Matrices symétriques et formes quadratiques

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• démontrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles et que ses vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux;
• énoncer le théorème spectral, diagonaliser une matrice symétrique dans une base orthonormée et écrire sa décomposition spectrale $A=\sum {\lambda }_i{\mathbf{u}}_i{\mathbf{u}}_i^{\mathsf{T}}$;
• associer à une forme quadratique sa matrice symétrique, la réduire en somme de carrés par un changement de variables orthogonal et déterminer sa signature;
• reconnaître une matrice définie positive par ses valeurs propres, par le critère de Sylvester ou par une factorisation $B^{\mathsf{T}}B$;
• classer une conique ou une quadrique à partir des valeurs propres de sa partie quadratique et en trouver les axes et demi-axes;
• appliquer ces outils aux axes principaux d'inertie, aux fréquences propres, à l'analyse en composantes principales et à la nature d'un point critique.

Pourquoi les matrices symétriques?

Le chapitre 10 a montré que toute matrice n'est pas diagonalisable, et que même lorsqu'elle l'est, ses vecteurs propres peuvent former une base très «penchée», difficile à manier numériquement. Il existe pourtant une famille de matrices pour laquelle tout se passe au mieux: les matrices symétriques, celles qui vérifient $A^{\mathsf{T}}=A$. Elles sont partout en ingénierie, et ce n'est pas un hasard.

• Matrice d'inertie d'un solide: ses coefficients $I_{xy}=-\int xy\mathrm{d}m$ ne dépendent pas de l'ordre des facteurs, donc $I_{xy}=I_{yx}$.

Pour toutes ces matrices, nous allons démontrer que les valeurs propres sont réelles, que les vecteurs propres peuvent être choisis orthonormés, et donc que la matrice se diagonalise par une simple rotation des axes. Ce résultat, le théorème spectral, est la structure la plus agréable de toute l'algèbre linéaire; il transforme l'étude des fonctions $q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}$ — les formes quadratiques, qui décrivent énergies, ellipsoïdes d'inertie, coniques et surfaces — en l'étude de la somme de carrés ${\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$.

Le théorème spectral

Valeurs propres réelles, vecteurs propres orthogonaux

Dans tout le chapitre, $A\in {\mathcal{M}}_{n\times n}(\mathbb{R})$ est une matrice symétrique: $A^{\mathsf{T}}=A$, c'est-à-dire $a_{ij}=a_{ji}$ pour tous . La propriété fondamentale d'une telle matrice est qu'elle peut «passer d'un côté à l'autre» du produit scalaire: pour tous ,

Démonstration. Soit $\lambda \in \mathbb{C}$ une racine de ${\chi }_A$ et $\mathbf{z}\in {\mathbb{C}}^n$, $\mathbf{z}\ne 0$, un vecteur propre complexe: . Notons le vecteur des conjugués. Comme les coefficients de sont réels, en conjuguant on obtient . Calculons le nombre complexe de deux manières:

Or ${\bar{\mathbf{z}}}^{\mathsf{T}}\mathbf{z}={\sum }_k|z_k{|}^2$ est un réel strictement positif puisque $\mathbf{z}\ne 0$. Donc force : est réel. Un vecteur propre réel existe alors, puisque le système réel a un déterminant nul.

Démonstration. D'après (11.1), $\lambda ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=⟨A\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{u},A\mathbf{v}⟩=\mu ⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$, d'où $(\lambda -\mu )⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=0$; comme , le produit scalaire est nul.

Comparez avec le chapitre 9: pour une matrice quelconque, les vecteurs propres de valeurs propres distinctes sont seulement linéairement indépendants; ici ils sont orthogonaux, ce qui est beaucoup plus fort.

Diagonalisation orthogonale

Une matrice orthogonalement diagonalisable est nécessairement symétrique: $A^{\mathsf{T}}=(QD{Q}^{\mathsf{T}}{)}^{\mathsf{T}}=Q{D}^{\mathsf{T}}{Q}^{\mathsf{T}}=QD{Q}^{\mathsf{T}}=A$. Le théorème spectral affirme la réciproque.

En pratique, le théorème dit ceci: pour diagonaliser orthogonalement une matrice symétrique, il suffit de calculer ses valeurs propres, de prendre une base de chaque espace propre, de l'orthonormaliser par Gram–Schmidt (nécessaire seulement si l'espace propre est de dimension supérieure à 1), puis de juxtaposer toutes ces bases: la proposition 11.2 garantit que les vecteurs de deux espaces propres différents sont automatiquement orthogonaux.

Décomposition spectrale

Écrivons le produit $A=QD{Q}^{\mathsf{T}}$ colonne par colonne. Comme $QD=({\lambda }_1{\mathbf{u}}_1\mid \cdots \mid {\lambda }_n{\mathbf{u}}_n)$ et que les lignes de sont les , on obtient le résultat suivant.

Démonstration. Pour tout $\mathbf{x}$, la formule du produit par blocs donne $A\mathbf{x}=QD(Q^{\mathsf{T}}\mathbf{x})={\sum }_i{\lambda }_i{\mathbf{u}}_i({\mathbf{u}}_i^{\mathsf{T}}\mathbf{x})={\sum }_i{\lambda }_i({\mathbf{u}}_i{\mathbf{u}}_i^{\mathsf{T}})\mathbf{x}$, ce qui est (11.3). Ensuite, car ; de même pour ; enfin , et est bien la projection orthogonale de sur (chapitre 7).

La décomposition (11.3) écrit $A$ comme une somme de matrices de rang 1, pondérées par les valeurs propres: c'est la forme la plus commode pour calculer des fonctions de $A$. Puisque $P_i{P}_j=0$ et $P_i^2=P_i$, on a et, par récurrence,

Formes quadratiques

Définition et matrice d'une forme quadratique

Toute matrice carrée $M$ définit une fonction ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}M\mathbf{x}$, mais comme ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}M\mathbf{x}$ est un scalaire égal à sa transposée ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}{M}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}$, on a ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}M\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\frac{M+M^{\mathsf{T}}}{2}\mathbf{x}$: on peut toujours , et l'on impose symétrique pour avoir l'unicité.

Démonstration. Posons $C=A-B$, symétrique, avec ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}C\mathbf{x}=0$ pour tout $\mathbf{x}$. En prenant $\mathbf{x}={\mathbf{e}}_i$, on trouve . En prenant avec , on trouve grâce à la symétrie. Donc .

La démonstration fournit la règle de lecture: le coefficient de $x_i^2$ dans le polynôme est $a_{ii}$, et le coefficient de $x_i{x}_j$ () est ; pour retrouver à partir du polynôme, .

Réduction en somme de carrés: le théorème des axes principaux

Une forme quadratique sans termes croisés, $q(\mathbf{y})={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$, est transparente: son signe, ses lignes de niveau, ses extrema se lisent directement. Le théorème spectral permet de ramener toute forme quadratique à ce cas par un simple changement de variables orthogonal.

Démonstration. En substituant $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$, on obtient $q(\mathbf{x})=(Q\mathbf{y}{)}^{\mathsf{T}}A(Q\mathbf{y})={\mathbf{y}}^{\mathsf{T}}(Q^{\mathsf{T}}AQ)\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{\mathsf{T}}D\mathbf{y}={\sum }_i{\lambda }_i{y}_i^2$. Les nouvelles coordonnées sont : ce sont les coordonnées de dans la base orthonormée . Comme est orthogonale, le changement de variables conserve les longueurs et les angles: c'est une rotation (ou une symétrie) des axes de coordonnées.

Signature et formes définies

Les valeurs propres de $A$ dépendent de $A$, mais on démontre (théorème d'inertie de Sylvester, admis) que si l'on réduit $q$ en somme de carrés par n'importe quel changement de variables inversible, le nombre de coefficients strictement positifs et le nombre de coefficients strictement négatifs sont toujours les mêmes. Ces nombres sont donc des invariants de la forme.

La réduction (11.5) rend ces notions immédiates: puisque $\mathbf{x}\mapsto \mathbf{y}=Q^{\mathsf{T}}\mathbf{x}$ est une bijection qui envoie $0$ sur $0$, $q$ est définie positive si et seulement si $\sum {\lambda }_i{y}_i^2>0$ pour tout , c'est-à-dire si et seulement si (signature ). De même, semi-définie positive pour tout ; indéfinie signature avec et .

Dans l'explorateur, la courbe de niveau $q=1$ est une ellipse lorsque les deux valeurs propres sont positives, une hyperbole lorsqu'elles sont de signes contraires (la courbe $q=-1$ est alors l'hyperbole conjuguée, en tirets), et une paire de droites parallèles lorsque l'une des valeurs propres est nulle. Les axes de symétrie de la courbe sont toujours les axes principaux $\mathrm{Vect}({\mathbf{u}}_1)$, $\mathrm{Vect}({\mathbf{u}}_2)$: l'ellipse a pour demi-axes et , le demi-axe le plus long correspondant à la valeur propre la plus petite.

Matrices définies positives

Les matrices définies positives sont les plus importantes des matrices symétriques: matrices de rigidité, de masse, de covariance non dégénérée, hessiennes en un minimum, matrices $B^{\mathsf{T}}B$ des moindres carrés. Vérifier le signe de toutes les valeurs propres est coûteux; le critère suivant, dû à James Joseph Sylvester, n'exige que des déterminants.

Démonstration. $1⟺2$ est la discussion qui suit la définition de la signature. $2⟹4$: avec $A=QD{Q}^{\mathsf{T}}$ et $D=\mathrm{diag}({\lambda }_i)$, , posons où ; alors et est inversible comme produit de matrices inversibles. : , avec égalité seulement si , donc si puisque est inversible.

Pour le critère de Sylvester, nous démontrons $1⟺3$ dans le cas $n=2$ et admettons le cas général (qui se traite par récurrence, en remarquant que si $A$ est définie positive, chaque sous-matrice principale l'est aussi, donc a un déterminant positif comme produit de ses valeurs propres). Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$ et . Si est définie positive, ; et comme produit de deux valeurs propres positives. Réciproquement, si et , la donne, pour tout ,

somme de deux carrés à coefficients strictement positifs, qui ne s'annule que si $y=0$ et $x+\frac{b}{a}y=0$, c'est-à-dire $(x,y)=(0,0)$. Donc est définie positive.

Coniques et quadriques

Équation générale d'une conique

Le terme croisé $2bxy$ est ce qui empêche de lire directement la nature de la courbe. Le théorème des axes principaux le fait disparaître: en tournant les axes selon les vecteurs propres de $A$, l'équation devient ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+d^{\prime }{y}_1+e^{\prime }{y}_2+f=0$, et l'on achève en complétant les carrés (translation), exactement comme au gymnase pour les paraboles.

Démonstration. Après rotation, l'équation est ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+d^{\prime }{y}_1+e^{\prime }{y}_2+f=0$. Si , on complète les deux carrés: . Pour et de même signe que les , c'est une ellipse de demi-axes et (vide si est de signe contraire, réduite à un point si ); pour , c'est une hyperbole (deux droites sécantes si ). Si , l'équation est celle d'une parabole d'axe lorsque , et de deux droites parallèles (éventuellement confondues ou imaginaires) lorsque .

Quadriques de l'espace

Dans ${\mathbb{R}}^3$, une équation du second degré ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}+{\mathbf{b}}^{\mathsf{T}}\mathbf{x}+f=0$ définit une quadrique. La même méthode s'applique: rotation vers les axes principaux de $A$, puis complétion des carrés. La nature de la surface est déterminée par la signature de $A$ et par la présence d'un terme linéaire résiduel dans la direction d'une valeur propre nulle.

Applications

Ellipsoïde d'inertie et axes principaux d'un solide

La matrice d'inertie d'un solide par rapport à un point $O$ est la matrice symétrique

Le moment d'inertie du solide autour d'un axe de direction unitaire $\mathbf{n}$ passant par $O$ est la forme quadratique $I_{\mathbf{n}}={\mathbf{n}}^{\mathsf{T}}{I}_O\mathbf{n}$, strictement positive (sauf pour un solide filiforme): $I_O$ est définie positive, et la surface est l'. Ses axes principaux, les vecteurs propres de , sont les : un solide mis en rotation autour de l'un d'eux tourne sans que le moment cinétique ne quitte l'axe, donc sans exercer de couple sur ses paliers. C'est la raison de l'équilibrage des roues et des rotors.

Extrema d'une forme quadratique sur la sphère: le quotient de Rayleigh

Démonstration. Écrivons $\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$ avec $Q$ orthogonale diagonalisant $A$; alors ${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}={\sum }_i{\lambda }_i{y}_i^2$ et (une matrice orthogonale conserve la norme). Donc

et de même $R_A(\mathbf{x})\ge {\lambda }_{\min }$: le quotient est une moyenne pondérée des ${\lambda }_i$, à poids $y_i^2/\sum y_j^2$. L'égalité impose , somme de termes positifs, donc pour tout tel que : est alors combinaison des seuls de valeur propre , c'est-à-dire un vecteur propre pour . Le cas du minimum est identique.

Matrice de covariance et analyse en composantes principales

Soient $n$ mesures ${\mathbf{x}}^{(1)},\dots ,{\mathbf{x}}^{(n)}\in {\mathbb{R}}^p$ (par exemple $p$ capteurs relevés $n$ fois), centrées en soustrayant la moyenne $\bar{\mathbf{x}}$. La

(où $X$ est la matrice $n\times p$ des données centrées) est symétrique semi-définie positive, car ${\mathbf{v}}^{\mathsf{T}}S\mathbf{v}=\frac{1}{n-1}\Vert X\mathbf{v}{\Vert }^2\ge 0$. Or est exactement la sur la direction unitaire . Par le théorème 11.9, la direction unitaire qui rend cette variance maximale est le vecteur propre dominant de : c'est la , et la variance correspondante est . Les composantes suivantes sont les vecteurs propres suivants, orthogonaux aux précédents. Comme est la variance totale, la fraction mesure la part de l'information conservée si l'on ne garde que la première composante.

Stabilité, rigidité et points critiques

Matrice de rigidité et stabilité. Pour une structure élastique linéaire (treillis, système de ressorts, éléments finis), l'énergie de déformation est la forme quadratique $E(\mathbf{x})=\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}K\mathbf{x}$. La structure est stable — elle reprend sa position sous toute perturbation — si et seulement si $E(\mathbf{x})>0$ pour tout déplacement $\mathbf{x}\ne 0$, c'est-à-dire si et seulement si est définie positive. Si est seulement semi-définie, un vecteur du noyau de est un (mouvement rigide ou déformation sans énergie): la structure est un mécanisme, pas une structure. Pour deux masses et trois ressorts de raideurs (parois–masse–masse–parois), a pour déterminant : si l'on supprime les deux ressorts de paroi (), et , translation d'ensemble libre.

Hessienne et nature d'un point critique. Pour une fonction $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ de classe $C^2$, la formule de Taylor à l'ordre 2 en un point critique ${\mathbf{x}}_0$ ($\nabla f({\mathbf{x}}_0)=0$) s'écrit , où est la des dérivées secondes, symétrique par le théorème de Schwarz. Le comportement local de est donc celui d'une forme quadratique: si est définie positive, est un strict; si est définie négative, un ; si est indéfinie, un (selle); si est semi-définie avec une valeur propre nulle, on ne peut pas conclure à l'ordre 2. En dimension 2, le critère de Sylvester donne la règle classique d'Analyse II: et pour un minimum.

Synthèse

• Une matrice symétrique réelle a des valeurs propres réelles et des espaces propres deux à deux orthogonaux; le théorème spectral affirme qu'elle est orthogonalement diagonalisable: $A=QD{Q}^{\mathsf{T}}$ avec $Q$ orthogonale ($Q^{-1}=Q^{\mathsf{T}}$).
• La décomposition spectrale $A=\sum {\lambda }_i{\mathbf{u}}_i{\mathbf{u}}_i^{\mathsf{T}}$ écrit comme somme de projections orthogonales pondérées; elle donne , , en remplaçant les par , , .

Exercices

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Références

• Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 7 (matrices symétriques et formes quadratiques).
• Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 6.4–6.5 (symmetric matrices, positive definite matrices).
• Axler, S., Linear Algebra Done Right, 3e éd., Springer, chap. 7 (operators on inner product spaces, spectral theorem).
• Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. sur les formes quadratiques et la réduction des coniques.
• Trefethen, L. N. et Bau, D., Numerical Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, lect. 23 (Cholesky factorization) et 27 (Rayleigh quotient).
• Meyer, C. D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, chap. 7.6 (positive definite matrices) et 7.2 (spectral theorem).