Espaces vectoriels, bases et dimension

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• reconnaître un espace vectoriel réel et vérifier qu'une partie en est un sous-espace vectoriel grâce au critère de stabilité par combinaison linéaire;
• décrire le sous-espace engendré par une famille de vecteurs et décider, par un système linéaire, si un vecteur donné lui appartient;
• tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$, de polynômes ou de fonctions;
• définir une base, démontrer que toutes les bases d'un espace de dimension finie ont le même nombre d'éléments et calculer la dimension des espaces usuels;
• extraire une base d'une famille génératrice, compléter une famille libre en une base et calculer les coordonnées d'un vecteur dans une base;
• appliquer ces notions aux solutions d'une équation différentielle linéaire, aux signaux échantillonnés et à l'interpolation polynomiale.

Une même structure, mille visages

Les trois premiers chapitres ont travaillé dans ${\mathbb{R}}^n$: on y additionne des $n$-uplets composante par composante et on les multiplie par des nombres réels. Mais ces deux opérations, et les règles qu'elles vérifient, se rencontrent bien au-delà des colonnes de nombres.

• Polynômes. La somme de deux polynômes et le produit d'un polynôme par un réel sont des polynômes; $(p+q)(x)=p(x)+q(x)$ et $(\lambda p)(x)=\lambda p(x)$.
• Matrices. Les matrices $m\times n$ s'additionnent terme à terme et se multiplient par un scalaire (chapitre 2), avec les mêmes règles que les vecteurs.

Plutôt que de redémontrer les mêmes propriétés dans chaque contexte, on isole ce qui les fait fonctionner: une liste d'axiomes, la définition d'espace vectoriel. Tout théorème prouvé à partir de ces axiomes vaut alors d'un seul coup pour ${\mathbb{R}}^n$, les polynômes, les matrices, les signaux et les solutions d'équations différentielles. C'est le premier grand pas d'abstraction du cours, et sa récompense est immédiate: les notions de base et de dimension, introduites dans ce chapitre, donnent un sens précis à des phrases comme «l'équation $y^{\prime \prime }+y=0$ a deux degrés de liberté» ou «un polynôme de degré au plus 3 est déterminé par 4 nombres».

Espaces vectoriels et sous-espaces

La définition axiomatique

Les axiomes 1 à 4 disent que $(E,+)$ est un groupe commutatif; les axiomes 5 à 8 règlent la compatibilité entre les deux opérations. Rien n'est dit sur la nature des vecteurs: un vecteur est simplement un élément d'un ensemble où ces huit règles sont vraies.

Quelques règles de calcul «évidentes» ne figurent pas parmi les axiomes: elles s'en déduisent, et c'est un bon exercice de manipulation des axiomes que de les démontrer.

Démonstration. 1. Par l'axiome 6, $0\mathbf{v}=(0+0)\mathbf{v}=0\mathbf{v}+0\mathbf{v}$. En ajoutant l'opposé de $0\mathbf{v}$ aux deux membres (axiomes 2, 3, 4), il reste $0=0\mathbf{v}$. De même, $\lambda 0=\lambda (0+0)=\lambda 0+\lambda 0$ par l'axiome 5, d'où .

2. Par les axiomes 8 et 6 puis le point 1, $\mathbf{v}+(-1)\mathbf{v}=1\mathbf{v}+(-1)\mathbf{v}=(1+(-1))\mathbf{v}=0\mathbf{v}=0$. Le vecteur $(-1)\mathbf{v}$ est donc un opposé de . Or l'opposé est unique: si et , alors . Ainsi .

Sous-espaces vectoriels

En pratique, on rencontre rarement un espace vectoriel «nouveau»: on rencontre des parties d'un espace connu qui sont elles-mêmes stables par les opérations. Le plan d'équation $x+2y-z=0$ dans ${\mathbb{R}}^3$, les polynômes pairs dans $\mathbb{R}[x]$, les fonctions continues dans $\mathcal{F}(I,\mathbb{R})$ en sont des exemples.

Vérifier huit axiomes à chaque fois serait fastidieux. Heureusement, les axiomes qui portent sur des égalités (1, 2, 5, 6, 7, 8) sont vrais dans $F$ dès qu'ils le sont dans $E$: une égalité vraie pour tous les vecteurs de $E$ l'est en particulier pour ceux de $F$. Seuls comptent le fait que les opérations restent dans $F$ et la présence du vecteur nul et des opposés.

Démonstration. Si $F$ est un sous-espace vectoriel, il contient son vecteur nul, donc n'est pas vide, et les opérations sont à valeurs dans $F$, donc $\lambda \mathbf{u}\in F$, $\mu \mathbf{v}\in F$ et leur somme aussi.

Réciproquement, supposons 1 et 2. Prenons $\mathbf{u}\in F$ (possible car $F\ne \varnothing$). Avec $\lambda =\mu =0$ et $\mathbf{v}=\mathbf{u}$, la condition 2 donne $0\mathbf{u}+0\mathbf{u}=0\in F$ (proposition 4.1): l'axiome 3 est satisfait dans . Avec et , on obtient : l'axiome 4 aussi. Avec , ; avec , : les deux opérations sont bien définies sur . Les six axiomes restants sont des identités vraies dans , donc dans .

Démonstration. Le vecteur nul appartient à $F$ et à $G$, donc à $F\cap G$. Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in F\cap G$, alors $\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v}$ appartient à $F$ (car $F$ est un sous-espace) et à (même raison), donc à . Le critère 4.2 conclut; le raisonnement est identique pour une famille quelconque de sous-espaces.

Géométriquement, deux plans distincts de ${\mathbb{R}}^3$ passant par l'origine se coupent selon une droite passant par l'origine; en termes de systèmes, l'intersection correspond à la réunion des équations, et l'ensemble des solutions d'un système homogène est l'intersection des hyperplans définis par chaque équation.

Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

Combinaisons linéaires

Le nom «sous-espace engendré» est justifié par le théorème suivant, qui dit que $\mathrm{Vect}$ est la plus économique des façons de fabriquer un sous-espace contenant des vecteurs donnés.

Démonstration. $V$ est un sous-espace. Le vecteur nul est la combinaison de coefficients tous nuls. Si $\mathbf{u}={\sum }_i{\lambda }_i{\mathbf{v}}_i$ et $\mathbf{w}={\sum }_i{\mu }_i{\mathbf{v}}_i$ sont dans , alors, par les axiomes 5 à 7,

$V$ contient les ${\mathbf{v}}_i$: prendre ${\lambda }_i=1$ et les autres coefficients nuls.

Minimalité. Soit $F$ un sous-espace contenant tous les ${\mathbf{v}}_i$. Par stabilité, ${\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2\in F$, puis , et ainsi de suite par récurrence sur : toute combinaison linéaire des est dans , c'est-à-dire .

Dans ${\mathbb{R}}^3$, $\mathrm{Vect}(\mathbf{v})$ est la droite dirigée par $\mathbf{v}$ (si $\mathbf{v}\ne 0$), et $\mathrm{Vect}(\mathbf{u},\mathbf{v})$ est le plan contenant $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ — sauf si et sont colinéaires, auquel cas c'est encore une droite. L'explorateur ci-dessous illustre ce phénomène dans le plan.

Décider si un vecteur est dans Vect

La question «$\mathbf{w}$ appartient-il à $\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)$?» revient à chercher des coefficients ${\lambda }_i$ tels que $\sum {\lambda }_i{\mathbf{v}}_i=\mathbf{w}$. Dans , en écrivant les vecteurs en colonnes, c'est le système linéaire

dont la matrice a pour colonnes les ${\mathbf{v}}_i$: le vecteur $\mathbf{w}$ est dans $\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)$ si et seulement si ce système est compatible, ce que l'élimination de Gauss du chapitre 1 décide.

Indépendance linéaire

Familles libres et familles liées

Une famille génératrice peut contenir des vecteurs «inutiles»: dans l'exemple 4.3, $\mathrm{Vect}(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})=\mathrm{Vect}(\mathbf{u},\mathbf{v})$, puisque $\mathbf{w}=2\mathbf{u}+\mathbf{v}$ n'apporte rien de nouveau. La notion d'indépendance linéaire formalise l'absence de redondance.

Démonstration. Supposons la famille liée: il existe ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$ non tous nuls avec ${\sum }_i{\lambda }_i{\mathbf{v}}_i=0$. Choisissons un indice tel que . Alors

et ${\mathbf{v}}_j$ est combinaison linéaire des autres. Réciproquement, si ${\mathbf{v}}_j={\sum }_{i\ne j}{\mu }_i{\mathbf{v}}_i$, alors est une combinaison nulle dont le coefficient de vaut : la famille est liée.

Attention à la formulation du théorème: il affirme que l'un des vecteurs (au moins) est combinaison des autres, pas que chacun l'est. Dans la famille $((1,0),(2,0),(0,1))$ de ${\mathbb{R}}^2$, le premier vecteur est la moitié du second, mais le troisième n'est combinaison d'aucun des deux autres.

Démonstration. 1. Si ${\mathbf{v}}_j=0$, la combinaison $1\cdot {\mathbf{v}}_j=0$ a un coefficient non nul. Si ${\mathbf{v}}_i={\mathbf{v}}_j$ avec , alors .

2. Pour un vecteur: $\lambda \mathbf{v}=0$ avec $\lambda \ne 0$ force $\mathbf{v}=0$ (proposition 4.1). Pour deux vecteurs, c'est le théorème 4.5 avec $k=2$.

3. Soit $({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k)$ libre et une sous-famille. Une combinaison nulle de la sous-famille est aussi une combinaison nulle de la famille entière (compléter par des coefficients nuls), donc tous ses coefficients sont nuls. La seconde affirmation est la contraposée de la première.

Tester l'indépendance

Dans ${\mathbb{R}}^n$, l'équation (4.3) est le système linéaire homogène $A\mathbf{\lambda }=0$, où $A$ est la matrice dont les colonnes sont les ${\mathbf{v}}_i$. La famille est libre si et seulement si ce système n'a que la solution nulle, ce qui, d'après le chapitre 1, équivaut à: la forme échelonnée de $A$ a un pivot dans chaque colonne, c'est-à-dire $\mathrm{rg}A=k$. Deux cas particuliers méritent d'être retenus.

• Deux vecteurs sont liés si et seulement s'ils sont colinéaires (proportionnels). Dans ${\mathbb{R}}^2$, $(\mathbf{u},\mathbf{v})$ est liée si et seulement si $\det (\mathbf{u},\mathbf{v})=u_1{v}_2-u_2{v}_1=0$: c'est le critère utilisé par l'explorateur.

Démonstration. Supposons $p(x)=0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. En évaluant en $x=0$, on obtient $a_0=0$. La fonction $p$ est dérivable et $p^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}$ est la dérivée de la fonction nulle, donc nulle; en , . En dérivant fois, , d'où pour tout .

Bases et dimension

Bases

Une base réunit les deux qualités précédentes: elle engendre l'espace (rien ne manque) et elle est libre (rien n'est en trop).

Démonstration. Supposons que $({\mathbf{b}}_i)$ soit une base. L'existence de la décomposition (4.4) est exactement le caractère générateur. Pour l'unicité, supposons $\mathbf{v}=\sum x_i{\mathbf{b}}_i=\sum y_i{\mathbf{b}}_i$. En soustrayant, , et comme la famille est libre, pour tout .

Réciproquement, si tout vecteur admet une unique décomposition, la famille est génératrice (existence). Elle est libre: le vecteur $0$ admet la décomposition à coefficients nuls, et par unicité c'est la seule, ce qui est précisément (4.3). $\square$

Une base n'est jamais unique: dans ${\mathbb{R}}^2$, $((2,1),(1,2))$ est aussi une base (déterminant $4-1=3\ne 0$), et il y en a une infinité d'autres. Ce qui ne change pas, c'est le nombre de vecteurs: c'est le théorème central du chapitre, que nous démontrons maintenant en trois étapes.

Existence de bases

Démonstration. 1. Si $\mathcal{G}$ est libre, c'est une base. Sinon, l'un de ses vecteurs, disons ${\mathbf{v}}_j$, est combinaison des autres (théorème 4.5); en le retirant, on ne change pas le sous-espace engendré, car tout vecteur qui s'écrivait avec ${\mathbf{v}}_j$ se réécrit avec les autres. La famille restante est encore génératrice et compte un vecteur de moins. On recommence: le procédé s'arrête (au plus $k-1$ retraits), sur une famille génératrice et libre, donc une base.

2. Partons de $\mathcal{L}$ et parcourons les vecteurs ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_k$ de $\mathcal{G}$ l'un après l'autre. Si ${\mathbf{v}}_i$ est combinaison linéaire de la famille courante, on ne l'ajoute pas; sinon, on l'ajoute. Une famille libre à laquelle on ajoute un vecteur qui n'est pas dans son sous-espace engendré reste libre: si avec , on pourrait isoler , contradiction; donc , puis tous les sont nuls par liberté. À la fin, la famille obtenue est libre, et chaque est dans (soit parce qu'on l'y a mis, soit parce qu'il était déjà combinaison des vecteurs précédents). Par le théorème 4.4, : est génératrice, donc une base.

Le théorème de la dimension

Démonstration. Nous allons remplacer un à un les vecteurs de $\mathcal{G}$ par ceux de $\mathcal{L}$, en conservant une famille génératrice: c'est le principe d'échange.

Étape 1. Comme $\mathcal{G}$ engendre $E$, ${\mathbf{u}}_1={\sum }_j{\alpha }_j{\mathbf{g}}_j$. Les coefficients ne sont pas tous nuls, sinon et serait liée. Quitte à renuméroter, , et l'on peut isoler . Ainsi , et par le théorème 4.4 cette nouvelle famille engendre encore .

Étape $i+1$. Supposons que $({\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_i,{\mathbf{g}}_{i+1},\dots ,{\mathbf{g}}_m)$ engendre , avec . Alors . Si tous les () étaient nuls, serait combinaison de et serait liée (théorème 4.5). Donc il reste au moins un à échanger — ce qui exige — et, quitte à renuméroter, : on isole comme à l'étape 1 et engendre .

Si l'on avait $p>m$, après $m$ étapes la famille $({\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_m)$ engendrerait $E$, et ${\mathbf{u}}_{m+1}$ en serait combinaison linéaire: contradiction avec la liberté de . Donc .

Démonstration. Soient $\mathcal{B}$ et ${\mathcal{B}}^{\prime }$ deux bases, de $n$ et $n^{\prime }$ éléments. Comme $\mathcal{B}$ est libre et ${\mathcal{B}}^{\prime }$ génératrice, le lemme 4.10 donne $n\le n^{\prime }$. En échangeant les rôles, .

Les bases canoniques de l'exemple 4.6 donnent immédiatement:

La dimension mesure le nombre de «degrés de liberté»: un vecteur de ${\mathbb{R}}_3[x]$ est déterminé par 4 nombres, une matrice $2\times 3$ par 6. Attention au décalage pour les polynômes: ${\mathbb{R}}_n[x]$ est de dimension $n+1$, à cause du terme constant.

Démonstration. Toute famille libre de $F$ est une famille libre de $E$, donc a au plus $n$ éléments (lemme 4.10 avec une base de $E$ comme famille génératrice). Choisissons une famille libre de $F$ de taille maximale, $\mathcal{L}=({\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_p)$ avec (si , et le résultat est clair). Elle engendre : sinon, il existerait hors de , et serait libre (argument de la preuve du théorème 4.9), contredisant la maximalité. Donc est une base de et .

Si $\dim F=n$, une base $\mathcal{L}$ de $F$ est une famille libre de $E$ à $n$ éléments; par le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base de $E$, qui a $n$ éléments: on n'a rien ajouté, $\mathcal{L}$ est déjà une base de $E$ et $F=\mathrm{Vect}(\mathcal{L})=E$. La réciproque est évidente.

Dans ${\mathbb{R}}^3$, les sous-espaces sont donc de dimension $0$ (l'origine), $1$ (les droites par l'origine), $2$ (les plans par l'origine) ou $3$ (${\mathbb{R}}^3$ lui-même), ce que la figure 4.1 anticipait.

Démonstration. Si $\mathcal{F}$ est libre, le sous-espace $F=\mathrm{Vect}(\mathcal{F})$ a $\mathcal{F}$ pour base, donc $\dim F=n$, donc $F=E$ par le théorème 4.12: $\mathcal{F}$ est génératrice, et c'est une base. Si $\mathcal{F}$ est génératrice, on peut en extraire une base (théorème 4.9), qui a éléments par le théorème 4.11: c'est tout entière, qui est donc libre et une base. Enfin, une base est libre et génératrice par définition.

Coordonnées dans une base

Dans la base canonique de ${\mathbb{R}}^n$, les coordonnées d'un vecteur sont ses composantes. Dans une autre base, il faut résoudre un système: pour $\mathcal{B}=((2,1),(1,2))$ et $\mathbf{v}=(4,5)$, on cherche $x_1,x_2$ tels que et , d'où et : .

Démonstration. L'application est bien définie par l'unicité de la décomposition. Elle est injective: deux vecteurs de mêmes coordonnées sont égaux à la même combinaison des ${\mathbf{b}}_i$. Elle est surjective: tout $(x_1,\dots ,x_n)$ est le vecteur des coordonnées de $\sum x_i{\mathbf{b}}_i$. Pour (4.6), si et , alors , et par unicité les coordonnées de sont les . Enfin, par linéarité et injectivité, si et seulement si : les relations linéaires entre les et entre leurs vecteurs de coordonnées sont exactement les mêmes.

Ce théorème est la justification rigoureuse du «ressemble» de l'exemple 4.1: tout espace vectoriel de dimension $n$ est une copie de ${\mathbb{R}}^n$, une fois une base choisie. On dit que $\phi$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels; le chapitre 6 développera cette notion. Concrètement, une question sur des polynômes ou des matrices se ramène toujours à une question sur des colonnes de nombres: c'est ce que nous avons fait en identifiant les coefficients dans l'exemple 4.5.

Applications

Solutions d'une équation différentielle linéaire

Le fait que $S$ soit un sous-espace résulte du critère 4.2, la dérivation étant linéaire. La dimension repose sur le théorème d'existence et d'unicité de Cauchy pour les équations différentielles linéaires, admis ici (cours d'analyse): pour toute donnée initiale $(y(0),y^{\prime }(0),\dots ,y^{(n-1)}(0))\in {\mathbb{R}}^n$, il existe une unique solution. L'application est alors une bijection linéaire de sur , et l'on conclut comme au théorème 4.14: les solutions dont les données initiales sont forment une base de .

Signaux échantillonnés

Un signal de $N$ échantillons est un vecteur de ${\mathbb{R}}^N$. La base canonique $({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_N)$ est la base des impulsions: la $k$-ième coordonnée est la valeur du signal à l'instant $k$. Mais d'autres bases sont plus parlantes. Pour , la famille

est une base de ${\mathbb{R}}^4$ (son déterminant vaut $8$, ou: on résout le système ci-dessous et l'on trouve toujours une unique solution). Les coordonnées du signal $\mathbf{s}=(3,1,4,2)$ dans cette base sont la solution de $x_1{\mathbf{h}}_1+x_2{\mathbf{h}}_2+x_3{\mathbf{h}}_3+x_4{\mathbf{h}}_4=\mathbf{s}$, soit ; on vérifie que . La première coordonnée est la du signal, la deuxième compare les deux moitiés, les deux dernières mesurent les locaux: c'est la base de Haar, ancêtre des ondelettes utilisées dans la compression JPEG 2000. La base de Fourier discrète, formée de sinusoïdes échantillonnées, joue le même rôle pour l'analyse fréquentielle; nous y reviendrons au chapitre 7, car ces bases sont , ce qui rend le calcul des coordonnées immédiat.

Interpolation de Lagrange

Démonstration. Chaque $L_i$ est un produit de $n$ facteurs de degré 1, donc appartient à ${\mathbb{R}}_n[x]$, et vérifie $L_i(x_i)=1$ et pour (le facteur s'annule). Si , on évalue en : . La famille est donc libre, à éléments dans un espace de dimension : c'est une base (théorème 4.13). Enfin, pour , le polynôme vérifie pour tout ; est de degré au plus avec racines, donc nul: .

Pour les nœuds $0,1,2$, on obtient $L_0=\frac{1}{2}(x-1)(x-2)$, et . Les coordonnées de dans cette base sont , et l'on vérifie que . L'intérêt pratique est énorme: le polynôme de degré au plus passant par points de mesure est simplement , sans aucun système à résoudre. C'est la base de l'interpolation polynomiale et des formules de quadrature (Simpson) du cours d'analyse.

Synthèse

• Un espace vectoriel réel est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire vérifiant huit axiomes; ${\mathbb{R}}^n$, ${\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, ${\mathbb{R}}_n[x]$, $\mathcal{F}(I,\mathbb{R})$ et les solutions d'un système ou d'une équation différentielle linéaire homogène en sont.

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 4.
• Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 3.
• Axler, S., Linear Algebra Done Right, 4e éd., Springer, Cham, chap. 1–2.
• Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 2–3.
• Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, Dunod, Paris.
• Nipp, K. et Stoffer, D., Lineare Algebra, vdf Hochschulverlag an der ETH Zürich, chap. 5.