Formulaire

Ce formulaire rassemble, chapitre par chapitre, les définitions, formules et théorèmes essentiels du cours, avec la notation des chapitres correspondants (les numéros d'équations et de théorèmes y renvoient). Chaque formule est suivie de la signification des symboles et de ses conditions de validité; les démonstrations, les exemples et les pièges classiques se trouvent dans les chapitres. Attention à la lecture des numéros: dans chaque chapitre, les équations numérotées et les théorèmes partagent la même série, si bien que l'équation (7.3) et le théorème 7.3 sont deux objets différents. Ici, un numéro entre parenthèses désigne toujours une équation et un numéro précédé du mot «théorème» toujours un théorème.

L'algèbre linéaire utilisée à partir du chapitre 5 — produit scalaire, base orthonormée, déterminant comme aire et comme volume, rang, théorème spectral, critères de classification des formes quadratiques — n'est pas reprise ici: elle est rassemblée à l'annexe A, dont les énoncés sont numérotés A.1 à A.9.

Conventions: points de ${\mathbb{R}}^n$ notés $\mathbf{x}=(x_1,\dots ,x_n)$, simplement $(x,y)$ dans ${\mathbb{R}}^2$ et dans ; norme euclidienne et produit scalaire ; boule ouverte ; gradient vu comme vecteur colonne; différentielle ; dérivée directionnelle avec ; matrice jacobienne et hessienne ; classes ; , et en romain; intervalles ouverts ; virgule décimale. On dit pour une fonction de plusieurs variables, jamais «dérivable».

Chapitre 1 – Équations différentielles ordinaires

Méthode d'Euler (1.1) pour le problème de Cauchy $y^{\prime }=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$: on suit le champ des directions par petits pas rectilignes. L'erreur locale est en $h^2$, l'erreur globale en — diviser le pas par divise l'erreur par . Les portent une pente constante.

Équations à variables séparables (1.2), théorème 1.1: $g$ continue sur $I$, $h$ continue et ne s'annulant pas sur $J$. En pratique on sépare $\frac{\mathrm{d}y}{h(y)}=g(x)\mathrm{d}x$ et l'on intègre. Les zéros $y_{\ast }$ de fournissent les , que la formule ne contient pas: il faut les ajouter à la main.

Croissance et décroissance exponentielles (1.4), désintégration radioactive de constante $\lambda$ et demi-vie $T_{1/2}$, et modèle logistique de Verhulst (1.5) de capacité $K$, dont le point d'inflexion est atteint en $y=K/2$. Refroidissement de Newton: $T^{\prime }=-k(T-T_a)$, donc .

Équation linéaire du premier ordre (1.6), $a$ et $b$ continues sur un intervalle $I$: solution homogène (1.7, théorème 1.4) et variation de la constante (1.8, théorème 1.5), qui revient à poser $y=C(x){\mathrm{e}}^{-A(x)}$ et donne $C^{\prime }(x)=b(x){\mathrm{e}}^{A(x)}$. Structure (théorème 1.3): solution générale solution générale de l'homogène une solution particulière. Le problème de Cauchy a une unique solution, définie sur (théorème 1.6): une équation linéaire n'explose jamais à l'intérieur de son intervalle de continuité, contrairement à .

Théorème de Cauchy–Lipschitz (théorème 1.2, admis): si $f$ est continue sur un rectangle ouvert et $\partial f/\partial y$ y existe et est continue, par chaque point passe une seule courbe intégrale. L'hypothèse de régularité en $y$ est essentielle: sans elle le déterminisme se perd.

Équation linéaire homogène du second ordre à coefficients constants réels et son polynôme caractéristique. L'espace des solutions est de dimension $2$ et le problème de Cauchy $y(x_0)=y_0$, $y^{\prime }(x_0)=y_1$ a une unique solution (théorème 1.7).

Les trois cas du théorème 1.7, $C_1,C_2\in \mathbb{R}$. La forme du troisième cas s'écrit aussi $A{\mathrm{e}}^{\alpha x}\cos (\beta x-\phi )$.

Méthode des coefficients indéterminés pour $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(x)$: on cherche $y_p$ de la même forme que le second membre. Il y a résonance lorsque $f$ est elle-même solution de l'homogène. Les conditions initiales se traitent sur la solution complète , jamais sur seule.

Oscillateur amorti sous forme normalisée (1.12): pulsation propre ${\omega }_0$ (en rad/s), période propre $T_0=2\pi /{\omega }_0$, taux d'amortissement $\zeta$ sans dimension, mesuré relativement à l'amortissement critique $c_{\text{crit}}=2\sqrt{km}$. Même équation pour le circuit RLC série , avec et .

Régimes pseudo-périodique (sous-amorti, pseudo-pulsation ${\omega }_d$ et pseudo-période $T_d=2\pi /{\omega }_d>T_0$), critique et apériodique (sur-amorti), d'après (1.13). Pour tout le régime libre tend vers : l'équilibre est asymptotiquement stable.

Décrément logarithmique (1.14): il se mesure directement sur un enregistrement et donne $\zeta$. C'est ainsi que l'on caractérise l'amortissement d'une structure réelle, où $\zeta$ vaut souvent entre $0,02$ et $0,05$.

Amplitude et déphasage de la réponse stationnaire à $F(t)=F_0\cos \omega t$ (1.15). Pour $\omega \to 0$, $X\to F_0/k$ (déformation statique); ; le maximum est atteint en (si ) et vaut . Pour l'amplitude décroît en : c'est le principe de l'isolation vibratoire.

Chapitre 2 – L'espace Rⁿ et les fonctions de plusieurs variables

Produit scalaire (2.1), norme euclidienne (2.2) et distance. Le produit scalaire est bilinéaire, symétrique et défini positif; ce sont les trois seules propriétés utilisées, de sorte que tout le chapitre vaut pour n'importe quel produit scalaire.

Inégalité de Cauchy–Schwarz (2.3, théorème 2.1), démontrée par le discriminant du trinôme $t\mapsto \Vert \mathbf{x}+t\mathbf{y}{\Vert }^2\ge 0$; égalité si et seulement si $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ sont colinéaires. Elle définit l'angle $\theta \in [0,\pi ]$ entre deux vecteurs non nuls; l'orthogonalité est $⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=0$.

Inégalité triangulaire et sa forme inverse (théorème 2.2), et l'encadrement (2.4) qui rend équivalentes «$\mathbf{x}$ est petit» et «chaque coordonnée de $\mathbf{x}$ est petite».

Normes usuelles (2.5) et encadrements (2.6, théorème 2.3). Toutes les normes de ${\mathbb{R}}^n$ sont équivalentes (admis): en dimension finie, limite, continuité, ouvert et compact ne dépendent pas de la norme choisie. C'est faux en dimension infinie.

Boule ouverte (2.7), boule fermée et sphère. $U$ est ouvert si tout point de $U$ est centre d'une boule contenue dans $U$; $F$ est fermé si son complémentaire est ouvert; $A$ est borné s'il est contenu dans une boule. Ouvert et fermé ne sont pas des contraires: la couronne $1\le \Vert \mathbf{x}\Vert <2$ n'est ni l'un ni l'autre. Intérieur $\mathring{A}$, adhérence , frontière . Une réunion quelconque et une intersection d'ouverts sont ouvertes (théorème 2.4).

Convergence composante par composante (théorème 2.5, conséquence de (2.4)) et caractérisation séquentielle de l'adhérence et des fermés (théorème 2.6). Attention: il n'y a aucun analogue pour les fonctions — la continuité séparée en chaque variable n'entraîne pas la continuité.

Théorème 2.7, démontré par $n$ extractions emboîtées, chacune prise à l'intérieur de la précédente; le procédé s'arrête parce que $n$ est fini. En dimension infinie il échoue.

Théorème de Heine–Borel (théorème 2.8): en dimension finie seulement, compact (au sens séquentiel: de toute suite de $K$ on extrait une sous-suite convergeant dans $K$) équivaut à fermé et borné. Compacts: segment, disque fermé, sphère, pavé $[0,1{]}^n$, triangle plein. Non compacts: disque ouvert, droite, couronne $1\le \Vert \mathbf{x}\Vert <2$.

Ligne de niveau (2.10): projection sur le plan de l'intersection du graphe avec le plan horizontal $z=c$. Lignes serrées $=$ pente forte; lignes fermées emboîtées $=$ sommet ou cuvette; ligne qui se croise elle-même $=$ col; point isolé dans une ligne de niveau $=$ extremum strict. C'est ce que lisent une carte topographique, un réseau d'isothermes, d'isobares ou d'équipotentielles.

Fonction témoin du cours (2.11), suivie aux chapitres 2, 3, 5 et 7. Sa ligne de niveau $0$ est le folium de Descartes, qui se croise en $(0,0)$ — signature du point de selle — et dont la branche infinie est asymptote à $x+y=-1$; le niveau $-1$ est exactement la réunion de la droite $x+y=-1$ et du point isolé $(1,1)$, signature du minimum local strict de valeur .

Définition de la limite (2.13); $f$ est continue en $\mathbf{a}$ si la limite y vaut $f(\mathbf{a})$. Caractérisation séquentielle, opérations algébriques et composition: théorème 2.9. Polynômes, fractions rationnelles hors des zéros du dénominateur et composées de fonctions élémentaires sont continus; les seuls points intéressants sont ceux où la formule perd son sens.

Majoration (2.14, théorème 2.10). Trois outils, dans cet ordre: majoration directe ($|x|\le r$, $|xy|\le \frac{1}{2}{r}^2$, $x^2\le r^2$, avec ), avec une majoration , composition avec une limite d'une variable. Le piège: constater que pour chaque ne prouve rien.

Les deux contre-exemples du cours (2.15). Le premier ne dépend que de la direction: il vaut $\frac{1}{2}$ le long de $y=x$, $-\frac{1}{2}$ le long de $y=-x$, sur les axes — pas de limite. Le second vaut le long de droite et le long de la parabole : une limite selon toutes les droites n'est pas une limite. Réciproque utile: si la limite existe, toutes les restrictions donnent la même valeur — c'est ainsi que l'on prouve une non-existence, avec deux chemins.

Théorème des bornes de Weierstrass (théorème 2.11), démontré par Bolzano–Weierstrass. Les deux hypothèses sont indispensables et le théorème donne l'existence, jamais la position. C'est l'ingrédient qui manque le plus souvent aux raisonnements d'optimisation des chapitres 7 et 8.

Théorème des valeurs intermédiaires (théorème 2.12), obtenu en composant $f$ avec un chemin continu. Avec la compacité en plus: l'image d'un compact connexe par arcs est le segment $[m,M]$, bornes atteintes.

Chapitre 3 – Dérivées partielles et différentiabilité

Dérivée partielle (3.1), $U$ ouvert: c'est la dérivée ordinaire de la $i$-ième fonction partielle ${\phi }_i$, obtenue en gelant les autres variables. Toutes les règles de l'Analyse I s'appliquent. Notations abrégées ${\partial }_{x}f$, $f_x$. Géométriquement, et sont les du graphe par les plans et . est sur si ses dérivées partielles existent et sont continues sur .

Contre-exemple fondamental (3.2): les dérivées partielles n'interrogent la fonction que le long de deux droites, sur lesquelles $f$ est ici identiquement nulle. Leur existence n'entraîne donc rien — pas même la continuité. Pire, la fonction $x^{2}y/(x^4+y^2)$ possède toutes ses dérivées directionnelles en $(0,0)$ sans y être continue.

Différentiabilité (3.4): il existe une application linéaire $L$ approchant l'accroissement à $\mathrm{o}(\Vert \mathbf{h}\Vert )$ près, le reste étant contrôlé uniformément en la direction. Cette $L$ est unique (théorème 3.1), se note $\mathrm{d}{f}_{\mathbf{a}}$, et la différentiabilité entraîne la continuité (théorème 3.2).

La différentielle est portée par le gradient (3.5, théorème 3.3), vecteur colonne des dérivées partielles; toutes les dérivées directionnelles existent alors et valent $D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=⟨\nabla f(\mathbf{a}),\mathbf{u}⟩$. En notation des physiciens, $\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$ (3.6), où et sont les applications coordonnées.

Plan tangent au graphe en $M=(a,b,f(a,b))$ (3.8) et vecteur normal associé: c'est le graphe de l'approximation affine (3.7). Il n'existe que si $f$ est différentiable; les deux tangentes de coupe engendrent toujours un plan, mais ce plan ne mérite le nom de tangent que dans ce cas.

Théorème de différentiabilité des fonctions ${\mathcal{C}}^1$ (théorème 3.4), démontré en décomposant l'accroissement variable par variable et en appliquant le théorème des accroissements finis à chaque morceau. C'est le critère pratique: on dérive, on constate la continuité, on conclut. Noter la dissymétrie des hypothèses — existence sur tout un voisinage, continuité au seul point $\mathbf{a}$.

La chaîne complète, dans laquelle aucune flèche ne se retourne. Témoins: $(x^2+y^2)\sin (1/\Vert \mathbf{x}\Vert )$ est différentiable partout sans être ${\mathcal{C}}^1$ en $0$; $x^{2}y/(x^2+y^2)$ est continue en , y possède toutes ses dérivées directionnelles, et n'y est pas différentiable (l'application n'y est pas linéaire); y a ses deux dérivées partielles sans y être continue.

Propagation des erreurs (3.9), version majorante («pire cas»): les dérivées partielles sont les coefficients de sensibilité et leur comparaison désigne la mesure à améliorer. Pour un produit de puissances, la différentielle logarithmique donne la seconde formule — les incertitudes relatives s'ajoutent, pondérées par les exposants. Si les erreurs sont aléatoires et indépendantes, on utilise plutôt ${\sigma }_Q^2=({\partial }_{x}f{)}^2{\sigma }_x^2+({\partial }_{y}f{)}^2{\sigma }_y^2$; annoncez toujours laquelle des deux vous employez.

Matrice jacobienne d'une fonction vectorielle $\mathbf{F}:U\subset {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ (3.10): sa $i$-ième ligne est le gradient transposé de $F_i$, et $\mathbf{F}$ est différentiable si et seulement si chacune de ses composantes l'est (théorème 3.5). Pour , : le gradient est une colonne, la jacobienne une ligne. À connaître: a ; a .

Chapitre 4 – Gradient, dérivées directionnelles et règle de la chaîne

Dérivée directionnelle (4.1)–(4.2): c'est la dérivée en $0$ de la restriction de $f$ à la droite passant par $\mathbf{a}$ et dirigée par $\mathbf{u}$. La normalisation n'est pas décorative — remplacer $\mathbf{u}$ par $\lambda \mathbf{u}$ multiplie la limite par $\lambda$. Les dérivées partielles en sont le cas $\mathbf{u}={\mathbf{e}}_i$ (4.3), et $D_{-\mathbf{u}}f=-D_{\mathbf{u}}f$.

Théorème 4.1 (4.4) et sa forme angulaire (4.5), $\phi$ étant l'angle entre $\mathbf{u}$ et le gradient. La démonstration exploite le caractère uniforme du reste: le même $\epsilon$ sert pour toutes les directions. Sans différentiabilité, la formule tombe: pour $x^3/(x^2+y^2)$ toutes les dérivées directionnelles existent et valent ${\cos }^3\theta$, qui n'est pas de la forme .

Direction de plus forte croissance (théorème 4.2), conséquence directe de Cauchy–Schwarz. C'est le fondement de la descente de gradient, qui se déplace dans la direction $-\nabla f$; le théorème est local et au premier ordre, il ne dit rien de la position du minimum. Si $\nabla f(\mathbf{a})=0$, toutes les directions donnent $0$: le point est critique.

Orthogonalité du gradient aux ensembles de niveau (4.6, théorème 4.3). Lecture cartographique: la ligne de plus grande pente coupe les courbes de niveau à angle droit; là où les courbes sont serrées, $\Vert \nabla h\Vert \approx \Delta h/\Delta s$ est grand; marcher à flanc de coteau, c'est suivre une courbe de niveau. L'énoncé ne donne que l'orthogonalité aux directions tangentes: pour en déduire que l'ensemble de niveau est une courbe, il faut le théorème des fonctions implicites et $\nabla f(\mathbf{a})\ne 0$.

Plan tangent à la surface de niveau $\{F=c\}$ et droite normale en $\mathbf{a}$ (4.7), sous l'hypothèse $\nabla F(\mathbf{a})\ne 0$; les points où le gradient s'annule sont les points singuliers de la surface (la pointe d'un cône). Compatibilité avec le chapitre 3: le graphe $z=f(x,y)$ est la surface de niveau $0$ de , de gradient .

Règle de la chaîne le long d'une courbe (4.8, théorème 4.4) et sa conversion (4.9), $\mathbf{u}={\mathbf{r}}^{\prime }/\Vert {\mathbf{r}}^{\prime }\Vert$. Lecture cinématique: le taux ressenti par un mobile est le produit scalaire du gradient du champ par le vecteur vitesse. La dérivée directionnelle est un taux par unité de longueur (°C/m), la dérivée composée un taux par unité de temps (°C/s); les confondre est une faute d'unités.

Changement de paramètres (4.10, théorème 4.5): on multiplie le long de chaque chemin de l'arbre des dépendances, puis on additionne les chemins. Les dérivées de $f$ sont évaluées au point image $\mathbf{F}(u_0,v_0)$, celles de $x$ et $y$ au point de départ; écrire $\partial f/\partial x(u,v)$ n'a aucun sens.

Règle de la chaîne, forme générale (4.11, théorème 4.6): la jacobienne d'une composée est le produit des jacobiennes. Elle contient les deux formes précédentes — ligne fois colonne pour (4.8), ligne fois matrice $2\times 2$ pour (4.10) — et la multiplicativité des déterminants gouverne les changements de variables des chapitres 9 et 10 ainsi que l'inversion locale du chapitre 6.

Jacobienne du passage en polaires $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ (4.12).

Passage en polaires dans les deux sens, (4.13) et (4.14), $\tilde{f}(r,\theta )=f(r\cos \theta ,r\sin \theta )$; le second système s'obtient en inversant (4.12), possible dès que $r\ne 0$.

Gradient dans le repère mobile ${\mathbf{e}}_r=(\cos \theta ,\sin \theta )$, ${\mathbf{e}}_{\theta }=(-\sin \theta ,\cos \theta )$, orthonormé: (4.15) et (4.16). Le facteur vient de ce que n'est pas une longueur — un accroissement correspond à un déplacement sur le terrain. C'est le même facteur qui réapparaîtra en au chapitre 9.

Fonctions homogènes de degré $k$ sur un cône ouvert (4.17) et relation d'Euler (4.18, théorème 4.7), pour $f$ de classe ${\mathcal{C}}^1$. En économie, pour une fonction de production de Cobb–Douglas $F=A{K}^{\alpha }{L}^{\beta }$, le degré est $\alpha +\beta$ et la relation devient, en rendements d'échelle constants, : le théorème de l'épuisement du produit. En physique, elle donne les relations de Gibbs–Duhem pour les grandeurs extensives.

Inégalité des accroissements finis (4.19, théorème 4.8) sur un ouvert convexe, obtenue en restreignant au segment puis en appliquant Cauchy–Schwarz; il existe même $\mathbf{c}$ intérieur au segment avec $f(\mathbf{b})-f(\mathbf{a})=⟨\nabla f(\mathbf{c}),\mathbf{b}-\mathbf{a}⟩$. Si $\Vert \nabla f\Vert \le M$, $f$ est $M$-lipschitzienne; si sur un ouvert connexe, est constante. : le tour complet du cercle donne alors que partout.

Chapitre 5 – Dérivées d'ordre supérieur, Taylor et hessienne

Les deux notations des dérivées croisées se lisent en sens contraires (5.1)–(5.2): dans la notation de Leibniz, le symbole le plus proche de $f$ agit en premier (on lit de droite à gauche); dans la notation indicielle, l'indice le plus proche de $f$ agit en premier (on lit de gauche à droite). Aucune ambiguïté pour $f_{xx}$. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ si toutes ses dérivées jusqu'à l'ordre $k$ existent et sont continues; les inclusions sont toutes strictes.

Théorème de Schwarz (théorème 5.1), démontré en comparant deux groupements de l'accroissement double $\Delta (h,k)=f(a+h,b+k)-f(a+h,b)-f(a,b+k)+f(a,b)$ (5.3), chacun donnant ou par le théorème des accroissements finis (5.4)–(5.5), puis en passant à la limite . Pour , toute dérivée d'ordre ne dépend que du nombre de dérivations par variable, pas de leur ordre: cela ramène les dérivées secondes à valeurs et fournit un contrôle de calcul gratuit.

Le contre-exemple de Schwarz (5.6)–(5.7). La fonction est ${\mathcal{C}}^1$ sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier — la pathologie est invisible à l'ordre un —, mais $f_{xy}$ n'est pas continue en l'origine: le quotient $\Delta (h,k)/(hk)=\cos 2\theta$ ne dépend que de la direction, et ses deux limites itérées valent et . L'égalité des dérivées croisées est un , pas une règle de manipulation de symboles.

Matrice hessienne (5.8), avec les notations de Monge $r=f_{xx}$, $s=f_{xy}$, $t=f_{yy}$; elle est dès que (théorème 5.2), donc diagonalisable en base orthonormée à valeurs propres réelles (théorème spectral). C'est aussi la jacobienne du champ de vecteurs (5.9).

Restriction à un segment (5.11)–(5.12, théorème 5.3), à condition que $[\mathbf{a},\mathbf{a}+\mathbf{h}]\subset U$. C'est la stratégie de tout le chapitre: ramener un problème à $n$ variables à un problème à une variable, pour lequel l'Analyse I a tout démontré. En dimension deux, avec $\mathbf{h}=(h,k)$, $g^{\prime \prime }=h^2{f}_{xx}+2hk{f}_{xy}+k^2{f}_{yy}$ (5.13) — le facteur vient de Schwarz.

Taylor avec reste de Lagrange (5.14, théorème 5.4), $f\in {\mathcal{C}}^2$: égalité exacte avec un point intermédiaire inconnu. C'est la forme qui sert à majorer l'erreur (calcul d'incertitude, analyse numérique). À l'ordre un, sous la seule hypothèse $f\in {\mathcal{C}}^1$, on retrouve les accroissements finis du chapitre 4.

Taylor avec reste de Young (5.15, théorème 5.5, forme condensée 5.17): énoncé asymptotique, celui qui sert aux questions locales (nature d'un point critique, limites, développements). En dimension deux le terme quadratique s'écrit $\frac{1}{2}[r{h}^2+2shk+t{k}^2]$ (5.16). Trois étages, trois objets: une valeur, un vecteur, une matrice symétrique. Règle: pour un contrôle d'erreur chiffré, Lagrange; pour une conclusion qualitative, Young.

Forme quadratique d'une matrice symétrique réelle et encadrement par ses valeurs propres extrêmes (5.19, théorème 5.6, démontré à l'annexe A sous le numéro A.8), bornes atteintes sur les vecteurs propres. Définie positive $⟺{\lambda }_1>0$; définie négative $⟺{\lambda }_n<0$; indéfinie $⟺{\lambda }_1<0<{\lambda }_n$; dégénérée . L'intérêt de (5.19) est qu'elle transforme une information qualitative en , seule capable de dominer le reste de Taylor. Noter que est homogène de degré : son signe ne dépend que de la direction.

Mise sous forme canonique (5.20), qui redonne le critère du discriminant $\Delta =rt-s^2$ (théorème 5.7) sans passer par les valeurs propres. Quand $\Delta >0$, $r$ et $t$ sont nécessairement de même signe: c'est un contrôle de calcul gratuit. Attention: le coefficient hors diagonale est la moitié du coefficient de $hk$ dans $q$, et le discriminant s'écrit , jamais .

Tableau de décision en dimension deux. Pour $n\ge 3$, critère de Sylvester (théorème 5.8, admis; théorème A.9 de l'annexe A): $q$ est définie positive si et seulement si tous les mineurs principaux dominants $D_k$ sont $>0$, définie négative si et seulement si $(-1{)}^k{D}_k>0$ (signes alternés à partir du moins). Il ne teste le cas strictement défini: dès qu'un mineur dominant s'annule, passez aux valeurs propres.

Condition suffisante du second ordre (5.21, théorème 5.9): en un point critique, $q$ définie positive donne un minimum local strict, définie négative un maximum local strict, indéfinie un point de selle, et $\det H_f(\mathbf{a})=0$ ne décide rien. Témoins: $x^4+y^4$ (minimum strict) et (selle) ont à l'origine; (minimum) et (selle) ont la même hessienne . Quand le déterminant s'annule, la hessienne a dit tout ce qu'elle savait: étudiez directement.

Laplacien (5.22), somme des valeurs propres de la hessienne et invariant par changement de base orthonormée — version «ordre deux» de l'invariance de $\Vert \nabla f\Vert$. Une fonction vérifiant $\Delta f=0$ est harmonique: $x^2-y^2$, $2xy$, ${\mathrm{e}}^x\cos y$, le sont (parties réelle et imaginaire de fonctions holomorphes). Pour une telle fonction, : le critère du second ordre ne peut y diagnostiquer un extremum — trace locale du principe du maximum. Le laplacien ouvre sur (Laplace), (chaleur) et (ondes).

Chapitre 6 – Fonctions implicites et inversion locale

Théorème des fonctions implicites dans le plan (théorème 6.1, admis). L'énoncé est local des deux côtés: dans la fenêtre $I\times J$, la courbe $\{F=0\}$ est le graphe de $\phi$, pas une branche parmi d'autres. Le mécanisme: $\partial F/\partial y\ne 0$ et sa continuité rendent $y\mapsto F(x,y)$ strictement monotone sur un rectangle, et le théorème des valeurs intermédiaires fournit l'unique zéro. Si , alors .

Dérivation implicite (6.3) et formule de la dérivée (6.2): on dérive $F(x,\phi (x))\equiv 0$ par la règle de la chaîne, puis on isole ${\phi }^{\prime }$. La formule ne s'apprend pas par cœur, elle se retrouve en une ligne.

Équation de la tangente à la courbe $F=0$ (6.4): la droite passant par $(a,b)$ et orthogonale au gradient. Cette écriture est symétrique en $x$ et $y$, donc valable même lorsque $F_y=0$, pourvu que $\nabla F(a,b)\ne 0$. Lorsque avec , la pente tend vers l'infini: la tangente bascule à la verticale et l'on résout en . Là où le gradient s'annule, la ligne de niveau peut cesser d'être une courbe lisse: l'origine du folium est un où deux branches se croisent, et c'est le point de selle de la fonction témoin ().

Dérivée seconde implicite (6.5)–(6.6), pour $F\in {\mathcal{C}}^2$; le théorème de Schwarz sert à regrouper les deux termes croisés. En pratique on redérive (6.3) à la main plutôt que d'appliquer (6.6). Le signe de ${\phi }^{\prime \prime }$ donne la convexité locale de la courbe.

Cas général (théorème 6.2, admis; formule 6.11): pour exprimer $m$ inconnues $\mathbf{y}$ en fonction de $n$ variables libres $\mathbf{x}$, il faut $m$ équations, et la condition scalaire devient l'inversibilité du bloc jacobien carré $\partial \mathbf{F}/\partial \mathbf{y}$. La formule vient de $\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{x}}+\frac{\partial \mathbf{F}}{\partial \mathbf{y}}{J}_{\mathbf{\phi }}=0$ (6.12). Deux erreurs classiques: oublier que la multiplication par l'inverse se fait , et écrire un quotient de matrices. En pratique on ne calcule pas l'inverse, on résout le système linéaire.

Théorème d'inversion locale (théorème 6.3, admis), version en dimension $n$ de «$f^{\prime }(a)\ne 0$ entraîne l'inversibilité locale». Il est équivalent au théorème 6.2, chacun se déduisant de l'autre (via $\mathbf{\Psi }(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{x},\mathbf{F}(\mathbf{x},\mathbf{y}))$, dont la jacobienne est triangulaire par blocs). Un difféomorphisme est une bijection dont la réciproque est : est un homéomorphisme et non un difféomorphisme, l'obstruction étant .

Jacobienne et jacobien de la réciproque (6.13)–(6.14), obtenus en dérivant ${\mathbf{F}}^{-1}\circ \mathbf{F}=\mathrm{id}$. La seconde formule servira telle quelle aux changements de variables des chapitres 9 et 10. C'est aussi ce théorème qui justifie la méthode de Newton pour un système, ${\mathbf{z}}_{k+1}={\mathbf{z}}_k-[J_{\mathbf{f}}({\mathbf{z}}_k){]}^{-1}\mathbf{f}({\mathbf{z}}_k)$ (6.18), de convergence quadratique mais locale.

Un jacobien partout non nul garantit seulement que l'image est un ouvert et que l'application est localement inversible. Contre-exemples: les polaires, avec $\det J=r\ne 0$ sur $\{r>0\}$, ne sont pas injectives ($\theta$ et $\theta +2\pi$); le carré complexe $(x,y)\mapsto (x^2-y^2,2xy)$, de jacobien , est exactement deux-à-un sur ; l'exponentielle complexe , de jacobien , est -périodique en . Pour obtenir une bijection, il faut restreindre le domaine à la main.

Coordonnées polaires (6.15): ${\mathcal{C}}^{\infty }$-difféomorphisme de $]0,+\infty [\times ]\alpha ,\alpha +2\pi [$ sur le plan privé de la demi-droite d'angle $\alpha$ issue de l'origine.

Coordonnées cylindriques (6.16): ${\mathcal{C}}^{\infty }$-difféomorphisme de $]0,+\infty [\times ]0,2\pi [\times \mathbb{R}$ sur ${\mathbb{R}}^3$ privé du demi-plan $\{y=0,x\ge 0\}$. Ce sont les coordonnées de toute géométrie à symétrie de révolution.

Coordonnées sphériques (6.17), avec $\rho$ la distance à l'origine, $\phi \in [0,\pi ]$ la colatitude mesurée depuis l'axe $Oz$ positif et $\theta$ la longitude: ${\mathcal{C}}^{\infty }$-difféomorphisme sur $]0,+\infty [\times ]0,\pi [\times ]0,2\pi [$. Le jacobien s'annule pour et aux pôles , où la longitude n'est pas définie.

Relation cyclique de la thermodynamique: le théorème 6.1 appliqué trois fois à la même relation $\Phi (p,V,T)=0$ donne trois quotients $-{\Phi }_V/{\Phi }_p$, $-{\Phi }_T/{\Phi }_V$, , dont le produit vaut . Le signe rappelle qu'une dérivée partielle n'est pas un quotient et que les trois dérivées sont prises — d'où la notation , qu'il ne faut jamais omettre. En revanche, deux dérivées au même contexte sont bien inverses l'une de l'autre.

Chapitre 7 – Extrema libres

Théorème de Fermat (7.1, théorème 7.1), démontré en restreignant $f$ à ses fonctions partielles. L'ouverture de $U$ sert à disposer d'un voisinage de part et d'autre dans chaque direction de coordonnée; aucune continuité n'est requise. Un point où $\nabla f=0$ est critique; un point critique qui n'est ni maximum ni minimum local est un point de selle (ou col).

Les deux pièges du premier ordre. La condition est nécessaire et jamais suffisante — $x^2-y^2$ a un gradient nul à l'origine sans y avoir d'extremum. Elle ne vaut qu'en un point intérieur — $f(x,y)=x+y$ atteint ses extremums sur le bord de $[0,1{]}^2$ avec partout, et a un minimum global strict là où son gradient n'existe pas. Oublier la troisième catégorie est l'erreur la plus fréquente du chapitre. Enfin, : on quitte un point dans une infinité de directions, et même le long de courbes.

Minoration d'une forme quadratique (7.3, théorème 7.2), démontrée sur une base orthonormée de vecteurs propres. C'est l'énoncé du théorème 5.6, que le chapitre 5 délègue à l'annexe A (théorème A.8) et que le chapitre 7 démontre pour son compte, dans le seul cas défini positif dont il se sert. Lecture par compacité: sur la sphère unité, qui est compacte, la fonction continue $q$ atteint son minimum ${\lambda }_1$, et l'homogénéité propage l'inégalité à tout ${\mathbb{R}}^n$.

Condition suffisante du second ordre (7.4, théorème 7.3): définie positive donne un minimum local strict, définie négative un maximum local strict, indéfinie un point de selle, dégénérée sans être indéfinie ne conclut pas. La démonstration donne davantage qu'une inégalité large: une minoration quadratique explicite, qui contrôle la vitesse de remontée.

Test du discriminant en deux variables (7.5, théorème 7.4), avec $r={\partial }_{xx}^{2}f(\mathbf{a})$, $s={\partial }_{xy}^{2}f(\mathbf{a})$, $t={\partial }_{yy}^{2}f(\mathbf{a})$; il se redémontre par la forme canonique (7.6). Deux contrôles gratuits: quand , et sont forcément de même signe; quand , la hessienne est diagonale et le test se lit sur les signes de et .

Le cas douteux $\Delta =0$: cinq fonctions, cinq verdicts, et aucun critère plus fin ne vaut en général. Trois techniques: le raisonnement de signe (verdict immédiat et global quand $f-f(\mathbf{a})$ est une somme de termes de même signe), l'étude le long de courbes (pour réfuter, par deux chemins de signes opposés), et la restriction à la direction propre dégénérée, où toute l'indétermination est concentrée.

Le contre-exemple de Peano: une étude directionnelle, même exhaustive sur toutes les droites, ne démontre rien. Elle peut réfuter, elle ne peut pas confirmer. Pour confirmer, il faut une minoration valable dans tout un voisinage — ce que fournit le théorème 7.3 quand la hessienne est définie.

Théorème des bornes (théorème 7.5, rappel du théorème 2.11). Méthode en trois temps: (1) chercher les points critiques intérieurs, sans calculer leur nature — la comparaison finale tranche de toute façon; (2) étudier séparément la restriction de $f$ au bord, paramétré ou découpé en arêtes puis sommets; (3) comparer toutes les valeurs candidates. L'étape 2 est celle que les copies oublient, et c'est celle qui contient le plus souvent la réponse.

Coercivité (théorème 7.6): la démonstration fabrique un compact là où il n'y en avait pas — la coercivité enferme le minimum dans une boule, après quoi Weierstrass fait le travail. Il suffit donc de calculer toutes les valeurs critiques et de prendre la plus petite, sans étude de bord ni étude à l'infini. Sans coercivité, tout peut arriver: la fonction témoin $x^3+y^3-3xy$ a un minimum local strict en $(1,1)$ de valeur $-1$, un col en $(0,0)$, et extremum global, puisque et .

Moindres carrés (7.8) et équations normales (7.9, théorème 7.7), qui ne sont rien d'autre que la condition du premier ordre $\nabla S=0$. Le choix du carré des écarts rend $S$ différentiable et le système linéaire.

Solution (7.10), à condition que les $x_i$ ne soient pas tous égaux: le dénominateur $D=n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2$ est alors par le cas d'égalité de Cauchy–Schwarz appliqué à et . La hessienne est constante et définie positive: le minimum est .

Les deux propriétés des résidus, relecture directe des équations normales: la droite passe par le point moyen $(\bar{x},\bar{y})$, et le vecteur des résidus est orthogonal au vecteur des abscisses. Deux vérifications numériques gratuites — un ajustement qui ne les satisfait pas est faux. Géométriquement, l'ajustement est la projection orthogonale du vecteur des $y_i$ sur le plan engendré par $(x_1,\dots ,x_n)$ et . La méthode s'étend à ; ce qu'elle ne fait , c'est tester le modèle: seul l'examen des résidus révèle l'inadéquation.

Chapitre 8 – Extrema liés et multiplicateurs de Lagrange

Ensemble admissible et extremum lié: $\mathbf{a}\in M$ est un maximum lié local si $f(\mathbf{x})\le f(\mathbf{a})$ pour tout $\mathbf{x}\in M\cap B(\mathbf{a},r)$. $M$ n'est pas ouvert — c'est une courbe ou une surface, dont tous les points sont des points de bord —, et c'est pourquoi $\nabla f=0$ n'y vaut plus. Quand la contrainte se résout explicitement (elle est linéaire, ou une variable y est au premier degré, ou elle se paramètre commodément), la est la méthode à préférer: elle donne l'optimum sa nature.