Applications linéaires et changements de base

Objectifs du chapitre

À la fin de ce chapitre, vous serez capable de:

• reconnaître une application linéaire, vérifier la linéarité et produire des contre-exemples;
• déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire, en déduire son injectivité et sa surjectivité, et appliquer le théorème du rang;
• écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données et l'utiliser pour calculer des images, des composées et des réciproques;
• construire une matrice de passage et convertir des coordonnées d'une base à une autre;
• appliquer la formule de changement de base $A^{\prime }=P^{-1}AP$, reconnaître des matrices semblables et utiliser leurs invariants (rang, déterminant, trace);
• modéliser des transformations géométriques (rotations, réflexions, cisaillements, translations en coordonnées homogènes) pour l'infographie et la robotique.

Des transformations qui respectent les combinaisons linéaires

Faites tourner une pièce mécanique de $30°$ autour de son axe: le point situé «à mi-chemin» entre deux sommets se retrouve à mi-chemin entre les images de ces sommets, et le vecteur qui joint deux points tournés est le tourné du vecteur qui joignait ces points. Dérivez un polynôme: la dérivée d'une somme est la somme des dérivées, et la dérivée de $3p$ est $3p^{\prime }$. Échantillonnez un signal à intervalles réguliers, appliquez-lui un filtre à moyenne glissante, calculez la trace d'une matrice ou l'intégrale d'une fonction sur $[0,1]$: à chaque fois, la transformation respecte les combinaisons linéaires, c'est-à-dire qu'elle envoie $\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v}$ sur $\lambda f(\mathbf{u})+\mu f(\mathbf{v})$.

Ces transformations, appelées applications linéaires, sont l'objet central de l'algèbre linéaire; les chapitres 4 et 5 ont préparé le terrain en étudiant les espaces sur lesquels elles agissent. Leur intérêt pratique tient à un fait remarquable, que nous démontrerons: dès qu'on a choisi une base de l'espace de départ et une base de l'espace d'arrivée, toute application linéaire entre espaces de dimension finie est décrite par une matrice, et composer deux applications revient à multiplier leurs matrices. C'est la raison d'être du produit matriciel du chapitre 2, dont la définition en apparence arbitraire trouve ici sa justification.

Mais la matrice dépend des bases choisies, et une même transformation peut avoir une matrice compliquée dans une base et très simple dans une autre: une réflexion du plan a pour matrice $\mathrm{diag}(1,-1)$ dès que l'on prend un vecteur sur l'axe de réflexion et un vecteur perpendiculaire. La seconde moitié du chapitre explique comment passer d'une base à l'autre, et prépare ainsi la diagonalisation des chapitres 9 et 10.

Applications linéaires

Définition et premiers exemples

Dans tout le chapitre, $E$ et $F$ désignent des espaces vectoriels réels.

L'équivalence des deux formulations est immédiate: la seconde contient la première (prendre $\lambda =\mu =1$, puis $\mu =0$), et la première donne $f(\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v})=f(\lambda \mathbf{u})+f(\mu \mathbf{v})=\lambda f(\mathbf{u})+\mu f(\mathbf{v})$.

Voici une galerie d'exemples, que nous reprendrons tout au long du chapitre.

1. Application définie par une matrice. Pour $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}(\mathbb{R})$, l'application $f_A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, , est linéaire par les règles du calcul matriciel: et . Résoudre le système du chapitre 1, c'est chercher les antécédents de par .

Et voici trois contre-exemples à garder en tête.

• La translation $t_{\mathbf{b}}:\mathbf{x}\mapsto \mathbf{x}+\mathbf{b}$ avec $\mathbf{b}\ne 0$ n'est pas linéaire: $t_{\mathbf{b}}(0)=\mathbf{b}\ne 0$, alors que nous allons voir qu'une application linéaire envoie toujours sur .

Démonstration. 1. $f(0)=f(0\cdot 0)=0\cdot f(0)=0$, et $f(-\mathbf{u})=f((-1)\mathbf{u})=-f(\mathbf{u})$. 2. Par récurrence sur : le cas est la seconde condition de (6.1), et si la formule vaut pour vecteurs, alors . 3. Si est un sous-espace de , contient et, pour , on a . La dernière affirmation est une relecture de (6.2): les images des combinaisons linéaires des sont exactement les combinaisons linéaires des .

La formule (6.2) est la clé de tout le chapitre: une application linéaire est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. Si $({\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n)$ est une base de $E$, tout $\mathbf{x}\in E$ s'écrit $\mathbf{x}=\sum x_j{\mathbf{b}}_j$ de manière unique, et alors ne dépend que des vecteurs . Réciproquement, on peut choisir ces vecteurs librement dans : la formule définit alors une application linéaire, et une seule, qui envoie sur .

Applications linéaires de ℝⁿ dans ℝᵐ: ce sont les matrices

Démonstration. Si $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, la linéarité de $f$ vient des règles du produit matriciel (exemple 1 ci-dessus). Réciproquement, soit $f$ linéaire et $A$ la matrice (6.3), dont la $j$-ième colonne est le vecteur $f({\mathbf{e}}_j)\in {\mathbb{R}}^m$. Pour , la formule (6.2) donne

puisque le produit $A\mathbf{x}$ est précisément la combinaison linéaire des colonnes de $A$ à coefficients $x_1,\dots ,x_n$ (chapitre 2). Unicité: si $A\mathbf{x}=B\mathbf{x}$ pour tout $\mathbf{x}$, alors en particulier $A{\mathbf{e}}_j=B{\mathbf{e}}_j$, c'est-à-dire que et ont les mêmes colonnes.

Vocabulaire

Vérifions la linéarité de $f^{-1}$: pour ${\mathbf{y}}_1,{\mathbf{y}}_2\in F$, posons ${\mathbf{u}}_i=f^{-1}({\mathbf{y}}_i)$; alors , donc .

Enfin, l'ensemble $\mathcal{L}(E,F)$ des applications linéaires de $E$ dans $F$ est lui-même un espace vectoriel: la somme $f+g$ et le multiple $\lambda f$, définis point par point, sont encore linéaires. Lorsque $E={\mathbb{R}}^n$ et $F={\mathbb{R}}^m$, le théorème 6.2 identifie à , qui est de dimension .

Noyau et image d'une application linéaire

Le chapitre 5 a introduit le noyau et l'image d'une matrice. Ces notions s'étendent mot pour mot aux applications linéaires, et elles répondent aux deux questions naturelles: $f$ est-elle injective? est-elle surjective?

Démonstration. $0\in \ker f$ par la proposition 6.1, et si $f(\mathbf{u})=f(\mathbf{v})=0$, alors $f(\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v})=\lambda 0+\mu 0=0$. L'image est , sous-espace de par la proposition 6.1 (point 3), et la dernière affirmation en est le cas particulier .

Démonstration. La seconde affirmation est la définition de la surjectivité. Pour la première: si $f$ est injective, le seul antécédent de $0=f(0)$ est $0$, donc $\ker f=\{0\}$. Réciproquement, supposons $\ker f=\{0\}$ et $f(\mathbf{u})=f(\mathbf{v})$. Par linéarité, , donc , d'où .

Ce critère est propre aux applications linéaires: pour vérifier l'injectivité, au lieu de comparer toutes les paires de vecteurs, il suffit de résoudre une équation, $f(\mathbf{x})=0$. Pour $f=f_A$, c'est le système homogène $A\mathbf{x}=0$ du chapitre 1.

Le théorème du rang

Démonstration. Soit $n=\dim E$ et $k=\dim \ker f$. Choisissons une base $({\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k)$ de $\ker f$ et complétons-la (théorème de la base incomplète, chapitre 4) en une base de , avec . Nous allons montrer que est une base de , ce qui donnera .

Génératrice. Par la proposition 6.3, $\mathrm{Im}f$ est engendrée par les images des vecteurs de la base de $E$; or $f({\mathbf{u}}_i)=0$, donc $\mathrm{Im}f=\mathrm{Vect}(f({\mathbf{v}}_1),\dots ,f({\mathbf{v}}_r))$.

Libre. Supposons ${\sum }_{j=1}^r{\mu }_{j}f({\mathbf{v}}_j)=0$. Par linéarité, $f({\sum }_j{\mu }_j{\mathbf{v}}_j)=0$, donc appartient à et s'écrit . Ainsi , et comme la famille est libre, tous les coefficients sont nuls; en particulier .

L'idée à retenir: $E$ se «décompose» en une partie que $f$ écrase (le noyau, de dimension $k$) et une partie que $f$ transporte fidèlement dans $F$ (le supplémentaire $\mathrm{Vect}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r)$, envoyé bijectivement sur ). Pour , on retrouve la formule du chapitre 5.

Démonstration. Posons $n=\dim E=\dim F$. Si $f$ est injective, $\ker f=\{0\}$ et (6.5) donne $\mathrm{rg}f=n=\dim F$; un sous-espace de de même dimension que est tout entier (chapitre 4), donc et est surjective. Si est surjective, et (6.5) donne : est injective. Les deux dernières affirmations viennent aussi de (6.5): si , alors ; si , alors .

Les coordonnées: tout espace de dimension n est une copie de ℝⁿ

Démonstration. L'application est bien définie car les coordonnées dans une base sont uniques (chapitre 4). Elle est linéaire: si $\mathbf{x}=\sum x_j{\mathbf{b}}_j$ et $\mathbf{y}=\sum y_j{\mathbf{b}}_j$, alors , dont les coordonnées sont . Elle est injective: signifie . Elle est surjective: tout est l'image de .

Ce théorème est le pont entre l'algèbre linéaire abstraite et le calcul matriciel: polynômes, matrices, suites récurrentes ou solutions d'une équation différentielle linéaire, tout espace de dimension $n$ «est» ${\mathbb{R}}^n$ une fois une base choisie, et toute question de dépendance linéaire, de rang ou de dimension se ramène à un système d'équations. Le prix à payer est que le choix de la base est arbitraire: c'est l'objet de la section sur les changements de base.

Matrice d'une application linéaire dans des bases

Le théorème 6.2 associe une matrice à toute application linéaire de ${\mathbb{R}}^n$ dans ${\mathbb{R}}^m$, en utilisant implicitement les bases canoniques. Combiné au théorème 6.7, il permet de faire de même pour n'importe quels espaces de dimension finie, pourvu que l'on choisisse une base au départ et une base à l'arrivée.

Autrement dit, $a_{ij}$ est le coefficient de ${\mathbf{c}}_i$ dans l'écriture de $f({\mathbf{b}}_j)$: $f({\mathbf{b}}_j)={\sum }_{i=1}^m{a}_{ij}{\mathbf{c}}_i$. Retenez la règle: . La matrice a autant de colonnes que la dimension de l'espace de départ et autant de lignes que celle de l'espace d'arrivée.

Démonstration. Notons $M={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)$ et $\mathbf{x}={\sum }_j{x}_j{\mathbf{b}}_j$. Par linéarité de puis de l'application coordonnées (théorème 6.7),

la dernière égalité étant la description du produit matrice-vecteur comme combinaison linéaire des colonnes. $\square$

La composée et le produit matriciel

Démonstration. La linéarité de $g\circ f$ est immédiate: $g(f(\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v}))=g(\lambda f(\mathbf{u})+\mu f(\mathbf{v}))=\lambda g(f(\mathbf{u}))+\mu g(f(\mathbf{v}))$. Notons et . Pour tout , deux applications de (6.7) donnent

La matrice $M_g{M}_f$ calcule donc les images par $g\circ f$; en prenant $\mathbf{x}={\mathbf{b}}_j$ (dont le vecteur de coordonnées est ), on voit que la -ième colonne de est , c'est-à-dire la -ième colonne de .

Deux conséquences immédiates:

• Réciproque. Si $f:E\to F$ est un isomorphisme et $M={\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f)$, alors $M$ est inversible et ${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f^{-1})=M^{-1}$. En effet, (6.8) appliquée à et à donne et , d'où et (la matrice de l'identité dans une même base est , puisque a pour coordonnées ). Réciproquement, si est inversible, l'application linéaire de matrice est la réciproque de .

Changement de base

Matrice de passage

Un même vecteur a des coordonnées différentes dans des bases différentes. Comment passer des unes aux autres?

Lorsque $E={\mathbb{R}}^n$ et $\mathcal{B}$ est la base canonique, la matrice de passage s'obtient sans calcul: on écrit simplement les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ en colonnes.

Démonstration. La formule (6.10) est la formule (6.7) appliquée à $f={\mathrm{id}}_E$ dans les bases ${\mathcal{B}}^{\prime }$ et $\mathcal{B}$: $[\mathrm{id}(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{B}}={\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime },\mathcal{B}}(\mathrm{id})[\mathbf{x}{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$. Par le théorème 6.9 appliqué à avec les bases , on obtient , et de même dans l'autre ordre.

Changement de base pour une application linéaire

Que devient la matrice d'une application linéaire lorsqu'on change de bases? Le diagramme de la figure 6.3 résume la situation: on peut aller des nouvelles coordonnées de $\mathbf{x}$ aux nouvelles coordonnées de $f(\mathbf{x})$ directement (par $A^{\prime }$), ou en faisant un détour par les anciennes bases (par $P$, puis $A$, puis $Q^{-1}$).

Démonstration. On écrit $f={\mathrm{id}}_F\circ f\circ {\mathrm{id}}_E$ et l'on applique deux fois le théorème 6.9 avec la suite de bases ${\mathcal{B}}^{\prime }\stackrel{{\mathrm{id}}_E}{\to }\mathcal{B}\stackrel{f}{\to }\mathcal{C}\stackrel{{\mathrm{id}}_F}{\to }{\mathcal{C}}^{\prime }$:

puisque $P_{{\mathcal{C}}^{\prime }\to \mathcal{C}}=Q^{-1}$ par le théorème 6.10. On peut aussi le vérifier sur les coordonnées: pour tout $\mathbf{x}$, $[f(\mathbf{x}){]}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}=Q^{-1}[f(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=Q^{-1}A[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=Q^{-1}AP[\mathbf{x}{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$, et la matrice qui calcule les images dans les bases est unique.

Puisque des matrices semblables décrivent la même transformation, toute quantité qui a un sens géométrique pour la transformation doit être la même pour les deux matrices. C'est le cas du rang, du déterminant et de la trace.

Démonstration. Le coefficient $(i,i)$ de $AB$ est ${\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{ki}$, et celui de (une matrice ) est pour l'indice . Donc

ce sont les mêmes $mn$ produits, sommés dans un autre ordre. $\square$

Démonstration. Déterminant: par multiplicativité du déterminant (chapitre 3), $\det A^{\prime }=\det (P^{-1})\det A\det P=\det A$, puisque $\det (P^{-1})=1/\det P$. par le lemme 6.12 avec les matrices et , . et sont les matrices du même endomorphisme dans deux bases, et l'on a vu que le rang d'une matrice de est , indépendamment des bases.

Vers la diagonalisation

L'exemple précédent illustre une stratégie que les chapitres 9 et 10 systématiseront. Prenons l'endomorphisme de ${\mathbb{R}}^2$ de matrice $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ dans la base canonique. On observe que $A(1,1{)}^{\mathsf{T}}=(3,3{)}^{\mathsf{T}}=3(1,1{)}^{\mathsf{T}}$ et : dans la base de l'exemple 6.4, la transformation dilate la première direction d'un facteur et retourne la seconde. Sa matrice est donc

ce que confirme un calcul direct. Dans cette base, tout devient transparent: $A^{10}=P\mathrm{diag}(3^{10},1)P^{-1}$, le déterminant vaut $3\cdot (-1)=-3$ et la trace . Les directions et sont les de , et , ses ; une matrice, c'est trouver une base de vecteurs propres, c'est-à-dire une base adaptée dans laquelle la matrice est diagonale. Toutes les matrices ne le permettent pas — le cisaillement en est un exemple — et le chapitre 10 dira précisément lesquelles.

Applications

Infographie: transformations géométriques et coordonnées homogènes

Un logiciel de dessin, un moteur de jeu ou un logiciel de CAO manipule des objets décrits par les coordonnées de leurs sommets. Déplacer, tourner, agrandir ou déformer un objet, c'est appliquer une même transformation à tous ses sommets; si celle-ci est linéaire, il suffit de multiplier la matrice $2\times 2$ (ou $3\times 3$ en 3D) des sommets rangés en colonnes. Les transformations de base du plan ont été rencontrées à l'exemple 6.1: rotation $R_{\theta }$, mise à l'échelle $\mathrm{diag}(s_x,s_y)$, réflexion, cisaillement. En dimension 3, les rotations autour des axes de coordonnées sont

et une rotation quelconque se compose de rotations élémentaires — dans un ordre qui compte, comme vous l'avez constaté avec l'explorateur.

Un obstacle: la translation n'est pas linéaire, et l'on aimerait pourtant la traiter comme les autres, par une multiplication matricielle, pour enchaîner rotations et déplacements en un seul produit. L'astuce des coordonnées homogènes consiste à représenter le point $(x,y)$ du plan par le vecteur $(x,y,1{)}^{\mathsf{T}}\in {\mathbb{R}}^3$. Une transformation linéaire de matrice $A$ et la translation de vecteur $\mathbf{t}=(t_x,t_y{)}^{\mathsf{T}}$ deviennent alors

Toute composition de translations, rotations et mises à l'échelle du plan est alors une seule matrice $3\times 3$ (et $4\times 4$ en 3D): c'est ainsi que travaillent les cartes graphiques. Par exemple, la rotation d'angle $\theta$ autour d'un point $C$ quelconque s'écrit $T_C{R}_{\theta }{T}_{-C}$: on ramène à l'origine, on tourne, on renvoie à sa place (exercice 6.4).

Robotique: un bras à deux segments

Un bras robotisé plan est formé de deux segments de longueurs ${\ell }_1$ et ${\ell }_2$, articulés par deux moteurs qui imposent les angles ${\theta }_1$ (entre le premier segment et l'axe des $x$) et ${\theta }_2$ (entre le second segment et le premier). Où se trouve l'extrémité du bras (l')? On suit la chaîne des transformations en coordonnées homogènes: partant de l'origine, on tourne de , on avance de le long du premier segment, on tourne de , on avance de . La position de l'effecteur est donc la dernière colonne de

où l'on a noté $R_{\theta }$ la rotation en coordonnées homogènes. En effectuant les produits, on trouve

formule que l'on peut vérifier directement: le second segment fait l'angle ${\theta }_1+{\theta }_2$ avec l'axe des $x$. Ce calcul s'appelle la cinématique directe; le problème inverse (quels angles pour atteindre un point donné?) est non linéaire, mais se résout localement en linéarisant (6.14), ce qui ramène encore à une matrice, la jacobienne du bras.

Filtres linéaires sur les signaux

Un signal échantillonné sur $n$ instants est un vecteur $\mathbf{s}\in {\mathbb{R}}^n$. Un filtre linéaire — moyenne glissante pour lisser un bruit de mesure, différence finie pour estimer une dérivée, filtre passe-bas d'un capteur — est une application linéaire ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$, donc une matrice. Pour la moyenne glissante sur trois points d'un signal périodique, $y_k=\frac{1}{3}(s_{k-1}+s_k+s_{k+1})$ avec les indices lus modulo , la matrice est : chaque ligne est la précédente décalée d'un cran,

Ces matrices commutent entre elles (appliquer deux filtres dans un ordre ou dans l'autre revient au même) et se diagonalisent toutes dans la même base, celle des signaux sinusoïdaux $(\cos (2\pi jk/n),\sin (2\pi jk/n))$: c'est la transformée de Fourier discrète, une matrice de passage particulièrement bien choisie, dont vous entendrez parler en traitement du signal.

Synthèse

• Une application $f:E\to F$ est linéaire si $f(\lambda \mathbf{u}+\mu \mathbf{v})=\lambda f(\mathbf{u})+\mu f(\mathbf{v})$; elle vérifie $f(0)=0$ et est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base. Les applications linéaires sont exactement les , avec .

Exercices

Vous pouvez afficher le corrigé directement sous chaque énoncé après avoir cherché la solution.

Références

• Lay, D. C., Lay, S. R. et McDonald, J. J., Algèbre linéaire et applications, 5e éd., Pearson, Montréal, chap. 1.8–1.9, 4.4, 4.7 et 5.4.
• Strang, G., Introduction to Linear Algebra, 5e éd., Wellesley-Cambridge Press, chap. 8 (Linear Transformations).
• Axler, S., Linear Algebra Done Right, 3e éd., Springer, chap. 3 (Linear Maps).
• Grifone, J., Algèbre linéaire, 6e éd., Cépaduès, Toulouse, chap. 3 et 4.
• Liret, F. et Martinais, D., Algèbre 1re année, Dunod, Paris, chapitres sur les applications linéaires et les matrices.
• Polycopiés Algèbre linéaire (EPFL, première année) et Lineare Algebra (ETH Zurich), chapitres sur les applications linéaires et les changements de base; pour les applications en infographie et en robotique, Marschner, S. et Shirley, P., Fundamentals of Computer Graphics, 5e éd., CRC Press, chap. 6–7.