Les flux de trésorerie d'un projet

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

expliquer pourquoi la finance actualise des flux de trésorerie et non des bénéfices comptables, et montrer sur un exemple que les deux coïncident en total mais pas dans le temps;
dériver le flux de trésorerie disponible d'un projet à partir de son compte de résultat, $FCF = EBIT (1 - τ) + amortissement - investissement - Δ BFR$ , et le calculer par trois chemins qui doivent concorder;
démontrer que l'amortissement vaut, en trésorerie, une économie d'impôt $τ \times amortissement$ , et expliquer pourquoi un plan d'amortissement plus rapide crée de la valeur sans changer le total des impôts;
justifier le signe moins de la variation du besoin en fonds de roulement, calculer le coût d'un BFR immobilisé puis récupéré, et trier les flux pertinents d'un projet (coûts irrécupérables, coûts d'opportunité, cannibalisation, frais de structure imputés);

Pourquoi la finance actualise de la trésorerie

Deux calculs pour un même projet

Le conseil d'administration d'Helvetia Instruments SA — la société fictive qui accompagne tout ce cours — examine une nouvelle ligne de production d'instruments de mesure. Le contrôleur de gestion présente le projet comme il présenterait n'importe quelle activité: un compte de résultat prévisionnel. La ligne coûte CHF 10 M, amortis linéairement sur cinq ans; elle doit vendre pour CHF 8,0 M par an et supporter CHF 4,5 M de charges décaissées. Après un amortissement de CHF 2,0 M et un impôt de 20 % sur le résultat d'exploitation, elle dégage CHF 1,2 M de résultat par an, cinq années durant.

Un administrateur fait alors le calcul qui vient spontanément: «La ligne coûte 10 et rapporte 1,2 par an pendant cinq ans. Au CMPC de 5,8 %, la valeur actuelle de ces bénéfices est

1, 2 \times t = 1 \sum 5 \frac{1}{1 , 05 8 ^{t}} = 1, 2 \times 4, 235382 = 5, 0825 CHF M,

soit une VAN de $5, 0825 - 10 = - 4, 9175$ CHF M. Il faut rejeter.»

Le chapitre 2 a pourtant établi, sur ce même projet, une VAN de CHF 3,3567 M et un TRI de 16,2258 %. L'un des deux calculs est faux, et de près de CHF 8,3 M. C'est celui de l'administrateur, et comprendre pourquoi est l'objet de la première moitié de ce chapitre. En deux mots: il a compté l'investissement deux fois — une fois en retranchant les CHF 10 M à la date 0, une fois encore à travers les CHF 2,0 M d'amortissement déduits chaque année de son bénéfice. Le bénéfice comptable n'est pas un flux d'argent; c'est une mesure de performance construite pour répartir les coûts dans le temps, et c'est précisément cette répartition qui le rend impropre à l'actualisation.

Les paramètres de marché utilisés dans ce chapitre — le taux d'impôt de 20 %, le CMPC de 5,8 % — sont des paramètres du cours, choisis pour être plausibles sur un marché en francs suisses et pour que les chapitres s'accordent entre eux. Ce ne sont pas des cotations actuelles. Helvetia Instruments SA et toutes les données de ses projets sont fictives.

Ce que mesure le bénéfice, ce que mesure la trésorerie

Le cours de Comptabilité l'a posé dès son chapitre 3 (Le compte de résultat): une charge n'est pas une dépense, un produit n'est pas une recette. Le résultat mesure l'enrichissement de l'entreprise sur une période; il rattache les charges aux produits qu'elles ont permis de réaliser (principe de rattachement). La trésorerie mesure ce qui est entré et sorti du compte en banque, à la date où c'est entré et sorti.

Trois écarts séparent les deux mesures dans un projet d'investissement.

L'investissement. Il sort de la trésorerie en entier à la date 0, mais il n'entre dans le résultat que par tranches, sous forme d'amortissements (Comptabilité, chapitre 8, Immobilisations et amortissements).
L'amortissement. Symétriquement, c'est une charge sans dépense: il réduit le bénéfice chaque année sans qu'aucun franc ne sorte. Il n'agit sur la trésorerie que par un canal, l'impôt — nous y reviendrons longuement.
Le décalage des encaissements et des décaissements. Une vente est un produit le jour de la facture, une recette le jour du paiement; un achat de matière est une dépense le jour du paiement, une charge le jour de sa consommation. Entre les deux, de l'argent reste immobilisé dans les stocks et les créances: c'est le besoin en fonds de roulement.

Pourquoi préférer la trésorerie? Parce que l'actualisation, que le chapitre 1 a construite, repose sur un seul argument: un franc disponible plus tôt peut être placé plus tôt. Ce raisonnement ne s'applique qu'à des francs que l'on peut effectivement placer, c'est-à-dire à de l'argent. Un bénéfice comptable n'est pas plaçable; l'amortissement de l'année 3 n'est pas une somme que l'entreprise aurait pu investir ailleurs. Seule la date à laquelle l'argent entre ou sort a un sens économique, et c'est elle que l'actualisation valorise.

Deux conventions accompagnent cette définition, et elles valent pour tout le chapitre. Dates: comme au chapitre 1, la date 0 est aujourd'hui et le flux de l'année $t$ est placé à la fin de cette année. Financement: les intérêts et les remboursements de dette ne figurent pas dans le FCF. Le coût du financement est pris en compte ailleurs, dans le taux d'actualisation; le compter aussi dans les flux reviendrait à le compter deux fois. Le chapitre 8 montrera que le CMPC est précisément le taux qui valorise ces flux-là.

Le total est le même, le calendrier ne l'est pas

Revenons au projet témoin. Ses flux de trésorerie disponibles, que nous construirons ligne par ligne plus loin, sont $- 10, 8$ à la date 0, $3, 2$ les années 1 à 4 et $4, 0$ l'année 5 (CHF M). Leur somme non actualisée vaut

- 10, 8 + 4 \times 3, 2 + 4, 0 = 6, 0 CHF M,

et la somme des cinq résultats annuels vaut $5 \times 1, 2 = 6, 0$ CHF M. Sur la durée de vie du projet, bénéfice et trésorerie donnent le même total. Ce n'est pas une coïncidence: l'investissement est entièrement amorti (le total des amortissements égale l'investissement) et le fonds de roulement engagé est entièrement récupéré, de sorte que tous les écarts entre les deux mesures s'annulent à terme. Ils ne diffèrent que par le calendrier: la trésorerie paie tout au début et récupère ensuite; le bénéfice étale. Or le calendrier est exactement ce que l'actualisation valorise. Deux suites de même somme n'ont pas la même valeur actuelle dès qu'elles ne tombent pas aux mêmes dates.

Question 3.1

Pour évaluer un projet par la VAN, lesquels de ces montants de l'année 2 doivent figurer, tels quels, parmi ses flux de trésorerie?

Plusieurs réponses possibles

Du compte de résultat au flux de trésorerie disponible

La dérivation

Il faut maintenant passer rigoureusement de ce que fournit le contrôle de gestion — un compte de résultat prévisionnel — à ce que demande l'actualisation. Fixons les notations pour une année $t$ donnée (l'indice $t$ est omis quand il n'y a pas d'ambiguïté):

$C A$ : chiffre d'affaires de l'année;
$C$ : charges d'exploitation décaissées (matières, salaires, énergie, loyers): toutes les charges sauf l'amortissement;
$D$ : amortissement de l'année. $D$ désigne ici l'amortissement, et $τ D$ l'économie d'impôt qu'il procure; aux chapitres 8 et 9, $D$ sera la dette et $τ D$ l'économie d'impôt de la dette;
$EBIT = C A - C - D$ : résultat d'exploitation avant intérêts et impôts;

Démonstration. Partons de la définition: le FCF est ce qui entre dans la caisse moins ce qui en sort, pour le seul fait du projet et hors financement. Les entrées sont les encaissements d'exploitation; les sorties sont les décaissements d'exploitation, l'impôt et l'investissement.

Première étape: l'exploitation. Si toutes les ventes étaient encaissées et toutes les charges décaissées dans l'année, le solde d'exploitation serait $C A - C$ . Ce n'est pas le cas: une part des ventes de l'année reste due par les clients, une part des achats reste due aux fournisseurs, une part des achats reste en stock. Nous démontrerons au théorème 3.3 que l'effet net de ces décalages est exactement $- Δ BFR$ ; admettons-le ici. Le solde de trésorerie d'exploitation avant impôt est donc $C A - C - Δ BFR$ .

Deuxième étape: l'impôt. L'impôt est calculé sur le bénéfice imposable, dont l'amortissement est déduit. Hors financement, ce bénéfice est l'EBIT et l'impôt vaut $τ \times EBIT$ . Retrancher les intérêts de la base serait introduire le financement, que la définition exclut; l'économie d'impôt que procure la dette sera logée dans le taux d'actualisation au chapitre 8.

Troisième étape: l'investissement. La dépense $I$ sort en entier l'année où elle est payée.

En rassemblant,

FCF = (C A - C) - τ EBIT - I - Δ BFR .

Il reste à faire apparaître l'EBIT dans le premier terme. Par définition $EBIT = C A - C - D$ , donc $C A - C = EBIT + D$ . En substituant,

FCF = EBIT + D - τ EBIT - I - Δ BFR = EBIT (1 - τ) + D - I - Δ BFR,

ce qui est (3.1). $□$

La démonstration dit plus que la formule. L'amortissement $D$ est retranché pour calculer l'EBIT, parce que le fisc le déduit, puis rajouté, parce qu'aucun franc n'est sorti. Le seul effet qui survit à cet aller-retour est l'impôt qu'il a fait économiser — c'est l'objet de la section suivante. La formule (3.1) est aussi, à la présentation près, le flux de trésorerie d'exploitation de la méthode indirecte que le cours de Comptabilité établit au chapitre 10 (Les comptes annuels de la société anonyme, théorème 10.2), diminué des investissements et calculé sans les intérêts.

Trois chemins qui doivent concorder

La formule (3.1) n'est pas la seule écriture possible, et les deux autres sont utiles comme contrôle. En remplaçant $EBIT$ par $C A - C - D$ et en développant,

FCF = (C A - C) (1 - τ) + τ D - I - Δ BFR . (3.2)

C'est la forme «EBITDA»: le résultat d'exploitation avant amortissement ( $C A - C$ , l'EBITDA du chapitre 3 de Comptabilité), après impôt, plus l'économie d'impôt de l'amortissement. Enfin la définition elle-même, recettes moins dépenses moins impôt, donne un troisième chemin. Un tableau de flux dont les trois chemins ne donnent pas le même nombre contient une erreur.

Question 3.2

Une année donnée, un projet réalise un EBIT de CHF 2,5 M. Le taux d'impôt est de 20 % du bénéfice imposable, l'amortissement vaut CHF 1,2 M, l'investissement de l'année CHF 0,8 M et le besoin en fonds de roulement augmente de CHF 0,3 M. Quel est le flux de trésorerie disponible de l'année, en CHF M?

L'économie d'impôt de l'amortissement

Une charge sans dépense qui fait économiser de l'argent

La forme (3.2) isole un terme qui mérite qu'on s'y arrête: $τ D$ . L'amortissement ne coûte rien en trésorerie, mais il réduit la base de l'impôt, et l'impôt, lui, est payé en argent. Chaque franc d'amortissement fait donc économiser $τ$ franc d'impôt, soit 20 centimes au taux du cours.

Démonstration. L'égalité (3.3) est (3.2) réécrite; démontrons (3.2) à partir de (3.1). On a $EBIT (1 - τ) = (C A - C - D) (1 - τ) = (C A - C) (1 - τ) - D + τ D$ . En reportant dans (3.1),

FCF = (C A - C) (1 - τ) - D + τ D + D - I - Δ BFR = (C A - C) (1 - τ) + τ D - I - Δ BFR .

Les termes $- D$ et $+ D$ s'annulent: seul reste $τ D$ . Le point (i) est immédiat, puisque le terme disparaît avec $τ$ . Pour (ii), un plan d'amortissement répartit le coût d'acquisition sur la durée d'utilité (Comptabilité, chapitre 8): avec une valeur résiduelle nulle, $\sum_{t} D_{t} = I$ , donc quel que soit le plan. Pour (iii), comparons deux plans qui ne diffèrent que par un montant déduit à la date au lieu de la date . La différence de valeur actuelle de leurs économies d'impôt vaut

τ δ [\frac{1}{( 1 + r ) ^{j}} - \frac{1}{( 1 + r ) ^{k}}] > 0,

puisque $r > 0$ rend le facteur d'actualisation strictement décroissant avec la date. Tout plan «plus rapide» s'obtient à partir d'un plan plus lent par une suite finie de tels déplacements; chacun augmente la valeur actuelle, donc leur composition aussi. $□$

Le théorème 3.2 dit à la fois pourquoi l'amortissement compte et pourquoi il compte peu. Il ne crée aucun franc: le total des impôts payés sur la vie du projet est le même, quelle que soit la méthode. Il déplace des impôts du présent vers le futur, et ce déplacement vaut exactement ce que vaut un prêt sans intérêt du fisc à l'entreprise. Le cours de Comptabilité faisait la même observation à propos du dégressif, au chapitre 8: «l'avantage est un décalage, pas un cadeau». La finance en donne le prix.

Ce que vaut un amortissement plus rapide

Deux réserves empêchent de tirer de l'exemple la conclusion «amortissez toujours le plus vite possible».

Le fisc fixe les limites. En Suisse, le droit comptable exige seulement des amortissements justifiés par l'usage commercial; ce sont les autorités fiscales qui publient les taux maximaux admis sans justification particulière, que le chapitre 8 de Comptabilité présente. Le projet témoin suppose que l'amortissement linéaire sur cinq ans est admis fiscalement; c'est une hypothèse du cours, et une évaluation réelle doit utiliser le plan que l'administration fiscale acceptera, qui peut différer du plan retenu dans les comptes.
Il faut un bénéfice à réduire. Une économie d'impôt n'existe que si le bénéfice imposable est positif. Avec la déduction immédiate, l'EBIT de l'année 1 du projet vaudrait $3, 5 - 10 = - 6, 5$ CHF M: l'économie de 2,0 n'est réelle que si Helvetia Instruments dégage ailleurs assez de bénéfice pour absorber cette perte la même année. Sinon la perte est reportée sur des exercices futurs, dans les limites que fixe le droit fiscal, et l'économie est retardée — ce qui lui retire précisément la valeur que l'accélération devait créer.

Question 3.3

Un équipement est amorti linéairement de CHF 0,6 M par an pendant quatre ans. Le taux d'impôt est de 20 % du bénéfice imposable et le taux d'actualisation de 5,8 %. Quelle est la valeur actuelle de l'économie d'impôt de l'amortissement, en CHF M? (L'entreprise est bénéficiaire chaque année.)

Le besoin en fonds de roulement

De l'argent immobilisé dans l'exploitation

Une ligne de production ne se contente pas d'une machine. Avant de livrer le premier instrument, Helvetia Instruments doit acheter des composants et les stocker; une fois l'instrument livré, le client paie à trente ou soixante jours. Pendant ce temps, de l'argent est immobilisé. Les fournisseurs, qui accordent eux aussi un délai de paiement, en financent une partie. Le solde est à la charge de l'entreprise.

Le BFR n'est pas le fonds de roulement net du chapitre 11 de Comptabilité (Analyse des états financiers), qui compare l'actif circulant tout entier, trésorerie comprise, aux dettes à court terme, dettes financières comprises. Le BFR ne retient que l'exploitation; c'est la quantité que mesure, en jours, le cycle de conversion de la trésorerie de ce même chapitre. Dans le projet témoin, $b = 10 %$ du chiffre d'affaires, soit $BFR = 0, 1 \times 8, 0 = 0, 8$ CHF M.

Pourquoi le signe moins

Démonstration. Traitons les trois postes du BFR un par un, en notant $Δ X$ la variation d'un poste $X$ entre le début et la fin de l'année.

Créances clients. Ce qui est encaissé dans l'année, ce sont les créances du début d'année plus les ventes de l'année, moins ce qui reste dû en fin d'année:

encaissements = Cr \overset{e}{ˊ} ances_{t - 1} + C A - Cr \overset{e}{ˊ} ances_{t} = C A - Δ Cr \overset{e}{ˊ} ances .

Stocks et fournisseurs. Les charges décaissées $C$ correspondent à ce qui a été consommé. Ce qui a été acheté vaut la consommation plus l'augmentation du stock: $achats = C + Δ Stocks$ (pour simplifier, toutes les charges décaissées sont traitées comme des achats; les salaires, payés dans le mois, n'ajoutent ni stock ni dette). Ce qui a été payé vaut les achats moins l'augmentation des dettes fournisseurs:

d \overset{e}{ˊ} caissements = C + Δ Stocks - Δ Dettes fournisseurs .

Solde. En soustrayant,

encaissements - d \overset{e}{ˊ} caissements = C A - C - (Δ Cr \overset{e}{ˊ} ances + Δ Stocks - Δ Dettes fourn.) = (C A - C) - Δ BFR,

ce qui est (3.4). Enfin, la somme des variations est télescopique: $\sum_{t = 1}^{T} Δ BFR_{t} = BFR_{T} - BFR_{0}$ , nulle si le BFR part de zéro et y revient.

Le signe moins a donc une lecture immédiate. Un BFR qui augmente est de l'argent que l'entreprise a gagné sur le papier — la vente est au compte de résultat — mais qui n'est pas encore sur son compte bancaire: il est dans les créances et dans les stocks. Un BFR qui diminue libère de l'argent. C'est la même règle que celle du tableau des flux de trésorerie, par la méthode indirecte (Comptabilité, chapitre 10): une augmentation d'un actif d'exploitation se retranche, une augmentation d'une dette d'exploitation s'ajoute.

Pourquoi il revient, et ce qu'il coûte quand même

Le projet témoin constitue son BFR de CHF 0,8 M à la date 0, avant la première vente, et le récupère à la fin de l'année 5, lorsque les derniers stocks sont écoulés et les dernières créances encaissées. C'est une convention de modélisation prudente: le fonds de roulement dont l'exploitation a besoin pendant l'année est mis en place au début de celle-ci. Ce BFR ne varie pas pendant les années 1 à 4, parce que le chiffre d'affaires est constant. Sur la vie du projet, les deux mouvements s'annulent: $- 0, 8 + 0, 8 = 0$ . Pourquoi alors le compter?

Parce que le théorème 3.3 parle de sommes non actualisées. Les CHF 0,8 M sortent aujourd'hui et reviennent dans cinq ans: c'est un prêt sans intérêt que l'entreprise consent à son propre cycle d'exploitation.

Démonstration. La première égalité est une mise en facteur. Pour la seconde, la somme géométrique du chapitre 1 donne $\sum_{t = 1}^{T} (1 + r)^{- t} = \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- T}}{r}$ ; en multipliant par ,

t = 1 \sum T \frac{r B}{( 1 + r ) ^{t}} = r B \times \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- T}}{r} = B [1 - \frac{1}{( 1 + r ) ^{T}}] .

Les deux expressions sont égales, ce qui établit (3.5). $□$

Pour le projet témoin, $B = 0, 8$ , $T = 5$ et $r = 5, 8 %$ : $1, 05 8^{- 5} = 0, 754348$ , donc le coût vaut CHF M, soit la valeur actuelle de cinq intérêts annuels de CHF M. C'est 24,6 % du montant immobilisé et 5,9 % de la VAN du projet (): peu, mais pas rien, et beaucoup plus pour un projet dont le BFR est important — un grossiste, un fabricant à cycle long — ou dont le chiffre d'affaires croît. Dans ce dernier cas, le BFR augmente chaque année avec les ventes: un projet dont le chiffre d'affaires passe de CHF 5 M à CHF 8 M avec du chiffre d'affaires immobilise CHF 0,3 M de plus l'année de la hausse. Une entreprise en forte croissance peut ainsi être rentable et manquer d'argent — le paradoxe que le chapitre 3 de Comptabilité illustrait par une entreprise «bénéficiaire et pourtant à court d'argent».

Quels flux compter? Le principe différentiel

Avec le projet, moins sans le projet

Les trois sections précédentes disent comment calculer un flux. Il reste à dire lesquels retenir. La règle tient en une ligne, et presque toutes les erreurs de pratique viennent de ce qu'on l'oublie.

Quatre catégories de montants mettent la règle à l'épreuve.

Les coûts irrécupérables (sunk costs) sont des dépenses déjà engagées, que la décision ne peut plus changer: une étude de marché payée l'an dernier, des frais de développement déjà supportés. Ils figurent dans le flux «avec» et dans le flux «sans»; leur différence est nulle. On les ignore, quelle que soit leur importance et quelque regret qu'ils inspirent.
Les coûts d'opportunité sont les recettes auxquelles le projet oblige à renoncer: un local que l'entreprise possède et qu'elle pourrait louer, une machine inutilisée qu'elle pourrait vendre. Aucun franc ne sort, mais le flux «sans» contient une recette que le flux «avec» n'a plus. On les inclut, après impôt.
La cannibalisation est la perte de marge sur les produits existants que le nouveau produit remplace dans le panier des clients. Elle réduit le flux «avec» par rapport au flux «sans»; on l'inclut. Si les clients seraient partis de toute façon chez un concurrent lançant le même produit, la perte a lieu dans les deux cas et n'est pas imputable au projet: la question est toujours «que se passerait-il sans lui?».
Les frais de structure imputés — la quote-part des coûts du siège, de l'informatique ou de la direction que le contrôle de gestion répartit sur chaque activité, comme le tableau de répartition du chapitre 12 de Comptabilité (Comptabilité analytique et calcul des coûts) — ne sont pas des flux différentiels s'ils existent avec ou sans le projet. On les exclut. Seule leur augmentation due au projet — un informaticien de plus, un loyer supplémentaire — est pertinente.

Effets induits

Le principe différentiel s'étend à tout ce que le projet modifie ailleurs dans l'entreprise. Un projet qui augmente la production augmente souvent le BFR (davantage de stocks), parfois l'impôt d'une autre division (davantage de bénéfice du groupe), parfois les ventes d'un produit complémentaire (un instrument qui se vend avec son logiciel de calibration). Il peut aussi libérer des ressources: une ligne plus moderne qui permet de vendre l'ancienne crée un flux positif à la date de la vente. Dans chaque cas la question est la même, et elle ne demande aucun jugement comptable: ce franc existerait-il sans le projet?

Exemple 3.3 · Helvetia Instruments: ce qui entre dans les flux de la nouvelle ligne

Les montants de cet exemple sont propres à ce chapitre; ils illustrent le tri des flux et ne modifient pas le tableau du projet témoin. Imaginons qu'au moment de décider, le contrôleur d'Helvetia Instruments dispose des informations suivantes (CHF M, taux d'impôt 20 % du bénéfice imposable, taux d'actualisation 5,8 %, durée 5 ans).

Une étude de marché a été payée l'an dernier: 0,4.
La ligne occupera une halle qu'Helvetia possède et qu'elle pourrait louer à un tiers pour 0,15 par an.
Les nouveaux instruments remplaceront une partie des ventes d'un ancien modèle, dont l'EBITDA baissera de 0,25 par an.
Le contrôle de gestion imputera à la ligne 0,3 par an de frais de siège, dont aucun ne serait économisé sans le projet.

Tri. (1) est irrécupérable: ignoré. (4) n'est pas différentiel: exclu. (2) et (3) sont des flux différentiels: inclus, après impôt. La location perdue aurait été imposée, donc elle coûte $0, 15 \times 0, 8 = 0, 12$ par an; la marge cannibalisée aussi, $0, 25 \times 0, 8 = 0, 2$ par an.

Question 3.4

Helvetia Instruments envisage de fabriquer un nouveau capteur. Lesquels de ces montants sont des flux différentiels du projet?

Plusieurs réponses possibles

Le projet témoin, ligne par ligne

Les hypothèses

Réunissons tout ce qui précède sur le projet témoin du cours, la nouvelle ligne de production d'Helvetia Instruments SA. Les hypothèses sont celles du guide du cours et elles sont communes aux chapitres 2, 3 et 8.

Investissement: CHF 10,0 M à la date 0, amorti linéairement sur 5 ans, sans valeur résiduelle; amortissement annuel $10, 0/5 = 2, 0$ .
Chiffre d'affaires: CHF 8,0 M par an, années 1 à 5. Charges décaissées: CHF 4,5 M par an.
BFR: 10 % du chiffre d'affaires, soit 0,8, constitué à la date 0 et récupéré à la date 5.
Impôt: 20 % de l'EBIT. Taux d'actualisation: le CMPC d'Helvetia Instruments, 5,8 %.

Utiliser le CMPC de l'entreprise pour ce projet revient à supposer que le projet a le même risque que l'entreprise dans son ensemble. C'est une hypothèse, pas une évidence: une ligne qui fabrique les mêmes instruments pour les mêmes clients la satisfait sans doute, une diversification dans un autre métier ne la satisferait pas. Le chapitre 8 l'examine et montre ce qu'elle coûte lorsqu'elle est fausse.

Le tableau

Chaque ligne se calcule à partir des précédentes (CHF M):

Ligne	Calcul	$t = 1 \dots 4$	$t = 5$
Chiffre d'affaires	donnée	8,0	8,0
Charges décaissées	donnée	−4,5	−4,5
EBITDA	$8, 0 - 4, 5$	3,5	3,5
Amortissement

Tableau 3.1 — Flux de trésorerie disponibles du projet témoin (CHF M; pas de valeur résiduelle).

Recalculons chaque total. Date 0: $- 10, 0 - 0, 8 = - 10, 8$ . Années 1 à 4: $1, 2 + 2, 0 - 0 - 0 = 3, 2$ . Année 5: $1, 2 + 2, 0 - 0 + 0, 8 = 4, 0$ ; le BFR de 0,8 (il passe de 0,8 à 0), donc et . Contrôle par l'EBITDA (3.2): . Contrôle des totaux: la somme des FCF vaut , égale à la somme des résultats opérationnels après impôt , comme l'annonçait la première section.

La VAN, décomposée

Le chapitre 2 a calculé la VAN de ces flux au CMPC de 5,8 %: CHF 3,3567 M, avec un TRI de 16,2258 %. Les théorèmes de ce chapitre permettent de la décomposer selon l'origine de la valeur, en écrivant chaque flux sous la forme (3.2):

Composante	Calcul	Valeur actuelle (CHF M)
EBITDA après impôt	$2, 8 \times 4, 235382$	11,8591
Économie d'impôt de l'amortissement	$0, 4 \times 4, 235382$	1,6942
Investissement		−10,0000
Coût du BFR	$0, 8 \times (1 - 0, 754348)$

Tableau 3.2 — Décomposition de la VAN du projet témoin.

La somme redonne CHF 3,3567 M. La décomposition montre où est la valeur: l'exploitation après impôt rapporte en valeur actuelle presque 1,2 fois l'investissement à elle seule, l'amortissement ajoute l'équivalent de la moitié de la VAN, et le fonds de roulement en retire un peu. Elle montre aussi pourquoi le calcul de l'administrateur était faux: il avait actualisé $1, 2 = 2, 8 + 0, 4 - 2, 0$ par an, c'est-à-dire qu'il avait retranché chaque année une «dépense» de 2,0 qui n'existe pas, pour une valeur actuelle de $2, 0 \times 4, 235382 = 8, 4708$ — c'est l'écart entre $+ 3, 3567$ et , au coût du BFR près: , et également.

L'explorateur ci-dessous permet de faire varier trois des hypothèses du tableau et de voir les flux et la VAN se recalculer.

Explorateur 3.1 · Explorateur des flux du projet témoin

Déplacez le chiffre d'affaires, les charges décaissées et le BFR (en pour-cent du chiffre d'affaires): les flèches des flux se recalculent à l'échelle et la VAN au CMPC de 5,8 % suit. Regardez l'économie d'impôt de l'amortissement: elle ne bouge pas, puisqu'elle ne dépend que de l'investissement et du taux d'impôt. Hypothèse du modèle: un EBIT négatif donne un impôt négatif, c'est-à-dire que la perte s'impute sur les autres bénéfices d'Helvetia Instruments la même année.

Chiffre d'affaires annuel (CHF M)8,0

Charges décaissées annuelles (CHF M)4,5

BFR (% du chiffre d'affaires)10 %

Flux disponible, années 1 à 4

3,20CHF M

Flux disponible, année 5

4,00CHF M

Flux à la date 0

−10,80CHF M

Économie d'impôt de l'amortissement (par an)

0,40CHF M

VAN à 5,8 %

3,357CHF M

TRI

16,23 %

Chiffre d'affaires de VAN nulle (charges et BFR donnés)

7,002CHF M

Décision

accepter

Trois observations valent la peine d'être faites en le manipulant. D'abord, l'économie d'impôt de l'amortissement reste à CHF 0,40 M par an quoi que vous fassiez: elle ne dépend que de l'investissement et du taux d'impôt, ce que dit le théorème 3.2. Ensuite, porter le BFR de 10 % à 30 % du chiffre d'affaires ne coûte que $0, 2 \times 8, 0 \times 0, 245652 = 0, 39$ CHF M de VAN environ: le fonds de roulement revient, seul son coût d'immobilisation compte. Enfin, le chiffre d'affaires est de loin le levier le plus puissant, et le relevé «chiffre d'affaires de VAN nulle» indique qu'une baisse à environ CHF 7,0 M suffit à annuler la VAN — c'est la question de la dernière section.

Inflation: nominal avec nominal, réel avec réel

Deux manières de compter en francs

Un flux peut être exprimé en francs nominaux — les francs qui seront effectivement encaissés à la date $t$ , inflation comprise — ou en francs réels, c'est-à-dire en francs du pouvoir d'achat d'aujourd'hui. De même, un taux d'actualisation peut être nominal (celui qu'on observe sur les marchés: le taux sans risque du cours, le CMPC de 5,8 %) ou réel (le rendement en pouvoir d'achat). Les taux du cours sont nominaux, comme tous les taux cotés.

Démonstration. Par (3.6), $(1 + i)^{t} = (1 + r)^{t} (1 + π)^{t}$ . Donc

\frac{N _{t}}{( 1 + i ) ^{t}} = \frac{R _{t} ( 1 + π ) ^{t}}{( 1 + r ) ^{t} ( 1 + π ) ^{t}} = \frac{R _{t}}{( 1 + r ) ^{t}} .

L'égalité vaut pour chaque $t$ , donc pour toute somme de flux. Si l'on actualise $R_{t}$ au taux $i$ , on obtient $R_{t} / (1 + i)^{t} = [R_{t} / (1 + r)^{t}] (1 + π)^{- t}$ , trop faible dès que ; si l'on actualise au taux , on obtient la valeur correcte multipliée par , trop forte.

L'approximation courante $r \approx i - π$ néglige le produit $r π$ ; elle est acceptable pour de faibles taux, mais elle n'est pas la relation (3.6), et sur un horizon long l'écart se compose.

Le piège de l'amortissement

L'erreur la plus subtile ne concerne pas le chiffre d'affaires, mais l'amortissement. Il est calculé sur le coût historique et ne suit pas l'inflation: les CHF 2,0 M annuels du projet témoin sont des francs nominaux, fixés le jour de l'achat de la machine, et l'économie d'impôt de CHF 0,4 M aussi. Un analyste qui travaille «en réel» et traite ces 0,4 comme des francs réels constants les actualise à 3,7255 % (si l'inflation est de 2 %) et obtient $0, 4 \times 4, 4864 = 1, 7945$ CHF M, au lieu des 1,6942 que vaut réellement l'économie d'impôt: il surestime la valeur de CHF 0,1004 M. Converties correctement en francs réels, $0, 4/1, 0 2^{t}$ , puis actualisées au taux réel, les économies redonnent exactement 1,6942. L'inflation érode la valeur de l'économie d'impôt de l'amortissement, et c'est une raison de préférer, en pratique, de tout exprimer en nominal: les impôts, les amortissements et les contrats se lisent en francs courants.

Dans le projet témoin, le chiffre d'affaires et les charges sont constants en francs nominaux, et le CMPC de 5,8 % est nominal: le tableau 3.1 est cohérent. Il suppose implicitement que les prix de vente et les coûts n'augmentent pas, ou que leurs hausses se compensent — une hypothèse, là encore, et une hypothèse prudente si l'inflation relève les deux.

Question 3.5

Le taux d'actualisation nominal est de 5,8 % et l'inflation anticipée de 2 % par an. Quel est le taux réel exact, en pour-cent, à deux décimales?

Sensibilité, seuils et scénarios

Une VAN n'est pas une certitude

La VAN de CHF 3,3567 M repose sur des prévisions: un volume, un prix, des coûts, un investissement, un taux. Chacune est incertaine. Avant de décider, le conseil voudra savoir quelles hypothèses comptent et de combien elles peuvent se tromper avant que la décision ne s'inverse. Trois outils y répondent, du plus simple au plus riche: l'analyse de sensibilité, le seuil de VAN nulle et l'analyse par scénarios.

Pour les appliquer au projet témoin, il faut ouvrir le chiffre d'affaires et les charges, que le tableau 3.1 donne en bloc. Hypothèse propre à ce chapitre, cohérente avec les totaux du tableau: la ligne vend 20 000 instruments à CHF 400 ( $20000 \times 400 = 8, 0$ M), avec un coût variable de CHF 150 par instrument ( $20000 \times 150 = 3, 0$ M) et CHF 1,5 M de charges fixes décaissées ( $3, 0 + 1, 5 = 4, 5$ ). Le BFR reste égal à 10 % du chiffre d'affaires; l'amortissement reste de 2,0.

L'analyse de sensibilité

On fait varier une hypothèse à la fois, toutes les autres restant à leur valeur centrale, et l'on observe la VAN. Voici l'effet d'une variation de ±10 % de chaque hypothèse (par rapport à sa propre valeur centrale):

Hypothèse (valeur centrale)	VAN à −10 %	VAN à +10 %	Écart de VAN pour ±10 %
Prix de vente (CHF 400)	0,6657	6,0477	±2,6910
Volume (20 000)	1,6822	5,0312	±1,6745
Coût variable (CHF 150)	4,3732	2,3402	∓1,0165
Investissement (CHF 10 M)	4,1873	2,5261	∓0,8306
Charges fixes (CHF 1,5 M)	3,8649	2,8485	∓0,5082
CMPC (5,8 %)	3,5908	3,1286	+0,2341 / −0,2281
BFR (10 % du CA)	3,3764	3,3370	∓0,0197

Tableau 3.3 — Sensibilité de la VAN du projet témoin (CHF M), une hypothèse à la fois.

Le classement est instructif. Le prix domine tout: 10 % de prix en moins retire CHF 2,69 M de VAN, parce qu'une baisse de prix tombe intégralement sur la marge, sans économie de coût variable. Le volume vient ensuite, moins fort parce qu'un instrument de moins vendu économise aussi CHF 150 de coût variable. L'investissement compte moins que ses CHF 10 M ne le laissent croire: 10 % de plus, c'est CHF 1,0 M de dépense, mais aussi CHF 0,2 M d'amortissement annuel en plus et donc CHF 0,04 M d'économie d'impôt annuelle, d'où un effet net de $- 1, 0 + 0, 04 \times 4, 235382 = - 0, 8306$ . Le BFR, enfin, est presque négligeable ici, comme l'annonçait le théorème 3.4. Le CMPC est le seul paramètre dont l'effet n'est pas symétrique, parce que la VAN n'est pas une fonction affine du taux.

L'analyse de sensibilité dit où concentrer l'effort de prévision: une étude de prix vaut davantage qu'un affinement du BFR. Sa limite est de faire varier les hypothèses une à une, alors qu'elles bougent ensemble: un marché déprimé fait baisser à la fois le prix et le volume.

Le seuil de VAN nulle

La deuxième question est plus directe: à partir de quelle valeur d'une hypothèse la VAN devient-elle nulle? Pour les hypothèses d'exploitation, le calcul est simple, parce que la VAN leur est affine.

Démonstration. Par (3.2), le flux des années 1 à $T$ hors BFR vaut $(C A - C) (1 - τ) + τ D$ , constant; sa valeur actuelle est ce flux multiplié par $A_{T}$ . Par (3.5), le BFR $b \cdot C A$ coûte . En ajoutant l'investissement, on obtient l'expression annoncée, dans laquelle n'apparaît qu'au premier degré: la VAN est affine en , de pente . Une fonction affine de pente non nulle s'annule en un point unique; comme , l'annulation a lieu en , ce qui est (3.7).

Pour le projet témoin, $s = 0, 8 \times 4, 235382 - 0, 1 \times 0, 245652 = 3, 3637$ : chaque franc de chiffre d'affaires annuel supplémentaire, maintenu cinq ans, vaut CHF 3,36 de VAN. D'où

C A^{*} = 8, 0 - \frac{3 , 3567}{3 , 3637} = 7, 0021 CHF M .

À volume constant, ce chiffre d'affaires correspond à un prix de seuil

p^{*} = \frac{7 , 0021 M}{20 000} = CHF 350, 10,

soit une baisse de 12,47 % par rapport au prix central de CHF 400. À prix constant, le raisonnement est le même mais une vente perdue économise aussi le coût variable: la pente par instrument vaut $(400 - 150) \times 0, 8 \times 4, 235382 - 0, 1 \times 400 \times 0, 245652 = 837, 25$ CHF de VAN, et le volume de seuil vaut

Q^{*} = 20000 - \frac{3 356 700}{837 , 25} = 15991 instruments,

soit une baisse de 20,05 % par rapport au volume central de 20 000. Le projet peut donc perdre un cinquième de ses ventes, mais seulement un huitième de son prix, avant de cesser de créer de la valeur. Par le même calcul, les charges fixes pourraient augmenter de 66,04 % (jusqu'à CHF 2,4907 M) et le coût variable de 33,02 % (jusqu'à CHF 199,53), ou l'investissement de 40,41 % (jusqu'à CHF 14,0414 M, compte tenu de l'économie d'impôt de l'amortissement supplémentaire), chacun toutes choses égales par ailleurs.

L'analyse par scénarios

L'analyse par scénarios fait varier plusieurs hypothèses ensemble, de manière cohérente. On construit quelques états du monde, chacun avec son jeu d'hypothèses et, si l'on peut la justifier, sa probabilité. Pour la ligne d'Helvetia, trois scénarios — fictifs, comme leurs probabilités — combinent prix et volume, parce qu'un marché difficile fait baisser les deux à la fois:

Scénario	Probabilité	Prix	Volume	CA	FCF années 1 à 4	VAN (CHF M)
Pessimiste	25 %	380	17 000	6,46	2,3280	−0,2987
Central	50 %	400	20 000	8,00	3,2000	3,3567
Optimiste	25 %	410	22 000	9,02	3,7760	5,7712

Tableau 3.4 — Scénarios du projet témoin (prix en CHF, CA en CHF M; les autres hypothèses sont celles du tableau 3.1).

La VAN espérée vaut $0, 25 \times (- 0, 2987) + 0, 5 \times 3, 3567 + 0, 25 \times 5, 7712 = 3, 0465$ CHF M. Le projet détruit de la valeur dans le scénario pessimiste — une probabilité de 25 % dans cette grille — et en crée en espérance.

Remarquez que la VAN espérée n'est pas la VAN calculée avec le prix moyen (CHF 397,50) et le volume moyen (19 750), qui vaudrait CHF 2,9813 M. L'écart de CHF 0,0652 M vient de ce que le chiffre d'affaires est un produit prix × volume: les deux variables montent et baissent ensemble, de sorte que le chiffre d'affaires espéré, CHF 7,87 M, dépasse le produit des moyennes, CHF 7,850 625 M. L'écart de chiffre d'affaires, $0, 019375$ , multiplié par la pente $3, 3637$ , redonne les CHF 0,0652 M. C'est précisément ce que l'analyse de sensibilité, qui fait bouger une variable à la fois, ne peut pas voir.

Deux limites, pour finir. Trois scénarios résument grossièrement une incertitude continue; la simulation (tirer des milliers de jeux d'hypothèses selon des lois de probabilité et observer la distribution de la VAN) va plus loin, au prix d'hypothèses sur ces lois et sur leurs corrélations, qui ne sont pas moins fragiles que celles qu'on voulait éviter. Et aucune de ces méthodes ne change le taux d'actualisation: le risque qui se mesure en scénarios est déjà rémunéré par le CMPC dans la mesure où il est systématique (chapitres 6 à 8). Ajouter une «marge de prudence» au taux parce que le projet est incertain compte ce risque une deuxième fois.

Synthèse

La finance actualise des flux de trésorerie, datés au moment où l'argent entre ou sort, et non des bénéfices: sur la vie d'un projet dont l'investissement est entièrement amorti et le BFR récupéré, les deux totaux coïncident (CHF 6,0 M pour le projet témoin), mais leur calendrier diffère, et c'est le calendrier que l'actualisation valorise. Actualiser le bénéfice et retrancher l'investissement compte celui-ci deux fois.
Le flux de trésorerie disponible se dérive du compte de résultat: $FCF = EBIT (1 - τ) + D - I - Δ BFR$ , ou, de façon équivalente, $(C A - C) (1 - τ) + τ D - I - Δ BFR$ . Les intérêts n'y figurent pas: le coût du financement est dans le taux.

Série d'exercices du chapitre 3Exercice 1 sur 5

Question 3.6

Pourquoi une augmentation du besoin en fonds de roulement est-elle retranchée dans le calcul du flux de trésorerie disponible?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Du compte de résultat au flux disponible

Une division d'Helvetia Instruments présente, pour l'année prochaine, les prévisions suivantes (CHF M): chiffre d'affaires 12,0; charges décaissées 7,4; amortissement 1,6; intérêts sur l'emprunt qui finance la division 0,5. Le taux d'impôt est de 20 % du bénéfice imposable. La division investira 2,0 dans de nouveaux équipements. Pendant l'année, les créances clients augmenteront de 0,3, les stocks de 0,2 et les dettes fournisseurs de 0,1.

Calculez l'EBITDA, l'EBIT et le bénéfice net de la division.
Calculez la variation du BFR.
Calculez le flux de trésorerie disponible par la formule (3.1), puis vérifiez-le par les recettes et les dépenses.
Un collègue propose de partir du bénéfice net et d'y ajouter l'amortissement. Quel flux obtient-il, et pourquoi n'est-ce pas le flux disponible?

Corrigé 3.1

$EBITDA = 12, 0 - 7, 4 = 4, 6$ ; . Le bénéfice net retranche les intérêts avant l'impôt: .

Exercice 3.2 · Trier les flux d'un projet

Reprenez le projet témoin (VAN CHF 3,3567 M au CMPC de 5,8 %, taux d'impôt 20 % du bénéfice imposable, durée 5 ans). Les informations suivantes sont propres à cet exercice.

Helvetia a dépensé l'an dernier CHF 1,2 M en recherche et développement pour mettre au point les instruments que fabriquera la ligne.
La ligne réemploiera une machine inutilisée, entièrement amortie (valeur comptable nulle), qu'Helvetia pourrait vendre aujourd'hui CHF 0,5 M. Le gain de cession serait imposé à 20 %.
Les nouveaux instruments réduiront de CHF 0,1 M par an, pendant cinq ans, l'EBITDA d'une gamme existante.
Le contrôle de gestion imputera au projet CHF 0,2 M par an de frais de direction générale, qui ne changent pas avec la décision.

Classez chaque élément: irrécupérable, coût d'opportunité, cannibalisation, frais imputé non différentiel.
Calculez la VAN corrigée.
Calculez la VAN qu'obtiendrait un analyste qui compterait tous les éléments comme des coûts.

Corrigé 3.2

La R&D est irrécupérable: dépensée avec ou sans le projet. La machine est un coût d'opportunité: le projet fait renoncer au produit de sa vente. La baisse d'EBITDA de la gamme existante est de la cannibalisation. Les frais de direction sont imputés et non différentiels.
La vente de la machine rapporterait, après impôt sur un gain égal au prix (valeur comptable nulle), $0, 5 \times (1 - 0, 2) = 0, 4$ à la date 0: c'est le coût d'opportunité. La cannibalisation coûte par an, soit en valeur actuelle . VAN corrigée:

Exercice 3.3 · Accélérer l'amortissement

Un équipement informatique coûte CHF 1,5 M, sans valeur résiduelle, et sera utilisé quatre ans. Le taux d'impôt est de 20 % du bénéfice imposable et l'entreprise est bénéficiaire chaque année.

Calculez la valeur actuelle à 5,8 % de l'économie d'impôt en amortissement linéaire sur quatre ans.
Même question en dégressif à 40 % de la valeur comptable du début d'exercice, le solde étant déduit l'année 4.
Refaites les deux calculs au taux de 10 % et commentez l'écart.
Que devient l'avantage du dégressif si l'entreprise est déficitaire les deux premières années et ne peut imputer ses pertes qu'à partir de l'année 3?

Corrigé 3.3

Amortissement linéaire $1, 5/4 = 0, 375$ , économie $0, 075$ par an. Valeur actuelle: $0, 075 \times 3, 481034 = 0, 2611$ CHF M.

Exercice 3.4 · Seuil et scénario pour le projet témoin

Reprenez le projet témoin ouvert en prix et volume (20 000 instruments à CHF 400, coût variable CHF 150 par instrument, charges fixes CHF 1,5 M, BFR 10 % du chiffre d'affaires, amortissement 2,0, $τ = 20 %$ , CMPC 5,8 %). Un nouveau contrat d'approvisionnement porte le coût variable à CHF 175.

Calculez les flux et la nouvelle VAN.
Calculez le prix de seuil (à volume de 20 000) et le volume de seuil (au prix de CHF 400).
Exprimez chaque seuil en pour-cent de baisse par rapport à la valeur centrale et comparez aux seuils du texte (−12,47 % et −20,05 %).

Corrigé 3.4

Les charges décaissées passent à $20000 \times 175 + 1, 5 M = 5, 0$ M. EBIT ; FCF des années 1 à 4 ; année 5 ; date 0 . VAN CHF M.

Exercice 3.5 · Démonstration: le coût du fonds de roulement et la linéarité de la VAN

On considère un projet de durée $T$ , actualisé au taux $r > 0$ .

Démontrez qu'un BFR constant $B$ , constitué à la date 0 et récupéré à la date $T$ , a la même valeur actuelle qu'une suite de charges annuelles $r B$ des dates 1 à $T$ , et interprétez.
On suppose maintenant que le BFR, au lieu d'être constant, suit le chiffre d'affaires d'un projet dont les ventes croissent: $BFR_{t} = b \cdot C A_{t + 1}$ pour et . Montrez que la valeur actuelle des flux vaut , et déduisez-en qu'elle est négative dès que le BFR est positif.

Références

Berk, J. et DeMarzo, P., Finance d'entreprise, Pearson — chapitre consacré aux principes de l'élaboration du budget d'investissement (flux différentiels, flux de trésorerie disponibles, analyse de sensibilité et de scénarios).
Brealey, R., Myers, S. et Allen, F., Principes de gestion financière, Pearson — chapitre sur les décisions d'investissement fondées sur la valeur actuelle nette (flux de trésorerie, inflation, amortissement fiscal).
Vernimmen, P., Finance d'entreprise, Dalloz — chapitres sur le besoin en fonds de roulement et sur les flux de trésorerie d'un investissement.
Ross, S., Westerfield, R. et Jaffe, J., Corporate Finance, McGraw-Hill — chapitre Making Capital Investment Decisions (incremental cash flows, inflation, sensitivity and scenario analysis, break-even).
Damodaran, A., Corporate Finance: Theory and Practice, Wiley — chapitres sur l'estimation des flux de trésorerie d'un projet et sur les effets induits (cannibalisation, coûts d'opportunité).

Objectifs du chapitre

Pourquoi la finance actualise de la trésorerie

Deux calculs pour un même projet

Ce que mesure le bénéfice, ce que mesure la trésorerie

Le total est le même, le calendrier ne l'est pas

Du compte de résultat au flux de trésorerie disponible

La dérivation

Trois chemins qui doivent concorder

L'économie d'impôt de l'amortissement

Une charge sans dépense qui fait économiser de l'argent

Ce que vaut un amortissement plus rapide

Le besoin en fonds de roulement

De l'argent immobilisé dans l'exploitation

Pourquoi le signe moins

Pourquoi il revient, et ce qu'il coûte quand même

Quels flux compter? Le principe différentiel

Avec le projet, moins sans le projet

Effets induits

Le projet témoin, ligne par ligne

Les hypothèses

Le tableau

La VAN, décomposée

Inflation: nominal avec nominal, réel avec réel

Deux manières de compter en francs

Le piège de l'amortissement

Sensibilité, seuils et scénarios

Une VAN n'est pas une certitude

L'analyse de sensibilité

Le seuil de VAN nulle

L'analyse par scénarios

Synthèse

Exercices

Références

Le résultat d'exploitation

Le flux des années courantes

La dernière année

La décision