de capital faut-il consacrer à la bourse, selon qu'elle est fixe ou indexée, et selon qu'elle est perpétuelle ou limitée à 25 ans?

Une bourse fixe, à perpétuité

Si la bourse reste de CHF 12 000 nominaux chaque année, c'est une rente perpétuelle.

Question

Quel capital faut-il aujourd'hui, en francs?

Une bourse indexée, à perpétuité

Une bourse indexée, limitée à 25 ans

Le même calcul en termes réels

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 1.1 · Capitaliser, actualiser, doubler

Tous les taux de cet exercice lui sont propres.

Quelle est la valeur acquise par CHF 8 000 placés 12 ans à 2,5 % par an?
Quelle est la valeur actuelle de CHF 15 000 reçus dans 7 ans, au taux de 4 %?
À quel taux annuel faut-il placer CHF 8 000 pour disposer de CHF 12 000 dans 12 ans?
En combien d'années un capital double-t-il à 2,5 %? Comparez avec la règle de 72.

Solution

1. Par (1.2): $8000 \times 1, 02 5^{12} = CHF 10759, 11$ .

Exercice 1.2 · Trois comptes d'épargne

Trois banques (fictives) proposent un compte d'épargne: A annonce 2,0 % nominal capitalisé trimestriellement, B 2,02 % capitalisé annuellement, C 1,99 % capitalisé continûment.

Calculez le taux effectif annuel de chaque offre et classez-les.
Quelle valeur atteint un dépôt de CHF 100 000 après cinq ans dans chaque banque?
Quel taux continu est équivalent à l'offre A?

Solution

1. Par (1.6) et (1.8):

r_{A} = (1 + \frac{0 , 02}{4})^{4} - 1 = 2, 0151 %, r_{B} = 2, 0200 %, r_{C} = e^{0, 0199} - 1 = 2, 0099 %.

Exercice 1.3 · Un plan d'épargne sur trente ans

Une personne verse CHF 6 000 par an sur un compte d'épargne rémunéré à 2 % par an (taux propre à cet exercice), pendant 30 ans.

Quel capital aura-t-elle accumulé à la date du dernier versement si elle verse en fin d'année?
Et si elle verse en début d'année? Dans ce cas, le capital est évalué à la fin de la trentième année.
Dans le cas 1, quelle part du capital final représentent les intérêts?
Quel versement annuel de fin d'année lui faudrait-il pour accumuler CHF 250 000?

Solution

1. C'est la valeur future d'une annuité ordinaire (1.10):

VF = 6000 \times \frac{1 , 0 2 ^{30} - 1}{0 , 02} = 6000 \times 40, 568079 = CHF 243408, 48.

Exercice 1.4 · Amortissement constant contre annuités constantes

Une PME emprunte CHF 80 000 sur quatre ans au taux de 2,5 % (taux propre à cet exercice), intérêts payés en fin d'année.

Construisez le tableau d'amortissement si le prêt est remboursé par tranches constantes de capital.
Calculez l'annuité constante qui rembourserait le même prêt, et le total des intérêts payés dans ce cas (construisez le tableau en arrondissant chaque intérêt au centime).
Pourquoi le total des intérêts diffère-t-il? Lequel des deux prêts est le plus cher pour l'emprunteur?

Solution

1. La tranche de capital vaut $80 000/4 = CHF 20000$ par an. L'intérêt, calculé sur le capital de début d'année, décroît:

Année	Capital initial	Intérêt	Amortissement	Versement	Capital final
1	80 000,00	2 000,00	20 000,00	22 000,00	60 000,00
2	60 000,00	1 500,00	20 000,00	21 500,00	40 000,00
3	40 000,00	1 000,00	20 000,00	21 000,00	20 000,00
4	20 000,00	500,00	20 000,00

Exercice 1.5 · Démonstrations: l'annuité croissante et la perpétuité continue

Démontrez la formule (1.13) de l'annuité croissante sans sommer de série, en l'écrivant comme la différence de deux perpétuités croissantes, pour $g < r$ .
Montrez que, pour $n$ fixé, (1.13) tend vers $n C_{1} / (1 + r)$ quand $g \to r$ , et retrouvez (1.15) directement.

Références

Berk, J. et DeMarzo, P., Finance d'entreprise, Pearson (valeur temps de l'argent, annuités et perpétuités, taux effectifs et relation de Fisher: les chapitres d'ouverture).
Brealey, R., Myers, S. et Allen, F., Principes de gestion financière, Pearson (valeur actuelle, perpétuités croissantes et taux nominaux et réels).
Vernimmen, P., Finance d'entreprise, Dalloz (capitalisation, actualisation et mathématiques financières, dans la tradition francophone).
Ross, S., Westerfield, R. et Jaffe, J., Corporate Finance, McGraw-Hill (discounted cash flow valuation, loan amortisation).
Damodaran, A., Corporate Finance: Theory and Practice, Wiley (time value of money and the logic of discounting).
Hull, J., Options, futures et autres actifs dérivés, Pearson, chapitre 4 (fréquence de capitalisation, taux continus et conversion entre taux).

Année	Capital initial	Intérêt	Amortissement	Annuité	Capital final
1	150 000,00	3 375,00	13 543,15	16 918,15	136 456,85
2	136 456,85	3 070,28	13 847,87	16 918,15	122 608,98
3	122 608,98	2 758,70	14 159,45	16 918,15	108 449,53
4	108 449,53	2 440,11	14 478,04	16 918,15	93 971,49
5	93 971,49	2 114,36	14 803,79	16 918,15	79 167,70
6	79 167,70	1 781,27	15 136,88	16 918,15	64 030,82
7	64 030,82	1 440,69	15 477,46	16 918,15	48 553,36
8	48 553,36	1 092,45	15 825,70	16 918,15	32 727,66
9	32 727,66	736,37	16 181,78	16 918,15	16 545,88
10	16 545,88	372,28	16 545,88	16 918,16	0,00
Total		19 181,51	150 000,00	169 181,51