Valeurs propres et vecteurs propres

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

définir les valeurs propres, les vecteurs propres et les espaces propres d'une matrice carrée ou d'un endomorphisme, et les reconnaître sur des transformations géométriques simples;
calculer le polynôme caractéristique $χ_{A} (λ) = det (A - λ I)$ , le factoriser et en déduire le spectre d'une matrice $2 \times 2$ ou $3 \times 3$ ;
déterminer une base de chaque espace propre par l'élimination de Gauss;
relier trace et déterminant aux valeurs propres, et distinguer multiplicité algébrique et multiplicité géométrique;
démontrer que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants;
utiliser le théorème de Cayley–Hamilton et la méthode de la puissance itérée, et interpréter les valeurs propres dans un problème de vibrations, de dynamique de population ou de stabilité.

Pourquoi des directions privilégiées?

Une matrice carrée $A \in M_{n \times n} (R)$ transforme chaque vecteur $x$ de $R^{n}$ en un autre vecteur $A x$ , en général de direction différente. Les chapitres 2 et 6 ont montré à quel point cette description «entrée par entrée» est lourde: pour comprendre ce que fait vraiment $A$ , on aimerait trouver des directions le long desquelles l'action de $A$ se réduit à une simple . Un vecteur tel que soit colinéaire à s'appelle un vecteur propre, et le facteur de dilatation une valeur propre. Ces directions privilégiées sont la clef de nombreux problèmes d'ingénierie.

Modes propres de vibration. Deux masses reliées par trois ressorts oscillent de façon compliquée en général. Il existe pourtant deux mouvements particulièrement simples, où les deux masses vibrent à la même fréquence: en phase, ou en opposition de phase. Ce sont les modes propres du système, et leurs fréquences sont données par les racines carrées de valeurs propres. Le même calcul, à grande échelle, permet de prévoir les fréquences de résonance d'un pont, d'une pale d'éolienne ou d'un bâtiment soumis à un séisme.
Croissance d'une population. Le modèle de Leslie décrit une population par classes d'âge: le vecteur des effectifs à l'année $k + 1$ est $L x_{k}$ . Après quelques années, la population croît géométriquement au taux de la plus grande valeur propre de $L$ , et sa répartition par âge se stabilise le long du vecteur propre associé.
PageRank. L'algorithme historique de Google classe les pages web selon les composantes du vecteur propre dominant d'une gigantesque matrice décrivant les liens entre pages. Le calcul de ce vecteur propre, par la méthode de la puissance itérée présentée dans ce chapitre, fut l'un des plus grands calculs d'algèbre linéaire jamais effectués.
Axes principaux d'inertie. Un solide en rotation ne tourne «sans vibrer» qu'autour de certains axes: ce sont les vecteurs propres de sa matrice d'inertie. Le chapitre 11 montrera que pour une matrice symétrique, ces axes sont toujours orthogonaux.

Historiquement, les valeurs propres sont apparues avant les matrices. Leonhard Euler, né à Bâle, découvre en 1765 les axes principaux d'un solide en rotation; Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace rencontrent l'«équation séculaire» — notre polynôme caractéristique — en étudiant la stabilité du système solaire, et Augustin Cauchy (1829) démontre que ses racines sont réelles pour une matrice symétrique. Le mot allemand eigen («propre», au sens de «qui appartient en propre») est introduit par David Hilbert vers 1904 dans sa théorie des équations intégrales; il est passé tel quel en anglais (eigenvalue), tandis que le français a traduit: valeur propre.

Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres

Définitions

Deux remarques sur cette définition. D'abord, la condition $v \neq = 0$ est essentielle: le vecteur nul vérifie $A 0 = λ 0$ pour tout $λ$ , et n'apporte donc aucune information. Ensuite, la valeur propre $λ$ peut, elle, être nulle: $λ = 0$ est valeur propre dès qu'un vecteur non nul est envoyé sur $0$ , c'est-à-dire dès que $ker A \neq = {0}$ .

Si $v$ est un vecteur propre pour $λ$ , tout multiple $c v$ avec $c \neq = 0$ l'est aussi, puisque $A (c v) = c A v = c λ v = λ (c v)$ . Un vecteur propre n'est donc jamais unique: ce qui compte, c'est la propre. Il est naturel de regrouper tous les vecteurs propres d'une même valeur propre.

L'égalité $E_{λ} = ker (A - λ I_{n})$ vient d'une simple réécriture: $A v = λ v ⟺ A v - λ I_{n} v = 0 ⟺ (A - λ I_{n}) v = 0$ . Cette réécriture est le cœur de tout le chapitre: chercher les vecteurs propres, c'est résoudre un système linéaire homogène.

Démonstration. $E_{λ}$ est le noyau de la matrice $A - λ I_{n}$ , et le noyau d'une matrice est un sous-espace vectoriel (chapitre 5). Directement: $0 \in E_{λ}$ ; si et , alors , donc . Enfin contient un vecteur propre, non nul par définition, donc .

Exemples géométriques

Avant de disposer d'une méthode de calcul, on peut lire les valeurs propres de nombreuses transformations directement sur leur géométrie: il suffit de chercher les directions conservées.

L'explorateur suivant permet de tester ces situations: choisissez les quatre coefficients d'une matrice $2 \times 2$ et faites tourner un vecteur unitaire $x$ jusqu'à ce que son image $A x$ lui soit alignée. Essayez la projection $(1, 0, 0, 0)$ , la réflexion $(0, 1, 1, 0)$ , une rotation $(0, - 1, 1, 0)$ et le cisaillement .

Explorateur 9.1 · Explorateur de vecteurs propres

Réglez les coefficients de la matrice A = [[a, b], [c, d]] et l'angle φ du vecteur unitaire x. L'image Ax est dessinée en couleur, les droites propres en tirets (lorsque les valeurs propres sont réelles) et l'image du cercle unité en bleu. Quand x est un vecteur propre, Ax est aligné avec x: l'angle vaut 0° ou 180°.

a2,0

b1,0

c1,0

d2,0

Angle φ de x30°

Valeurs propres

λ₁ = 3,00, λ₂ = 1,00

Angle entre x et Ax

9,9°

tr A = a + d

4,0

det A = ad − bc

3,00

‖Ax‖

2,91

Question 9.1

Soit $A$ la matrice de la projection orthogonale de $R^{3}$ sur le plan $z = 0$ . Lesquelles de ces affirmations sont vraies?

Plusieurs réponses possibles

Deux résultats immédiats

Démonstration. Soit $T$ triangulaire de coefficients diagonaux $t_{11}, \dots, t_{nn}$ . Un réel $λ$ est valeur propre si et seulement si le système homogène $(T - λ I) x = 0$ a une solution non nulle, c'est-à-dire si et seulement si la matrice n'est pas inversible (chapitre 2). Or est encore triangulaire, de coefficients diagonaux ; une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls (son déterminant en est le produit, chapitre 3). Donc est valeur propre si et seulement si pour un indice .

Démonstration. $0$ est valeur propre si et seulement s'il existe $v \neq = 0$ avec $A v = 0$ , autrement dit si et seulement si $ker A \neq = {0}$ . D'après le chapitre 2, une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit à ${0}$ , et d'après le chapitre 3, si et seulement si son déterminant est non nul.

Vecteurs propres d'un endomorphisme

Les définitions s'étendent mot pour mot à un endomorphisme $f : V \to V$ d'un espace vectoriel $V$ : $λ$ est valeur propre de $f$ s'il existe $v \in V$ non nul avec $f (v) = λ v$ , et . Si est de dimension finie et est une base de , les valeurs propres de sont celles de sa matrice , et les vecteurs propres de ont pour coordonnées les vecteurs propres de . Le choix de la base ne change rien au spectre: c'est la proposition 9.6 ci-dessous.

Un exemple important sort du cadre des matrices: l'opérateur de dérivation $D : f \mapsto f^{'}$ sur l'espace des fonctions dérivables. L'équation $D (f) = λ f$ est l'équation différentielle $f^{'} = λ f$ , dont les solutions sont les . réel est valeur propre de , avec l'espace propre . Les fonctions exponentielles sont les «directions propres» de la dérivation, ce qui explique leur omniprésence dans la résolution des équations différentielles linéaires (chapitre 10).

Le polynôme caractéristique

De l'équation vectorielle à l'équation scalaire

La proposition 9.3 se généralise immédiatement: remplacer $A$ par $A - λ I$ transforme la question « $λ$ est-il valeur propre?» en un calcul de déterminant.

Démonstration. $λ$ est valeur propre si et seulement si $ker (A - λ I_{n}) \neq = {0}$ , c'est-à-dire si et seulement si la matrice carrée $A - λ I_{n}$ n'est pas inversible, ce qui équivaut à (chapitre 3). Pour voir que est un polynôme de degré , développons le déterminant par la formule de Leibniz (chapitre 3): est une somme de produits de coefficients de , pris un par ligne et un par colonne. Chaque coefficient est soit une constante , soit un binôme : chaque produit est un polynôme en , de degré au plus . Le seul produit qui contient les facteurs diagonaux est , de terme dominant ; tous les autres produits comportent au plus facteurs diagonaux et sont de degré au plus . Le coefficient de est donc . Enfin un polynôme de degré a au plus racines.

Les coefficients remarquables: trace et déterminant

Démonstration. Pour $n = 2$ , avec $A = (a c b d)$ :

χ_{A} (λ) = a - λ c b d - λ = (a - λ) (d - λ) - b c = λ^{2} - (a + d) λ + (a d - b c) = λ^{2} - tr (A) λ + det A .

Pour $n$ quelconque, nous avons vu dans la démonstration précédente que les termes de degré $n$ et $n - 1$ ne peuvent provenir que du produit des coefficients diagonaux $\prod_{i} (a_{ii} - λ)$ , dont le développement commence par $(- λ)^{n} + (a_{11} + \dots + a_{nn}) (- λ)^{n - 1}$ : le coefficient de est bien . Le terme constant est . Nous admettons la forme des coefficients intermédiaires, qui sont les sommes des mineurs principaux de .

Pour (9.5), on développe la forme factorisée: $(- 1)^{n} \prod_{i} (λ - λ_{i}) = (- 1)^{n} (λ^{n} - (λ_{1} + \dots + λ_{n}) λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} λ_{1} \dots λ_{n})$ , et l'on identifie avec (9.4) les coefficients de et le terme constant.

Les relations (9.5) sont un excellent moyen de contrôle: après avoir calculé des valeurs propres, vérifiez que leur somme est la trace et leur produit le déterminant. Il faut y compter chaque racine autant de fois que sa multiplicité, et inclure les racines complexes le cas échéant.

Question 9.2

Calculez la plus grande valeur propre de $A = (4123)$ .

Matrices semblables

Démonstration. Comme $P^{- 1} (λ I) P = λ P^{- 1} P = λ I$ , on a $B - λ I = P^{- 1} A P - P^{- 1} (λ I) P = P^{- 1} (A - λ I) P$ . Par multiplicativité du déterminant (chapitre 3),

χ_{B} (λ) = det (P^{- 1}) det (A - λ I) det P = \frac{1}{det P} χ_{A} (λ) det P = χ_{A} (λ) .

Les valeurs propres, la trace et le déterminant se lisent sur $χ_{A}$ (théorème 9.5), d'où le reste. $□$

Ce résultat donne enfin un sens intrinsèque au polynôme caractéristique: les matrices d'un même endomorphisme $f$ dans deux bases sont semblables (chapitre 6), donc $χ_{f}$ , le spectre de $f$ , sa trace et son déterminant ne dépendent pas de la base. La réciproque est fausse: $I_{2}$ et le cisaillement $C = (1011)$ ont le même polynôme caractéristique sans être semblables, puisque .

Calcul complet sur une matrice 3 × 3

Question 9.3

Remettez dans l'ordre les étapes du calcul des valeurs propres et des espaces propres d'une matrice $A$ .

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

Factoriser

χ_{A}

et en extraire les racines réelles: ce sont les valeurs propres

Lire une base de

E_{λ}

sur les variables libres et vérifier

A v = λ v

Calculer le déterminant

χ_{A} (λ) = det (A - λ I)

Pour chaque valeur propre

λ

, réduire

A - λ I

par l'élimination de Gauss

Former la matrice

A - λ I

en soustrayant

λ

à chaque coefficient diagonal

Multiplicités et indépendance des vecteurs propres

Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique

Une valeur propre peut être racine multiple du polynôme caractéristique, et son espace propre peut être de dimension supérieure à $1$ . Ces deux nombres méritent chacun un nom.

Démonstration. L'inégalité $1 \leq m_{g} (λ)$ est la proposition 9.1 et $m_{a} (λ) \leq n$ vient du degré de $χ_{A}$ . Montrons . Notons et choisissons une base de , que l'on complète en une base de (théorème de la base incomplète, chapitre 4). Soit la matrice de passage, dont les colonnes sont les vecteurs de . Comme pour , les premières colonnes de (les coordonnées des dans ) sont , et la matrice a la forme par blocs

B = P^{- 1} A P = (λ I_{k} 0 X Y), Y \in M_{(n - k) \times (n - k)} (R) .

Par la proposition 9.6 et le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs (chapitre 3),

χ_{A} (x) = χ_{B} (x) = det ((λ - x) I_{k} 0 X Y - x I_{n - k}) = (λ - x)^{k} χ_{Y} (x) .

Ainsi $(λ - x)^{k}$ divise $χ_{A} (x)$ , ce qui signifie $m_{a} (λ) \geq k = m_{g} (λ)$ .

Une conséquence utile: pour une valeur propre simple, $m_{g} = m_{a} = 1$ automatiquement, et l'espace propre est une droite. Seules les valeurs propres multiples demandent un examen du rang de $A - λ I$ .

Question 9.4

Une matrice $A \in M_{4 \times 4} (R)$ a pour polynôme caractéristique $χ_{A} (λ) = (2 - λ)^{3} (- 1 - λ)$ . Lesquelles de ces affirmations sont nécessairement vraies?

Plusieurs réponses possibles

Indépendance des vecteurs propres

Démonstration. Par récurrence sur $k$ . Pour $k = 1$ , la famille $(v_{1})$ est libre car $v_{1} \neq = 0$ . Supposons le résultat vrai pour vecteurs et considérons une relation

c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2} + \dots + c_{k} v_{k} = 0 . (*)

Appliquons $A$ aux deux membres: $c_{1} λ_{1} v_{1} + \dots + c_{k} λ_{k} v_{k} = 0$ . Multiplions par ailleurs par : . En soustrayant, le dernier terme disparaît:

c_{1} (λ_{1} - λ_{k}) v_{1} + \dots + c_{k - 1} (λ_{k - 1} - λ_{k}) v_{k - 1} = 0 .

Par hypothèse de récurrence, $(v_{1}, \dots, v_{k - 1})$ est libre, donc $c_{i} (λ_{i} - λ_{k}) = 0$ pour . Comme , on obtient . La relation se réduit alors à , d'où puisque .

Démonstration. Rappelons (chapitre 5) que la somme est directe si la seule décomposition de $0$ est la décomposition triviale. Soient $u_{i} \in E_{λ_{i}}$ avec $u_{1} + \dots + u_{p} = 0$ . Si certains étaient non nuls, ils seraient des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, donc linéairement indépendants par le théorème 9.8; mais leur somme est nulle avec tous les coefficients égaux à , ce qui contredit l'indépendance. Donc tous les sont nuls et la somme est directe. La dimension d'une somme directe est la somme des dimensions (chapitre 5), et elle ne dépasse pas . Enfin, si a valeurs propres distinctes, on choisit un vecteur propre pour chacune: on obtient vecteurs indépendants dans , c'est-à-dire une base.

Ce dernier énoncé annonce le chapitre 10: dans une base de vecteurs propres, la matrice de l'endomorphisme est diagonale, avec les valeurs propres sur la diagonale. Le critère général sera: $A$ est diagonalisable si et seulement si $χ_{A}$ se factorise entièrement sur $R$ et $m_{g} (λ) = m_{a} (λ)$ pour chaque valeur propre. Le cisaillement de l'exemple 9.5 échoue au second test.

Le théorème de Cayley–Hamilton et la puissance itérée

Une matrice annule son polynôme caractéristique

Si $p (x) = c_{0} + c_{1} x + \dots + c_{k} x^{k}$ est un polynôme, on note la matrice obtenue en substituant à . Le résultat suivant, découvert par Arthur Cayley (1858) et William Rowan Hamilton, est l'une des identités les plus surprenantes de l'algèbre linéaire.

Démonstration pour $n = 2$ . Soit $A = (a c b d)$ , de polynôme caractéristique $χ_{A} (x) = x^{2} - (a + d) x + (a d - b c)$ . On calcule

A^{2} = (a^{2} + b c a c + c d ab + b d b c + d^{2}), (a + d) A = (a^{2} + a d a c + c d ab + b d a d + d^{2}),

d'où $A^{2} - (a + d) A = (b c - a d 0 0 b c - a d) = - (a d - b c) I$ , c'est-à-dire .

Le théorème a deux applications directes: il exprime $A^{n}$ , donc toutes les puissances supérieures, comme combinaison linéaire de $I, A, \dots, A^{n - 1}$ , et il fournit l'inverse sans élimination.

Le polynôme caractéristique n'est pas toujours le polynôme de plus petit degré annulé par $A$ : pour $A = I_{n}$ , $χ_{A} (x) = (1 - x)^{n}$ mais annule déjà . Le polynôme unitaire de degré minimal annulé par s'appelle le ; il divise et joue un rôle central dans la théorie de la réduction, au-delà de ce cours.

La méthode de la puissance itérée

Pour de grandes matrices, calculer $χ_{A}$ puis ses racines est impraticable et numériquement instable. On préfère des méthodes itératives. La plus simple, la puissance itérée, calcule la valeur propre de plus grand module et un vecteur propre associé.

L'idée est simple: si $x_{0} = c_{1} v_{1} + \dots + c_{n} v_{n}$ dans une base de vecteurs propres, alors , et tous les termes sauf le premier tendent vers . La normalisation à chaque étape évite que les composantes n'explosent ou ne s'annulent numériquement.

Question 9.5

Pour $A = (5 - 2 - 2 8)$ et $x = (1, 1)^{T}$ , calculez le quotient de Rayleigh $ρ (x)$ .

Applications

Modes propres de deux masses couplées

Croissance d'une population: le modèle de Leslie

Stabilité d'un système dynamique discret

Beaucoup de systèmes (populations, économie, filtres numériques, itérations d'un algorithme) obéissent à une récurrence $x_{k + 1} = A x_{k}$ , d'où $x_{k} = A^{k} x_{0}$ . La question centrale est le comportement de quand . Si est un vecteur propre pour , la réponse est immédiate: , qui tend vers si , reste borné si et explose si . Lorsque se décompose sur une base de vecteurs propres, chaque composante suit sa propre loi, et l'on obtient le critère suivant, que nous démontrerons au chapitre 10 pour les matrices diagonalisables.

Pour $A = (0, 5 0, 1 0, 2 0, 6)$ , $χ_{A} (λ) = λ^{2} - 1, 1 λ + 0, 28 = (λ - 0, 7) (λ - 0, 4)$ : les deux valeurs propres sont de module inférieur à , le système est stable. Le vecteur est propre pour : partant de , on obtient , , : une décroissance géométrique de raison . Pour la matrice de Leslie de l'exemple 9.9, : la population explose. Pour la rotation , : les trajectoires restent sur des cercles, ni stables ni explosives.

Synthèse

$λ$ est valeur propre de $A$ s'il existe $v \neq = 0$ avec $A v = λ v$ ; l'espace propre $E_{λ} = ker (A - λ I)$ est un sous-espace vectoriel de dimension . Une valeur propre peut être nulle ( non inversible), un vecteur propre jamais.

Série d'exercices du chapitre 9Exercice 1 sur 5

Question 9.6

Une matrice $A \in M_{3 \times 3} (R)$ a pour valeurs propres $- 2$ , $1$ et $4$ . Que valent sa trace et son déterminant?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 9.1 · Valeurs propres et espaces propres de matrices 2 × 2

Pour chacune des matrices suivantes, déterminer le polynôme caractéristique, les valeurs propres réelles et une base de chaque espace propre. Préciser à chaque fois les multiplicités algébrique et géométrique.

A = (1243), B = (1111), C = (2012), D = (01 - 1 0) .

Exercice 9.2 · Une valeur propre double dont l'espace propre est une droite

Soit $A = 301130002$ .

Exercice 9.3 · Inverse et puissances par le théorème de Cayley–Hamilton

Soit $B = 210030111$ .

Exercice 9.4 · Modèle de Leslie à trois classes d'âge

Une population d'insectes est décrite par trois classes d'âge (larves, jeunes, adultes). Chaque année, les jeunes produisent en moyenne $6$ larves et les adultes $8$ ; la moitié des larves deviennent des jeunes et la moitié des jeunes deviennent adultes; les adultes meurent. Avec $x_{k} = (ℓ_{k}, j_{k}, a_{k})^{T}$ , on a où

Exercice 9.5 · Propriétés du spectre (démonstrations)

Soit $A \in M_{n \times n} (R)$ .

Montrer que si $v$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $λ$ , alors $v$ est un vecteur propre de $A^{2}$ pour , et plus généralement de pour , pour tout polynôme .

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 5.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, chap. 6.
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 3e éd., Springer, Cham, chap. 5.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 6.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, 2e éd., Dunod, Paris.
Trefethen, L. N. et Bau, D., Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphie, leçons 24–27 (méthode de la puissance itérée et quotient de Rayleigh).

$k$	$y_{k} = A x_{k - 1}$	$x_{k}$ (normalisé)	rapport $x_{2} / x_{1}$	$ρ (x_{k - 1})$
1	$(2; 1)$	$(1; 0, 5)$	$0, 5$	$2$
2	$(2, 5; 2, 5)$	$(1; 1)$	$1$	$3$

Objectifs du chapitre

Pourquoi des directions privilégiées?

Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres

Définitions

Exemples géométriques

Deux résultats immédiats

Vecteurs propres d'un endomorphisme

Le polynôme caractéristique

De l'équation vectorielle à l'équation scalaire

Les coefficients remarquables: trace et déterminant

Matrices semblables

Calcul complet sur une matrice 3 × 3

Multiplicités et indépendance des vecteurs propres

Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique

Indépendance des vecteurs propres

Le théorème de Cayley–Hamilton et la puissance itérée

Une matrice annule son polynôme caractéristique

La méthode de la puissance itérée

Applications

Modes propres de deux masses couplées

Croissance d'une population: le modèle de Leslie

Stabilité d'un système dynamique discret

Synthèse

Exercices

Références

Polynôme caractéristique

Valeurs propres

Un espace propre

Contrôle par la trace et le déterminant