Déterminants

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

calculer un déterminant d'ordre 2 ou 3 par la formule directe ou la règle de Sarrus, et l'interpréter comme une aire ou un volume signé;
définir le déterminant d'ordre $n$ par développement selon une ligne ou une colonne à l'aide des mineurs et des cofacteurs;
prévoir l'effet des trois opérations élémentaires sur le déterminant et calculer un déterminant d'ordre 4 par réduction à une forme triangulaire;
utiliser les propriétés $det (A B) = det A \cdot det B$ , $det A^{T} = det A$ , $det (k A) = k^{n} det A$ et éviter les pièges classiques;
décider si une matrice est inversible grâce à son déterminant et démontrer ce critère;
résoudre un système par la règle de Cramer, inverser une matrice par la comatrice et reconnaître le déterminant de Vandermonde.

Pourquoi un déterminant?

Le chapitre 1 nous a appris à résoudre un système linéaire par élimination, et le chapitre 2 à reconnaître une matrice inversible en la réduisant à la forme échelonnée réduite. Ces algorithmes répondent à la question «quelle est la solution?», mais ils ne fournissent pas de formule: pour savoir si le système $A x = b$ a une solution unique, il faut refaire toute l'élimination chaque fois que les coefficients changent. Le déterminant est le nombre, calculé à partir des coefficients de $A$ , qui répond d'un seul coup à cette question.

Regardons le cas le plus simple, un système de deux équations à deux inconnues:

{a x + b y = e c x + d y = f

Multiplions la première équation par $d$ , la seconde par $b$ , et soustrayons: $(a d - b c) x = e d - b f$ . De même, $(a d - b c) y = a f - ce$ . Si le nombre est non nul, le système possède une solution unique,

x = \frac{e d - b f}{a d - b c}, y = \frac{a f - ce}{a d - b c}, (3.1)

et si $a d - b c = 0$ , les deux lignes $(a, b)$ et $(c, d)$ sont proportionnelles: le système a soit une infinité de solutions, soit aucune. Le nombre $a d - b c$ détermine donc la nature du système: c'est le déterminant de la matrice $(a c b d)$ . Pour le système , , on trouve , puis et .

Ce même nombre a une seconde vie, géométrique. Les vecteurs $u = (a, b)$ et $v = (c, d)$ engendrent un parallélogramme; nous verrons que son aire vaut $∣ a d - b c ∣$ . Le déterminant est nul exactement lorsque le parallélogramme est aplati, c'est-à-dire lorsque $u$ et $v$ sont colinéaires: l'algèbre (système sans solution unique) et la géométrie (parallélogramme dégénéré) racontent la même histoire.

Un peu d'histoire

Les déterminants sont plus anciens que les matrices. Le mathématicien japonais Seki Takakazu les utilise dès 1683 pour éliminer une inconnue entre deux équations polynomiales, et Leibniz, indépendamment, décrit en 1693 dans une lettre au marquis de L'Hôpital la condition $a d - b c = 0$ et son analogue pour trois équations. Le Genevois Gabriel Cramer publie en 1750, dans son Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, la formule générale (3.1) pour $n$ équations à $n$ inconnues, qu'il utilise pour faire passer une courbe algébrique par des points donnés: c'est la «règle de Cramer». Vandermonde (1771) et Laplace (1772) étudient les déterminants pour eux-mêmes et découvrent les développements selon une ligne; Cauchy, en 1812, fixe le mot «déterminant» et démontre la formule $det (A B) = det A \cdot det B$ . Les matrices n'apparaissent qu'en 1858 chez Cayley.

Déterminants d'ordre 2 et 3

Formules

La formule (3.3) contient six produits de trois facteurs, chaque produit prenant exactement un coefficient dans chaque ligne et dans chaque colonne. On la retient grâce à la règle de Sarrus: on recopie les deux premières colonnes à droite de la matrice, on additionne les produits des trois diagonales descendantes et l'on soustrait les produits des trois diagonales montantes.

Question 3.1

Calculez le déterminant de la matrice $(43 - 2 5)$ .

Interprétation géométrique: aire et volume signés

Démonstration. Écrivons les deux vecteurs en coordonnées polaires: $u = ∥ u ∥ (cos α, sin α)$ et $v = ∥ v ∥ (cos β, sin β)$ , de sorte que $θ = β - α$ . Alors

u_{1} v_{2} - u_{2} v_{1} = ∥ u ∥ ∥ v ∥ (cos α sin β - sin α cos β) = ∥ u ∥ ∥ v ∥ sin (β - α),

par la formule d'addition du sinus. Or l'aire du parallélogramme est le produit de la base $∥ u ∥$ par la hauteur $∥ v ∥ ∣ sin θ ∣$ , et le signe de $sin θ$ est positif si et seulement si $θ \in] 0, π [$ , c'est-à-dire si $v$ est «à gauche» de $u$ . Enfin $sin θ = 0$ équivaut à , c'est-à-dire à la colinéarité (si l'un des vecteurs est nul, tout est nul des deux côtés).

Pour les vecteurs de la figure 3.1, la démonstration «par découpage» donne le même résultat: le rectangle de côtés $u_{1} + v_{1}$ et $u_{2} + v_{2}$ a pour aire ; on lui retranche deux triangles d'aire , deux triangles d'aire et deux rectangles d'aire , et il reste exactement .

Explorateur 3.1 · Explorateur du déterminant 2×2

Le parallélogramme engendré par u et v est colorié selon le signe de det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁: en couleur si la base (u, v) est directe, en gris si elle est indirecte. Son aire est |det|. Rendez u et v colinéaires pour voir le parallélogramme s'aplatir.

u₁2,0

u₂0,5

v₁0,5

v₂1,5

det(u, v) = u₁v₂ − u₂v₁

2,75

Aire |det|

2,75

Orientation

directe (sens antihoraire)

La situation est la même dans l'espace: trois vecteurs $u$ , $v$ , $w$ de $R^{3}$ engendrent un parallélépipède dont le volume est $∣ det (u, v, w)∣$ , le déterminant de la matrice $3 \times 3$ dont les colonnes sont les trois vecteurs. Le signe indique si le trièdre $(u, v, w)$ est direct (règle de la main droite) ou indirect. Nous admettons ici ce résultat, qui sera démontré au chapitre 8 à l'aide du produit vectoriel: le volume vaut aire de la base hauteur, l'aire de la base est , et la hauteur est la composante de le long de , ce qui donne le , dont on vérifie qu'il coïncide avec (3.3).

Cette interprétation explique pourquoi le déterminant apparaît chaque fois qu'un ingénieur mesure une déformation: si une transformation linéaire $x \mapsto A x$ envoie le carré unité sur le parallélogramme engendré par les colonnes de $A$ , elle multiplie toutes les aires par $∣ det A ∣$ , et elle renverse l'orientation (comme un miroir) si $det A < 0$ . Nous retrouverons ce facteur d'échelle dans la formule de changement de variables des intégrales doubles (Analyse II).

Définition générale

Mineurs, cofacteurs et développement

La seconde écriture de l'exemple 3.1 suggère de définir le déterminant d'ordre $n$ à partir de déterminants d'ordre $n - 1$ .

Pour $n = 2$ , (3.5) donne $a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ , et pour , elle redonne (3.3), comme on l'a vu dans l'exemple 3.1: la définition générale est bien cohérente avec les formules d'ordre 2 et 3.

L'intérêt pratique est immédiat: on développe selon la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.

Matrices triangulaires et transposée

Démonstration. Traitons le cas triangulaire supérieur par récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ , il n'y a rien à démontrer. Si $n \geq 2$ , la première colonne de $A$ est $(a_{11}, 0, \dots, 0)^{T}$ ; en développant selon cette colonne (théorème 3.2), , où est le déterminant de la matrice triangulaire supérieure d'ordre obtenue en supprimant la première ligne et la première colonne, dont la diagonale est . Par hypothèse de récurrence, . Le cas triangulaire inférieur se traite de même en développant selon la première ligne, ce qui n'utilise que la définition (3.5).

Nous admettons ce résultat: il se lit directement sur la formule de Leibniz, où transposer revient à échanger le rôle des lignes et des colonnes dans chaque produit sans changer la signature. Sa conséquence est précieuse: toute propriété du déterminant relative aux lignes est aussi valable pour les colonnes. Nous énoncerons donc les propriétés pour les lignes seulement.

Question 3.2

Calculez le déterminant de $1472583610$ .

Propriétés et opérations sur les lignes

Effet des opérations élémentaires

Le calcul d'un déterminant par développement coûte de l'ordre de $n!$ multiplications. L'élimination de Gauss, elle, coûte de l'ordre de $n^{3} /3$ opérations: si l'on sait comment les opérations élémentaires modifient le déterminant, on peut réduire $A$ à une matrice triangulaire et appliquer le théorème 3.3.

Démonstration. Point 1. Développons $det B$ selon la ligne $i$ (théorème 3.2). Les cofacteurs $C_{ik}$ ne font pas intervenir la ligne $i$ , ils sont donc les mêmes pour $A$ et $B$ , tandis que les coefficients de cette ligne sont multipliés par $λ$ : $det B = \sum_{k} λ a_{ik} C_{ik} = λ det A$ .

Point 2. Récurrence sur $n \geq 2$ . Pour $n = 2$ , échanger les deux lignes de $(a c b d)$ donne $c b - d a = - (a d - b c)$ . Pour , choisissons une ligne différente de et de et développons et selon cette ligne: les coefficients sont les mêmes dans les deux matrices, et chaque mineur de est le mineur correspondant de dans lequel deux lignes ont été échangées. Par hypothèse de récurrence, chaque mineur change de signe, donc .

Point 3. Développons $det B$ selon la ligne $i$ . Les cofacteurs sont ceux de $A$ et les coefficients valent $a_{ik} + λ a_{j k}$ , donc

det B = k \sum (a_{ik} + λ a_{j k}) C_{ik} = det A + λ k \sum a_{j k} C_{ik} = det A + λ det A^{'},

où $A^{'}$ est la matrice $A$ dont la ligne $i$ a été remplacée par une copie de la ligne $j$ . Cette matrice a deux lignes égales; en les échangeant, elle reste identique, mais son déterminant change de signe d'après le point 2: $det A^{'} = - det A^{'}$ , donc et .

Le calcul du point 3 a montré au passage deux faits importants, que nous isolons.

Démonstration. Le point 1 est la lecture du développement selon la ligne $i$ , dont les cofacteurs ne dépendent pas de cette ligne. Le point 2 pour deux lignes égales a été établi ci-dessus; une ligne nulle donne un développement dont tous les termes sont nuls; enfin si $L_{i} = λ L_{j}$ , l'opération $L_{i} \leftarrow L_{i} - λ L_{j}$ fait apparaître une ligne nulle sans changer le déterminant.

Question 3.3

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ avec $det A = 4$ . On échange $L_{1}$ et $L_{3}$ , puis on remplace $L_{2}$ par $2 L_{2}$ , puis on remplace $L_{3}$ par $L_{3} + 5 L_{1}$ . Quel est le déterminant de la matrice obtenue?

Déterminant d'un produit et inversibilité

Démonstration. Réduisons $A$ à sa forme échelonnée réduite $R$ par une suite d'opérations élémentaires. D'après le théorème 3.5, chaque opération multiplie le déterminant par une constante non nulle ( $- 1$ , $λ \neq = 0$ ou $1$ ), donc $det A = c \cdot det R$ avec $c \neq = 0$ . Or, d'après le théorème d'inversibilité du chapitre 2, une matrice carrée est inversible si et seulement si sa forme échelonnée réduite est . Si est inversible, et . Si n'est pas inversible, est une matrice carrée échelonnée réduite différente de : elle possède moins de pivots, donc au moins une ligne nulle, et d'après le corollaire 3.6, d'où .

Ce théorème complète la liste des conditions équivalentes du chapitre 2: pour $A$ carrée, « $A$ est inversible», « $A x = 0$ n'a que la solution nulle», « $A x = b$ a une solution unique pour tout $b$ », « $rg A = n$ » et « $det A \neq = 0$ » sont toutes équivalentes. C'est aussi une nouvelle lecture de la proposition 3.1: les colonnes de sont linéairement indépendantes si et seulement si le parallélogramme (ou parallélépipède) qu'elles engendrent n'est pas aplati.

Question 3.4

Remettez dans l'ordre les étapes de la démonstration de « $A$ est inversible si et seulement si $det A \neq = 0$ ».

Glissez les éléments pour les mettre dans le bon ordre

A

est inversible,

R = I_{n}

det R = 1

, donc

det A = c \neq = 0

Conclure:

A

est inversible si et seulement si

det A \neq = 0

Chaque opération multiplie le déterminant par une constante non nulle, donc

det A = c \cdot det R

avec

c \neq = 0

A

n'est pas inversible,

R

possède une ligne nulle, donc

det R = 0

det A = 0

Réduire

A

à sa forme échelonnée réduite

R

par une suite d'opérations élémentaires

Démonstration. Étape 1: le cas d'une matrice élémentaire. Rappelons (chapitre 2) qu'une matrice élémentaire $E$ est obtenue en appliquant une opération élémentaire à $I_{n}$ , et que $E A$ est la matrice obtenue en appliquant la même opération à $A$ . D'après le théorème 3.5, il existe une constante $c$ (égale à $λ$ , $- 1$ ou $1$ selon l'opération) telle que $det (E A) = c det A$ pour toute matrice . En prenant , on trouve . Ainsi .

Étape 2: $A$ inversible. D'après le chapitre 2, $A$ est alors un produit de matrices élémentaires, $A = E_{1} E_{2} \dots E_{k}$ . En appliquant l'étape 1 de façon répétée,

det (A B) = det (E_{1} E_{2} \dots E_{k} B) = det E_{1} \cdot det (E_{2} \dots E_{k} B) = \dots = det E_{1} \dots det E_{k} \cdot det B,

et le même calcul avec $B = I_{n}$ donne $det A = det E_{1} \dots det E_{k}$ . D'où .

Étape 3: $A$ non inversible. Alors $det A = 0$ par le théorème 3.7, et il suffit de montrer que $A B$ n'est pas inversible. Si $A B$ l'était, on aurait $A (B (A B)^{- 1}) = I_{n}$ , et posséderait un inverse à droite, donc serait inversible (chapitre 2): contradiction. Ainsi .

Démonstration. 1. De $A A^{- 1} = I_{n}$ et (3.7), $det A \cdot det (A^{- 1}) = det I_{n} = 1$ . 2. La matrice s'obtient en multipliant des lignes par : le théorème 3.5 s'applique fois. 3. Récurrence immédiate à partir de (3.7), puis point 1 pour les exposants négatifs. 4. .

Le point 4 dit que deux matrices semblables (chapitre 6) ont le même déterminant: le déterminant est une propriété de l'application linéaire, indépendante de la base choisie. C'est lui qui donnera au chapitre 9 le produit des valeurs propres.

Question 3.5

Soient $A$ et $B$ deux matrices $3 \times 3$ avec $det A = 3$ et $det B = - 2$ . Que vaut $det (2 A^{- 1} B^{T})$ ?

Applications

La règle de Cramer

Démonstration. Notons $a_{1}, \dots, a_{n}$ les colonnes de $A$ et $e_{1}, \dots, e_{n}$ celles de . Soit la matrice obtenue en remplaçant la -ième colonne de par . Le produit se calcule colonne par colonne: pour , sa -ième colonne est , et sa -ième colonne est . Donc . Par (3.7), . Or la -ième ligne de est , avec en position ; en développant selon cette ligne, . D'où , et (3.8) puisque .

Pour $n = 2$ , la règle de Cramer redonne exactement les formules (3.1) de l'introduction.

Coût de Cramer contre coût de Gauss

La règle de Cramer exige $n + 1$ déterminants d'ordre $n$ . Calculés par développement, ils coûtent chacun de l'ordre de $n!$ multiplications, soit environ $(n + 1)!$ opérations au total: pour $n = 20$ , cela représente $21! \approx 5 \cdot 1 0^{19}$ opérations, plus de mille ans de calcul à un milliard d'opérations par seconde. L'élimination de Gauss résout le même système en environ multiplications. Même en calculant chaque déterminant par réduction (coût ), Cramer reste fois plus cher que Gauss. La règle de Cramer est donc un outil : elle montre que la solution dépend continûment des coefficients, elle fournit des formules explicites pour ou (utiles en mécanique, en électrotechnique, en calcul symbolique), mais elle n'est jamais utilisée numériquement pour de grands systèmes.

Comatrice et formule de l'inverse

Démonstration. Le coefficient $(i, k)$ du produit $A com (A)^{T}$ vaut $\sum_{j = 1}^{n} a_{ij} C_{k j}$ . Si , c'est le développement de selon la ligne (théorème 3.2). Si , c'est le développement selon la ligne du déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la ligne de par une copie de sa ligne : en effet les cofacteurs ne dépendent pas de la ligne , et les coefficients de la ligne de sont les . Or a deux lignes égales, donc (corollaire 3.6). Ainsi a sur la diagonale et ailleurs. L'égalité se démontre de même avec les développements selon les colonnes (ou en appliquant le résultat à , dont la comatrice est ). Enfin, si , on divise (3.9) par : la matrice est inverse à droite et à gauche de .

Pour $n = 2$ , les cofacteurs de $A = (a c b d)$ sont $C_{11} = d$ , , , , et (3.10) redonne la formule du chapitre 2:

A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .

Le déterminant de Vandermonde et l'interpolation

Nous démontrons la formule pour $n = 3$ ; le cas général s'obtient par la même méthode et une récurrence (exercice 3.4 pour $n = 4$ ). Les opérations sur les colonnes $C_{3} \leftarrow C_{3} - x_{1} C_{2}$ puis , qui ne changent pas le déterminant (théorèmes 3.4 et 3.5), annulent la première ligne sauf son premier coefficient:

V (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 111 0 x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{1} 0 x_{2} (x_{2} - x_{1}) x_{3} (x_{3} - x_{1}) = x_{2} - x_{1} x_{3} - x_{1} x_{2} (x_{2} - x_{1}) x_{3} (x_{3} - x_{1}),

et en mettant $(x_{2} - x_{1})$ en facteur dans la première ligne et $(x_{3} - x_{1})$ dans la seconde (linéarité par rapport à chaque ligne),

V (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) 11 x_{2} x_{3} = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) (x_{3} - x_{2}) .

Équations de droites et de plans

Le corollaire 3.6 fournit des équations élégantes. La droite passant par deux points distincts $(x_{1}, y_{1})$ et $(x_{2}, y_{2})$ du plan est l'ensemble des points $(x, y)$ tels que

x x_{1} x_{2} y y_{1} y_{2} 111 = 0. (3.12)

En effet, le développement selon la première ligne est une équation de la forme $α x + β y + γ = 0$ avec $(α, β) = (y_{1} - y_{2}, x_{2} - x_{1}) \neq = (0, 0)$ , donc une droite, et les deux points la vérifient puisque leur substitution crée deux lignes égales. Pour les points et , on obtient . De même, le plan passant par trois points non alignés de l'espace a pour équation le déterminant analogue, et trois points du plan sont alignés si et seulement si le déterminant (3.12) formé avec leurs coordonnées est nul — c'est exactement la condition «aire du triangle nulle» de la proposition 3.1, puisque ce déterminant vaut deux fois l'aire signée du triangle.

Jacobien, orientation et produit vectoriel

Deux autres apparitions du déterminant, développées dans les cours suivants, méritent d'être signalées dès maintenant.

Changement de variables. Si l'on passe des coordonnées polaires $(r, θ)$ aux coordonnées cartésiennes par $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , un petit rectangle de côtés $d r$ et $d θ$ est envoyé sur un petit parallélogramme engendré par les dérivées partielles $\partial (x, y) / \partial r = (cos θ, sin θ)$ et . D'après la proposition 3.1, son aire vaut

cos θ sin θ - r sin θ r cos θ d r d θ = r d r d θ .

Ce déterminant, le jacobien de la transformation, est le facteur qui apparaît dans la formule de changement de variables des intégrales multiples (Analyse II): $d x d y = r d r d θ$ .

Orientation et produit vectoriel. Le signe de $det (u, v, w)$ indique si le trièdre $(u, v, w)$ est direct: une rotation conserve l'orientation ( $det = + 1$ ), une symétrie par rapport à un plan la renverse ( $det = - 1$ ). Le produit vectoriel $u \land v$ du chapitre 8 s'écrit lui-même avec des déterminants d'ordre 2: ses composantes sont les cofacteurs de la première ligne du «déterminant symbolique» , et le produit mixte est précisément .

Synthèse

Le déterminant d'ordre 2 est $a d - b c$ ; celui d'ordre 3 se calcule par la règle de Sarrus, qui ne s'étend pas au-delà. Géométriquement, $∣ det ∣$ est l'aire du parallélogramme (ou le volume du parallélépipède) engendré par les colonnes, et le signe donne l'orientation.
Le déterminant d'ordre $n$ est défini par développement selon la première ligne à l'aide des cofacteurs $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ; on peut développer selon n'importe quelle ligne ou colonne, et .

Série d'exercices du chapitre 3Exercice 1 sur 5

Question 3.6

Soient $A$ et $B$ deux matrices $n \times n$ . Laquelle de ces égalités est toujours vraie?

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Exercice 3.1 · Calculs de déterminants

Calculer les déterminants suivants en choisissant chaque fois la méthode la plus économique.

$52 - 3 4$

Exercice 3.2 · Déterminant à paramètre et géométrie

Soit $A (t) = t 11 1 t 1 11 t$ . Calculer , le factoriser et déterminer les valeurs de pour lesquelles n'est pas inversible.

Exercice 3.3 · Mélange d'alliages: Cramer et comatrice

Une fonderie dispose de trois alliages de cuivre, zinc et étain: l'alliage 1 contient 60 % de cuivre, 30 % de zinc et 10 % d'étain; l'alliage 2 en contient 40 %, 50 % et 10 %; l'alliage 3 en contient 50 %, 20 % et 30 %. On veut produire 100 kg d'un alliage contenant 52 kg de cuivre, 32 kg de zinc et 16 kg d'étain, en fondant $x$ kg d'alliage 1, $y$ kg d'alliage 2 et $z$ kg d'alliage 3.

Écrire le système linéaire vérifié par $(x, y, z)$ , sous la forme $A x = b$ à coefficients entiers, et calculer $det A$ .

Exercice 3.4 · Déterminant tridiagonal et Vandermonde d'ordre 4

Pour $n \geq 1$ , soit $D_{n}$ le déterminant de la matrice $n \times n$ dont la diagonale est formée de $2$ , les deux diagonales adjacentes de $- 1$ , et les autres coefficients de (matrice de rigidité d'une barre discrétisée en éléments):

Exercice 3.5 · Déterminant d'un produit et matrices antisymétriques

Vérifier l'identité $det (A B) = det A \cdot det B$ pour deux matrices $2 \times 2$ quelconques $A = (a c b d)$ et par un calcul direct.

Références

Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 3.
Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 5.
Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 6.
Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, 2e éd., Dunod, Paris.
Axler, S., Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, chap. 9 (les déterminants après les valeurs propres).
Cramer, G., Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques, Genève, 1750, appendice 1 (texte original de la règle de Cramer).

Objectifs du chapitre

Pourquoi un déterminant?

Déterminants d'ordre 2 et 3

Formules

Interprétation géométrique: aire et volume signés

Définition générale

Mineurs, cofacteurs et développement

Matrices triangulaires et transposée

Propriétés et opérations sur les lignes

Effet des opérations élémentaires

Déterminant d'un produit et inversibilité

Applications

La règle de Cramer

Comatrice et formule de l'inverse

Le déterminant de Vandermonde et l'interpolation

Équations de droites et de plans

Jacobien, orientation et produit vectoriel

Synthèse

Exercices

Références

Réduction à une forme triangulaire

Nature du système

Déterminant de Cramer

Composante de la solution