Diagonalisation et applications

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• décider si une matrice carrée est diagonalisable, sur $\mathbb{R}$ ou sur $\mathbb{C}$, à l'aide des multiplicités algébriques et géométriques de ses valeurs propres;
• construire explicitement les matrices $P$ et $D$ de la factorisation $A=PD{P}^{-1}$ et vérifier le résultat par $AP=PD$;
• calculer les puissances $A^k$, une racine carrée et l'exponentielle ${\mathrm{e}}^A$ d'une matrice diagonalisable, et en déduire le terme général d'une suite récurrente linéaire;
• modéliser une évolution aléatoire par une chaîne de Markov, trouver sa distribution stationnaire et prévoir son comportement à long terme;
• résoudre un système différentiel linéaire ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$ et lire la stabilité de l'équilibre sur les valeurs propres;
• situer la diagonalisation parmi les réductions plus générales (trigonalisation, blocs de Jordan, matrices symétriques).

Pourquoi diagonaliser?

Le chapitre 9 a introduit les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice carrée $A$: les directions privilégiées $\mathbf{v}$ le long desquelles $A$ agit comme une simple multiplication, $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$. Ce chapitre en tire les conséquences pratiques. Trois problèmes d'ingénieur, en apparence sans rapport, se ramènent à la même idée.

• Calculer $A^{100}$. Un modèle de population ou de propagation d'erreurs numériques fait intervenir une matrice appliquée un très grand nombre de fois: ${\mathbf{x}}_k=A^k{\mathbf{x}}_0$. Multiplier cent fois une matrice $3\times 3$ est fastidieux et n'apprend rien sur la tendance générale. Si avec diagonale, alors , et s'obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance .

Dans les trois cas, le calcul devient élémentaire dans une base de vecteurs propres: c'est exactement ce que réalise la diagonalisation. Le travail consiste donc, d'abord, à savoir quand une telle base existe et comment la construire.

Diagonalisation

Définition et caractérisation

Rappelons (chapitre 6) que deux matrices $A$ et $B$ sont semblables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $B=P^{-1}AP$: elles représentent la même application linéaire dans deux bases différentes, $P$ étant la matrice de passage.

Démonstration. L'égalité $A=PD{P}^{-1}$ équivaut à $AP=PD$ (multiplier à droite par $P$ ou par $P^{-1}$). Lisons cette relation colonne par colonne. Si ${\mathbf{p}}_j$ désigne la -ième colonne de , la -ième colonne de est ; celle de est , car multiplier à droite par une matrice diagonale multiplie chaque colonne par le coefficient diagonal correspondant. Ainsi

Si $A$ est diagonalisable, $P$ est inversible, donc ses colonnes forment une base de ${\mathbb{R}}^n$ (chapitre 4) et chacune est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $d_{jj}$: on a une base de vecteurs propres. Réciproquement, si $({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$ est une base de vecteurs propres avec , la matrice de colonnes est inversible (ses colonnes sont libres) et vérifie pour , d'où .

La figure 10.1 montre la lecture géométrique de (10.1): pour calculer $A\mathbf{x}$, on exprime $\mathbf{x}$ dans la base des vecteurs propres ($\mathbf{c}=P^{-1}\mathbf{x}$), on étire chaque coordonnée par la valeur propre correspondante ($D\mathbf{c}$), puis on revient à la base canonique ($PD\mathbf{c}$). Le parallélogramme engendré par les vecteurs propres est un carré dans les coordonnées propres, et $A$ y devient une simple dilatation le long des axes.

Un critère suffisant: des valeurs propres toutes distinctes

Démonstration. Le chapitre 9 a établi que des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants. Rappelons l'argument par récurrence: si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k$ sont des vecteurs propres pour ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ distinctes et si , on applique à cette relation; le dernier terme disparaît et il reste . Par hypothèse de récurrence, , donc pour puisque ; enfin force . En choisissant un vecteur propre pour chacune des valeurs propres, on obtient vecteurs libres dans , donc une base (chapitre 4), formée de vecteurs propres: le théorème 10.1 conclut.

Ce critère n'est que suffisant: la matrice identité $I_n$ est diagonalisable (elle est déjà diagonale) alors que sa seule valeur propre est $1$, de multiplicité $n$. Il faut un critère plus fin pour les valeurs propres multiples.

Le critère général: multiplicités géométrique et algébrique

Rappelons les deux multiplicités d'une valeur propre $\lambda$ (chapitre 9): la multiplicité algébrique $m_a(\lambda )$ est l'ordre de $\lambda$ comme racine de ${\chi }_A$, la multiplicité géométrique $m_g(\lambda )=\dim E_{\lambda }=\dim \ker (A-\lambda I)$ est la dimension de l'espace propre, et l'on a toujours .

Démonstration. (2 ⟹ 1) Choisissons une base ${\mathcal{B}}_i$ de chaque espace propre $E_{{\lambda }_i}$ et réunissons-les en une famille $\mathcal{B}$ de ${\sum }_i{m}_g({\lambda }_i)=n$ vecteurs. Cette famille est libre: si une combinaison linéaire des vecteurs de est nulle, regroupons les termes par espace propre; on obtient avec . Les non nuls seraient des vecteurs propres pour des valeurs propres distinctes, donc libres, ce qui est incompatible avec une somme nulle: tous les sont nuls, et comme est libre, tous les coefficients sont nuls. Une famille libre de vecteurs de est une base; elle est formée de vecteurs propres.

(1 ⟹ 2) Soit $({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$ une base de vecteurs propres. Notons $n_i$ le nombre de ces vecteurs associés à ${\lambda }_i$; ils forment une famille libre de , donc . En sommant, . Par ailleurs , puisque le nombre total de racines de , comptées avec multiplicité, ne dépasse pas son degré . D'où l'égalité.

(2 ⟺ 3) Dans la chaîne d'inégalités ${\sum }_i{m}_g({\lambda }_i)\le {\sum }_i{m}_a({\lambda }_i)\le n$, l'égalité force pour chaque (car terme à terme) et ; la réciproque est immédiate.

L'algorithme de diagonalisation

Puissances et fonctions de matrices

Puissances

Démonstration. Par récurrence sur $k$. Pour $k=0$, les deux membres valent $I$ (avec $D^0=I$). Si $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$, alors

les facteurs $P^{-1}P=I$ intérieurs «télescopent». Enfin $D^k$ est diagonale de coefficients ${\lambda }_j^k$, puisque le produit de deux matrices diagonales se fait coefficient par coefficient. Pour $k<0$, on remarque que , donc , et l'on applique ce qui précède à .

Suites récurrentes linéaires: la formule de Binet

La suite de Fibonacci $F_0=0$, $F_1=1$, $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ () est définie par une récurrence d'ordre . L'astuce consiste à la transformer en une récurrence d'ordre : en posant ,

La matrice $M$ est la matrice compagnon de la récurrence. Calculer $F_n$ revient à calculer $M^n$: diagonalisons.

Démonstration. ${\chi }_M(\lambda )={\lambda }^2-\lambda -1$, dont les racines sont $\phi$ et $\psi$ (elles vérifient $\phi +\psi =1$, , ). Elles sont distinctes: est diagonalisable. Pour , la première ligne de s'écrit ; comme , le vecteur convient (vérifier: ). Donc

Alors $P^{-1}{\mathbf{x}}_0=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$, puis et enfin

La seconde composante est $F_n$, ce qui établit (10.4). Comme $|\psi |<1$, le terme ${\psi }^n/\sqrt{5}$ est de valeur absolue inférieure à : est l'entier le plus proche de . Enfin puisque .

Par exemple ${\phi }^{20}/\sqrt{5}\approx 6765,00003$, d'où $F_{20}=6765$. La même méthode s'applique à toute récurrence linéaire : les valeurs propres de la matrice compagnon sont les racines de , et si elles sont distinctes, , les constantes étant fixées par et (exercice 10.3).

Systèmes dynamiques discrets

Un système dynamique linéaire discret est une suite de vecteurs définie par ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$, donc ${\mathbf{x}}_k=A^k{\mathbf{x}}_0$: populations de plusieurs classes d'âge (matrices de Leslie), stocks dans une chaîne logistique, températures de plusieurs pièces relevées chaque heure. La diagonalisation donne le comportement à long terme sans calculer .

Démonstration. Par linéarité et $A^k{\mathbf{v}}_j={\lambda }_j^k{\mathbf{v}}_j$ (appliquer $k$ fois ), on obtient . En divisant par ,

et chaque rapport ${\lambda }_j/{\lambda }_1$ est de module strictement inférieur à $1$, donc $({\lambda }_j/{\lambda }_1{)}^k\to 0$.

Avec $A=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right)$ et ${\mathbf{x}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, les coordonnées propres sont , donc ; on vérifie , et : après quelques étapes, les deux composantes sont pratiquement égales et croissent d'un facteur par étape. C'est aussi le principe de la (chapitre 12), qui calcule numériquement la valeur propre dominante en itérant .

Racine carrée et exponentielle d'une matrice

La formule (10.2) suggère de définir $f(A)=Pf(D)P^{-1}$ pour d'autres fonctions que les puissances, en appliquant $f$ à chaque valeur propre.

Racine carrée. Si toutes les valeurs propres sont positives ou nulles, $B=P\mathrm{diag}(\sqrt{{\lambda }_1},\dots ,\sqrt{{\lambda }_n})P^{-1}$ vérifie : c'est une racine carrée de . Cette construction sert en mécanique (raideur équivalente), en statistique (matrices de covariance) et en géométrie (chapitre 12, décomposition polaire).

Démonstration. (1) $D^k=\mathrm{diag}({\lambda }_j^k)$, donc les sommes partielles de (10.6) sont $\mathrm{diag}({\sum }_{k\le N}{\lambda }_j^k/k!)$, dont chaque coefficient tend vers .

(2) Par le théorème 10.4, la somme partielle vaut ${\sum }_{k\le N}P{D}^k{P}^{-1}/k!=P({\sum }_{k\le N}{D}^k/k!)P^{-1}$; le passage à la limite commute avec la multiplication par les matrices fixes et (chaque coefficient du produit est une combinaison linéaire finie de coefficients convergents). La version avec s'obtient en remplaçant par .

(3) et (4) Nous admettons ces deux points dans le cas général: ils se démontrent en manipulant la série (10.6) comme la série de l'exponentielle réelle, le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes donnant ${\mathrm{e}}^A{\mathrm{e}}^B={\sum }_k\frac{1}{k!}{\sum }_{i+j=k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right)A^i{B}^j={\sum }_k\frac{(A+B{)}^k}{k!}$ et commutent, ce qui autorise la formule du binôme. Pour une matrice diagonalisable, le point 4 découle directement du point 2: .

Chaînes de Markov

Matrices stochastiques

Un système passe d'un état à l'autre parmi $n$ états possibles, au hasard, avec des probabilités qui ne dépendent que de l'état actuel (et pas du passé): c'est une chaîne de Markov, du nom du mathématicien russe Andreï Markov (1906). On décrit la situation à l'instant $k$ par le vecteur de distribution ${\mathbf{x}}_k\in {\mathbb{R}}^n$, dont la $i$-ième composante est la probabilité d'être dans l'état $i$ (ou la proportion de la population qui s'y trouve).

Si $\mathbf{x}$ est un vecteur de probabilité, $A\mathbf{x}$ l'est aussi: ses composantes sont positives, et leur somme vaut ${\sum }_i{\sum }_j{a}_{ij}{x}_j={\sum }_j{x}_j\left({\sum }_i{a}_{ij}\right)={\sum }_j{x}_j=1$. Le produit de deux matrices stochastiques est stochastique (même calcul), et contient les probabilités de transition en étapes.

Démonstration. Notons $1=(1,1,\dots ,1{)}^{\mathsf{T}}$. La condition «colonnes de somme $1$» s'écrit $1^{\mathsf{T}}A=1^{\mathsf{T}}$, soit en transposant $A^{\mathsf{T}}1=1$: le vecteur est vecteur propre de pour la valeur propre . Or et ont le même polynôme caractéristique, car (chapitre 3). Donc est aussi valeur propre de (avec, en général, un autre vecteur propre). L'inégalité fait l'objet de l'exercice 10.5.

Pour trouver $\mathbf{\pi }$, on résout le système homogène $(A-I)\mathbf{\pi }=0$, dont une équation est toujours redondante (la somme des lignes de $A-I$ est nulle, puisque $1^{\mathsf{T}}(A-I)=0^{\mathsf{T}}$), et l'on remplace cette équation par la contrainte .

Convergence vers l'état stationnaire

Ce théorème est un cas particulier du théorème de Perron–Frobenius (1907–1912) sur les matrices à coefficients positifs; nous l'admettons dans le cas général. Lorsque $A$ est diagonalisable, le point 3 se déduit des deux premiers grâce à (10.5): en écrivant ${\mathbf{x}}_0=c_1\mathbf{\pi }+{\sum }_{j\ge 2}{c}_j{\mathbf{v}}_j$, on a , et car et sont des vecteurs de probabilité (appliquer , qui annule les pour : en effet avec ).

Démontrons complètement le cas de deux états, qui contient toute l'idée. Avec $p$ la probabilité de passer de A à B et $q$ celle de passer de B à A, la matrice est $A=\left(\begin{array}{cc}1-p& q\\ p& 1-q\end{array}\right)$, de trace et de déterminant : ses valeurs propres sont et . Si désigne la part de l'état A,

Le point fixe est $x^{\ast }=q/(p+q)$ (si $p+q>0$), et en soustrayant $x^{\ast }=q+(1-p-q)x^{\ast }$ on obtient , donc

Dès que $0<p+q<2$, on a $|{\lambda }_2|<1$ et $x_k\to x^{\ast }$ géométriquement, quel que soit ; si (), la convergence se fait en oscillant autour de . Les cas limites (rien ne bouge, ) et (tout le monde change à chaque étape, ) sont ceux où : la convergence échoue, et l'on vérifie que la matrice n'est pas régulière ( et ont des puissances qui restent, respectivement, l'identité ou alternent). Remarquez que si un seul des deux paramètres est nul, par exemple et , la matrice n'est pas régulière non plus (l'état A est : dans toutes les puissances), mais et la convergence a quand même lieu, vers : la régularité est une condition suffisante, pas nécessaire. L'explorateur ci-dessous permet de le constater.

Systèmes différentiels linéaires

Résolution par diagonalisation

Un système différentiel linéaire à coefficients constants relie les dérivées de $n$ fonctions inconnues $x_1(t),\dots ,x_n(t)$ à leurs valeurs:

où $\mathbf{x}(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t){)}^{\mathsf{T}}$ et $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$. Pour , c'est l'équation , de solution (Analyse 1). La diagonalisation ramène le cas général à équations de ce type.

Démonstration. Existence. Posons $\mathbf{x}(t)=P{\mathrm{e}}^{tD}\mathbf{c}$ avec $\mathbf{c}=P^{-1}{\mathbf{x}}_0$. Comme ${\mathrm{e}}^{tD}=\mathrm{diag}({\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t})$, on a , et en dérivant terme à terme, . De plus .

Unicité. Soit $\mathbf{y}$ une solution quelconque de (10.9) et $\mathbf{z}(t)=P^{-1}\mathbf{y}(t)$ ses coordonnées dans la base propre. Alors ${\mathbf{z}}^{\prime }=P^{-1}{\mathbf{y}}^{\prime }=P^{-1}AP\mathbf{z}=D\mathbf{z}$: le système est , pour chaque . Or , donc (une fonction de dérivée nulle sur est constante). Ainsi avec , et coïncide avec la solution construite.

La méthode pratique tient en trois lignes: diagonaliser $A$; écrire la solution générale $\mathbf{x}(t)={\sum }_j{c}_j{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}{\mathbf{v}}_j$ avec des constantes arbitraires; déterminer les par la condition initiale, c'est-à-dire résoudre .

Portraits de phase et stabilité

Pour $n=2$, on visualise les solutions en traçant les courbes $t\mapsto (x_1(t),x_2(t))$ dans le plan: c'est le portrait de phase du système. L'origine est toujours un point d'équilibre ($\mathbf{x}=0$ est solution constante), et les valeurs propres décident du comportement des trajectoires voisines.

Le cas complexe s'obtient à partir de la diagonalisation sur $\mathbb{C}$ (exemple 10.2): pour $\lambda =a\pm b\mathrm{i}$, les solutions ${\mathrm{e}}^{\lambda t}$ se recombinent en ${\mathrm{e}}^{at}\cos (bt)$ et ${\mathrm{e}}^{at}\sin (bt)$ à l'aide de la formule d'Euler . La partie réelle contrôle l'amplitude (amortissement si ), la partie imaginaire la fréquence des oscillations. On retient la règle: ; pour , cela équivaut à et (chapitre 9: et ).

Application: deux réservoirs couplés

Oscillateurs couplés et modes propres

Deux chariots de masse $m$ sont reliés entre eux et aux parois par trois ressorts identiques de raideur $k$. Si $x_1$ et $x_2$ sont leurs écarts à l'équilibre, la loi de Newton donne $m{x}_1^{\prime \prime }=-k{x}_1+k(x_2-x_1)$ et , soit, avec ,

C'est un système du second ordre, mais la même idée s'applique: dans une base de vecteurs propres de $K$, il se découple. Les valeurs propres de $K$ sont $1$ (vecteur propre $(1,1)$) et $3$ (vecteur propre $(1,-1)$); en posant $\mathbf{x}=z_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+z_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$, (10.11) devient et . Chaque coordonnée oscille à sa propre pulsation : ce sont les de la structure. Le premier mode () voit les deux chariots osciller en phase, le ressort central restant au repos; le second () les voit osciller en opposition de phase. Le mouvement général est la des deux:

les quatre constantes étant fixées par les positions et vitesses initiales. L'analyse modale des bâtiments, des ponts et des aubes de turbine repose sur ce principe, avec des matrices de raideur de plusieurs milliers de lignes: les fréquences propres $\sqrt{{\lambda }_j}$ doivent être tenues à l'écart des fréquences d'excitation (vent, séismes, machines tournantes) pour éviter la résonance.

Aperçu: au-delà de la diagonalisation

Toutes les matrices ne sont pas diagonalisables, mais on peut toujours faire presque aussi bien.

• Trigonalisation. Toute matrice carrée à coefficients complexes est semblable à une matrice triangulaire supérieure: $A=PT{P}^{-1}$ avec $T$ triangulaire, dont la diagonale porte les valeurs propres (théorème de Schur; on peut même choisir $P$ unitaire). La démonstration se fait par récurrence sur $n$ en complétant un vecteur propre en une base. Sur $\mathbb{R}$, c'est possible si et seulement si ${\chi }_A$ a toutes ses racines réelles. Les puissances et l'exponentielle d'une matrice triangulaire se calculent encore, quoique moins simplement.

Synthèse

• $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\mathbb{R}}^n$ (ou ${\mathbb{C}}^n$) admet une base de vecteurs propres; alors $A=PD{P}^{-1}$, les colonnes de $P$ étant les vecteurs propres et la diagonale de $D$ les valeurs propres, dans le même ordre. Contrôle: .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• D. C. Lay, S. R. Lay, J. J. McDonald, Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, 2018 — chapitre 5 (valeurs propres, diagonalisation, systèmes dynamiques discrets et différentiels) et chapitre 10 (chaînes de Markov).
• G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 6e éd., Wellesley-Cambridge Press, 2023 — chapitre 6 (Eigenvalues and Eigenvectors: diagonalisation, systèmes d'équations différentielles, exponentielle de matrice).
• S. Axler, Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, 2024 — chapitres 5 et 8 (opérateurs diagonalisables, sous-espaces invariants, forme de Jordan).
• J. Grifone, Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, 2019 — chapitre sur la réduction des endomorphismes (diagonalisation, trigonalisation, applications aux suites et aux systèmes différentiels).
• C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, 2000 — chapitre 8 (théorie de Perron–Frobenius et chaînes de Markov).
• L. N. Trefethen, D. Bau, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997 — leçons 24 à 27 (calcul numérique des valeurs propres, méthode de la puissance, forme de Schur).